Обратная задача для операторов Дирака с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Горбунов, Олег Борисович

• Горбунов, Олег Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Горбунов, Олег Борисович

Введение

1 Асимптотические и аналитические свойства решений системы Дирака с неитегрируемой особенностью

1.1 Модельная система Дирака с особенностью внутри интервала.

1.2 Возмущенная система Дирака с особенностью внутри интервала

2 Решение обратной задачи

2.1 Свойства спектра.

2.2 Теорема единственности

2.3 Основное уравнение обратной задачи.

2.4 Процедура решения обратной задачи.

3 Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи

3.1 Разрешимость основного уравнения.

3.2 Доказательство критерия разрешимости обратной задачи.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратная задача для операторов Дирака с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала»

Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.

Наиболее полно обратные спектральные задачи изучены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом

-у" + я(х)у (0.1)

Основные результаты направлении принадлежат В.А.Амбарцумяну [1], Г.Бор-гу [2], Н.Левинсону [3], В.А.Марченко [4], [5], И.М.Гельфанду, Б.М.Левитану [б]. В этих исследованиях существенную роль сыграл метод операторов преобразования, который впервые применил В.А.Марченко [4], что позволило помимо теорем единственности получить конструктивную процедуру решения обратной задачи.

Среди систем дифференциальных уравнений важную роль в спектральной теории и ее приложениях играет система Дирака с интегрируемыми коэффициентами

У2(х) + Яи(я)уг(х) + д12(я)1/2(а0 = Ау1(х),

0.2)

-у[(х) + д21{х)ух{х) + Чта{х)у2(х) = Ху2(х), или в эквивалентной форме 1 z[{x) +pu(x)zi(x) + Pn(x)z2(x) — i\zi(x),

0.3) z'2(x) +P2l(x)zi(x) +P22(x)z2{x) = -iXzi(x).

Традиционно систему Дирака в виде (0.2) рассматривают для краевых задач на отрезке и полуоси, а (0.3) используют для задач рассеяния на всей оси. Отметим также, что систему (0.3) часто называют системой Захарова-Шабата (ZS)[7] или AKNS (M.Ablowitz, D.Kaup, A.Newell, H.Segur)[8],

Систему (0.2) удобно рассматривать в одном из следующих канонических видов у'2{х) +pi(x)yi(x) = Xyi(x), у2{х) + qi(x)yi(x) + q2(x)y2{x) = Xyi(x), или

-y[{x) + p2(x)ij2(x) = Лy2(x), -y{(x) + q2(x)yi(x) - qi(x)y2(x) = Xy2(x).

Систему Дирака в первой канонической форме чаще всего используют при исследовании прямых спектральных задач, а во-второй - при решении обратных.

Этот объект также изучался многими авторами. Следует отметить работы М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана [9][10], в которой рассматривается система Дирака на полуоси, в качестве спектральных данных выбрана спектральная функция, доказана теорема единственности, получена процедура решения, описаны необходимые и достаточные условия на спектральную функцию; И.С.Саргсяна [11] (тоже полуось, но система в другом каноническом виде), Т.Н.Арутюняна [12], в которой доказана теорема единственности восстановления системы Дирака по двум спектрам, Асано Н., Като Я.[13], Кокса С., Нобеля Р.[14]. Эти работы также основываются на идее оператора преобразования для системы Дирака.

Системы большей размерности также изучены достаточно полно в работах Шабата А.Б.[15], Билса Р., Коифмана Р.Р.[16], Асано Н., Като Я.[17|, Баева A.B.[18], Зоу К.[19], Маламуда М.М.[20][21].

Много полезной информации по обратным задачам, методам их решения и приложениям можно найти в монографиях М.А.Наймарка [22], В.А.Марченко [23], Б.М.Левитана, И.С.Саргсяна [24][25], В.А.Юрко [26].

Задачи с особенностями на границе области или внутри имеют множество приложений в различных областях естествознания. В частности, широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота сводятся к уравнениям с особенностями.

Система Дирака с особенностью на конце интервала изучалась в работе Га-сымова М.Г. [10] для системы вида

У2И +Р1(х)уЛх) + -У2(х) = \yiix), сс а х & (0, (¿о), (0.4)

У\(х) + - У1(х) + рч{х)у2(х) = Ху2(х), х задачи подобного типа возникают при решении методом Фурье систем дифференциальных уравнений в частных производных в полярных координатах.

Хотя задачи с особенностями внутри для системы Дирака еще не изучались, для оператора Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала обратная задача изучена в работах В.А.Юрко [28] [29], в которых доказана теорема единственности решения обратной задачи, приводится процедура решения и доказаны необходимые и достаточные условия разрешимости.

Основным объектом изучения данной работы является следующая краевая задача Ь = ь{с^ш{х), (¡}(х), а, ¡3^ для системы Дирака в каноническом виде на конечном интервале с N неинтегрируемыми особенностями внутри: еУ(х) := ВУ'[х) + (рш{х) + д(ж))у(х) - АУ(х), 0 < ж < 7г, (0.5) соэ а, зта)У(О) - 0, (соэ/З, зт/3)У(тг) = 0, (0.6) где

•>-(£$

Здесь 0 < ъ < 72 < . < 7уу < тг, шр = (чр, 7^+1), 7/с+1/2 = 0.5(7^+, +

7*), к = 1, N-1, 71/2 = 7о = 0, 7ДГ+1/2 = 7/У+1 = тг, ^(х) - комплексно-значные функции, ¡1к, а, /?, щ - комплексные числа. Пусть, для определенности, а, Р, щ £ [-7г/2,7г/2], Ые/^ >0, ¡Хк + 1/2 ^ М, также будем предполагать, что д^(х) - абсолютно непрерывна внутри к — 0, М, £ Д0,7г) и v к=1

Если (^^(х), д(х), а, /3 удовлетворяют заданным выше условиям, то будем говорить, что £ € УУ.

Цель данной работы решение обратной задачи для оператора Дирака (0.5)-(0.6). Отметим, что наличие особенности внутри интервала существенно усложняет исследования, в частности метод операторов преобразования оказывается неудобным, в основе данной работы лежит метод спектральных отображений, являющийся развитием метода контурного интеграла, предложенного Н.Левинсоном [3].

Работа состоит из трех глав. При изучении системы Дирака (0.5) существенную роль играет специальная система решений, которая позволяет склеить решения в особой точке, при этом наибольшие трудности вызывает построение фундаментальных систем около каждой особенности, дальнейшая их склейка между собой больших трудностей не вызывает. В связи с этим в первой главе исследуется система Дирака вида (0.5) с одной неинтегрируемой особенностью. Для этой системы построена фундаментальная система решений со степенной особенностью в особой точке и получена ее асимптотика. Основными результатами этой главы являются Теоремы 1.1.3, 1.2.3, 1.2.4.

Во второй главе, решается обратная задача для краевой задачи Ь. Одним из основных результатов второй главы является доказательство теоремы единственности восстановления задачи Ь. Получен также алгоритм решения обратной задачи по дискретным спектральным данным, которые являются обобщением известных данных для классической системы Дирака без особенности. Центральное место в этой конструктивной процедуре играет так называемое основное уравнение обратной задачи, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения.

Третья глава посвящена наиболее трудному вопросу : получению необходимых и достаточных условиях разрешимости обратной задачи для заданного набора спектральных данных. В пункте 3.1 доказывается разрешимость основного уравнения решения обратной задачи, а в пункте 3.2 доказывается достаточность заявленных условий. Основной результат третьей главы теорема 3.1.1.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [32]-[37].

Автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору В.А.Юрко за постановку задачи и руководство ходом исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Горбунов, Олег Борисович, 2003 год

1. Ambarzumian V.A. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f.Phys. 53 (1929), 690-695.

2. Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertauf gäbe // Acta Math. 78 (1946), 1-96.

3. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 13 (1949),25.30.

4. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 72 (1950) №3, 457-460.

5. Марченко В.А. Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва, 1 (1952), 327-420.

6. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. матем, 15 (1951), 309-360.

7. Шабат A.B., Захаров В.Е. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи 1,11 // Функц. Анализ и При-лож. 8 (1974) №3, 43-53; 13 (1979) №3, 13-22.

8. Ablowitz М., Каир D., Newell A., Segur Н. The ISc transform-Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Appl. Math. 53 (1974), no.4, 249-315.

9. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Асимптотическое поведение спектральной матрицы одномерной системы Дирака // ДАН СССР 166(1966), 1058-1061.

10. Гасымов М.Г., Левитан Б.М. Обратная задача для системы Дирака // ДАН СССР 167 (1966), 967-970.

11. Саргсян И.С. Теорема единственности решения обратной задачи для одномерной системы Дирака. // Некоторые краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений , 3-13. Унив. Дружбы Народов, Москва, 1970.

12. Арутюнян Т.М. Обратная задача для канонической системы Дирака с дискретным спектром // Изв. Акад. Наук Арм. СССР, Матем. 20 (1985), №4, 245268.

13. Asano N., Kato Y. Nonselfadjoint Zakharov-Shabat operator with a potential of the finite asymptotic values, I, II // J.Math.Phys. 22 (1981), no.12, 2780-2793; J.Math.Phys. 25 (1984), no.3, 570-588.

14. Cox, Steven; Knobel, Roger. An inverse spectral problem for a non normal first order differential operator // Integral Equations Operator Theory 25 (1996), no. 2, 147-162.

15. Шабат А.Б. Обратная задача рассеяния // Дифф. Уравн. 15 (1979) №10, 1824-1834

16. Beals R., Coifman R.R. Scattering and ISc for first order systems // Comm. Pure Appl. Math. 37 (1984), 39-90.

17. Asano N.; Kato Y. Fredholm determinant solution for the ISc transform of the N*N Zakharov-Shabat equation // Progr. Theoret. Phys. 83 (1990), no. 6, 1090-1097.

18. Баев А.В. Решение обратных задач диссипативной теории рассеяния // ДАН СССР 315 (1990) №5, 1103-1104.

19. Zhou, Xin. Inverse scattering transform for system with rational spectral dependence // J. Differential Equations 115 (1995), no. 2, 277-303.

20. Маламуд M.M., Связь матричного потенциала системы Дирака и ее Вронскиана // ДАН СССР 344 (1995) №5, 601-604.

21. Маламуд М.М. О теоремах борговского типа для систем первого порядка на ограниченном интервале // Функц. Анализ и Приложения 33 (1999) №1, 75-80.

22. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.-М.: Наука, 1969.

23. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения.-Киев.: Наукова думка, 1977.

24. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию (самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы).-М.: Наука, 1970.

25. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака.-М.: Наука, 1988.

26. Юрко В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения, Саратов, изд-во Саратовского пединститута, 2001, 499с.

27. Sakhnovich L.A. Spectral theory of canonical differential systems. Method of operator identities. Translated from the Russian. Operator Theory: Advances and Appl, 107. Birkhauser Verlag, Basel, 1999.

28. Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с особенностями внутри интервала // Матем. зам. Том 64 вып. 1, 1998.

29. Yurko V.A. Integral transforms connected with differential operators having singularities inside the interval // Integral Transforms and Special Functions, 5, no. 3-4(1997) 309-322.

30. Лаврентьев M.A., Шаббат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1987.

31. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир,1967.

32. Горбунов О.Б. О системе Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика.Механика, вып. 2, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2000, 21-25.

33. Горбунов О.Б. Спектральные свойства системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 3, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2001, 34-37.

34. Gorbunov О.В. About inverse problem for Dirac operators with non-integrable singularities inside the interval // International Conference "Inverse Problems and Nonlinear Equations",(August 12-16, 2002), Kharkiv, FTINT, 2002, pp. 31-33.

35. Горбунов О.Б. Об обратной задаче для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 4, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2002, 37-39.

36. Горбунов О.Б. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для системы Дирака с неинтегрируемой особенностью внутри интервала // Математика. Механика, вып. 5, изд-во Саратовского ун-та, Саратов, 2003, 22-25.