Обобщенный термодинамический потенциал в задаче Рэлея-Бенара для изотропных и анизотропных жидкостей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Логинова, Марианна Евгеньевна

• Логинова, Марианна Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Логинова, Марианна Евгеньевна

I ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ ПО ПОВЕДЕНИЮ ЖИДКОСТЕЙ В ПОЛЕ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ.

II ИЗОТРОПНАЯ ЖИДКОСТЬ В ТЕПЛОВОМ ПОЛЕ. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА. АНАЛИЗ ИНДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

11.1 ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ.

11.1.1 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ОТСУТСТВИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ

11.1.2 ДИСПЕРСИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ТЕПЛОВОМ ПОЛЕ.

11.2 ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА, ОПИСЫВАЮЩЕГО ПОВЕДЕНИЕ ЖИДКОСТИ ВДАЛИ ОТ ТЕРМО- , ДИНАМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ./

II.2.1 УРАВНЕНИЕ ЛАНЖЕВЕНА ДЛЯ КОМПЛЕКСНОЙ АМПЛИТУДЫ .'осу И.2.2 УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА-ПЛАНКА.

Выводы.

Ш ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ РЭЛЕЯ-БЕНАРА ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 65 III. 1 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ СКОРОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ .ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ.

111.2 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В РЕЖИМАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОКОНВЕКЦИИ

111.3 ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА

111.4 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ. РЕЖИМЫ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕРМОКОНВЕКЦИИ

III.4.1 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ В ПЛОСКОСТЯХ XOZ И ZOY.

Выводы.

IV АНИЗОТРОПНАЯ ЖИДКОСТЬ В ТЕПЛОВОМ ПОЛЕ

IV. 1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

IV.2 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА В АНИЗОТРОПНОЙ ЖИДКОСТИ.ОДНОМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ.

IV.3 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В РЕЖИМАХ ТЕПЛОПРВОДНО

СТИ И ТЕРМОКОНВЕКЦИИ

IV.4 ВРЕМЕННЫЕ КОРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ПАРАМЕТРА ПОРЯДКА В

ПЛАНАРНЫХ НЕМАТИКАХ

IV.5 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ ПОРЯДКА ПОРЯДКА. ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Обобщенный термодинамический потенциал в задаче Рэлея-Бенара для изотропных и анизотропных жидкостей»

Актуальность темы. Уже не одно десятилетие ведутся довольно интенсивные исследования открытых систем и методы теоретической физики здесь особенно успешны. Известно, что законы, которые управляют сложными физическими системами, обладают определенной универсальностью и их исследование в простых системах позволяет достаточно глубоко проникнуть в их механизмы и адаптировать выводы к сложным явлениям физики конденсированных сред.

Исследование гидродинамических флуктуации как в изотропных так и в анизотропных жидкостях дает представление о механизмах, ответственных за поведение рассматриваемых физических систем вблизи точек бифуркаций, где начинают возникать диссипативные структуры и ярко проявляются нелинейные свойства систем.

Объектом исследования в данной работе являются жидкость и жидкие кристаллы. Их свойства вблизи критических точек существенно претерпевают изменения и кооперативные явления начинают доминировать. Некоторые примеры физических самоорганизующихся систем известны давно (например, неустойчивость Рэлея-Бенара в простой жидкости). Возникают согласованные взаимосвязанные макрообразования, которые развиваются по своим определенным законам. Усиливается роль флуктуаций, которые существенным образом начинают влиять на пороги устойчивости систем. Гидродинамические флуктуации обладают рядом свойств, позволяющих судить о динамике системы вблизи точек бифуркаций. Важную характеристику о поведении системы можно получить, исследуя корреляционные функции этих флуктуаций. Особенностью данной работы является исследование задачи Рэлея-Бенара на языке функционала, представляющего аналог свободной энергии, но для открытой системы, находящейся вдали от термодинамического равновесия. В работе развивается механизм функционального подхода, который позволил исследовать индетерминированную задачу с включенными в нее флуктуациями. Для построения указанного функционала (функционала Ляпунова)- обобщенного термодинамического потенциала (ОТП) использовался метод возмущений. При этом экстремумы полученного функционала Ляпунова позволяют выделить, возникающие диссипативные структуры выше порога.

Предложенный метод оказался приемлемым в подобных исследованиях флуктуаций в изотропной жидкости и в жидких кристаллах. Известно, что физика жидких кристаллов (ЖК) относится к области знаний, которая претерпев стремительное развитие на протяжении полувека, привела к широкому применению ЖК в различных электрооптических устройствах и высокотехнологичных продуктах, таких как жидкокристаллические дисплеи и плоские телевизионные экраны, неразрушающие методы контроля изделий и т.д. Следует заметить, что прогресс в науке о жидких кристаллах обусловлен достижениями в различных областях.

Явления конвективной неустойчивости в гидродинамике описываются общими законами синергетики, так как здесь существуют нелинейные зависимости и при некоторых значениях определенных параметров из хаотического движения жидкости возникают пространственно- временные периодические структуры (самоорганизация), которые образуются в результате нестационарных конвективных течений. Эта тема очень актуальна, так как до сих пор нет четкого объяснения явлений, связанных с гидродинамической неустойчивостью.

Открытые физические системы, которые при изменении внешнего параметра достигают точки бифуркации и развиваются по какому-то одному из сценариев из их множества, безусловно, требовали для своего адекватного описания новых подходов. Метод, основанный на функционале, аналоге свободной энергии для систем вдали от термодинамического равновесия, оказался вполне продуктивным и позволил проследить за ходом развития возникающих структур.

Подобный подход, опирающийся на идею обобщенного термодинамического потенциала, позволил получить дальнейшие оценки гидродинамических флуктуаций для горизонтального слоя жидкости, со свободными границами вблизи критической точки (точки Бенара).

Идея функционального подхода была успешно адаптирована для жидких кристаллов. Следует отметить, что в отличии от обычной жидкости, система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая поведение нематических жидких кристаллов в тепловом поле, уже намного сложнее и, тому же, необходим учет анизотропии системы. А если учесть, что с математической точки зрения задача для ориентированного нематика является несамосопряженной, то становится очевидно, что необходим иной принципиальный подход, который позволил бы рассматриваемую проблему свести к более простой, но сохранивший основные черты физических процессов системы. Наличие большого числа параметров(коэффициента вязкости Лесли, коэффициентов деформации Франка), которые сами в свою очередь требовали своего точного определения, а также учета в рассматриваемой физической системе гидродинамических флуктуаций, безусловно, также усложняли рассматриваемую проблему поведения нематического жидкого кристалла во внешнем тепловом поле.

Жидкости являются хорошим модельным объектом, на котором можно достаточно хорошо исследовать механизмы физических процессов в критических точках в поле градиента температуры, ввиду простоты системы и хорошей визуализации.

Целью работы является теоретическое исследование поведения простых жидкостей и нематических жидких кристаллов в поле градиента температуры на языке функционального подхода, учитывающего параметр порядка системы w, через который выражаются все гидродинамические переменные рассматриваемых физических систем. При построении обобщенного термодинамического потенциала учитывались гидродинамические флуктуации вблизи порогов термоконвективных неустойчивостей, а также развитие адекватного математического аппарата,при помощи которого удалось описать появление и развитие диссипативных структур.

Таким образом, в данной диссертационной работе были рассмотрены линейная и нелинейная задачи поведения изотропной и анизотропной жидкости во внешнем тепловом поле; описание флуктуаций основных гидродинамических переменных вблизи критических точек.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

1. Для несжимаемой жидкости в поле градиента температур, используя теорию возмущений вблизи критической точки Рэлея- Бенара, получено стохастическое уравнение Ланжевена, путем введения соответствующих флуктуационных членов в исходные гидродинамические уравнения.

В уравнение (1) входит стохастический член ^(фц, 1). Проведена оценка случайной силы.

2. Используя соответствующие скейлинговые преобразования пространственных переменных и времени с использованием новых медленных переменных, построен обобщенный термодинамический потенциал (ОТП), описывающий движение жидкости.

1 + Pr)dTw = И2 w + 4djw — и + w + о7г s w + ^,1). (1)

Ф(М) = g1 ///d3x[-^2v\w\2 + i \w\4/2 + 4\dxw\2 +

-iA~{dxwdyW* - dxw*d2yw)/2 - ^\d2w\2 + +i—{dxwd2zw* - dxw*d2zw)/2 +to*

7г

8\/2

7г где значение Q дается выражением циент вязкости, аэ - коэффициент теплопроводности, cv - удельная теплоемкость на единицу массы, (5 - коэффициент объемного расширения и ро - плотность жидкости, соответственно.

3. Для изотропной несжимаемой жидкости получены дисперсионные соотношения, с помощью которых были найдены моды, среди которых имеется 11 мягкая"мода, и она при приближении поля к критическому значению переходит в нулевую и срывает устойчивость системы, в то время как другие мода остается затухающей.

4. Получено квазигауссово приближение потенциала (11.70) для трех плоскостей XOY, XOZ, ZOY. Используя соответствующие потенциалы, удалось рассчитать пространственные корреляционные функции основных гидродинамических переменных в режиме теплопроводности. Оказалось, что корреляционные функции в плоскостях XOZ и ZOY не удается свести к инвариантной относительно вращения форме из-за наличия дополнительных членов, в отличие от корреляционной функции в плоскости XOY

Практическая ценность диссертационной работы состоит в том, что результаты использованы при дальнейшем развитии исследований нелинейных диссипативных структур, возникающих в ЖК во внешних тепловых полях, а также теоретические результаты могут быть адаптированы к исследованию сжимаемой жидкости и в других внешних полях (магнитных, сдвиговых, электрических).

На защиту выносятся следующие положения о предлагается метод построения обобщенного термодинамического потенциала, описывающего поведение несжимаемой жидкости со свободными граничными условиями, основанный на теории возмущений с использованием новых медленных переменных. о решение задачи о гидродинамических флуктуациях в несжимаемой изотропной и анизотропных жидкостях в окрестностях пороговых значений внешнего теплового поля.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка источников и приложений. Она содержит 141 страниц печатного текста и списка цитируемой литературы из 137 названий.