Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Побережный, Владимир Андреевич

• Побережный, Владимир Андреевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Побережный, Владимир Андреевич

1 Фуксовы и регулярные системы

1.1 Монодромия

1.2 Регулярность.

1.3 Пространство решений системы с регулярной особой точкой

1.4 Резонансные особые точки.

2 Изомонодромные деформации фуксовых систем

2.1 Пфаффовы системы.

2.2 Пространство решений изомонодромного семейства.

2.3 Шлезингеровские деформации.

2.4 Нешлезингеровские деформации.

2.5 Тэта-дивизор и тау-функция изомонодромной деформации

3 Калибровочные преобразования фуксовых систем и их изомо-нодромных семейств

3.1 Повышение нормирования

3.2 Понижение нормирования.

3.3 Калибровки, сохраняющие фуксов вид системы.

3.4 Калибровочные преобразования изомонодромных семейств

4 Изомонодромные деформации систем с коммутативной моно-дромией

4.1 Коммутативные системы.

4.2 Нерезонансные системы.

4.3 Построение резонансных изомонодромных семейств.

4.4 Алгебраические свойства изомонодромных деформаций систем с коммутативной монодромией.

4.5 Пример резонансного изомонодромного семейства.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией»

Изомонодромные деформации систем дифференциальных уравнений с мероморфными коэффициентами являются важной и активно разрабатываемой областью современной науки. При исследованиях в данном направлении широко используются методы таких наук, как дифференциальная и симплектическая геометрия, теоретическая физика, аналитическая теория дифференциальных уравнений, теория интегрируемых систем, теории специальных функций, абелевых интегралов и фробениусовых многообразий. В свою очередь, полученные результаты имеют приложения ко многим вопросам в указанных и во многих смежных областях науки.

Исторически, как и многие понятия и вопросы в теории дифференциальных уравнений, особенно в аналитической их теории, изомонодромные деформации впервые возникли в работах Б.Римана. Формулируя задачу, ставшую позже известной как проблема Римана, о существовании фуксовых уравнений с заданной монодромией, Б.Риман обратил внимание и на сохраняющие монодромию деформации таких уравнений. Позже выяснилось, что существует глубокая связь между изомонодром-ными деформациями и такими известными задачами того времени, как проблема Римана-Гильберта и задача о приведении к биркгофовой стандартной форме. Позднее, в начале двадцатого века, важные результаты, относящиеся к изомонодром-ным деформациям, были получены Л.Шлезингером, нашедшим простейший, в некотором смысле естественный, вид изомоно-дромных деформаций фуксовых систем, то есть систем с полюсами первого порядка. Л.Шлезингер также показал интегрируемость полученных им деформационных уравнений. Кроме этого Л.Шлезингером было найдено некоторое дискретное семейство калибровочных преобразований, сохраняющих монодромию системы. В тот же период П.Пенлеве и его ученики занимались задачей описания дифференциальных уравнений второго порядка, не имеющих критических подвижных особых точек. Позднее такое свойство уравнения стали называть свойством Пенлеве. В настоящее время с ним связывают также имя С.Ковалевской. В своей работе об интегрировании волчка она обратила внимание на то, что данное свойство выполняется лишь для трех специальных наборов параметров задачи. В первых двух случаях решения были найдены в работах Л.Эйлера и Ж.Лагранжа. В третьем случае ей удалось найти новые решения, воспользовавшись, таким образом, преимуществом того, что уравнение не имеет критических подвижных особых точек. Помимо уже известных и тривиальных П.Пенлеве и его учениками было найдено шесть новых уравнений, так называемых уравнений Пенлеве: Р1 — Ру1. Данные уравнения оказались исключительно важными и часто встречаемыми в различных областях науки. Все эти уравнения, как было установлено позднее, являются редукциями шестого уравнения Пенлеве - Ру1, которое, в свою очередь, оказалось эквивалентным уравнению шлезингеровской изомонодромной деформации фуксовой системы ранга два с четырьмя особыми точками. В общем случае решениями уравнений Пенлеве являются новые трансцендентные функции, имеющие большую важность для различных приложений и многих теоретических вопросов. В настоящее время активно исследуются различные асимптотические, алгебраические, геометрические и прочие свойства решений уравнений Пенлеве.

Существующая связь между изомонодромностью и свойством Пенлеве является крайне глубокой и фундаментальной. Оба эти свойства, в свою очередь, связаны с понятием интегрируемости, как оно трактуется в теории интегрируемых систем. Например, общие уравнения изомонодромных деформаций, описанные М.Джимбо, Т.Мива и К.Уено обладают свойством Пенлеве, а в теории интегрируемых систем известен также тест Пенлеве, связанный с проверкой уравнения на возможность его интегрируемости. Его идея заключается в том, что если нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных интегрируемо, то должна существовать некоторая процедура редукции, сводящая его к обыкновенному дифференциальному уравнению, обладающему свойством Пенлеве. В частности, известны такие редукции для уравнений Кортевега-де-Фриза, антисамодуаль-ных уравнений Янга-Миллса и многих других. Изомонодром-ные деформации дают один из самых богатых наборов уравнений, обладающих свойством Пенлеве, и этим объясняется такое широкое их распространение и использование в различных нелинейных задачах геометрии и физики.

Также крайне важным применением изомонодромных деформаций является исследование с их помощью алгебраических свойств решений различных нелинейных уравнений, которые можно представить как редукции уравнений деформаций. Несмотря на то, что решения уравнений изомонодромной деформации в общем случае невозможно выразить в явной форме через известные специальные функции, они являются новыми трансцендентными функциями; для некоторых частных случаев найти решения деформационных уравнений существенно легче, чем решения редуцированных нелинейных уравнений. Это дает возможность широкого применения изомонодромных деформаций к поиску решений, обладающих различными специфическими свойствами, для ряда важных нелинейных уравнений. Прежде всего, в этой связи следует упомянуть шестое уравнение Пенлеве, для которого многие алгебраические решения и наиболее изящное описание полной группы симметрии были получены именно с помощью изомонодромных деформаций.

В пятидесятые годы двадцатого века Х.Рёрль впервые применил в исследовании систем линейных дифференциальных уравнений (а точнее, он рассматривал проблему Римана-Гильберта) методы теории расслоений и связностей. Он предложил рассматривать систему линейных дифференциальных уравнений как набор уравнений на горизонтальные сечения для соответствующей связности в некотором расслоении. Такой подход оказался исключительно плодотворным и вскоре широко распространился и на другие вопросы теории дифференциальных уравнений. Следует отметить работы П.Делиня, исследовавшего аналогичными методами уравнения с частными производными. Существенную роль в его подходе сыграла также теория пучков. Для обыкновенных дифференциальных уравнений важнейшие достижения были получены Б.Мальгранжем. В ставшей классической работе "Sur les déformations isomon-odromiques" Б.Мальгранж решил в терминах расслоений и связ-ностей задачу о построении изомонодромной деформации заданной системы дифференциальных уравнений. Для этого он сначала представил фуксову систему как связность с логарифмическими особенностями на тривиальном расслоении над сферой. Следующим шагом было представить эту пару расслоение-связность как ограничение на сферу некоторой плоской меро-морфной связности, определенной на большем расслоении с базой, имеющей вид прямого произведения сферы на пространство параметров деформации. В качестве последнего в классическом случае берут Сп без диагоналей, то есть С1 \ U^{щ = aj}. В этом случае условие отсутствия диагональных гиперплоскостей означает запрет на слияния особых точек. Плоскую связность можно, в свою очередь, трактовать как вполне интегрируемую пфаффову систему. Следовательно, как всякое ограничение вполне интегрируемой пфаффовой системы на подмногообразие размерности один, конструкция Мальгранжа дает изо-монодромное семейство линейных дифференциальных систем. Кроме того, Б.Мальгранж показал, что уравнения изомонодромной деформации обладают свойством Пенлеве, то есть имеют среди своих подвижных особых точек только полюса. Множество данных особенностей образует аналитическое множество коразмерности один и называется дивизором Мальгранжа или тэта-дивизором.

Дивизор Мальгранжа играет важную роль в описании свойств и структуры изомонодромных деформаций. С одной стороны, как мы уже указали, данный дивизор является множеством подвижных особых точек некоторого уравнения, обладающего свойством Пен леве. В соответствии со свойством Пенлеве, все его точки являются полюсами конечного порядка, то есть данное множество действительно является дивизором. С другой стороны, можно заметить, что в нерезонансном случае дивизор Мальгранжа в точности совпадает с множеством точек, для которых расширенная проблема Римана-Гильберта, заключающаяся в построении фуксова уравнения с заданными монодромией, особенностями и асимптотиками, решения не имеет. В резонансном случае, ввиду дополнительных симметрий, необходимо более тонкое рассмотрение.

Еще одним аспектом изомонодромных деформаций, при исследовании которого возникает тэта-дивизор, является изучение их симплектических свойств. Как известно, отображение монодромии является симплектическим отображением из пространства модулей связностей в пространство модулей представлений. Последнее можно рассматривать как симплектический фактор произведения орбит относительно некоторого коприсо-единенного действия калибровочной группы. Изомонодромные деформации в таком подходе задаются симплектической связностью в расслоении над пространством параметров деформации. Дивизор Мальгранжа при этом описывает множество точек, на котором происходит нарушение и вырождение различных симплектических свойств теории. Современное описание симплектической геометрии изомонодромных деформаций можно найти в работах Ф.Болча и Б.Мальгранжа.

В семидесятые годы М.Джимбо, Т.Мива, М.Сато и К.Уено исследовали изомонодромные деформации с помощью гамиль-тонова формализма и пуассоновой геометрии. При этом оказалось, что важную роль в описании изомонодромных деформаций играет их тау-функция. Эта функция зависит от параметров деформации и является производящей функцией гамильтонианов в задаче изомонодромной деформации. Данная тау-функция аналогична тау-функциям интегрируемых систем, однако зависит от конечного числа параметров. Вопрос об эквивалентности тау-функций изомонодромной деформации и интегрируемых иерархий до конца еще не выяснен. Известно, что дивизор Маль-гранжа совпадает с множеством нулей тау-функции изомонодромной деформации. На настоящий момент не известен эффективный способ вычисления тэта-дивизора, существующие алгоритмы позволяют получать лишь локальные характеристики дивизора.

В настоящее время исследование тэта-дивизоров изомонодромных деформаций является важной и активно разрабатываемой темой в аналитической теории дифференциальных уравнений.

Как уже отмечалось выше, резонансные системы и изомоно-дромные семейства, вызывают известные сложности при исследовании. Это объясняется, с одной стороны, более сложной и богатой структурой системы или семейства чем в нерезонансном случае, и нарушением или вырождением некоторых базовых свойств системы или семейства, с другой стороны. На настоящий момент существует довольно малое количество работ, посвященных системам с резонансными особыми точками. Еще раз подчеркнем, что это вызвано не незначительностью предмета, а сложностями в его исследовании.

Настоящая работа посвящена исследованию изомонодромных деформаций фуксовых систем, имеющих коммутативную мо-нодромию. Важной особенностью коммутативной монодромии является то, что для любого набора особых точек и заданного представления коммутативной группы легко явно предъявить решение соответствующей проблемы Римана-Гильберта, то есть фуксову систему с заданными особенностями и моно-дромией. Более того, данное явное решение тривиальным образом можно продолжить до изомонодромного семейства. В таком тривиальном изомонодромном семействе вычеты системы не зависят от положения полюсов и остаются неизменными при всех деформациях. Если теперь провести калибровочное преобразование данного семейства, то мы получим другое, в общем случае уже нетривиальное, изомонодромное семейство. Возможно, оно будет иметь особенности, то есть некоторый тэта-дивизор. Так как все эти особенности содержатся в проведенной калибровке, за их появлением можно проследить, и получить описание тэта-дивизора построенного изомонодромного семейства.

В настоящей работе построен набор элементарных калибровочных преобразований, применимых как к фуксовым системам, так и к их изомонодромным семействам. С помощью построенных преобразований проведено исследование различных, в том числе резонансных, изомонодромных семейств фуксовых систем. Оказывается, что в отличие от нерезонансного случая, когда система однозначно определяется своей монодромией, набором особых точек и показателей, и всякие две системы с совпадающими наборами указанных данных отличаются на постоянную матрицу, наличие в системе резонансов может привемти к существованию непрерывного множества неэквивалентных фуксовых систем с заданными монодромией, особенностями и показателями. Данное свойство объясняется тем, что в резонансном случае в описание пространства решений системы входят дополнительные параметры, а именно, системы могут отличаться выбором направлений, соответствующих резонансным асимптотикам системы. Последние, в общем случае, не определяются однозначно из монодромии системы. Так как всякая резонансная система полностью описывается своей монодромией, особенностями, показателями и набором выделенных резонансных направлений, то множество непрерывных изомонодромных деформаций такой системы помимо шлезингеровских, в общем случае ненормализрванных, деформаций включает в себя и непрерывные деформации резонансных направлений системы. В общем случае, такие деформации не зависят от деформаций положения полюсов системы. Ввиду однозначности определенной описанным набором данных системы, множество ее непрерывных изомонодромных деформаций исчерпывается указанными двумя типами деформаций.

Применяя построенные изомонодромные деформации к исследованию изомонодромных семейств с коммутативной монодро-мией, можно показать, что все такие деформации являются рациональными. То есть, коэффициенты соответствующей пфаффовой формы суть рациональные функции, как от положения полюсов системы, так и от дополнительных параметров, возникающих в резонансном случае. Соответственно тэта-дивизор и тау-функция семейства также задаются рациональными функциями.

Основными результатами, полученными в работе, являются следующие:

1. Построены рациональные калибровочные преобразования изомонодромных семейств.

2. Дано полное описание непрерывных изомонодромных деформаций фуксовых систем с коммутативной монодромией.

3. Показано, что в резонансном случае помимо положения полюсов системы могут существовать дополнительные параметры деформации. Объяснена природа этих дополнительных параметров.

4. Показано, что изомонодромные деформации фуксовых систем с коммутативной монодромией имеют рациональный вид.

5. Показано, что тэта-дивизор изомонодромного семейства с коммутативной монодромией задается рациональным уравнением.

6. Построены явные примеры изомонодромных нешлезинге-ровских семейств с коммутативной монодромией, обладающих дополнительными параметрами.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Дифференциальных уравнений Математического института им. В. А. Стек лова РАН, на естественно-научном и студенческом семинарах в ФГУП ГНЦ РФ Институте теоретической и экспериментальной физики. Также результаты докладывались на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004) и международных конференциях "Théories asymptotiques et équations de Painlevé" (Анжер, Франция, 2004), "Singularités des équations différentielles, systèmes intégrables et groupes quantiques" (Страсбург, Франция, 2004), "4-еме Rencontre sur les systèmes complètement intégrables et la théorie quantique des champs" (Пейреск, Франция 2004).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Текст диссертации содержит 86 страниц.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Побережный, Владимир Андреевич

5 Заключение

В заключение перечислим еще раз основные результаты выдвигаемые на защиту.

1. Построены рациональные калибровочные преобразования изомонодромных семейств.

2. Дано полное описание непрерывных изомонодромных деформаций фуксовых систем с коммутативной монодромией.

3. Показано, что в резонансном случае помимо положения полюсов системы могут существовать дополнительные параметры деформации. Объяснена природа этих дополнительных параметров.

4. Показано, что изомонодромные деформации фуксовых систем с коммутативной монодромией имеют рациональный вид.

5. Показано, что тэта-дивизор изомонодромного семейства с коммутативной монодромией задается рациональным уравнением.

6. Построены явные примеры изомонодромных нешлезинге-ровских семейств с коммутативной монодромией, обладающих дополнительными параметрами.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. В.А. Побережный, О монодромии уравнения Римана, Доклады первой международной школы ИТФ-ИТЭФ по теоретической и математической физике, Киев, 164-179.

2. В.А. Побережный, О специальных группах монодромии и проблеме Римана-Гильберта для уравнения Римана, Мат. Заметки, 2005, т. 77, 4.

3. В.А. Побережный, Об изомонодромных деформациях фуксовых систем с коммутативной монодромией, препринт 1ТЕР-ТН-08/05, Доклады РАН, принята к публикации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Побережный, Владимир Андреевич, 2005 год

1. Fuel. L. Fuchs Zur Theorie der linearen Differentialgleichungen mit veränderlichen Koeffizienten // J. für Math. 1868, V. 68, 354-385

2. Hitl. N. Hitchin Stable bundles and integrable systems // Duke Math.J. 54 (1987), 91-114

3. Hit2. N. Hitchin Geometrical aspects of Schlesinger^ equation J. of Geom. and Phys. 23(1997), 287-300

4. JMS. M. Jimbo, T. Miwa, M. Sato Holonomic quantum fields II // Publ. RIMS 1979, V. 15, 201-278.

5. JMU. M. Jimbo, T. Miwa, K. Ueno. Monodromy preserving deformation of the linear ordinary differential equations with rational coefficients I, II // Publ. RIMS 1978, V. 14, 223-267; 1979, V. 15, 201-278.

6. Kitl. A.V. Kitaev Special Functions of the Isomonodromy Type, Rational Transformations of Spectral Parameter, and Algebraic Solutions of the Sixth Painlevé Equation // St. Petersburg Math. J. 14 (2003), no. 3

7. Kit2. A.V. Kitaev Non-Schlesinger Deformations of Ordinary Differential Equations with Rational Coefficients // nlin.SI/0102019

8. Kor. D. Korotkin, N. Manojlovic, H. Samtleben Schlesinger transformations for elliptic isomonodromic deformations // J.Math.Phys. 41 (2000) 3125-3141

9. Kosl. Vladimir Petrov Rostov On the Deligne-Simpson problem // Proc. Steklov Inst. v. 238 (2002)

10. Kos2. Vladimir Petrov Rostov On the Deligne-Simpson problem and its weak version // Bulletin des Sciences Mathématiques 128/2 (2004) 105-1251.v. Levelt A.H.M. Hypergeometric functions. // Proc. Rnkl. netherl. Acad.wetensch., Ser A., 1961 vol 64.

11. Mal. B. Malgrange Sur les déformations isomonodromiques. /// Progr. Math., vol 37, Birkhäuser, Boston

12. Pal. J. Palmer Zeroes of Jimbo, Miwa, Ueno tau function // J. Math. Phys. 40 (1999), 6638-6681

13. Schll. L. Schlesinger Uber Lösungen gewisser Differentialgleihun-gen als Funktionen der singularen Punkte // J. Reine Angew. Math. 129 (1905), 287-294

14. Schl2. L. Schlesinger Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischen Punkten // J. Reine u. Angew. Math. 1912, V. 141,96-145

15. Boll. Болибрух A.A. 21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем)/ Труды МИАН, Наука, 1994. том 206.

16. Во12. Болибрух A.A. Фуксовы дифференциальные уравнения и голоморфные расслоения МЦНМО, Москва, 2000.

17. Во13. Болибрух A.A. Об изомонодромных слияниях фуксовых особенностей!! Труды МИАН, 1998, 224, 112-121.

18. Во14. A. Bolibruch/ On orders of movable poles of the Schlesinger equation!! J. Dynam. Control Systems, 2000,6(1),57-74

19. Bol5. A. Bolibruch On tau-function for the Schlesinger equation of isomonodromic deformation

20. Dubl. В. Dubrovin Geometry of 2D topological field theories // L.N.Math., Springer, Vol 1620, (1995) 120-348

21. Dub2. B. Dubrovin Painlevé transcendents in two-dimensional topological field theory The Painlevé property, Springer, New York, 1999,287-412

22. Gan. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц Наука, 1998

23. Gol. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Гостехтеоретиздат,1950.1.. A. Its and V. Novokshenov The isomonodromic deformation method in the theory of Painleve equations// L.N.Math., Springer, Vol. 1191 (1986)

24. NY. D. Novikov, S. Yakovenko Lectures on meromorphic flat connections// arXiv:math.CA/0212334

25. Rim. Риман Б. Сочинения Гостехтеориздат, 1948