Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Колтуновский, Олег Александрович

• Колтуновский, Олег Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Колтуновский, Олег Александрович

Введение.

ГЛАВА 1. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени

§ 1. Обратная задача в случае финального переопределения.

1.1. Решение обратной задачи методом перехода к нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения составного типа.

1.2. Исследование единственности решения обратной задачи

§ 2. Обратная задача в случае интегрального переопределения.

2.1. Исследование существования решения обратной задачи —

2.2. Исследование единственности решения обратной задачи —

IVIABA 2. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при второй пространственной производной.

§ 1. Обратная задача с финальным переопределением.

1.1. Исследование существования решения обратной задачи —

1.2. Исследование единственности решения обратной задачи.

§ 2. Обратная задача с интегральным переопределением.

2.1. Исследование разрешимости обратной задачи.

2.2. Исследование единственности решения обратной задачи—

ГЛАВА 3. Обратные задачи для параболического уравнения с двумя неизвестными коэффициентами.

§ 1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью.

§ 2. Обратная задача с неизвестными коэффициентами уравнения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области»

Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории диференциаль-ных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков.

В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы А. И. Прилепко [47-51], Ю. Е. Аниконова [1-6, 59-63], Ю. Я. Белова [12-17, 64-67], Н. И. Иванчова (Украина) [22-25, 69], Б. А. Бубнова [18], Е. Г. Саватеева [55-57], Н. Я. Безнощенко [8-11], В. В. Соловьева [58], А. И. Кожанова [30-33, 70-72]и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений второго порядка в случаях, когда неизвестен один из коэффициентов при старших производных.

Методы исследования. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях устанавливается с помощью сведения их к нелокальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений составного типа. Разрешимость обратных задач с интегральным переопределением устанавливается с помощью сведения их к локальным краевым задачам для нелинейных "нагруженных" уравнений параболического типа.

При решении краевых задач для "нагруженных" уравнений используются методы срезывающих функций и продолжения по параметру, а также принцип максимума для параболических уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные ре. зультаты:

1. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.

2. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с дополнительным переопределения решения на временных слоях для параболических уравнений с двумя неизвестными коэффициентами в случае, когда соответствующая прямая задача является первой начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют многочисленные исследования по нелинейным обратным задачам, указывают новые подходы в их решении и могут найти применение в дальнейшем изучении обратных задач для параболических уравнений второго и более высоких порядков.

Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались: на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.); на семинаре "Избранные вопросы математического анализа" под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г. Новосибирск, Институт математики им. С. JL Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.); на семинаре "Численные методы" под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Ф. Воеводина (г. Новосибирск, Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004-2005 гг.); на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е. В. Золо-това (г. Владивосток, 2003 г.); на IV Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.); на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. В. Доманского (г. Южно-Сахалинск,

СахГУ, 2002-2005 гг.); на научно-методическом совете ЮСИЭПиИ (г. Южно-Сахалинск, 2005 г.); на Международном семинаре по неклассическим уравнениям математической физики, посвященном 60-летию со дня рождения профессора В. Н. Врагова (г. Новосибирск, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [34-39].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на два параграфа. Список литературы содержит 76 наименований. Объем диссертации составляет 136 страниц.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Колтуновский, Олег Александрович

Заключение и выводы

В работе получены новые результаты о существовании и единственности регулярных решений нелинейных обратных задач для параболических уравнений в ограниченной области: обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при производной по времени в случае задания условий финального или интегрального переопределения; обратной задачи нахождения решения и неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной в случае задания условий финального или интегрального переопределений; обратной задачи нахождения решения, неизвестного коэффициента при старшей пространственной производной и неизвестной правой части в случае задания двух условий переопределения на различных временных слоях; обратной задачи нахождения решения, коэффициента при временной производной и коэффициента при решении в случае задания двух условий переопределения на различных временных слоях.

Методы исследования основаны на переходе к специальным нелинейным нагруженным уравнениям с частными производными, доказательстве разрешимости возникающих прямых локальных и нелокальных краевых задач и построении с помощью решения вспомогательных задач решения исходной обратной задачи.

Полученные новые результаты свидетельствуют об эффективности используемой методики и о возможности использования ее при исследовании других обратных задач.

Вспомогательные результаты о разрешимости тех или иных краевых задач для "нагруженных" уравнений имеют и самостоятельное значение — нелинейные "нагруженные" уравнения представляют собой сравнительно малоизученный математический объект; в то же время подобные уравнения возникают при математическом моделировании ряда процессов механики, физики, биологии.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Колтуновский, Олег Александрович, 2006 год

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1978.

2. Аниконов Ю. Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения // Мат. сб. 1990. Т. 181, N2 1. С. 68-74.

3. Аниконов Ю. Е. Обратные задачи математической физики и биоло гии // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, № 6. С. 1350-1354.

4. Аниконов Ю. Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи. Новосибирск, 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, № 671).

5. Аниконов Ю. Е., Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1289-1293.

6. Аниконов Ю. Е., Бубнов Б. А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298, № 4. С. 777-779.

7. Ахтамова С. С., Белов Ю. Я. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1991. Т. 316. С. 791795.

8. Безнощенко Н. Я. О задаче Коши для уравнения щ — Аи+иАи = f // Диффер. уравн. 1983. Т. 21, № 6. С. 991-1000.

9. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициентов при младших членах в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, № 3. С. 473-482.

10. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициента при младшем члене общего параболического уравнения // Диффер. уравн. 1976. Т. 12, № 1. С. 175-176.

11. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении // Диффер. уравн. 1975. Т. 11, № 4. С. 19-26.

12. Белов Ю. Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // Докл. АН СССР. 1992. Т. 323, № 3. С. 385-388.

13. Белов Ю. Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 345, № 4. С. 441-444.

14. Белов Ю. Я., Ермолаев А. С. Об одной обратной задаче идентификации коэффициентов многомерного параболического уравнения // Комплексный анализ и дифференциальные уравнения. Красноярск: КрасГУ, 1996. С. 16-27.

15. Белов Ю. Я., Саватеев Е. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Докл. АН СССР. 1991. Т. 334, № 5. С. 800-804.

16. Белов Ю. Я., Шипина Т. Н. Об одной задаче определения функции источника // Тез. докл. Междунар. конф. "Обратные задачи математической физики". Новосибирск, 21-25 сентября 1998 г. С. 18.

17. Белов Ю. Я., Яненко Н. Н. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно-параболических системах // Мат. заметки. 1971. Т. 10, J№ 1'. С. 93-99.

18. Бубнов Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений. Новосибирск, 1989. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Вычислительный центр, №87-714).

19. Волков В. М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, № 12. С. 2166-2169.

20. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: МГУ, 1979.

21. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Ин-т теоретической и прикладной математики, 1995.

22. Иванчов Н. И. Обратные задачи теплопроводности в двухкомпонент-ной среде // Диффер. уравн. 1992. Т. 28, № 4. С. 666-672.

23. Иванчов Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Укр. мат. журн. 1993. Т. 45, № 8. С. 1066-1071.

24. Иванчов Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 612-621.

25. Иванчов Н. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3. С. 539-550.

26. Искендеров А. Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225, К0- 5. С. 1005-1008.

27. Искендеров А. Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Диффер. уравн. 1974. Т. 10, № 5. С. 890-898.

28. Искендеров А. Д. Задачи оптимизации с управлением в коэффициентах параболического уравнения // Диффер. уравн. 1983. Т. 19, К0- 8. С. 1324-1334.

29. Клибанов М. В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии // Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, № 3. С. 564-569.

30. Кожанов А. И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений. Новосибирск, 1998. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Институт математики, № 54).

31. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1990.

32. Кожанов А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2000. Т. 7, вып. 1. С. 35-49.

33. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840-853.

34. Колтуновский О. А. Первая краевая задача для одного класса нелинейных нагруженных параболических уравнений // Неклассические уравнения математической физики: Сб. научн. работ. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. С. 110-116.

35. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производнойпо времени // Вестник НГУ. Сер. математика, механика, информатика. 2003. Т. 3, № 3. С. 52-71.

36. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи для параболического уравнения с финальным условием переопределения // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 1. С. 45-72.

37. Колтуновский О. А. О разрешимости обратной задачи с интегральным условием переопределения для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при старших производных // Мат. заметки ЯГУ. 2003. Т. 10, вып. 2. С. 59-82.

38. Колтуновский О. А. Обратная задача для параболического уравнения с интегральным условием переопределения // Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е. В. Золотова: Тез. докл. Владивосток, 2003. С. 31.

39. Колтуновский О. А. Обратная задача для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при старшей производной //IV Международная конференция по математическому моделированию: Тез. докл. Якутск, 2004. С. 21-22.

40. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

41. Лаврентьев М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160, № 1. С. 32-35.

42. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

43. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа // Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, № 3. С. 531-532.

44. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1982.

45. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

46. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.

47. Прилепко А. И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики. Новосибирск: Наука, 1992. С. 151-162.

48. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 49-68.

49. Прилепко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Диффер. уравн. 1987. Т. 23, № 1. С. 136143.

50. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного слагаемого в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН. Сер. Математика. 1994. Т. 58, № 2. С.167-188.

51. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Свойства решений параболических уравнений и единственность решений обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2003. Т. 43, № 4. С. 562-570.

52. Романов В. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения // Мат. заметки. 1976. Т. 19, вып. 4. С. 595-600.

53. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. ун-т, 1973.

54. Романов В. Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения // Докл. АН СССР. 1972. Т. 207, № 5. С. 1051-1053.

55. Саватеев Е. Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1995. Т. 340, № 5. С. 595-596.

56. Саватеев Е. Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения // Докл. АН СССР. 1995. Т. 344, № 5. С. 597-598.

57. Саватеев Е. Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36, № 1. С. 177-185.

58. Соловьев В. В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения // Диффер. уравн. 1989. Т. 25, № 9. С. 1577-1583.

59. Anikonov Yu. E. Multidimensional inverse and ill-posed problems for differential equations. Utrecht: VSP, 1995.

60. Anikonov Yu. E. Formulas in inverse and ill-posed problems. Utrecht: VSP, 1997.

61. Anikonov Yu. E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht: VSP, 2001.

62. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. On unique solvability of an inverse problem for a parabolic equation // Sov. Math. Dokl. 1989. V. 39, No. 3 P. 601-605.

63. Anikonov Yu. E. and Belov Yu. Ya. Determining two unknown coefficients of the parabolic type equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2001. V. 9, No. 5. P. 469-488.

64. Belov Yu. Ya. Inverse problems for parabolic equations // J. Inverse III-Posed Probl. 1993. V. 1, No. 4. P. 283-305.

65. Belov Yu. Ya. and Shipina T. N. The problem of determining the source function for a system of composite type // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1998. V. 6, No. 4. P. 287-308.

66. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht : VSP, 2002.

67. Cannon I. R. and Lin Y. Determination of a parameter p(t) in some qiuasi-linear parabolic differential equations // Inverse Problems. 1988. V. 4. P. 35-45.

68. Herglotz G. Uber die elastizitat der erde bei borucksichtigung inter vari-ablen dichte // Zeit schr. fur Math, und Phys. 1905. Bd. 52, No. 3. S. 275299.

69. Ivanchov M. Inverse problems for equation of parabolic type. Math. Studies. Monograph Series. V. 10. Lviv: WNTL Publishers, 2003.

70. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

71. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problems for parabolic equation with coefficient and right-hand side, I // J. Inverse 111-Posed Probl. 2002. V. 10, No. 6. P. 611-630.

72. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problems for parabolic equation with coefficient and right-hand side, II // J. Inverse 111-Posed Probl. 2003. V. 11, No. 5. P. 505-522.

73. Pilant R. and Rundell W. An inverse problem for nonlinear parabolic eqution // Comm. Partial Differ. Eq. 1986. V. 11, No. 4. P. 445-457.

74. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Rapporto Interno. No. 25. Torino: Politecnico di Torino, 1991.

75. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. Partial Differ. Eq. 1994. V. 19, No. 9-10. P. 1611-1628.

76. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. No. 7. Torino: Politecnico di Torino, 1995.