Обратные задачи математического моделирования технологических процессов цементации и азотирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Гласко, Юрий Владленович

• Гласко, Юрий Владленович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гласко, Юрий Владленович

Введение.

Математические модели технологии цементации и их идентификация методом обратных задач.

1.1 Задача об определении коэффициента массообмена (3 на границе металла с атмосферой по измерениям на поверхности.

1.1.1 Постановка задачи об определении ¡3 для линейной модели.

1.1.2 Теорема единственности решения обратной задачи.

1.1.3 Постановка задачи об определении зависимости (3 от концентрации для линейной модели диффузии в металле. Теорема единственности.

1.2 Задача об определении коэффициента диффузии Б (и) для квазилинейного процесса цементации.

1.2.1 Постановка задач для различных моделей зависимости Б от концентрации.

1.2.2 Вопрос о единственности решения при использовании полной информации о поле концентрации.

1.2.3 Теоремы о единственности при определении Б (и) по минимальной дополнительной информации.

1.2.4 Постановка апробирующего математического эксперимента.

1.3 Математическая модель состояния науглероживающей атмосферы и ее коррекция по некоторым параметрам. 38 1.3.1 Равновесная модель состояния газовой атмосферы.

1.3.2 Возможная неопределенность модели и постановка задачи ее коррекции относительно константы равновесия.

1.3.3 Математическая постановка обратной задачи и вопросы ее корректности.

1.3.4 Результаты математического эксперимента.

1.3.5 О способе расчета равновесного состояния газовой атмосферы печи по начальным данным.

1.4 Коррекция модели процесса цементации с учетом легирования и ее автоматизация.

1.4.1 Постановка задач.

1.4.2 Программа автоматизации вычисления параметра легирования е.

1.4.3 О прогнозировании диффузионного поля с поправкой на легирование.

2 Задачи управления технологическим процессом цементации.

2.1 Задача управления процессом диффузии в технологии

• цементации.

2.1.1 Постановка обратной задачи управления.

2.1.2 О существовании решения задачи.

2.1.3 О существовании и единственности решения задачи управления для нелинейной модели диффузии.

2.1.4 О неустойчивости решения задачи управления и ее регуляризации.

2.2 Феноменологическая модель управления диффузией с помощью выбора параметра в граничном условии и методы автоматизированного подбора решения.

2.2.1 Технологические модели и вопросы корректности постановки задачи управления диффузией.

2.2.2 Номограммы для подбора управляющих параметров.

2.2.3 Использование асимптотического анализа в целях экономизации алгоритма решения задачи

2.2.4 Об алгоритме решения задачи программного управления.

2.3 Задача управления цементацией посредством выбора параметров газовой атмосферы.

2.3.1 Постановка вопроса.

2.3.2 Задачи управления стационарным состоянием газовой атмосферы по заданному углеродному потенциалу.

2.3.3 Об управлении параметрами начального состояния атмосферы при заданном углеродном потенциале.

2.4 Задача об управлении состоянием поверхности металла в условиях частичной неопределенности модели.

3 Некоторые обратные задачи технологии азотирования. т 3.1 Математическая модель многофазной диффузии и задачи ее идентификации.

3.1.1 Термодинамическая модель процесса.

3.1.2 Задачи об определении равновесного азотного потенциала в У и е-фазе. Теоремы единственности.

3.1.3 Об идентификации модели по физическим параметрам (3 и И.

3.1.4 Об алгоритмах решения обратных задач идентификации.

3.1.5 О результатах математического эксперимента. 98 3.2 Математическая модель переходной зоны и вопросы ее идентификации.

3.2.1 Постановка вопроса.

3.2.2 Физико-химическая трактовка границ существования фаз при азотировании и формулы предельных концентраций.

3.2.3 О кинетике процессов в переходной зоне и модели локального источника концентрации азота.

3.2.4 Аппроксимация физических параметров материала в переходной зоне.

3.2.5 Задача об идентификации источника по наблюдениям на поверхности для нелинейной модели.

3.2.6 Идентификация источника для линейной модели без количественных ограничений на физические параметры.

3.2.7 Методика и результаты математического эксперимента по определению плотности источника в переходной зоне.

3.3 Задача управления процессом азотирования.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Математические модели управления и вопросы существования решения.

3.3.3 О единственности и устойчивости решения обратной задачи управления.

3.4 Номограммы для управления процессом азотирования.

3.4.1 Постановка задачи.

3.4.2 Параметры номограмм.

3.4.3 О предварительной обработке поля концентраций для получения параметров номограмм.

3.4.4 Построение номограмм и их использование.

О реализованных численных алгоритмах решения краевых и вариационных задач.

4.1 Итарационно-разностные методы решения рассмотренных краевых задач азотирования и цементации.

4.1.1 Общая конструкция метода.

4.1.2 Разностная схема и ее обращение.

4.1.3 О сходимости итерационного процесса.

4.2 О реализации общего регуляризирующего оператора А.Н.Тихонова.

4.2.1 Анализ реализованных нами стабилизаторов.

4.2.2 Оценка непрерывности оператора прямого отображения Къ в рассмотренных задачах.

4.3 О минимизирующих алгоритмах.

4.3.1 Метод Розенброка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи математического моделирования технологических процессов цементации и азотирования»

1.Современное представление о математическом моделировании, как одном из наиболее эффективных средств изучения реальных процессов и явлений, применяемом в нашей стране в широком круге научных исследований, восходит к работам академика А.А.Самарского [77], [78], который еще в 1984г. охарактеризовал достигнутое состояние следующим образом : "Можно утверждать, что. математическое моделирование и вычислительный эксперимент представляют собой универсальную научную методологию, реализующую цепочку: объект - модель - вычислительный алгоритм - программа для ЭВМ - расчет на ЭВМ - анализ результатов расчета - управление объектом."

Экстенсивное развитие этой методологии в настоящее время сопряжено, в частности, с расширением технических возможностей вычислительной техники (персональные компьютеры, сети ЭВМ и т.д.).

Задачи управления реальными объектами успешно и в достаточно широком круге работ [2], [5], [б], [13], [18], [34], [85], [88], [100] и др. систематически решаются на множестве различных технологических процессов. В этом случае элементарные естественные законы, определяющие процесс предполагаются хорошо изученными, а математические модели часто представляют собой краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных, зависящих от числовых или функциональных параметров -физических характеристик управляющего режима или материала-носителя процесса.

Ввиду достаточной сложности математических моделей, важное значение имеет разработка экономичных алгоритмов для расчета эффектов управления. Однако, еще большего внимания требует анализ вопросов корректности для возникающих при этом обратных задач. Отметим в этой связи, что согласно классификации из [88] сама задача управления (как и задача синтеза) в ее точной постановке относится к классу обратных, поскольку ее содержанием является определение управляющих функциональных параметров, приводящих к заранее заданному, требуемому, результату (обратная задача "типа управления"). Поскольку обратные задачи относятся, как правило к числу некорректных, (в частности - неустойчивых) место вопросов корректности при решении таких задач очевидно. С другой стороны, реализация модели процесса предполагает известными ее числовые и функциональные параметры. Однако, они далеко не всегде известны и часто не могут быть предметом прямого физического эксперимента по их определению [б]. В этом случае может оказаться полезным косвенный эксперимент, когда значения неизвестных параметров определяются по данным наблюдения над возникающими при этих значениях физическими полями. Это означает дополнение косвенных экспериментальных данных решением некоторой обратной задачи (задачи типа интерпретации данных физического эксперимента [91]), и постановка такой задачи также требует изучения вопросов ее корректности. Постановка обратных задач обеих типов и изучение вопросов их корректности, а также разработка и реализация методов их решения применительно к конкретным технологическим процессам является главной целью настоящей диссертации. Отметим, что замена феноменологических параметров модели ее более глубокими микроскопическими параметрами (например, коэффициента теплопроводности - его выражением на основе молекулярной теории) не снимает, вообще говоря проблемы: микроскопическая модель также зависит от некоторых параметров, которые не всегда известны.

Как известно, [7], [91], к числу вопросов корректности постановки задачи относятся следующие: (а) существование решения задачи; (б) единственность решения; (в) устойчивость по отношению к малому возмущению входных данных.

Основы теории решения некорректно поставленных задач (теории регуляризации) заложены в работах отечественных ученых [87], [89], [35], [56], и их учеников. В настоящей работе автор опирается на соответствующие фундаментальные результаты, касающиеся как корректной постановки обратных задач, так и методов построения регуляризирующих алгоритмов для их решения.

В части реализации алгоритмов решения задач управления мы опираемся также на теорию конечно-разностных схем, основы которой заложены в работах академика А.А.Самарского и его учеников [79], [81], [82].

2. Технологические процессы, моделированию которых посвящена настоящая диссертация предназначены для поверхностного упрочнения стальных деталей машин и механизмов с помощью химико-термической обработки поверхностей. Результатом ХТО является преобразование микроструктуры приповерхностных слоев, и соответствующее этому приобретение деталями физико-механических свойств, обеспечивающих надежность их в эксплуатации [10], [60], [61]. Изучению математических моделей упрочняющих технологий различных типов посвящена монография [88]. В работах [5], [100] анализируются модели высокочастотной закалки; в обзорной работе [68] обсуждаются рекомендованные технологами математические модели газового насыщения металлов; работа [85] посвящена проблеме моделирования нитроцементации (совместного насыщения стали углеродом и азотом при достаточно высоких температурах ~ 700°С).

В настоящей диссертации решаются задачи, связанные с двумя различными технологиями упрочнения материала: это цементация - насыщение стали углеродом при температурах 850 — 1050°С, и азотирование - процесс, осуществляемый при температурах 550 — 750°С. Обе эти технологии реализуются обычно с помощью специальной газовой печи куда [53], [86] загружаются детали, и атмосфера которой содержит необходимые для насыщения компоненты.

Основным элементом математической модели каждого из названных процессов является квазилинейное уравнение параболического типа, описывающее диффузию образующегося в атмосфере печи газа в металл. Краевым задачам для таких уравнений в самой общей постановке посвящена обширная литература [57], [58], [96]; проблемы корректности постановки соответствующих "прямых" задач, по крайней мере в интересующих нас пределах можно считать решенными, и мы опираемся на эти результаты. Так для краевой задачи:

6 Q = {(x,í) :0<x <7,0 <f<í} (0.1) ni \ du №)№)-«)U (0-2) x=0 du

77- =0,ti|t=o = tio(®), (0.3) ox x-i единственное классическое решение существует при достаточных условиях: D(u) G Cl[R\,R2], (3(и) G C°[i?i,i?2], где fíi = m]nu(x,¿), R2 = maxu(x,t); C(t) € C°[0,¿); «0(a?) e C°[0,/]; Q Q u° = /5(uo) (C(0) - wo)L=o [58]. Ради краткости, мы x=0

D{u0) йх будем именовать во введении подобные совокупности условий условиями однозначной разрешимости краевой задачи. Нас будут интересовать вопросы корректности соответствующих обратных задач, предлагаемые постановки которых вытекают из проведенного нами анализа существующей экспериментальной информации о физических параметрах материала [25], [26]. В плане корректности постановки мы будем рассматривать также задачи управления названными процессами. Сходные в основных элементах модели, эти процессы оказываются существенно различными по своей физической структуре. Процесс азотирования оказывается в отличие от цементации многофазным и протекающим с образованием полезных химических соединений насыщающего газа с металлом. Соответственно, различными (например, в краевых условиях, описании источников насыщающего вещества) оказываются математические модели в целом. Обнаруживается и различие в разрешающих алгоритмах. Эти обстоятельства определили структуру предлагаемой диссертации.

Первая и вторая главы посвящены математическим проблемам, связанным с технологией цементации; в третьей рассматриваются математические проблемы, связанные с технологией азотирования. Некоторые вопросы реализации алгоритмики решения математических задач, используемой в предшествующих главах рассматриваются в четвертой главе. В заключении предлагается краткий перечень результатов, полученных в настоящей диссертации. Имеется библиографический список, содержащий 108 ссылок на отечественную и зарубежную литературу. Результаты иллюстрируются рисунками и таблицами в конце текста.

3. Задачи идентификации моделей по некоторым параметрам допускают формулировку в виде операторного уравнения [89] :

Az = и, (0.4) если z £ Z идентифицируемый параметр, и 6 U - косвенная о нем информация, Z и U соответствующие метрические пространства.

В таких задачах проблемму существования решения мы будем понимать в смысле Тихонова-Лаврентьева [79], [88], [56]. Предположение о том, что решение существует, означает в этом случае, что и £ С/д, где Ua — множество отображений Z с помощью оператора А.

Проблема единственности операторного уравнения, рассматривается в рамках точной модели и понимается в классическом смысле: если Z\,Z2 - решения (0.4): z\ ф Z2, то Az\ ф Az<¿.

Проблема устойчивости (для априори неустойчивой по входным параметрам модели) решается в смысле А.Н.Тихонова - как задача построения регуляризирующего оператора. Ее решение дополняется математическим экспериментом, апробирующим алгоритм и дающим оценку модулю непрерывности [56].

Ниже дается более детальное описание структуры работы с краткой формулировкой ее основных результатов.

4. В первой главе обсуждаются проблемы идентификации математических моделей цементации по ряду физических параметров. Для этой цели используется "метод обратных задач" [84], [88]. В разделе 1.1 формулируются граничные обратные задачи об определении по минимальной дополнительной информации коэффициента массо-обмена /3 на границе металла с атмосферой.

Вводится понятие монотонности процесса, когда в любой момент поток вещества через границу атмосферы внутрь металла положителен.

Для математической модели (0.1-0.3), где C(t) - управляющий процессом "углеродный потенциал" атмосферы, a D(u) = Dq = Const у оказываются справедливы нижеследующие утверждения. При ß = Const операторное уравнение (0.4) зададим в виде: = u(0, t,ß)-ü = 0, (0.5) при этом Uа - множество значений «(0, ¿), соответствующих различным ß Е (0, /?*), при некотором ß*,ü- заданная на поверхности концентрация. Теорема 1: Для монотонного на [0,¿] процесса и для ü G Ua существует ß* такое, что уравнение (0.5) имеет единственное решение на (0,/?*). Предложенная постановка задачи апробируется численным экспериментом.

При ß = ß(u) в качестве минимальной дополнительной информации можно принять w(0, t) = <p(t), t € [0, í]. Тогда для модели (0.1-0.3), определенной на полуограниченной прямой: х G (0, со), |w(:r,í)| < +оо, оказывается верной Теорема 2: Пусть C{t) е C°[0,¿]; uoW € С°[0,+оо), и lim щ(х) = 0;

X 1 > i 00 u) G C°[fíi,i?2]; <p(t) € C^Ojí):- справедливы равенство: ß(<p(0) - C(0)) = Г>п'0(0) - и неравенство: C(t) -4>{t) ^ 7 > 0 ПРИ í G [0,f]. Тогда уравнение (0.4) может иметь только одно решение.

В разделе 1.2 анализ единственности проводится для задач об определении по различным входным данным коэффициента диффузии углерода в металл.

Представляет интерес следующее утверждение, относящееся к использованию максимальной информации о поле концентраций. Теорема 3. Бели задача (0.1—0.3) однозначно разрешима ди при краевом условии —D— = g(í), где q(t) — заданная

ОХ х=0 функция, то решению этой задачи, известному всюду в Q может соответствовать лишь одна функция D(u) из множества дифференцируемых в области определения. В технологических работах [68] рассматривается модель коэффициента диффузии вида: D(u)=a+bu.

Оказывается однако, что даже полная информация о поле концентраций для такой модели не гарантирует, вообще говоря, однозначности решения обратной задачи относительно D(u).

Введем определение: Поле концентраций u(x,t) для "технологической" модели назовем вырожденным, если существует Л = Const и функции A(t) и B(t) такие, что либо u(x,t) = А ± y/A(t)x + B(t) + Л2, либо u(x,t) = A(t)x + B{t).

Теорема 4. Бели поле концентраций не вырождено то по полной информации о нем в любой (сколь угодно малой) окрестности им0 любой Mq £ Q коэффициент диффузии однозначно определяется на множестве моделей: D(u)=a+bu (при постоянных а и Ь).

Известно [70], что если D(u) является аналитической функцией в области определения, как например в вышеприведенной модели коэффициента диффузии, то для ее однозначного определения достаточно знать <p(t) = u(0,t),t 6 [0, ¿]. Оказывается, при D(u)=a+bu можно ограничиться и меньшей информацией. Обозначим р = {а, 6}, и пусть q = {y?i = (p(ti),(p2 = ^(^2)}, если ti,t2 G [0,í],(íi -ф ti). Теорема 6: Бели процесс монотонный, и (pi ф ср2 то не может существовать более одного решения обратной задачи: q р.

Предлагаемый для практических целей регуляризирующий по А.Н.Тихонову алгоритм апробируется в математическом эксперименте для технологической модели D(u) и дается апостериорная оценка модуля непрерывности. Для совместной модели диффузии и стационарного состояния науглероживающей атмосферы необходимо знать, в частности, константу равновесия К для реакции распада, с выделением атомарного углерода, какой либо углеродосодержащей компоненты газовой атмосферы на поверхности металла. Поскольку, по экспериментальным данным эта величина дается с большой неопределенностью: К € [Ki, К2] = А - в разделе 1.3 предлагается обратная задача об ее определении по косвенным данным о поле концентраций. Для однозначного решения такой задачи оказывается достаточно значения ü = w(0, t). Известно, что искомая величина К может быть связана при равновесном состоянии атмосферы с ее постоянным углеродным потенциалом Со трансцендентным уравнением вида Ф(К,Со) = 0, определяющим функциональную зависимость Со = Bi(K); пусть ^(Со) = u(0, t) определяется решением краевой задачи (0.1-0.3). Если В(f) = Bi(£)B2(Cq), то искомая величина £ = .К" определяется уравнением вида:

К) = Щ) - й = 0, (0.6) с алгоритмически заданной левой частью. Пусть Ai - отображение Д с помощью оператора В, тогда верна Теорема 8: При щ(х) = щ = Const; D(u) £ Cl(RuRi), R\ = Я2 = щ

D(u) > 0, Щи) > 0; ß £ С°[ЯьД2]; й £ Д1 - существует значение i > 0, при котором уравнение (0.6) имеет и притом единственное решение f £ Д. Методом математического эксперимента дается оценка модуля непрерывности при определении К для реакции: 2СО ^ С + С02.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Гласко, Юрий Владленович

Заключение

Кратко сформулируем основные научные результаты выносимые на защиту.

1. Разработаны и реализованы в виде программ для ЭВМ методы расчета диффузионных полей для двух различных технологий (цементации и азотирования) газового насыщения стальных деталей.

2. Сформулированы обратные задачи по определению числовых, физических и управляющих параметров для модели насыщения металла углеродом, модели равновесного состояния насыщающей атмосферы, модели азотирования. Доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующих обратных задач. Предложены и апробированы регуляризирующие алгоритмы их решения.

3. Для технологии азотирования предложена феноменологическая модель, в которой смена фаз происходит в переходной зоне, где действует внедиффузионный источник азота. Сформулирована обратная задача о плотности внедиффузионного источника и доказана теорема единственности ее решения. Предложен и апробирован соответствующий регуляризирующий алгоритм решения данной обратной задачи.

4. Для решения задач управления процессом цементации разработан экономичный алгоритм, использующий асимптотическое представление диффузионного поля.

5. С помощью математического эксперимента при использовании регуляризирующих по А.Н.Тихонову алгоритмов, даны оценки достаточной для практических целей точности измерения экспериментальных данных. На основе математического моделирования процессов даны количественные оценки распределения диффундирующих веществ или кристаллических фаз в металле. Разработаны номограммы, позволяющие технологу оптимизировать процессы цементации и азотирования непосредственно в ходе производства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гласко, Юрий Владленович, 2004 год

1. Алифанов О.М. Идентификация процессов тепло- и массообмена по методу обратных задач. Материалы международной школы-семинара. Часть 2 Минск: ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1981г.

2. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М: Машиностроение, 1979г.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экспериментальные методы решения некорректных задач.- М: Наука, 1988г.4^ Альберг Дж., Нильсон Э., Уолшг Дж. Теория сплайнов^ и ее приложения М: Мир, 1972г.

4. Андреев Ю.Н., Федоренко Р.П., Черняховский Е.З. Опыт применения приближенных решений задач оптимального управления в инженерно-конструкторских разработках // Автоматика и телемеханника. 1980, N 9, с. 5-12.

5. Аншценко Л.М., Лавренюк С.Ю. Математические основы проектирования высокотемпературных технологических процессов. М.: Наука, 1980г.

6. Hadamar «ЦАдамар Ж.) Le probleme de Cauchy et les equations auxderivees partielles lineaires hyperboliques. París: Hermann Р., 1932.

7. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М: Наука, 1972г.

8. Binder A., Engel H.W., Vesella S. Soe inverse problems for a nonlinear papabolic equation, connected with continuos casting of stell:stability estimates an regularization. // Numer. Funct. Annal and Optimiz 1990. - v. 11. - N 7-8. - p.643-671.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1 М.: Наука, 1966г.

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. т.И М.: Наука, 1960г.

11. Блантер М.Е. Теория термической обработки. М.: Металлургия, 1984г.

12. Богомолова И.А., Кальнер В.Д., Кулик Н.И. и др. О некоторых обратных задачах, связанных с управлением диффузионными и тепловыми процессами. // ИФЖ 1987г., т.53, N 5, с.835-843.

13. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987г.

14. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана. Сб. научн. тр. Численные методы в газовой динамике. / BIT МГУ / Изд— во МГУ, 1965г., т.4.

15. Булгач A.A., Солодкин Г.А. Моделирование на ЭВМ кинетики роста нитридов в азотированном слое. // Металловедение и термическая обработка. 1984г., N 1.

16. Булгач A.A. Исследование и разработка расчетной модели технологических режимов регулируемых процессов газового азотирования: Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук МАДИ, 1979г.

17. Бутковский А.Г., Малый C.A., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1972г.

18. Бухгейм A.JI. Карлемановские оценки для операторов Вольтерра и единственность обратных задач. В книге "Неклассические проблемы математической физики". -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981г.

19. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ M.-JL: Госэнергоиздат, 1956г.

20. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973г.

21. Васильев Ф.П., Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981г.

22. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: "Наука", 1980г.

23. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976г.

24. Гласко Ю.В. Три задачи автоматизации процесса цементации стали. В сб. научн. тр. Имитационное моделирование и автоматизированное проектирование в промышленных системах / НИВЦ МГУ/ Отв. ред. Н.В. Макаров-Землянский. М.: МГУ, 1997.- С. 80-92.

25. Гласко Ю.В. Метод обратных задач при моделировании азотного насыщения металла // Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.01.1999, N 56-В99. 16 с.

26. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана // ИФЖ 1993г., т.65, N 6, с. 684-689.

27. Гуляев А.П. Металловедение. М.: Металлургия, 1977г.

28. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1963г.

29. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач.- М.: Издательство МГУ,1994г.

30. Дмитриев В.И., Руднева Т.П. О решении обратной задачи магнито-теллургического зондирования: Ротопринт ВЦ МГУ, вып.13, Москва, 1971г.

31. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Справочная книга. JL: Энергия, 1971г.

32. Захаров JI.H., Иванников А.Н., Исаев В.В., Нюнин Б.Н. Поток акустической мощности как критерий качества конструкции легкового автомобиля: Тез. докл. Третья Всесоюзная конференция по борьбе с шумом и вибрацией Челябинск, 1980г.- с.39-41.

33. Зойтандейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ, 1963г.

34. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. // Матем. сб. 1963г., т.61, N 2, с.211-223.

35. Ивасишин С.Д., Эйдельман С.Д. Оценка матрицы Грина однородной параболической граничной задачи. // ДАН СССР.- 1967г., т.172, N 6.37J Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.2- М.: Наука, 1980г.

36. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Вып.1 М.: Наука, 1965г.

37. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978г.

38. Калиткин H.H., Кузьмина JI.B. Сходимость параболических интерполяционных сплайнов. // Математическое моделирование 1995г, т.7, N 11, с.78-94.

39. Кальнер В.Д., Кулик Н.И., Степанова И.Э., Юрасов С.А., Евсеев Ю.К. Номограммы нелинейного процесса нитроцементации. // МиТОМ 1992г, N 12.

40. Кальнер В.Д., Юрасов С.А., Кулик Н.И., Евсеев Ю.К. Об управлении цементацией с помощью непрерывного изменения углеродного потенциала газовой печи. // ИФЖ 1990г, т.58, N 2, с.271-278.

41. Кальнер В.Д., Юрасов С.А., Кулик Н.И., Евсеев Ю.К. Номограммы нелинейного процесса цементации металлических деталей. // МиТОМ 1986г., N 1, с. 7-11.

42. Carleman T. Sur un problém d'unicité pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles a' deux variables indépendantes. // Arkiv for Matimatik Astronomin och Fysik. 1939. - v. 2613. - N 17. - s. 1-9.

43. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1984г.

44. Клибанов М.В. Обратные задачи в "целом" и карлемановские оценки // Дифференциальные уравнения 1984г., т.20, N 6, с. 1035-1041.

45. Коган Я.Д., Булгач A.A. Моделирование на ЭВМ кинетики диффузионного насыщения // Металловедение и термическая обработка металлов. 1984г., N 1, с.10-20.

46. Коган Я.Д., Солодкин Г.А. Термодинамические основы регулируемых процессов азотирования // Металловедение и термическая обработка металлов. 1985г., N 1, с.23-30.

47. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во ин. лит., 1953г.

48. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969г.

49. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968г.

50. Контроль качества термической обработки стальных полуфабрикатов и деталей. Справочник. Под общей редакцией В.Д.Кальнера. М.: Машиностроение, 1984г.

51. Котов O.K. Поверхностное упрочнение деталей машины химико-термической обработкой. — М.: Машиностроение, 1969г.

52. Кулик Н.И. О математическом моделировании процесса индукционной закалки стальных цилиндрических образцов: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ. мат. наук М., МГУ, 1980г.

53. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959г.

54. Лавреньтьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980г.

55. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967г.

56. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973г.

57. Ландис Е.М. О единственности решения задачи Коши для параболического уравнения. // ДАН СССР. 1952г., т.83, N 3, с.345-348.

58. Лахтин Ю.М. Физические основы процесса азотирования. М.: Машгиз, 1948г.

59. Лахтин Ю.М., Арзамасцев Б.Н. Химико-термическая обработка металлов. М.: Металлургия, 1985г.

60. Лахтин Ю.М., Булгач A.A. Теория химико-термической обработки стали. М.: Машиностроение, 1982г.

61. Леонидова М.Н., Шварцман Л.А., Шульц Л.А. Физико-химические основы взаимодействия металлов с контроллируемыми атмосферами. М.: Металлургия, 1980г.

62. Любимова Е.А., Никитина В.Н., Томара Т.А. Тепловые поля внутренних и окраинных морей СССР. М: Наука, 1976г.1.wis C.F. А practica way to determine carburizing time and tem-pereture // Metall. Progress. 1969. - v. 96. - N 3. - p.90-93.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980г.

64. Могутнов Б.М., Томилин И.А., Шварцман JI.A. Термодинамика железо-углеродистых сплавов. М.: Металлургия, 1972г.

65. Моделирование и автоматизация на базе ЭВМ процессов химико-термической обработки автомобильных деталей. Обзорная информация под ред. Зинченко В.М., Кузнецова В.В., Арзамасцевой Э.А. М.: Изд-во ЦНИИТЭИАВТОПРОМ, 1987г., cep.XI, с. 3-79.

66. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // ЖВМ и МФ 1968, т.8, N 2, с. 295-309.

67. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности // ЖВМ и МФ 1980г., т.20, N 2, с. 388-400.

68. Нефедов H.H. Контрастные структуры и их приложения в задачах о межфазных переходах. Математические модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ (26 января 2 февраля 1994г.) - М.: МГСУ, 1994г., с.ЗО-31.

69. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // ДАН СССР 1960г, т. 135, N 5.

70. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961г.

71. Пригожин Л.Б., Булгач A.A. Численное решение одномерных задач Стефана в теплопроводности и диффузии. В кн.

72. Численные методы сплошной среды", Новосибирск: М.: Ин-т теор. прикл. механики АН СССР, 1981г., т.12, N 2, с.71-83.

73. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайгене, 1967г.

74. Самарский A.A. Проблемы применения вычислительной техники // Вестник АН СССР 1984г., N 11, с.17-29.

75. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР 1979г., N 5, с.38-49.

76. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977г.

77. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // ЖВМ и МФ 1965г., т.5, N 5, с. 815-827.

78. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973г.

79. Самарский А.Н., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978г.

80. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики. В кн. Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977г., с.287-298.

81. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд -во МГУ, 1993г.

82. Степанова И.Э. Некоторые математические задачи высокотемпературной цементации: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, физ. ф-т МГУ, 1992.

83. Термическая обработка в машиностроении. Справочник под ред. Ю.М.Лахтина, А.Г.Рахштадта. М.: Машиностроение, 1990г.

84. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР 1963г., т.153, N 1, с. 49-52.

85. Тихонов А.Н. и др. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. -М.: Машиностроение, 1990г.

86. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. // Докл. АН СССР 1943г., т.39, N 5, с. 195-198.

87. Тихонов А.Н. К математическому обоснованию электромагнитных зондирований // ЖВМ и МФ 1965г., т.5, N 3, с. 545-548.

88. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979г.

89. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985г.

90. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, Физматлит, 1995г.

91. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. О методах решения обратной задачи теории антенн. В сб. "Вычислительная математика и программирование", XIII, Изд. МГУ, 1969г.

92. Тихонов А.Н., Кулик Н.И., Шкляров И.Н. О результатах математического моделирования одного процесса теплопроводности // ИФЖ 1980г., т.XXXIX, N 1, с. 5-10.

93. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972г.

94. Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970г.

95. Фролов В.В. Теоремы единственности решения обратной задачи теплопроводности // Инж. Физ. Журн. 1975г., т.29, N 1, с. 808.

96. Фудзита, Йосида. Влияние глубины цементованного слоя на долговечность при контактной усталости цементованного ролика из хром-молибденового сплава // Конструирование и технология машиностроения. 1981г., т.103, N 2.

97. Трубецков М.К., Кулагин И.Д., Матыцын А.П. О решении одной задачи управления, связанной с восстановлением железорудных окатышей // ИФЖ 1984г., т.47, N б, с. 971977.

98. Треногин В.А. Развитие и приложения асимтотического метода Люстерника-Вишика // УМН 1970г., т.25, N 4, с. 121-156.

99. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975г.

100. Хованский Г.С. Номография сегодня. М.: Знание, сер. математика и кибернетика, 1987г.

101. Авдулов В.В. Интерпретация гравитационных аномалий. М.: Изд-во РАН, 1993г.

102. Xia Lifang, Yan Mufu. Computer simulation and mathiematicals models of nitrogen concentration distribution in ion -nitrided layers: Preprint Department of metals and Technology of Harbin inst. of Technology, Harbin, P.R. China, 1990.

103. Ильин M.E. Математические задачи управления физическими процессами при термической обработке деталей: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МГУ, физ. ф-т, 1983г.

104. Diesburg D.E., Elids G.T. Fracture Resistance of Varions Carbur-ized Steels // Met. Trans. -1978 v. 9A - November - p.1561-1570.

105. Maloney A., Cullen E., Carburizing Truck Components in a Zone -Atmosphere Furnace // Met. Progr. 1967 - November - p. 74-76.8,%

106. Рис. 1: Модуль непрерывности для задачи об определении D(u)е,%б)

107. Рис. 2: Решения обратной задачи относительно К*(Т) и модуль непрерывности 6 = е(£)

108. Рис. 3: Иллюстрация единственности решения задачи прогнозирования состояния атмосферы печи в заданном температурном диапазоне8,%

109. Рис. 4: Погрешность определения углеродного потенциала в зависимости от погрешности задания давлений при цементации для различных значений С (Г = 1203°^, р = 105Па): 1- С = 4%; 2- С = 3%; 3- С = 2%; 4- С = 1%; 5-С = 0,5%е

110. Рис. 5: Фрагмент номограммы первого типа для Т = 930°С, щ = 0,15%, Сокр = 1%, иг р = 0,7%повповб)

111. Рис. б: Фрагмент номограммы второго типа для Т = 1050°С; щ = 0,15%; ё = 0; Сокр = 1%1. Сокр = 1%;(г) Сокр = 1,5%