О распределении значений L-рядов Дирихле тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Преображенская, Татьяна Анатольевна

• Преображенская, Татьяна Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Преображенская, Татьяна Анатольевна

Введение

Глава 1. О расстоянии между соседними нулями L-функции Дирихле, лежащими на критической прямой

§ 1. Функция Zx(t)

§ 2. Преобразование формулы для Zx(t)

§ 3. Основная теорема

Глава 2. О существовании малых значений дзета-функции Римана и L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой

§1.0 существовании малого значения дзета-функции Римана на коротком промежутке критической прямой

§2.0 существовании малого значения L-функции Дирихле на коротком промежутке критической прямой.

Глава 3. О постоянной в оценке числа последовательных квадратичных вычетов.

§ 1. Новый вариант неравенства Дэвенпорта—Эрдёша

§ 2. Леммы из теории диофантовых приближений

§ 3. Основная теорема

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О распределении значений L-рядов Дирихле»

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования является распределение значений L-функций Дирихле с характером по модулю, равному степени простого нечетного числа, на критической прямой. Эти функции для произвольного модуля к ввел в 1837 г. Дирихле при исследовании вопроса о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях. Дирихле доказал, что в любой арифметической прогрессии Ь, Ь + т, Ъ + 2т, ., где (т, Ъ) = 1, имеется бесконечно много простых чисел. В полуплоскости Res > 1 L-функции Дирихле задаются равенством где х ~ характер по модулю к.

Теория L-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей L-функций Дирихле.

Вопрос о расстоянии между соседними нулями L-функций, лежащими на критической прямой, рассматривается в первой главе диссертации. Отметим, что подобную проблему для дзета-функции Римана исследовали Г. Харди, Д. Литтлвуд, Я. Мозер, А.А. Карацуба.

Г. Харди ввел в рассмотрение действительную функцию Z(t), задаваемую равенством:

Z(t) = e>WС (§ + «), где е»«> = л-"/2Г (| + f) |г (| + f) .

Поскольку модуль функции Z(t) равен модулю дзета-функции на критической прямой, то оценка |С + I свелась к оценке

Для решения обозначенной проблемы функцию Харди было удобно представить в следующем виде (формула Римана-Зигеля): т = 2 £ cos(0(t)-flogn)+o/1/4lo ч

--л/п \ / п^фЩж) где e(t) = e0(t) + b{t), 4t) = t\og^-\-^ A(t) = о .

В 1918 Харди и Литтлвуд [1] доказали, что при Т ^ Той > 0 и Н ^ промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Z(t). В работе 1976 г. Я. Мозер [11] показал, что можно взять Н ^ Т^Чо^Т. В 1981 г. А. А. Карацуба [13] доказал это утверждение при Я ^ T5/32log2T.

В настоящей диссертации для исследования вопросов, связанных с распределением значений L-функций Дирихле на критической прямой, вводится в рассмотрение действительная функция где 6(t) = t log у ^ — | — | + Cd,x, Cd,x — некоторая константа, зависящая от d и х- Формула для Zx(t) получена из приближенного функционального уравнения А.Ф. Лаврика [17] для L-функций Дирихле и является аналогом формулы Римана-Зигеля для функции Харди:

Zx{t) = 2 Е Re(x(n)eJ-^>)+jm где Hx(t) = o((f)ilog2i).

В получении оценки расстояния между соседними нулями L-функций Дирихле ключевую роль играют оценки так называемых «гибридных сумм», имеющих вид

Впервые на тесную взаимосвязь сумм характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа, с суммами Г. Вейля обратил внимание в 1955 г. А. Г. Постников. Он получил принципиально новые оценки таN ких сумм. Последние оценки для сумм вида ^ x{n)n%t были получены п=1

Б.А. Турешбаевым [19] методом тригонометрических сумм И.М. Виноградова [2]—[5] с использованием формулы А. Г. Постникова [15]. Мы используем следующую лемму об оценке «гибридных сумм».

Лемма 1. Пусть х ~ примитивный характер по модулю d = pk, р — простое нечетное, р ^ exp jyllogs J, А > 0, k G N, к ^ 2, N + Nq = Vй ^ И2; N = o(N0) при |£| —» оо, и — вещественное число. Тогда при ^ d существует абсолютная постоянная у > 1,4 • Ю-9 такая, что для суммы справедлива оценка

S= £ Х(п)пи

N0<n^N0+N log3 n

5| < Ne

Таким образом, в первой главе доказана теорема: Теорема 1. Пусть х —примитивный характер по модулю d = pk, р — простое нечетное, р < exp (Alog2/3|£|), А > 0, k G N, к ^ 2, Т ^ Т0 > О, Т ^ d?, Н ^ (dT) 4~ел (log dT)2, где 7 > 0 — постоянная из леммы об оценке «гибридной суммы». Тогда промежуток (Т, Т + Н) содержит нуль нечетного порядка функции Zx(t).

Своего рода обобщением задачи о расстоянии между соседними нулями является задача о существовании малых значений. Во второй главе доказаны теоремы о существовании малых значений L-функций Дирихле и С-Функции Римана на коротких промежутках критической прямой.

Пусть неравенство \Z(t)\ ^ М выполнено на всем интервале (Т, ТК) длины h. Максимальную из таких длин h обозначим через Н = Н(М, Т). Теорема 2. При 0 < Mq < М T1/6log2T имеет место оценка

ТЩо%2Т

Я < М

Теорема 3. Пусть х —примитивный характер по модулю d = pk, р — простое нечетное, р ^ exp ^Alog2/3|£|^, А > 0, k € N, к ^ 2, Т ^ То > О, Т ^ d3, М = M(d,T)— некоторая функция, такая, что dT)-^\0g2(dT) « м « (dTfi^iQ4og\dT), н » где 7 > 0 — постоянная из леммы об оценке «гибридной суммы». Тогда на промежутке (Г, Т + Н) найдется точка Т\, такая, что |Zx(Ti)| ^ М.

В третьей главе рассматривается задача об оценке максимального числа Н последовательных целых чисел, таких, что все они являются либо квадратичными вычетами, либо квадратичными невычетами по модулю простого числа р.

Эта задача является логическим продолжением задачи о наименьшем квадратичном невычете по простому модулю, постановка которой принадлежит И. М. Виноградову. В 1914 г. он дал элементарное доказательство квадратичного закона взаимности, в котором использовалась оценка Гаусса для наименьшего квадратичного невычета порядка корня квадратного из модуля. В 1918 г. И. М. Виноградов [7] получил оценку наименьшего квадратичного невычета в арифметической прогрессии. Она имеет вид: п^р'^Ыр2, (*) где р—простое число, пр—наименьший квадратичный невычет по модулю Р

В 1926 г. И. М. Виноградов [8] обобщил эту оценку на степенные невычеты и дал оценку наименьшего первообразного корня. В 1952 г. Г. Дэвен-порт и П. Эрдёш [21] уточнили степень логарифма в оценке (*). В том же году И. М. Виноградов [9] получил оценку суммы характеров по «сдвинутым» простым числам, где он нашел оценку момента четвертой степени от неполной линейной суммы характеров, что уже позволяло улучшить оценку наименьшего невычета.

Ю. В. Линник и А. Реньи в начале пятидесятых годов получили ряд условных результатов по проблеме наименьшего квадратичного невычета, которые связывают эту задачу с оценкой модуля L-функций Дирихле на единичной прямой [10].

В 1957 г. Д. Берджесс получил современную оценку для наименьшего квадратичного невычета, которая, грубо говоря, является корнем квадратным из оценки (*). В дальнейшем А. А. Карацуба [14] дал новый вариант доказательства оценки Д. Берджесса и решил ряд родственных задач, связанных с распределением значений сумм характеров на разнообразных арифметических последовательностях.

Возвращаясь к задаче о числе последовательных квадратичных вычетов (невычетов), отметим следующее: в 1918г. Г. Пойа [20] и И. М. Виноградов [7] получили неравенство р1/2 logp, а, следовательно,

Cp1/2logp.

В 1952 г. Х.Дэвенпорт и П. Эрдёш [21] показали, что

Н « р1'2.

Современный порядок оценки величины Н был получен в 1963 г. Д. А. Берджессом [22]:

Я<р1/41о6р.

Эта оценка была получена с помощью неравенства Дэвенпорта—Эрдёша р-1 х=0 х(х + т) т=1

2 г (4r)r+lphr + 2ry/ph . 8

В 1973"г. К. К. Нортон [24] анонсировал следующий результат:

Н < 4,1рх/4 log р при всех р, и

Я < 2,5р1/4 logр при р > е15.

В третьей главе дано доказательство нового варианта неравенства Дэвенпорта-Эрдёша, с помощью которого получено улучшение постоянной в современной оценке числа последовательных квадратичных вычетов (невычетов):

Теорема 4. Пусть ^^ обозначает символ Лежандра, р—простое, г — произвольное положительное целое число. Тогда справедливо неравенство х + (*£=*)) ((**=*) + (**=*)) < p + r(y/p + l/2)22r1.

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы: Лемма 2. Пусть С2Г(2&) обозначает число тех многочленов вида х(х + ni)(x + П2). {х + пгг-i), Щ € {г — 1, г}, для которых справедливо представление х(х + П\)(х + п2) . . • (х + n2r-1) = P2r-2k(x)(Qk(x))2, где p2r-2k{x) "е содержит квадратов (нижний индекс обозначает сте9 пень многочлена). Тогда c2r(2k) = CfT, где С%г — биномиальный коэффициент.

Лемма 3. Пусть г — положительное целое число. Справедлива формула

J] 2jfeCg* = г22г-1

Ык<г

Лемма 4.(см. [25]) Пусть ^^ — символ Лежандра, f 6 Fp[cc] — нормированный многочлен положительной степени, не являющийся квадратом другого многочлена. Если d — число различных корней многочлена f в его поле разложегшя над Fp, то справедлива оценка ж=0 4 у ■

Следующие леммы из теории диофантовых приближений, наряду с теоремой 4, являются ключевыми в доказательстве основной теоремы 5.

Лемма 5.(см. [22]) Пусть I(q,t) — интервал вещественных значений z вида

N + pt ^ N + H + pt -< ^ <-, q q целые числа q и t изменяются в пределах

О ^ t < q < H/(\og2p).

Тогда существуют фиксированные взаимно простые целые числа а ^ 1 и Ь, такие, что для любой пары пересекающихся интервалов I(qi,ti) и

I(q2, £2) выполняется равенство at\ + b at2 + b qi Q2

Лемма 6. Если a) 1 «6 - фиксированные взаимно простые целые числа, то количество различных чисел вида где t и q изменяются в пределах О не меньше, чем

Х2-СХ logX

7Г

Теорема 5. Пусть ^^ обозначает символ Леоюандра, р—простое. Если т-т-'-т-" то 1,85032828.

В заключение автор приносит благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. Н. Чубарикову за поставленные задачи и внимание к работе, а также д.ф.-м.н., профессору Г. И. Архипову за полезные обсуждения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Преображенская, Татьяна Анатольевна, 2006 год

1. Hardy G. Н., Littlewood J. E. Contributions to the theory of Riemann zeta-function and the theory of distribution of primes // Acta Math. 1918. V.41. P. 119-196.

2. Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

3. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

4. Виноградов И. М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.

5. Виноградов И. М., Карацуба А. А Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. 1984. - Т. 168. - С. 4-30.

6. Виноградов И. М. Основы теории чисел. Москва-Ижевск: РХД, 2003. 176 с.

7. Виноградов И. М. Sur la distribution des residus et des non-residus des puissances, Журн. физ.-матем. об-ва при Пермском ун-те, 1918, т. 1, с. 94-96.

8. Виноградов И. М. О границе наименьшего невычета п-ой степени // Изв. АН СССР, сер. матем.-1926.-Т. 20. 47-58.

9. Виноградов И. М. Новый подход к оценке суммы значений х(р + // Изв. АН СССР, сер. матем.-1952.-Т. 16. 197-210.

10. Гельфонд А. О., Линник Ю.В. Элементарные методы в аналитической теории чисел.—М.: Наука, 1962.

11. Мозер Я. Об одной сумме в теории дзета-функции Римана // Acta Arithm. 1976. V. 31. P. 31-43. Об одной теореме Харди—Литтлвуда в теории дзета-функции Римана // Acta Arithm. 1976. V. 31. P. 45-51. Добавление // Acta Arithm. 1979. V.35. P. 403-404.12 1314