Обратная задача спектрального анализа для матричного оператора Штурма-Лиувилля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Бондаренко, Наталья Павловна

• Бондаренко, Наталья Павловна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бондаренко, Наталья Павловна

Введение

Глава 1. Восстановление матричного оператора Штурма-Лиувилля по спектральным данным

1.1. Спектральные данные. Постановка обратной задачи.

1.2. Свойства спектральных данных.

1.3. Основное уравнение обратной задачи.

1.4. Решение обратной задачи.

Глава 2. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи

2.1. Основная теорема. Необходимость.

2.2. Однозначная разрешимость основного уравнения.

2.3. Вспомогательные утверждения.

2.4. Доказательство достаточности.

Глава 3. Устойчивость решения обратной задачи

3.1. Устойчивость восстановления потенциала в Ь2-норме. Локальная разрешимость обратной задачи.

3.2. Устойчивость восстановления потенциала в равномерной норме . .107 Литература.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обратная задача спектрального анализа для матричного оператора Штурма-Лиувилля»

В данной работе изучается обратная задача спектрального анализа для матричного дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Обратные спектральные задачи состоят в восстановлении операторов по Pix спектральным характеристикам. Подобные задачи играют важную роль в математике и имеют приложения в различных областях естествознания и техники, в частности, в квантовой механике, геофизике, электронике, метеорологии. Обратные спектральные задачи также играют существенную роль при интегрировании эволюционных уравнений математической физики. В 1967 г. Г. Гарднер, Ж. Грин, М. Краскал и Р. Миура [77] обнаружили глубокую связь между нелинейным уравнением Кортевега-де Фриза и спектральной теорией операторов Штурма-Лиувилля. Созданный ими метод обратной задачи породил новое направление в математической физике и вызвал очередной всплеск интереса к обратным задачам спектрального анализа. В настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается в связи с возникновением новых приложений. Однако стоит отметить, что обратные задачи являются достаточно трудными для изучения, что связано прежде всего с их нелинейностью, и в теории обратных задач до сих пор остается много нерешенных вопросов.

Значительный вклад в развитие теории обратных спектральных задач для обыкновенных дифференциальных операторов внесли В.А. Амбарцумян, Р. Биле, Г. Борг, М.Г. Гасымов, М.Г. Крейн, Н. Левинсон, Б.М. Левитан, З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, Л.А. Сахнович, А.Н. Тихонов, Л.Д. Фаддеев, И.Г. Хачатрян, В.А. Юрко и другие математики [3, 4, 14, 15, 17-22, 24, 25, 3235, 43, 47, 49, 54, 74, 80, 81, 84].

Первый результат в теории обратных спектральных задач был получен В.А. Амбарцумяном [47] для уравнения Штурма-Лиувилля

-у"+ q{x)y = \y. (0.1)

Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (0.1) с условиями у'(0) = у'(к) = 0 имеет собственные значения Ап = п2, п ^ 0, то д = 0. Однако в общем случае одного спектра недостаточно для восстановления потенциала q. Впоследствии Г. Борг [54] доказал, что потенциал д однозначно восстанавливается по двум спектрам операторов Штурма-Лиувилля с различными краевыми условиями. Позднее результат Борга также был получен Н. Левинсоном [74] при помощи другого метода.

Важные результаты в теории обратных спектральных задач принадлежат В.А. Марченко, который исследовал задачу восстановления дифференциального оператора по спектральной функции [24, 25]. В случае оператора Штурма-Лиувилля на конечном интервале эта задача эквивалентна обратной задаче в следующей классической постановке [19, §2.10], [43, §1.2]. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (0.1) на интервале (0,7г) с условиями

Пусть ip(x, А) — решение уравнения (0.1), удовлетворяющее начальным условиям </?(0, А) = 1, <р'(0, А) = h. В качестве спектральных данных введем величины {Ап, ап}п^о, где Ап — собственные значения краевой задачи (0.1)-(0.2), а ап — так называемые весовые числа, определяемые соотношением

Обратная задача состоит в восстановлении потенциала д и коэффициентов краевых условий к и Н по спектральных данным {Ап, о

При решении этой обратной задачи важную роль сыграл метод оператора преобразования [24, 25], которым была доказана однозначная разрешимость обратной задачи, а также получена конструктивная процедура решения и необходимые и достаточные условия на спектральные данные [15]. Были также решены обратные задачи для операторов Штурма-Лиувилля на полуоси j/(0) - hy(0) = 0, у'(тг) + Ну(тт) = 0.

0.2)

0.3) и оси [24, 25, 33, 34].

Однако метод оператора преобразования оказался недостаточно эффективным в применении к обратным задачам для операторов высших порядков п-2

У{п)+ 1£,РкШк\ п > 2, к=О систем дифференциальных уравнений и некоторых других важных классов операторов. Постепенно был создан другой, более универсальный метод, основанный на применении аппарата теории аналитических функций и на развитии идей метода контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. Впервые метод контурного интегрирования к исследованию обратных задач применил Левинсон [74]. Идеи Левинсона получили дальнейшее развитие в работах З.Л. Лейбензона [21, 22]. Впоследствии с использованием этих идей в работах В.А. Юрко был создан метод спектральных отображений [43, 84], который дал возможность решения обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков [36-40], систем дифференциальных уравнений [41, 42] вида

2о У'{х) + Я{х)У{х) = рУ{х) и других классов дифференциальных операторов. Отдельно стоит отметить динамично развивающуюся в настоящее время спектральную теорию на геометрических графах, в которой метод спектральных отображений также нашел свое применение. Прямым задачам для дифференциальных операторов на графах посвящены работы [16, 29] и др., обратные задачи изучались в [44-46, 51, 56, 67, 85].

В данной работе исследуется обратная спектральная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля

У" + Я{х)У = А У (0.4) на конечном интервале. Здесь У— вектор размерности т, а потенциал С}{х) является т х т матрицей. Уравнение (0.4) представляет собой обобщение классического уравнения (0.1). В диссертации исследуется матричный оператор, задаваемый уравнением (0.4) с краевыми условиями при произвольном значении т. Получена конструктивная процедура восстановления матричного оператора по спектральным данным, а также необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, исследуются ее локальная разрешимость и устойчивость решения.

Обратные задачи для уравнения (0.4) и других дифференциальных уравнений с матричными коэффициентами возникают в приложениях (см. [50, 55, 59, 72] и литературу в них). Однако их исследование представляет значительные трудности по сравнению со скалярным случаем (т = 1).

Отдельные частные результаты в обратных задачах для матричных дифференциальных операторов получены в [50, 55, 60, 61, 79, 88-90]. Наиболее полно изученным вопросом для матричных операторов Штурма-Лиувилля является обратная задача рассеяния на полуоси (см. [2, 5, 27, 71, 72]).

Обратные задачи для уравнения (0.4) на конечном интервале изучены в гораздо меньшей степени. При их исследовании возникают значительные трудности, связанные с кратностью спектра. В отличие от скалярного случая, спектр матричного оператора может иметь бесконечное количество групп кратных собственных значений, что делает нетривиальным исследование свойств спектральных данных и особенно обратных спектральных задач. Для обобщения основных результатов, известных для скалярного случая, требуются новые подходы, позволяющие учесть произвольное поведение спектра.

В связи с этими трудностями в теории обратных задач для уравнения (0.4) на конечном интервале без априорных ограничений на спектр ранее были получены только теоремы единственности [58, 59, 75, 86]. В.А. Юрко [87] был предложен конструктивный алгоритм решения обратной задачи для уравнения (0.4), основанный на методе спектральных отображений. Однако данный алгоритм получен при априорном предположении простоты спектра.

Д. Челкаком и Е. Коротяевым [62, 63] были получены необходимые и достаточные условия для случая с другим существенным ограничением. Ими был рассмотрен случай асимптотически простого спектра, когда в асимптотике собственных значений п + — + —, {*спч}п^ъ е 12, Я = 1,т, 7гтг п все числа ид различны. Кроме того, авторы [62, 63] использовали метод [80], не дающий конструктивного алгоритма решения. Отметим также работу [78], в которой исследовались операторы Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами из пространства Соболева И^-1 на конечном интервале. Другим аспектам прямых и обратных задач для матричных дифференциальных операторов посвящены работы [1, 12, 23, 30, 48, 53, 57, 64-66, 68-70, 73, 76, 82, 83].

В данной работе изучается обратная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля (0.4) на конечном интервале с самосопряженным потенциалом при произвольном поведении спектра. Преодолены трудности, связанные с возможной кратностью собственных значений и их асимптотической близостью. Постановка исследуемой задачи была дана в работах [86, 87]. Она представляет собой аналог задачи восстановления оператора по спектральным данным {Ап, сип}п^о> описанной выше для скалярного случая. В матричном случае в качестве спектральных данных рассматриваются собственные значения Хщ и так называемые весовые матрицы апд, являющиеся обобщением весовых чисел. В отличие от скалярного случая, когда весовые числа вводятся по формуле (0.3), в матричном случае оказывается более удобным определить весовые матрицы как вычеты матрицы ВейляМ(А) относительно ее полюсов. Матрица Вейля представляет собой обобщение функции Вейля для скалярного уравнения Штурма-Лиувилля (см. [19, 43]) и в данном случае оказывается естественной и удобной спектральной характеристикой.

Для исследования задачи проводится развитие идей метода спектральных отображений [43, 84], хорошо зарекомендовавшего себя в работе с различными классами дифференциальных операторов. Основными результатами диссертации являются:

1) конструктивная процедура восстановления оператора по спектральным данным;

2) необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи;

3) устойчивость решения обратной задачи.

Полученные результаты представляют собой обобщения известных результатов для классического уравнения (0.1) (см. [43, §1.4]).

Диссертация состоит из трех глав. Глава 1 посвящена конструктивному построению решения обратной задачи. В параграфах 1.1 и 1.2 вводится краевая задача Ь для уравнения (0.4) и ее спектральные характеристики, исследуются их свойства, дана постановка обратной задачи. В параграфе 1.3 получено основное уравнение обратной задачи ф(х)=ф(х)(1 + Ё(х)), которое при каждом фиксированном х является линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве относительно ф(х). Величины ф(х) и Ё(х) строятся по заранее выбранной модельной задаче Ь и заданным спектральным характеристикам задачи Ь. Таким образом, нелинейная обратная задача сведена к решению линейного уравнения. В параграфе 1.4 доказана однозначная разрешимость основного уравнения. Решение данного уравнения используется для восстановления дифференциального оператора по спектральным данным. В итоге получен алгоритм решения обратной задачи, представляющий собой обобщение алгоритма, изложенного в [87], и учитывающий возможность кратных собственных значений.

Глава 2 посвящена наиболее трудному вопросу: необходимым и достаточным условиям разрешимости обратной задачи, т. е. характеристическим свойствам спектральных данных матричного оператора Штурма-Лиувилля. К стандартным асимптотическим свойствам и самосопряженности спектральных характеристик добавляется дополнительное условие, не имеющее аналога в скалярном случае. Отметим, что подобные условия, требуемые для разрешимости основного уравнения, возникали при исследовании различных матричных операторов в работах [2, 63, 78]. Для получения необходимых и достаточных условий используется модификация метода спектральных отображений, а также свойства спектральных данных и алгоритм решения обратной задачи, приведенные в главе 1.

В главе 3 доказана локальная разрешимость исследуемой обратной задачи, опираясь на которую была установлена устойчивость восстановления потенциала и коэффициентов краевых условий по спектральным данным в норме пространства ¿2 и в равномерной норме.

Результаты диссертации опубликованы в работах [6-11, 52].

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Вячеславу Анатольевичу Юрко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бондаренко, Наталья Павловна, 2010 год

1. Авдонин С. Л., Белишев М. И., Иванов С. А. Граничное управление и матричная обратная задача для уравнения щ — ихх + У{х)и = 0 // Мат. сборник. 1991. Т. 182, № 3. С. 307-331.

2. Агранович 3. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков: Изд-во ХГУ, 1960.

3. Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратная задача Штурма-Лиувилля. Теоремы единственности и контрпримеры // ДАН. 2006. Т. 411, № 6. С. 747-750.

4. Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Разрешимость обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // ДАН. 2007. Т. 412, № 1. С. 26-28.

5. Бондаренко Е. И., Рофе-Бекетов Ф. С. Обратная задача рассеяния на полуоси для системы с треугольным матричным потенциалом // Мат. физика, анал., геом. 2003. Т. 10, № 3. С. 411-423.

6. Бондаренко Н. П. Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. И. С. 3-5.

7. Бондаренко Н. П. Локальная разрешимость обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 3—6.

8. Бондаренко Н. П. Обратная задача для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Современные проблемы теории функций и их приложения: Материалы 15-й Сарат. зимней школы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2010. С. 32-33.

9. Бондаренко Н. П. Обратная задача спектрального анализа для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Изв. Сарат. ун-та. Новая серия. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10, № 4. С. 3—13.

10. Бондаренко Н. П. Устойчивость решения обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы «Понт-рягинские чтения — XXI». Воронеж: ВГУ, 2010. С. 42—43.

11. Бондаренко Н. П. Устойчивость решения обратной задачи для матричного уравнения Штурма-Лиувилля в равномерной норме // Научные исследования студентов Сарат. гос. ун-та: Материалы итог. студ. науч. конф. 2010. С. 18-20.

12. Велиев О. А. О несамосопряженных операторах Штурма-Лиувилля с матричными потенциалами // Мат. заметки. 2007. Т. 81. С. 496—506.

13. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.

14. Гасымов М. Г., Левитан Б. М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, № 2. С. 3—63.

15. Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. ма-тем. 1951. Т. 15. С. 309-360.

16. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный и др.. М.: Физматлит, 2004.

17. Крейн М. Г. Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР. 1951. Т. 76, № 1. С. 21-24.

18. Крейн М. Г. Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР. 1954. Т. 94, № 6. С. 987-990.

19. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука, 1984.

20. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: Наука, 1988.

21. Лейбензон 3. Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды моек, матем. о-ва. 1966. Т. 15. С. 70-144.

22. Лейбензон 3. Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды моек, матем. о-ва. 1971. Т. 25. С. 15—58.

23. Маламуд М. М. Теоремы типа Борга для уравнений высоких порядков с матричными коэффициентами // ДАН. 2006. Т. 409, № 3. С. 312-316.

24. Марченко В. А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наукова Думка, 1972.

25. Марченко В. А. Операторы Штурм а-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1977.

26. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

27. Пашаев Р. Т. Теоремы единственности обратной задачи спектральной теории для одного класса систем дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами // ДАН Азерб. ССР. 1979. Т. 35, № 10. С. 3-6.

28. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.

29. Провоторов В. В. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля на графе-звезде // Матем. сб. 2008. Т. 199, № 10. С. 105-126.

30. Руссаковский Е. М. Матричная задача Штурма-Лиувилля со спектральным параметром в граничных условиях. Алгебраический и операторный аспекты // Труды ММО. 1996. Т. 57. С. 171-198.

31. Титчмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.

32. Тихонов А. Н. О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР. 1949. Т. 69, № 6. С. 797-800.

33. Фаддеев Л. Д. О связи Б-матрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР. 1958. Т. 121, № 1. С. 63-66.

34. Фаддеев Л. Д. Свойства Б-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В.А. Стеклова. 1964. Т. 73. С. 314—336.

35. Хачатрян И. Г. О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси // Функц. анализ и его прилож. 1983. Т. 17, № 1. С. 40-52.

36. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 9. С. 1540—1550.

37. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов по матрице Вейля // ДАН СССР. 1990. Т. 313, № 6. С. 1368-1372.

38. Юрко В. А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Матем. сб. 1991. Т. 182, № 3. С. 431-456.

39. Юрко В. А. Обратная задача для самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Доклады РАН. 1993. Т. 333, № 4. С. 449-451.

40. Юрко В. А. Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Матем. заметки. 1995. Т. 186, № 6. С. 133—160.

41. Юрко В. А. Восстановление несамосопряженных дифференциальных систем на полуоси по матрице Вейля // Матем. сб. 2004. Т. 76, № 2. С. 316— 320.

42. Юрко В. А. Обратная спектральная задача для сингулярных несамосопряженных дифференциальных систем // Матем. сб. 2004. Т. 195, № 12. С. 123-155.

43. Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физ-матлит, 2007.

44. Юрко В. А. Обратные задачи для дифференциальных операторов произвольных порядков на деревьях // Матем. заметки. 2008. Т. 83, Я2 1. С. 139-152.

45. Юрко В. А. Восстановление дифференциальных операторов на графе-кусте // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. 2009. Т. 9, № 2. С. 59-65.

46. Юрко В. А. Обратная задача для операторов Штурма-Лиувилля на произвольных компактных пространственных сетях // ДАН. 2010. Т. 432. С. 318-321.

47. Ambarzumian V. А. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zs.f.Phys. 1929. Vol. 53. Pp. 690-695.

48. Andersson E. On the M-function and Borg-Marchenko theorems for vector-valued Sturm-Liouville equations //J. Math. Phys. 2003. Vol. 44, no. 12. Pp. 6077-6100.

49. Beals R., Deift P., Tomei C. Direct and Inverse Scattering on the Line. Math. • Surveys and Monographs. Vol. 28. Amer. Math. Soc., Providence: RI, 1988.

50. Beals R., Henkin G. M., Novikova N. N. The inverse boundary problem for the Rayleigh system //J. Math. Phys. 1995. Vol. 36, no. 12. Pp. 6688-6708.

51. Belishev M. I. Boundary spectral inverse problem on a class of graphs (trees) by ВС method // Inverse Problems. 2004. Vol. 20. Pp. 647-672.

52. Bondarenko N. Spectral analysis for the matrix Sturm-Liouville operator on a finite interval. Schriftenreihe der Fakultät für Mathematik, SM-DU-715, Universität Duisburg Essen, 2010. 20pp.

53. Borg-type theorems for matrix-valued Schrodinger operators / S. Clark and others. // J. Diff. Equations. 2000. Vol. 167, no. 1. Pp. 181-210.

54. Borg G. Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie // Acta math. 1946. Vol. 78. Pp. 1-96.

55. Boutet de Monvel A., Shepelsky D. Inverse scattering problem for anisotropic media // J. Math. Phys. 1995. Vol. 36, no. 7. Pp. 3443-3453.

56. Brown В. M., Weikard R. A Borg-Levinson theorem for trees // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sei. 2005. Vol. 461. Pp. 3231-3243.

57. Carlson R. Large eigenvalues and trace formulas for matrix Sturm-Liouville problems // SIAM J. Math. Anal. 1999. Vol. 30. Pp. 949-962.

58. Carlson R. An inverse problem for the matrix Schrodinger equation //J. Math. Anal. Appl. 2002. Vol. 267. Pp. 564-575.

59. Chabanov V. M. Recovering the M-channel Sturm-Liouville operator from M+l spectra // J. Math. Phys. 2004. Vol. 45, no. 11. Pp. 4255-4260.

60. Chakravarty N. K. A necessary and sufficient condition for the existence of the spectral matrix of a differential system // Indian J. Pure Appl. Math. 1994. Vol. 25, no. 4. Pp. 365-380.

61. Chakravarty N. K., Acharyya S. K. On an inverse problem involving a second-order differential system //J. Indian Inst. Sci. 1991. Vol. 71, no. 3. Pp. 239— 258.

62. Chelkak D., Korotyaev E. Parametrization of the isospectral set for the vector-valued Sturm-Liouville problem //J. Funct. Anal. 2006. Vol. 241, no. 1. Pp. 359-373.

63. Chelkak D., Korotyaev E. Weyl-Titchmarsh functions of vector-valued Sturm-Liouville operators on the unit interval //J. Funct. Anal. 2009. Vol. 257. Pp. 1546-1588.

64. Chern H.-H., Shen C.-L. On the n-dimensional Ambarzumyan's theorem // Inverse Problems. 1997. Vol. 13, no. 1. Pp. 15—18.

65. Clark S., Gesztesy F. Weyl-Titchmarsh M-function asymptotics for matrix-valued Schrodinger operators // Proc. London Math. Soc. 2001. Vol. 82. Pp. 701-724.

66. Darwish A. A. On the direct problem and scattering data for a singular system of differential equations with discontinuous coefficients // Tamkang J. Math. 1996. Vol. 27, no. 4. Pp. 289-299.

67. Freiling G., Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on noncompact trees // Results in Math. 2007. Vol. 50. Pp. 195— 212.

68. Freiling G., Yurko V. An inverse problem for the non-selfadjoint matrix Sturm-Liouville equation on the half-line //J. Inv. Ill-Posed Problems. 2007. Vol. 15. Pp. 785-798.

69. Gesztesy F., Kiselev F., Makarov K. A. Uniqueness results for matrix-valued Schrodinger, Jacobi, and Dirac-type operators // Mathematische Nachrichten. 2002. Vol. 239/240. Pp. 103-145.

70. Gohberg I., Kaashoek M. A., Sakhnovich A. L. Sturm-Liouville systems with rational Weyl functions: explicit formulas and applications // IEOT. 1998. Vol. 30, no. 3. Pp. 338-377.

71. Harmer M. Inverse scattering for the matrix Schrodinger operator and Schrodinger operator on graphs with general self-adjoint boundary conditions // ANZIAM J. 2002. Vol. 43. Pp. 1-8.

72. Harmer M. Inverse scattering on matrices with boundary conditions // J. Phys. A. 2005. Vol. 38, no. 22. Pp. 4875-4885.

73. Jodeit M. A., Levitan B. M. A characterization of some even vector-valued Sturm-Liouville problems // Mat. Fiz. Anal. Geom. 1998. Vol. 5, no. 3/4. Pp. 166-181.

74. Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. 1949. Vol. 73. Pp. 25-30.

75. Malamud M. Uniqueness of the matrix Sturm-Liouville equation given a part of the monodromy matrix, and Borg type results. Sturm-Liouville Theory. Basel: Birkhàuser, 2005. Pp. 237-270.

76. Matrix-valued generalizations of the theorems of Borg and Hochstadt / E. Belokolos and others. Evolution Equations, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., Vol. 234. New York: Marcel Dekker, 2003. Pp. 1-34.

77. A method for solving the Korteweg-de Vries equation / G. Gardner and others. // Phys. Rev. Letters. 1967. Vol. 19. Pp. 1095-1098.

78. Mykytyuk Ya. V., Trush N. S. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with matrix-valued potentials // Inverse Problems. 2010. Vol. 26. P. 015009.

79. Paladhi B. R. The inverse problem associated with a pair of second-order differential equations // Proc. London Math. Soc. 1981. Vol. 43, no. 1. Pp. 169-192.

80. Poschel J., Trubowitz E. Inverse Spectral Theory. New York: Academic Press, 1987.

81. Sakhnovich L. A. Spectral theory of canonical differential systems. Method of operator identities. Operator Theory: Advances and Appl. Vol. 107. Basel: Birkhauser Verlag, 1999.

82. Shen C.-L., Shieh C.-T. Two inverse eigenvalue problems for vectorial Sturm-Liouville equation // Inverse Problems. 1998. Vol. 14, no. 5. Pp. 1331—1343.

83. Shieh C.-T. Isospectral sets and inverse problems for vector-valued Sturm-Liouville equations // Inverse Problems. 2007. Vol. 23. Pp. 2457—2468.

84. Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.

85. Yurko V. A. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs // Inverse Problems. 2005. Vol. 21. Pp. 1075—1086.

86. Yurko V. A. Inverse problems for matrix Sturm-Liouville operators // Russ. J. Math. Phys. 2006. Vol. 13, no. 1. Pp. 111-118.

87. Yurko V. A. Inverse problems for the matrix Sturm-Liouville equation on a finite interval // Inverse Problems. 2006. Vol. 22. Pp. 1139-1149.

88. Zubkova E. I., Rofe-Beketov F. S. Inverse scattering problem on the axis for the Schrodinger operator with triangular 2*2 matrix potential. I. Main theorem //J. Math. Phys. Anal. Geom. 2007. Vol. 3, no. 1. Pp. 47-60.

89. Zubkova E. I., Rofe-Beketov F. S. Inverse scattering problem on the axis for the Schrodinger operator with triangular 2*2 matrix potential. II. Additionof the discrete Spectrum // J. Math. Phys. Anal. Geom. 2007. Vol. 3, no. 2. Pp. 176-195.

90. Zubkova E. I., Rofe-Beketov F. S. Necessary and sufficient conditions in inverse scattering problem on the axis for the triangular 2*2 matrix potential // J. Math. Phys. Anal. Geom. 2009. Vol. 5, no. 3. Pp. 296— 309.