Определение краевых условий механических и электронных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Ямилова, Ляйсан Салимьяновна

• Ямилова, Ляйсан Салимьяновна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ямилова, Ляйсан Салимьяновна

Введение

Глава 1. История вопроса

Глава 2. Диагностика закреплений механических систем

§ 2.1. Диагностика закрепления стержня.

2.1.1. Постановка задачи.

2.1.2. Двойственность решения.

2.1.3. Метод решения.

2.1.4. Устойчивость решения.

2.1.5. Примеры.

§ 2.2. Диагностика закрепления прямоугольной пластины

2.2.1. Постановка задачи.

3.1.2. Двойственность решения.

2.2.3. Метод решения.

2.2.4. Устойчивость решения.

2.2.5. Примеры.

§ 2.3. Диагностика нераспадающихся закреплений механической системы.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Метод решения.

2.3.3. Пример.

Глава 3. Восстановление нераспадающихся краевых условий общего вида

§ 3.1. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Метод решения.

3.1.3. Устойчивость решения

3.1.4. Примеры.

§ 3.2. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка

3.2.1. Постановка задачи.

3.2.2. Единственность решения.

3.2.3. Метод решения.

3.2.4. Устойчивость решения.

3.2.5. Пример.

§ 3.3. Восстановление краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Решение задачи

§ 3.4. Диагностика условий замыкания электронных систем.

3.4.1. Постановка задачи.

3.4.2. Метод решения.

3.4.3. Примеры.

§ 3.5. Комплекс программ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Определение краевых условий механических и электронных систем»

Актуальность темы диссертации. Работа посвящена исследованию задач определения вида и параметров закреплений механических систем и электронных систем по собственным частотам колебаний. Задачи рассматриваемого типа связаны с обратными спектральными задачами, задачами диагностики, виброзащиты и контроля колебательных процессов.

Исследованиям обратных спектральных задач посвящено много работ авторов, в том числе работы таких известных ученых как В.А. Амбарцумян, Г. Борг, Н. Левинсон, М.Г. Крейн, Б.М. Левитан, В.А. Марченко, В.А. Садовничий, В.А. Юрко и других. В работах этих авторов требуется восстановить коэффициенты дифференциального уравнения и краевых условий. В качестве данных восстановления используются несколько спектров или же другие дополнительные спектральные данные (например, спектральная функция, весовые числа, функция Вейля). Однако, несмотря на свою актуальность, обратные задачи восстановления нераспадающихся краевых условий по конечному набору собственных значений серьезно не изучались.

В последнее время обществом стали предъявляться большие требования к диагностике. Возникающие техногенные катастрофы и опасности потребовали необходимости создания новых методов инженерного обследования и диагностики состояния объектов, пострадавших в результате чрезвычайных ситуаций. В настоящее время достаточно хорошо разработаны акустические методы обнаружения трещин, определения формы области или размера предмета, (см., например, работы И.И. Артоболевского, И. А. Биргера, М.Д. Генкина, Б.В. Павлова и др.). Развитие и взаимопроникновение методов механики, математической физики, спектральной теории операторов, дифференциальных уравнений, теории функций, алгебраической геометрии и современных компьютерных технологий привели к новым возможностям в диагностике — диагностике вида и параметров закреплений упругих тел по собственным частотам их колебаний, что позволило ставить и решать новые задачи.

Целью диссертационной работы является исследование задач определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам колебаний на основе применения современной технологии математического моделирования, комплексов программ и вычислительного эксперимента. В соответствии с поставленной целыо определены следующие задачи исследования: 1) исследование математических моделей для определения вида и параметров условий закрепления механических систем и условий сопряжения электронных систем по собственным частотам колебаний; 2) исследование задач определения общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков; 3) разработка метода и комплекса компьютерных программ для решения обратных спектральных задач восстановления краевых условий по конечному набору собственных значений; проведение вычислительных экспериментов.

Научная новизна. Впервые поставлена и решена задача идентификации условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока.

Сформулированы и решены проблемы определения вида и параметров закрепления на двух противоположных краях прямоугольной пластины и на обоих концах стержня по собственным частотам их изгибных колебаний.

Исследованы и решены задачи восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков. Показано, что для задач с дифференциальным уравнением 4-го порядка нельзя однозначно восстановить произвольные нераспадающиеся краевые условия.

Разработан метод и комплекс программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений.

Практическая значимость результатов. Разработанный метод и комплекс программ могут быть применены в диагностике недоступных для визуального осмотра закреплений элементов механических систем, строительных конструкций, а также условий замыкания для электронных систем. С помощью предложенного метода можно судить о виброзащитных закреплениях механических систем, а также подбирать условия замыкания провода для обеспечения нужного (безопасного) спектра частот колебаний напряжения в электронных системах.

Достоверность результатов подтверждена доказательством корректности поставленных задач, результатами вычислительных экспериментов, а также проведением сравнительных тестовых расчетов с численными результатами других авторов.

На защиту выносятся следующие основные результаты: 1) математические модели определения вида и параметров закреплений механических и электронных систем по собственным частотам их колебаний; доказательство существования, единственности или двойственности и устойчивости решений соответствующих обратных задач; 2) решения задач восстановления общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков; 3) метод и комплекс компьютерных программ для решения задач определения краевых условий по конечному набору собственных значений; результаты вычислительных экспериментов.

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на: республиканской конференции студентов и аспирантов по физике и математике (Уфа, 1997 г.); IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (Уфа, 2004 г.); III конкурсе научных работ молодых ученых и аспирантов УНЦ РАН и АН РБ (Уфа, 2005); VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи-Дагомыс, 2005 г.); V Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, 2005 г.); Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005 г.); научных семинарах проф. К. Б. Сабитова (Стерлитамакская государственная педагогическая академия), проф. Я. Т. Султанаева (Башкирский государственный университет, кафедра дифференциальных уравнений), Института механики УНЦ РАН, А. М. Ахтямова (Башкирский государственный университет).

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опуликованы в 12 работах.

В совместных работах А. М. Ахтямову принадлежит постановка задач, М. Тайхер, А. В. Муфтахову— вывод соотношений Плюккера для уравнений 3-го и 4-го порядков. Соискателю принадлежат решения поставленных задач, комплекс компьютерных программ, результаты вычислительных экспериментов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложений. Полный объем диссертации составляет 144 страницы, включая приложения на 39 страницах.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Ямилова, Ляйсан Салимьяновна

Заключение

Получены следующие новые результаты: 1) Сформулированы и решены проблемы определения вида и параметров закрепления прямоугольной пластины и стержня по собственным частотам их изгибных колебаний. Установлена однозначность или двойственность решений соответствующих задач, их непрерывная зависимость по собственным значениям. Поставлена и решена задача идентификации условий замыкания провода по трем собственным частотам колебаний напряжения переменного тока.

2) Исследованы и решены задачи восстановления по конечному набору собственных значений общих нераспадающихся краевых условий для спектральных задач с дифференциальным уравнением 2-го, 3-го и 4-го порядков. Показано, что для однозначного восстановления общих нераспадающихся краевых условий для задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка достаточно 5, а для задачи с дифференциальным уравнением 3-го порядка — 19 собственных значений. Установлено, что для однозначного восстановления общих нераспадающихся краевых условий спектральной задачи с дифференциальным уравнением 4-го порядка нужно дополнительно задавать ограничения на сами краевые условия.

3) Разработан метод и комплекс программ, позволяющий определять краевые условия обратных задач по конечному набору собственных значений. Приведены результаты вычислительных экспериментов.

Работа поддержана грантом: № 13/7, 170-05 (АН РБ) "Методы неразрушающего контроля механических систем", 2005 г.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ямилова, Ляйсан Салимьяновна, 2006 год

1. Артоболевский И. И., Бобровницкий Ю. И., Геи-кии М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 295 с.

2. Ахатов И. Ш., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 290-298.

3. Ахтямов А. М. О совпадении краевых условий спектральных задач, имеющих общее уравнение // Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. 4. Дифференциальные уравнения. Уфа: Институт математики с ВЦ РАН. 1996. С. 15-21.

4. Ахтямов А. М. Можно ли по одному обертону определить характер закрепления струны? // Вестник Башкирского университета. Уфа: БашГУ. 1996. № 3(1). С. 12-15.

5. Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1127-1128.

6. Ахтямов А. М. Об определении параметров упругого закрепления струны по собственным частотам ее поперечных колебаний // Научная конференция понаучно-техническим программам Минобразования России: Сборник статей, ч. I. Уфа: БашГУ, 1998. С. 3-7.

7. Ахтямов А. М., Николаепко В. В. Об определении концевой массы вала по собственным частотам его колебаний // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Т. 8. Вып. 1. С. 92-93.

8. Ахтямов A.M. Распознавание закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний // Известия РАЕН. 2001. Т. 5. № 3, с. 103-110.

9. Ахтямов А. М. Обратная задача распознавания закрепления кольцевой мембраны по собственным частотам ее колебаний j j Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Том 9. Вып. 1. С. 154-155.

10. Ахтямов A.M. Можно ли определить вид закрепления колеблющейся пластины по ее звучанию? // Акустический журнал. 2003. Т. 49. № 3. С. 325-331.

11. Ахтямов А. М. Об одной модели акустической диагностики // Труды Средневолжского математического общества. 2003. Т. 5. М. С. 214-221.

12. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний // Известия РАН. МТТ. 2003. № 6. С. 137-147.

13. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся закреплений // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 7. С 61.

14. Ахтямов А. М. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6. Вып. 4. С. 995-106.

15. Биргер И. . А. Техническая диагностика. М.: Машиностроение, 1978. 239 с.

16. Будак В. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике: Учебное пособие, 3-е изд. М.: Наука. 1980. 688 с.

17. Вухгейм А. Л. Введение в теорию обратных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 184 с.

18. Бухтияров И. Д., Аллилуев В. А. Исследования по акустической диагностике цилиндро-поршневой системы ДВС // Труды СибВИМа. Новосибирск. 1968. Вып. 4. С. 378-879.

19. Ван Дер Мей К., Пивоварчик В.Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2002. Т. 36. № 4. С. 74-77.

20. Васильев Н. А., Дворников С. И. Экспериментальные исследования колебательных характеристик железнодорожных шпал // Акуст. журн. 2000. Т. 46. № 3. С. 424426.

21. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В. Н. Челомей (пред.). М.: Машиностроение, 1978. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. 1978. 352 с.

22. Вибродиагностика качества механизмов приборов. JL: ЛИАП, 1987. 144 с.

23. Габитов И. И. Обеспечение надежности топливной аппаратуры сельскохозяйственного назначения в процессе ее эксплуатации. С. Петербург: СПбГАУ, 2000. 317 с.

24. Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987. 288 с.

25. Губреев Г. М., Пивоварчик В. Н. Спектральный анализ задачи Редже с параметрами // Функц. анализ и его приложения. 1997. № 1. С. 70-74.

26. Денисов А. М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 206 с.

27. Диагностика автотракторных двигателей. / Под ред. Н. С. Ждаиовского. Л.: Колос, 1977. 264 с.

28. Зинченко В. И., Захаров В. К. Снижение шума на судах. Л.: Судостроение, 1968. 140 с.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

30. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и иженеров. М.: Наука, 1984. 832 с.

31. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М.: Наука, 1968. 503 с.

32. Котляков Н. С., Глинер Э. БСмирнов М. М. Дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматгиз, 1962. 768 с.

33. Кузьмин Р. В. Дифектация судовых механизмов. М.: Транспорт, 1967. 174 с.

34. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука. 1982. 272 с.

35. Лапин А. Д. Резонансный поглотитель изгибных волн в стержнях и пластинах // Акуст. журн. 2002. Т. 48. № 2. С. 277-280.

36. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956. 632 с.

37. Левитан Б. М., Гасымов М. Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам j j УМН. 1964. Т. 19. № 2(116). С. 3-63.

38. Левитан Б. М., Саргеян И. С. Введение в спектральную теорию (Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы). М.: Наука, 1970. 672 с.

39. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 240 с.

40. Лейбензон 3. Л. Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка п > 2 и преобразования таких операторов // ДАН СССР. 1962. Т. 142. 3. С. 534-537.

41. Лейбензон 3. Л. Обратная задача спектрального анализа обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Тр. Моск. матем. об-ва. 1966. 15. С. 70-145.

42. Лионе Ж.Л., Мадо/сенес Э. Некоторые граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

43. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 240 с.

44. Марченко В. А., Маелов К. В. Устойчивость задачи восстановления оператора Штурма-Лиувилля по спектральной функции // Матем. сб. 1960. 52(94), N 2. С. 739-788.

45. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля и их приложения // Киев: Наукова думка. 1972. 220 с.

46. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 526 с.

47. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

48. Павлов В.В. Акустическая диагностика механизмов. М.: Машиностроение, 1971. 223 с.

49. Плаксипа О. А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Матем. сб. 1986. Т. 131. № 1. С. 326.

50. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр II. Линейная алгебра и дифференциальная геометрия М.: Наука, 1986. 400 с.

51. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х т. / Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3. 567 с.

52. Расулов М. Л. Применение вычетного метода к решению задач дифференциальных уравнений. Баку: Элм, 1989. 328 с.

53. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

54. Садовничий В. А. Единственность решения обратной задачи для уравнения второго порядка с нераспадающимися краевыми краевыми условиями // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1974. № 1. С. 143-151.

55. Садовничий В. А., Султанаев Я. Т., Ахтямов А. М. О корректности обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Доклады Академии наук. 2004. Т. 395. № 5. С. 592-595.

56. Станкевич И. В. Об одной обратной задаче спектрального анализа для уравнения Хилла // ДАН СССР. 1970. Т. 192, № 1. С. 34-37.

57. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. М.: Наука, 1983. 432 с.

58. Стрэтт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука. Т. 1. М., JL: Гостехиздат, 1940. 500 с.

59. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. 444 с.

60. Тимошенко С. П. Пластины и оболочки. М., JL: Гостехиздат. 1948. 460 с.

61. Тихонов А. Н.; Васильева А. ВСвешников А. Г. Курс высшей математики и математической физики. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980. 230 с.

62. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы // Изв. вузов. Авиационная техника. 2003. № 1. С. 62-67.

63. Тукмаков А. Л., Аксенов И. Б. Идентификация объектов на основе анализа функции числа состояний акустического отклика // Журнал технической физики. 2003. Т. 73. Вып. 10. С. 130-133.

64. Шкаликов А.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им.И.Г.Петровского. 1983. № 9. С. 190-229.

65. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. М.:Наука, 1976. 576 с.

66. Юрко В. А. О краевых задачах с параметром в краевых условиях // Изв. АН АрмССР. Мат. 1984. № 5. С. 398409.

67. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения,- Саратов: Сарат. педагогич. ин-т, 2001. 499 с.

68. Akhtyamov А. М., Mouftakhov А. V. Identification of boundary conditions using natural frequencies // 11-Nov-2003, MPS: Applied mathematics/0311002.

69. Ambarzumijan V. A. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zeitshrift fur Physik. 1929. № 53. S. 690-695.

70. Benedek A. I., Panzone R. Problemas de contorno para equaciones diferenciales ordinarias de sequndo orden con condiciones de borde dependientes del parametro espectral // Trab. mat. Inst, argent, mat. 1983. №. 53. P. 121.

71. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm Liouvilleschen Eigenwertanfgabe. Bestimmung der Differentialgleichung durch die Eigenwarte // Acta Math. 1946. V. 78. № 1. S. 196.

72. Frikha S., Coffignal G., Trolle J. L. Boundary condition identification using condensation and inversion // J. Sound and Vib. 2000. V. 233. № 3. P. 495-514.

73. Frikha S., Gaudin M., Coffignal G. Boundary condition error for parametric updeting of In-operation systems application to piping systems // J. Sound and Vib. 2001. V. 241. No. 3. P. 373-399.

74. Kac M. Can one hear the shape of a drum? // Amer. Math. Monthly. 1966. V. 73, № 4. P. 1-23.

75. W. U. Qunli, F. Fricke. Determination of the size of an object and its location in a cavity by eigenfrequency shifts // Nat. Conf. Publ./ Inst. Eng. Austral, 1990. № 9, P. 329-333.

76. Oh.S., Kim H., Park Y. Active control of road booming noise in automotive interiors // J. Acoust. Soc. Am. 2002. V. 111. № 1. P. 180-188.