Переопределенные граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Плещинский, Илья Николаевич

• Плещинский, Илья Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Плещинский, Илья Николаевич

Введение.

Глава 1. Граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельм-гольца в полосе.

§1. Задача дифракции на перегородке в плоском волноводе.

§2. Криволинейная граница. Метод интегральных тождеств.

§3. Усечение бесконечной области. Конечно-разностная аппроксимация.

Глава 2. Граничные задачи и задачи сопряжения для системы уравнений Максвелла в цилиндрических областях.

§4. Система уравнений Максвелла в полубесконечной цилиндрической области.

§5. Разветвление цилиндрического волновода.

§6. Задачи для системы уравнений Максвелла в прямоугольной цилиндрической области

Глава 3. Сопряжение полуоткрытых диэлектрических волноводов.

§7. Задача сопряжения для уравнения Гельмгольца в слоистой полуплоскости

§8. Моды полуоткрытого диэлектрического волновода.

§9. Приближенный метод решения задачи сопряжения.

Глава 4. Переопределенные граничные задачи для уравнения Гельмгольца

§10. Граничная задача для уравнения Гельмгольца в смещенной четверти плоскости

§11. Граничная задача для уравнения Гельмгольца в полуполосе.

§12. Переопределенные задачи в слоистых четвертях плоскости и интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Переопределенные граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла»

В диссертации исследованы граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла, которые используются при описании процессов распространения и дифракции электромагнитных волн в волновод-ных структурах. Основная цель работы — распространить метод переопределенной граничной задачи на новые классы задач волноводной электродинамики: задачи сопряжения полей с криволинейными границами раздела сред; трехмерные задачи для волноводов произвольного сечения с металлическими стенками и задачи о стыке открытых диэлектрических волноводов.

Метод переопределенной граничной задачи представляет собой модификацию метода частичных областей, который широко используется при исследовании задач математической физики. Если область, в которой рассматривается электромагнитное поле, может быть разбита на отдельные подобласти, то на разделяющих их поверхностях должны быть непрерывны касательные составляющие векторов напряженно-стей электрического и магнитного поля. В двумерном случае на границе раздела сред должны быть непрерывны потенциальная функция (решение уравнения Гельмгольца) и ее нормальная производная. Во многих случаях целесообразно рассматривать в частичных областях вспомогательные граничные задачи, в которых на всей границе или, может быть, только на некоторой ее части, заданы все те величины, которые участвуют в условиях сопряжения. Такие задачи являются переопределенными, поскольку условий на границе задается заведомо больше, чем нужно для выделения единственного решения. Необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенных задач задают зависимости между граничными функциями. Эти условия вместе с условиями сопряжения на общих участках границ частичных областей образуют систему функциональных уравнений, интегральных или сумматорных, которая сводится в дальнейшем к регулярному интегральному уравнению или бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ).

Метод переопределенной граничной задачи стал использоваться при исследовании задач теории распространения и дифракции волн после публикации двух работ. В статье И.Е.Плещинской и Н.Б.Плещинского [64] были получены условия разрешимости ряда переопределенных граничных задач Коши для эллиптических уравнений с частными производными и с их помощью исследованы некоторые задачи сопряжения, в том числе и задача дифракции электромагнитной волны на металлической пластине в плоском волноводе. В работе Н.Б.Плещинского и Д.Н.Тумакова [46] методом переопределенной граничной задачи были решены задачи дифракции электромагнитных волн на металлической полосе, на периодической решетке и на стыке плоских волноводов разной толщины.

Одной из первых была исследована переопределенная задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости. Методом интегрального преобразования Фурье в пространстве распределений медленного роста на бесконечности было получено, что необходимое и достаточное условие разрешимости этой задачи представляет собой простое равенство, которое связывает образы Фурье граничных функций. Было установлено, что условие на бесконечности (условие излучения), обеспечивающее единственность решения граничных задач для уравнения Гельмгольца в полуплоскости, может быть задано в аналогичной форме. Если от образов Фурье перейти к исходным граничным функциям, то условия разрешимости переопределенной задачи вместе с условием на бесконечности превращаются в пару взаимно обращающих друг друга интегральных уравнений (интегральных тождеств). В периодическом случае связи между граничными функциями в переопределенных задачах могут быть сформулированы как зависимости между их коэффициентами Фурье, а интегральные тождества становятся сумматорными (точнее, интегралыю-сумматорными).

В работах А.Махера, И.Е.Плещинской, Н.Б.Плещинского, О.А.Раскиной, Д.Н.Ту-макова и автора диссертации метод переопределенной граничной задачи использовался при исследовании различных координатных задач электродинамики (граничную задачу называют координатной, если границы частичных областей являются координатными линиями или поверхностями). Методом интегрального преобразования Фурье были получены необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенной задачи Коши в полосе и решение задачи о скачке на границе раздела сред в плоскослоистой среде [6-3], [22], [18], [19]. Задача Коши в четверти плоскости (квадранте) и задача сопряжения двух квадрантов рассматривалась в работах [G9], [47]. В работах [48], [70] задача о разветвлении плоского волновода методом интегрально-сумматорных тождеств сведена к БСЛАУ, приближенное решение которой может быть найдено методом усечения. Граничные задачи для системы уравнений Максвелла в полупространстве исследованы в работах [26], [40] (см. также обзор [28]).

Метод переопределенной граничной задачи был перенесен на задачи теории распространения и дифракции упругих волн в слоистых средах. Двумерный случай был подробно исследован в работах [44], [45] а трехмерный — в препринте [27]. Аналогичный подход при сведении задач дифракции упругих волн на линейных дефектах использовала А.А.Гусенкова [7]. В работах Д.Н.Тумакова с помощью условий разрешимости переопределенной задачи для системы уравнений плоской теории упругости в полосе были изучены собственные колебания упругой полосы, в том числе и составленной из двух частей.

Различные подходы к решению задач сопряжения для уравнений с частными производными методом переопределенной граничной задачи обсуждались в обзорных статьях [41], [68], [42]. В обзоре [28], п.9 перечислены также некоторые задачи для гиперболических и параболических уравнений, для исследования которых был использован метод переопределенной граничной задачи.

В главах диссертации имеется обзор публикаций по каждому из направлений исследований, проведенных при выполнении работе.

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенной граничной задачи для уравнения Гельмгольца в полуполосе с криволинейным срезом. Задача дифракции электромагнитной волны на криволинейной перегородке в плоском волноводе сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.

2. Доказано, что задача дифракции электромагнитной волны на ограниченной неоднородности в плоском волноводе эквивалентна граничной задаче для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике с нелокальными граничными условиями на боковых стенках. Предложен алгоритм численного решения задачи дифракции на перегородке в волноводе, основанный на конечно-разностной аппроксимации граничной задачи в прямоугольнике.

3. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенной граничной задачи для системы уравнений Максвелла в полуцилиндрической области с криволинейным срезом. Метод переопределенной граничной задачи распространен на задачу о разветвлении цилиндрического волновода с металлическими стенками и на задачу дифракции электромагнитной волны на криволинейной перегородке в цилиндрическом волноводе.

4. Найдены собственные волны полуоткрытого диэлектрического волновода (дискретного и непрерывного спектра) и доказано, что система таких собственных волн является ортогональной и полной. Предложен приближенный метод решения задачи сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов.

5. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости и интегральные представления решений переопределенных граничных задач для уравнения Гельмгольца в смещенной четверти плоскости, в полуполосе и в слоистой четверти плоскости. Задача сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов сведена к эквивалентному интегральному уравнению.

В диссертации используются в качестве исходных постановок граничных задач и задач сопряжения общепринятые формулировки задач электродинамики: нужно найти решения системы уравнений Максвелла или уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие граничным условиям и условиям сопряжения на границе раздела сред, а также условиям на бесконечности в случае неограниченной области. Поэтому основное внимание уделяется не вопросам существования и единственности решений, а разработке таких методов исследования, на основе которых могут быть построены эффективные алгоритмы численного решения рассматриваемых задач. Методы исследования задач для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла таковы, что не требуется задавать дополнительно какие-либо условия на ребре.

Классы искомых функций выбираются следующим образом. Если исследуемая волноводная структура имеет полную систему собственных волн (главы 1-3), то предполагается, что искомое решение может быть представлено в виде разложения (ряда) по собственным волнам. Операции над суммами таких рядов выполняются формально. В зависимости от того, в каком смысле сходится построенный ряд по собственным функциям, найденное решение будет обобщенным или классическим. Но уравнение Гельмгольца и система Максвелла (для комплексных амплитуд) являются эллиптическими уравнениями с частными производными. Поэтому при достаточной гладкости граничных функций обобщенные решения совпадут с классическими.

Иногда требуется сделать специальное предположение о том, в каком смысле понимается предельное значение (след) решения рассматриваемого уравнения на границе области определения. В самом общем случае (при наличии проводящих экранов на границе раздела сред) предельный переход должен пониматься в смысле теории распределений. Хотя достаточно считать, что искомые решения принадлежат классу локально интегрируемых в области функций и их предельные значения на границе области корректно определены в обычном смысле почти всюду, при переходе к распределениям функции двух переменных нужно рассматривать как обобщенные функции одной из переменных, значения которых — распределения.

В главе 4 переход к распределениям связан с использованием при исследовании переопределенных задач для уравнения Гельмгольца техники интегрального преобразования Фурье в классе распределений медленного роста на бесконечности. Волновые процессы всюду в диссертации рассматриваются в средах без затухания. Поэтому даже для бесконечно дифференцируемых функций егах при вещественном а образы Фурье — сингулярные распределения.

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что для всех рассмотренных граничных задач и задач сопряжения волноводной электродинамики получены эквивалентные им более простые с вычислительной точки зрения задачи: бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, регулярные интегральные уравнения или граничные задачи в ограниченной области, допускающие конечно-разностную аппроксимацию. В работе предложены численные алгоритмы для их решения. Были проведены вычислительные эксперименты, подтвердившие эффективность численных методов. Некоторые из результатов контрольных расчетов включены в текст диссертации. Выделены простые частные случаи, когда решения задач сопряжения могут быть найдены аналитически и, следовательно, могут быть использованы при тестировании алгоритмов и отладке программ.

В первой главе исследована двумерная задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны на перегородке в плоском волноводе (на криволинейной границе раздела сред с тонким металлическим экраном). В §1 дана постановка задачи и рассмотрен ее частный случай, когда перегородка в волноводе вертикальная. В этом параграфе содержатся некоторые из результатов работы Н.Б.Плещинского и Д.Н.Тумакова [46]: постановка переопределенной задачи Коши-Дирихле для уравнения Гельмгольца в полуполосе, вывод необходимых и достаточных условий разрешимости этой задачи в форме интегральных и интегрально-сумматорных тождеств, явное решение задачи о скачке для уравнения Гельмгольца в полосе, эквивалентные исходной задаче дифракции интегральные уравнения двух основных типов и бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомого поля по собственным волнам. В §2 рассмотрен случай криволинейной границы раздела сред. Найдена связь между следами потенциальной функции поля и ее производной по нормали на криволинейном срезе полуполосы (условие разрешимости переопределенной задачи) в форме интегральных и интегрально-сумматорных тождеств. Методом переопределенной граничной задачи исходная задача дифракции волны на криволинейной границе раздела сред сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, для численного решения которой может быть применен метод усечения. Рассмотрен частный случай -наклонная граница раздела сред. В §3 показано, что исследуемая задача дифракции эквивалентна граничной задаче для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике с нелокальными граничными условиями на боковых сторонах. Построена конечно-разностная аппроксимация граничной задачи в прямоугольнике. Предложен численный алгоритм, основанный на методе прогонки.

Во второй главе метод переопределенной граничной задачи перенесен на трехмерную задачу дифракции электромагнитной волны на перегородке в волноводе произвольного сечения с металлическими стенками. В §4 показано, что любое решение системы уравнений Максвелла в полубесконечном волноводе с плоским поперечным срезом может быть разложено по собственным волнам бесконечного волновода. Построен алгоритм восстановления поля по его касательным составляющим на срезе, получено необходимое и достаточное условие разрешимости переопределенной граничной задачи в полубесконечной цилиндрической области с условиями Копта на торце. С помощью условий разрешимости в §5 задача дифракции электромагнитной волны на разветвлении волновода произвольного сечения с металлическими стенками сведена к регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. В качестве примера рассмотрена задача о разветвлении прямоугольного волновода, эта задача решена численно, приведены результаты расчета. В §6 рассмотрен общий случай, когда граница раздела сред в цилиндрическом волноводе — произвольная гладкая поверхность. Получена связь между касательными составляющими электрического и магнитного поля на границе, которая может быть использована при решении ряда задач дифракции на перегородках в волноводе, на его разветвлении и на других неоднородностях.

В третьей главе метод вспомогательной переопределенной задачи распространен на задачу о стыке полуоткрытых диэлектрических волноводов. Как известно, открытые и полуоткрытые волноводные структуры отличаются от волноводов с металлическими стенками тем, что в полном наборе собственных волн содержатся моды дискретного спектра и моды непрерывного спектра. В §7 дана постановка задачи сопряжения решений уравнения Гельмгольца с разрывным коэффициентом в слоистой полуплоскости. Непосредственно к этой задаче сводится задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны, набегающей на стык полуоткрытых диэлектрических волноводов. В §8 методом разделения переменных найдены все моды полуоткрытого диэлектрического волновода, относящиеся как к дискретному, так и к непрерывному спектру. Суперпозиция всех мод представлена в виде интеграла по сложному контуру на комплексной плоскости, состоящему из полуоси, отрезка прямой и конечного множества изолированных точек. Показано, что моды полуоткрытого диэлектрического волновода образуют ортогональную систему функций: получена формула для вычисления скалярного произведения и найдены его значения при различных вариантах выбора перемножаемых функций. В §9 задача сопряжения полуоткрытых волноводов рассмотрена в приближении волноводных мод, она сведена к конечной системе линейных алгебраических уравнений. Приведены результаты вычислительного эксперимента. Построен приближенный метод решения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов, основанный на аппроксимации искомой амплитуды волн непрерывного спектра разложениями по ортогональным полиномам.

В четвертой главе исследованы три переопределенные граничные задачи для уравнения Гельмгольца в областях с координатными границами. В §10 и §11 методом интегрального преобразования Фурье получены условия разрешимости граничных задач для уравнения Гельмгольца в смещенной четверти плоскости и в полуполосе. Связи между граничными функциями получены в форме равенств, в которых участвуют их образы Фурье. Построены интегральные представления решений граничных задач и исследованы их свойства. Уточнены и дополнены некоторые результаты, полученные ранее в работе [47]. В §12 рассмотрена граничная задача для уравнения Гельмгольца в четверти плоскости, составленной из полуполосы и смещенной четверти плоскости. Получено интегральное представление решения этой задачи в виде интеграла по контуру на комплексной плоскости, что дает основание считать: полученная в главе 3 система собственных волн полуоткрытого диэлектрического волновода является полной. Задача дифракции электромагнитной волны на стыке полуоткрытых диэлектрических волноводов сведена к эквивалентным ей интегральным уравнениям.

Результаты диссертации докладывались на I и II Молодежных научных школах-конференциях "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в вол-новодных структурах" (Казань, Юдино, 19-22 октября 2000 г. и Казань, 14-16 октября 2002 г.), на научной конференции "Проблемы современной математики", посвященной 125-летию КГПУ (Казань, 22-24 октября 2001 г.), на Молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (Казань, 19-23 ноября 2001 г.), на научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики" (г.Казань, 30.01.2002 - 06.02.2002 г.), at the 9th, 10th and 11th International Conferences on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET) (Kiev, Ukraine Sept. 10-13, 2002; Dniepropetrovsk, Ukraine Sept. 14-17, 2004; Kharkov, Ukraine June 26 - Yule 1, 2006), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 г.), на Четвертой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2005" (Казань, 16-18 декабря 2005 г.), на студенческих научных конференциях и Итоговых научных конференциях КГУ, на семинарах кафедры прикладной математики и отдела прикладной математической физики НИИММ им. Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [29], [30], [65], [36], [37], [66], [31], [32], [33], [34], [35], [67], [38], [39]. Результаты написанных совместно с научным руководителем работ принадлежат авторам в равных долях.

Автор благодарен научному руководителю профессору Н. Б. Плещи некому за постановку задач и помощь при проведении исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Плещинский, Илья Николаевич, 2007 год

1. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов / М. Адаме. — М.: Мир, 1984. - 512 с.

2. Боголюбов А.Н. Применение итерационного метода к исследованию плоских волноводов с неоднородным заполнением / А.Н. Боголюбов, А.Г. Свешников // Ж. вычисл мат. и мат. физ. — 1974. — Т.14, №4. — С.947-954.

3. Введение в интегральную оптику / Ред. М. Барноски. — М.: Мир, 1977. — 368 с.

4. Веселов Г.И. Решение задачи дифракции на наклонной диэлектрической пластине / Г.И. Веселов, O.K. Ильинская // Изв. вузов. Радиофиз. — 1975. — T.XVIII, М. С.1157-1163.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1988. 512 с.

6. Гончаренко A.M. Основы теории оптических волноводов / A.M. Гончаренко, В.А. Карпенко. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 240 с.

7. Гусенкова А.А. Метод потенциальных функций в задачах теории упругости для тел с дефектом / А.А. Гусенкова // ПММ. 2002. - Т.бб. - Вып.З. - С.470-480.

8. Давыдов А.С. Квантовая механика / А.С. Давыдов. — М.: Наука, 1973. — 704 с.

9. Ильинский А.С. Метод интегральных уравнений в задаче о дифракции волн на наклонной границе раздела двух сред в волноводе / А.С. Ильинский, А.А. Воронцов // Вычисл. методы и программирование, вып. 28. — 1978. —- С.177-194.

10. Ильинский А.С. Математические модели электродинамики / А.С. Ильинский, В.В. Кравцов, А.Г. Свешников — М.: Высшая школа, 1991.

11. Ильинский А.С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции) / А.С. Ильинский, Ю.Г. Смирнов. М.: ИПРЖР, 1996. - 176 с.

12. Капилевич Б.Ю. Отражение от диэлектрического клина в прямоугольном волноводе / Б.Ю. Капилевич, Н.С. Симин // Изв. вузов. Радиофиз. — 1976. — 19, №1. С.135-140.

13. Карпенко В.А. Дифракция поверхностных волн на стыке двух тонкоиленочных волноводов / В.А. Карпенко // Докл. АН БССР. 1977. - Т. 21, №8. - С.687-690.

14. Кириленко А.А. Сочетание различных методов полуобращения в задаче о наклонной диафрагме / А.А. Кириленко// Докл. АН УССР. Сер. А. — 1980. — т. С.60-64.

15. Кириленко А.А. Дифракция волн на наклонной границе диэлектрических сред в прямоугольном волноводе / А.А. Кириленко, J1.A. Рудь // Радиотехн. и электрон. 1977. - 22, №10. - С.2057-2067.

16. Кузнецов Ю.А. Решение уравнения Гельмгольца методом фиктивных областей / Ю.А. Кузнецов, A.M. Мацокин // Вычисл. методы лин. алгебры. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. С.127-144.

17. Курант Р. Методы математической физики. Т.1. / Р. Курант, Д. Гильберт — М.-Л.: ГИТТЛ, 1951. 476 с.

18. Махер А. Дифракция электромагнитной волны на системе металлических лент в плоскослоистой среде / А. Махер // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т.13. Казанск. матем. об-во. Казань: Изд-во "ДАС", 2001. - С.142-148.

19. Миттра Р. Аналитические методы теории волноводов / Р. Миттра, С. Ли — М.: Мир, 1974. 328 с.

20. Интегральная оптика / Ред. Т. Тамир. — М.: Мир, 1978. — 344 с.

21. Махер А. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскослоистой среде и ее приложения / А. Махер, Н.Б. Плещинский // Изв. вузов. Матем. — 2002. — М. С.45-56.

22. Маркузе Д. Оптические волноводы / Д. Маркузе. — М.: Мир, 1974. — 574 с.

23. Немчинов С.В. Прямой метод повышенной точности решения краевых задач для уравнения Гельмгольца на сетке точек в прямоугольнике / С.В. Немчинов, СЛ. Либов// Ж. вычисл мат. и мат. физ. 1964. - 4, №4. - С.771-773.

24. Нефедов Е.И. Расчет пологих диэлектрических вставок в прямоугольном волноводе / Е.И. Нефедов// Радиотехн. и электрон. 1962. - Т.7, №5. - С.801-807.

25. Плещииская И.Е. Задача Коши для системы уравнений динамической теории упругости в полупространстве и ее приложения / И.Е. Плещииская, Н.Б. Пле-щинский // Препринт ПМФ-05-03. — Казань: Казанск. матем. об-во, 2005. — 30 с.

26. Плещииская И.Е. Переопределенные граничные задачи для эллиптических уравнений с частными производными и их применение в теории дифракции волн / И.Е. Плещииская, Н.Б. Плещинский // Ученые записки Казанского гос. ун-та.- 2005. Т. 147, кн. 3. - С.4-32.

27. Плещинский И.Н. Задача сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов / И.Н. Плещинский, Н.Б. Плещинский // Препринт ПМФ-06-03. Казань: Казанск. матем. об-во, 2006. — 34 с.

28. Плещинский И.Н. Интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов / И.Н. Плещинский, Н.Б. Плещинский // Изв. вузов. Матем. 2007. - №5. - С.61-80.

29. Плещинский Н.Б. Уравнение Гельмгольца в полуплоскости и скалярные задачи дифракции электромагнитных волн на плоских металлических экранах / Н.Б. Плещинский // Препринт ПМФ-03-02. — Казань: Казанск. матем. об-во, 2003. -30 с.

30. Плещинский Н.Б. Отражение, преломление и дифракция двумерных упругих волн. Метод переопределенной задачи Коши / Н.Б. Плещинский // Препринт ПМФ-04-01. — Казань: Казанск. матем. об-во, 2004. — 34 с.

31. Плещинский Н.Б. Метод частичных областей для скалярных координатных задач дифракции электромагнитных волн в классах обобщенных функций / Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков // Препринт 2000-1. Казанское матем. об-во. — Казань, 2000. 50 с.

32. Плещинский Н.Б. Граничные задачи для уравнения Гельмгольца в квадранте и в полуплоскости, составленной из двух квадрантов / Н.Б. Плещинский, Д.Н. Тумаков // Изв. вузов. Матем. 2004. - №7. - С.63-74.

33. Свешников А.Г. Расчет плоского волноводного трансформатора конечно-разностным методом / А.Г. Свешников, А.Н. Боголюбов// Вычисл. методы и программирование, вып. 28. — 1978. — С.118-133.

34. Снайдер А. Теория оптических волноводов / А. Снайдер, Дж. Лав. — М.: Радио и связь, 1987. — 656 с.

35. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.-Л., ГИТТЛ, 1951. - 660 с.

36. Треногин В.А. Функциональый анализ / В.А. Треногин. — М.: Наука, 1980. — 496 с.

37. Тумаков Д.Н. Задачи сопряжения решений уравнения Гельмгольца в координатных областях / Д.Н. Тумаков. — Дисс. . .канд. физ.-мат. и. — Казань, 2002.- 127 с.

38. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы / Х.-Г. Унгер. — М.: Мир, 1980. 656 с.

39. Швингер Ю. Неоднородности в волноводах (конспект лекций) / Ю. Швингер // Зарубеж. радиоэлектрон. — 1970. — №3. — С.3-106.

40. Шестопалов В.П. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн / В.П. Шестопалов. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1971. 400 с.

41. Шестопалов В.П. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции / В.П. Шестопалов, А.А. Кириленко, С.А. Масалов. — Киев: Наукова думка, 1984.- 296 с.

42. Chow Y.L. A moment method with mixed basis functions for scattering by waveguide junctions / Y.L. Chow, S.C. Wu // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. — 1973. 21, №. - P.333-340.

43. Clarricoats P.I.B. Modal matching applied to a discontinuity in a planar surface waveguide / P.I.B. Clarricoats, A.B. Sharpe // Electr. Lett. 1972. - Vol. 8, No. 1. -P.28-32.

44. Hockham G.A. Dielectric-waveguide discontinuities / G.A. Hockham, A.B. Sharpe // Electr. Lett. 1972. - Vol. 8, No 9. - P.230-231.

45. De Jong G. Reflection and transmission by a slant interface between two media in a rectangular waveguide / G. De Jong, W. Oflringa // Int. J. Electron. — 1973. — 34, №4. P.453-463.

46. Kashyap S.C. Slant dielectric interface discontinuity in a waveguide / S.C. Kashyap // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1975. - 23, №2. - P.257-260.

47. Maher A. Plane electromagnetic wave scattering and diffraction in a stratified medium / A. Maher, N.B. Pleshchinskii// Proc. Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET 2000. Kharkov, Ukraine, Sept. 12-15, 2000. V.2.- P.426-428.

48. Raskina O.A. Electromagnetic wave diffraction on an N-branching of a plane waveguide / O.A. Raskina, D.N. Tumakov // Proc. Int. Conf. Mathematical Methods in Electromagnetic Theory MMET 2000. Kharkov, Ukraine, Sept. 12-15, 2000. V.2.- P.400-402.

49. Rozzi Т.Е. Rigorous analysis of the step discontinuity in a planar dielectric waveguide / Т.Е. Rozzi // IEEE Trans. Microwave Theory and Techn. 1978. - 26, No 10.- P.738-746.