Мартингальные методы построения моделей объектов, эволюционирующих в случайных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Жданов, Дмитрий Александрович

• Жданов, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жданов, Дмитрий Александрович

Оглавление

Введение

Математические модели стохастических систем, порождаемых физическим белым шумом

1.1 Классификация моделей по типу случайного блуждания

1.2 Метод предельных теорем. Диффузионная аппроксимация

1.3 Прикладные задачи

Предельные теоремы для функций распределения

2.1 Обобщение одномерной схемы Биркгофа-Хинчина

2.2 Схема Биркгофа - Хинчина в векторном случае

2.3 Слабая сходимость процессов - решений уравнений Ито-Вольтерра

2.4 Диффузионная аппроксимация для процессов разности точечных процессов

Оценки вероятностей пересечения границы и больших

уклонений в схеме серий

3.1 Скорость сходимости вероятности пересечения границы в схеме Биркгофа-Хинчина к вероятности пересечения границы винеровским процессом

3.2 Задача о пересечении границы с "движущейся" в схеме серий границей

3.3 Пересечение границы предельным процессом случайного блуждания

3.4 Задача о больших уклонениях в схеме Биркгофа-Хинчина

3.5 Большие уклонения для процессов скользящего среднего102

Применения метода предельных теорем

4.1 Оптимальная фильтрация в обобщенной схеме Кал-

мана

4.2 Задача оптимального управления по неполным данным

4.3 Задача идентификации

Выводы и заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мартингальные методы построения моделей объектов, эволюционирующих в случайных средах»

Введение

Важной задачей математической кибернетики является изучение математических моделей систем, порождаемых физическим белым шумом. Основой этих моделей являются процессы случайного блуждания в случайных средах. Изучению таких процессов посвящено большое число работ (см., в частности, Александер С., Бернаскони Ж., Шнайдер В.Р. и Орбах Р. [1], Кавацу К. и Кестен X. [2], Синай Я.Г. [3], Аншелевич В.В., Ханин K.M. и Синай Я.Г. [4], Козлов С. М. [5], Летчиков A.B. [6], Бутов A.A. [7], и библиографию в этих работах) . Заметный интерес к задачам о блужданиях в случайных средах объясняется большим числом адекватных математических моделей физических, биологических и других объектов. Наглядным примером такой модели может служить процесс движения заряженных частиц в полупроводниковых структурах. В этом случае траектория процесса отвечает изменению координаты частицы. Случайной средой является или набор неотрицательных случайных величин, являющихся "интенсивностями" переходов частиц из одной области полупроводника в другую, или некоторая случайная функция, определяемая характеристиками полупроводниковой структуры. В большинстве работ рассматриваются случайные блуждания, представимые в виде разности точечных процессов. Но для многих моделей математической кибернетики более логичным является предположение, что случайной средой является непрерывная стационарная функция.

Наиболее известное исследование асимптотического поведения распределений процессов случайных блужданий - предельные теоремы для турбулентной диффузии, рассмотренные Х.Кестеном и Г.Папаниколау [8]. Однако, в целом модели на основе такого рода процессов изучены явно недостаточно. Так, для принципа инвариантности и теоремы Биркгофа-Хинчина, естественным обобщением которых являются случайные блуждания в случайных средах функционального типа, был рассмотрен возможный вариант обобщения - введение обратной связи, [8],- но само исследование такой схемы было проведено только в простейшем случае (без коэффициентов обратной связи, зависящих от времени, без функционала управления и т.д.) и не были рассмотрены соответствующие задачи математической кибернетики. Это объясняется тем, что в большинстве случаев применялись преимущественно марковские методы. Из-за сложности структуры объекта (и, соответственно, порождаемой ею

сложности вычислений) эти методы не позволяют эффективно решать задачи в объеме, необходимом для прикладных исследований. Кроме того, дальнейшее обобщение схемы связано, прежде всего, с введением функционалов от траектории процесса, что делает марковские методы не пригодными для исследования. Поэтому большой интерес представляет применение именно мартингальных методов для изучения процессов случайного блуждания в случайных средах функционального типа.

Особую роль при рассмотрении моделей, порождаемых физическим белым шумом, играют предельные теоремы для функций распределения, что связано прежде всего с двумя факторами. Первый - предельными процессами часто оказываются процессы диффузионного типа, для которых большинство кибернетических задач либо решено, либо разработан метод их решения. Второй - предельный переход имеет в прикладных задачах ясную интерпретацию (увеличение числа взаимодействующих частиц, изменение масштаба времени и т.п.).

Актуальными также представляются задачи о достижении уровня (известные также как задачи о пересечении границы) и больших уклонениях. Интерес к ним вызван необходимостью анализа экстремальных значений траекторий процессов при решении многих прикладных задач.

Цель предлагаемой работы состоит в том, чтобы осуществить исследование мартингальными методами математических моделей систем, порождаемых физическим белым шумом. Для этого необходимо развивается метод предельных теорем в решении задач математической киберентики. В рамках данного исследования строится асимптотически оптимальный фильтр и решается задача управления по неполным данным в схеме Калмана на основе функциональных аналогов теоремы Биркгофа-Хинчина. Также предлагается, в связи с этим, к рассмотрению ряд задач прикладного характера. Приводятся оценки для вероятностей пересечения границы и больших уклонений в схеме Биркгофа-Хинчина, в том числе для вероятности пересечения "движущейся" границы. Эти оценки, рассматриваемые в схеме серий для п = 1,2,..., отражают динамику изменения соответствующей вероятности при увеличении степени приближения физического белого шума к идеальному.

При формулировке и доказательстве результатов в диссертационной работе используется мартингальный подход (Липцер Р.Ш.,

Ширяев А.Н. [9]). Основным методом исследования является метод предельных теорем. Также применяются методы замены меры, замены времени, аппроксимации кусочно-постоянными функциями и другие.

Научная новизна работы определяется следующими факторами. Все предельные теоремы для функций распределения, являющиеся по сути своей обобщениями принципа инвариантности для стационарных процессов и теоремы Биркгофа-Хинчина, новые. Эти теоремы являются необходимым условием развития метода предельных теорем. Исследование мартингальными методами обобщенной схемы Калмана для процессов, порождаемых физическим белым шумом, является новым. Мартингальный подход позволил построить оптимальные фильтр и управление по неполным данным для рассматриваемой системы. Также новыми являются оценки для вероятностей больших уклонений и пересечения границы в схеме Биркгофа-Хинчина. Близкие результаты ранее были получены для сумм ограниченных случайных величин и для процессов со строго невырожденной непрерывной мартингальной частью в минимальном представлении. Заметим, что наличие строго невырожденной мартингальной части существенно меняет характер задачи, поскольку позволяет, с помощью теоремы Гирсанова, свести рассматриваемую задачу к аналогичной для непрерывного мартингала.

Научная и практическая ценность работы определяется тем, что общая совокупность теорем, полученных в диссертации, представляет собой эффективный инструмент для решения широкого класса практически важных задач, связанных с анализом математических моделей систем, порождаемых физическим белым шумом. Особо следует подчеркнуть, в связи с растущим в последние годы вниманием к стохастическим моделям смертности, что получены новые оценки для вероятностей пересечения границы процессами непрерывного случайного блуждания.

По теме диссертации опубликовано 12 работ [10] - [21]. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 93 наименований источников отечественных и зарубежных авторов.

Первая глава в большей части является постановочной и содержит элементы обзора и классификации.

В параграфе 1.1 приведена классификация моделей, порождаемых физическим белым шумом, по типам случайного блуждания. Рас-

смотрены процессы случайного блуждания, порождаемые пуассонов-скими процессами общего вида, в случайной среде типа (Л(г), /¿(г), г £ Щ и процессы случайного блуждания в случайной среде функционального типа.

Второй параграф первой главы содержит элементы обзора литературы по предельным теоремам для процессов случайного блуждания. В нем рассматривается целесообразность применения метода предельных теорем при исследовании моделей, порождаемых физическим белым шумом.

Прикладным задачам посвящен параграф 1.3. Здесь рассматриваются системы, моделью которых являются процессы случайного блуждания в случайных средах вида х£ = (х£)г>о с

(1x1 = + + х£0 = ч, (0.1)

где вектор-функция х) такова, что решение уравнения

йхх = х0 = q (0.2)

существует и единственно, q - вектор из К.^, й > 1, с^ - некоторая детерминированная функция, ]¥£ = (]¥е^,х)), £ > 0, х £ - стохастический процесс, описывающий возмущение системы, порождаемое физическим белым шумом. Параметр г в (0.1) определяет уровень шума. Эта схема может служить математической моделью для многих физических процессов. В качестве примера рассматривается модель движения частицы под воздействием случайных возмущений. Другой пример, который имеет совершенно иную физическую природу, но тем не менее вписывается в схему (0.1) - модель иммунного ответа организма на действие антигена.

Анализ характеристик таких процессов предлагается строить на основе исследований асимптотического поведения процессов нормированной разности у\ — (у£)г>о с у\ — \{х£ь — хЭто связано с тем, что предельный для уе (при е —>• 0) процесс часто имеет простую структуру (например, является диффузионным процессом).

Еще один важный пример, рассматриваемый в этом параграфе -модель химической реакции. Такой моделью может служить процесс случайного блуждания, порождаемый пуассоновскими процессами общего вида. Также приводится непрерывный диффузионный аналог этой модели - процесс непрерывного случайного блуждания в случайной среде функционального типа.

В заключение параграфа 3.1 приводится частный вариант стохастической модели смертности. В этой модели "смерть" объекта ин-

терпретируется как выход значений некоторого (жизненно важного) показателя за пределы допустимой области. При таком подходе исследование сводится к оценке вероятностей пересечения границы (достижения уровня). Оценки этих вероятностей для процессов случайного блуждания в случайных средах функционального типа приводятся в главе III.

В главе II рассматривается асимптотическое поведение распределений процессов случайного блуждания в случайных средах функционального типа. Совокупность теорем этой главы может служить эффективным инструментом при исследовании моделей, порождаемых физическим белым шумом.

В §2.1 рассматривается одномерная схема

г

у/пIС(пд{з) + а3хп3) ¿в + (тWt, (0.3)

где д(в) - монотонная дифференцируемая функция с д(0) = 0 и д'(з) 0 > 0, а8 - интегрируемая функция, а £ К, £ = (£(£))гем - стационарный в узком смысле измеримый процесс, = -

стандартный винеровский процесс не зависящий от Предполагается, что траектории £(£) непрерывно дифференцируемы, Е£(0) = 0, Е£2(0) < оо, Е£'(*) < оо V* £ М и

оо

. щщтШ2^ <оо.

о

Теорема 2.1. При п —» оо для процессов хп имеет место слабая сходимость распределений

хп х (0.4)

С Х - (ж4)*>0 и

£

а2

о

где а - положительная константа

л 1/2

а = | 21 Щ(0Ш & I , (0.6)

И/ = (1¥г)г>0 ~ стандартный винеровский процесс.

Этот результат - обобщение принципа инвариантности (введена обратная связь и дополнительное слагаемое, описывающее диффузионное возмущение) и результатов Х.Кестена и Г.Папаниколау для одномерной схемы.

В параграфе 2.2 рассмотрен многомерный вариант схемы (0.3). Отметим, что условия теоремы 2.3, дающей ответ на вопрос о слабой сходимости распределений, являются более сильными, чем условия теоремы 2.1. В частности, требуется эргодичность и ограниченность стационарного процесса и выполнение усиленного варианта условия сильного перемешивания.

В параграфе 2.3 приводится предельная теорема для процессов

хп = (ж?)*>0 С

г г

х™ = х0 + у/п J £ (п£(в) + а3хп3) ds + ! Ь{ ж", £(пв) ) ¿в (0.7) о о

где процесс £ = в дополнение к условиям теоремы 2.1 явля-

ется эргодическим, - ограниченная, отвечающая условию

Липшица по £ и х, детерминированная функция.

Теорема 2.4. Для процессов хп при п —>• сю имеет место слабая сходимость распределений

/Лж, (0.8)

где х = (сс^)4>о с х^ - решением уравнения

г í г

хг = хо + [ Ш8 - Е£2(0) (Ц<1з+ [ Щ, хв) <1з, (0.9)

{ { з> {

где а - константа из (0.6), Ш = (И^)^о - стандартный винеровский процесс,

+ 00

в&х)= I Ъ{^х,у)Р{(1у), (0.10)

— 00

Р(с1у) - некоторая вероятностная мера.

В параграфе 2.4 приведены предельные теоремы для процессов случайного блуждания вида Сп = (С")г>о с

С? = А? - Я? (0.11)

где Ап^= (4?)i>о и Dn = (Dt)t>o ~ точечные процессы с компенсаторами Ап и Dn:

f(t) и g(t), i G 1, - стохастические процессы такие, что f(t) > О и > 0 Для любого t G М Р-п.н. (компенсатором Л = неубывающего процесса Л = (At)t>о называется соответствующий элемент в разложении Дуба-Мейера Д = А* + mi5 где m = (m^^o -квадратично интегрируемый мартингал).

Глава III посвящена построению оценок для вероятностей пересечения границы и больших уклонений. Рассматриваются процессы вида zn — (zt)t>о с

nt

1 Г

Z

п

1 "П

i(s)ds, (0.13)

о

где стационарный процесс £ = {£{t))t>о отвечает условиям теоремы 2.1.

Оценки вероятности достижения уровня (границы) с процессом

Р { sup < с)

lo<s<t )

приведены в параграфе 3.1. Очевидно, что при п —> оо имеет место сходимость

pi sup \z^\ < с 1 Р \ sup \aW8\ < с 1 l0<s<i J U<s<i J

(это следует из слабой сходимости распределений при п —> оо

№)t>o-^{aWt)t>o и непрерывности функционала sup |zs| на С). Приводимая ниже те-

0<s<i

орема 3.1 позволяет оценить скорость этой сходимости. Обозначим М = (Mt)t>о квадратично интегрируемый мартингал с

00

Mt= [- E«(S)|^)]dS (0.14)

и G{t) - функцию распределения случайной величины

00

V0= [ E(£(s)|3*)ds. (0.15)

о

Теорема 3.1. Существует константа Л > 0 (не зависящая от п) и номер щ = по(£, а) такой, что для любого п > щ

Р sup \zns \ < 1 \ - Р sup |aWs| < 1 I 0<s<i J I 0<s<i

<

< —E|(M)ni - ant\ + d(nt + 1)(1 - G(n)), (0.16)

ТЪ

где (M)t - квадратическая характеристика мартингала М, [9].

В параграфе 3.2 рассматривается следующая модификация задачи о пересечении границы.

Пусть Т = Т(п) функция п, причем Т(п) > 0 для любого п = 1,2,.... Определим момент остановки сг(п)

а(п) = inf{i : t > 0, \znt\ > 1} (0.17)

Обозначим

iV = 7V(n) = nT(n), a^- 1

V^R'

Теорема 3.2. Существуют константы ¿1 > 0 и ¿2 > 0 такие, что для любого п = 1,2,...

-2 ^ Е|(М)^-а]У|

Р{<т(п) > Т(п)} < 4\/5ехр |-уаГ(п)| +

п

+d1N[l-G{n)} (0.18)

и

Р{(Т{п) > Т(п)} > ехр |-уаГ(п) | -

E\(M)N-aN\

п

-^N[1 -ад], (0.19)

где а - константа из (0.6).

Заметим, что такого рода задача с "движущейся" в схеме серий границей впервые была рассмотрена А.А.Бутовым для процессов случайного блуждания уп = о с У г — У пи порожденных процессами пуассоновского типа, в случайной среде 6й = (Ап(г) = пЛ(г), цп(г) = пЛ(г - 1), геЪ}.

Построение аналогичных оценок для вероятностей пересечения границы процессами вида (0.3) имеет другой порядок сложности. Однако инструментом для их построения могут служить оценки для вероятностей пересечения границы предельными процессами. Такие оценки приведены в параграфе 3.3.

В последних двух параграфах этой главы рассматривается задача о больших уклонениях, которая представляет собой исследование вероятности отклонения траекторий процесса на величину порядка у/пЬ.

Основным результатом параграфа 3.4 является

Теорема 3.4. Существует константа с > 0 такая, что при г > 0 и п = 1, 2,...

Р ( sup > V^at} < + c{nt + 1)(1 - G{t2n2)), (0.20)

to <s<t J n4Z

где (M)t - квадратическая характеристика мартингала M из (0.14).

В параграфе 3.5 рассмотрен случай, когда стационарный процесс f = КМ)*б® представим в виде

t

i{t) = J a(t~ s)dys, (0.21)

— CO

где a(t) - измеримая функция с

оо

J a2(t)dt < оо, (0.22)

о

у — (yt)t£R ~ процесс с независимыми приращениями, причем Е(yt — ya)2 = \t-slEyt = 0, s,teR.

Заметим, что в этом случае мы усилили условия схемы (0.13). Такое сужение рассматриваемого класса стационарных процессов £ позволило рассмотреть другую модификацию задачи о больших уклонениях.

Теорема 3.5. При t > 0 и п — 1, 2,... для процессов zn, определенных в (0.13), с процессом £ = {Ç(t))teR отвечающим условиям (0.21) и (0.22),

Р(4 > Vnt) < die-d*nt. (0.23)

Здесь ¿1 и ¿2 - (определенные) константы.

В главе IV рассматривается ряд важных задач математической кибернетики для систем, порождаемых физическим белым шумом. При их решении применяется метод предельных теорем.

Параграф 4.1 посвящен построению оптимальной фильтрации в обобщенной схемы Калмана, порождаемой процессами физического белого шума.

Пусть в схеме серий для п = 1,2,... на стохастическом базисе (О^Г1 = (3^)о<*<т,Р), Т е ж+ = [0, +оо), определен двумерный частично наблюдаемый процесс (хп,уп), где хп — (сс")о<ь<т ~ ненаблюдаемая, а уп — (у™)о<1<т ~ наблюдаемая компоненты:

х'+1 = у/п / Р(пв + х", пв + )с1з + / х^а^в + / у^к^в,

„п Ч

О О о

г г ь

(0.24)

= С?(П5 + пз + у^Б + / х^А^в + / у^Н^в,

где Г(х,у) и 0(х,у), х Е К, у £ К, - стационарные ограниченные процессы с нулевым средним, имеющие непрерывные траектории, а3, А3,к3, Н8 - детерминированные функции, отвечающие стандартным условиям интегрируемости.

Задача оптимальной фильтрации для частично наблюдаемого процесса (хп, уп) состоит в построении для каждого момента 0 < £ < Т, оптимальной в среднеквадратическом смысле оценки для ж"' по результатам наблюдений у", в < £ (для фиксированного параметра п). Оценка 7ГП = (7ГГ)о<кт с

£

71? = У [6« + ав7Г? + Ъ.8уЧ]д.8+ о

+ [ И - V + А>< + Н>У"№ • (°-25)

1 [Сг) -+- {С2)

о

=2а™ - +(с?)2+^ ъ=(°-26)

\С1) ' V 2/

с с?, с^, г = 1,2, - некоторыми (определенными) константами, по теореме 4.1 будет асимптотически оптимальной (то есть сходящейся к оптимальной в среднеквадратическом смысле при п —» оо). Следствием из теоремы 4.1 является слабая сходимость распределений

о

о

о

ошибки оценивания еп — (¿t)t>о C£t—xt~lvt ПРИ 71 00

с et = xt — irt (здесь х = (xt)o<t<T ~ предельный процесс для хп, тг = {щ)^<л<т определяется аналогично формуле (0.25)).

Таким образом, представляется целесообразным использование уравнений фильтрации Калмана для оценивания процесса хп по наблюдениям уп.

В параграфе 4.2 аналогичным образом строится асимптотически оптимальное управление по неполным данным в схеме вида

t t t х£ = s/n J F(ns + ж", ns + у™)ds + f x™asds + f y™hsds+ о о

+ fu?qsds, (0.27)

0

t t t = G(ns + xrZ,ns + yns)ds + f xnsAsds + /ynsHsds, 0 0 0

с квадратичным функционалом потерь. Здесь хп - ненаблюдаемая, а уп - наблюдаемая компоненты, и" - управляющее воздействие в момент времени t.

Заметим, что поскольку функции F и G нелинейны, процессы хп и уп являются нелинейными функционалами управления ип.

Основной результат параграфа 4.3 - построение оценки параметра 9 в схеме

t

х™ = ^ J £(ng(s) + 9asxns) ds + crWt, (0.28)

о

где as и g(s) - заданные детерминированные функции (g(s) - монотонная дифференцируемая с д(0) = 0 и g'(s) ф 0 Vs > 0, as - интегрируемая функция), сг - известный параметр. Если вп — {@™)t>o оценка параметра в, где

t

ес2(о) f ^

+(72

\9'(s)\

-1

о 5'(s) -

9" =- * . г-—' (°"29)

(E£WJV

а1

Q (i?'(s))2

то справедлива следующая теорема.

а2 _]— а2

dxns ds

Теорема 4.3. При п —> оо имеет место слабая сходимость распределений

где в — ($г)г>о ~ состоятельная и асимптотически эффективная оценка максимального правдоподобия для параметра в по наблюдениям процесса х = (ж*)г>о с

í

а? „ -— _^о / _ ч / „

о ' о

где а - константа, определенная в (0.6), Ш = (И^)^ - стандартный винеровский процесс.

В выводах и заключении перечислены основные результаты диссертационной работы, подчеркнута их новизна и значимость.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.А.Бутову.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Жданов, Дмитрий Александрович

Выводы и заключение

В диссертационной работе исследовались математические модели объектов, порождаемых физическим белым шумом. В качестве таких моделей были взяты процессы случайного блуждания в случайных средах функционального типа. Они рассматривались в схеме серий при п = 1,2,., что позволило интерпретировать параметр п как степень приближения к процессу идеального белого шума. При таком подходе, естественно, важным (как с точки зрения построения моделей, так и интерпретации результатов) оказывается метод предельных теорем. В связи с этим большое внимание в работе уделено построению различного рода предельных теорем (для функций распределений, для вероятностей пересечения границы и больших уклонений). Данные теоремы позволили решить ряд важных задач математической кибернетики. Основные результаты, полученные в диссертационной работе и выносимые на защиту, можно сформулировать следующим образом:

1. Метод предельных теорем в решении задач математической кибернетики для моделей объектов, порождаемых физическим белым шумом.

2. Развитие метода предельных теорем для исследования процессов случайного блуждания в случайных средах функционального типа (являющихся моделью процессов физического белого шума). Работа метода показана на примерах модели иммунного ответа организма на действие антигена и модели движения частицы под воздействием случайных возмущений.

3. Новые предельные теоремы для функций распределений рассматриваемого типа процессов. Эти теоремы являются обобщением принципа инвариантности для стационарных процессов и теоремы Биркгофа-Хинчина. Они позволяют рассматривать процессы случайного блуждания в случайных средах функционального типа с обратной связью (при наличии коэффициентов, зависящих от времени) и диффузионным возмущением как модели объектов, порождаемых физическим белым шумом.

4. Новые оценки для вероятностей пересечения границы (достижения уровня) в схеме Биркгофа-Хинчина. В том числе построена оценка для вероятности пресечения "движущейся" (в схеме серий) границы. Установлена скорость сходимости вероятности пересечения границы в схеме серий при п = 1, 2,. к вероятности пересечения границы винеровским процессом.

5. Новые оценки для вероятностей больших уклонений в схеме серий для процессов случайного блуждания в стационарных случайных средах функционального типа. Эти оценки (как и оценки вероятностей пересечения границы), рассматриваемые в схеме серий для п = 1, 2,., отражают динамику изменения соответствующей вероятности при увеличении степени приближения физического белого шума к идеальному.

6. Решены задачи построения асимптотически оптимального фильтра и управления по неполным данным с квадратичным функционалом потерь в обобщенной схеме Калмана, порождаемой процессами случайного блуждания в случайных средах функционального типа.

7. Решена задача идентификации параметров в моделях объектов, порождаемых физическим белым шумом. Рассмотрена возможность (на основе применения метода предельных теорем) решения общей задачи идентификации для рассматриваемого класса моделей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жданов, Дмитрий Александрович, 1999 год

Литература

[1] Alexander S., Bernasconi J., Schneider W.R., Orbach R. Exitation dynamics in random one-dimensional systems.// Rev. Modern Phys. - 1981. - V.53, N2, - p.175-198.

[2] Kawazu K., Kesten H. Jn the breath and death process in symmetric random environment //J. Statist. Phys. - 1984 - V.37, N516, p. 561576.

[3] Anshelevich V.V., Khanin K.M., Sinai Ya.G. Symmetric random walks in random environments // Commun. Math. Phys. - 1982, v.85. - P.449-470.

[4] Синай Я. Г. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде // ТВП, - 1982. - т.27 N2. с.247-258.

[5] Козлов С.М. Метод усреднения и блуждания в неоднородных средах // УМН, 1985, т.40, вып. 2. - с.61-120.

[6] Letchikov A.V. Localization of one-dimensional in random walks in random environments // Sov. Rev. Math. Phys. - 1989. - v.8.- p. 173220.

[7] Butov A.A. Random walks in random environments of the general type // Stochastocs and stochastics reports. - 1993. v.5, p.4-22.

[8] H.Kesten, G.C.Papanicolau. A Limit Theorem for Turbulent Diffusion. //Communication in Mathematishe Physik (65), P.97-128. 1979r.

[9] Липцер Р.Ш., Ширяев A.H. Теория мартингалов. М.:Наука, 1986.

[10] Жданов Д.А. Предельные теоремы для случая непрерывного блуждания. // Тезисы докладов студ. и аспирантов. Ульяновск, УлГУ. 1995. с.13-14.

[11] Бутов A.A., Жданов Д.А. Непрерывные диффузионные аналоги одномерного условно-марковского блуждания в случайной среде // Фундаментальные проблемы математики и механики. Сб.п/р А.А.Бутова. Ульяновск, УлГУ, 1996. с.62-80.

[12] Жданов Д.А. Исследование свойств процессов, эволюционирующих в случайной среде // Фундаментальные проблемы математики и механики. Сб.п/р А.А.Бутова. Ульяновск, УлГУ, 1996. с.111-121.

[13] Бутов A.A., Жданов Д.А. Асимптоическое поведение диффузионных процессов условно-марковского блуждания в случайных средах // Тезисы докладов на XI Медународной конференции по проблемам теоретической кибернетики. Ульяновск, Изд-во СВНЦ. 1996. с.30-32.

[14] Жданов Д.А. Линеаризация процессов, эволюционирующих в случайных средах // Труды молод.ученых УлГУ: тезисы докладов на V научно практ.конф., 1996. с.17-18.

[15] Жданов Д.А. Определение параметров процессов, эволюционирующих в случайных средах // Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 2. Сб. п/р Б.Ф.Мельникова. Ульяновск, УлГУ, с.20-21.

[16] Жданов Д.А. Диффузионная аппроксимация непрерывных процессов случайного блуждания // Обозрение прикладной и пром. математики, 1997 т.4, вып. 3. С.340-341.

[17] Жданов Д.А. Диффузионная аппроксимация для обобщенной схемы Биркгофа-Хинчина// Фундаментальные проблемы математики и механики. Вып. 4. Ульяновск, УлГУ. С.63-69.

[18] Бутов A.A., Жданов Д.А., Николаев А.Ф., Носова А.Е. Моделирование процесса движения зарядов в полупроводниковых структурах методами случайных сред функционального типа // Труды научной конференции "Математическое моделирование-физических, экономических, социальных систем и процессов", Ульяновск, УлГУ, 1998. С. 24-25.

[19] Жданов Д.А. Предельные теоремы для одного класса процессов размножения и гибели // Тезисы докладов на междунар. конф. "Комбинаторные и вычислительные методы в математике", Омск, 1998. 2с.

[20] Жданов Д. А. Оптимальная фильтрация в обобщенной схеме Калмана для процессов, порождаемых физическим белым шумом. Деп. в ВИНИТИ, 1998. 8с.

[21] Жданов Д.А. Задача о больших уклонениях для процессов непрерывного случайного блуждания // Обозрение прикладной и пром. математики, 1998 т.5, вып. 2. с.218-219.

[22] Бутов А.А. Некоторые задачи статистики случайных сред при наблюдаемых процессах гибели и размножения. // Сб. трудов МИРАН, 1993, т.202., с.25-32.

[23] De Giorgi, S. Spagnolo, Sulla convergenza degli integrali dell'energia per operatori ellittici del 2 ordine. //Boll. Un. Mat. Ital. (4), 1973, 8, p. 391-411.

[24] Бахвалов H. С. Осредненные характеристики тел с периодической структурой. //ДАН, 1974, 218:5, с. 1046-1048.

[25] Козлов С.М. Осреднение дифференциальных операторов с почти-периодическими быстроосцилирующими коэффицентами. //Мат. сб., 1978, 107:2, с. 199-217.

[26] Козлов С.М. Осреднение случайных операторов. //Мат. сб., 1979, 109:2, с. 188-202.

[27] Юринский В. В. Об усреднении краевых задач со случайными коэффицентами. - СМЖ, 1980, 21:3, с. 209-223.

[28] Papanicolaou G., Varadhan S.R.S Boimdary value problems with rapidly oscilating random coefficients. //Colloquia mathematica so-cietatis Janos Bolyai 27, Random fields, v.2,Notrth-Holland Publ. Corp. , 1981, p. 835 - 873.

[29] Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Fsymptitic analysis for peiodic structures. - Notrth-Holland Publ. Corp., 1978.

[30] Бахвалов H.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. //М.: Наука, 1984.

[31] Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А., Ха Тъен Нгоан Усре-денние и G-сходимость дифференциальных операторов. - УМН, 1979, 34: 5, с.65-118.

[32] Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. О G-сходимости параболических операторов. - УМН, 1981, 36: 1, с.11-58.

[33] Зельдович Я.Б. Предельный закон теплопередачи во внутренней задаче при малых скоростях. //ЖЭТФ, 1977, 7 : 12, с. 1466-1468.

[34] Зельдович Я.Б. Точное решение задачи диффузии в периодическом поле скорости и турбулентная диффузия. //ДАН, 1982, 266: 4, с. 821-826.

[35] Moffatt Н.К. Some developments in the theory of turbulence. //J.Fluid. Mech..,1981, 106, p. 27-48.

[36] Лифшиц И.М., Гредескул С.А., Пастур JI.А. Введение в теорию неупорядоченных систем. М.: Наука, 1982.

[37] Пастур Л.А. Поведение некоторых винеровских интегралов при t —У оо и плотность состояния уравнения Шредингера со случайным потенциалом. //ТМФ, 1977, 32 : 1, с.88-95.

[38] Козлов С.М. Многмерные спектральные асимптотики для эллиптических операторов. //ДАН, 1983, 267 : 4, с.789-793.

[39] Жиков В.В. Асимптотическое поведение и стабилизация решений параболических уравнений с младшими членами. //Труды ММО, 1983, 46, с. 52-67.

[40] Козлов С.М. Приводимость квазипериодических операторов и усреденение. Труды ММО, 1983, 46, с. 99-123.

[41] Жиков В.В., Сиражудинов М.М. Усреднение недивергентных эллиптических и параболических операторов второго порядка и стабилизация решения задачи Коши. Мат.сб., 1981, 116 : 2, с. 166-186.

[42] Юринский В.В. Об усреднении недивергентных уравнений второго порядка со случайными коэффициентами. //СМЖ, 1982, 23 : 2, с.176-188.

[43] Липцер Р.Ш. Принцип усреденения Боголюбова для семимар-тингалов // Сб. трудов МИРАН, 1993, т.202., с.175-189.

[44] Liptser R.Sh., Stoyanov J. Stochastic version of the averaging principle for diffusion process // Stochastic and Stocsastics Report. 1990. V.32 N1, p. 145-163.

[45] Козлов С.M., Молчанов С.А. О применимости центральной предельной теоремы к блужданиям на случайной решетке. //ДАН, 1984, с. 896 -901.

[46] Rosenblat M. A. Central limit theorem and a strong mixing condition. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1956. - 42, No.l. - C.43 - 47

[47] Волконский В.A., Розанов Ю.А. Некоторые предельные теоремы для случайнх функций. I;XI // Теория вероятностей и ее применения. - 1959. - 4, вып.2 - С. 123 - 140; - 1961. - 6, вып.2 -С.202 - 214

[48] Статулявичус В.А. Некоторые новые результаты для сумм слабо слабо зависимых случайных величин. // Теория вероятностей и ее применения. - 1960. - 5, N2 - С. 233 - 234.

[49] Serfling R.J. Contributions to central limit theiry for dependet variables. // Ann. Math. Stat. - 1968. - 39. - C.1158 - 1175

[50] Гордин M.И. О центральной предельной теореме для стационарных процессов // Докл. АН СССР. - 1969. - 188, N4. - С. 739 -741

[51] McLeish D.L. Invariance principle for dependet variables // Z.Wahrsch. verw. Geb. - 1975. - 32. - C. 165 - 178

[52] Чикин Д. О. Функциональная предельная теорема для стационарного процесса: мартингальный подход // ТВП, 1989. - 34. N4, с. 731-741.

[53] Liptser R.Sh., Shiryayev A.N. Theory of martingales. Dordrecht: Kluwer, 1989, 800 p.

[54] Ширяев A.H. Вероятность. М.:Наука, 1989.

[55] Вентцелъ A.Д., Фрейдлин M.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.:Наука, 1979, 424 с.

[56] Сборник ИНТ: Современные проблемы математики. Фундаментальное направление, т.45. 1989г.

[57] Заславский Г.М., Сагдеев Р.Х. Введение в нелинейную физику. М., 1988.

[58] Anderson F. Physica, N1, 19, 1979.

[59] Барц Б.И., Моисеев С. С. в кн. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М., 1989, с.153-159.

[60] Буц В.А., Колыхалов П.И., Моисеев С.С., Путин В.Г. Доклад на XIV Генеральной ассамблее Европейского геофизического общества, Барселона, 1989.

[61] Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М., 1980.

[62] Doss H. Liens entre equations différentielles stochastiques et ordinäres // Ann.Inst. H Poinkare. - 1977, 13. - c.99-125.

[63] Мацкялявичус В. Устойчивость решений симметрических стохастических дифференциальных уравнений // Лит.мат.сб. - 1985. - 25, N4. - С.343-352.

[64] Gyöngu I. On the appromaximation on stochastic differential equations // Stochastics. - 1988. -23. - P.331-352.

[65] Зуев С.M. Определение параметров модели по данным наблюдений. В сб. Вычислительные процессы и системы, вып.З. М.:Наука, 1985.

[66] Зуев С.М. Определение параметров моделей иммунного ответа по данным наблюдений. В сб. Математические модели в иммунологии и медицине. М.:Мир, 1985.

[67] Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.:Наука, 1974.

[68] Ван Кампен Н.Г Стохастические процессы в физике и химии. М.:1990.

[69] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.:Наука, 1977.

[70] Корнфелъд Н.Б., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М:Наука, 1980.

[71] Ибрагимов Ю.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М.:Наука, 1975.

[72] Serfling R.J. Contributions to central limit theory for dependet variables // Ann.Math.Stat. - 1978.-39 p. 1158-1175.

Клепцына M.JI. Принцип усреднения и диффузионная аппроксимация для уравнений Вольтерра. - Теория вероятн. и ее примен., 1996, т.41, в.2, с.429-438.

Shiryayev A.N. Martingales: Recent developments, result and applications.- Int. Statistical Review 49(1981), pp.199-233.

Peskir G., Shiryayev A.N. On the brownian first-passage time over a one-sidedstochastic boundary. ТВП, т.42, вып.З, 1997. - с. 591-602.

Novikov A.A. On the exit time of sums of bounded random variables out of a curve strip.- Theory Probab. and Appl., 1982.-27, N4, pp.287-301.

Lai T.L., Wijsman R.A. First exit time of a random walk from the bounds f(n)+cg(n), with applications.- Ann. Probab., 1979, v.7, N4, p. 672-692

Blackwell D., Freedman D. Jn the amount jf variance neededto escape from a strip. // Ann.Probab., 1973, v.l, N5, p.772-787.

Бутов А.А. Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н. МИР АН им. В.А.Стеклова, Москва, 1993.

Справочник по теории вероятностей и математической статистике. Киев, 1978.

Liptser R.Sh., Pukhalskii A.A. Limit theorems on large deviations for semimartingale. - Stoch. and stoch. reports, vol.38, pp.201-249, 1992.

Makhno S. J. The large deviations theorem for one class of a diffusion processes. - Theory Probab. and Appl., 1994. -39, N 3, pp.554-566.

Wentzell A.D., Freidlin M.I. Random Pertubations of Dynamical Systems, Springer-Verlag, Berlin, 1984.

Веретенников А.Ю. О больших уклонениях для диффузионных процессов // УМН, 1995. - т.50, вып.5. - с.135-145.

Кабанов Ю.М., Пергаменщиков С.М. Большие уклонения для решений сингулярно возмущенных стохастических дифференциальных уравнений // УМН, 1995. - т.50, вып.5. - с.146-171.

Gulinsky О. V., Veretennikov A.Yu. Large deviations for discrete-time process with averaging // VSP, 1993.

[87] Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Москва, 1973.

[88] Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. Москва,

[89] Бутов A.A. Одна задача фильтрации для процессов случайного блуждания в случайной среде. //Фундаментальные проблемы математики и механики. Сб.п/р А.А.Бутова. Ульяновск, УлГУ, 1996. с.59-61.

[90] Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М. .-Наука, 1974.

[91] Бутов A.A. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., МЭТИ, 1984.

[92] Поморцев Л.А. Управление случайными блужданиями. Изв. АН СССР. Техническая киберенетика. N6.- 1990. - с. 169 - 177.

[93] Афанасьев A.A. Об оценивании параметра для систем с физическим белым шумом // Сб. трудов МИР АН, 1993, т.202., с.4-10.

1987.