Одноэтапная задача проектирования оптимальных химико-технологических систем с вероятностными ограничениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Первухин, Денис Дмитриевич

• Первухин, Денис Дмитриевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Первухин, Денис Дмитриевич

Оглавление

Введение

1. Обзор подходов к решению задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности исходной информации

1.1. Общая постановка задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем (ХТС)

1.2. Классификация неопределенных параметров

1.3. Учет неопределенности на различных этапах жизненного цикла ХТС

1.3.1. Неопределенность на этапе проектирования

1.3.2. Неопределенность на этапе функционирования

1.4. Постановка задачи проектирования оптимальной ХТС с учетом неопределенности

1.4.1. Учет неопределенности с помощью коэффициентов запаса

1.4.2. Способы учета неопределенности в постановке задачи проектирования

1.4.3. Математические модели задач с учетом неопределенности

1.5. Одноэтапная и двухэтапная постановки задачи с учетом неопределенности

1.6. Подходы к решению ОЭЗО с учетом неопределенности

1.6.1. Численные методы интегрирования

1.6.2. Сведение вероятностных зависимостей к детерминированным

1.7. Методы решения задач оптимизации в условиях неопределенности

1.7.1. Детерминированные методы оптимизации

1.7.2. Стохастические методы оптимизации

1.7.3. Эвристики

1.8. Задачи полубесконечного программирования

1.8.1. Метод внешней аппроксимации

Выводы к главе 1

2. Подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС, основанный на получении нижней оценки критерия

2.1. Аппроксимация критерия в одноэтапной задаче проектирования оптимальной ХТС

2.1.1. Аппроксимация критерия константой на области неопределенности

2.1.2. Линейная аппроксимация критерия на области неопределенности

2.1.3. Уточнение аппроксимации критерия

2.1.4. Выбор способа разбиения области на подобласти

2.1.5. Задача выбора подобласти с наихудшей аппроксимацией критерия

2.1.6. Случай независимости неопределенных параметров

2.2. Преобразование вероятностных ограничений в детерминированные

2.2.1. Аппроксимация линейных ограничений

2.2.2. Аппроксимация нелинейных ограничений

2.2.3. Уточнение получаемой нижней оценки

2.2.4. Задачи выбора подобласти, подлежащей разбиению

2.2.5. Алгоритм решения задачи

2.3. Численный эксперимент исследования эффективности предложенного подхода

2.3.1. Постановка одноэтапной задачи оптимизации для проектирования системы реактор-теплообменник

2.3.2. Исследование критерия задачи (2.40) на выпуклость по параметрам ^

2.3.3. Одноэтапная задача оптимизации с кусочно-постоянной аппроксимацией критерия

2.3.4. Решение задачи с кусочно-линейной аппроксимацией критерия

2.3.5. Решение одноэтапной задачи с аппроксимацией критерия по фиксированному набору аппроксимационных точек

Выводы к главе 2

3. Подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС,

основывающийся на получении верхней оценки критерия

3.1. Разработка подхода к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС

3.1.1. Формализация задачи верхней оценки одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС

3.1.2. Приведение задачи верхней оценки к задаче полубесконечного программирования

3.1.3. Уточнение верхней оценки критерия задачи

3.1.4. Модификация метода внешней аппроксимации для решения одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС на основе подхода, дающего верхнюю оценку критерия одноэтапной задачи оптимиазции

3.1.5. Выбор подобластей выполнения ограничений, подлежащих разбиению

3.1.6. Алгоритм модифицированного метода внешней аппроксимации решения задачи

3.1.7. Случай отличного от нормального распределения неопределенных параметров

3.2. Апробация разработанного подхода к решению задачи проектирования оптимальных ХТС на модельных примерах

3.2.1. Решение задачи проектирования оптимальной системы реакторов

3.2.2. Решение задачи проектирования оптимальной системы теплообменников

3.2.3. Решение задачи оптимизации системы реактор-теплообменник

Выводы к главе 3

4. Проектирование оптимальной системы биологической очистки сточных вод

4.1. Описание технологической системы биологической очистки сточных вод

4.2 Математическая модель СБОСВ

4.2.1. Построение информационной блок-схемы СБОСВ

4.2.2. Построение математической модели аэротенка и регенератора

4.2.2. Построение математической модели вторичного отстойника

4.3. Формирование области неопределенности

4.4. Постановки задач исследования СБОСВ

4.5. Оценка работоспособности существующей СБОСВ

4.6. Проектирование оптимальной СБОСВ с учетом частичной

неопределенности в исходной информации

Выводы к главе 4

Основные результаты и выводы

Список литературы

Приложения

А - вспомогательные таблицы для примера проектирования системы реактор-

теплообменник

Б - вспомогательные таблицы для примера проектирования системы

теплообменников

В - решение задачи оптимизации с линейными функциями в одноэтапной

постановке с вероятностными ограничениями

Г - решение задачи оптимизации с квадратичным критерием в одноэтапной

постановке с вероятностными ограничениями

Д - свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Одноэтапная задача проектирования оптимальных химико-технологических систем с вероятностными ограничениями»

Введение

В последние годы использование ЭВМ для решения задач анализа, моделирования и оптимизации приобрело повсеместный характер. Это обусловлено оптимизацией алгоритмов и методов, используемых в программных продуктах, накоплением математических моделей различных процессов и аппаратов. С другой стороны на этот процесс несомненно влияет бурное развитие вычислительной техники: повышение тактовых частот и распространение многоядерных процессоров, а также адаптация алгоритмов к параллельному вычислению привели к резкому увеличению количества производимых в секунду операций. Все это позволяет относительно быстро и точно смоделировать функционирование и оценить эффективность химико-технологической системы (ХТС).

Однако задачи системного анализа, моделирования и проектирования оптимальных ХТС остаются актуальными. Несмотря на то, что было разработано множество прикладных программ для решения задач проектирования оптимальных систем, содержащиеся в них математические модели процессов, аппаратов, различные константы изначально содержат в себе погрешность. С другой стороны на этапе проектирования ХТС всегда есть некоторая неопределенность относительно исходной информации (например, количественного состава сырья).

Источники неопределенности информации о ХТС различны. Так, например, можно выделить следующие три вида:

1. неточности химических и физических закономерностей, положенных в основу математических моделей;

2. изменение свойств узлов ХТС (их деградация), связанное, например, с их физическим износом;

3. изменение внешних условий функционирования ХТС во время её эксплуатации.

Изменение неопределенных величин на этапе эксплуатации и функционирования системы оказывает влияние на протекающие в ней процессы.

При этом найденное без учета неопределенности информации решение может существенно отличаться от оптимального или даже не соответствовать предъявляемым к системе требованиям. Как следствие это может привести к снижению качества выпускаемой продукции или даже опасным (а в некоторых случаях даже аварийным) режимам работы ХТС.

Таким образом, учет изменения неопределенных параметров при решении задач диверсификации существующих или проектирования новых ХТС является актуальной проблемой.

Самый простой способ учета неопределенности информации, практикуемый долгое время, использовал эмпирические поправки, вводимые проектировщиком в некоторое полученное решение. Очевидно, что спроектированная таким образом ХТС может быть как неэкономичной, так и не соответствовать предъявляемым к ней требованиям.

Другие способы учета неопределенности информации подразумевают введение математических операторов (математического ожидания, вероятности, максимизации или минимизации) в постановку задачи, что порождает новую проблему: прямое решение полученной задачи может требовать расчета многомерных интегралов. Это негативно сказывается на времени, требующемся на решение задачи проектирования оптимальной ХТС. Имеющиеся методы приближенного вычисления многомерных интегралов, несмотря на их развитие, все еще требуют существенных временных затрат для достижения достаточной точности. В связи с этим параллельно развиваются подходы к решению задачи проектирования, позволяющие избежать непосредственного расчета интегральных величин.

В настоящее время задачами оптимизации с учетом неопределенности информации в области химической технологии занимаются как за рубежом, так и в России. Среди специалистов в этой области стоит выделить Grossmann I.E. и Biegler L.T. из Carnegie Mellon University (Питтсбург), Pistikopoulos E.N. из Imperial College (Лондон), Wendt M. из Technische Universität (Берлин), Diwekar U.M. из University of Illinois (Чикаго), Liu В. из Tsinghua University (Пекин),

Iwamura К. из Josai University (Сакадо), Chames А. и Cooper W.W. из University of Texas (Остин), Островский Г.М. из НИФХИ им. Л.Я. Карпова (Москва), Холоднов В.А. из Санкт-Петербургского государственного технического университета, Левин В.И. из Пензенской государственной технологической академии, Дворецкий С.И. и Дворецкий Д.С. из Тамбовского государственного технического университета, Егоров А.Ф. и Мешалкин В.П. из Российского химико-технологического университета им. Д.И. Менделеева (Москва).

В данной работе рассмотрена одноэтапная задача проектирования оптимальных ХТС, в которой в критерии оптимальности содержится математическое ожидание функции стоимости, а от ограничений задачи требуется их выполнение с определенной вероятностью. Имеющиеся на данный момент подходы к решению таких задач применимы для узкого класса задач: например, в случае вероятностных ограничений, от подинтегральной функции, непосредственно выражающей требования к ХТС, требуется линейность по неопределенным величинам.

Основная цель работы - разработка эффективных подходов и алгоритмов решения одноэтапной задачи проектирования оптимальных ХТС с вероятностными ограничениями, а также программная реализация этих алгоритмов.

В соответствии с поставленной целью исследования было выделено несколько задач:

1. Разработать подходы сведения одноэтапной задачи проектирования с вероятностными ограничениями к задачам с детерминированными ограничениями;

2. Разработать подход к решению одноэтапных задач с учетом неопределенности, сокращающий вычислительные затраты на расчет целевой функции в форме математического ожидания;

3. Объединить разработанные подходы в алгоритмы решения одноэтапных задач проектирования оптимальных ХТС с вероятностными ограничениями;

4. Создать и апробировать программный комплекс на решении ряда задач

проектирования оптимальных ХТС с учетом неопределенности.

Основной текст диссертационной работы изложен в четырёх главах.

В первой главе дан обзор подходов к решению задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности исходной информации, разработанных к настоящему времени. Рассмотрены различные виды неопределенных параметров и виды постановок задач с учетом неопределенности. Приведены одноэтапная и двухэтапная постановки задачи проектирования, случаи их возникновения. Также рассмотрены имеющиеся подходы к решению одноэтапной задачи. В конце главы сформулированы цель и задачи исследования.

В начале второй главы рассматривается проблема эффективного и точного вычисления математического ожидания критерия в одноэтапной задаче проектирования оптимальной ХТС. Предлагается подход к аппроксимации математического ожидания критерия, уточняющий получаемое значение на каждой итерации решения задачи оптимизации. Далее в главе разрабатывается подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС с вероятностными ограничениями, который сводит вероятностные ограничения к детерминированному виду за счет линеаризации функций ограничений по неопределенным параметрам. Показано, что разработанный подход гарантированно дает нижнюю оценку исходной задачи проектирования в случае выпуклости функций ограничений по неопределенным параметрам. Разработана процедура уточнения получаемой оценки, основанная на дроблении области неопределенности. На основе предложенного подхода разработан алгоритм решения одноэтапных задач оптимизации. Эффективность алгоритма (и подхода в целом) демонстрируется на базе примера решения задачи проектирования системы реактор-теплообменник.

В главе три рассмотрен другой подход к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальной ХТС, который основан на поиске размера и положения областей вида многомерных прямоугольников, аппроксимирующих искомые области удовлетворения вероятностных ограничений в пространстве

изменения неопределенных величин. Показано, что, во-первых, полученная задача сводится к стандартной задаче полубесконечного программирования и, во-вторых, решение задачи дает верхнюю оценку исходной задачи проектирования оптимальной ХТС. Также в главе предложена процедура уточнения получаемой оценки. На основе предложенного подхода разработана модификация метода внешней аппроксимации и соответствующий алгоритм решения задачи проектирования оптимальных ХТС. Эффективность алгоритма демонстрируется на решении ряда задач. Проводится подробный анализ полученных результатов.

В четвертой главе рассмотрены задачи оценки работоспособности и проектирования системы биологической очистки сточных вод (БОСВ) ОАО «КазаньОргсинтез». Для этого были выявлены основные загрязнения сточных вод, поступающих на вход системы: фенолы, СПАВы и гликоли. Затем были определены текущая и прогнозируемая области неопределенности. Сформулированная и решенная задача оценки работоспособности системы биологической очистки сточных вод (СБОСВ) показала адекватность математической модели, в то время, как аналогичная задача для прогнозируемой области неопределенности продемонстрировала необходимость проектирования новой системы, удовлетворяющей регламентным требованиям на качество очистки на прогнозируемой области неопределенности. В результате была сформулирована одноэтапная задача с вероятностными ограничениями, для проектирования оптимальной системы биологической очистки сточных вод. Эта задача была решена с помощью разработанных в главах 2 и 3 подходов. В результате решения задачи предложено несколько возможных решений, включающих габаритные размеры аппаратов СБОСВ, режимы их работы. Полученные решения гарантируют оптимальность спроектированной СБОСВ по заданному критерию и выполнение ограничений с заданными вероятностями.

В ходе решения поставленных задач были получены следующие результаты:

1. Предложены эффективные подходы, сводящие одноэтапную задачу с вероятностными ограничениями к задаче с детерминированными

ограничениями:

• подход, позволяющий определить нижнюю оценку критерия одноэтапной задачи оптимизации, основан на линеаризации ограничений и сведении одноэтапной задачи оптимизации к задаче нелинейного программирования; он требует независимости неопределенных параметров и выпуклости ограничений по неопределенным параметрам;

• подход, дающий верхнюю оценку критерия одноэтапной задачи оптимизации, основан на сведении вероятностных ограничений к детерминированным и преобразовании одноэтапной задачи оптимизации к задаче полубесконечного программирования; он требует независимости неопределенных параметров.

2. Разработана эффективная процедура уточнения математического ожидания целевой функции, существенно сокращающая вычислительные затраты на расчет математического ожидания в критерии задачи. Процедура предлагает пользователю на выбор несколько способов уточнения.

3. На основе предложенных модификации метода внешней аппроксимации и процедуры уточнения математического ожидания критерия разработан алгоритм решения одноэтапной задачи оптимизации, реализующий подход к получению верхней оценки одноэтапной задачи оптимизации.

4. Предложен алгоритм, согласующий подход к получению нижней оценки одноэтапной задачи оптимизации и процедуру уточнения математического ожидания целевой функции.

5. На основе предложенных алгоритмов разработан программный комплекс решения одноэтапных задач оптимизации с вероятностными ограничениями.

6. Созданный программный комплекс апробирован на решении ряда модельных примеров. Полученные результаты позволяют говорить об эффективности по быстродействию и точности предложенных подходов к решению одноэтапной задачи проектирования оптимальных ХТС.

7. Анализ результатов решения модельных задач предложенными подходами

показал, что в случае выпуклости допустимой области по неопределенным параметрам для получения оценки критерия одноэтапной задачи предпочтительнее использовать подход, дающий нижнюю оценку. В случае отсутствия информации о выпуклости допустимой области следует использовать подход, дающий верхнюю оценку критерия одноэтапной задачи.

8. На основе проведенного анализа работоспособности существующей системы БОСВ показана необходимость решения и решена задача проектирования системы БОСВ, работоспособной при прогнозируемых изменениях условий функционирования.

Основные положения и результаты диссертационной работы опубликованы в 8 статьях в ведущих научных рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК: Теоретические Основы Химических Технологий (том 43, № 4, 2008 г., том 44, № 5, 2009 г.), Доклады Академии наук (Т. 425, № 1, 2009 г.), Вестник Казанского технологического университета (№ 7, 2011 г., № 9, 2011 г., № 11, 2012 г., № 12, 2012 г., № 7, 2013 г.), а также докладывались и обсуждались на ежегодной международной научной конференции Математические методы в технике и технологиях (Псков, 2009 г., Саратов, 2010 г., Саратов, 2011 г.), II Международной научно-практической конференции Компьютерное моделирование в химической технологии и устойчивое развитие (Киев, 2010 г.).

1. Обзор подходов к решению задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем с учетом неопределенности исходной информации

1.1. Общая постановка задачи проектирования оптимальных химико-технологических систем (ХТС)

Решение задачи проектировании оптимальной ХТС заключается в поиске

таких значений поисковых параметров, которые обеспечивают оптимальную работу системы в смысле некоторого заданного критерия оптимальности - числовой функциональной характеристики системы, оценивающей степень приспособления ХТС к выполнению поставленных перед ней задач.

Пусть задана топология ХТС. В результате решения задачи проектирования небоходимо найти [6]:

1. конструктивные параметры ХТС;

2. режим работы ХТС.

Типичная задача проектирования имеет вид [12]:

В данной постановке:

• <А - вектор конструктивных параметров размерности га, характеризующих размеры элементов системы;

• г - параметры, которые могут быть использованы для управления ХТС; их количество равно /;;

• некоторые остальные параметры у, кторых в задаче р штук. Уравнения (1.2) представляют собой математическую модель проектируемой системы, (1.3) - вектор ограничений, которые необходимо удовлетворить в процессе проектирования ХТС.

ПШ1

(1.1)

= О, / = 1,...,/7

0, у = !,...,/??

(1.2) (1.3)

1.2. Классификация неопределенных параметров

Источники неопределенности информации о ХТС (далее просто неопределенности) могут быть самыми различными. Они включают в себя [45, 171]:

1. неточности химических и физических закономерностей, положенных в основу математических моделей;

2. изменение свойств узлов ХТС (их деградация), связанное, например, с их физическим износом;

3. изменение внешних условий функционирования ХТС во время её эксплуатации.

Действительно, многие математические модели включают в себя эмпирические коэффициенты и значения, точность получения которых зависит и от точности производимых измерений (точности приборов), и от количества проводимых наблюдений. Полученные значения изначально содержат в себе некоторую ошибку. Также нельзя игнорировать изменение параметров узлов ХТС в процессе эксплуатации. Даже при надлежащим образом и своевременно проводимой профилактике составляющие компоненты узлов производятся с некоторыми допусками, что приводит к изменению их свойств относительно тех, что были приняты при проектировании. Наконец, никто не может гарантировать поступление одного и того же состава сырья в течение всего периода эксплуатации ХТС.

Все вышеобозначенные неопределенности влияют не только на эффективность работы ХТС, но и на надежность и работоспособность самой ХТС. Поэтому их необходимо учитывать в задаче оптимального проектирования.

Помимо природы неопределенности важно знать и ее вид. В настоящее время различают четыре вида неопределенных величин [21, 24]:

1. Случайная

2. Нечеткая

3. Неточная

4. Интервальная

Если неопределенные величины представляют собой случайные величины, то мы имеем дело с задачей стохастического программирования. Стохастическое

программирование рассматривает задачу в терминах классической теории вероятности. Пусть (Q,A,Pr) - вероятностное пространство, где Q - множество всех исходов, А - класс подмножеств-событий, Рг(^4) - вероятность - неотрицательное число такое, что:

• Рг(0) = 0, Pr(Q) = 1;

к

Тогда случайная величина в - функция из вероятностного пространства в вещественную прямую. Наличие случайных величин значительно усложняет поиск решения задачи. Пусть 0 е Г, где Т - некоторая область изменения неопределенных параметров.

В случае нечетких неопределенных параметров задача рассматривается в терминах теории нечетких множеств (Zadeh [195], Liu и Iwamura [140 - 142], Liu и Liu [143]). В ней по аналогии с вероятностным пространством задается возможно-стное пространство как тройка (0,Р(0),Роу) . Здесь 0 - непустое множество, Р(0) - множество всех подмножеств для 0, Pos (А) - возможность - неотрицательное число, удовлетворяющее:

• Pos(0) = 0, Pos(e) = 1;

к

Стоит отметить, что второе свойство определяет отличие подходов к решению задач с нечеткими величинами и задач со случайными величинами.

Для работы с неточными величинами Павлак [160] предложил неясные описания объектов, информация о которых недостаточна или недоступна, аппроксимировать с помощью двух четких множеств: верхнего и нижнего приближений. Уже в своей основе теория неточных величин не имеет ничего схожего со случайными и нечеткими величинами.

Относительно интервальных неопределенных параметров известны лишь верхние и нижние границы, в пределах которых параметр может принимать любое значение. Левин в [22] предложил теорию сравнения интервалов. Для каждой

решаемой задачи с интервальными неопределенными величинами строятся две граничные (верхняя и нижняя) детерминированные задачи.

Очевидно, что подходы к решению задач с разными видами неопределенности могут кардинально отличаться друг от друга. Поскольку относительно неопределенных параметров, характеризующих работу ХТС, всегда можно выявить интревалы изменения их значений, а также, в большинстве случаев, мы можем предполагать случайность изменения значений этих параметров, можно далее сузить спектр возможных типов неопределенных параметров, рассматривая неопределенные параметры как случайные величины, для которых известны закон и плотность распределения.

1.3. Учет неопределенности на различных этапах жизненного цикла ХТС

1.3.1. Неопределенность на этапе проектирования

На этапе проектирования неопределённость некоторых параметров ХТС

может принимать следующие формы [30]:

1. Проектировщику известны функции распределения вероятностей неопределённых параметров, а также пределы изменения значений неопределенных параметров.

2. Относительно неопределённых параметров известны только их области изменения.

В первом случае неопределенные параметры называют вероятностными, во втором - интервальными. Неопределённые параметры являются интервальными в двух случаях:

1. Вид функции распределения вероятностей неизвестен;

2. Неопределённые параметры изменяются, но они не могут рассматриваться как случайные на этапе функционирования ХТС.

Например, константа скорости реакции хотя и является, как правило, неопределённой, но не может считаться случайной, поскольку она на этапе функционирования ХТС либо постоянна, либо изменение её подчинено каким-либо зако-

номерностям. Функции распределения вероятностей могут быть неизвестны, например, из-за того, что оценка параметров функций распределения вероятностей может требовать большого количества экспериментальных данных, которые могут быть недоступны на этапе функционирования ХТС.

1.3.2. Неопределенность на этапе функционирования

Уровень неопределенности на этапе функционирования зависит от полноты

и точности доступных экспериментальных данных, т.е. от системы сбора экспериментальной информации. Таким образом, важна не только точность измерения, но и правильное определение точек сбора данных. Согласно [28], в зависимости от полноты и точности экспериментальных данных, доступных на этапе функционирования ХТС можно выделить 2 уровня неопределенности:

1. Неопределенные параметры могут быть точно измерены на этапе функционирования;

2. Неопределенные параметры не могут быть уточнены на этапе функционирования.

Второй случай накладывает серьезные ограничения на вид решаемой задачи оптимизации: на этапе проектирования нельзя предполагать, что неопределенные параметры будут точно измерены и управляющие параметры будут подстроены под них, в этом случае задача оптимизации принимает вид одноэтапной задачи оптимизации (ОЭЗО). Главная особенность ОЭЗО - неизменность управляющих (режимных) переменных на этапе функционирования ХТС. В противовес ОЭЗО в двухэтапной задаче оптимизации (ДЭЗО) возможно изменение управляющих переменных на этапе функционирования ХТС. Обобщая сказанное, ОЭЗО возникает в случаях, если:

1. Недоступны для изменения параметры, задающие режим работы ХТС;

2. При оптимизации существующих ХТС невозможно уточнять неопределенные параметры на этапе функционирования;

1.4. Постановка задачи проектирования оптимальной ХТС с учетом неопределенности

Найденное в результате решения задачи оптимизации решение, очевидно,

должно соответствовать некоторым заранее известным требованиям. В частности можно выделить следующие наиболее характерные [28]:

• ХТС должна работать без аварийных ситуаций;

• ХТС должна быть экологически безопасной;

• Производительность ХТС должна быть не ниже заданной;

• Стационарный оптимальный режим работы ХТС должен быть устойчивым и т.д.

Это означает, что в случае ДЭЗО на этапе функционирования такой системы с помощью управляющих переменных можно удовлетворить все проектные ограничения, несмотря на изменение внутренних и внешних факторов. В случае ОЭЗО вместе с конструктивными переменными будет найден и режим работы, обеспечивающий выполнение всех требований вне зависимости от изменяющихся факторов.

В целом с учетом неопределенности задача проектирования ХТС имеет вид [28, 95, 113, 158]:

min f(d,z, у, в) (1.4)

d,z

цГ^,г,у,в) = 0, i = l,...,p (1.5)

(Pj{d,z,y,d)< 0, у = 1,...,m (1.6)

Здесь:

• d - вектор конструктивных параметров системы размерности rd\

• z - вектор управляющих параметров размерности rz ;

• у - вектор переменных состояния размерности р ;

• в - вектор неопределенных параметров размерности п.

Как и раньше (1.5) - уравнения материального и теплового баланса ХТС (математическая модель ХТС), уравнения (1.6) выражают требования к системе. Пусть относительно неопределенных параметров в известно, что они принадле-

жат некоторой области неопределенности Т.

Поскольку размерность вектора у выбрана равной числу уравнений в системе (1.5), то (1.5) определяет переменные у как неявные функции переменных с1, г, 0, т.е.

у = у(а,г,е) (1.7)

Для определенности будем считать переменные у зависимыми, а переменные с/, 2 - независимыми. Как правило, явный вид функций (1.7) неизвестен, поэтому для каждой совокупности с1, г, в переменные у находятся численным решением системы нелинейных уравнений (1.5) [46]. После исключения переменных у задача (1.4)-(1.6) примет вид [28, 30]:

тт/(с1,г,9) (1.8)

§;(с1,2,е)<0, у=1 6>еГ (1.9)

где

1.4.1. Учет неопределенности с помощью коэффициентов запаса

Задача (1.8)-(1.9) не может быть решена, поскольку значения параметров 9

не определены. В связи с этим очевидный путь проектирования ХТС состоит из двух этапов:

1. задать некоторые номинальные (чаще всего усредненные) значения для в (т.е. 9 = 6м), после чего решить задачу (1.8)-(1.9);

2. т.к. полученное на первом этапе решение, очевидно, не может гарантировать выполнение ограничений (1.9) для всех 9 еТ, решение задачи (1.8)-(1.9) корректируется с помощью некоторых эмпирических коэффициентов запаса прочности.

Легко заметить, что окончательное решение может оказаться далеко не оптимальным. Оно во многом зависит от опыта проектировщика [7]. Более того, даже с учетом эмпирических поправок никто не сможет гарантировать выполнение ограничений (1.9) для всех в еТ: чем больший запас по конструктивным параметрам дает проектировщик, тем выше шанс, что ограничения будут удовлетворены, однако тем выше и стоимость ХТС. Очевидно, получение экономичного и работоспособного решения требует учет неопределенности при проектировании.

1.4.2. Способы учета неопределенности в постановке задачи проектирования

Измененение неопределенных параметров в е Т должно быть учтено как в

критерии задачи оптимального проектирования, так и в ограничениях этой задачи. Рассмотрим далее различные возможеные способы учета неопределенности.

1.4.2.1. Учет неопределенности в критерии

Для критерия задачи можно выделить три способа учета неопределенности:

1. min f(d,z,6)

2. max f{d,z,6)

3. E{f(d,z,6)), где E(f(d,z,e)) = \f(d,z,%)p(%)d%, p(£) - функция плотно-

т

сти распределения 9.

Поиск минимального значения критерия на области неопределенности, являясь теоретически допустимым вариантом, не применяется на практике. Максимизация значения критерия напротив представляется подходящим вариантом. Критерий такого вида (как будет показано ниже) используется в стратегиях наихудшего значения. В третьем случае оценивается среднее значение критерия на всей области неопределенности. Критерий такого вида также используется в задачах с учетом изменения неопределенных параметров.

1.4.2.2. Учет неопределенности в ограничении

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Первухин, Денис Дмитриевич, 2013 год

Список литературы

1. Ананченко А.Г. Разработка алгоритмов и программных комплексов для глобальной оптимизации химико-технологических систем : автореф. дисс. ... канд. техн. наук : 05.13.08 / Ананченко Анна Геннадьевна. - Санкт-Петербург, 2004. - 19 с.

2. Вавилин В.А. Математическое моделирование процессов биологической очистки сточных вод активным илом / Вавилин В.А., Васильев В.Б. - М.: Наука, 1979.- 119 с.

3. Вороновский Г.К. Генетические алгоритмы, искусственные нейронные сети и проблемы виртуальной реальности / Г.К. Вороновский, К.В. Махотило, С.Н. Петрашев, С.А. Сергеев. -X.: Основа, 1997. - 112 с.

4. Гладков JI.A. Генетические алгоритмы / Гладков JI.A., Курейчик В.В., Курейчик В.М. - Под ред. В.М. Курейчика. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 320 с.

5. Дворецкий Д.С. Методология интегрированного проектирования гибких химико-технологических систем (на примере непрерывных и периодических процессов малотоннажных химических производств) : дисс. ... д-ра техн. наук : 05.17.08, 05.13.01 / Дворецкий Дмитрий Станиславович. - Тамбов, 2012. - 526 с.

6. Дворецкий С.И. Компьютерное моделирование и оптимизация технологических процессов и оборудования: учеб. пособие / Дворецкий С.И., Егоров А.Ф., Дворецкий Д.С. - Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. -224 с.

7. Дворецкий С.И. Основы проектирования химических производств: учебное пособие / С.И. Дворецкий, Д.С. Дворецкий, Г.С. Кормильцин, A.A. Пахомов. -Тамбов: Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2011. - 468 с.

8. Ермольев Ю.М. Математические методы исследования операций / Ермольев Ю.М., Ляшко И.И., Михалевич B.C., Тюптя В.И. - К.: Вища школа, 1979.

9. Завриев С.К. Комбинированный метод штрафов и стохастического градиента для поиска максимина // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1979. - Т. 19, N 2. -

С. 329-342.

10. Завриев C.K. Стохастические градиентные методы решения минимаксных задач.-М.: МГУ, 1984.

11. Кафаров В.В. Основы массопередачи: учебное пособие для вузов - М.: Высшая школа, 1972. - 496 с.

12. Кафаров В.В. Системный анализ процессов химической технологии / В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов. - Основы стратегии. -М.: Наука, 1976.

13. Крабе В. Теория приближений и их приложений. - М., 1978.

14. Крамер Г. Математические методы статистики. - М.: РХД, 2003. - 648 с.

15. Лаптева Т.В. Структурно-параметрическая оптимизация гибкой технологической схемы биологической очистки сточных вод : дисс. ... канд. техн. наук : 11.00.11 / Лаптева Татьяна Владимировна. - Казань, 2000. - 171 с.

16. Лаптева Т.В. Одноэтапная задача проектирования оптимальной системы биологической очистки сточных вод с вероятностными ограничениями / Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д. // Вестник Казанского технологического университета. —2013. - № 7. - С. 262-266.

17. Лаптева Т.В. Подходы к аппроксимации критерия в одноэтапной задаче оптимального проектирования с учетом неопределенности / Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - № 12. - С. 216-219.

18. Лаптева Т.В. Эффективность работы методов решения задачи проектирования работоспособных ХТС / Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012. -№11.-С. 268-271.

19. Лаптева Т.В. Нижняя оценка одноэтапной задачи оптимального проектирования с вероятностными ограничениями / Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H., Первухин Д.Д., Островский Г.М. // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. - № 7. - С. 218-224.

20. Лаптева Т.В. Одноэтапная задача оптимального проектирования системы реакторов с вероятностными ограничениями / Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H.,

Первухин Д.Д., Островский Г.М. // Вестник Казанского технологического университета. - 2011. - №> 9. - С. 281-287.

21. Левин В.И. Интервальная математика и исследование систем в условиях неопределенности. - Пенза: Изд-во Пензенского технологического института, 1998.

22. Левин В.И. Нелинейная оптимизация в условиях интервальной неопределенности // Кибернетика и системный анализ. - 1999. - №2.

23. Левитин Е.С. Методы ограниченной минимизации / Левитин Е.С., Полак Б.Т. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1966. - N 5. - С. 787-823.

24. Лю Б. Теория и практика неопределенного программирования / Б. Лю. Пер.с англ. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. - 416 с.

25. Минскер И.Н. Оперативное управление химико-технологическими комплексами / И.Н. Минскер - М.: «Химия», 1972. - 224 с.

26. Михалевич В.С Методы невыпуклой оптимизации / Михалевич В.С, Гунал A.M., Норкин В.И. - М.: Наука, 1987.

27. Новикова Н. М. Стохастический квазиградиентный метод поиска минимакса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1977. - Т. 17, N 1. - С. 91-99.

28. Островский Г.М. Оптимизация в химической технологии / Островский Г.М., Волин Ю.М., Зиятдинов H.H. - Казань: Издательство «Фэн» Академии наук РТ, 2005. - 394 с.

29. Островский Г.М. Оценка гибкости химико-технологических систем / Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин И.Д. // Теоретические основы химической технологии. - Москва, 2007. - Т. 41. - С. 249-261.

30. Островский Г.М. Технические системы в условиях неопределенности: анализ гибкости и оптимизация: учебное пособие / Островский Г.М., Волин Ю.М. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. - 319с.

31. Островский Г.М. Одностадийные задачи оптимизации химико-технологических процессов с мягкими ограничениями / Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. // Доклады Академии наук. -

2009.-Т. 425, № l.-C. 63-66.

32. Островский Г.М. Одноэтапная задача с мягкими ограничениями / Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. // Теоретические основы химической технологии. - Москва, 2008. - Т. 43, № 4. - С. 441-451.

33. Островский Г.М. Оптимизация химико-технологических процессов с вероятностными ограничениями / Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В., Первухин Д.Д. // Теоретические основы химической технологии. -Москва, 2009. - Т. 44, № 5. - С. 507-515.

34. Первухин Д.Д. Аппроксимация критерия в задаче оптимизации с учетом неопределенности / Первухин Д.Д., Лаптева Т.В., Зиятдинов H.H., Островский Г.М. // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 24-й Международ, науч. конф. - Саратов, 2011. - Т. 2. - С. 5-6.

35. Первухин Д.Д. Верхняя оценка одноэтапной задачи оптимизации с мягкими ограничениями / Первухин Д.Д., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В. // Компьютерное моделирование в химической технологии и устойчивое развитие. Тезисы докладов второй межд. научно-практич. конф. - Киев: НТУУ «КПП», 2010.-С. 60-62.

36. Первухин Д.Д. Подходы к решению одноэтапной задачи оптимизации с мягкими ограничениями / Первухин Д.Д., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В. // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 23-й Международ, науч. конф. - Саратов, 2010. - Т. 2. - С. 5-7.

37. Первухин Д.Д. Решение одноэтапной задачи оптимизации с вероятностными ограничениями / Первухин Д.Д., Островский Г.М., Зиятдинов H.H., Лаптева Т.В. // Математические методы в технике и технологиях. Сб. трудов 22-й Международ, науч. конф. - Псков, 2009. - Т. 1. - С. 7-10.

38. Первухин И.Д. Двухэтапная задача оптимального проектирования химико-технологических систем с жёсткими ограничениями в условиях неопределённости : дисс. ... канд. техн. наук : 05.13.01 / Первухин Илья Дмитриевич - Казань, 2011. - 198 с.

39. Письмо Департамента экономической политики и развития г. Москвы N

ДПР/12-1/6-114. - 2012. - 17 февраля.

40. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский JT. Пер. с польск. И.Д. Рудинский. -М.: Горячая линия - Телеком, 2006. - 452 с.

41. СНиП 2.04.03-85. Канализация. Наружные сети и сооружения. - М.: Стройиздат, 1986. - 72 с.

42. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. - М.: «Наука», 1968. - 64 с.

43. Технологический регламент №43-82 очистки сточных вод в цехе нейтрализации и очистки промышленно-сточных вод КПО "Органический синтез". - Казань, 1982.

44. Федосова A.B. Стохастические алгоритмы внешних аппроксимаций для решения выпуклых задач полубесконечной оптимизации : дисс. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.09 / Федосова Алина Валерьевна. - Москва, 1999. - 105 с.

45. Халимон В.И. Формализованные методы построения систем управления химико-технологическими процессами в условиях неполной информации : автореф. дисс. ... д-ра техн. наук : 05.13.06 / Халимон Виктория Ивановна. -Санкт-Петербург, 2005. - 48 с.

46. Холоднов В.А. Математическое моделирование и оптимизация химико-технологических процессов: практ. рук. / В. А. Холоднов, В. П. Дьяконов, Е. Н. Иванова, Л. С. Кирьянова. - СПб.: AHO НПО «Профессионал», 2003. - 478 с.

47. Черноморов Г.А. Теория принятия решений: учебное пособие. - Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасск: Ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», 2002.

48. Шарифуллин В.Н. Моделирование системы аэробной биоочистки сточных вод / Шарифуллин В.Н., Зиятдинов H.H., Конончук P.M. // Биотехнология. -1999. - 5. - С. 55-60.

49. Штовба С.Д. Муравьиные алгоритмы // Exponenta Pro. Математика в приложениях. - 2003. - №4. - С. 70-75.

50. Эрроу К.Дж. Исследования по линейному и нелинейному программированию / Эрроу К.Дж., Гурвиц Л., Удзава X. - М.: ИЛ, 1962.

51. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. - М.: Сов.

Радио. 1979.-392 с.

52. Aarts E.H.L. Simulated Annealing and Boltzmann Machines / E.H.L. Aarts and J.H.M. Korst. - Wiley, Chichester, 1997.

53. Anderssen R.S. Properties of the random search in global optimization / R.S. Anderssen and P. Bloomfield // Journal of Optimization Theory and Applications. -1975.- 16.-P. 383-398.

54. Applications of stochastic programming / edited by Stein W. Wallace and William T. Ziemba. p. cm — (MPS-SIAM series on optimization), 2005.

55. Armijo L. Minimization of functions having Lipschitz continuous first partial derivatives / L. Armijo // Pacific Journal of Mathematics. - 1996. - 16. - P. 1-3.

56. Baba N. A modified convergence theorem for a random optimization method / N. Baba, T. Shoman, and Y. Sawaragi // Information Sciences. - 1977. - 13. - P. 159166.

57. Babuska I.M. A stochastic collocation method for elliptic partial differential equations with random input data / I.M. Babuska, F. Nobile, and R. Tempone // SIAM J. Numer. Anal. - 2007. - 43(3). - P. 1005-1034.

58. Battiti R. The continuous reactive tabu search: Blending combinatorial optimization and stochastic search for global optimization / R. Battiti and G. Tecchiolli // Annals of Operations Research. - 1996. - 63. - P. 153-188.

59. Benson H.P. Concave minimization: Theory, applications and algorithms / H.P. Benson. - In R. Horst and P.M. Pardalos, editors, Handbook of Global Optimization, volume 2 of Nonconvex Optimization and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1995.

60. Berbee H.C.P. Hit-and-run algorithms for the identification of nonredundant linear inequalities / H.C.P. Berbee, C.G.E. Boender, A.H.G. Rinooy Kan, R.L. Smith, C.L. Scheffer, and J. Telgen // Mathematical Programming. - 1987. - 37. - P. 184-207.

61. Bernardo F.P. Integration and Computational Issues in Stochastic Design and Planning Optimization Problems / Bernardo F.P., Pistikopoulos E.N., Saraiva P.M. // Ind. Eng. Chem. Res. - 1999. - 38. - P. 3056-3068.

62. Birbil S.C.I. Computational experiments with probabilistic search methods in

global optimization / S.C.I. Birbil, L. Ozdamar, M. Demirhan, and L. Helvacioglu. -Technical report, Yeditepe University, Istanbul, Turkey, 1999.

63. Bird R.H. An interior point algorithm for large-scale nonlinear programming / Bird R.H., Hribar M.E., Nocedal J. // SIAM J. OPTIM. - 1999. - V. 9. - P. 877-900.

64. Birge J.R. Introduction to Stochastic Programming / J.R. Birge and F. Louveaux. -Springer-Verlag, New York, 1997.

65. Boender C.G.E. Stochastic methods / C.G.E. Boender and H.E. Romeijn. - In R. Horst and P. M. Pardalos, editors, Handbook of Global Optimization, volume 2 of Nonconvex Optimization and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1995.

66. Brooks S.H. A discussion of random methods for seeking maxima / S.H. Brooks // Operations Research. - 1958. - 6. - P. 244-251.

67. Brosowski B. Parametric semi-infinite optimization. - Frankfurt, Germany: Verlag Peter Lang, 1982.

68. Calderbank P.H. Mass Transfer in Fermentation Equipment in Blakebrougn // N / Biochemical and Biological Eng. Sci. - London: Academic Press. - 1967. - V. 1. -P. 101-108.

69. Charnes A. Chance-constrained programming / Charnes A. and Cooper W.W. // Management Science. - 1959. - Vol. 6, No.l. - P. 73-79.

70. Charnes A. Deterministic Equivalents for Optimizing and Satisficing under Chance Constraints / Charnes A., Cooper W.W. // Operations Research. - 1963. - V. 11, №1. -P. 18-39.

71. Cheney E.W. Newton's method for convex programming and tchebycheif approximation / Cheney E.W., Goldstein A.A. //Numer. Mathematics. - 1959. - N. l.-P. 253-268.

72. Colorni A. Distributed optimization by ant colonies / Colorni A., Dorigo M., Maniezzo V. - Proceedings of ECAL'91, European Conference of Artificial Life, Elsevier Publishing, 1991.

73. Csendes T. The impact of accelerating tools on the interval subdivision algorithm for global optimization / T. Csendes and J. Pinter // European Journal of Operational

Research. - 1993. - 65. - P. 314-320.

74. Dantzig G. Parallel processors for planning under uncertainty / Dantzig G., Glynn P. // Ann. Oper. Res. - 1990. - 22. - P. 1.

75. Dekkers A. Global optimization and simulated annealing / A. Dekkers and E.H.L. Aarts // Mathematical Programming. - 1991. - 50. - P. 367-393.

76. Demirhan M. FRACTOP: A geometric partitioning metaheuristic for global optimization / M. Demirhan, L. Ôzdamar, L. Helvacioglu, and S.I. Birbil // Journal of Global Optimization. - 1999. - 14. - P. 415-435.

77. Devroye L. Progressive global random search of continuous functions / L. Devroye // Mathematical Programming. - 1978. - 15. - P. 330-342.

78. Dick R.I. Evaluation of activated sludge thikening theories / Dick R.I., Ewing B.B. // J. Sanit. Eng. Div. ASCE. - 1967. - V. 93, № 1.

79. Diener I. Trajectory methods in global optimization /1. Diener. - In R. Horst and P. M. Pardalos, editors, Handbook of Global Optimization, volume 2 of Nonconvex Optimization and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1995.

80. Diener I. Trajectory nets connecting all critical points of a smooth function / I. Diener // Mathematical Programming. - 1986. - 36. - P. 340-352.

81. Diwekar U.M. Efficient Sampling Technique for Optimization under Uncertainty / Diwekar U.M., Kalagnanam J.R. // AIChE J. - 1997. - 43. - P. 440-447.

82. Diwekar U.M. Sampling Techniques. Kirk-Othmer Encyclopedia of Chemical Technology / U.M. Diwekar, S. Ulas. - Wiley-Interscience, 2007.

83. Diwekar U.M. Parameter Design Methodology for Chemical Processes Using a Simulator / Diwekar U.M., Rubin E.S. // Ind. Eng. Chem. Res. - 1994. - 33. - P. 292.

84. Dorigo M. The ant colony optimization metaheuristic: Algorithms, applications, and advances / Dorigo M., Stutzle T. - Handbook of Metaheuristics, Glover F., Kochenberger G., (Eds.), Kluwer Academic Publishers, 2003.

85. Dorigo M. The ant system: Optimization by a colony of cooperating agents / Dorigo M., Maniezzo V., Colorni A. // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics B. - 1996. - 26(1). - P. 29-41.

86. Dueck G. / G. Dueck - J. Corp. Phys. 104, 86, 1993.

87. Dueck G. / G. Dueck and T. Scheuer-J. Corp. Phys. 90, 161, 1990.

88. Eaves B.C. Generalized Cutting Plane Algorithms / Eaves B.C., Zangwiil W.L. // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1971. - V. 9. - P. 529-542.

89. Edgar T.F. Optimization of Chemical Processes / Edgar T.F., Himmelblau D.M., Lasdon L.S. - McGraw-Hill Inc., 2002.

90. Eizinga J. A central cutting plane algorithm for the convex programming problem / Eizinga J., Moore T.G // Math. Programming. - 1975. - N 8. - P. 134-145.

91. Engels H. Numerical Quadrature and Cubature. - Academic Press: London, 1980.

92. Fiacco A.V. Semi-infinite Programming and Applications / Fiacco A.V., Kortanek K.O. - Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. Springer-Verlag, New York. - 1983.-V. 215.

93. Fletcher R. Function minimization by conjugate directions / R. Fletcher and C. Reeves // Computer Journal. - 1964. - 7. - P. 149-154.

94. Floudas C.A. Deterministic Global Optimization: Theory, Methods and Applications. - Dordrecht/Boston/London: Kluwer Academic Publisher, 1999.

95. Floudas C.A. Global Optimization in Design under Uncertainty: Feasibility Test and Flexibility Index Problems. / C.A. Floudas, Z.H. Gumiis and M.G. Ierapetritou // Industrial & Engineering Chemistry Research. - 2001. - Vol. 40, Issue 20. - P. 42674282.

96. Floudas C.A. Recent Advances in Global Optimization / C.A. Floudas and P.M. Pardalos. - Princeton University Press, 1992.

97. Floudas C.A. The adaptive convexification algorithm: a feasible point method for semi-infinite programming / Floudas C.A., Stein O. // SIAM J. OPTIM. - Vol. 18, No. 4.-P. 1187-1208.

98. Forster W. Homotopy methods / W. Forster. - In R. Horst and P.M. Pardalos, editors, Handbook of Global Optimization, volume 2 of Nonconvex Optimization and Its Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1995.

99. Gambardella L.M. Ant colonies for the quadratic assignment problem /

Gambardella L.M., Taillard E.D., Dorigo M. // Journal of the Operational Research Society. - 1999. - 50(2). - P. 167-176.

100. Garcia C.B. Pathways to Solutions, Fixed Points and Equilibria / C.B. Garcia and W.I. Zangwill. - Prentice-Hall, Englewoods Cliffs, NJ, 1981.

101. Garrard A. Mass exchange network synthesis using genetic algorithms / Garrard A., Fraga E.S. // Computers and Chemical Engineering. - 1998. - 22. - P. 1837.

102. Gill P. Quasi-newton methods for unconstrained optimization / P. Gill and W. Murray //Institute of Mathematics and its Applications. - 1972. - 9. - P. 91-108.

103. Glover F. Future paths for integer programming and links to artificial intelligence / F. Glover // Computers and Operations Research. - 1986. - 13. - P. 533-549.

104. Glover F. Tabu search - Part I / F. Glover // ORSA Journal on Computing 1. -

1989. - 1(3). - P. 190-206.

105. Glover F. Tabu search - Part 117 F. Glover // ORSA Journal on Computing 2. -

1990. - 2(1). - P. 4-32.

106. Glover F. Tabu Search / F. Glover and M. Laguna. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1997.

107. Goldberg D. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning / D. Goldberg. - Addison Wesley, New York, 1989.

108.Gonzaga G. On Constraint Dropping Schemes and Optimality Functions for a Class of Outer Approximations Algorithms / Gonzaga G., Polak E. // SIAM Journal on Control and Optimization. - 1979. - V. 17. - P. 477-493.

109. Grossmann I.E. Active constraints strategy for flexibility analysis in chemical processes / Grossmann I.E., Floudas C.A. // Comp. Chem. Eng. - 1987. - V. 11. - P. 675-693.

110. Gustafson S.A. A comprehensive approach to air quality planning: Abatemen. monitoring networks and time interpolation / Gustafson S.A., Kortanek K.O. // Mathematical models for planning and controlling air quality. - 1982. - P.75-91.

111. Gustafson S.A. On semi-infinite programming in numerical analysis // Semiinfinite programming (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York). - 1979. - P. 137-153.

112.1-Iaar A. "Uber lineare Ungleichungen / A. Haar // Acta Math. - 1924. - № 2. - P. 114.

113.Halemane K.P. Optimal Process Design under Uncertainty. / Halemane K.P., Grossmann I.E. // AIChE Journal. - 1983. - V. 29. - P.425-433.

114. Hartmann A.K. Optimization Algorithms in Physics / Alexander K. Hartmann, Heiko Rieger. - Wiley-VCH Verlag Berlin GmbH, Berlin (Federal Republic of Germany), 2002.

115.Hettich R. A comparison of some numerical methods for semi-infinite programming // Lecture Notes in Contr. and Inform. Sei. - 1979. - V. 15. - P. 112125.

116. Hettich R. Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung / Hettich R., Zencke P. - Teubner, Stuttgart, 1982.

117. Hettich R. On quadratically convergent methods for semi-infinite programming / Hettich R., Van Honstede W. // Lecture Notes in Contr. and Inform. Sei. - 1979. - V. 15. - P. 97-111.

118. Hettich R. Semi-infinite Programming: Theory, Methods, and Applications / Hettich R., Kortanek K.O. // SIAM Review. - 1993. - V. 35, N. 3. - P. 380-429.

119.Hogan W.W. Application of a general convergence theory for outer approximations algorithms //Math. Progr. - 1973. - N. 5. - P. 151-168.

120. Holland J.H. Adaptations in Natural and Artificial Systems. - University of Michigan Press, Ann Arbor, 1975.

121. Horst R. A general class of branch and bound methods in global optimization with some new approaches for concave minimization / R. Horst // Journal of Optimization Theory and Applications. - 1986. - 51. - P. 271-291.

122. Horst R. Global Optimization: Deterministic Approaches, 3rd Ed. / Horst R. and P.M. Tuy. - Springer-Verlag, Berlin, 1996.

123. Horst R. Handbook of Global Optimization, volume 2 of Nonconvex Optimization and Its Applications / R. Horst and P.M. Pardalos. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1995.

124. Horst R. Introduction to Global Optimization, 2nd Edition, volume 48 of

Nonconvex Optimization and Its Applications / R. Horst, P.M. Pardalos, and N.V. Thoai. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2 edition, 2000.

125. Iman R.L. Small-sample sensitivity analysis techniques for computer models, with an application to risk assessment / Iman R.L., Conover W.J. // Commun. Stat., Part A: Theory Methods. - 1982. - 17. - P. 1749.

126. Infinite Programming. Series: Lecture Notes In Econom. and Math. Systems / Anderson E. J., Philpott A. B., editors // Springer. Berlin-Heidelberg - New York -Tokyo. - 1985. - V. 259.

127. Ingber L. Simulated annealing: Practice versus theory / L. Ingber // Journal of Mathematical Computation Modeling. - 1994. - 18. - P. 29-57.

128. John F. Extremum problems with inequalities as subsidiary conditions / F. John // Studies and Essays: Courant Anniversary Volume, New York City, NY, USA: Interscience Publisher (Wiley). — 1948. — P. 187-204.

129. Jung J.H. A genetic algorithm for scheduling of multiproduct batch processes / Jung J.H., Lee C.H., Lee I.-B. // Computers and Chemical Engineering. - 1998. - 22. - P. 1725.

130. Kalagnanam J.R. An efficient sampling technique for off-line quality control / Kalagnanam J.R., Diwekar U.M. // Technometrics. - 1997. - 39. - P. 308.

131. Kail P. Stochastic Programming / Peter Kali and Stein W. Wallace. - John Wiley & Sons, Chichester, 1994.

132. Kearfott R.B. Rigorous Global Search: Continuous Problems, volume 13 of Nonconvex Optimization and Its Applications / R.B. Kearfott. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1996.

133. Kelley J.E. The cutting-plane method for solving convex programs // J. Soc. Indust. Appl. Math. - 1960. - V.8. - P. 703-712.

134. Kim K.J. Efficient Combinatorial Optimization under Uncertainty. 1. Algorithmic Development Ind / Ki-Joo Kim and Urmila M. Diwekar // Eng. Chem. Res. - 2002. -41. - P. 1276-1284.

135. Kirkpatrick A. Optimization by simulated annealing / A. Kirkpatrick, C.D. Gelatt, and M.P. Vechi // Science. - 1983. - 220. - P. 671-680.

136. Knuth D.E. The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms. Vol. 1.

- Addison-Wesley: Reading, MA, 1973.

137. Kubicek M. Dependence of solution of nonlinear systems on a parameter // ACM Trans. Math. Software. - 1976. - Vol. 2, No. 1. - P. 98-107.

138. Land A.H. An autmatic method of solving discrete programming problems / Land A.H. and Doig A.G. // Econometrica. - 1960. - v. 28. - P. 497-520.

139. Li P. Chance constrained programming approach to process optimization under uncertainty / Li P., Arelano-Garcia H., Wozny G. // Comp. Chem. Eng. - 2008. - V. 32. - P. 25-45.

140. Liu B. A note on chance constrained programming with fuzzy coefficients / Liu B. and Iwamura K. //Fuzzy Sets and Systems. - 1998. - Vol.100, Nos.1-3. - P. 229-233.

141. Liu B. Chance constrained programming with fuzzy parameters / Liu B. and Iwamura K. // Fuzzy Sets and Systems. - 1998, - Vol.94, No.2. - P. 227-237.

142. Liu B. Dependent-chance programming: A class of stochastic optimization // Computers & Mathematics with Applications. - 1997. - Vol.34, No. 12. - P. 89-104. '

143. Liu B. Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models / Liu B. and Liu Y.K. // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 2002. - Vol.10, No.4. - P. 445-450.

144. Liu B. Uncertain Programming. - Wiley, New York, 1999.

145.Loehl T. Sequencing of batch operations for highly coupled production process: Genetic algorithms vs. mathematical programming / Loehl T., Schulz C., Engell S. // Computers and Chemical Engineering. - 1998. - 22. - P. 579.

146. Lopez M. Semi-infinite programming / M. Lopez, G. Still // European J. Oper. Res.

— 2007. —vol.2, № 180. —P. 491-518.

147.Maniezzo V. The ant system applied to the quadratic assignment problem / Maniezzo V., Colorni A., Dorigo M. - Technical report, IRIDIA, Universit.e Libre de Bruxelles, Brussels, Belgium, 1994.

148. Maranas C.D. Optimal Molecular Design Under Property Prediction Uncertainty // AIChE J. - 1997. - V. 43. - P. 1250-1264.

149. Mayne D.Q. An Outer Approximations algorithm for Computer-Aided Design

Problems / Mayne D.Q., Polak E., Trahan R. // Jour, of Optim. Theory and AppL. -1979.-V. 28. N.3.-P. 331-352.

150. Michalewicz Z. Evolutionary computation techniques for nonlinear programming problems // International Transactions of Operational Research. - 1994. - 1. - P. 223240.

151. Michalewicz Z. Genetic Algorithms + Data Structures = Evolution Programs / Z. Michalewicz. - Springer Verlag, Berlin, 1994.

152. Mitchell M. An introduction to Genetic Algorithms. - MIT Press, Cambridge, MA, 1996.

153. Morgan G.M. UncertaintysA Guide to Dealing with Uncertainty in Quantitative Risk and Policy Analysis / Morgan G.M., Henrion M. - Cambridge University Press: Cambridge, England, 1990.

154. Murty K.G. Some NP-complete problems in quadratic and nonlinear programming / K.G. Murty and S.N. Kabadi // Mathematical Programming. - 1987. - 39. - P. 117129.

155.Nemhauser G.L. Integer and Combinatorial Optimization / G.L. Nemhauser and L.A. Wolsey. - John Wiley and Sons, 1988.

156. Neumaier A. Interval Methods for Systems of Equations / A. Neumaier. -Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

157.Nishida N. Studies in chemical process design and synthesis: III A simple and practical approach to the optimal synthesis of heat exchanger networks /N. Nishida, Y.A. Liu, L. Lapidis // AIChE Journal. — 1977. — vol. 23. — P. 77.

158. Ostrovsky G.M. Flexibility analysis in the case of incomplete information about uncertain parameters. / Ostrovsky G.M., Achenie L.E.K., Datskov I., Volin Yu.M. // Annals of Operation Research. - 2004. - V. 132. - P. 257-275.

159. Pardalos P.M. Methods for global concave minimization: A bibliographic survey / P.M. Pardalos and J.B. Rosen// SIAM review. - 1986. - 28. - P. 367-379.

160. Pawlak Z. Rough sets // International Journal of Information and Computer Sciences. - 1982. - Vol. 11, No. 5. - P. 341-356.

161. Pinter J.D. Convergence properties of stochastic optimization procedures / J.D.

Pinter//Math. Operationforsch. u. Statist. - 1984. - 15. - P. 405-427.

162. Pinter J.D. Convergence qualification of adaptive partitioning algorithms in global optimization / J.D. Pinter // Mathematical Programming. - 1992. - 56. - P. 343-360.

163. Pinter J.D. Global Optimization in Action, Continuous and Lipschitz Optimization: Algorithms, Implementations and Applications, volume 6 of Nonconvex Optimization and Its Applications / J.D. Pinter. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1996.

164. Pistikopoulos E.N. Novel Approach for Optimal Process Design under Uncertainty / Pistikopoulos E.N., Ierapetritou M.G. // Comput. Chem. Eng. - 1995. - 19. - P. 1089.

165.Polak E. On the mathematical foundations of nondifferentiable optimization in engineering design // SIAM Rev. - 1987. - V . 29. - P. 21-89.

166.Polak E. Semi-infinite optimization in engineering design // Semiinfinite programming and applications. (Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo). - 1983.-P. 236-248.

167. Powell M.J.D. A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calculations. / D: G.A. Watson (ed.). Lecture Notes in Mathematics. V. 630. Berlin, Heidelberg, New York. - Springer-Verlag, 1978.

168. Quesada I.E. A Global Optimization Algorithm for Linear Fractional and Bilinear Programs / Quesada I.E. and I.E Grossmann // Journal of Global Optimization. -1995.- 6 (1).- P. 39-76.

169. Reemtsen R. Discretization methods for the solution of senai-infinite programming problems // Jour, of Optim. Theory and AppL. - 1991. - V. 71, N. 1. - P. 85-103.

170. Reemtsen R. Numerical Methods for Semi-infinite Programming: A Survey / Reemtsen R., Gomer S. // "Semi-infinite Programming" R. Reemtsen and J.-J. Ruckmann Eds. - 1998. - P. 195-275.

171. Repalle J. Design of Forging Process Variables under Uncertainties / Jalaja Repalle and Ramana V. Grandhi // Journal of Materials Engineering and Performance. -2005. - Volume 14(1) February.

172. Rinooy Kan A.H.G. Argument for unsolvability of global optimization problems /

A.H.G. Rinooy Kan and G.T. Timmer // In New Methods in Optimization and Their Industrial Uses. Birkhauser Verlag, Basel. - 1989. - P. 133-155.

173. Schaffer J.D. A study of control parameters affecting online performance of genetic algorithms for function optimization / J.D. Schaffer // In Proceedings of the 3rd International Conference on Genetic Algorithms. - 1989. - P. 51-60.

174. Schneider J.J. Stochastic Optimization / Johannes J. Schneider, Scott Kirkpatrick. -Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006.

175. Sen S. Sensor network design of linear processes using genetic algorithms / Sen S., Narasimhan S., Deb K. // Computers and Chemical Engineering. - 1998. - 22. - P. 385.

176. Smith R.L. Efficient Monte Carlo procedures for generating points uniformly distributed over bounded regions / R.L. Smith // Operations Research. - 1984. - 32. -P. 1296-1308.

177. Solis F.J. Minimization by random search techniques / F.J. Solis and R.J-B. Wets // Mathematics of Operations Research. - 1981. - 6. - P. 19-30.

178. Stein O. On generalized semi-infinite optimization and bilevel optimization / O. Stein, G. Still // European J. Oper. Res. — 2002. — № 142. — P. 444-462.

179. Stroud A.H. Approximate Calculation of Multiple Integrals. - Prentice Hall: London, 1971.

180. Stutzle T. MAX-MIN ant system / Stutzle T., Hoos H. // Future Generation Computer Systems. - 2000. - 16(8). - P. 889-914.

181. Sutton P. / P. Sutton and S. Boyden. - Am. J. Phys. 62, 549, 1994.

182. Thoai N.V. A modified version of Tuy's method for solving D.C. programming problems / N.V. Thoai // Optimization. - 1988. - 19. - P. 665-674.

183.Topkis D.M. A note on cutting plane methods without nested constraints // Operations Res. Center. Univ. of Calif. Report No 69-36. - 1969.

184. Topkis D.M. Cutting plane methods without nested constraints // Oper. Res. -1970.-P. 404-413.

185. Torn A. Stochastic global optimization: Problem classes and solution techniques / A. Torn, M.M. Ali, and S. Viitanen//Journal of Global Optimization. - 1999. - 14. -

p. 437-447.

186. Towards Global Optimization 1. North-Holland / L.C.W. Dixon and G.P. Szego, editors. - Amsterdam, 1975.

187. Tuy H. Global minimization of the difference of two convex functions / H. Tuy // Mathematical Programming Study. - 1987. - 30. - P. 150-182.

188. Van Honstede W. An approximation method for semi-infinite programs // Lecture Notes in Contr. and Inform. Sci. - 1979. -V. 15. - P. 126-136.

189. Vaz A. A sequential quadratic programming with a dual parametrization approach to nonlinear semi-infinite programming / A. Vaz, E. Femandes, M. Gomes // Top. -2003.-№ 11(1). -P.109-130.

190. Watson L. Optimal design by a homotopy method / L. Watson and W.H. Yang // Applicable Analysis. - 1980. - 10. - P. 275-284.

191. Wendt M. Nonlinear chance constrained process optimization under uncertainty / Wendt M., Li P., Wozny G. // Ind. & Eng. Chem. Res. - 2002. - V. 41. - P. 36213629.

192. Westerlund T. An extended cutting plane method for solving convex MINLP problems / T. Westerlund and F. Pettersson // Computers and Chemical Engineering. - 1995.- 19.- 131-136.

193. Wodrich M. Cooperative distributed search: The Ant's way / M. Wodrich and G. Bilchev. - Journal of Control and Cybernetics. - 1997. - 26. - P. 3.

194. Zabinsky Z.B. Pure adaptive search in global optimization / Z.B. Zabinsky and R.L. Smith // Mathematical Programming. - 1992. - 53. - P. 323-338.

195. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. - 1965. - Vol. 8. - P. 338-353.

196. Zhigljavsky A.A. Theory of Global Random Search / A.A. Zhigljavsky. - Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 1991.

Приложение А - вспомогательные таблицы для примера проектирования системы реактор-теплообменник

Таблица А.1 - Нижняя оценка критерия задачи при кусочно-постоянной аппроксимации критерия по к точкам при у = 1,25

Номер итерации

1 2 3 4 5 6

/ 9783,61 9795,29 9808,06 9829,34 9836,39 9836,09

время, с 0,09 0,27 0,44 0,78 1,05 1,41

тх 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т,2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48

А 7,26 7,28 7,34 7,38 7,41 7,41

6 12 18 24 30 36

а, = 0,75 а2 - 0,95

/ 9867,64 9879,65 9885,83 9900,73 9916,50 9918,69

время, с 0,11 0,30 0,47 0,69 0,95 1,33

Г, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

тн2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,65 5,65 5,65 5,65 5,65 5,65

А 7,29 7,32 7,35 7,38 7,45 7,46

6 12 18 24 30 36

а, = 0,95 а2 = 0,95

/ 9989,09 10001,57 10018,11 10023,65 10038,24 10060,56

время, с 0,09 0,23 0,39 0,59 0,92 1,23

т, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т, г 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,90 5,90 5,90 5,90 5,90 5,90

А 7,34 7,38 7,44 7,46 7,51 7,58

6 12 18 24 30 36

ах =1 аг = 1

/ 10273,83 10287,34 10303,55 10308,92 10323,65 10327,64

время, с 0,04 0,12 0,24 0,38 0,68 1,07

Тг 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т* 2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

И 6,54 6,54 6,54 6,54 6,54 6,54

7,46 7,49 7,53 7,56 7,64 7,67

6 12 18 24 30 36

Таблица А.2 - Нижняя оценка критерия задачи при кусочно-постоянной аппроксимации критерия по к точкам при у = 1,5

Номер итерации

1 2 3 4 5 6

а, = 0,5 аг = 0,95

/ 9783,61 9800,12 9812,11 9834,80 9839,28 9839,08

время, с 0,09 0,27 0,45 0,66 0,92 1,20

Ъ 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т»г 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48

А 7,29 7,31 7,34 7,44 7,47 7,47

N. 6 12 18 24 30 36

- -а, =0,75 а2 =0,95

/ 9884,48 9901,55 9909,37 9930,71 9937,71 9937,41

время, с 0,09 0,24 0,45 0,67 0,94 1,27

389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Кг 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,68 5,68 5,68 5,68 5,68 5,68

А 7,34 7,36 7,38 7,44 7,47 7,47

6 12 18 24 30 36

а, = 0,95 а2 = 0,95

/ 10030,48 10048,34 10056,01 10077,43 10084,35 10084,05

время, с 0,09 0,23 0,42 0,70 0,97 1,31

т. 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Кг 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,99 5,99 5,99 5,99 5,99 5,99

А 7,42 7,44 7,47 7,51 7,54 7,54

6 12 18 24 30 36

а, = 1 а2 = 1

/ 10374,90 10394,52 10401,88 10423,48 10430,24 10429,95

время, с 0,08 0,21 0,36 0,61 0,87 1,14

тх 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

К 2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

6,78 6,78 6,78 6,78 6,78 6,78

Л 7,55 7,57 7,59 7,65 7,70 7,69

6 12 18 24 30 36

Таблица А.З - Нижняя оценка критерия задачи при кусочно-линейной

аппроксимацией критерия, у = 1,25

«1 аг № итерации /* время, с Тх Т V А

0,5 З&ЩГШ 0,95 9783,61 0,03 38$,00 355,00 5,48* 7,20 "6 "

2 9780,30 0,11 389,00 355,00 5,48 7,18 12

0,75 0,95 1 9867,64 0,03 389,00 355,00 5,65 7,24 6

2 9860,16 0,11 389,00 355,00 5,65 7,20 12

' 0,95 0,95 1 9989,09 ч 0,03 389,00 355,00 5,90 7,30 6

2 9981,37 0,09 г 389,00 355,00 5,90 7,26 12

1 1 1 10273,83 0,09 389,00 355,00 6,54 7,43 6

2 10265,57 0,16 389,00 355,00 6,54 7,38 12

Таблица А.4 - Нижняя оценка критерия задачи при кусочно-линейной аппроксимацией критерия, у = 1,5

«1 а2 № итерации Г время, с г, Т V А Кг

0,5 0,95 9783,61 0,09 * ^-а? л.» 389,00 155,00 5,48 7,20 6

2 9781,56 » -» 0,14 389,00 355,00 5,48 7,19 12

0,75 0,95 1 9884,48 0,08 389,00 355,00 5,68 7,25 6

2 9872,05 0,20 389,00 355,00 5,68 7,17 12

0,95 0,95 1 1003048 0,11 389,00 355,00 5,99 7,32 6

2 10017,51 0,17 389,00 355,00 5,99 7,24 12

1 1 1 10374,90 0,08 389,00 355,00 6,78 7,47 6

2 10360,68 0,18 389,00 355,00 6,78 7,38 12

Таблица А.5 - Нижняя оценка критерия задачи при аппроксимацией критерия по 5 точкам при у = 1,25

Номер итерации

1 2 3 4 5 6

/ 10585,64 10559,36 10559,36 10559,36 10559,36 10559,36

время, с 0,06 0,20 0,36 0,58 0,84 0,97

г, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48 5,48

А 9,31 9,18 9,18 9,18 9,18 9,18

6 12 18 24 30 36

«5=0,75 а2= 0,95

/ 10672,40 10649,66 10649,66 10649,66 10649,66 10649,66

время, с 0,06 0,19 0,31 0,50 0,72 0,73

г, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

г 5,65 5,65 5,65 5,65 5,65 5,65

А 9,35 9,23 9,23 9,23 9,23 9,23

N. 6 12 18 24 30 36

а, = 0,95 ог2 = 0,95

/ 10809,11 10779,94 10779,94 10779,94 10779,94 10779,94

время, с 0,08 0,18 0,36 0,57 0,84 0,94

389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,90 5,90 5,90 5,90 5,90 5,90

А 9,46 9,32 9,32 9,32 9,32 9,32

6 12 18 24 30 36

а, = 1 а2 = 1

/ 10835,13 10835,13 10835,13 10835,13 10835,13 10835,13

время, с 0,09 0,20 0,35 0,58 0,81 0,89

Г, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

^ 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 6,02 6,02 6,02 6,02 6,02 6,02

А 9,35 9,35 9,35 9,35 9,35 9,35

6 12 18 24 30 36

Таблица А.6 - Верхняя оценка критерия задачи при кусочно-постоянной аппроксимацией критерия по к точкам при у = 1,25

Номер итерации

1 2 3 4 5 6

— ир #2

/ 9879,62 9885,62 9902,32 9907,93 9930,36 9930,26

время, с 1,22 1,66 2,06 4,44 6,42 14,55

Ту 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т, 2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,66 5,66 5,66 5,66 5,66 5,66

А 7,30 7,32 7,38 7,41 7,48 7,48

я* 6 8 8 8 11 15

а, =0,75 а2 = 0,95

/ 9979,00 9984,16 10000,72 10006,27 10020,85 10020,07

время, с 1,09 3,19 5,92 13,49 36,94 187,17

г, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т,2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,87 5,87 5,87 5,87 5,86 5,86

А 7,34 7,37 7,42 7,46 7,53 7,53

6 8 10 14 22 38

ах =0,95 а2=0,95

/ 10129,73 10131,57 10147,95 10153,41 10168,07 10166,15

время, с 1,30 1,92 3,99 7,33 16,39 32,16

тх 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т,2 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 6,19 6,19 6,18 6,18 6,17 6,17

А 7,43 7,44 7,52 7,56 7,62 7,60

6 8 9 11 15 23

а, = 1 а2 = 1

/ 18326,03 18339,83 18345,07 18379,93 18388,38 18388,24

время, с 0,58 1,05 1,67 2,55 3,72 4,75

Г, 366,10 366,10 366,10 366,10 366,10 366,10

355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

К 22,17 22,17 22,17 22,17 22,17 22,17

20,25 20,25 20,25 20,26 20,26 20,26

6 8 10 12 14 16

Таблица А.7 - Верхняя оценка критерия задачи при кусочно-постоянной аппроксимацией критерия по к точкам при у = 1,5

Номер итерации

1 2 3 4 5 6

= 0,5 02>

/ 9899,13 9908,65 9916,47 9937,81 9944,80 9938,80

время, с 1,00 3,00 7,28 20,69 64,92 302,61

г, 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,70 5,70 5,70 5,70 5,70 5,70

А 7,35 7,37 7,42 7,47 7,49 7,47

к, 6 8 12 17 26 44

= 0,75 сс2 = = 0,95

/ 10018,42 10027,13 10034,82 10056,23 10063,15 10057,13

время, с 1,19 3,75 7,59 18,83 55,06 166,31

Г. 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

Т 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00

V 5,95 5,95 5,95 5,94 5,94 5,94

А 7,42 7,43 7,46 7,51 7,53 7,52

6 8 12 18 28 45

а, = 0,95 а2 = = 0,95

/ 10199,77 10204,65 10212,17 10233,68 10240,51 10233,20

время, с 1,31 4,19 7,06 12,09 25,14 73,50

т{ 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00 389,00

355,00 355,00 355,00 355,00 355,00 355,00