Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Седалищев, Владимир Викторович

• Седалищев, Владимир Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Седалищев, Владимир Викторович

Содержание

Введение

1 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о спектральной мере

1.1 Предварительные замечания

1.2 Вспомогательные утверждения

1.3 Зависимость между скоростью сходимости в теореме фон Неймана и поведением в нуле меры с/-/*

1.4 Критерий А.Г. Качуровского степенной скорости сходимости

в теореме фон Неймана в форме алгебраических неравенств

2 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о корреляциях

2.1 Предварительные замечания

2.2 Оценки при достаточно общих предположениях о поведении корреляционных коэффициентов

2.3 Оценки при предположениях о степенном и экспоненциальном характере убывания корреляционных коэффициентов

2.4 Оценки для случая непрерывного времени в теореме фон Неймана

3 Неравенства, связывающие между собой скорости сходимости в эр-

годических теоремах фон Неймана и Биркгофа

3.1 Предварительные замечания

3.2 Случай дискретного времени

3.3 Случай непрерывного времени

4 Связь полученных результатов с теорией стационарных в широком

смысле стохастических процессов

4.1 Предварительные замечания

4.2 Границы применимости результатов предыдущих глав к теории стационарных в широком смысле процессов

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа»

Введение

Эргодическая теория на сегодняшний день представляет собой достаточно активно развивающийся в течение вот уже почти 80 лет раздел математики, поэтому не удивительно, что даже среди специалистов существуют различные взгляды на основные цели и задачи эргодической теории. Например, Я.Г. Синай в вводной части монографии [18] приводит две возможные точки зрения. Согласно одной из них, эргодическая теория изучает статистические свойства детерминированных динамических систем, где под статистическими свойствами понимаются свойства, выражающиеся через поведение средних по времени от различных функций, вычисляемых вдоль траекторий динамических систем. «Детерминированность» подразумевает, что в уравнения, задающие закон движения, не входят никакие случайные возмущения, шумы и т. п. Тем самым возникающая статистика определяется исключительно свойствами динамики. Согласно другой — эргодическая теория изучает категорию пространств с мерой и их морфизмов — сохраняющих меру преобразований.

Так или иначе, но отправной точкой для развития эргодической теории послужили некоторые соображения, относящиеся к статистической физике. В своём учебнике [19] П.Р. Халмош даже делает сравнение, что задача изучения газа сыграла для рождения эргодической теории такую же роль, какую сыграла задача о семи Кёнигсбергских мостах для топологии. Основная суть этих соображений статисти-

ческой физики XIX в. сводилась к необходимости приравнять предел временных средних некоторой физической величины пространственному среднему этой же величины. Именно математическое обоснование возможности такого приравнивания привело к появлению эргодических теорем, т.е. математических утверждений о существовании предела временных средних вдоль траектории динамической системы, а также о возможности замены этого предела на пространственное среднее.

Дальнейшее изложение истории вопроса вплоть до 1990-х годов будет близко следовать тексту введения работы [10]. Первые попытки обоснования упомянутой замены для реальных физических систем, т.е. решения так называемой «эргодической проблемы» (на уровне строгости статистической физики своего времени) были предприняты Л. Больцманом и Дж. Максвелом во второй половине XIX в. Эти попытки опирались на «эргодическую гипотезу» (см., например [26]) о том, что траектория любой точки каждой энергетической поверхности покрывает всю эту поверхность. Очевидная (теперь) математическая некорректность такого предположения долго была не очевидна даже для выдающихся современников — например, для А. Эйнштейна (см. [14] , с. 62, 72). По-видимому, первым на эту некорректность обратил внимание А. Пуанкаре, заложивший впоследствии основы математической модели эргодической проблемы. Строгое доказательство принципиальной невыполнимости «эргодической гипотезы» было дано в 1913 г. А. Розенталем [35] и М. Планшере-лем [34].

В 1920-е годы происходило постепенное становление понятийного аппарата эргодической теории, вбиравшего в себя современные ему достижения теории меры и формирующейся тогда же теории операторов. В 1931 г. происходит прорыв в построении содержательной математической модели эргодической проблемы: сначала Дж. фон Нейман, а затем Дж. Биркгоф доказали ставшие классическими эргодиче-ские теоремы, носящие имена их авторов: «статистическую» эргодическую теорему

Дж. фон Неймана и «индивидуальную» теорему Дж. Биркгофа. Дж. фон Нейман опубликовал в [32] свой результат позже доказательства Дж. Биркгофа в [25], однако то, что статистическая теорема была доказана раньше индивидуальной отмечено самим Биркгофом в [25]. Сам термин «эргодическая теорема» впервые появился, по-видимому, в [25] (и взят там в кавычки); в [32] он ещё не употреблялся. Именно некоторым аспектам скоростей сходимости в этих теоремах и будет посвящена настоящая работа. Поэтому приведём всё необходимое для формулировки упомянутых классических теорем и задач по оценке скоростей сходимости в них.

Пусть (£2, Зг, Л) — пространство с вероятностной мерой. Напомним, что эндоморфизмом пространства £2 называется отображение Т : £2 —> £2 такое, что для всех А € £ множество Т~ХА € и Х(А) — А(Т-М). Автоморфизмом пространства £2 называют его Л-п.в. взаимнооднозначный эндоморфизм. Будем называть динамической системой с дискретным временем пару из пространства (£2, Л) и какого-либо его эндоморфизма Т. Динамической системой с непрерывным временем будем называть пару из пространства (£2, А) и какого-либо его полупотока, т.е. такой однопарамет-рической полугруппы эндоморфизмов Ть пространства £2, что для любой измеримой функции /(о;) на £2, функция }{ТЬш) измерима на прямом произведении £2 х К+. Потоком будем называть такую однопараметрическую группу {Т4}4еК автоморфизмов пространства (О, А), что для любой измеримой функции /(ш) на £2 функция /(Т4ы) измерима на прямом произведении £2 х Ж. Очевидно, что пара из пространства и потока на нём тоже будет определять динамическую систему с непрерывным временем.

Для / € (Г2), ш € £2 введём эргодические средние:

г-1 г

1 1 С

^/И = 7 Е Я7^) . ^ е N и Л/Н = - / /(Тти) йт , < е

к—О

для случаев дискретного и непрерывного параметра времени I соответственно.

Рассмотрим подробней случай / € Ьг(£2). В случае динамической системы с дис-

кретным временем мы можем связать с ней изометрический (а в случае,

если Т — автоморфизм, то унитарный) оператор замены переменной 1/т : Ь2(0.) —> £2(!Г2), определяемый по формуле 17т/ = / о Г для всякой / £ Ь2(Р). Иногда этот изометрический оператор также называют оператором Купмана. Для случая полупотока {Т*}гек+ свяжем с динамической системой полугруппу изометрических операторов где элементы полугруппы задаются формулой £/£/ = / о Т* для всякой / 6 В случае потока, по аналогии, можно связать с динамической системой группу унитарных операторов {[/^¿ем- Использование введённых операторов в случае / € 1/2(П) позволяет записать эргодические средние в виде:

для случаев дискретного и непрерывного параметра времени Ь соответственно. В случае дискретного времени введём корреляционные коэффициенты Ьк/ = ((/£/, /) при к > 0 и Ьк/ = Ь-А;/ при к < 0. Тогда в силу теоремы Герглотца корректно определена (единственная) спектральная мера ст/ усредняемой функции относительно динамической системы, связанной с эндоморфизмом Т, т.е. такая конечная борелевская мера на единичной окружности, что

(— 7Г,7Г]

для всех целых к. Если у динамической системы время непрерывно, то введём по аналогии для полупотока корреляционную функцию — (£/£/,/) для

£ > 0 и = при I < 0. Тогда по теореме Бохнера-Хинчина корректно определена (единственная) спектральная мера 07, т.е. такая конечная борелевская мера на прямой, что

В случае / £ (Г2) индивидуальная теорема Биркгофа утверждает существова-

¿-1

(1)

—оо

ние А-п.в. предела:

/» = lim А/И,

¿—>00

и равенство J f(u>)dX(u) = / /*(ш) dX(uj). Статистическая эргодическая теорема фон ц и

Неймана гарантирует в случае / 6 L2{Q) существование того же предела lim Atf

t—»00

в смысле нормы пространства ¿2(0), причём этот предел Л-п.в. равен /*. Заметим, что приведённая формулировка эргодической теоремы фон Неймана является частным случаем более общей операторной теоремы, также связываемой с именем фон Неймана.

«S

Теорема 1 ([16]). Если {Uf} — полугруппа сжатий в комплексном гильбертовом пространстве Н и Р — ортопроектор на подпространство неподвижных векторов полугруппы {U1}, то для любого / G Н имеет место сходимость по норме к Pf эргодических средних Atf, определённых по формулам (1).

Отметим, что изначально фон Нейман доказал в [32] эту теорему только при предположении унитарности. В дальнейшем она была обобщена Ф. Риссом с упрощением доказательства на случай изометричности входящих в {Ьп} операторов (см., например [19]), а позднее (см. [16]) и на случай сжатий, как в приведённой выше теореме. Поскольку в диссертации оценка скоростей сходимости в индивидуальной теореме, формулируемой с использованием понятия сохраняющих меру преобразований, будет производиться (как станет ясно из дальнейшего изложения) по известной скорости сходимости в статистической теореме и до сих пор не решена задача реализуемости спектров, т.е. задача нахождения условий на спектр изометрического/унитарного оператора, при которых найдётся динамическая система сопряжённая с этим оператором (см., например, [23]), то всюду в дальнейшем будет использоваться самая первая — не операторная (и от этого наименее общая из приведённых) формулировка статистической теоремы.

Скорость сходимости будем измерять для эргодической теоремы фон Неймана как скорость сходимости к нулю при £ —> оо числовых величин \\Atf — /*Цг1 для эргодической теоремы Биркгофа — как скорость сходимости к нулю числовых величин

= А < вир\Аа} — /*]>£>, поскольку сходимость для любого € > 0 при £ —> оо

I )

величины Р* к нулю эквивалентна сходимости п. в. к /*.

Как отмечено в [9] впервые вопрос о скоростях сходимости в эргодических теоремах начал рассматриваться Дж. фон Нейманом в 1932 г.: в своей работе [33] он заметил, что его собственное доказательство статистической теоремы (для случая непрерывного времени) в статье [32] позволяет «численно оценить скорость сходимости».

В 1975 г. Гапошкин В.Ф. показал, что скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем, за исключением тривиального случая, не может быть быстрее квадратичной: асимптотическое равенство ||ЛП/ — /*\Ц = о(п~2) при п —> оо может иметь место только при /—/* = 0 п.в. (см. следствие 5 в [2]). Этот же результат оказался справедлив и в случае непрерывного времени, причём доказать его можно используя идею из упомянутого доказательства Гапошкина В.Ф. для случая дискретного времени (см. [б]). Отметим, что предельная скорость \\Ап/ — /""¡Ц = 0(п~2) достигается на когомологичных нулю функциях / — /* (см. [27] и [13]), т.е. функциях вида / - /* = д о Г - д, где д € Ь2{9,).

Несмотря на ограниченность возможного диапазона скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана, во второй половине 1970-х годов Г. Халашем и У. Кренгелем было показано, что для отдельно взятого эргодического автоморфизма пространства Лебега (о пространствах Лебега можно прочесть, например, в [17]) нет оценок скоростей сходимости, равномерных по ||/||р даже в классе характеристических функций. А именно, ими доказана в [28] и [29] следующая ниже теорема.

Теорема 2 ([28],[29]). Для любого эргодического автоморфизма отрезка с мерой

Лебега можно подобрать характеристические функции со сколь угодно быстрой, не выходящей за пределы возможного диапазона скоростей, и сколь угодно медленной скоростями сходимости:

1) Для любой (сколь угодно медленно) монотонно стремящейся к бесконечности последовательности а1 > 2, найдётся подмножество А отрезка любой наперёд заданной меры А(А) такое, что \Ап(ха) — М-А)! < ^ А-п.в. для всех п.

2) Для любой (сколь угодно медленно) стремящейся к нулю последовательности положительных чисел {^К^Ц найдётся подмножество В отрезка с мерой А (В) е (0,1) такое, что Пш^оо Ап(хв) ~ = оо А-п.в. и для всех р 6 [1, оо]: ИШп-»оо ¿1 Ип(Хв) ~ *(В)Н р =

Помимо этого отметим, что в работе [9] приводится пример, показывающий, что «нельзя давать оценки скорости в эргодических теоремах, зависящие только от усредняемой функции / и не зависящие от выбора автоморфизма Т (т.е. равномерные по группе автоморфизмов)».

Из-за проблем с равномерностью получаемых оценок скорости сходимости У. Кренгель даже писал в своей монографии (см. §1.2 в [30]), что в эргодических теоремах нет скоростей сходимости и, что одним из немногочисленных положительных примеров решения вопроса о скоростях сходимости является случай независимости случайных величин {/ о Тк}^=0. В самом деле, в этом случае мы находимся в условиях закона повторного логарифма, который гарантирует выполнение А-п.в.

равенства \Ап/— /*| = 0(ц>(п)), где <р(п) = у —Г^- Как попытки избавиться в случае / € от обременительного условия независимости в совокупности {/о Тк}]?=0

можно рассматривать результаты В.В. Петрова [15] и В.Ф. Гапошкина [3], которые в более общем случае стационарных в широком смысле стохастических процессов (последовательность {/' о Тк}р?=0 является стационарным в узком смысле процессом, см. главы 5 и 6 в [21]) оценивали асимптотику |ЛП/ — /*| по скорости убывания корреля-

ционных коэффициентов {&„(/ — /*)}"Li, а также по тесно с ней связанной скорости убывания \\Anf — У*||| . Отметим, что характер связи тут такой: в случае дискретного времени знание последовательности {bt(f — /*)}tez+ корреляционных коэффициентов, а в случае непрерывного — корреляционной функции bt(f — /*), даёт знание

IИг/ — /1Ü, т.к. справедливы формулы (см. теоремы 18.2.1 и 18.3.1 в [8]):

t

1Ип/ - Г Iii = А Е (" - l*DW - л и 11^/ - /На = 3 / (i - М)М/ - Г) л-.

та ifci<« г L

В работе [3] В.Ф. Гапошкина оценки В.В. Петрова приобрели законченный вид: при предположении bn(f — /*) = 0(n-a(lnn)-/3(lnlnn)-7) была выписана достаточно хорошая функция <р{п), зависящая также от (а, /3,7), для которой выполнено Л-п.в. соотношение |Anf — /*| = 0(<р(п)). Было доказано, что в классе стационарных в широком смысле последовательностей оценку \Anf — f*\ = 0(р(п)) нельзя улучшить без дополнительных предположений. Аналогичные результаты были доказаны при предположении \\Anf — f*\\l = О(n"°(lnv)(InInn)~7), а также отмечалась возможность выписать функцию ip(n) в оценке \Anf — f*\ — 0(<р(п)) для случая итерированных логарифмов любого порядка.

На всё это можно смотреть, как и делает А.Г. Качуровский в [9], следующим образом: невозможность получить оценки скорости сходимости в эргодических теоремах, зависящие только от функции /, по которой производится усреднение, приводит к необходимости получения оценок зависящих от пар (/, Т) при разумных постановках вопроса. Тогда результаты В.Ф. Гапошкина — это попытка решения в случае / е ¿г (Г2) задачи по оценке скоростей сходимости в индивидуальной теореме для пар (/,Т), удовлетворяющих условию bn(f — /*) = О(n~a(lnп)(InInп)~7), либо для пар (/, Т), удовлетворяющих условию \\Anf — /*|[| = O(n~a(lnn)_;0(lnlnn)-7). Отметим также более раннюю работу В.П. Леонова [13], в которой приводились оценки с точностью о(п~2) скорости сходимости в теореме фон Неймана для пар (f,T),

оо

удовлетворяющих условию ^ \kbkif — /*)| < оо, причём там же был получен ана-

к=—оо

логичный результат для случая непрерывного времени.

В 1996 г. А.Г. Качуровский (см. [9]) при / € предлагает подход исполь-

зования для оценки скоростей сходимости в эргодической теореме фон Неймана с дискретным временем следующих параметров пары (/, Т): корреляционных коэффициентов {6П(/ — и определяемой через них спектральной меры сг/-/* элемента / относительно динамической системы, а в случае оценки скорости сходимости в эргодической теореме Биркгофа, помимо упомянутых параметров, ещё и последовательности {|\Ап/ — /'*112}«== 1' измеряющей скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана.

Рассмотрим подробнее результаты реализации этого подхода. Для случаев степенного убывания последовательности {Ьп(/ — /*)}™=г и случая {&п(/ —1 € 1р были получены оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана вида \\Ап/ — /*||2 =

У

0(ф(п)) с выписыванием конкретных функций ~ф(п), причём было показано, что делать выводы о скорости убывания {&„(/ — /*)}^=1 по известной скорости убывания \\Anf — /*\\1 нельзя. Тем не менее, оказалось, что если за параметр пары (/, Т), характеризующий скорость сходимости в статистической теореме, принять меру (определяемую через {Ьп(/ — /*)}^=1), то справедлив приводимый ниже критерий А.Г. Качуровского степенной скорости сходимости в теореме фон Неймана.

Теорема 3 ([9]). Для каждого а 6 [0,2) равносильны следующие соотношения:

1) \\Ап/ — Г\\1 = 0(п~а) при п -> оо;

2) <т/_/. (-<*, 6} = 0(да) при 50.

Утверждение теоремы также верно при замене обоих "О" на "о".

Эта теорема показывает, что ключевым параметром пары (/, Т), определяющим скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана, является мера Oj — объект имеющий спектральную природу (мера получается из меры су отбрасыва-

нием сосредоточенной в нуле меры <50, причём 5о{0} = Ц/*Щ). В то же время, эта теорема показывает сложность задачи по оценке скоростей: знание скорости сходимости в статистической теореме равносильно знанию поведения меры Uf-f* в окрестности нуля, а вычисление мер сг/ для многих динамических систем очень сложная задача. Впоследствии было доказано, что аналогичный критерий степенной скорости сходимости справедлив и в случае непрерывного времени (см. [11] и [6]). Отметим в этой связи, что отнюдь не все результаты о скоростях сходимости в эргодических теоремах могут быть перенесены со случая дискретного времени на случай непрерывного времени (см., например, следствие 5 ("гипотеза Я.Г. Синая") и комментарии к нему в [13]). Также отметим, что в случае дискретного времени В.Ф. Гапошкин в 1998 г. доказал в [4] следующее обобщение критерия А.Г. Качуровского: при а е [0,2) соотношения ||Anf - /*HI = 0{n~aip{n)) при п —> оо и <7f-f{—S,S] = 0{5aip(5~1)) при 5 —> +0 эквивалентны, здесь <р{и) — слабо колеблющаяся на [1,оо) функция, т.е. для любого б > 0 функция <p(u)us монотонно возрастает, а функция (p(u)u~s монотонно убывает (см. стр. 299 в [7]). Как следствие этого более общего критерия можно рассматривать критерий для логарифмической скорости сходимости, доказанный И. Ассани и М. Лином в [24] с использованием идей доказательства А.Г. Качуровского: при Р > 0 соотношение ||А„/ — /*||| = 0(1п(п+1)~(2+^) равносильно соотношению of-f*{-6,6] =0{\\n6\-V+V).

При изучении скоростей сходимости в индивидуальной теореме А.Г. Качуровский показал, что последовательность {\\Anf — f* H^KJLi является параметром пары (/, Т), отвечающим за скорость сходимости в этой теореме, а значит в силу ранее сказанного о скоростях сходимости в статистической теореме, такими же параметрами также будут являться {bn(f — /*)}^i и сг/. Более подробно: при а € (0,2] в случае наличия степенной оценки ||Anf — /*||| = 0(п~а) скорости сходимости в статистической эргодической теореме А.Г. Качуровским были получены (см. [9]) оценки скорости

сходимости для случаев / 6 Loc(Q) и / € 1^(0) в индивидуальной эргодической теореме с дискретным временем вида Р® = 0(<ра(п)), причём для / € L00(íi) эти оценки были асимптотически не улучшаемыми. Таким образом, было установлено как знание скорости сходимости в теореме фон Неймана позволяет получить оценку скорости сходимости в теореме Биркгофа. Также было показано, что обратить этот результат нельзя: знание только величин Р^ не позволяет сказать что-либо о скорости убывания \\Anf — f*

Впоследствии в работах В.Ф. Гапошкина для / € был улучшен вид функ-

ций <ра(п), причём для а Е (0,1) новую оценку Р* = 0(<ра(п)) (см. пример 1 после теоремы 11 в [9]) нельзя улучшить. Для a G [1,2] вопрос о неулучшаемости оценок полученных В.Ф. Гапошкиным до сих пор остаётся открытым. Отметим, что В.Ф. Гапошкиным в [5] построены примеры стационарных в широком смысле стохастических последовательностей, показывающие неулучшаемость всех полученных им функций ipa(n) для a G (0,2] в классе стационарных в широком смысле процессов (из-за того, что этот класс строго шире чем рассматриваемый эргодической теорией класс стационарных в узком смысле процессов, построенные примеры не доказывают неулучшаемости оценок для эргодической теории).

Отметим, что все обсуждавшиеся до этого результаты по скоростям сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа были доказаны только в терминах "О" и "о" и носили характер указания связей между скоростями (измеряемыми как "О" и "о" от функций, выбранных из каких-либо соображений удобства) стремления к нулю различных параметров динамических систем ({bn(f — Pf,

|\Atf — f*||2 и др.). В силу одного из эквивалентных определений символа Э. Ландау "О", оценка Ф(£) = 0(ip(t)) равносильна выполнению неравенства |Ф(£)| < A\<p(t)\ с некоторой положительной константой А при соответствующих смыслу исследуемой задачи ограничениях на t. Тогда рассмотренные ранее результаты гарантируют на-

личие функциональных связей между константами (возникающими из упомянутого определения символа "О") оценок скоростей сходимости в эргодических теоремах, а также константами оценок скорости стремления к нулю принятых к рассмотрению параметров динамических систем, ответственных за скорости сходимости.

Данная диссертация посвящена нахождению разумных функциональных связей между теми или иными константами оценок, возникших у предшественников автора при исследовании скоростей сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа. «Разумность» здесь понимается в том смысле, чтобы можно было удовлетворить естественным образом возникающую потребность в переходе от асимптотических оценок к алгебраическим для получения возможности численной оценки скорости сходимости в эргодических теоремах. Получение неравенств, позволяющих численно оценить скорости сходимости — ещё одна цель этой работы.

Полученные в диссертации новые результаты можно разделить на следующие группы:

1. В случае динамических систем с дискретным временем в критерии Качуров-ского степенной скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана были найдены две функциональные связи (число связей для анализа равно числу импликаций в формулировках первоначальных теорем предшественников в терминах "О" или "о") между соответствующими константами, возникшими из определения "О", причём было показано, что одна из этих связей не улучшаема. Тем самым критерий Качуровского был уточнён в сторону перехода от "О" и "о" к алгебраическим неравенствам, одно из которых в общем случае не улучшаемо. Также было обнаружено, что эти функциональные связи констант носят абсолютный характер, в том смысле, что явным образом не зависят от функции /, по которой производится усреднение. Был разобран и общий (не обязательно степенной) случай: получено двойное неравенство, связывающее

\\Ап/ — Г\\1 и поведение в нуле меры а/-/*•

2. Получены неравенства и тождества, связывающие \\Ап/ — /*\Ц и {&„(/ — /*)}^=1 при различных предположениях относительно {£>п(/—/*)К£= 1- Эти соотношения позволяют оценивать скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем при наличии информации о корреляционных коэффициентах. Применение полученных соотношений в важных для потенциальных приложений частных случаях степенного и экспоненциального убывания корреляций позволило получить численные оценки скорости сходимости в статистической теореме.

3. Для случаев дискретного и непрерывного времени были получены неравенства, связывающие соответствующие константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах, которые позволили оценить скорость сходимости в эргодической теореме Биркгофа по известной скорости сходимости в эргоди-ческой теореме фон Неймана. Это позволило в совокупности с результатами из предыдущих пунктов указать путь гарантированного получения численных оценок скорости сходимости в индивидуальной теореме при наличии знаний о поведении корреляций Ь{(/ — /*) или характере поведения в нуле меры Была указана граница применимости всех основных результатов диссертации к теории стационарных в широком смысле стохастических процессов.

В работе используются методы эргодической теории, теории меры, гармонического анализа, элементы теории стохастических процессов, а также ряда общих разделов функционального анализа.

Структурно работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Каждая из глав разбита на разделы. Каждый из разделов при необходимости делится на пункты. Нумерация теорем, лемм и замечаний сквозная. Нумерация формул также

сквозная, и нумеруются только формулы, которые считаются наиболее важными и на которые в дальнейшем в тексте есть ссылка. Конец доказательства утверждений обозначается знаком □.

Перейдем к подробному обсуждению глав.

В первой главе после ряда предварительных замечаний доказываются леммы 1 и 2 с помощью которых устанавливается справедливость теоремы 4, содержащей двойное неравенство, связывающее в случае дискретного времени скорость сходимости в теореме фон Неймана и поведение в нуле меры Эти же две леммы используются при доказательстве теоремы 6, рассматривающей только случай степенной скорости сходимости и являющейся уточнением в сторону перехода от "О" к алгебраическим неравенствам упоминавшегося критерия А.Г. Качуровского (см. теорему 3) степенной скорости сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем. Теорема 6 предъявляет в явном виде разумные функциональные связи между соответствующими константами, возникающими из определения символа "О" в формулировке критерия А.Г. Качуровского, причём в одном случае полученная функциональная связь оказывается в определённом смысле не улучшаемой. Обе предъявляемые теоремой б константы имеют достаточно простое аналитическое выражение и являются абсолютными в том смысле, что явно не зависят от динамической системы и функции, по которой производится усреднение. Как следствие теоремы 6 получается замечание 1, которое позволяет получить достаточно простую по виду оценку скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии существенно ограниченной плотности у меры Of _/*. Также в главе 1 приводятся аналоги обсуждавшихся теорем для случая непрерывного времени, полученные впоследствии другими авторами.

Во второй главе доказывается теорема 8, дающая неравенства или тождества, позволяющие оценить скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем через коррелляционные коэффициенты при достаточно общих предполо-

жениях о них. С помощью этой теоремы доказывается теорема 9, предоставляющая возможность оценить скорость сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем при предположении о степенной или экспоненциальной скорости убывания корреляционных коэффициентов. В свете обсуждавшихся в начале главы 2 результатов предшественников, некоторые пункты теоремы 9 можно рассматривать как уточнение их асимптотических результатов (выражавшихся в терминах "О" и "о") в сторону нахождения функциональных связей между соответствующими константами, возникающими из определения символа "О". В конце главы приводятся полученные впоследствии другими авторами аналоги обсуждавшихся теорем главы 2 для случая непрерывного времени.

В третьей главе уточнением доказательства соответствующего асимптотического результата В.Ф. Гапошкина в сторону получения констант для неравенств доказывается теорема 13. Эта теорема 13 позволяет численно оценить скорость сходимости в теореме Биркгофа с дискретным временем при наличии численной оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана, имеющей степенной характер. Как и в исходном доказательстве асимптотического результата В.Ф. Гапошкина, используются 3 леммы, взятые без изменений. Константы в получившихся неравенствах носят абсолютный характер — как и ранее, они в явной форме не зависят от динамической системы и функции, по которой производится усреднение. В случае достижения предельной скорости сходимости (квадратичной) в теореме фон Неймана, в замечании после теоремы 13 приводится более простая по сравнению с теоремой 13 оценка скорости сходимости в теореме Биркгофа. Теорема 14 представляет собой аналог теоремы 13 для случая непрерывного времени. Её доказательство во многом похоже на доказательство для случая дискретного времени. Оно также использует 3 леммы, однако вместо леммы 3, использовавшейся в дискретном случае, используется лемма 6. Теоремы 13 и 14 с учётом результатов из двух предыдущих глав позволяют

гарантированно получить численную оценку скорости сходимости в теореме Биркго-фа при наличии соответствующей информации о поведении меры в нуле или

информации о корреляционных коэффициентах.

В последней, четвёртой, главе после ряда общеизвестных определений и объяснений о соотношении их между собой обсуждается граница применимости результатов предыдущих глав диссертации к теории стационарных в широком смысле процессов. В качестве примера, для которого возможно перенесение полученных ранее в диссертации результатов на более широкий класс стохастических процессов, приводится аналог теоремы б для стационарных в широком смысле процессов.

Результаты диссертации докладывались:

— на Международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН (сентябрь 2009 г.);

— на ХЬУШ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» в Новосибирском государственном университете (апрель 2010 г.);

— на Международной конференции по эргодической теории в Университете Северной Каролины в г. Чапел-Хилл, США (март 2011 г.);

— на семинаре «Динамические системы и эргодическая теория» под руководством Д. В. Аносова и А. М. Стёпина в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (апрель 2011 г.);

— на семинаре «Теория вероятностей и эргодическая теория» под руководством Б. М. Гуревича и В. И. Оселедца в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, в рамках Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2011» (апрель 2011 г.);

— на Международной школе-конференции по геометрии и анализу в Кемеровском государственном университете (июнь 2011 г.);

— на семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством И. А. Тайманова в Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН (ноябрь 2011 г.);

— на семинаре отдела анализа и геометрии под руководством Ю. Г. Решетняка в Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН (декабрь 2011 г.).

За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены: стипендия имени член-корреспондента A.A. Ляпунова (2009 г.), диплом первой степени XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирский государственный университет, 2010 г.), стипендия имени академика О. А. Ладыженской (2011 г.), грамота за представление лучшего доклада на XVIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 2011 г.), а также диплом Лаврентьевского конкурса студенческих и аспирантских работ по математике и механике (2011 г.).

Имеются семь публикаций автора по теме диссертации: [36]—[42], из них четыре — в соавторстве с А. Г. Качуровским: [38]—[39] и [41]—[42]. Вклад авторов в упомянутых четырёх работах равноценен и не делим.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю А. Г. Качуровскому за поставленную задачу и постоянное внимание к работе.

1 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о спектральной мере

1.1 Предварительные замечания

1.1.1 Напомним, что скорость сходимости в эргодической теореме фон Неймана будет измеряться как скорость стремления к нулю при t —> оо числовых величин ИЛ/ — /* Uj. Как было отмечено во Введении, скорость сходимости в этой эргодической теореме не может быть произвольной: соотношение \\Atf — /*||| = o(t~2) при t —> оо может иметь место лишь при / — /* = 0 Л-п.в. В случае дискретного времени это было доказано В.Ф. Гапошкиным в 1975 г. (см. следствие 5 в [2]). В случае непрерывного времени доказательство можно провести похожим на дискретный случай способом (см. замечание 3 в [6]). Таким образом, степенной скорости сходимости с показателем степени а > 2 не бывает, за исключением упомянутого вырожденного случая f — f* — 0 Л-п.в.

Рассмотрим подробнее то, что известно об оставшемся диапазоне а € [0,2]. Для а 6 [0,2) выполнен критерий А.Г. Качуровского, т.е. эквивалентность соотношения НА/ - /*Ш = 0{t~a) при t —► оо соотношению af-f*(-â,ô] = 0(ôa) при S —* 0 (в случае дискретного времени см. теорему 3 из [9], в случае непрерывного — теорему 1

из [11]). Для а = 2 эта эквивалентность не имеет места для обоих типов времени (см. соответствующие примеры в [9] и [6]). Отметим также, что случай а = 2 для дискретного времени эквивалентен когомологичности нулю функции / —/*, т.е. условию / — /* = р о Г - д для некоторой функции д g LziSI) (см. лемму 5 в [27]).

1.1.2 Сосредоточимся далее на случае дискретного времени. Пусть L^fl) — подпространство функций с нулевым средним в Заметим, что если / € L^iP), то / — /* g , поэтому и An(f — f*) g ¿2- Как уже обсуждалось, поведение IИп/ — /*||2 = II АД/ ~ /*)|Ц полностью определяется особенностью спектральной меры &f-f* в нуле. Переход же от сг/ к Pf-f* осуществляется простым отбрасыванием сосредоточенной в точке 0 меры у которой 5о{0} = <7/{0} = ||/*|||, поскольку /* есть ортогональная проекция / на подпространство собственных векторов оператора Uti отвечающих собственному значению 1; по этой же причине верно равенство

11/111 = 11/-ЛИ + 11/111-

Положим

^ , . 1 sin2 if л , ,

фп(х) =--гт^-, о < Ж < 7Г.

п sm f

Заметим, что Фп отличается от (п — 1)-го ядра Фейера Кп-\ лишь коэффициентом: Фп = 2Кп-х. Отметим вытекающие из свойств ядер Фейера ([1], §47) равенство

7Г

/ Фn(x)dx = 27г и стандартные неравенства

—я

-Ф«(я) <4-2 ( для - < N1 < тг); (2)

п nzxz п

-Фп(®) <1 (для |ж| < тг). (3)

ть

Как хорошо известно, для каждой д е дисперсия D Лпд — ЦЛ^Щ может быть точно посчитана через интеграл от Фп(х) по спектральной мере ад, или выражена через корреляционные коэффициенты bkg. Основные результаты первых двух глав этой диссертации получаются анализом асимптотик следующих двух формул, фактически использовавшихся еще Дж. фон Нейманом в [32] (вывод этих формул можно

найти в [8], теорема 18.2.1):

Ып9\\1= J й(7д{х)

(4)

|&|<п

Основная масса ядра Фейера сосредотачивается в малой окрестности точки 0, и чем больше п, тем уже можно выбирать такие окрестности. Поэтому не удивительно, что асимптотика ИА^Ш в точности соответствует асимптотике особенности меры ад в нуле (теорема 3 в [9], теорема 1 в [38], и уточняющая их теорема б далее).

1.2 Вспомогательные утверждения

Всюду далее / £ Ь2(П) — как уже отмечалось, в этом случае / — /* £ Доказательства лемм 1 и 2 ниже получаются уточнением доказательств теоремы 3 в [9], леммы 1 и теоремы 1 в [38] (в доказательстве леммы 2 используется также позаимствованная из [24] упрощающая выкладка).

Лемма 1. При любом а £ (0,7г] для всех натуральных п справедливо неравенство

причём это неравенство неулучшаемо в том смысле, что константу в левой части нельзя увеличить.

Доказательство получается применением представления (4) для д = / — /*:

I 1-Фп(х)йа}Ч,{х) < \\Ап(/ - /*)||з = \\Ап/ - /*||з

Так как

то доказываемое неравенство леммы 1 следует из (5) в силу очевидных соотношений

sinf\2 . /sin у\2 /sinf42 mm I „„ = mm ' — 1 - ' — 2

W<* \ f J MZ f Vi// V f

Докажем его неулучшаемость. Для всех натуральных п я к положим Хщк = Y+nk'' очевидно, 0 < < Для д = / — /* рассмотрим двупараметрическое семейство дискретных (одноточечных, сосредоточенных в точке АИ)а; единичной окружности и принимающих в этой точке значение ||дЩ) мер а\п к. Для каждой такой меры найдутся автоморфизм Тп>к и функция S L9,(íl) такие, что мера сг\пк будет спектральной, соответствующей им. (В случае иррациональности отношения а : тг в качестве Tn¡k берётся построенный в [12] (теорема 1 из §2 главы 12) автоморфизм с чисто точечным спектром, спектр которого — любая заданная счётная подгруппа единичной окружности S1-, в нашем случае это построение применяется для циклической подгруппы, порождённой элементом éíXn'k, в качестве дпtk берётся собственная функция оператора 11тпк, отвечающая собственному числу А„^. В случае рациональности отношения а : 7г — см. конструкцию простого примера 1 из §2 главы 1 в [9]). Так как К,к ф о при всех пи к, то аХп :к {0} = 0, т.е. д*к = 0, и gn,k-g*ík = дп,к■ Предположим, что константа ^^г2-^ в неравенстве леммы может быть улучшена на е > 0. Тогда, используя "улучшенную" таким образом лемму 1 и представление (4) для каждой пары (ТП}к, gn,k)i получим справедливость для всех натуральных п и к неравенств

(е+ (^Я 1Ы12 < = -^T^rlMI2.

V V 2 / J 71 п2 sm'2

С другой стороны, lim = и lim (п sin = (|)2, а значит, можно подо-

брать такие п и к, для которых последнее неравенство станет неверным. Полученное противоречие завершает доказательство леммы 1. □

Лемма 2. Положим вк = <7/_/«(-|, §], (тк = 1 = ~£+т]и(ш; Ш-

Для любого натурального п выполнено неравенство

\\Anf - /1 < Sn + п

~ |> + 1 Гак = 1 íS, + ]Г(2к + 1 )Sk) . к=1 \ fc=l /

Доказательство леммы 2, как и доказательство первой части теоремы 3 в [9], получается анализом асимптотики представления (4) для д = f — /*:

Ш-т= I ^n(x)daf-r(x)+ J 1ф„0x)daf4.{x). (6)

Оценим сначала первый интеграл в (6), используя неравенство (3):

/ ^Фп(я) <fof-r(x) < Ц = Sn.

I ТЬ (i ft

V il'nJ

Теперь оценим второй интеграл в (б), используя неравенство (2):

/1 1 Г 7J-2

-Фп(®) 00 < ^ У ^ (Ж) =

= h ё / ^^(ж) - ^ ё =

&— 1/_ 7Г 7Г 1i I / ТГ 7Г1 fc—1

fc ' fc+lJu^fc+14cJ 1 n—1 1 n—1

= ^ B*+^ = ^ E ((*+- += fc=l fc=l

= ^ (£ +1)25fc - ^+5i ~n25n)= h (5i++_ n2s") ■ Складывая эти две оценки, получаем доказываемое неравенство леммы 2. □

1.3 Зависимость между скоростью сходимости в теореме фон Неймана и поведением в нуле меры сг/-/*

Следующая ниже теорема получается комбинированием лемм 1 и 2. Она показывает зависимость между скоростью сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем и поведением в нуле меры crf-f-

Теорема 4 ([39]). Положим Sk = ст/-/*(-§, f], ак = Sk- Sk+i = ; U

(fc+i' f]}■ Тогда для всех натуральных п справедливо двойное неравенство: и 1 1

< |\Anf - ГШ <Sn + - + 1)W

7Г 7Г ^—'

k=l

Отметим, что похожие неравенства, с другими константами, использовались ранее в работах В.Ф. Гапошкина (см., например, лемму 1 в [4]).

В случае непрерывного времени справедливо аналогичное утверждение, доказанное в 2011 г. H.A. Джулаем и А.Г. Качуровским (см. замечание 1 в [6]).

Теорема 5 ([6]). Положим Sk{t) = —]. Тогда для всех t > 0 справедливо

двойное неравенство:

, 2 _ 1 1 9°°1

¿s, w < ш - m < ++Ь S t(*-i)(t-a)gt(,)-

1.4 Критерий А.Г. Качуровского степенной скорости сходимости в теореме фон Неймана в форме алгебраических неравенств

1.4.1 Как уже не раз отмечалось, для степенной скорости сходимости с показателями a G [0,2) как для дискретного, так и для непрерывного времени выполнен критерий А.Г. Качуровского, т.е. эквивалентность соотношения ||-4t/ — f*\\\ = 0(t~a) при t —> оо соотношению <т/_/*(—6, б] = 0(öa) при ô —> +0 (в случае дискретного времени см. теорему 3 из [9], в случае непрерывного — теорему 1 из [11]). Если, как уже делалось во Введении, воспользоваться одним из определений символа "О", то получим эквивалентность существования двух констант А и В, для которых одновременно справедливы неравенства:

1) (\/ô G I): сг/_/* (—5, < Л<5а, где I совпадает с [0,7г] и R+ для случая дискретного и непрерывного параметра времени t соответственно.

2) (Vi € J): \\Atf — /*||| < Bt~a, где J совпадает с N и R+ для случая дискретного и непрерывного параметра времени t соответственно.

Естественным образом возникает вопрос о характере функциональной связи между константами А и В, т.е. о характере зависимостей А = А(В) и В = В (А). То, что

такие зависимости существуют, следует из упоминавшейся эквивалентности существования констант An В в силу критерия А. Г. Качуровского.

Следующая ниже теорема в случае дискретного времени предъявляет в явной форме зависимости А = А(В) и В = В (А), оказывающиеся достаточно «разумными», причём представленная в теореме зависимость А = А(В), оказывается в определённом смысле не улучшаемой — в общем случае, при фиксированной константе В, константу А = А(В) нельзя уменьшить. Данную теорему можно рассматривать как уточнение асимптотической теоремы 3 из [9] в направлении перехода от "О" и "о" к алгебраическим неравенствам, и теоремы 1 из [38] в направлении уменьшения фигурирующих в ней констант. Никакие ограничения на спектральные меры (абсолютная непрерывность и т.п.) здесь не накладываются.

Теорема 6 ([39]). Пусть а € [0, 2). Тогда:

1. Если спектральная мера <Jf-f* имеет степенную особенность в нуле, т.е. если для некоторой положительной константы А при всех 6 g (0,7г] выполняется неравенство

af-f*(—5,S] < А5а,

то скорость сходимости эргодических средних Anf — степенная с тем же показателем степени, т.е. для всех п

при a g [0,1) : \\Ап/-Г\Ц < An* (¿п- + ¿»г1-" - + & - 2) п* - п~*-«) <

< A*a (А;п~а + х^п~1'а);

приа = 1 : Ж/ - /*HI < Arc (2W1 + ^ - п~3) < Аж{2п~1 +

при a G (1,2) : \\Anf-f 111 < Лтг* (¿n"e + (4 - ^ + ¿j) n"2 - (2 + ¿j) n"1"« -

< (йг"-в + (4 - A + .

2. Если скорость сходимости эргодических средних Ап/ — степенная, т.е. если для некоторой положительной константы В при всех натуральных п выполняется неравенство

Ш-г\\1<Вп-°,

то спектральная мера с/-/* имеет степенную особенность в нуле (с тем же показателем степени), т.е. для любого 6 € (0,7г]

^-В, О < а < 1

< Сёа, где С = <

23=

причём константа С неулучшаема в том смысле, что её нельзя уменьшить.

1 < а < 2

Доказательство первой части теоремы будет опираться на лемму 2, а именно, вспоминая, что по условию теоремы < Атгак~а, и подставляя это в неравенство леммы 2, приходим к следующему соотношению:

/ п-1 п-1 \

Ш - Ш < А*" и +:£ к^ + ^ Е И • (Г) \ к=1 к=1 /

Далее будем разбирать отдельно три возможных случая, в зависимости от значений а, с целью оценки правой части (7).

Случай 1: а <е [0,1). Положим £1 = Е (£)1-а ± < / я1"* <1х=^- 5тогда

к=1 1 /та

П-1 71 — 1 .

24 Е к1~а = 2т?-а Е (-) 1 = 2п-аЕ} < Н-- ^Г-П-2.

пг ' \п/ п а 2—а 2—а

к=1 к=1

п _а 1

Положим, далее, = Е (£) " ^ < / = ^ - ^п"-1; тогда

Й=2 1/п

¿"¿Ат" = п-^ЕШ"^ = п-^) (Е* + п"-1 - п-1) < ¿¡гГ1"« +

а-т^к2-«-2-"-

Подставляя полученные оценки в (7), получаем требуемое неравенство. Случай 2: а = 1.

TL— 1

В этом случае, очевидно, Е к1-а = 2^(тг — 1) = 2п-1 — 2?7_2.

к=1

п 1

Положим, далее, Ез = Е (|) „ < / X_1 ^ = ТОГДа

fc=2 1/„

= ?S(й-1 i = Ä+1 <«-а + ^ fe=i fc=i

и остается подставить эти оценки в (7).

Случай 3:а£ (1,2). Выкладки аналогичны случаю 1 — с той лишь разницей, что функция х1~а будет выпуклой на (0,1], а не вогнутой, как в случае 1.

п l—a ^

Положим Е? = Е а I х1'а = Т0гда

fc=2 i/n

"¿V" = 2п-«Е (|)1_а А = 2тГ"(Е? - n"1 + n-2) < ¿n"« + (2 - -

fc=i fc=l

гп-0-1.

71-1

И, наконец, неравенство ^ Е < + (1 - — п~~2~а доказывается

fc=1

дословно так же, как в случае 1 — поскольку в обоих случаях функция х~а выпукла на (0,1].

Займёмся доказательством второй части теоремы. Немного по-другому переписав утверждение леммы 1 с учётом \\Anf — f* \\\ < ВгГа, для любого а Е (0,7г] получим:

а \ 2 „2-а

а 2 ■

Любое <5 € (0,7г] можно представить в виде 6 = если брать а € [тг/2,7г]. Поэтому ^.(-5, г] = < < тах^ =

l4sm^7r/4' 4sm Tr/2J

/4' 4 sin тг/2 j

-55е, 0 < а < 1

Böa, 1 < а < 2

23"

Последняя выкладка использует тот факт, что для а е [0, 2) максимум функции (р(а) = 4fin2a по a G [§,7г] достигается на краю интервала. Действительно, внутри рассматриваемого интервала

: ,_а (2 - а) sin f - о cos f (2 - а) tg f - а 1 + tg2 f

^ j 4sin31 ~a 4tg I

Видим, что (//(а) = 0 в рассматриваемом интервале тогда и только тогда, когда (2 — а) tg| — а = 0. Если нарисовать графики функций tg | и | для с € (0,2], то в силу выпуклости tg | на [0,7г) будем иметь в зависимости от с либо одно, либо ни одного пересечения. Так как в окрестности 7г производная функции (р положительна, то возможны только два варианта: либо критическая точка (если она всё же есть) является точкой минимума, либо не доставляет экстремума вообще. И функция ф достигает своего максимума на краю рассматриваемого интервала. Неулучшаемость константы является следствием неулучшаемости соответствующей константы в лемме 1. Теорема б доказана. □

1.4.2 Как известно (теорема 18.2.1 в [8]), в случае абсолютной непрерывности меры с/-/« с непрерывной в точке 0 плотностью р, справедливо асимптотическое соотношение

Ш ~ ЛИ = II АЛ/ - П\\1 = о А(/ - Л = 2пр(0)п-1 + о(п-1) при п оо. (8)

Как очевидное следствие теоремы 6, получаем следующий аналог этого утверждения, уточняющий асимптотическую теорему 4 из [9] и замечание 2 из [38].

Замечание 1. Если мера абсолютно непрерывна с плотностью р 6 Ь00(—7г, ж], то ||А/ — ЛИ < 27г||р||оо(2п-1 + ^г) для любого натурального п.

<5

Действительно, в этом случае <7/-/* (—5,5] = / р(х)с1х < 2(5||р||00 для любого 6 Е (0,7г],

-5

и требуемое неравенство немедленно следует из теоремы 6.

1.4.3 Приведём теперь формулировки аналогичных утверждений для случая непрерывного времени, доказанных впоследствии в работе [6].

Теорема 7 ([б]). Пусть а € [0,2). Тогда:

1. Если спектральная мера сг/_/* имеет степенную особенность в нуле, т.е. если для некоторой положительной константы А для всех 5 > 0 выполняется

неравенство

(Г/Ч.{-6,6] < А6а,

то скорость сходимости эргодических средних Atf — степенная с тем же показателем степени, т.е. для всех £ > О

где В = Л(2тг)« (1 + 2°"2;21+2С);

ш-щ<вга,

+ °е[0,1)

С =

Зв-1 + ^2«"2,а€[1,2).

Е'с./ш скорость сходимости эргодических средних Atf — степенная, т.е. если

для некоторой положительной константы В при всех £ > О выполняется неравенство

Ш-Щ<вга,

то спектральная мера с/-/» имеет степенную особенность в нуле (с тем же показателем степени), т.е. для всех 6 > О

(Г/_/.(-й<*] < А6а, где А = ^В.

Замечание 2. Если мера абсолютно непрерывна с плотностью р € ¿^(М),

то \\Atf - /*\\\ < 4тг(1 + ¿^Иоо*-1 для любого I > О.

1.4.4 Не вызывает удивления тот факт, что константа из утверждения первой части теорем 6 и 7 стремится к бесконечности при стремлении о; к 2, т.к. справедливо, уже коротко упоминавшееся во Введении, следующее ниже замечание о максимальности квадратичной скорости сходимости и случае а = 2.

Замечание 3. В случае а = 2 аналог теоремы 6 и 7 не имеет места, ни с какими константами (см. замечание 2 к теореме 3 в [9] и замечание 2 в [6]), а скорости сходимости с а > 2 при / — /* ф 0 просто не бывает (см., например, следствие 5 в [2] и замечание 3 в [6]).

2 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о корреляциях

2.1 Предварительные замечания

Как уже подробно обсуждалось в предыдущей главе, скорость сходимости в эр-годической теореме фон Неймана полностью определяется поведением меры в окрестности нуля, а так как определение этой меры вводится через корреляционные коэффициенты {&„(/ — /*)}^=0 (для случая дискретного времени) или через корреляционную функцию ЬД/ — /*) (в случае непрерывного времени), то не вызывает удивления факт возможности получения оценок скорости сходимости в зависимости от рассматриваемого типа времени через корреляционные коэффициенты {£>п(/ - Г)}п=о или корреляционную функцию Ьг{/ ~ /*).

Приведём такие оценки для некоторых частных случаев, выписанные А.Г. Качу-ровским в терминах "О" и "о" (см. теорему 6 в [9]) для дискретного времени:

1) Пусть &„(/ - /*) = 0{тГа) при п —> оо. Тогда если а е [0,1), то ||АП/ - р\\% = 0(п~а); если а = 1, то ||ЛП/ — /*\\1 = (эти утверждения верны также при

замене всех "О" на "о"); если а > 1, то с/-/» абсолютна непрерывна с непрерывной плотностью р, и ||Ап} — /* Ц2 = 2ър{$)п~1 + о(п-1) при п —> оо.

2) Если {bn{f - /*)}«„ е 1Р для р G [1, оо], то \\Anf - /*\\* = 0(тГ*) при п оо В упомянутой работе [9] также обсуждалось почему отсутствует критерий степенной скорости сходимости ||Anf — f* ||2 в терминах корреляционных коэффициентов, аналогичный разбиравшемуся в предыдущей главе критерию А.Г. Качуровского, оперирующего поведением меры ав нуле.

Отметим, что в этой главе (как и в работе [9]) для получения оценок \\Anf — /*||2 скорости сходимости в теореме фон Неймана с дискретным временем будет использоваться формула, явно выражающая || Anf — f* Щ через последовательность

(Ы/-/*)КГ= о-

ш - г Iii = Л Е - ifci) w - /')• с»)

|fc|<n

Существует аналогичная по своей роли формула и в случае непрерывного времени:

t

Ш-Г\\1 = ~ J{t-\r\)bT(f-r)dr. -t

Доказательства этих двух формул можно найти, например, в [8] (см. теоремы 18.2.1 и 18.3.1).

2.2 Оценки при достаточно общих предположениях о поведении корреляционных коэффициентов

Следующая ниже теорема даёт либо оценки для \\Anf — f*либо даже тождества, оценивающие или выражающие ||Anf — /*\\1 через всю совокупность {bk(f — /*)}^10 корреляционных коэффициентов при тех или иных предположениях о свойствах этих коэффициентов, уточняя тем самым теорему 6 из [9] и теорему 2 из [38]. Также на пункты 3 и 4 этой теоремы можно смотреть как на уточнения теорем 3из[13]и18.2.1 из [8].

Теорема 8 ([39]). Справедливы следующие утверждения:

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Седалищев, Владимир Викторович, 2011 год

Список литературы

[1] Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

[2] Гапошкин В. Ф. Сходимость рядов, связанных со стационарными последовательностями // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39, № 6. С. 1366-1392.

[3] Гапошкин В. Ф. О зависимости скорости в усиленном законе больших чисел для стационарных процессов от скорости убывания корреляционной функции // ТВП. 1981. Т. 26, № 4. С. 720-733.

[4] Гапошкин В. Ф. О скорости убывания вероятностей е-уклонений средних стационарных процессов // Матем. заметки. 1998. Т. 64, № 3. С. 366-372.

[5] Гапошкин В. Ф. Несколько примеров к задаче об е-уклонениях для стационарных последовательностей // ТВП. 2001. Т. 46, № 2. С. 370-375.

[6] Джулай Н. А., Качуровский А. Г. Константы оценок скорости сходимости в эрго-дической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 5. С. 1039-1052.

[7] Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

[8] Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

[9] Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах // УМН. 1996. Т. 51, № 4. С. 73-124.

[10] Качуровский А. Г. Скорости сходимости в эргодических теоремах: дис. ... докт. физ.-мат. наук: 01.01.01 / ПОМИ РАН. - Санкт-Петербург, 1999.

[11] Качуровский А. Г., Решетенко А. В. О скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана с непрерывным временем // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 4. С. 25-32.

[12] Корнфельд И. П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.

[13] Леонов В.П. О дисперсии временных средних стационарного случайного процесса // ТВП. 1961. Т. 6, № 1. С. 93-101.

[14] Пайс А. Научная деятельность и жизнь А. Эйнштейна. М.: Наука, 1989.

[15] Петров В.В. Об усиленном законе больших чисел для стационарной последовательности // ДАН СССР. 1973. Т. 213, № 1. С. 42-44.

[16] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: ИЛ, 1954.

[17] Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры // Матем. сб. 1949. Т. 25, № 1. С. 107-150.

[18] Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. М.: Фазис, 1996.

[19] Халмош П. Р. Лекции по эргодической теории. М.: ИЛ, 1959.

[20] Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2004.

[21] Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

[22] Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 1-2. М.: Мир, 1985.

[23] Ageev О. N. On spectral invariants in modern ergodic theory // Proc. Intern. Congr. Math. 2006. Madrid: Eur. Math. Soc., 2007. V. 2. P. 1641-1653.

[24] Assani I., Lin M. On the one-sided Hilbert transform // Contemp. Math. 2007. V. 430. P. 21-39.

[25] Birkhoff G. Proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1931. V. 17, N 12. P. 656-660.

[26] Boltzmann L. Über die mechanishen Analogen des zweiten Hauptsatzes der Termodinamic // Journal für die reine und angewandte Mathematic. 1887. Bd. 100. S. 201-212.

[27] Browder F. On the iteration of transformations in noncompact minimal dynamical systems // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9, N 5. P. 773-780.

[28] Haläsz G. Remarks on the remainder in Birkhoff's ergodic theorem // Acta Math. Hung. 1976. V. 28, N 3-4. P. 389-395.

[29] Krengel U. On the Speed of Convergence in the Ergodic Theorem // Monatsh. Math. 1978. V. 86, N 1. P. 3-6.

[30] Krengel U. Ergodic Theorems. Berlin - New York: Walter de Gruyter, 1985.

[31] Moricz F. Moment inequalities and the strong laws of large numbers // Z. Wahrscheinlichkeitstheor. verw. Geb. 1976. B. 35, № 4. S. 299-314.

[32] Neumann, J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1932. V. 18, N 1. P. 70-82.

[33] Neumann, J. von. Physical applications of the ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sei. USA. 1932. V. 18, N 3. P. 263-266.

[34] Plancherei M. Beweis der Unmöglichkeit ergodischer mechanischer Systeme // Annalen der Physik. 1913. Bd. 42. S. 1061-1063.

[35] Rosental A. Beweis der Unmöglichkeit ergodischer Gassysteme // Annalen der Physik. 1913. Bd. 42. S. 796-806.

Работы автора по теме диссертации

[36] Седалищев В. В. О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана // Материалы Междунар. конф. «Совр. проблемы анализа и геометрии 2009». Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2009. С. 102.

[37] Седалищев В. В. Константы оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана // Материалы XLVIII Междунар. науч. студ. конф. «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2010. С. 88.

[38] Качуровский А. Г., Седалищев В. В. О константах оценок скорости сходимости в эргодической теореме фон Неймана // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 5. С. 756763. Англ. пер.: Kachurovskii A.G., Sedalishchev V. V. On the constants in the estimates of the rate of convergence in von Neumann's ergodic theorem // Math. Notes. 2010. V. 87, N 5. P. 720-727.

[39] Качуровский А.Г., Седалищев B.B. Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Матем. сб. 2011. Т. 202, № 8. С. 21-40. Англ. пер.: Kachurovskii A. G., Sedalishchev V. V. Constants in estimates for the rates of convergence in von Neumann's and Birkhoff's ergodic theorems // Sbornik: Mathematics. 2011. V. 202, N 8. P. 1105-1125.

[40] Седалищев B.B. О неравенствах, связывающих между собой скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа // Материалы Междунар. молодёжного научного форума «J1OMOHOCOB-2011» / Отв. ред. А.И. Андреев, A.B. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2011. - 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM); 12 см.

[41] Качуровский А. Г., Седалищев В. В. Неравенства, позволяющие оценивать скорости сходимости в эргодических теоремах // Тезисы докладов Междунар. школы-

конференции по геометрии и анализу. Кемерово, 19-26 июня 2011. [Электронный ресурс] — Кемерово: КемГУ, 2011. Номер гос. per. 0321102235.

[42] Качуровский А. Г., Седалищев В. В. Неравенства, позволяющие оценивать скорости сходимости в эргодических теоремах // Вестник КемГУ. 2011. № 3/1. С. 250254.