Об оценках скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Подвигин Иван Викторович

• Подвигин Иван Викторович
• доктор наук
• 2023

Оглавление диссертации доктор наук Подвигин Иван Викторович

0.1.2 Цели и задачи

0.1.3 Научная новизна

0.1.4 Значимость и методы

0.1.5 Степень достоверности и апробация результатов

0.1.6 Структура и объем диссертации

0.2 Система обозначений

0.2.1 Индивидуальная и статистическая эргодические теоремы

0.2.2 Два подхода к измерению скорости сходимости в эргодической теореме

Биркгофа

0.2.3 Расширение эндоморфизмов и полупотоков

0.3 Обзор результатов диссертации

0.3.1 Результаты первого раздела

0.3.2 Результаты второго раздела

1 Первый подход к измерению скорости сходимости

1.1 Максимальная поточечная скорость сходимости

1.1.1 Случай полупотоков на пространстве Лебега

1.1.2 Неравенство для огибающей эргодических средних

1.1.3 Обобщение неравенства на Zd-действия

1.1.4 Обобщение неравенства на эргодические М^-потоки

1.2 Закон нуля или единицы для скорости сходимости

1.2.1 Оптимальные оценки скорости поточечной сходимости: дискретное время

1.2.2 Оптимальные оценки скорости сходимости: непрерывное время

1.2.3 Решетки оценок

1.3 Показатель сходимости эргодических средних

1.3.1 Почти оптимальные оценки скорости поточечной сходимости

1.3.2 Определение и основные результаты

1.3.3 Доказательство теорем 1.11 и

1.3.4 Минимальный показатель сходимости эргодических средних

1.3.5 Пространства Танни-Воща

1.4 Оценки скорости сходимости по подпоследовательностям

1.4.1 Об отделимости от нуля

1.4.2 Следствия для перемешивающих и вполне эргодических автоморфизмов

1.5 Множества функций и автоморфизмов для заданной оценки поточечной скорости сходимости

1.5.1 Множества усредняемых функций для фиксированного автоморфизма

1.5.2 Множества автоморфизмов для фиксированной усредняемой функции

2 Второй подход к измерению скорости сходимости

2.1 Оценки скорости сходимости через большие уклонения

2.1.1 Совпадающие асимптотики скорости сходимости и больших уклонений

2.1.2 Класс ¿> функций с условием Бари-Стечкина

2.1.3 Оценки скорости сходимости для некоторых функций из ¿>

2.1.4 Асимптотическая формула скорости сходимости: экспоненциальный случай

2.1.5 Обобщение подхода на действия полугрупп

2.1.6 Асимптотическая формула скорости сходимости: общий случай

2.1.7 Приложения

2.2 Об оценках больших уклонений для непрерывных функций

2.2.1 Об использовании аппроксимации для оценки больших уклонений

2.2.2 Формулировки основных результатов

2.2.3 Доказательства основных утверждений

2.2.4 Применение к оценке скорости сходимости

2.2.5 Хвостовое распределение времени возвращения

2.2.6 Приложения

2.3 Об оценках корреляций для общих наблюдаемых

2.3.1 Об использовании аппроксимации для оценки корреляций

2.3.2 Аппроксимационные пространства 5р(@)

2.3.3 Оценки корреляций для функций из пространств 5р(@)

2.3.4 От корреляций к большим уклонениям и скорости сходимости

2.3.5 Оценки скорости сходимости для бильярдов Бунимовича

2.3.6 ЦПТ для диффеоморфизмов Аносова и характеристических функций . 150 2.4 Гармонический анализ и скорости сходимости в теореме фон Неймана

2.4.1 О представлении Леонова для интеграла Лузина

2.4.2 О суммах Фейера и коэффициентах Фурье периодических мер

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об оценках скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа»

Введение

0.1 Актуальность, научная новизна и апробация результатов

0.1.1 Актуальность и степень разработанности темы исследования.

0.1.1.1. Первые эргодические теоремы (Биркгоф, 1931 и фон Нейман, 1932) возникли из попыток обоснования эргодической гипотезы статистической механики. Естественный интерес представляет задача о скорости сходимости в этих теоремах для динамических систем, возникающих как в самой статистической механике, например для моделирующих газ различных бильярдов, так и для не менее важных систем алгебраической, геометрической и вероятностной природы происхождения.

Теорема фон Неймана - это результат из теории операторов, и скорость сходимости в ней определяется как скорость сходимости числовой последовательности норм отклонений эргодических средних от предела. Эта тема достаточно хорошо исследована (см. статью Ка-чуровского [17], а также его совместные с учениками результаты в обзоре [197]). Тем не менее некоторые вопросы остаются нерешенными. Появляются также новые постановки и результаты. В частности, связь результатов гармонического анализа с утверждениями о скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана рассмотрена в работах Качуровского и Книжова [19], Качуровского, Лапштаева и Хакимбаева [20] и Качуровского [18]. В этой диссертации мы также касаемся этого вопроса, и в частности, обсуждаем результат Леонова [31] об интеграле Лузина, имеющем отношение к асимптотическому разложению скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана. Неожиданным по постановке и в некоторой степени новым результатом является недавняя работа Бен-Арци и Морисса [76] о скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем на подпространствах.

0.1.1.2. Сложнее ситуация с эргодической теоремой Биркгофа, на которой в диссертации сделан основной акцент. Эта теорема — результат из теории меры, и при первом его рассмотрении сразу возникает вопрос: что называть скоростью сходимости в этой теореме? Первый естественный подход — это фиксировать точку фазового пространства, где имеется сходимость (а она имеется почти всюду) и исследовать скорость сходимости числовой последовательности модулей отклонений эргодических средних в данной точке от предела.

Большое количество результатов в этой задаче появилось к середине 1970-ых - началу 1980-ых. Кренгель в статье [136] показал, что почти всюду скорость поточечной сходимости может быть сколь угодно медленной. А именно, для заданного эргодического сохраняюще-

го меру преобразования и произвольной последовательности, сходящейся к нулю, построена функция, эргодические средние которой для почти всех точек фазового пространства стремятся к своему пределу медленнее, чем эта последовательность. Естественный интерес представляет не рассматривавшаяся ранее двойственная постановка о существовании сохраняющего меру преобразования для заданной функции и последовательности.

Аналогичный как у Кренгеля результат другим методом был получен Какутани и Петер-сеном в [131]. Позднее дель Юнко и Розенблатт в [130] и Волны в [177] показали, что такая ситуация типична. Халаш в работе [123] показал, что эргодические средние с дискретным временем бесконечно осциллируют вокруг своего предела; Маркус и Петерсен в [148] получили аналогичный результат для эргодических средних с непрерывным временем. Аткинсон показал в [66], что для эргодического преобразования и вещественнозначной функции с нулевым средним последовательность биркгофовых сумм почти всюду сколь угодно близко приближается к нулю. Аналогичный результат другими методами был получен Шмидтом в [168] для дискретного времени и Шнейбергом в [55] для непрерывного времени. Неявно этот факт следует и из работы Крыгина [28] (см. обсуждение в статье Рыжикова [39]).

Обзор большинства результатов по этой тематике, полученных к середине 1980-ых, был кратко представлен в монографии Кренгеля [137]; первый обширный обзор появился в 1996 году в работе Качуровского [17]. К этому времени стало ясно, что скорость сходимости зависит от пары: сохраняющее меру преобразование - усредняемая функция. И для ее оценки нужно найти отвечающие за это параметры этой пары. Для перемешивающих динамических систем такими параметрами могут быть корреляционные коэффициенты. Гапошкин в [13] представил метод оценивания скорости поточечной сходимости эргодических средних через оценки для корреляционных коэффициентов. Позднее этот подход был развит в работах Ко-эна и Лина [97], Кюни [100] и др. (см. также ссылки в этих работах). Во всех этих работах получены имеющие место почти всюду оценки скорости сходимости в виде о-малого или в виде сходимости некоторых специальных рядов. Вопрос о существовании таких одинаковых оценок скорости поточечной сходимости для почти всех точек оставался неизученным. Он представляет определённый интерес и обсуждается в первой главе.

В статье Качуровского [17] было показано для дискретного времени, что максимальной скоростью поточечной сходимости эргодических средних будет 0( П) и достигается она в точности на когомологичных в нулю функций, т.е. удовлетворяющих когомологическому уравнению (или уравнению Пуассона) f = д о Т — д для д Е и сохраняющего меру преобразования Т (см. также [145,182]). Для непрерывного времени аналогичного результата доказано не было. Дирриенник и Лин в [104] получили оценки скорости поточечной

сходимости для функций, удовлетворяющих дробному уравнению Пуассона.

0.1.1.3. В той же работе [17] Качуровский предложил второй подход к определению скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа. Поскольку сходимость почти всюду на пространствах с конечной мерой эквивалентна стремлению к нулю мер максимальных отклонений последовательности от предела (в обозначениях далее Рп), то скорость сходимости этой последовательности и можно назвать скоростью сходимости в эргодической теореме Биркгофа. Аналогичный подход был предложен и для непрерывного времени. Он позволяет находить оценки Рп через оценки для больших уклонений (в обозначениях далее рп); большое количество методов оценивания последних появлялось в работах по теории вероятностей и по динамическим системам. Отметим среди них недавнюю работу [115] (и ссылки в ней), в которой Фанг, Такахаси и Жанг получили точную асимптотику больших уклонений в терминах сходимости некоторого ряда.

Качуровским также были получены оценки Рп через оценки на скорость сходимости в теореме фон Неймана. Дальнейшая разработка этого подхода была в работах Гапошкина [14], Вершика и Качуровского [12] и Седалищева [22,44,45].

Качуровским было также показано, что для ограниченных функций степенное убывание величин Рп эквивалентно степенному убыванию больших уклонений. Развитие этого результата на широкий класс скоростей убывания приведено во второй главе диссертации.

0.1.1.4. С конца 1990-ых появилась масса работ по оцениванию больших уклонений и корреляций для регулярных функций как для конкретных динамических систем, так и для целых классов динамических систем. Было выяснено, что типичным является сколь угодно медленное убывание как корреляций для перемешивающих систем [88,167], так и больших уклонений [142]. Большое влияние на дальнейшие исследования оказали пионерские работы Янг [186,187], в которых разработан метод получения оценок корреляций для гёльдеров-ских функций для широкого класса систем. Заметный интерес вызвали работы Мельбурна и Никола [153, 154] и Рей-Беллета и Янг [163] по большим уклонениям для неравномерно гиперболических динамических систем. Дальнейшая разработка их подходов была сделана в работе Алвеса и др. [62], где получена связь между убыванием корреляций и больших уклонений как для диапазона степенных скоростей, так и (растянутых) экспоненциальных. Уточнение для растянутых экспоненциальных скоростей было недавно получено в работе Аймино и Фрейтаса [61].

0.1.1.5. Эти работы выявили важность оценки корреляционных коэффициентов для перемешивающих систем в задаче оценки скорости сходимости в эргодической теореме Бирк-гофа и в рамках второго подхода тоже.

Среди конкретных динамических систем, которых мы коснемся в этой диссертации и для которых обсчитаны оценки корреляций (и больших уклонений) для регулярных наблюдаемых, отметим классические системы Аносова и некоторые хаотические бильярды. Для диффеоморфизмов Аносова оценки корреляций получены разными методами в работах Боуэна [10], Янг [187], и Брессо и Ливерани [82]; для потоков Аносова — Черновым [89], Долгопятом [105-107], Ливерани [146] и Стояновым [170] (см. также ссылки в последней работе). Оценки корреляций в упоминаемых бильярдах были посчитаны Черновым, Маркаряном и их коллегами в серии работ; итоговые оценки для динамически гёльдеровских функций можно найти в их монографии [92] (см. также перевод на русский язык [52]).

Оценки корреляций в описанных работах получены для регулярных функций (гладких, гёльдеровских). Нерешёнными остаются задачи о получении оценок корреляций для менее регулярных функций (отметим в этом направлении работы [166,189], где получены оценки корреляций для негёльдеровских непрерывных наблюдаемых). Этому вопросу посвящена часть второй главы диссертации.

0.1.1.6. Наиболее изученными динамическими системами среди неперемешивающих действий в плане получения оценок скорости поточечной сходимости эргодических средних являются эргодические повороты окружности (и более общо эргодические сдвиги на торах). Эта тематика непосредственно связана с теорией равномерного распределения последовательности на интервале [23]. Эргодические средние для непрерывных функций сходятся уже равномерно на всем фазовом пространстве, поэтому возникает вопрос об их скорости сходимости в каждой точке. Эффект возвращаемости (в эргодическом случае) биркгофовых сумм к нулю для вещественной функции с нулевым средним для п.в. точек здесь усиливается до синхронной возвращаемости. А именно, для всякой абсолютно непрерывной функции с нулевым средним и эргодического поворота окружности максимум модулей сумм Биркгофа сколь угодно близко приближается к нулю. Это свойство обнаружено Козловым в [24] для дважды гладких функций, усилено Крыгиным в [29] для непрерывно дифференцируемых функций и расширено Сидоровым в [47] до абсолютно непрерывных функций. Подробное обсуждение похожих результатов для сдвигов на торе можно найти в работе Мощевитина [34, §11].

Скорость сходимости эргодических средних зависит и от гладкости усредняемой функции, и от свойств иррационального числа, соответствующего повороту. Новые результаты в этом направлении недавно получены Антоневичем, Кочергиным и Шукуром [2], а также Клейном, Лиу и Мело [134]. Для общих же неперемешиваюших динамических систем неизвестно, какие параметры могут быть полезны в оценке скорости сходимости. В первой главе диссертации обсуждается один из таких параметров.

0.1.1.7. Задача о нахождении оценок скорости поточечной сходимости в эргодической теореме Биркгофа успешно решена также для некоторых конкретных популярных в приложениях потоков и достаточно гладких функций. При этом существенно использовалась специфика рассматриваемых потоков. Для некоторых орициклических потоков этому вопросу посвящены работы Ратнер [162], Бургера [86], Фламинио и Форни [117] и Стрёмберг-сона [172]; вопрос об эффективной оценке для таких потоков был поставлен Маргулисом в сборнике проблем и гипотез [149]. Некоторым плоским потокам посвящены работы Атрея и Форни [68], Буфетова [84] и Форни [119] (см. также библиографию в этих работах).

Отметим любопытное отличие дискретных и непрерывных оценок, встречающихся в литературе: для дискретного времени оценки получены в основном в виде о-малого, а для непрерывного — в виде О-большого.

Во всех описанных работах, насколько известно автору, вопрос о неулучшаемости полученных оценок не исследовался. Разумным постановкам этого вопроса посвящена часть первой главы диссертации.

0.1.2 Цели и задачи

Исходя из изложенной проблематики, задачи, поставленные в диссертации, соответствуют двум подходам в определении скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа.

0.1.2.1. В рамках первого, поточечного, подхода ставятся следующие задачи:

- показать, что максимальная скорость поточечной сходимости в эргодической теореме Биркгофа с непрерывным временем (аналогично дискретному) есть О( 1/Ь) и достигается на когомологичных нулю функциях;

- показать, что всегда существуют оценки скорости сходимости одинаковые для почти всех точек; исследовать структуру таких оценок как в дискретном, так в непрерывном случае;

- строго определить лучшую оценку скорости сходимости и выяснить существуют ли такие оценки;

- для неперемешивающих динамических систем найти параметры, с помощью которых можно получить оценки скорости поточечной сходимости эргодических средних;

- определить, могут ли эргодические средние сходиться к своему пределу вдоль некоторой подпоследовательности ¿к п.в. как о( 1/1к);

- получить результат (двойственный теореме Кренгеля) о существовании для заданной последовательности и заданной характеристической функции сохраняющего меру автомор-

физма, со скоростью сходимости эргодических средних медленнее этой последовательности.

0.1.2.2. В рамках второго, метрического, подхода рассматриваются следующие задачи:

- максимально расширить результат Качуровского, в котором доказана эквивалентность степенного убывания больших уклонений и такой же степенной скорости сходимости в эрго-дической теореме Биркгофа;

- выяснить, на какой класс функций можно расширить имеющиеся оценки больших уклонений для класса ограниченных гёльдеровских функций;

- разработать метод получения оценок корреляций для менее регулярных функций, исходя из имеющихся данных об убывании корреляций для некоторого заданного широкого класса достаточно регулярных функций;

- изучить взаимосвязь между некоторыми результатами о скорости сходимости в эргоди-ческой теореме фон Неймана с утверждениями из гармонического анализа.

0.1.3 Научная новизна

Полученные в диссертации результаты являются новыми. Все представленные утверждения содержат подробные доказательства.

Положения, выносимые на защиту. Наиболее значимыми являются следующие результаты:

- доказано существование одинаковых оценок скорости поточечной сходимости эргодических средних для почти всех точек;

- получены оценки корреляций для всех наблюдаемых с помощью аппроксимации и оценок корреляций для плотного класса функций.

0.1.3.1. Опишем более подробно. В рамках первого подхода определения скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа, основными являются следующие результаты:

- показано, что максимальная скорость поточечной сходимости эргодических средних с непрерывным временем (для полупотоков на пространстве Лебега) есть 0(1Д). Она имеет место только для когомологичных нулю функций с ограниченной функцией переноса;

- показано, что для любого эргодического эндоморфизма (или полупотока) и для любой интегрируемой функции существуют одинаковые для почти всех точек верхние оценки скорости поточечной сходимости эргодических средних. Установлено, что монотонные оценки удовлетворяют закону нуля или единицы: они справедливы либо на множестве полной меры, либо нулевой. Показано, что минимальных оценок вида о-малое не существует. Ключевым ингредиентом доказательства этих фактов является найденное неравенство для огибающей

эргодических средних;

- введено понятие оптимальной и почти оптимальной оценки скорости поточечной сходимости эргодических средних. Показано, что существование почти оптимальных степенных оценок эквивалентно существованию каких-нибудь степенных оценок. Оказалось, что параметром, отвечающим за наличие степенных оценок поточечной сходимости, является показатель сходимости последовательности эргодических средних; вопрос о существовании оптимальной оценки в общем случае остается открытым;

- показано, что для любого перемешивающего преобразования и любой интегрируемой функции не существует оценок скорости поточечной сходимости эргодических средних со свойством о(1/£к) вдоль какой-нибудь последовательности ¿к. Для слабых перемешиваний такие оценки могут существовать;

- частично решена двойственная задача к результату Кренгеля. Для заданной характеристической функции и заданной убывающей к нулю последовательности построен неэргодиче-ский автоморфизм, эргодические средние которого сходятся к пределу медленнее заданной последовательности на множестве положительной меры.

0.1.3.2. В рамках второго подхода определения скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа основными являются следующие результаты:

- показано, что эквивалентность скорости убывания больших уклонений и скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа для ограниченной функции имеет место для широкого класса скоростей, удовлетворяющих (после замены времени на 1Д) условию Бари-Стечкина. Минимальными в некотором смысле в этом классе являются рассматривавшиеся Качуровским степенные скорости. Полученный результат распространен на действия полугрупп, а также вместо верхних оценок перенесен на точные асимптотические равенства;

- с использованием аппроксимации на метрическом пространстве получены оценки больших уклонений для ограниченных непрерывных почти всюду (относительно инвариантной меры) функций через оценки больших уклонений для всего класса гёльдеровских функций;

- построены аппроксимационные нормированные пространства, функции из которых имеют одинаковый характер оценок аппроксимации и, как следствие, оценок корреляций. Данная конструкция позволяет получать оценки корреляций для произвольных наблюдаемых, исходя из имеющихся оценок корреляций для всюду плотного множества функций и скорости аппроксимации такими функциями;

- доказаны теоремы о сходимости в точке интегралов Лузина, возникающих в представлении коэффициентов асимптотического разложения скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана.

0.1.4 Значимость и методы

0.1.4.1. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Представленные результаты могут быть применены для получения оценок скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа для новых, возникающих в приложениях, классов динамических систем (см., например, [147]). Часть результатов может быть использована в научно-исследовательской работе математиков, специализирующихся в близких направлениях (см., например, [174]). Результаты работы также могут быть применены при разработке и чтении курсов по эргодической теории.

0.1.4.2. Методология и методы исследования. В работе используются методы из разных направлений анализа. В том числе: теории меры, теории приближения функций, ап-проксимационных пространств и гармонического анализа. Кроме того, используются факты из теории динамических систем и теории вероятностей.

0.1.5 Степень достоверности и апробация результатов

0.1.5.1. Достоверность представленных результатов подтверждена подробными доказательствами. Результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

- семинар "Геометрия, топология и их приложения" под руководством ак. И.А. Тайманова (ИМ СО РАН, 2011);

- семинар "Динамические системы" под руководством ак. Д.В. Аносова и А.М. Степина (МГУ, 2014, в рамках конференции Ломоносов-2014);

- семинар отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством ак. Ю.Г. Решетняка (ИМ СО РАН, 2014);

- общеинститутский математический семинар ИМ СО РАН под руководством ак. Ю.Г. Решетняка (ИМ СО РАН, 2014, 2018, 2021);

- семинар "Теория вероятностей и математическая статистика" (объединённый научно-исследовательский семинар лаборатории теории вероятностей ИМ СО РАН и кафедры теории вероятностей НГУ) под руководством ак. А.А. Боровкова (ИМ СО РАН, 2014);

- семинар "Динамические системы и дифференциальные уравнения" под руководством А.М. Степина и А.А. Давыдова (МГУ, 2017);

- семинар "Математический коллоквиум" под руководством А.В. Васильева, Д.С. Кро-това и Ю.Л. Трахинина (ИМ СО РАН, 2021);

- семинар по геометрическому анализу под руководством С.К. Водопьянова (ИМ СО РАН, 2022);

- городской семинар по теории вероятностей и математической статистике под руководством ак. И.А. Ибрагимова (ПОМИ, 2022).

0.1.5.2. Также результаты диссертации были представлены на следующих конференциях:

- международная школа-конференция по геометрии и анализу (Кемерово, КемГУ, 2011);

- международная (44 Всероссийская) молодежная школа-конференция "Современные проблемы математики" (Екатеринбург, Ин-т математики и механики УрО РАН, 2013);

- международная конференция, посвященная памяти Л.П. Шильникова, "Динамика, бифуркации и странные аттракторы" (Нижний Новгород, ННГУ, 2013);

- международная конференция, посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева, "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" (Новосибирск, ИМ СОРАН, 2013);

- международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2014": Математика и механика (Москва, МГУ, 2014);

- 18-ая международная Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2016);

- международная конференция "Дни геометрии в Новосибирске 2016" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2016);

- международная конференция "Системы Аносова и современная динамика" , посвященная 80-летию со дня рождения Д.В. Аносова (Москва, МГУ, МИАН, НИУ ВШЭ, 2016);

- международная конференция по теории функций, посвященная 100-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева (Уфа, БашГУ, 2017);

- международная конференция, посвященная 60-летию ИМ СО РАН им. С.Л. Соболева, "Математика в современном мире" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2017);

- международная конференция "Youth workshop on analysis" (Новосибирск, НГУ, 2018);

- международная конференция "Mathematical physics, Dynamical systems and Infinite-dimensional analysis" (Долгопрудный, МФТИ, 2019);

- международная конференция по геометрическому анализу, посвященная 90-летию ак. Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, НГУ. 2019);

- конференция "Dynamics in Siberia 2021" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2021);

- международная конференция "2021 Chapel Hill Ergodic Theory Workshop - Global Online Edition" (Chapel Hill, USA, 2021);

- международная конференция по геометрическому анализу памяти Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2022);

- международная школа-конференция по теории точечных процессов (Суздаль, МИАН, 2022).

0.1.6 Структура и объем диссертации

0.1.6.1. Диссертация состоит из 188 страниц, из которых 9 отведено на библиографию. Структура работы включает введение, два основных раздела, разбитые на подразделы, заключение и список литературы, включающий 222 наименования. Нумерация утверждений и формул двойная: первая цифра означает раздел, вторая — порядковый номер утверждения или формулы.

Основное содержание диссертации представлено в 20 работах автора, опубликованных в журналах, входящих в официальный перечень ВАК. Из них 7 личных работ [193,195,200, 205,206,209,210]; 10 совместных работ с А.Г. Качуровским [191,192,194,196-199,201,202,204]; 1 совместная работа с К.И. Книжовым [203] и две совместные работы с А.Г. Качуровским и А.А. Свищевым [207,208]. В совместных работах результаты принадлежат в равной мере всем соавторам. Полный список работ по теме диссертации приведен в конце диссертации.

0.1.6.2. Основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены автором лично или совместно с соавторами. А именно: все утверждения в 1.1.2-1.1.4, 1.31.5, 2.1.2, 2.1.4-2.1.7, 2.2.5 и 2.3 получены автором лично; утверждения в 2.4.1 получены совместно с К.И. Книжовым; утверждения в 1.1.1, 1.2.2 и 1.2.3 получены совместно с А.Г. Качуровским и А.А. Свищевым; остальные утверждения получены совместно с А.Г. Качу-ровским.

Пользуясь случаем, выражаю благодарность научному консультанту и коллеге А.Г. Ка-чуровскому за поддержку, плодотворные дискуссии и совместную работу, а также В.В. Ры-жикову за полезные критические замечания на протяжении всех исследований.

0.2 Система обозначений

0.2.1 Индивидуальная и статистическая эргодические теоремы

0.2.1.1. Пусть (П, А) — пространство с вероятностной мерой, Т — его эндоморфизм, т.е. такое отображение Т : П ^ П, что для всех А Е ^ множество Т-1А принадлежит и А(А) = А(Т-1А). И пусть Т = (Т*, £ Е — полупоток на (П,А), т.е. такая однопара-метрическая полугруппа эндоморфизмов Т* этого пространства, что для любой измеримой функции f (ш) на П функция f (Т*ш) измерима на прямом произведении П х Эндомор-

физм T определяет динамическую систему с дискретным временем; полупоток T называют динамической системой с непрерывным временем. Обратимые динамические системы называются автоморфизмом и потоком соответственно. Мы также будем иногда обозначать вероятностное пространство как пару (П, Л), опуская а-алгебру. Кроме того, для инвариантной меры будет встречаться также обозначение ß, а для фазового пространства вместо П будет встречаться обозначение M, в особенности, если имеется дополнительная метрическая структура на нем. Для а-алгебры измеримых множеств будем использовать ещё обозначение Е. Все такие обозначения будут ясны из контекста.

Для f Е Li(H), ш Е П,п Е N и t Е R+ введем эргодические средние

1 п-1 1 *

Anf (ш) = АПf (ш) = - £ f (Tкш) и Atf (ш) = ATf (ш) = - f (Tтш) dr.

П к=0 о

Тогда индивидуальная эргодическая теорема Биркгофа утверждает существование Л-п.в. пределов (будем их обозначать одинаково)

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Подвигин Иван Викторович, 2023 год

Список литературы

[1] Абрамовиц М., Стиган И, Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Наука, М., 1979.

[2] Антоневич А.Б., Кочергин А.В., Шукур А.А., "О поведении сумм Биркгофа, порожденных поворотами окружности", Мат. сборник, 213:7 (2022), 3-38.

[3] Бари Н.К., Тригонометрические ряды, Физматгиз, M., 1961.

[4] Бари Н.К., Стечкин С.Б., "Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций", Труды ММО, 5, ГИТТЛ, М., 1956, 483-522.

[5] Берг Й., Лёфстрём Й., Интерполяционные пространства. Введение, Мир, М., 1980.

[6] Биллингсли П., Сходимость вероятностных мер, Наука, М., 1977.

[7] Бланк М.Л., "О теореме Биркгофа по неинвариантной мере", УМН, 71:3(429) (2016), 199--200.

[8] Богачев В. И., Основы теории меры, Том 1, РХД, М.-Ижевск, 2003.

[9] Богачев В. И., "Неравномерные усреднения Козлова-Трещева в эргодической теореме", УМН, 75:3(453) (2020), 3-36.

[10] Боуэн Р., Методы символической динамики, Мир, М., 1979.

[11] Буренков В. И., "О плотности бесконечно дифференцируемых функций в пространствах Соболева для произвольного открытого множества", Труды МИАН СССР, 131 (1974), 39-50.

[12] Вершик А. М., Качуровский А. Г., "Скорости сходимости в эргодических теоремах для локально конечных групп и обращенные мартингалы", Дифф. уравн. и процессы упр., 1999, №1, 19-26.

[13] Гапошкин В. Ф., "О зависимости скорости сходимости в усиленном законе больших чисел для стационарных процессов от скорости убывания корреляционной функции", Теория вероятн. и ее примен., 26:4 (1981), 720-733.

[14] Гапошкин В.Ф., "О скорости убывания вероятностей е-уклонений средних стационарных процессов", Матем. заметки, 64:3 (1998), 366-372.

[15] Данфорд Н, Шварц Дж., Линейные операторы. Часть 1. Общая теория., Изд. иностранной лит., М., 1962.

[16] Ибрагимов И.А., Линник Ю.В., Независимые и стационарно связанные величины, Наука, М., 1965.

[17] Качуровский А. Г., "Скорости сходимости в эргодических теоремах", УМН, 51:4 (1996), 73-124.

[18] Качуровский А. Г., "Интегралы Фейера и эргодическая теорема фон Неймана с непрерывным временем", Зап. науч. сем. ПОМИ, 474 (2020), 171-182.

[19] Качуровский А. Г., Книжов К. И., "Уклонения сумм Фейера и скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана", ДАН, 480:1 (2018), 21-24.

[20] Качуровский А. Г., Лапштаев М.Н., Хакимбаев А. Ж., "Эргодическая теорема фон Неймана и суммы Фейера зарядов на окружности", Сиб. электрон. матем. изв., 17 (2020), 1313-1321.

[21] Качуровский А. Г., Седалищев В. В., "Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа", Матем. сб., 202:8 (2011), 21-40.

[22] Качуровский А. Г., Седалищев В. В., "О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа", Матем. заметки, 91:4 (2012), 624-628.

[23] Кейперс Л., Нидеррейтер Г., Равномерное 'распределение последовательностей, Наука, М., 1985.

[24] Козлов В. В., "Об одной задаче Пуанкаре", ПММ, 40:2 (1976), 352-355.

[25] Козлов В. В., "Весовые средние, строгая эргодичность и равномерное распределение", Матем. заметки, 78:3 (2005), 358-367.

[26] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, Наука, М., 1976.

[27] Корнфельд И.П., Синай Я.Г. Фомин С.В., Эргодическая теория, Наука, M., 1980.

[28] Крыгин А.Б., "Пример цилиндрического каскада с аномальными метрическими свойствами", Вестник МГУ, сер. 1, 1975, №5, 26-31.

[29] Крыгин А.Б., "Об w-предельных множествах гладких цилиндрических каскадов", Мат. заметки, 23:6 (1978), 873--884.

[30] Левин Б.Я., Распределение корней целых функций, ГИТТЛ, M., 1956.

[31] Леонов В. П., "О дисперсии временных средних стационарного случайного процесса", ТВП, 6:1 (1961), 93-101.

[32] Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометнрический ряд, под редакцией Бари Н.К. и Меньшова Д.Е., ГИТТЛ, M.-Л., 1951.

[33] Льюис Дж., Фистер К., "Термодинамическая теория вероятностей: некоторые аспекты больших уклонений", УМН, 50:2 (302) (1995), 47-88.

[34] Мощевитин Н.Г., "Сингулярные диофантовы системы А.Я. Хинчина и их применение", УМН, 65:3 (393) (2010), 43-126.

[35] Полиа Г., Сеге Г., Задачи и теоремы из анализа, часть I, Наука, M., 1978.

[36] Рохлин В. А., "Об основных понятиях теории меры", Мат. сборник, 25(67):1 (1949), 107-150.

[37] Рохлин В.А., "Избранные вопросы метрической теории динамических систем", УМН, 4 (1949), 57-128.

[38] Рохлин В. А., "Точные эндоморфизмы пространства Лебега", Известия АН, сер. матем., 25:4 (1961), 499-530.

[39] Рыжиков В. В., "Полиморфизмы, джойнинги и тензорная простота динамических систем", Функц. анализ и его прил., 31:2 (1997), 45--57.

[40] Рыжиков В. В., "Факторы, ранг и вложение типичного Z"-действия в М"-поток", УМН, 61:4 (2006), 197-198.

[41] Рыжиков В.В., "О сохраняющих меру преобразованиях ранга один", Труды ММО, 81:2 (2020), 281-318.

[42] Рыжиков В.В., Медленные сходимости эргодических средних, arXiv:2211.06599.

[43] Рыжиков В. В., Тихонов С.В., "Типичное Z"-действие вкладывается только в инъективные Rn-действия", Мат. заметки, 79:6 (2006), 925-930.

[44] Седалищев В. В., "Константы оценок скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа с непрерывным временем", Сиб. мат. журн., 53:5 (2012), 1102—1110.

[45] Седалищев В. В., "Связь скоростей сходимости в эргодических теоремах Биркгофа и фон Неймана в Lp", Сиб. мат. журн., 55:2 (2014), 412-426.

[46] Сендов Б., Попов В., Усредненные модули гладкости, Мир, М., 1988.

[47] Сидоров Е.А., "Об условиях равномерной устойчивости по Пуассону циллиндрических систем", УМН, 34:6 (1979), 184-188.

[48] Синай Я.Г., Современные проблемы эргодической теории, Серия Современные проблемы математики, 31, Физматлит, М., 1995.

[49] Стечкин С.Б., "О приближении периодических функций суммами Фейера", Труды МИАН СССР, 62 (1961), 48-60.

[50] Стёпин А.М., "Спектральные свойства типичных динамических систем", Изв. АН СССР. Сер. матем., 50:4 (1986), 801-834.

[51] Тихонов С.В., "Полная метрика на множестве перемешивающих преобразований", Мат. сборник, 198:4 (2007), 135-158.

[52] Чернов Н., Маркарян Р., Хаотические биллиарды, Ижевский инст. компьют. исследований, Ижевск, 2006.

[53] Халмош П. Р., Лекции по эргодической теории, Изд. дом "Удмуртский университет", Ижевск, 1999.

[54] Ширяев А.Н., Вероятность, Наука, М., 1989.

[55] Шнейберг И. Я., "Нули интегралов вдоль траекторий эргодических систем", Функц. анализ и его прил., 19:2 (1985), 92-93.

[56] Эдвардс Р., Ряды Фурье в современном изложении, Т. 1., Мир, М., 1985.

[57] Эдвардс Р., Ряды Фурье в современном изложении, Т. 2., Мир, М., 1985.

[58] Adams T., "Tower multiplexing and slow weak mixing", Colloq. Math., 138 (2015), 47-71.

[59] Adams T., Rosenblatt J., "Joint coboundaries", Dynamical systems, ergodic theory, and probability: in memory of Kolya Chernov, Contemp. Math., 698 (2017), 5-33.

[60] Adams T., Rosenblatt J., Existence and non-existence of solutions to the coboundary equation for measure preserving Systems, https://arxiv.org/abs/1902.09045.

[61] Aimino R., Freitas J. M., "Large deviations for dynamical systems with stretched exponential decay of correlations", Portugal. Math., 76:2 (2019), 143-152.

[62] Alves J. F., Freitas J. M., Luzzatto S., Vaienti S., "From rates of mixing to reccurence times via large deviations", Adv. Math., 228:2 (2011), 1203-1236.

[63] Alves J.F., Schnellmann D., "Ergodic properties of Viana-like maps with singularities in the base dynamics", Proc. Amer. Math. Soc., 141:11 (2013), 3943-3955.

[64] Araujo V., Bufetov A., "A large deviations bound for the Teichmuller flow on the moduli space of abelian differentials", Ergodic Theory Dynam. Systems, 31 (2011), 1043-1071.

[65] Assani I., Wiener Wintner ergodic theorems, World Scientific, Singapore, 2003.

[66] Atkinson G., "Recurrence of co-cycles and random walks", J. London Math. Soc.(2), 13:3 (1976), 486-488.

[67] Athreya J.S., "Quantitative recurrence and large deviations for Teichmuller geodesic flow", Geom. Dedicata, 119:1 (2006), 121-140.

[68] Athreya J.S., Forni G., "Deviation of ergodic averages for rational polygonal billiards", Duke Math. J., 144:2 (2008), 285-319.

[69] Avila A, Gouezel S., Yoccoz J.-C., "Exponential mixing for the Teichmuller flow", Publications mathematiques de 1'IHES, 104:1 (2006), 143-211.

[70] Azagra D., Ferrera J., "Regularization by sup-inf convolutions on Riemannian manifolds: An extension of Lasry-Lions theorem to manifolds of bounded curvature", J. Math. Anal. Appl., 423:2 (2015), 994-1024.

[71] Baladi V., Positive operators and decay of correlations, Advanced series in nonlinear dynamics, 16, World Scientific, Singapore, 2000.

[72] Balint P., Melbourne I., "Decay of correlations and invariance principle for dispersing billiards with cusps, and related planar billiard flows", J. Stat. Phys., 133:3 (2008), 435-447.

[73] Bauschke H. H., Combettes P. L., Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, CMS Books in Mathematics, Springer, New York, 2011.

[74] Bayart F., Buczolich Z., Heurteaux Y., "Fast and slow points of Birkhoff sums", Ergodic Theory Dynam. Syst., 40:12 (2020), 3236-3256.

[75] Bellow A., Losert V., "The weighted pointwise ergodic theorem and the individual ergodic theorem along subsequences", Trans. Amer. Math. Soc., 288:1 (1985), 307-345.

[76] Ben-Artzi J., Morisse B., "Uniform convergence in von Neumann's ergodic theorem in the absence of spectral gap", Ergodic Theory Dynam. Systems, 41:6 (2021), 1601-1611.

[77] Ber A.F., Borst M.J., Sukochev F.A., "Full proof of Kwapien's theorem on representing bounded mean zero functions on [0,1]", Studia Math., 259:3 (2021), 241--270.

[78] Bergelson V., Leibman A., Moreira C.G., "From discrete-to continuous-time ergodic theorems", Ergodic Theory Dyn. Syst., 32:2 (2012), 383-426.

[79] Bergelson V., del Junco A., Lemanczyk M., Rosenblatt J., "Rigidity and non-recurrence along sequences", Ergodic Th. Dinam. Syst., 34:5 (2014), 1464-1502.

[80] Bezuglyi S., Jorgensen P.E.T., Transfer operators, endomorphisms, and measurable partitions, Lecture notes in mathematics, 2217, Springer, Cham, 2018.

[81] Blum J.R., Hanson D.L., "On the mean ergodic theorem for subsequences", Bull. Amer. Math. Soc., 66:6 (1960), 308-311.

[82] Bressaud X., Liverani C., "Anosov diffeomorphisms and coupling", Ergodic Theory Dynam. Syst., 22:1 (2002), 129-152.

[83] de Bruijn N.G., Asymptotic methods in analysis, North-Holland Publ., Amsterdam, 1958.

[84] Bufetov A., "Limit theorems for translation flows", Ann. of Math., 179 (2014), 431-499.

[85] Bunimovich L., Su Y., Maximal large deviations and slow recurrences in weakly chaotic systems, https://arxiv.org/abs/2208.03603.

[86] Burger M., "Horocycle flow on geometrically finite surfaces", Duke Math. J., 61:3 (1990), 779-803.

[87] Chazottes J.-R., Collet P., Schmitt B., "Statistical consequences of the Devroye inequality for processes. Applications to a class of non-uniformly hyperbolic dynamical systems", Nonlinearity, 18:5 (2005), 2341-2364.

[88] Chernov N. I., "Limit theorems and Markov approximations for chaotic dynamical systems", Probab. Theory Relat. Fields., 101:3 (1995), 321-362.

Chernov N.I., "Markov approximations and decay of correlations for Anosov flows", Ann. of Math., 147:2 (1998), 269-324.

Chernov N., "Advanced statistical properties of dispersing billiards", J. Stat. Phys., 122:6 (2006), 1061-1094.

Chernov N., Markarian R., "Dispersing billiards with cusps: slow decay of correlations", Commun. Math. Phys., 270:3 (2007), 727-758.

Chernov N., Markarian R., Chaotic billiards, Mathematical surveys and monograph, 127, AMS, Providence. RI, 2006.

Chernov N., Zhang H.-K., "Billiards with polynomial mixing rates", Nonlinearity, 18:4 (2005), 15271553.

Chernov N., Zhang H.-K., "Improved estimates for correlations in billiards", Commun. Math. Phys., 77:2 (2008), 305-321.

95] Chung Y. M. Large deviations on Markov towers, Nonlinearity, 24:4 (2011), 1229-1252.

96] Chung Y.M., Takahasi H., "Large deviation principle for Benedicks—Carleson quadratic maps", Commun. Math. Phys., 315:3 (2012), 803-826.

97] Cohen G., Lin M., "Laws of large numbers with rates and the one-sided ergodic Hilbert transform", Illinois J. Math., 47:4 (2003), 997-1031.

98] Coudene Y., Ergodic theory and dynamical systems, Springer-Verlag, London, 2016.

99] Cuny C., "Some optimal pointwise ergodic theorems with rate", C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 347:1516 (2009), 953-958.

100] Cuny C., "Pointwise ergodic theorems with rate with applications to limit theorems for stationary processes", Stoch. Dyn., 11:1 (2011), 135—155.

101] Cuny C., Fan A.H., "Study of almost everywhere convergence of series by mean of martingale methods", Stoch. Process. Appl., 127:8 (2017), 2725-2750.

102] Das S., Yorke J.A., "Super convergence of ergodic averages for quasiperiodic orbits", Nonlinearity, 31 (2018), 491-501.

103] Derriennic Y., "Ergodic theorem, reversibility and the filling scheme", Colloq. Math., 118:2 (2010), 599-608.

104] Derriennic Y., Lin M., "Fractional Poisson equations and ergodic theorems for fractional coboundaries", Israel J. Math., 123 (2001), 93-130.

105] Dolgopyat D., "On decay of correlations in Anosov flows", Ann. of Math., 147:2 (1998), 357-390.

106] Dolgopyat D., "Prevalence of rapid mixing in hyperbolic flows", Ergodic Theory Dynam. Systems, 18:5 (1998), 1097-1114.

107] Dolgopyat D., "Prevalence of rapid mixing—II: topological prevalence", Ergodic Theory Dynam. Systems, 20:4 (2000), 1045-1059.

108] Eisner T., Grivaux S., "Hilbertian Jamison sequences and rigid dynamical systems", J. Funct. Anal., 261:7 (2011), 2013-2052.

109] Eizenberg A., Kifer Y., Weiss B., "Large deviations for Zd-actions", Commun. Math. Phys., 164:3 (1994), 433-454.

110] Ellis R. S., "An overview of the theory of large deviations and applications to statistical mechanics", Scand. Actuarial J., 1995:1 (1995), 97-142.

111] Estrada R., Vindas J., "On the point behavior of Fourier series and conjugate series", Z. Anal. Anwend., 29:4 (2010), 487-504.

112] Fan A.H., "Decay of correlation for expanding toral endomorphisms", in Proceedings of the International Conference in Honor of Professor Shantao Liao (Beijing), 1999.

113] Fan A.H., "Almost everywhere convergence of ergodic series", Ergodic Theory Dynam. Syst., 37:2 (2017), 490-511.

114] Fan A.H., Schmeling J., "On fast Birkhoff averaging", Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 135 (2003), 443-467.

115] Fang L., Takahasi H., Zhang Y., "Precise asymptotics on the Birkhoff sums for dynamical systems", Nonlinearity, 34 (2021), 7095-7108.

116] Ferenczi S., "Systems of finite rank", Colloquium Math., 73:1 (1997), 35-65.

118

119

120 121 122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

140

141

142

Flaminio L., Forni G., "Invariant distributions and time averages for horocycle flows", Duke Math. J., 119 (2003), 465-526.

Föllmer H., Orey S., "Large deviations for the empirical field of a Gibbs measure", Ann. of Prob., 16:3 (1988), 961-977.

Forni G., "Deviation of ergodic averages for area-preserving flows on surfaces of higher genus", Ann. of Math., 155 (2002), 1-103.

Freitas A.-C.M., Freitas J.M., Todd M., "Hitting time statistics and extreme value theory", Prob. Theory Rel. Fields, 147:3-4 (2010), 675-710.

Friedman N., Gabriel P., King J., "An invariant for rigid rank-1 transformations", Ergodic Th. Dinam. Syst., 8:1 (1988), 53-72.

Georgii H.-O., Gibbs measures and phase transitions, de Gruyter Stud. Math., 9, de Gruyter, Berlin-New York, 1988.

Halasz G., "Remarks on the remainder in Birkhoff's ergodic theorem", Acta Math. Acad. Sci. Hung., 28:3-4 (1976), 389-395.

Hatomoto J., "Polynomial upper bounds on large and moderate deviations for diffeomorphisms with weak hyperbolic product structure", Far East J. Math. Sci., 69:1 (2012), 1-25.

Haydn N., "Entry and return times distribution", Dynam. Syst., 28:3 (2013), 333-353.

Hennion H., Hervé L., Limit theorems for Markov chains and stochastic properties of dynamical systems by quasi-compactness, Lect. Notes Math., 1766, Springer-Verlag, 2001.

Holland M., "Slowly mixing systems and intermittency maps", Ergodic Theory Dynam. Syst., 25:1 (2005), 133-159.

James J., Koberda T., Lindsey K., Silva C.E., Speh P., "On ergodic transformations that are both weakly mixing and uniformly rigid", New York J. Math., 15 (2009), 393-403..

Jenkinson O., "Ergodic optimization in dynamical systems", Ergodic Theory Dynam. Syst., 39:10 (2019), 2593-2618.

del Junco A., Rosenblatt J., "Counterexamples in ergodic theory and number theory", Math. Ann., 245 (1979), 185-197.

Kakutani S., Petersen K., "The speed of convergence in the ergodic theorem", Monatsh. Math., 91 (1981), 11-18.

Katok A.B., Combinatorial constructions in ergodic theory and dynamics, University Lectures Series, 30, AMS, Providence, RI, 2003.

Kifer Y., "Large deviations in dynamical systems and stochastic processes", Trans. Amer. Math. Soc., 321:2 (1990), 505-524.

Klein S., Liu X.-C., Melo A., "Uniform convergence rate for Birkhoff means of certain uniquely ergodic toral maps", Ergod. Theory Dyn. Syst., 41:11 (2021), 3363--3388.

Knill O., "Singular continuous spectrum and quantitative rates of mixing", Discrete Contin. Dynam. Syst., 4:1 (1998), 33-42.

Krengel U., "On the speed of convergence in the ergodic theorem", Monatsh. Math., 86 (1978), 3-6.

Krengel U., Ergodic theorems, de Gruyter Stud. Math., 6, de Gruyter, Berlin — New York, 1985.

Krengel U., Lin M., "On the range of the generator of a Markovian semigroup", Math. Zeit., 185 (1984), 553-565.

Kunde P., "Uniform rigidity sequences for weak mixing diffeomorphisms on D2, A and T2", J. Math. Anal. Appl., 429:1 (2015), 111-130.

Kwapien S., "Linear functionals invariant under measure preserving transformations", Math. Nachr., 119:1 (1984), 175-179.

Leplaideur R., Saussol B., "Large deviations for return times in non-rectangle sets for Axiom A diffeomorphisms", Discrete Contin. Dynam. Syst., 22:1-2 (2008), 327-344.

Lesigne E., Volny D., "Large deviations for generic stationary processes", Colloq. Math., 84/85:1 (2000), 75-82.

Liardet P., Volny D., "Sums of continuous and differentiable functions in dynamical systems", Israel J. Math., 98 (1997), 29-60.

145

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

158

159

160

161

162

163

164

165

166

167

168

169

170

Lin C.-H., Rudolph D., "Sections for semiflows and Kakutani shift equivalence.", Modern dynamical systems and applications, eds. Brin M., Hasselblatt B., Pesin Y., Cambridge University Press, Cambridge, 2004, 145-162.

Lin M, Sine R., "Ergodic theory and the functional equation (I — T)x = y", J. Operator Theory, 10 (1983), 153-166.

Liverani C., "On contact Anosov flows", Ann. of Math., 159:3 (2004), 1275-1312.

Maldonado C., Muniz H., Nieto H., "Concentration inequalities and rates of convergence of the ergodic theorem for countable shifts with Gibbs measures", J. Difference Eq. Appl., 27:11 (2021), 1594-1607.

Marcus B., Petersen K., "Balancing ergodic averages", Ergodic theory (Proc. Conf., Math. Forschungsinst., Oberwolfach, Germany, 1978),, 729 (1979), 126-143 Lecture Notes in Math..

Margulis G., "Problems and conjectures in rigidity theory", Mathematics: frontiers and perspectives, eds. Arnold V., Atiyah M., Lax P., Masur B., AMS, Providence, RI, 2000, 161-174.

Markarian R., "Billiards with polynomial decay of correlations", Ergodic Theory Dynam. Systems, 24:1 (2004), 177-197.

Mauldin R. D., "a-ideals and related Baire systems", Fund. Math., 69 (1971), 171-177.

Mazzone F., "A characterization of almost everywhere continuous functions", Real Anal. Exchange, 21:1 (1995-96), 317-319.

Melbourne I., "Large and moderate deviations for slowly mixing dynamical systems", Proc. Amer. Math. Soc., 137:5 (2009), 1735-1741.

Melbourne I., Nicol M., "Large deviations for nonuniformly hyperbolic systems", Trans. Amer. Math. Soc., 360 (2008), 6661-6676.

Nevo A., "Pointwise ergodic theorems for actions of groups", Handbook of Dynamical Systems, 1, Part B (2006), 871-982.

Orey L., Pelikan S., "Deviation of trajectory averages and the defect in Pesin's formula for Anosov diffeomorphisms", Trans. Amer. Math. Soc, 315:2 (1989), 741-753.

Pollicott M., Sharp R., "Large deviations, fluctuations and shrinking intervals", Commun. Math. Phys., 290:1 (2009), 321-334.

Pollicott M., Sharp R., "Large deviations for intermittent maps", Nonlinearity, 22:9 (2009), 20792092.

Pugh C., Shub M., "Ergodic elements of ergodic actions", Compos. Math., 23:1 (1971), 115-122.

Qian M., Xie J.-S., Zhu S., Smooth ergodic theory for endomorphisms, Lecture notes in mathematics, 1978, Springer-Verlag, Berlin, 2009.

Raja C.R.E., "On the existence of ergodic automorphisms in ergodic Zd-actions on compact groups", Ergodic Theory Dyn. Syst., 30:6 (2010), 1803-1816.

Ratner M., "Rigidity of time changes for horocycle flows", Acta Math., 156 (1986), 1—32.

Rey-Bellet L., Young L.-S., "Large deviations in non-uniformly hyperbolic dynamical systems", Ergodic Theory Dynam. Syst., 28:2 (2008), 587-612..

Rudin W., Functional analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics, McGraw-Hill Book Co., New York, 1973.

Rühr R., Shi R., "Quantitative multiple pointwise convergence and effective multiple correlations", J. Diff. Equations, 285 (2021), 1-16.

Ruziboev M., "Decay of correlations for invertible maps with non-Holder observables", Dyn. Syst., 30:3 (2015), 341-352.

Sarig O., "Decay of correlations", in: Appendix A in Smooth ergodic theory and nonuniformly hyperbolic dynamics, by Barreira L., Pesin Y., Handbook of Dynamical Systems, V:Part B (2006), 244-263.

Schmidt K., "On reccurence", Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 68:1 (1984), 75-95.

Stenlund M., "A strong pair correlation bound implies the CLT for Sinai billiards", J. Stat. Phys., 140:1 (2010), 154-169.

Stoyanov L., "Ruelle operators and decay of correlations for contact Anosov flows", Comptes Rendus Math., 351 (2013), 669-672.

Stoyanov L., "A uniform estimate for rate functions in large deviations", European J. Math., 2 (2016), 1013--1022.

173

174

175

176

177

178

179

180 181 182

183

184

185

186

187

188

189

190

191

192

193

194

195

196

197

Strombergsson A., "On the deviation of ergodic averages for horocycle flows", J. Mod. Dyn., 7:2 (2013), 291-328.

Tanny D., "A zero-one law for stationary sequences", Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, 30 (1974), 139148.

Tempelman A., "Randomized multivariate Central Limit Theorems for ergodic homogeneous random fields", Stoch. Process. Appl., 143 (2022), 89-105.

Thompson B.S., Bruckner J.B., Bruckner A.M., Elementary Real Analysis, Second Edition, ClassicalRealAnalysis.com, 2008.

Trubetzkoy S., "Approximation and billiards", Systemes dynamiques et approximations diophantiennes (Seminaires et congres, Societe Mathematique de France), 20, 2009, 175-187.

Volny D., "On limit theorems and category for dynamical systems", Yokohama Math. J., 38 (1990), 29-35.

Volny D., Weiss B., "Coboundaries in L^", Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Stat., 40:б (2004), 771-778.

Waddington S., "Large deviation asymptotics for Anosov flows", Ann. Inst. Henri Poincaré, 13 (199б), 445-484.

Wiener N., "The ergodic theorem", Duke Math. J, 5:2 (1939), 1-18.

Wolfowitz J., "The moments of recurrence time", Proc. Amer. Math. Soc., 18 (19б7), б13-б14.

Wos J., "The filling scheme and the ergodic theorems of Kesten and Tanny", Colloq. Math., 52 (1987), 2б3-27б.

Yancey K.B., "On weakly mixing homeomorphisms of the two-torus that are uniformly rigid", J. Math. Anal. Appl., 399:2 (2013), 524-541.

Yoccoz J.-C., "Petits diviseurs en dimension 1", Asterisque, 231 (1995).

Young L.-S., "Some large deviation results for dynamical systems", Trans. Amer. Math. Soc., 318:2 (1990), 525-543.

Young L.-S., "Statistical properties of dynamical systems with some hyperbolicity", Ann. of Math., 147:3 (1998), 585-б50.

Young L.-S., "Recurrence times and rates of mixing", Israel J. Math., 110 (1999), 153-188.

Young L.-S., "What are SRB measures, and which dynamical systems have them?", J. Stat. Phys., 108:5-б (2002), 733-754.

Zhang H.-K., "Decay of correlations on non-Hölder observables", Int. J. Nonlinear Sci., 10:3 (2010), 359-3б9.

Zygmund A., Trigonometric Series, Second edition, I, Cambridge University Press, Cambridge, 1959.

Работы автора по теме диссертации

Работы в журналах, входящих в официальный список ВАК

Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Большие уклонения и скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа", Мат. заметки, 94:4 (2013), 5б9-577.

Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Скорости сходимости в эргодических теоремах для некоторых бильярдов и диффеоморфизмов Аносова", ДАН, 451:1 (2013), 11-13.

Подвигин И. В., "Об экспоненциальной скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа", Мат. заметки, 95:4 (2014), б38-б40.

Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Скорости сходимости в эргодических теоремах для периодического газа Лоренца на плоскости", ДАН, 455:1 (2014), 11-14.

Подвигин И. В., "О скорости сходимости в индивидуальной эргодической теореме для действий полугрупп", Матем. тр., 18:2 (2015), 93-111.

Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Корреляции, большие уклонения и скорости сходимости в эргодических теоремах для характеристических функций", ДАН, 461:5 (2015), 509-512.

Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Оценки скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа", Труды ММО, 76:1 (201б), 1-бб.

Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Большие уклонения и скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа: переход от гёльдеровости к непрерывности", ДАН, 466:1 (201б), 12-15.

[199] Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Большие уклонения эргодических средних: переход от гёльдеровости к непрерывности почти всюду", Мат. труды, 20:1 (2017), 97-120.

[200] Подвигин И. В., "Оценки корреляций в динамических системах: переход от гёльдеровских функций к произвольным наблюдаемым", Мат. труды., 20:2 (2017), 90-119.

[201] Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Суммы Фейера периодических мер и эргодическая теорема фон Неймана", ДАН, 481:4 (2018), 358-361.

[202] Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Суммы Фейера и коэффициенты Фурье периодических мер", ДАН, 482:4 (2018), 381-384.

[203] Подвигин И. В., Книжов К. И., "О сходимости интеграла Лузина и его аналогов", СЭМИ, 16 (2019), 85-95.

[204] Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Об измерении скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа", Мат. заметки, 106:1 (2019), 40-52.

[205] Подвигин И. В., "Lower bound of the supremum of ergodic averages for Zd and Rd-actions", СЭМИ, 17 (2020), 626-636.

[206] Подвигин И. В., "Large deviations of Birkhoff's sums via the approximation of observables", Lobachevskii J. Math., 41:4 (2020), 703-708.

[207] Качуровский А. Г., Подвигин И. В., Свищёв А. А., "Максимальная поточечная скорость сходимости в эргодической теореме Биркгофа", Зап. научн. семин. ПОМИ, 498 (2020), 18-25.

[208] Качуровский А. Г., Подвигин И. В., Свищёв А. А., "Закон нуля или единицы для скоростей сходимости в эргодической теореме Биркгофа с непрерывным временем", Мат. труды., 24:2 (2021), 65-80.

[209] Подвигин И. В., "О возможных оценках скорости поточечной сходимости в эргодической теореме Биркгофа", Сиб. мат. журнал, 63:2 (2022), 379-391.

[210] Подвигин И. В., "Показатель сходимости последовательности эргодических средних", Мат. заметки, 112:2 (2022), 251-262.

Прочие работы

[211] Качуровский А. Г., Подвигин И. В., "Оценки скорости сходимости в теореме Биркгофа и Боуэна для потоков Аносова", Вест. КемГУ, 47:3/1 (2011), 255-258.

[212] Подвигин И.В., "О скорости сходимости в эргодических теоремах для стадиона Бунимови-ча", Тезисы Международной (44 Всероссийской) молодежной школы-конференции "Современные проблемы математики ", ИММ УрО РАН, Екатеринбург, 2013, 327-328.

[213] Podvigin I.V., "The rate of convergence in the Birkhoff theorem for non-uniformly hyperbolic dynamical systems", Book of Abstracts of intern. conf. "Dynamics, Bifurcations and Strange Attractors"(dedicated to the memory of L. P. Shil'nikov), NNSU, Nizhni Novgorod, 2013, 97.

[214] Podvigin I.V., "On the rate of convergence in the Birkhoff ergodic theorem for the periodic Lorentz gas", Международная конф., посвященная 105-летию со дня рождения С.Л. Соболева "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 451.

[215] Подвигин И.В., "Об одном применении гёльдеровской аппроксимации непрерывных почти всюду функций", Материалы 18-й международной Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения", Изд. "Научная книга", Саратов, 2016, 220-221.

[216] Подвигин И.В., "Аппроксимационные пространства для оценки корреляций в динамических системах", Тезисы международной конференции "Дни геометрии в Новосибирске — 2016", ИМ СО РАН, Новосибирск, 2016, 66-67.

[217] Podvigin I.V., "Estimates of correlations in dynamical systems: from Holder continuous to general observables", Тезисы Международной конференции «Системы Аносова и современная динамика», посвященная 80-летию со дня рождения Д.В. Аносова, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, М., 2016, 87-89.

[218] Подвигин И.В., "О применении некоторых аппроксимационных пространств", Международная математическая конференция по теории функций, посвященная 100-летию чл.-корр. АН СССР А.Ф. Леонтьева. Сборник тезисов, РИЦ БашГУ, Уфа, 2017, 124-126.

[219] Подвигин И.В., "Центральная предельная теорема для диффеоморфизмов Аносова", Математика в современном мире. Международная конференция, посвященная 60-летию Института математики им. С.Л. Соболева: Тез. докладов, ИМ СО РАН, Новосибирск, 2017, 360.

[220] Подвигин И.В., "Применение аппроксимации функций при оценки больших уклонений эргодических средних", Mathematical physics, Dynamical systems and Infinite-dimensional analysis: Book of abstracts, MIPT, Dolgoprudny, 2019, 146.

[221] Podvigin I.V., "On deviations of ergodic averages", International Conference on Geometric Analysis in honor of 90th anniversary of academician Yu. G. Reshetnyak: Abstracts, NSU, Novosibirsk, 2019, 117.

[222] Podvigin I.V., "Estimates of the rates of convergence in the Birkhoff ergodic theorem", Международная конференция по геометрическому анализу, посвящённая памяти академика Ю.Г. Решетняка: Тез. докл. / Под ред. С. Г. Басалаева, ИПЦ НГУ, Новосибирск, 2022, 98-99.