Операторные методы моделирования волновых процессов в низкоразмерных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Шерешевский, Илья Аронович

• Шерешевский, Илья Аронович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шерешевский, Илья Аронович

Введение

Глава 1 Самосопряженные операторы в теории волноводов и сходимость метода трансфер-матриц.

1.1 Математическая модель ступенчатого волновода.

1.1.1 Абстрактный однородный волновод.

1.1.2 Абстрактный ступенчатый волновод.

1.2 Оператор рассеяния.

1.2.1 Самосопряженные расширения оператора Wq.

1.2.2 Самосопряженные расширения и "граничные условия"

1.2.3 Резольвента оператора Wy и оператор рассеяния

1.3 Общие свойства оператора рассеяния.

1.3.1 О конечномерной аппроксимации операторов в гильбертовом пространстве

1.3.2 Аппроксимация оператора рассеяния.

1.3.3 Неограниченность оператора рассеяния. Пример.

1.4 Многоступенчатые волноводы и оператор рассеяния.

Глава 2 Применения метода трансфер-матриц: расчет электромагнитных полей в корругированных электродинамических волноводах

2.1 Введение.

2.2 Собственные моды однородного цилиндрического волновода с произвольным сечением.

2.3 Матрица рассеяния интерфейса двух однородных волноводов с разным поперечным сечением.

2.4 Вычисление амплитуд мод в кусочно-однородном волноводе: метод матричной прогонки

2.5 Сохранение потока мощности.

2.6 Волновод с прямоугольным сечением.

2.7 О программе SEMA.

Глава 3 Применения метода трансфер-матриц: квазичастичный транспорт в цилиндрических NSN-волноводах.

3.1 Введение.

3.2 Уравнения Боголюбова-де Жена.

3.3 Решение уравнений в нормальном металле, гп- и ои£состояния.

3.4 Матрицы рассеяния. Определение и основные свойства.

3.5 О решении краевых задач (3.23), (3.24)

3.6 Конечномерные аппроксимации и численное интегрирование задачи Коши.

3.6.1 Метод Кранка-Николсона для уравнения (3.38).

3.6.2 Конечно-разностная аппроксимация

3.6.3 Разложение по собственным функциям.

3.7 Соотношения симметрии.

3.8 Некоторые результаты численных экспериментов.

Глава 4 Разностные краевые задачи и формула Шермана-Моррисона—Крейна.

4.1 Введение.

4.2 Операторы Лапласа на графах.

4.3 Вычисление резольвенты лапласиана на подмножестве прямоугольной сетки.

4.3.1 Лапласиан в прямоугольнике и дискретное преобразование Фурье.

4.3.2 "Дырки" и граничный оператор.

4.3.3 Примеры.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Операторные методы моделирования волновых процессов в низкоразмерных системах»

5.2 Уравнение Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящего параметра порядка 105

5.2.1 Стационарная теория Гинзбурга-Ландау.105

5.2.2 Нестационарная теория Гинзбурга-Ландау.107

5.2.3 Вихри в массивном сверхпроводнике.109

5.2.4 Вихри в мезоскопическом сверхпроводнике .113

5.3 Конечномерные аппроксимации для уравнений и функционала Гинзбурга-Ландау.119

5.4 О программном комплексе GLDD.128

Глава 6 Динамика низкоразмерных джозефсоновских систем.133

6.1 Введение.133

6.2 Вихри в кольцевом джозефсоновском контакте .134

6.3 Алгоритм численного моделирования динамики джозефсоновского кольца . .141

6.4 Перестройка вихревых решеток в слоистом сверхпроводнике с учетом неравновесных эффектов.146

Глава 7 Стохастические уравнения и моделирование микромагнитных систем.157

7.1 Введение.157

7.2 Стохастические деформации динамических систем .158

7.2.1 Динамические системы с шумом и теорема Вонга-Закаи.161

7.2.2 Распределение Гиббса как устойчивое состояние динамических систем с шумом.163

7.2.3 Интегралы движения стохастического дифференциального уравнения .169

7.2.4 Пример: магнитный диполь в случайном магнитном поле.172

7.3 Численное моделирование динамики взаимодействующих магнитных наночастиц.174

7.3.1 Свободная энергия микромагнитной системы и собственное магнитное поле.174

7.3.2 Приближения для магнитостатической энергии и поля. Конечные элементы.177

7.3.3 Приближения для магнитостатической энергии и поля. Фурье-алгоритм.183

7.3.4 О вычислении обменного поля и поля анизотропии.187

7.3.5 Динамика намагниченности. Уравнения ЛЛГ.188

7.4 О программном комплексе SIMMAG.191

Глава 8 Применения теории случайных групп для исследования характеристик волоконных световодов.196

8.1 Введение. .196

8.2 Основные определения, уравнения и результаты.198

8.3 Доказательства основных утверждений .205

8.3.1 Предельные средние случайных матриц. Доказательство теоремы

8.2. 2.205

8.3.2 Предельное распределение электрического поля. Доказательство Следствия 8.2.1 .209

8.3.3 Асимптотическая независимость полей при разных частотах. Доказательство Следствия 8.2.2.209

8.3.4 Предельные значения матрицы когерентности и степени поляризации. Доказательство Следствий 8.2.3 и 8.2.4.214

8.3.5 /г-параметр в волокне с нулевым среднем кручением. Доказательство Предложения 8.2.1.216

8.3.6 Л-параметр в рамках теории возмущений. Доказательство Предложения 8.2.2.217

8.3.7 Асимптотика степени поляризации. Доказательство Предложения

8.2. 3.218

8.4 Приближение нулевой длины корреляции случайных кручений.224

Заключение.227

Литература.240

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Компьютерное моделирование физических систем является важным современным инструментом теоретических и прикладных исследований, роль которого непрерывно возрастает с развитием вычислительной техники, математических и численных методов. В теоретических исследованиях роль компьютерного моделирования обусловлена растущей сложностью математических моделей, точное решение которых, как правило, невозможно, как и качественное аналитическое исследование без дополнительных упрощений модели, не всегда адекватных исследуемой проблеме. В этой ситуации компьютерное моделирование может предоставить важную информацию о свойствах и поведении исследуемой системы в тех или иных конкретных условиях, которая затем может быть использована для конструирования приближенного математического описания решений. В экспериментальных исследованиях роль компьютерного моделирования, вероятно, еще более значительна. Во-первых, экспериментальные исследования современных физических проблем весьма дороги, и в этой связи предваряющее эксперимент моделирование исследуемой физической системы может существенно сузить область экспериментального поиска. Во-вторых, во многих случаях экспериментальные измерения носят косвенный характер, и для интерпретации результатов таких измерений информация, получаемая в результате моделирования, может оказаться очень важной. В-третьих, в некоторых случаях оказывается возможным применить численное моделирование для расчета параметров элементов систем (например, волноводов, антенн и т.п.), что опять-таки позволяет сократить расходы на проектирование и разработку таких систем, связанные с изготовлением многочисленных опытных образцов и измерением их параметров.

Следствием важной роли численного моделирования в физических исследованиях и инженерии стало создание большого числа программных систем для моделирования (таких например, как коммерческие пакеты HFSS или MicroWave Studio для моделирования широкого класса электродинамических и радиотехнических систем, или свободно распространяемый пакет OOMMF, разработанный одной из лабораторий Американского национального Института Стандартов (NIST) для моделирования микромагнитных систем). Разработан также целый ряд пакетов (типа МАТЬАВ или МАТСА1)), предназначенных для пользователей, не являющихся профессионалами в численных методах и программировании, но стремящихся самостоятельно заниматься численным моделированием. Кроме того, существует целый ряд коммерческих организаций (таких например, как АШОРТ), предоставляющих услуги как по разработке программ для численного моделирования, так и непосредственно по проведению численных экспериментов в интересах заказчика.

Другим следствием роста важности численного моделирования является необходимость разработки новых численных методов для эффективного решения новых задач, а также математическое обоснование новых и существующих методов. Такое обоснование также приводит к повышению качества и надежности результатов моделирования. Математическое исследование численных алгоритмов включает как анализ традиционных проблем, связанных с аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью, так и изучение свойств конечномерных моделей уравнений математической физики и сопоставление их со свойствами этих уравнений. Математические модели физических процессов как правило формулируются в терминах операторов в бесконечномерных пространствах, в то время как численное моделирование всегда имеет дело с конечномерными объектами. Даже математически корректное определение конечномерных аппроксимаций исходных бесконечномерных объектов требует серьезного математического аппарата [1-3]. Анализ аппроксимаций показывает, что, во-первых, их конструкция очень неоднозначна, и, во-вторых, даже с учетом сходимости конечномерные аппроксимации могут не обладать существенными свойствами исходной модели. Например, многоточечные аппроксимации оператора Штурма-Лиувилля, как правило, являются несамоспряженны-ми конечномерными операторами. Еще одним важным примером является задача аппроксимации калибровочно-инвариантных операторов, возникающих, в частности, при моделировании сверхпроводящих систем. В этом случае требуется, во-первых, определить, что такое калибровочное преобразование в конечномерной модели, и, во-вторых, построить аппроксимацию, обладающую этим свойством. Заметим, что и в этом случае ни порядок аппроксимации, ни ее сходимость не связаны непосредственно с калибровочной инвариантностью.

Актуальность представленной работы обусловлена, с одной стороны, важностью как для фундаментальных, так и для прикладных исследований методов и программ моделирования и расчета конкретных физических систем (электромагнитных, оптических и сверхпроводящих волноводов, магнитных наноструктур), а с другой стороны, новизной и перспективностью развитых методов численного моделирования волновых процессов в таких системах. Выбор конкретных физических систем, для моделирования которых развивались предлагаемые методы, продиктован задачами, связанными с основными направлениями научной тематики Института физики микроструктур РАН.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы являлась разработка новых и адаптация существующих численных методов и алгоритмов для моделирования волновых процессов в различных областях физики (электродинамике сверхпроводимости, микромагнетизме, волоконной оптике), математическое обоснование этих методов, необходимое для контроля достоверности результатов моделирования, а также применение разработанных методов в программах моделирования физических систем в условиях, приближенных к экспериментальным.

Основными задачами диссертационной работы являлись:

1. Разработка математически обоснованных численных методов расчета различных характеристик кусочно-однородных волноводных структур, в том числе маломо-довых металлических кусочно-однородных электродинамических волноводов, используемых в системах связи, оптоволоконных световодов и квантовых систем — мезоскопических сверхпроводящих цилиндров, соединенных с нормальными металлическими проволоками.

2. Разработка и обоснование новых эффективных методов численного моделирования динамики вихревых конфигураций в низкоразмерных мезоскопических сверх-провдящих структурах — сверхпроводящих пленках сложной геометрии, квазиод-померных и двумерных джозефсоновских системах — с учетом влияния внешних электромагнитных полей.

3. Разработка численных методов и алгоритмов моделирования распределений намагниченности в микромагнитных системах и их магнитосиловых изображений, в том числе в решетках магнитных диполей и системах взаимодействующих магнитных наночастиц, находящихся во внешнем магнитном поле, с учетом влияния конечной температуры.

Научная и практическая значимость

Представленные в диссертационной работе исследования выполнялись в рамках проектов РФФИ (в том числе, под руководством автора работы), программ Президиума РАН, грантов ИНТАС и международных контрактов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. В рамках абстрактной математической модели кусочно-однородных волноводов доказана сходимость конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц. На основе этих аппроксимаций разработаны численные алгоритмы расчета полей в кусочно-однородных электродинамических волноводах и алгоритмы численного моделирования транспорта квазичастиц в мезоскопических сверхпроводящих цилиндрах в вихревом состоянии.

2. Предложен алгоритм численного решения краевых задач для дискретного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы. Алгоритм использован для численного моделирования динамики параметра порядка в мезоскопических сверхпроводящих пленках.

3. Предложено понятие вихря в дискретной модели двумерной системы уравнений Гинзбурга-Ландау, на основе которого разработай численный алгоритм визуализации динамики вихревых конфигураций в мезоскопических сверхпроводящих пленках.

4. Предложено и исследовано понятие стохастической деформации динамических систем, с помощью которого найдены условия сохранения интегралов движения при наличии шума и существования гиббсовского равновесного распределения. Стохастические деформации уравнений Ландау-Лифщица-Гильберта использованы для численного моделирования динамики намагниченности в системах магнитных наночастиц при конечной температуре.

5. Предложена математическая модель волоконного световода со случайными кручениями осей анизотропии, на основе которой аналитически исследованы статистические характеристики немонохроматического света.

Практическая значимость результатов состоит в том, что:

1. На основе конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц кусочно-однородных волноводов совместно с соавторами разработано Wiiidows-приложение SEMA для расчета полей в ступенчатых электродинамических волноводах, позволяющее рассчитывать с высокой точностью используемые на практике волноводные структуры.

2. Совместно с соавторами разработано Windows-приложение GLDD для моделирования динамики параметра порядка и вихревых конфигураций в мезоскопических сверхпроводящих пленках во внешних полях, позволяющее численно исследовать устройства на основе таких пленок и интерпретировать результаты экспериментов.

3. Разработанное совместно с соавторами \¥тс1о-№8-приложение БШМАС для моделирования динамики намагниченности в системах магнитных наночастиц позволяет исследовать равновесные распределения намагниченности в таких системах и переходы между ними и интерпретировать в терминах этих распределений результаты, полученные при исследовании систем частиц с помощью магнитосилового микроскопа и другими методами.

Приложения СЬБО и ЭШМАС зарегистрированы в Государственном Реестре программ для ЭВМ, свидетельства №2011612682 и №2011612679.

Личный вклад автора

Во всех совместных работах автору принадлежат математические методы и алгоритмы численного моделирования. Автор также принимал участие в построении математических моделей изучаемых физических процессов и проектировании программ, с помощью которых проводилось численное моделирование.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Абстрактная математическая модель, применимая для описания кусочно-однородных волноводов различной физической природы, позволяет развить и обосновать методы численного расчета электродинамических волноводных систем и квантовых цилиндрических волноводов с переходами сверхпроводник-нормальный металл.

2. Конечномерные модели дифференциальных операторов математической физики, представленные операторами в пространствах функций на графах, позволяют построить численные алгоритмы решения краевых задач для двумерного разностного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы.

3. Конечномерная модель системы уравнений Гинзбурга-Ландау, основанная на аппроксимации операторов математической физики операторами на графах, сохраняет основные свойства исходной системы дифференциальных уравнений, такие, как калибровочная инвариантность и отсутствие электрического поля в стационарном состоянии, позволяет дать корректное математическое определение вихрей в дискретной системе и предложить численный алгоритм детектирования вихрей в процессе численного моделирования динамики мезоскопических сверхпроводящих пленок.

4. Конечномерные аппроксимации операторов типа sine-Gordon позволяют построить численные алгоритмы моделирования динамики распределенных джозефсо-новских систем. Результаты численного моделирования дают возможность исследовать структуру вихревых решеток в квазиодномерных многослойных джозеф-соновских системах и интерпретировать результаты измерений вольт-амперных характеристик кольцевых джозефсоновских контактов.

5. Стохастические деформации динамических систем, в отличие от обычных стохастических возмущений, обладают важными с точки зрения физических приложений свойствами: сохраняют интегралы движения невозмущенной системы и имеют гиббсовские равновесные состояния. Это позволяет применять такие деформации в численном моделировании динамики микромагнитных систем при конечной температуре.

С. Применение методов теории случайных групп для исследования статистических характеристик излучения в оптоволоконных световодах со случайными кручениями осей анизотропии позволяет получать аналитические результаты и строить эффективные алгоритмы моделирования различных оптоволоконных систем.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на семинарах ИФМ РАН, ИПФ РАН, НН-ГУ им. Н.И.Лобачевского, ПОМИ РАН, заседаниях Нижегородского Математического общества и на 27 российских и международных конференциях:

CI. IV Bilateral Soviet-German Seminar on high temperature superconductivity, St.Petersburg, 6-13 october, 1991.

C2. V German-CIS Bilateral Seminar on high temperature superconductivity, Kloster Bakz, Germany, 5-9 october, 1992

СЗ. Ill International Conference ISFOC, 1993, S.Peterburg

C4. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1994.

С5. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1996.

Сб. X Trilateral German-Russian-Ukrainian Seminar on High temperature Superconductivity, Nizhnii Novgorod, Russia, 11-15 Sept. 1997.

C7. International conference Mathematical Results in Quantum Mechanics (QMath7), Prague, June 22-26, 1998.

C8. Moscow International Symposium on Magnetism MISM99. 20-24 июня 1999.

C9. Nanostructures: physics and technology. 7th International Symposium St.Peterburg, Russia, June 14-18, 1999, Ioffe Institute.

CIO. 22nd International Conference on Low Temperature Physics (LT22), 1999, Espoo-Helsinki, Finland.

СИ. 32-ое Всероссийское совещание по физике низких температур, Казань, 3-6 октября 2000.

С12. Interdisciplinary International Conference PELS-2000, Polarisation Effects in Lasers, Spectroscopy and Optoelectronics, Univ. of Southampton, 6-8 September, 2000.

C13. Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism", Ekaterinburg, Russia, Feb. 27-March 2, 2001.

C14. Advanced Research Workshop "Fundamentals of electronic nanosystems", St.Petersburg, Russia (2005).

C15. Международный симпозиум "Нанофизика и нанофотоника 2005", Нижний Новгород, 2005.

С16. Moscow International Symposium on Magnetism, MISM-2005, 2005.

C17. X Симпозиум Нанофотоника и наноэлектроника, Н.Новгород, 2006.

С18. IEEE MTT-S 2006 International Microwave Symposium, 2005.

С19. International conference "Days on Diffraction'2007", St.Petersburg, May 29 - June 1,

2007.

C20. 10th Quantum Mathematics International Conference Moeciu, Romania, September 10-15, 2007

C21. XII Международный Симпозиум Нанофизика и наноэлектроника, Н.Новгород,

2008.

С22. VI International Workshop "Multipactor, Corona, and Passive Intermodulation". Valencia, Spain, 24-26 September 2008.

C23. International conference "Days on Diffraction'2008", St.Petersburg, June 3-6, 2008.

C24. 3-я Международная конференция "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" (ФПС'08), Звенигород, 2008.

С25. 13-й Международный Симпозиум. Нанофизика и наноэлектроника, Н.Новгород, 2009.

С26. International Conference Days on Diffraction 2010, June 8-11, 2010 Saint Petersburg.

C27. International Conference Days on Diffraction 2011, May 30 - June 3, 2011, Saint Petersburg.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в оригинальных статьях в отечественных и зарубежных журналах, сборниках трудов и тезисах докладов на научных конференциях. Всего по материалам диссертации опубликовано 75 работ, из них 34 журнальных статьи. Полный список публикаций автора по теме диссертационной работы приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 250 страниц. Диссертация содержит 37 рисунков. Список литературы включает 164 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Шерешевский, Илья Аронович

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шерешевский, Илья Аронович, 2011 год

1. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Физматлит, 2002. - 488 с.

2. Gordon E.I. Nonstandard Methods in Commutative Harmonic Analysis. AMS, 2001.

3. Коллатц Jl. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. - 448 с.4. http://www.ansoft.com/products/hf/hfss/5. http://web.awrcorp.com/Usa/Products/Microwave-Off ice

4. Londergan J.T. Binding and scattering in two-dimensional systems: applications to quantum wires, waveguides and photonic crystals. / J.T. Londergan, J.P. Carini, D.P. Murdock New York: Springer, 2000. - 232 pp.

5. Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики.- М.: Наука, 1967. 460 с.

6. Watkins D.S. Fundamentals of Matrix Computations. John Wjley & Sons. Inc., New York, 2002. - 618 pp.

7. Дезин А. Многомерный анализ и дискретные модели. М.: Наука, 1990. - 240 с.

8. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение. / Д. Каханер, К. Мо-улер, С. Нэш М.: Мир, 2001. - 575 с.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков- М.: Бином, 2008. 636 с.

10. Hubert A. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. / A. Hubert, R. Shafer Springer, 1998. - 696 p.13. http://math.nist.gov/oommf/

11. Okoshi T. Coherent optical fiber communications / T. Okoshi K. Kikuchi Springer, 1988. - 296 pp.

12. Диаиов E.M. На пороге Тера-эры. // Квантовая эл-ка. 2000. - Т. 30. - N 8. - С. 659-663.

13. Vali V. Fiber Ring Interferometer / V. Vali, R.W. Shorthill // Appl. Opt. 1976. -Vol. 15. - N 5. - P. 1099-1100.

14. Vali V. Ring Interferometer 950 m Long /V. Vali, R.W. Shorthill // Appl. Opt. 1977.- Vol. 16. N 2. - P. 290-291.

15. Lefevre H. Fiber-optic gyroscopes. Artech House, 1993. - 313 pp.

16. Гурьянов A.H. Высокочувствительный волоконно-оптический датчик вращения /A.Н. Гурьянов, Д.Д. Гусовский, Г.Г. Девятых , Е.М. Дианов, А.Я. Карасик,B.А. Козлов, A.M. Прохоров, А.К. Сенаторов // ДАН СССР. 1983. - Т. 269. -№ 2. - С. 334-336.

17. Гурьянов А.Н. Датчик вращения на основе деполяризующего одномодового световода / А.Н. Гурьянов, Д.Д. Гусовский, Г.Г. Девятых , Е.М. Дианов, А.Я. Карасик, В.А. Козлов, A.M. Прохоров, А.К. Сенаторов // Письма в ЖТФ. 1985. - Т. 11. -Вып. 6. - С. 321-325.

18. Дианов Е.М. Волокопно-оптический датчик вращения / Е.М. Дианов, А.Я. Карасик, В.А. Козлов, А.К. Сенаторов // Труды ИОФ АН. 1988. - Т. 15. - С.140-164.

19. Rashleigh S.C. Origins and control of polarization effects in single-mode fibers //J. Lightwave Techn. 1983. - Vol. LT-1. - N 2. - P. 312-331.

20. Noda J. Polarization-maintaining fibers and their applications / J. Noda, K. Okamoto, Y. Sasaki //J. Lightwave Techn. 1986. - Vol. LT-4. - N 8. - P. 1071-1089.

21. Poole C.D. Statistical treatment of polarization dispersion in single-mode fiber // Opt. Lett. 1988. - Vol. 13. - N 8. - P. 687-689.

22. Gisin N. Polarization mode dispersion of short and long single-mode fibers / N. Gisin, J.P. Von der Wied, J.P. Pellaux // J. Lightwave Tech. 1991. - Vol. 9. - N 9. - P. 821-827.

23. Малыкин Г.Б. Поляризационные эффекты в кольцевых интерферометрах. / Г.Б. Малыкин, В.И. Позднякова Н. Новгород: ИПФ РАН, 2008. - 208 с.

24. Ландау Л.Д. Теоретическая физика, том И. Теория поля. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лиф-шиц М.: Физматлит, 2006. - 534 с.

25. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. - 512 с.

26. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом простанстве. / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман М.: Наука, 1966. - 544 с.

27. Лебедев А.В. Оператор рассеяния в ступенчатых волноводах и его кончномерные аппроксимации: Дипломная работа на степень баклавра. Нижегородский Государственный университет, факультет "Высшая школа общей и прикладной физики", Нижний Новгород, 2005.

28. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамович, И. Стиган. -М.: Наука, 1979. 832 с.

29. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. - 700 с.

30. Андреев А. Ф. Теплопроводность промежуточных состояний сверхпроводников // ЖЭТФ. 1964. - Т. 46. - С. 1823-1828.

31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 540 с.

32. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. / Пер. с англ. под ред. и с дополн. И. С. Каца и М. Г. Крейна М.: Мир, 1968. - 750 с.

33. Caroli С. Bound Fermion states on a vortex line in a type II superconductor / C. Caroli, P.G. de Genncs, J. Matricon // Phys. Lett. 1964. - Vol. 9(4). - P. 307-309.

34. Kahaner D. Numerical Methds and Software. / D. Kahaner, C. Moler, S. Nash PH Inc., 1989. - 504 pp.38. http://www.fftw.org

35. Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32. - Вып. 6. - С. 1442-1452.

36. Boato G. Direct evidence for quantized flux threads in type II superconductors / G. Boato, G. Gallinaro, C. Rizutto // Solid State Commun. - 1965. Vol 3(8). -P. 173-176.

37. Fink H.J. Magnetic irreversible solution of the Ginzburg-Landau equations / H.J. Fink, A.G. Presson // Phys. Rev. 1966. - Vol. 151. - P. 219-228.

38. Barnes L.J. Contribution of surface currents to magnetic hysteresis in the mixed state of a type II superconductor / L.J. Barnes, H.J. Fink // Physics Letters. 1966. -Vol. 20(6). - P. 583-584.

39. Fink H.J. Superheating of the meissner state and the giant vortex state of a cylinder of finite extent / H.J. Fink, A.G. Presson // Phys. Rev. 1968. Vol. 168. P. 399-402.

40. McLachlan D. S. I quantum oscillations and the order of the phase charge in a low type II superconducting microcylinder // Solid State Commun. 1970. - Vol. 8(20). -P. 1589-1593.

41. Sandier E. Vortices in the Magnetic Ginzburg-Landau Model / E. Sandier, S. Serfaty // Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Birkhauser, 2007. - Vol. 70. - 322 p.

42. Гинзбург В.Л. / В.Л. Гинзбург, Л.Д. Ландау // ЖЭТФ. 1950. - Т. 20. - С. 1064.

43. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000. - 402 с.

44. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М.: Физматлит, 2009. - 598 с.

45. Тинкхам М. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980. - 310 с.

46. Ландау Л.Д. Теоретическая физика, том V. Статистическая физика. Часть 1. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц М.: Физматлит, 2001. - 616 с.

47. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М.: Мир, 1968. - 280 с.

48. Schmid A. A time-dependent Ginzburg-Landau equation and its application to the problem of resistivity in the mixed state // Phys. Kond. Materie. 1966. - Vol. 5. -P. 302-317.

49. Abrahams E. Time variation of the Ginzburg-Landau order parameter / E. Abrahams, T. Tsuneto // Phys. Rev. 1966. - Vol. 152. - N 1. - P. 416-432.

50. Горьков Л.П. Обобщение уравнений теории Гинзбурга-Ландау для нестационарных задач в случае сплавов с парамагнитными примесями / Л.П. Горьков, Г.М. Элиашберг // ЖЭТФ. 1968. - Т. 54. - С. 612-626.

51. Горьков Л.П. Движение вихрей и электросопротивление сверхпроводников второго рода в магнтном поле / Л.П. Горьков, Н.Б. Копнин // УФН. 1975. - Т. 116. - Вып. 7. - С. 413-448.

52. Watts-Tobin R.J. Nonequilibrium theory of dirty, current-carrying superconductors: phase-slip oscillators in narrow filaments near Tc / R.J. Watts-Tobin, Y. Krahenbuhl, L. Kramer // J. Low. Temp. Phys. 1981. - Vol. 42. - P. 459-501.

53. Kopnin N.B. Theory of noneqilibrium superconductivity. Oxford: Clarendon Press, 2001. - 328 pp.

54. Clem J. R. Simple Model for the vortex core in a type II superconductor //J. Low Temp. Phys. 1975. - Vol. 18. - P. 427-434.

55. Gustafson S. The Stability of Magnetic Vortices / S.Gustafson, I.M. Sigal // Commun. Math. Phys. 2000. - Vol. 212. - P. 257-275.

56. Gustafson S. Dynamic stability of magnetic vortices // Nonlinearity. 2002. - Vol. 15.- N 5. P. 1717-1728.

57. Romaguera A.R. de C. Tilted vortices in a superconducting mesoscopic cylinder /A.R. de C. Romaguera, M.M. Doria, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 75. -P. 184525(1)-184525(12).

58. Romaguera A.R. de C. Transverse magnetization and torque in asymmetrical mesoscopic superconductors / A.R. de C. Romaguera, M.M. Doria, F.M. Peeters // Phys. Rev.B. 2007. - Vol. 76. - P. 020505(l)-020505(4).

59. Chen Y. Vortices in a mesoscopic cone: A superconducting tip in the presence of an applied field / Y. Chen, M.M. Doria, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 2008. - Vol. 77.- P. 054511(1)-054511(13).

60. Buzdin A.I. Vortex structures in small superconducting disks / A.I. Buzdin, J.P. Bri-son // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 196. - P. 267-271.

61. Akkermans E. Mesoscopic superconductors in the London limit: Equilibrium properties and metastability / E. Akkermans, D.M. Gangardt, K. Mallick // Phys. Rev. B. 2001.- Vol. 63. P. 064523(1)-064523(15).

62. Serfaty S. Vortices in the Ginzburg-Landau model of superconductivity // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006.

63. Baelus B.J. Saddle-point and energy barriers for vortex entrance and exit in superconducting disks and rings / B.J. Baelus, F.M. Peeters, V.A. Schweigert // Phys. Rev. B.- 2001. Vol. 63. - P. 144517(1)-144517(12).

64. Baelus B.J. Dependence of the vortex configuration on the geometry of mesoscopic flat samples / B.J. Baelus, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. -P. 104515(1)-104515(12).

65. Chibotaru L.F. Symmetry-induced formation of antivortices in mesoscopic superconductors / L.F. Chibotaru, A. Ceulemans, A.V. Bruyndoncx, V.V. Moshchalkov // Nature. 2000. - Vol. 408. - P. 833-835.

66. Singha Deo P. Magnetization of mesoscopic superconducting disks / P. Singha Deo, V.A. Schweigert, F.M. Peeters, A.K. Geim // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79. -P. 4653-4656.

67. Schweigert V.A. Vortex phase diagram for mesoscopic superconducting disks / V.A. Schweigert, F.M. Peeters, P. Singha Deo // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. -P. 2783-2786.

68. Schwcigert V.A. Phase transitions in thin mesoscopic superconducting disks / V.A. Schweigert, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 57. - P. 13817-13832.

69. Palacios J.J. Vortex matter in superconducting mesoscopic disks: Structure, magnetization, and phase transitions // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 58. - P. R5948-R5951.

70. Geim A.K. Fine Structure in Magnetization of Individual Fluxoid States / A.K. Geim, S.V. Dubonos, J.J. Palacios, I.V. Grigorieva, M. Henini, J.J. Schermer // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85. - P. 1528-1531.

71. Palacios J.J. Metastability and paramagnetism in superconducting mesoscopic disks // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - P. 1796-1799.

72. Palacios J.J. Effective lowest Landau level treatment of demagnetization in superconducting mesoscopic disks/ J.J. Palacios, F.M. Peeters, B.J. Baelus // Phys. Rev. B. -2001. Vol. 64. - P. 134514(1)-134514(6).

73. Little W.A. Observation of quantum periodicity in the transition temperature of a superconducting cylinder / W.A. Little, R.D. Parks // Phys. Rev. Lett. 1962. -Vol. 9. - P. 9-12.

74. Saint-James D. Onset of superconductivity in decreasing fields / D. Saint-James, P.G. Gennes // Phys. Lett. 1963. - Vol. 7. - P. 306-308.

75. Saint-James D. Etude du champ critique H& dans une geometrie cylindrique // Phys. Lett. 1965. - Vol. 15. - P. 13-15.

76. Bruyndoncx V. Giant vortex state in perforated aluminum microsquares / V. Bruyndoncx, J.G. Rodrigo, T. Puig, L. Van Look, V.V. Moshchalkov, R. Jonckheere // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 60. - P. 4285-4292.

77. Jadallah H.T. Phase transition curves for mesoscopic superconducting samples / H.T. Jadallah, J. Rubinstein, P. Sternberg // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82. -N 14 - P. 2935-2938.

78. Morelle M. Critical temperature oscillations in magnetically coupled superconducting mesoscopic loops / M. Morelle, V. Bruyndoncx, R. Jonckheere, V.V. Moshchalkov // Phys. Rev. B 2001. - Vol. 64. - P. 064516(1)-064516(7).

79. Moshchalkov V.V. Effect of sample topology on the critical fields of mesoscopic superconductors / V.V. Moshchalkov, L. Gielen, C. Strunk, R. Jonckheere, X. Qiu, C. van Haesendonck, Y. Bruynseraede // Nature. 1995. - Vol. 373. - R 319-321.

80. Geim A.K. Phase transitions in individual sub-micrometre superconductors /A.K. Geim, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, K.S. Novoselov, F.M. Peeters, V.A. Schweigert // Nature. 1997. - Vol. 390. - P. 259-262.

81. Yampolskii S.V. Vortex structure of thin mesoscopic disks with enhanced surface superconductivity / S.V. Yampolskii, F.M. Peeters // Phys. Rev. B 2000. - Vol. 62.- P. 9663-9674.

82. Hakim V. Giant vortices in the Ginzburg-Landau description of superconductivity / V. Hakim, A. Lemaitre, K. Mallick // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. -P. 134512(1)-134512(15).

83. Bonca J. Phase transitions in the mesoscopic superconducting square / J. Bonca, V.V. Kabanov // Phys. Rev. B 2002. - Vol. 65. - P. 012509(1)-012509(4).

84. Chibotaru L.F. Vortex entry and nucleation of antivortices in a mesoscopic superconducting triangle / L.F. Chibotaru, A. Ceulemans, V. Bruyndoncx, V.V. Moshchalkov // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 1323-1326.

85. Du Q. Solving the Ginzburg-Landau equations by finite-element methods / Q. Du, M.D. Gunzburger, J.S. Peterson // Phys. Rev. B. -1992. Vol. 46. - P. 9027(l)-9027(8).

86. Wang Z.D. Vortex states and dynamics of d-wave superconductor: Finite-eltmtnt analysis / Z.D. Wang, Q.-H. Wang // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 55. - P. 11756(1)-11756(10).

87. Kato R. Effects of the surface boundary on the magnetization process in type-II superconductors / R. Kato, Y. Enomoto, S. Mackawa // Phys. Rev. B. 1993 -Vol. 47(17). - P. 11391-11397.

88. Ustinov A.V. Solitons in Josephson junctions // Physica D. 1998. - Vol. 123. -P. 315-329.

89. Rayleigh J.W.S. Further applications of Bessel's functions of high order to the whispering gallery and allied problems // Philos. Mag. 1914. - Vol. 27. - P. 100-109.

90. McCall S.L. Whispering gallery mode microdisk lasers / S.L. McCall, A.F.J. Levi, R.E. Slusher, S.J. Pearton, R.A. Logan // Appl. Phys. Lett. 1991. - Vol. 60. -P. 289-291.

91. Davidson A. Experimental investigation of trapped sine-Gordon solitons / A. Davidson,B. Dueholm, B. Kryger, N. Pedersen // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55(19). -P. 2059-2062.

92. Martucciello N. Fluxon dynamics in long annular Josephson tunnel junctions / N. Martucciello, J. Mygind, V.P. Koshelets, A.V. Shchukin, L.V. Filippenko, R. Monaco // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 57(9). - P. 5444-5449.

93. Martucciello N. Annular Josephson tunnel junctions in an external magnetic field: The statics / N. Martucciello, R. Monaco // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 53. - P. 3471-3481.

94. Vernik I.V. Fluxon pinning in annular Josephson junctions by an external magnetic eld / I.V. Vernik, S. Keil, N. Thyssen, A.V. Ustinov, H. Kohlstedt, R.P. Huebener // J. Appl. Phys. 1997. - Vol. 81. - P. 1335-1340.

95. Lee J.U. Josephson vortex flow in superconducting single-crystal Bi2Sr2CaCu2Ox / J.U. Lee, J. Nordman, G. Hohenwarter // Appl. Phys. Lett. 1995. - Vol. 67(10). - P. 1471-1473.

96. Lee J.U. Observation of coherent modes of Josephson vortices in Bi2Sr2CaCu2Ox / J.U. Lee, P. Guptasarma, D. Hornbaker, A. El-Kortas, D. Hinks, K.E. Gray // Appl. Phys. Lett. 1997. - Vol. 71. - P. 1412-1414.

97. Irie A. Fiske and flux-flow modes of the intrinsic Josephson junctions in Bi2Sr2CaCu2Oy mesas / A. Irie, Y. Hirai, and G. Oya // Appl. Phys. Lett. 1998. -Vol. 72. - P. 2159-2161.

98. Krasnov V. Fiske steps in intrinsic Bi2Sr2CaCu208+ d stacked Josephson junctions / V. Krasnov, N. Mros, A. Yurgens, D. Winkler // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59. P. 8463-8466.

99. Hechtfischer G. Collective motion of Josephson vortices in intrinsic Josephson junctions in Bi2Sr2CaCu20s+y / G. Hechtfischer, R. Kleiner, K. Schlenga, W. Walkenhorst, P. Miiller, H.L. Johnson , Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 55(21). - P. 14638-14644.

100. Hechtfischer G. Non-Josephson emission from intrinsic Junctions in Bi2Sr2CaCu2Os,+y: Cherenkov radiation by Josephson vortices / G. Hechtfischer, R. Kleiner, A. Ustinov, P. Muller // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79(7). - P. 1365-1368.

101. Sakai S. Fluxons in thin-film superconductor-insulator superlattices / S. Sakai, P. Bo-din, N. Pedersen //J. Appl. Phys. 1993. - Vol. 73. - P. 2411-2418.

102. Bulaevskii L. Time-dependent equations for phase differences and a collective mode in Josephson-coupled layered superconductors / L.N. Bulaevskii, M. Zamora, D. Ba-eriswyl, H. Beck, J.R. Clem // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50(17). P. 12831-12834.

103. Kleiner R. Dynamic behavior of Josephson-coupled layered structures / R. Kleiner, P. Muller, H. Kohlstedt, N.F. Pedersen, S. Sakai // Phys. Rev. B 1994. - Vol. 50(6).- P. 3942-3954.

104. Kleiner R. Two-dimensional resonant modes in stacked Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50(10). - P. 6919-6923.

105. Ustinov A. Interlayer fluxon interaction in Josephson stacks / A. Ustinov, H. Kohlstedt // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54(9). - P. 6111-6114.

106. Artemenko S.N. Excitation of plasma oscillations during the motion of Josephson vortices in layered superconductors / S.N. Artemenko, S.V. Remizov // JETP Letters.- 1997. Vol. 66(12). - P. 853-859.

107. Ustinov A.V. Submillimeter-band high-power generation using multilayered Josephson junctions / A.V. Ustinov, S. Sakai // Appl. Phys. Lett. 1998. - Vol. 73. - P. 686-688.

108. Volkov A.F. Dynamics of fluxon lattice in two coupled Josephson junctions / A.F. Vol-kov, V.A. Glen // J. of Phys.: Cond. Matt. 1998. - Vol. 10. - P. L563.

109. Machida M. Collective dynamics of Josephson vortices in intrinsic Josephson junctions: exploration of in-phase locked superradiant vortex flow states / M. Machida, T. Koya-ma, A. Tanaka, and M. Tachiki // Physica C. 2000. - Vol. 330. - P. 85-93.

110. Koshelev A.E. Resonances, instabilities, and structure selection of driven Josephson lattice in layered superconductors / A.E. Koshelev, I.S. Aranson // Phys. Rev. Lett. -2000. Vol. 85. - P. 3938-3941.

111. Kleiner R. Stacked long Josephson junctions in zero magnetic field: A numerical study of coupled one-dimensional sine-Gordon equations / R. Kleiner, T. Gaber, G. Hechtfischer // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 62(6). - P. 4086-4095.

112. Bulaevskii L.N. Linewidth of c-axis plasma resonance in Josephson-coupled superconductors / L.N. Bulaevskii, D. Dominguez, M.P. Maley, A.R. Bishop, O.K.C. Tsui, N.P. Ong // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54. - P. 7521-7535.

113. Koyama T. I-V characteristics of Josephson-coupled layered superconductors with longitudinal plasma excitations / T. Koyama, M. Tachiki // Phys. Rev. B. 1996.- Vol. 54. P. 16183-16191.

114. Artemenko S.N. Intrinsic Josephson effect and violation of the Josephson relation in layered superconductors / S.N. Artemenko, A.G. Kobelkov // Phys. Rev. Lett. 1997.- Vol. 78(18). P. 3551-3554.

115. Ryndyk D.A. Collective dynamics of intrinsic Josephson junctions in high-Tc superconductors // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80(15). - P. 3376-3379.

116. Рындык Д.А. Неравновесный эффект Джозефсона в системах тунельных сверхпроводниковых контактов и в слоистых сверхпроводниках // ЖЭТФ. 1999. - Т. 116. - С. 1798-1816.

117. Mel'nikov A.S. Inertial mass and viscosity of tilted vortex lines in layered superconductors // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77. - P. 2786-2789.

118. Вентцсль А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин М.: Наука, 1979. - 424 с.

119. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука. Физматлит, 1996.- 400 с.

120. Чжун К. Введение в стохастическое интегрирование. / К. Чжун, Р. Уильяме М.: Мир, 1987. - 152 с.

121. Стратонович P. JI. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник Московского ун-та. 1964. - Т. 1. - С. 3-12.

122. Wong E. On the convergence of ordinary integrals to stochatic integrals / E. Wong, M. Zakai // The Annals of Mathematical Statistics. 1965. - Vol.36. - N 5. -P. 1560-1564.

123. Guillermo F. Wong-Zakai-type theorem for certain discontinuouse semimartingals // Journal of theoretical probability. 1989. - Vol. 2. - N 3. - P. 313-323.

124. Wyatt J.L. Nonlinear device noise models: satisfying the thermodynamic requirements / J.L. Wyatt, G.J. Coram // IEEE Transaction On Electron Devices. 1999. - Vol. 46.- N 1. P. 184-193.

125. Ao P. Emerging of stochastic dynamical equalities and steady state thermodynamics from Darwinian dynamics // Commun. Theor. Phys (Beijing, China). 2008. - Vol. 49.- P. 1073-1090.

126. Ao P. Potential in stochastic differential equations: novel construction //J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - Vol. 37. - P.L25-L30

127. Лифшиц E.M. Теоретическая физика, том IX. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский М.: Физматлит, 2004. - 496 с.

128. Gliklikh Yu.E. Ordinary and stochastic differential geometry as a tool for mathematical physics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. - 205 p.

129. Стратонович P. Л. Условные Марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М: МГУ, 1965. - 319 с.

130. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. М.: Мир, 1989. - 463 с.

131. Evans L.C. An Introduction to Stochastic differential equations. UC Berkeley, 2006.- 139 p.

132. Newell A.J. A generalization of the demagnetizing tensor for nonuniform magnetization / A.J. Newell, W. Williams, D.J. Dunlop // Journal of Geophysical Research. -1993. Vol. 98. - N 86. - P. 9551-9555.

133. Залогин A.H. Распространение немонохроматического излучения в анизотропных одномодовых волоконных световодах / А.Н. Залогин, С.М. Козел, В.Н. Листвин // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. - Т. 29. - № 2. - С. 243-245.

134. Малыкин Г.Б. Распространение немонохроматического излучения в изотропных одномодовых световодах со слабым наведенным двулучепреломлением // Изв. вузов. Радиофизика. 1992. - Т. 35. № 11-12. - С. 993-997.

135. Кочаровский В.В. Поляризация света и линейное взаимодействие винтовых мод в скрученных волокнах со случайными неоднородностями / В.В. Кочаровский, Вл.В. Кочаровский, Ю.М. Миронов, В.Ю. Зайцев // Изв. РАН. сер. физ. 1998. -Т. 62. - № 2. - С. 362-371.