Обратные задачи для гиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Валитов, Ильдар Русланович

• Валитов, Ильдар Русланович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Валитов, Ильдар Русланович

Введение

Глава 1. Обратные задачи для гиперболического уравнения с интегральным переопределением

§1.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации и данными Дирихле

§1.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении и данными Дирихле.

§1.3. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом и данными Неймана

Глава 2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с внутренним переопределением

§2.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации

§2.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении.

Глава 3. Обратные задачи для гиперболического уравнения с граничным переопределением

§3.1. Обратные задачи для волнового уравнения с неизвестным коэффициентом диссипации

§3.2. Обратные задачи для гиперболического уравнения с неизвестным коэффициентом при решении.

Дополнение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи для гиперболических уравнений»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Под обратной задачей для уравнений с частными производными в настоящей работе подразумевается такая задача, в которой вместе с решением требуется определить правую часть (внешние нагрузки) или (и) тот или иной коэффициент (коэффициенты) самого уравнения. В случае, если в обратной задаче неизвестными являются решение и правая часть, то такая обратная задача будет линейной; если же неизвестными являются решение и хотя бы один из коэффициентов, то обратная задача будет нелинейной. Именно нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений и будут изучаться в настоящей работе. Нелинейные обратные задачи для гиперболических уравнений в различных постановках изучались в работах М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, Ю.Е. Аниконова, Б.А. Бубнова, С.И. Кабанихи-на, А.И. Прилепко, А.Х. Амирова, Е.Г. Саватеева, Е.С. Глушковой, Д.И. Глуш-ковой, Т.Ж. Елдесбаева, A. Lorenzi, A.M. Денисова, М. Grasseli, М. Клибанова, М. Ямамото - см. монографии [11], [21], [24], [44] - [49], [55] - [59], [64], [71] -[73], [76], [77], [79], [81] и имеющуюся в них библиографию, а также статьи [1] " [3], [5] - [9], [14] - [16], [25], [26], [50], [65], [67], [69], [70], [82], [83], [88]. Следует отметить, что в большинстве из перечисленных работ изучались либо задача Коши, либо характеристические задачи с неизвестными коэффициентами, либо же задачи в цилиндрической области, но в иных постановках с использованием иных нежели в настоящей работе методов и при этом разрешимость устанавливалась в других пространствах.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости, единственности и устойчивости нелинейных обратных задач для гиперболических уравнений второго порядка в ограниченной цилиндрической области в случае неизвестных коэффициентов, зависящих от времени.

Методы исследования. Для рассмотренных обратных задач доказываются теоремы существования, единственности и устойчивости регулярных решений. Техника доказательств основана на переходе от обратной задачи к прямой краевой задаче для нового нелинейного «нагруженного» уравнения. Доказывается существование регулярного решения прямой краевой задачи и возможность построения с его помощью решения исходной обратной задачи. При исследовании прямой краевой задачи используется техника, основанная на методе регуляризации и методе неподвижной точки.

Основные результаты. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнения коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

2. Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

3. Исследована разрешимость начально-краевых задач для нелинейных «нагруженных» гиперболических и псевдогиперболических уравнений.

Научная новизна. Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и подтверждены полными доказательствами.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут в дальнейшем найти применение при изучении обратных задач для гиперболических уравнений. Значение работы также может быть определено прикладной значимостью исследованных обратных задач касательно различных вопросов современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались: на конференции «Студенческая наука в действии», г. Стерлитамак, СГПИ, 2003 г.; на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора К.Б.Сабитова, д.ф.-м.н., профессора Калиева И.А. (г. Стерлитамак, Стерлитмакский филиал АН РБ, Стерлитамакская государственная педагогическая академия, 2003-2009гг.); на конференции «Современные проблемы физики и математики», г. Стерлитамак, 2004г.; на семинаре «Неклассические уравнения математической физики» под руководством д.ф.-м.н., профессора А.И.Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им С.Л.Соболева СО РАН, 2005-2007гг.); на конференции «Информационные технологии и обратные задачи рационального природопользования», (г. Ханты-Мансийск, 2005г.); на конференции «Региональная школа молодых ученых», г.Стерлитамак,

2006 г.; на International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». г.Москва, 2006г. на XLIV Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006г. на Российско-китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения», Белгород, БелГУ, 2009 г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [89]-[93]. Из совместных работ в Диссертацию включены результаты принадлежащие непосредственно автору.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав содержащих 7 параграфов, дополнения, заключения и списка литературы. Список литературы содержит 93 наименования. Объем диссертации составляет 100 страниц.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Валитов, Ильдар Русланович

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты:

- Доказано существование, единственность и устойчивость регулярных решений обратных задач нахождения вместе с решением гиперболического уравнения коэффициента диссипации в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

- Доказано существование, единственность и устойчивость решений обратных задач нахождения решения гиперболического уравнения и неизвестного коэффициента при решении в случае интегрального, внутреннего или граничного переопределения.

- Исследована разрешимость новых обратных задач нахождения решения и неизвестного коэффициента для псевдогиперболического уравнения.

Методы исследования основаны на использовании техники априорных оценок и техники, связанной с методом продолжения по параметру.

Методы исследования обратных задач основаны на переходе к специальным «нагруженным» уравнениям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи.

Полученные результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других нелокальных и обратных задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Валитов, Ильдар Русланович, 2009 год

1. Амиров, А. X. К вопросу о разрешимости обратных задач / А. X. Амиров // Сиб. мат. журн. 1987. - Т. 28, № 6. - С. 3-11.

2. Амиров, P. X. Многомерная обратная задача для гиперболического уравнения и связанная с ней спектральная задача / P. X. Амиров // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 319, № 2. - С. 265-266.

3. Аниконов, Ю. Е. Вопросы управления и обратные задачи / Ю. Е. Анико-нов, Б. А. Бубнов // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 304, № 2. - С. 309-312.

4. Аниконов, Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений / Ю. Е. Аниконов ; АН СССР, ВЦ. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1978. - 118 с.

5. Аниконов, Ю. Е. Представления решений уравнений с переменными коэффициентами и обратные задачи / Ю. Е. Аниконов // Докл АН СССР. 1991. - Т. 318, № 5. - С. 1145-1148.

6. Аниконов, Ю. Е. Соотношения в некоторых обратных задачах для нелинейных уравнений / Ю. Е. Аниконов // Докл. АН СССР. 1990. - Т. 315, № 4. - С. 850-853.

7. Аниконов, Ю. Е. Формулы в обратных задачах для дифференциальных уравнений и неравенств / Ю. Е. Аниконов // Докл. РАН. 1994. - Т. 337, № 1. - С. 23-24.

8. Аниконов, Ю. Е. Формулы в обратных задачах для уравнений 2-го порядка / Ю. Б. Аниконов // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 320, № 4. - С. 848-850.

9. Аниконов, Ю. Е. Формулы для решений некоторых обратных задач для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аниконов // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 319, № 5. - С. 1117-1119.

10. Белов, Ю. А. Метод слабой аппроксимации / Ю. А. Белов, С. А. Кантор ; Красноярск, гос. ун-т. Красноярск, 1999. - 236 с.

11. Бубнов, Б. А. О корректных краевых и обратных задачах для некоторых классов эволюционных уравнений : дис. . д-ра. физ.-мат. наук / Б. Бубнов. Новосибирск, 1988. - 287 с.

12. Бубнов, Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для гиперболических уравнений : препринт № 713 / Б. А. Бубнов ; ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1987.

13. Бухгейм, А. Л. Введение в теорию обратных задач / А. Л. Бухгейм ; отв. ред. М. М. Лаврентьев ; АН СССР, Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - 183 с.

14. Глушкова, Д. И. Оценки устойчивости в обратных задачах для уравнений гиперболического типа : дис. . канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / Д. И. Глушкова. Новосибирск, 2003. - 51 с.

15. Глушкова, Е. С. Об единственности некоторых обратных задач для телеграфного уравнения / Е. С. Глушкова // Мат. проблемы геофизики. -1975. Вып. 6, ч. 2. - С. 130-144.

16. Глушкова, Е. С. Теорема существования решения одной обратной задачи / Е. С. Глушкова // Вопросы корректности обратных задач математической физики. Новосибирск, 1982. - С. 69-74.

17. Грассели, М. Обратная задача для интегродифференциального уравнения / М. Грассели, С. И. Кабанихин, А. Лоренци // Сиб. мат. журн. -1992. Т. 33, № 3. - С. 58-68.

18. Дженалиев, М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений / М. Т. Дженалиев ; АН Респ. Казахстан. Ин-т теорет. и прикл. математики ; отв. ред. Д. У. Умбетжапов. Ал-маты, 1995. - 269 с.

19. Дурдиев, Р. К. К вопросу о корректности одной обратной задачи для гиперболического интегро-дифференциального уравнения / Р. К. Дурдиев // Сиб. мат. журн. 1992. - Т. 33, № 3. - С. 69-77.

20. Елдесбай, Т. Ж. Одномерные обратные задачи для вырождающихся эволюционных уравнений смешанного типа / Т. Ж. Елдесбай. Алматы : ГЫЛЫМ, 2003. - 209 с.

21. Исаков, В. М. О единственности решения некоторых обратных гиперболических задач / В. М. Исаков // Дифференциальные уравнения. 1974.1. С. 165-167.

22. Кабанихин, С. И. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач / С. И. Кабанихин, К. Т. Искаков. Новосибирск : Изд-во НГУ, 2001. - 315 с.

23. Кабанихин, С. И. Обратные задачи электродинамики / С. И. Кабанихин, В. Г. Романов, Т. П. Пухначева ; под ред. М. М. Лаврентьева ; Сиб. отд-ние, ВЦ. Новосибирск, 1984. - 201 с.

24. Кабанихин, С. И. О нелинейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений / С. И. Кабанихин // Докл. АН СССР. 1989. - Т. 309, № 4. - С. 791-795.

25. Кабанихин, С. И. О разрешимости обратных задач для дифференциальных уравнений / С. И. Кабанихин /./ Докл. АН СССР 1984. - Т. 277, № 4. - С. 788-791.

26. Клибанов, М. В. Об одной задаче дифракции / М. В. Клибанов // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № 10. - С. 1777-1783.

27. Кожанов, А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи / А. И. Кожанов // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2004. - Т. 44, № 4. - С. 694-716.

28. Кожанов, А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче / А. И. Кожанов // Мат. заметки. 2004. - Т. 76, № 6. - С. 840-853.

29. Кожанов, А. И. О разрешимости обратных задач восстановления коэффициентов в уравнениях составного типа / А. И. Кожанов // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2008. - Т. 8, вып. 3. - С. 8199.

30. Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом поглощения / А. И. Кожанов // Докл. АН России. 2006. - Т. 409, № 6. - С. 740-743.

31. Кулиев, М. А. Многомерная обратная краевая задача для линейного гиперболического уравнения в ограниченной области / М. А. Кулиев // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т. 38, № 1. - С. 98-101.

32. Ладыоюеиская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. -М. : Наука, 1967. 736 с.

33. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического тина / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. М. : Наука, 1973. -576 с.

34. Нахушев, А. М. Уравнения математической биологии / А. М. Нахушев. М. : Высш. шк., 1995. - 301 с.

35. Орловский, Д. Г. К задаче определения параметра эволюционного уравнения/ Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № 9. - С. 1614-1621.

36. Орловский, Д. Г. К задаче определения правой части гиперболической системы дифференциального уравнения / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 8. - С. 1437-1445.

37. Орловский, Д. Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25, № 6. - С. 1000-1009.

38. Орловский, Д. Г. Об обратной задаче для уравнения гиперболического тина в гильбертовом пространстве / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1991. - Т. 27, № 10. - С. 1771-1778.

39. Орловский, Д. Г. Обратная задача Коши для линейных гиперболических систем / Д. Г. Орловский // Дифференциальные уравнения. 1984. - Т. 20, № 1. - С. 98-104.

40. Райхель, Б. 3. Об одной обратной задаче для уравнения гиперболического типа / Б. 3. Райхель // Дифференциальные уравнения. 1990. - Т. 26, № 8/2. - С. 1462-1464.

41. Романов, В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов, М. М. Лавреньтев и др. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1969. - 267 с.

42. Романов, В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В. Г. Романов. М. : Наука, 1969. - 195 с.

43. Романов, В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В. Г. Романов ; под ред. М. М. Лаврентьева. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1972. - 163 с.

44. Романов, В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений / В. Г. Романов. Новосибирск : Изд-во НГУ, 1973. - 152 с.

45. Романов, В. Г. Обратные задачи математической физики / В. Г. Романов. М. : Наука, 1984. - 264 с.

46. Романов, В. Г. Устойчивость в обратных задачах / В. Г.Романов. М. : Науч. мир, 2005. - 295 с.

47. Саватеев, Е. Г. О редукции одной обратной задачи для уравнения гиперболического типа / Е. Г. Саватеев // Докл. РАН. 1994. - Т. 334, № 5. - С. 562-563.

48. Соболев, С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С. Л. Соболев. 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Наука, 1988. - 333 с.

49. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Харт-ман. М. : Мир, 1970. - 720 с.

50. Щеглов, А. Ю. Приближенное решение обратной коэффициентной задачи для квазилинейного уравнения гиперболического типа / А. Ю. Щеглов // Вестн. МГУ. Сер. 15, Вычислительная математика и физика. 2004. -№ 2. - С. 13-19.

51. Якубов, С. Я. Линейные дифференциально-операторные уравнения и их приложения / С. Я. Якубов. Баку : Элм, 1985. - 220 с.

52. Anikonov, Yu. E. Inverce and Ill-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov, B. A. Bubnov, G. N Erokhin. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997.

53. Anikonov, Yu. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997. - 204 p.

54. Anikonov, Yu. E. Inverse and Ill-Posed Sources Problems / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1997. - 240 p.

55. Anikonov, Yu. E. Inverse Problems for Kinetic and Other Evolution Equations / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2001. - 270 p.

56. Anikonov, Yu. E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations / Yu. E. Anikonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1995. - 134 p.

57. Belov, Yu. Ya. Inverse Problems for Partial Differential Equations / Yu. Ya. Belov. Utrecht, The Netherlands, VSP BV, 2002. - 212 p.

58. Bukhgeim, A. L. Introduction to the theory of Inverse Problems / A. L. Bukhgeim. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2000. - 232 p.

59. Cannon J.R. Dinninger D.E. Determination of an unknown forcing function in a hyperbolic equation from overspecified data. Annali di Mat.pure et applicata v LXXXV, P. 49-62, 1970.

60. Cannon, J. R. An inverse problem for an unknown sourse term in a wave equation / J. R. Cannon, P. DuChateau // SIAM J. of App. Math. 1983. -V. 43, № 3. - P. 553-564.

61. Denisov, A. M. Elements of Theory of Inverse Problems / A. M. Denisov. -Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 1999. 292 p.

62. Denisov, A, M. Determination of a nonlinear coefficient in a hyperbolic equation for the Goursat problem / A. M. Denisov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. -V. 6, № 4. - P. 327-334.

63. Eden, A. On global behavior of solutions to an inverse problem for semilinear hyperbolic equations / A. Eden, V. K. Kalantarov // Записки научных семинаров ПОМИ. 2004. - Т. 318.

64. Eldesbaev, Т. On an inverse problem for a hyperbolic equation with the characteristic degeneration of type and order / T. Eldesbaev // Differential Equations and their applications, Work Collect. Alma-ata, 1978. - P. 25-30.

65. Friedman, A. Hyperbolic Inverce Problem arising in the Evolution of Combustion Aerosol / A. Friedman, F. Reitich // Archive for rational mechanics and analysis. 1990. - 110, №4. - C. 313-350.

66. Grasselli, M. An Identification Problem for a Semilinear Hyperbolic Equation / M. Grasselli // Boll. Un. Mat. Ital. (7), 2-B. 1988. - P. 293-312.

67. Grasselli, M. Stability Estimates for a Nonlinear Hyperbolic Inverse Problem / M. Grasselli // Internal Report of the Department of Math "F.Enriques", University of Milan, Quaderno N.13. 1988.

68. Kabanikhin, S. I. Identification Problems of Wave Phenomena / S. I. Kabanikhin, A. Lorenzi. Utrecht : VSP, 2000.

69. Klibanov, M. V. Carleman Estimates for Coefficient Inverse Problems and Numerical Applications / M. V. Klibanov, A. A. Timonov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2004. - 280 p.

70. Kozhanov, A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov. Utrecht : VSP, 1999.

71. Kurylev, Ya. Hyperbolic inverse boundary-value problem and time-continuation of the non stationary Dirichlet-to-Neumann map./Ya. Kurylev, Matti Lassas // J.Proc.R.Soc.Edinb., Sect. A, Math. 2002. - 132, №4. -P.931-949.

72. Lavrentiev, M. M. Inverse problems of Mathematical Physics / M. M. Lavrentiev. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2003. - 275 p.

73. Lorenzi, A. An Introduction to Identification Problems via Functional Analysis / A. Lorenzi. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2001. - 2401. P

74. Megrabov, A. G. Forward and Inverse Problems for Hyperbolic, Elliptic and Mixed Type Equations / A. G. Megrabov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2003. - 230 p.

75. Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. NY : Marcel Dekker. xii, 2000.- 709 p.

76. Puel, J. P. Generic Well-posedness in a multidimensional hyperbolic inverse problem / J. P. Puel, M. Yamamoto //J. Inv. Ill-Posed Problems. 1997. -V. 5, № 1. - P. 55-83.

77. Romanov, V. G. Investigation Methods for Inverse Problems /V. G. Romanov. Utrecht : The Netherlands, VSP BV, 2002. - 280 p.

78. Savateev, E. G. An inverse problem for the Burger's equation and its hyperbolic regularization / E. G. Savateev // J. of Inverse and Inverse and Ill-Posed Problems. 1993. - V. 1, № 3. - P. 231-244.

79. Savateev, E. G. Well-posedness and reduction of an inverse problem for a hyperbolic equation / E. G. Savateev // J. of Inverse and Ill-Posed Problems.- 1994. V. 2, № 2. - P. 165-180.

80. Scheglov, A. Yu. Iterative method for recovering a nonlinear source in hyperbolic equation with final overdetermination / A. Yu. Scheglov // J. of I.I.P.P. 2002. - V. 10, № 6. - P. 629-641.

81. Scheglov, A. Yu. The inverse problem of determination of a nonlinear course in a hyperbolic equation / A. Yu. Scheglov // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. - V. 6, № 6. - P. 625-644.

82. Weston, V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation / V.H. Weston, R.J. Krueger // J.math. Phys. 1972. -V. 13. - P. 1952-1956.

83. Weston, V.H. On the inverse problem for a hyperbolic dispercive partial differential equation II / V.H. Weston, R.J. Krueger // J.math. Phys. 1972.- V. 14. P. 406-408.

84. Yamamoto, M. Lipschitz stability for a hyperbolic inverse problem by finite local boundary data. (English)Appl. Anal. 85, No. 10, pp.1219-1243 (2006)

85. Аниконов, Ю. E. Обратные задачи для эволюционных уравнений / Ю. Е. Аникоиов, Н. JI. Абашеева, Н. Б. Аюпова, А. И. Кожанов, М. В. Нещадим,

86. И. Р. Валитов // Сибирские электронные математические известия. -2008. Т. 5. - С. 549-580.

87. Валитов, И. Р. Обратные задачи для гиперболических уравнений: случай неизвестных коэффициентов, зависящих от времени / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Вестник НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2006. Т. 6, вып. 1. - С. 3-18.

88. Валитов, И. Р. О разрешимости некоторых гиперболических обратных задач с двумя неизвестными коэффициентами / И. Р. Валитов, А. И. Кожанов // Мат. заметки ЯГУ. 2007. - № 14. - С. 3-16.

89. Valitov, I. R. Inverse problems for hyperbolic equations: a case of unknown factors, time-dependent / I. R Valitov // Abstracts of International Conference «Tikhonov and contemporary mathematics». Moscow, 2006. -P. 208.