Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Абдел Басет Исмаил Ахмед

• Абдел Басет Исмаил Ахмед
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Абдел Басет Исмаил Ахмед

Введение.

Общие сведения.

Глава 1 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса.

1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

1.2 Обобщенные решения прямых задач для нестационарного модифицированного уравнения переноса

Глава 2 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является функция источников.

2.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением.

2.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

2.1.2 Определение параметра линейного модифицированного уравнения переноса по информации о финальном состоянии процесса.

2.1.3 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением

2.1.4 Формулировка основного результата.

2.1.5 Строгая дифференцируемость оператора S.

2.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 47 2.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением

2.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

2.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

2.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 3 Обратная задача для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния.

3.1 О задаче управляемости для модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением.

3.1.1 Предварительные сведения. Обозначения.

3.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса определения пары функций и и j.

3.1.3 задача управляемости для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением

3.1.4 Формулировка основного результата.

3.1.5 Строгая дифференцируемость оператора S.

3.1.6 Завершение доказательства основного результата . . 79 3.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с терминальным переопределением

3.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи

3.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

3.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Глава 4 О задаче управляемости для нестационарного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.1 Обобщенная разрешимость обратных задач для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.1.1 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и /.

4.1.2 Обобщенная разрешимость обратной задачи определения пары функций и и j.

4.2 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является функция источников F.

4.2.1 Формулировка основного результата.

4.2.2 Строгая дифференцируемость оператора S.

4.2.3 Завершение доказательства основного результата

4.3 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке.

4.3.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

4.3.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

4.3.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

4.4 Обратная задача для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния J. . 136 4.4.1 Формулировка основного результата.

4.4.2 Строгая дифференцируемость оператора S.

4.4.3 Завершение доказательства основного результата . . 140 4.5 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, где управлением является индикатриса рассеяния J.

4.5.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи.

4.5.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи

4.5.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса»

В диссертации исследуется локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Эти задачи можно рассматривать как задачи управляемости, в которой управлением является множитель в правой части или характеристики среды, зависящие только от пространственных переменных.

Актуальность темы. Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связано, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с другой, не менее сложной, стороны. Во вторую очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические и др.) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью.

Диссертация посвящена одному из таких вопросов.

Изложение естественным образом разделено на четыре части.

В первой главе Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение.

Во второй главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Аналогичный результат для линейной обычной задачи получен ранее в работе [15,24]. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей (см [26,27]).

В третьей главе получен результат, аналогичный результату, полученному во второй главе, но управлением является индикатриса рассеяния. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина. на эту тему). С использованием обозначений из первой части получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

В четвертой главе доказана локальная разрешимость обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости. В первой части доказана локальная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. Во второй части доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния. В третьей части уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима. Основная идея доказательства состоит, так же как и в предыдущих главах, в двукратном применении уточненной теоремы об обратной функции.

Изучение обратных задач для линейных уравнений переноса началось достаточно давно. Первые постановки этих задач можно найти в [1-3]. После этого появились работы, посвященные, например, вопросам единственности решения многомерных обратных задач для стационарного од-носкоростного линейного уравнения переноса. Эти вопросы были изучены в работе [4]. Для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса

З'И (x,v,t) + (v,V)u(x,v,t) + H(x,v,t)u(x,v,t) = J J(x,v,t,v')u(x}v' ,t) dv' + F(x,v,t), У теоремы существования и единственности решений обратных задач в класди . л се функций, непрерывных вместе со своими производными — и (v, V)u,

С/ с получены в работах [5,6]. Аналогичные теоремы доказаны методом полугрупп в работе [7]. Ряд статей посвящен изучению обратных задач теории переноса в плоскопараллельной геометрии, а также для иных видов линейного кинетического уравнения. В [8] исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений обратных задач для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса с переопределением интегрального типа. При этом изучается также корректность постановки соответствующих прямых задач. Необходимо отметить, что исследование прямых задач для того или иного вида уравнения переноса проводились в многих работах (см., например, [9-14] и их библиографии). В [15] изучается управляемость некоторых систем с распределенными параметрами, описывающих процесс массопереноса, и рассматривается подход к задачам управления с точки зрения теории обратных задач математической физики. Получен ответ на вопрос об управляемости нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса (В.1)-(В.4) с финальным переопределением. щ(х, v, t) + (v, V)u(x, v, t) + E(x, v, t)u(x, v,t) = J J(x, г/, t, v)u(x, v', t) dv' + F(x, v, t), к

6 D = G x V x (0,Г), (B.l) i) — /i(a;, г»,t), (ж, г;, f) G 7 x [0, T], где 7 = {(ж, v) G <9G x У : (v, nx) < 0} , (B.2) u(x. v, t) = <p(x, v), (x,v)eGxV, (B-3) u(x, u, t) = 'Ф{х, v) , (я, к) € G x V , (B.4) также исследованы нелинейные обратные задачи определения стационарной части коэффициента поглощения Е или индикатрисы рассеяния J. Иначе, в предположении, что функции Е и J представимы в виде

Е(x,v,t) — a(x,v,t)gi{x,v,t) + h\(x,v,t), J(x, v', t, v) = j{x, v)g2(x, v', t, v) + h2(x, v', t, v), где a, j — искомые, a g\, g2 , h\, h2 — априори заданные функции; таким образом обратные задачи заключаются в определении пар функций {и, а} или {u,j}, почти всюду удовлетворяющих условиям (В.1)-(В.4) (уравнения линейные, но обратная задача при такой постановке становится нелинейной) . Для означенных задач доказаны теоремы существования и единственности обобщенных решений {и, сг} или {u,j} этих обратных задач, которые могут трактоваться как нелинейные задачи управления из начального состояния <p(x,v) в стационарное состояние ip(x,v) за конечное время Т.

Кроме вопроса управляемости процессом массопереноса Н.П Волковым изучались некоторые проблемы из теории оптимального управления в задачах математической физики [16]. В частности, получен критерий оптимального управления источниками в некоторых процессах нестационарного переноса нейтронов [17] в [18].

Исследованию линейных уравнений переноса посвящено большое количество работ (см., например, [28-32] и их библиографии). Цель работы.

1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние, за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является - в одном случае -функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.

2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, где управлением , является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.

Общая методика исследования. В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции, обычной и уточненной применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).

Были также использованы неравенство Гельдера , теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения, неравенство Мин-ковского, теорема Банаха, теоремы о следах, принцип сжимающих отображений, лемма Гронуолла, принцип Банаха о неподвижной точке, теория полугрупп, формула Ныотона-Лейбница.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:

1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для нелинейного модифицированного уравнения переноса для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.

Приложение. Диссертация носит теоретический характер. Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ под руководством академика Садовни-чего В.А и профессора прилепко А.И., на научном семинаре а МЭИ под руководством профессора Дубинского Ю.А., на научном семинаре а ИПМ под руководством профессора Масленникова М.В. и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики иод руководством профессора Скубачевского А.Л.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 печатных работ [43 - 45].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Абдел Басет Исмаил Ахмед

Основные результаты работы

Глава 1. Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой функцией из того же класса, что и решение.

Глава 2. Проведено доказательство локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением-для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения есть функция источников, принадлежащая пространству Lp , 2 ^ р < оо, с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. В качестве нелинейной добавки используется оператор Гам-мерштейна.

Глава 3. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния и получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.

Глава 4. Получена теорема о локальной однозначной разрешимости обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости, где управлением является - в одном случае - функция источников и - в другом случае - индикатриса рассеяния и уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Абдел Басет Исмаил Ахмед, 2009 год

1. Марчук Т.П. // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 156. - № 3. - С. 503-506.

2. Лаврентьев М.М, Васильев В.Г., Романов В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1969.

3. Прилепко а.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические уравнения и уравнения переноса). // Мат. заметки, 1973. Т. 14. - № 5. - С. 755-767.

4. Аниконов Д.С. // Диф. уравнения, 1984. Т. 20. - № 5. - С. 817-824.

5. Прилепко А.И., Ивашов А.Л. Обратные задачи определения коэффициента и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса по переопределению в точке. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 1. - С. 109-119.

6. Прилепко А.И., Иванков А.Л. Обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части нестационарного многоскоростного уравнения переноса. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. -№ 5. - С. 870-885.

7. Прилепко А.И., Орловский Д.Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. // Диф. уравнения, 1985. Т. 21. - № 4. - С. 694-701.

8. Прилепко А.И., Волков Н.П. Обратные задачи определения параметров нестационарного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Диф. уравнения, 1987. Т. 23. - № 1. - С. 124-136.

9. Владимиров B.C. // Труды Математического института им. В.А. Стек-лова АН СССР, 1961. № 61.

10. Гермогенова Т.А. // Жур. вычисл. мат. и мат. физ., 1969. Т. 9. - № 3.- С. 605-625.

11. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов. // Линейный анализ. М.: 1973.

12. Кузнецов Ю.А., Морозов С.Ф. // Диф. уравнения, 1972. Т. 8. - № 9.- С. 1639-1648.

13. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. Алма-Ата. 1979.

14. Iorgens К. // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1958. -V. 11. 2. P. 219-242.

15. Волков Н.П. Достаточные условия разрешимости некоторых обратных задач (задач управления) для процессов массопереноса. // Обратныезадачи для математических моделей физических процессов. М.: МИФИ, 1991. - С. 16.

16. Волков Н.П. // Инж.-физ. Ж., 1985. Т. 49. - № 6. - С. 936-940.

17. Волков Н.П. Оптимальное управление источниками в некоторых процессах переноса нейтронов. // Теоретико-функциональные методы в задачах математической физики. М.: Энергоатомиздат, 1986. - С. 22-26.

18. Орловский Д. Г. Решение одной обратной задачи для уравнения переноса с интегральным переопределением. М.: МИФИ, 1991. - С. 71-76.

19. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Функциональный анализ. М.: Наука, 1988.

20. Красносельский М.А. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

21. Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. М.: Изд-во РУДН, 1992. - С. 300.

22. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

23. Сухинин М.Ф. Теоретическая и математическая физика, 1995. Т. 103.- № 1. С. 23.

24. Прилепко А.И., Волков Н.П. // Диф. уравнения, 1988. Т. 24. - № 1.- С. 136-146.

25. Орловский Д. Г. Об одной обратной задаче для уравнения переноса. // Теоретико-функциональные и численные методы анализа физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1989. С. 68-73.

26. Акпата Э. Управляемость в нелинейных параболических задачах: Дис. канд физ.-мат. наук. М.: РУДН, 1999.

27. Сухинин М. Ф., Акпата Э. О задаче управляемости для квазилинейного уравнения теплопроводности // Вестник РУДН. серия Математика, 1996. № 3(1). - С. 119.

28. Kaper E.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel, 1982.

29. Greiner G. Spectral properties and asymptotic behavior of the linear transport equation // Math. Z, 1984. V. 185. - № 2. - P. 167-177.

30. Voigt J. Spectral properties of the neutron transport equation // J. Math. Anal. Appl, 1985. V. 106. - № 1. - P. 140-153.

31. Волков Н.П. Определение характеристик нестационарных процессов переноса по информации о финальном состоянии // Анализ математических моделей физических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1988. - С. 11-19.

32. Тихонов И. В. Корректность обратной задачи с финальным переопределением для нестационарного уравнения переноса // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн, 1995. № 1. - С. 56.

33. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением. М., 2003. - 30 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1435-В2003.

34. Хамди Н. Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций. М., 2003. - 28 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 22.07.2003, № 1434-В2003.

35. Хамди Н. О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. № 10(1). - С. 135.

36. Хамди Н. Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа. // Вестник РУДН. Серия Математика, 2003. - № 10(1). - С. 109.

37. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике.-JL: Изд-во ЛГУ, 1950, 256 С.

38. Хамди Я. Задачи управляемости для нелинейных уравнения переноса : Дис. канд Физ.-мат. наук М.: РУДН, 2004.

39. Волков Н.П. Обратные Задачи для нестационарного кинетического уравнения переноса с разрывными переменными : Дис. канд физ.-мат. наук,- М.: МГУ, 1986.

40. A6de.fi Васет Исмаил Ахмед Задача управляемости для модифицированного уравнения переноса. М., 2008. - 138 С. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ, 26.03.2008, № 252-В2008.

41. А бдел Васет, Исмаил Ахмед Обобщённое решение прямой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса. // Вестник

42. РУДН. Серия Математика, информатика, физика 2008. - № 3. - С. 5 - 12.

43. Абдел Басет Исмаил Ахмед Задачи управляемости для модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке. // Вестник РУДН. Серия Математика, информатика, физика -2008. № 3. - С. 13-21.