Интегрируемые системы, отвечающие многополюсным полям Хиггса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Черняков, Юрий Борисович

• Черняков, Юрий Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Черняков, Юрий Борисович

0 Введение

1 Интегрируемые системы: соединение алгебро-геометрического и теоретико-группового подходов 9*

1.1 Голоморфпые расслоения и системы Хитчина.

1.2 Метод г-матрицы.

1.3 Вырождение модулей кривых и интегрируемые системы

1.3.1 Метод слияния отмеченных точек

1.3.2 Предел Иноземцева.

2 Квадратичные алгебры и эллиптическая система Шлезинджера

2.1 Введение.

2.2 Определение.

2.3 Получение эллиптической системы Шлезинджера.

2.3.1 Векторные расслоения степени один над эллиптическими кривыми

2.3.2 Введение гамильтонианов с помощью деформации комплексной структуры

2.3.3 Эллиптическая система Шлезинджера как симплектическое фактор-пространство

2.3.4 Изомонодромная проблема.

2.4 Классические коммутационные соотношения двухпетлевой группы GL(N, С)

2.4.1 Расслоения степени один над эллиптическими кривыми и двухпетлевая группа.

2.4.2 Пуассонова структура на 7Z.

2.4.3 Пуассонова редукция.

2.5 Структура редуцированного пуассонова пространства.

2.5.1 Квадратичная пуассонова алгебра.

2.5.2 Твистованные расслоения.

2.6 Гамильтонова структура эллиптической системы Шлезинджера.

2.6.1 Бигамильтоновость.

2.6.2 Совместность пуассоновых структур.

2.7 Редукция к Пенлеве VI.

2.8 Квантовая алгебра

2.8.1 Общий случай.

2.8.2 Квадратичная алгебра в случае GL(2, С)

2.8.3 Квантовый детерминант.

3 Интегрируемые системы, полученные методом слияния отмеченных точек

3.1 Рациональная и эллиптическая системы Годена.

3.2 Системы, образующиеся в результате преобразования рациональной системы Годена.;

3.2.1 Случай к точек.

3.2.2 Симплектическая форма.

3.3 Системы, образующиеся в результате преобразования эллиптической системы Годена.

3.3.1 Гамильтонианы системы Годена в случае двух точек.

3.3.2 Гамильтонианы системы, полученной слиянием двух точек.

3.3.3 Симметрии эллиптической системы Годена.

3.3.4 Симметрии системы, полученной слиянием точек.

3.3.5 Матрица оператора Лакса новой системы.

3.4 Классические системы, полученные в результате преобразований модифицированного оператора Лакса эллиптической системы Шлезинджера.

3.4.1 Эллиптическая система Шлезинджера в случае двух отмеченных точек и N =

3.4.2 Система, полученная слиянием двух отмеченных точек.

3.4.3 Градуировка и системы, полученные слиянием 3-х отмеченных точек

4 Интегрируемые системы, полученные с использованием предела Иноземцева

4.1 Предел Иноземцева системы, полученной слиянием точек из эллиптической системы Годена

4.2 Системы многих частиц, полученные используя предел Иноземцева.

4.2.1 Введение.

4.2.2 Эллиптическая модель Годена и si(N, С) случай эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.3 sl(3, С) случай эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.4 Вырождения эллиптических функций.

4.2.5 Пределы гамильтонианов в sl(3, С) случае эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.6 Пределы скобок в sl(3, С) случае.

4.2.7 sl(JV, С) случай.

4.2.8 Классификация пределов в sl(3, С) случае эллиптической модели Эйлера-Калоджеро-Мозера

4.2.9 Пределы в sl(2, С) случае эллиптической модели Годена с двумя отмеченными точками на эллиптической кривой.

4.2.10 Пределы матриц Лакса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые системы, отвечающие многополюсным полям Хиггса»

Настоящая диссертация посвящена получению и исследованию новых интегрируемых систем на пространстве параметров, определяющих римановы поверхности. Также обнаружены и исследуются новые свойства уже известных интегрируемых систем.

Исследование интегрируемых систем можно разделить на два периода. К первому периоду относятся работы таких великих математиков как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С.Пуассон, К.Якоби, У.Гамильтон, Ж.Лиувилль, Г.Дарбу. В конце XIX - начале XX вв. были исследованы многие интересные примеры. Важнейшие работы были сделаны С.Ковалевской, Н.Жуковским, П.Пенлеве, Л.Шлезинджером и др. Были изучены многие системы, представляющие собой гамильтоновы системы с конечным числом степеней свободы, обладающие достаточно большим числом сохраняющихся величин - интегралов движения. Заметим, что именно из изучения интегрируемых систем возникла теория групп Ли. Но после работ Пуанкаре стало понятно, что глобальные интегралы движения существуют лишь в исключительных случаях. Это явилось причиной уменьшения интереса к такого рода системам.

Второй период в исследовании интегрируемых систем начался уже во второй половине XX века со знаменитой работы К.Гарднера, Дж.Грина, М.Крускала и Р.Миуры [17], где была предложена нелинейная замена переменных в уравнении Кортвега-де Фриза (КдФ), после которой это уравнение становится линейным и решается в явном виде. Замена основана на формализме прямой и обратной задач рассеяния для одномерного уравнения Шре-дингера. Далее, в работе П.Лакса [31] было обнаружено, что уравнение КдФ возникает как условие совместности линейных дифференциальных уравнений. В этой же работе были введены понятие L — А пары (пары Лакса) и уравнение Лакса, для которого следы степеней матрицы Лакса L являются интегралами движения. В.Захаровым и А.Шабатом [61] было показано, что понятие L—А пары свойственно не только уравнению КдФ, но также и нелинейному уравнению Шредингера. Стало понятно, что этот метод, возможно, применим к широкому классу уравнений. Тогда же В.Захаров и Л.Фаддеев в работе [60] показали, что КдФ является бесконечномерной гамильтоновой системой.

В последовавших за этим работах И.Кричевера и С.Новикова ([25], [27]) были введены уравнения Лакса, содержащие спектральный параметр - локальную координату на римано-вой поверхности. В этом случае необходимые для интегрирования сохраняющиеся величины возникают как коэффициенты в разложении по подходящему базису на римановой поверхности следов степеней матрицы Лакса. Появилась возможность рассматривать матрицу Лакса как мероморфную функцию на римановой поверхности.

Наряду с алгебро-геометрическими методами развивались также и теоретико-групповые. Так, в работах М.Олыпанецкого и А.Переломова [44] были развиты метод проектирования и метод редукции, основанный на отображении момента, обобщающем теорему Нетер. Было выполнено явное интегрирование для систем Калоджеро, Сазерленда, непериодических цепочек Тоды. Важным этапом стало появление метода r-матрицы в работах Е.Склянина, Л.Тахтаджяна и Л.Фадцеева ([53],[49],[55]) - удобного способа описания гамильтоновой структуры. Его возникновение связано с квантовым методом обратной задачи рассеяния, классический вариант метода r-матрицы был развит позже. В рамках формализма г-матрицы находится работа Склянина [51], в которой вводится квадратичная алгебра скобок Пуассона (алгебра Склянина) между переменными, образующими фазовое пространство решеточной модели Ландау-Лифшица ([54],[15]).

Новые возможности в исследовании интегрируемых систем открыла работа Хитчина [20]. Известно, что из уравнений самодуальности, мнимизирующих действие четырехмерной евклидовой системы Янга-Миллса, следует инстантонное решение. Если же провести размерную редукцию евклидовой системы Янга-Миллса, предположив зависимость компонент калибровочного поля только от двух пространственных измерений, тогда две компоненты калибровочного поля станут скалярными полями, принимающими значения в присоединенном представлении. В этом случае после комплексификации уравнения самодуальности приводят к системам Хитчина - интегрируемым системам на кокасательном расслоении к пространству модулей голоморфных связностей - калибровочных полей. Это и было показано в работе Хитчина [20]. Наличие достаточного количества коммутирующих интегралов движения имеет алгебро-геометрическую природу и выражается с помощью теоремы Римана-Роха, используя двойственность Серра. В работах А.Горского и Н.Некрасова ([19],[41]) были построены системы, обобщающие эту конструкцию.

В русле работы Хитчина находится работа А.Левина и М.Ольшанецкого [32], в которой совмещаются подход Шлезинджера к решению проблемы Римана ([50]) и редукция свободной неавтономной гамильтоновой системы. Примерами полученных таким образом систем являются системы Шлезинджера, Пенлеве VI и их обобщения, а в общем случае эти системы определяют иерархии изомонодромных деформаций в соответствии с изменениями модулей кривых.

В чем ценность такого подхода? Дело в том, что рассматривая алгебро-геометрическую конструкцию как источник построения интегрируемых систем, можно, меняя параметры расслоения, получать разные системы ([19],[41],[32]), а также устанавливать связь между различными системами. Так, в работе А.Зотова, А.Левина и М.Ольшанецкого [33] была установлена связь между эллиптической системой Калоджеро-Мозера и эллиптическим волчком Эйлера-Арнольда с помощью процедуры модификации, меняющей степень расслоения. Эти системы соответствуют расслоениям степени ноль и степени один.

Теория интегрируемых систем находит примените в большом числе разделов физики: теории струн [40], суперсимметричных калибровочных теориях [18], матричных моделях [38], топологических теориях поля [9], квантовом эффекте Холла, теориях Ландау-Гинзбурга. Отметим, что такая интегрируемая модель как решеточная модель Ландау-Лифшица, связанная с алгебрами Склянина, является универсальной для систем с двумерным фазовым пространством. Раличпыми предельными переходами из нее можно получить систему синус-Гордон, систему непрерывного изотропного магнетика Гейзенберга, систему непрерывного анизотропного магнетика и нелинейное уравнение Шредингера.

Результаты настоящей работы продолжают развивать соединение алгебро-геометрического и теоретико-группового подходов. В ней рассматриваются системы, ассоциированые с модулями кривых. В этом контексте возможна следующая общая постановка вопроса; как, меняя модули кривых, вырождая их, деформируя, добавляя новые модули, можно получать новые интегрируемые системы. Изучение этих вопросов и составляет

Содержание диссертации

Введение содержит обзор литературы и обосновывает важность изучаемых задач.

В Главе 1 содержится предварительный материал. Описываются системы Хитчина, метод г- матрицы, а также методы получения новых систем: процедура слияния отмечешшх точек и предел Иноземцева.

В Главе 2 , следуя работам [8] и [34], описывается способ построения эллиптичекой системы Шлезинджера, используя методы Главы 1. Эта система была введена Такасаки [56].

Его подход базировался на квазиклассическом пределе SU(N) версии XYZ модели Годена. В главе 2 Эллиптическая система Шлезинджера получена с помощью симплектической редукции пространства связностей главпого расслоения степени один над эллиптической кривой с п отмеченными точками. Оператор Лакса имеет следующий вид:

L(w) = -jjEl(w)To + Y/ £ Sfa(w-Xj)Ц, где отмеченным точкам дивизора Dn сопоставлены п копий si(N, С)-значных элементов S. Эллиптическая система Шлезинджера возникает как условие сохранения представления монодромии при изменении комплексной структуры (пространства модулей) - модулярного параметра т и положений отмеченных точек, соответствующих временам.

Выполнив пуассонову редукцию аффинного пространства над кокасательным расслоением к группам автоморфизмов векторных расслоений ранга N степени один над эллиптической кривой с п отмеченными точками, получен модифицированный оператор Лакса для ЭСШ:

Lgroup(z) = S0T0 + J2 [sfaiz -Xj)T0 + £Sifa{z -Xj)J Ta, (0.1) где отмеченным точкам дивизора Dn сопоставлены п копий GL(JV, С)-значных элементов ае t

2) w и добавлена переменная So G С. Также получена редуцированная пуассонова структура, используя перестановочные соотношения с эллиптической si(N, С) г-матрицей Белавина-Дринфельда [4]:

ЬвгоиЦг), L9roup(w)} = [r(z - w), Laroup{z) ® L9roup(w)] (0.2) для модифицированного оператор Лакса. Полученные квадратичные пуассоновы алгебры на прямом произведении п копий GL (N, С) с нетривиальным смешиванием компонент определяют симметрии эллиптических обобщений систем Шлезинджера и Годена. Также явно получены квантовые версии квадратичных алгебр, соответствующие вертексным эллиптическим матрицам [58]. Алгебры параметризуются модулями пространства комплексных структур эллиптических кривых с п отмеченными точками и в квантовом случае - постоянной Планка, живущей на кривой. Случай N = 2 и п = 1 соответствует алгебре Склянина [51], а случай п = 1 при N > 2 соответствует конечнопорожденным алгебрам Одесского-Фейгина [14].

Показано, что эллиптическая система Шлезинджера является бигамильтоновой системой в соответствии с линейными и полученными квадратичными скобками Пуассона. Также доказана совместность этих двух структур.

Оказывается, что в случае четырех точек для специально выбранных начальных данных эллиптическая система Шлезинджера редуцируется к уравнению Пенлеве VI в форме уравнения гиростата Вольтерра-Жуковского.

В Главе 3 , используя процедуру слияния отмеченных точек, описанную в Главе 1, получены новые интегрируемые системы с полюсами порядка выше первого в матрице оператора Лакса ([7],[б]). Полученные системы интегрируемы по построению.

Так, в случае слияния г отмеченных точек из рассматриваемых п точек рациональной системы Годена оператор Лакса полученной системы имеет следующий вид:

Р^ Р^ Р^ л J)^

Lnew — 7-п: + — + т-г, + т-г + > -г. (0.3) z-xa)k (z-xaf {z-xa) ^b{z-xc)

Переменным pk соответствуют верхнетреугольные матрицы, образующие параболическую алгебру изоморфную алгебре многочленов от е-1 с коэффициентами рк. Описаны явно коммутационные соотношения между элементами рк, гамильтонианы и симплектическая форма.

В эллиптическом случае матрица Лакса при слиянии к точек имеет вид: диагональная часть

Lu = v* + (р1)" • E2(z - ха) +. + (рк)и ■ - ха), (0.4) недиагональная часть

Lij = (p°)ij • <р{и", z-xa) +. + (pk)ij ■ z-xa). (0.5)

Коммутационные соотношения между элементами рк совпадают с коммутационными соотношениями в рациональном случае. Гамильтонианы в случае двух точек, выраженные через переменные инвариантные относительно фиксации калибровки, получены явно. Описаны симметрии системы.

Зафиксировав времена эллиптической системы Шлезинджера, путем слияния отмеченных точек получены интегрируемые системы, операторы Лакса которых имеют полюса порядка выше первого ([6]). Например, для случая п = 2 оператор Лакса имеет следующий вид:

Lfusion(z) = {So + SlE2{z)) + (ЗЫ*) + Slf'aiz)) (0-6) a где S - переменные фазового пространства новой системы. Получены явно гамильтонианы и уравнения движения, обобщающие уравнения движения для волчка Эйлера-Арнольда. Квадратичная пуассонова алгебра переменных фазового пространства обобщает алгебру Склянина и имеет градуированную структуру. В отличие от градуированной структуры в линейном случае, относящемся к рациональной и эллиптической системам Годена, градуированная структура квадратичной пуассоновой алгебры имеет ряд особенностей: сама операция взятия скобки Пуассона приобретает градуировку, структурные константы тоже имеют градуировку и выражаются через произведения эллиптических функций одинаковой градуировки. Эти различия обусловлены тем, что в линейном случае скобка Пуассона рассматривается на алгебре, а в квадратичном случае - на группе.

В Главе 4 показано, следуя работе [59], что предел Иноземцева, описанный в Главе 2, примененный к эллиптической sl(N, С) модели Эйлера-Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена, приводит к новым системам N взаимодействующих частиц с дополнительными степенями свободы, которые соответствуют орбитам коприсоединенного действия в sl(n, С), другими словами, предел приводит к спиновой Тоде. Пределы соответствующие полному вырождению орбитных степеней свободы (спинов) воспроизводят только уже известные периодические и открытые системы Тоды. В Главе 4 дана классификация систем, возникающих в пределе Иноземцева для случая sl(3, С). Эта классификация представлена на двумерной плоскости параметров, задающих бесконечные сдвиги координат частиц.

Пространство разбивается на симметричные области. Смесь потенциалов системы Тоды и системы тригонометрического Калоджеро-Сазерленда появляется в этой картинке на стенках меньших размерпостей. Вследствие очевидных симметрии, классификация может быть обобщена на случай произвольного числа частиц. Предел Иноземцева применяется также к sl(2, С) эллиптической модели Годена с двумя отмеченными точками на эллиптической кривой, и обсуждаются основные черты возможных в этом случае пределов. Рассматриваются также пределы операторов Лакса.

Также, применяя предел Иноземцева к полученной в Главе 3 системе в эллиптическом случае, найдена система типа Тоды с нетривиальными коммутационными соотношениями между перемеппыми фазового пространства ([7]). Явно описаны гамильтонианы.

В заключении обсуждаются полученные результаты и рассматриваются нерешенные проблемы.

Благодарности Я выражаю благодарность соавторам по совместным работам А.Зотову, А.Левину, М.Олыпапецкому, а также искреннюю признательность за ценные советы и полезные обсуждения А.Александрову, Э.Ахмедову, Д.Васильеву, И.Горделию, А.Городенцеву, А.Горскому, А.Герасимову, А.Дымарскому, А.Забродину, С.Клевцову, И.Кричеверу, С.Локтеву, А.Лосеву, М.Козлову, М.Конюшихину, Д.Малышеву, А.Маршакову, А.Миронову, Т.Мироновой, Г.Нозадзе, С.Облезину, В.Побережному, И.Полюбину, А.Рослому, В.Рубцову, К.Сарайкину, К.Селиванову, А.Стояновскому, Т.Султапову, Л.Чехову, С.Харчеву, С.Хорошкину и Г.Шарыгину.

Я многим обязан своему научному руководителю М.А.Олыпанецкому, который терпеливо, с большим вниманием помогал мне осваивать область интегрируемых систем. Я искренне признателен ему за предложенные задачи и поддержку в процессе моей научной работы.

Я хочу выразить особую благодарность А.М.Левину и А.Ю.Морозову за поддержку и разъяснение многих научных вопросов.

Также я благодарен В.Долотину, А.Зотову, Д.Талалаеву и А.Червову за плодотворные паучные дискуссии.

Я благодарю Е.С.Суслову за неоценимую поддержку и помощь, оказываемую в течение всей моей работы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Черняков, Юрий Борисович

5 Заключение

В качестве итога приведем основные результаты:

• В результате использования симплектической редукции, получена эллиптическая система Шлезинджера. Выполнив пуассонову редукцию, получен модифицированный оператор Лакса для эллиптической системы Шлезинджера, а также редуцированная пуассонова структура - квадратичные пуассоновы алгебры с нетривиальным смешиванием компонент. Также получены квантовые версии квадратичных алгебр.

• Показано, что эллиптическая система Шлезинджера является бигамильтоновой системой в соответствии с линейными и полученными квадратичными скобками Пуассона, доказана совместность этих двух структур.

• Показано, что в случае четырех точек для специально выбранных начальных данных эллиптическая система Шлезинджера редуцируется к уравнению Пенлеве VI в форме уравнения гиростата Вольтерра-Жуковского.

• В результате использования процедуры слияния отмеченных точек получены новые интегрируемые системы с полюсами порядка выше первого в матрице оператора Лакса из рациональной и эллиптической систем Годена. Алгебра переменных фазового пространства, заданная линейными скобками Пуассона, имеет градуированную структуру.

• Фиксировав времена эллиптической системы Шлезинджера, путем слияния отмеченных точек получены интегрируемые системы, операторы Лакса которых имеют полюса порядка выше первого. Квадратичная пуассонова алгебра переменных фазового пространства обобщает алгебру Склянина и имеет градуированную структуру.

• Показано, что предел Иноземцева, примененный к эллиптической sl(N, С) модели Эйлера-Калоджеро-Мозера и эллиптической модели Годена, приводит к спиновой Тоде. Дана классификация систем, возникающих в пределе Иноземцева для случая sl(3, С).

• Путем применения предела Иноземцева к системе, полученной слиянием отмеченных точек в эллиптическом случае, найдена система типа Тоды с нетривиальными коммутационными соотношениями между переменными фазового пространства.

Результаты диссертации могут быть использованы для различных задач из области интегрируемых систем. В частности, так как фазовое пространство эллиптической системы Шлезинджера и системы, полученной из эллиптической системы Шлезинджера путем слияния отмеченных точек, обобщает фазовое пространство решеточной модели Ландау-Лифшица, было бы интересно получить обобщение этой модели, а после взятия предела получить обобщение уравнения Ландау-Лифшица.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Черняков, Юрий Борисович, 2007 год

1. M.Atiyah and R.Bott, The Yang-Mills equations over Riemann surfaces, Phil. Trans.R.Soc.Lond., A 306 (1982), 523-615

2. E.Billey, J.Avan, O.Babelon, Exact Yangian Symmetry in the classical Euler-CaJogero-Moser Model, hep-th/9401117

3. А.Белавин, Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем, Функ.анализ и приложения, 14 (1980), 18-26

4. А.Белавин, В.Дринфельд, Солитоны классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли , Функ.анализ и приложены, 16 (1982), 1-29

5. H.Braden, V.Dolgushev, M.Olshanetsky, A.Zotov, Classical r-matrices and the Feigin-Odesskii algebra via Hamiltonian and Poisson reductions, J.Phys. A, 36 (2003), 6979-7000

6. Yu.Chernyakov, Inegrable systems associated with generalized Sklyanin algebras, preprint ITEP 11-07 (2007), pp.19

7. Ю.Черняков, Интегрируемые системы, полученные слиянием точек из рациональной и эллиптической систем Годена, ТМФ, 141 (2004), 38-59

8. Yu.Chernyakov, A.Levin, M.Olshanetsky, A.Zotov, Elliptic Schlesinger system and Painlev£ VI, Journ.Physics A, 39 (2006), 12083-120102, nlin.SI/0602043

9. V.Dubrovin, Integrable systems and classification of 2-dimensional topological field theories, hep-th/9209040

10. E.D'Hoker, D.H.Phong, Calogero-Moser and Toda systems for twisted and untwisted affine Lie algebras, hep-th/9804125; E.D'Hoker, D.H.Phong, Lectures on supersymmetric Yang-Mills theory and integrable systems, hep-th/9912271

11. R.Donagi, E.Markman, Spectral curves, algebraically copletely integrable Hamiltonian systems and moduli of bundles, 1993 CIME lecture notes, alg-geom/9507017

12. R.Donagi, E.Witten, Supersymmetric Yang-Mills and integrable systems, Nucl.Phys., В 460 (1996), 288-334, hep-th/9510101

13. B.Enriquez, V.Rubtsov, Hitchin systems, higher Guadin operators and r-matrices, Math.Re3.Lett., 3 (1996), 343-357, hep-th/9503010

14. Б.Фейгин, А.Одесский, Эллиптические алгебры Склянина Функ.анализ и приложения, 23 (1989), 207-214

15. Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солитонов, М, Наука, 1986.

16. M.Gaudin, J.Phys. (Paris), 37 (1976), 1087

17. C.S.Gardner, J.M.Greene, M.D.KruskaJ, R.M.Miura, Method for solving the Kortveg-de Vries equation, Phys.Rev.Lett., (1967) 19, p.1095-1097

18. A.Gorsky, I.Krichever, A.Marshakov, A.Mironov, A.Morozov, Integrability and exact Seiberg-Witten solution, Phys.Lett., В 355 (1995), 466-474

19. A.Gorsky, N.Nekrasov, Elliptic Calogero-Mozer system from two dimensional current algebra, hep-th/9401021

20. N.Hitchin, Stable bundles and integrable systems, Duke Math.J., V.54 (1987), p.91

21. B.Khesin, A.Levin, M.Olshanetsky, Bihamiltonian structures and quadratic algebras in hydrodynamics and on non-commutative torus, Comm.Math.Phys., 250 (2004), 581-612

22. V.Inozemtsev, The Finite Toda Lattices, Commun.Math.Phys., 121 (1989), 629-638.

23. E.Inonu, E.Wigner, On contraction of groups and their representations, Proc.Nat.Acad.Sci, 39 (1953), 510-524

24. M.Jimbo, T.Miwa and K.Ueno, Monodromy preserving deformations of linear ordinary differential equations, Physica D 2D (1981), 306-352, 407-448

25. И.Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии, Функц. анализ и его прилож., 11 (1977), 15-31

26. A.Kitaev, D.Korotkin, On solutions of the Schlesinger equations in terms of 6-functions. Internal Math. Res. Notices (1998), 877-905

27. И.Кричевер, С.Новиков, Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения, УМН, 35 (1980), 47-68

28. I.Krichever, The tau-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories, Comm.Pure and AppLMath., XLVII (1994), 437-475.

29. D.Korotkin, J.A.H.Samtleben, On the quantization of isomonodromic deformations on the torus, Int.J.Mod.Phys. A12 (1997), 2013-2030, hep-th/9511087

30. S.P.Khastgir, R.Sasaki and K.Takasaki, Calogero-Moser Models IV: Limits to Toda theory, hep-th/9907102

31. P.D. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Appl. Math., 21 (1968), 467-490

32. A.Levin, M.Olshanetsky, Hierarchies of isomonodromic deformations and Hitchin systems, Amer.Math.Soc.flransl.Ser.2,191, (1999), 223-262; hep-th/9709207

33. A.Levin, M.Olshanetsky, A.Zotov, Painleve VI, Rigid Tops and Reflection Equation, Comm.Math.Phys., 268 (2006), 67-103, math.QA/0508058

34. А.Зотов, А.Левин, М.Олыпанецкий, Ю.Черняков, Квадратичные алгебры, связанные с эллиптическими кривыми, ТМФ, в печати; preprint arXiv-0710.1072vl nlin.SI]

35. E.Markman, Spectral curves and integrable systems, Comp.Math, 93 (1994), 255-290.

36. Yu.Manin, Sixth Painleve' equation, universal elliptic curve, and mirror of P2. Geometry of differential equations, Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2,186, Amer. Math. Soc., Providence, RI(1998), 131-151

37. F.Magri, A simple model for the integrable Hamiltonian equation, J.Mat.Phys., 19 (1978), 1156-1162.

38. А.Ю.Морозов, Интегрируемость и матричные модели УФН, 164 (1994), 3-62.

39. F.Musso, M.Petrera, O.Ragnisco, J.Nonlinear Math. Phys., 12 suppl. (2005), 482-498

40. А.Ю.Морозов, Теория струн что это такое?, Sov.Phys.Uspekhi, 162 (1992), 84.

41. N.Nekrasov, Holomorphic bundles and many-body systems, Comm.Math.Phys., 180 (1996), 587-604

42. M.A.Olshanetsky, Generalized Hitchin systems and Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard equation on elliptic curves, hep-th/9510143

43. K.Okamoto, Isomonodromic deformation and the Ралйеуё equations and the Gamier system, J.Fac.Sci. Univ.Tokyo, Sect IA, Math. 33 (1986), 575-618

44. M.Olshanetsky, A.Perelomov, Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebra, Phys. Rep., 71C (1981), 313-400

45. Р.Раш1еуё, Sur les Equations diflferentielles du second odre & points critics fixes, Comptes Rendus de I'Academie des Sciences de Paris, 143 (1906), 1111-1117

46. A.M. Переломов, Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М., Наука, 1990

47. S.Ramanan, The moduli spaces of vector bundles over an algebraic curve, Math. Ann, 200 (1973), 69-84

48. A.Reyman, A.G.M.Semenov-Tyan-Shansky, Group-Theoretical Methods in the Theory of Finite-Dimensional Integrable Systems, in Encyclopedia of Mathematical Science, 16 Springer (1991), 116-225

49. Е.Склянин, Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное уравнение Шре-дингера, ДАН СССР, 244 (1979), 1337-1341

50. L.Schlesinger, Uber eine Klasse von Differentialsystemen beliebeger Ordnung mit fersten kritischen Punkten, J. Reine Angew. Math., 141 (1912), 96-145

51. Е.Склянин, Некоторые алгебраические структуры, связанные с уравнением Янга-Бакстера, Функ.анализ и приложения, 16 (1982), 27-34

52. E.Sklyanin, T.Takebe, Algebraic Bethe ansatz for the XYZ Gaudin model. Phys. Lett. A, 219 (1996), no. 3-4

53. Е.Склянин, Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи I, Теор. и мат. физика, 40 (1979) 2, 194-220

54. А.Рейман, М.Семенов-тян-Шанский, Интегрируемые системы, Москва-Ижевск, 2003

55. Л.Тахтаджян, Л.Фаддеев, Квантовый метод обратной задачи и XYZ модель Гейзен-берга, УМН, 34 (1979), 13-63

56. K.Takasaki, Gaudin Model, KZ Equation, and Isomonodromic Deformation on Torus, Lett.Math.Phys., 44 (1998) 143-156; hep-th/9711058

57. A.Zotov, Elliptic Linear Problem for Calogero-Inozemtsev Model and Painlev6 VI Equation, Lett.Math.Phys., 67 (2004) 153-165

58. А.Белавин, Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем, Функ.анализ и приложения, 14 (1980), 18-26

59. А.Зотов, Ю.Черняков, Интегрируемые многочастичные системы, полученные с использованием Предела Иноземцева, ТМФ, 129 (2001), 258-277

60. В.Захаров и Л.Фаддеев, Уравнение Кортвега-де-Фриса вполне интегрируемая га-мильтонова система, Функц. анализ и его прилож., 5 (1971), 18-27

61. В.Захаров, А.Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах, ЖЭТФ, 61 (1971), 118-134