Об исчезающей вязкости в трехмерных краевых задачах динамики несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Алексеенко, Сергей Николаевич

• Алексеенко, Сергей Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 1994

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Алексеенко, Сергей Николаевич

BBpHMBIE

Г.оЛВА I. Предельный переход по вязкости в однородной краевом задаче для линеаризованной системы уравнении Павье-Стокса

§1 Линеаризованная система уравнений Кавье-Стокса с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной трёхмерной области

§2.Вывод основной априорной оценки

§3 .Лродольпьщ переход в задаче с оператором первого порядка, характеристики которого не выходят из заданной области ":

§4.Пространство функций, имеющих квадратично суммируемую полную производную

5 Л'Соррсктиая постановка вырожденной задачи и формулировка результатов в случае, когда характеристики оператора первого порядка не выходят из заданной трехмерном области

§6.Краевая задача для системы Навье-Стокса в нещ1ли!1дрической области

§7.Вывод априорной оценки для полной производной функции скорости

§8. Предельный переход и формулировка основных результатов для краевой задачи в области тока по заданному вектору

ГЛАВА II. Пространство (оупшгий, квазипормировапное относительно протекающего солепоядального поля

§1.Допустимость области '

§2.Определения и основные свойства пространств функций, квазннормнрованных относительно протекающего соленой-далъного поля

§3 .Доказательство полноты введённых квазикормированных пространств

§4.Доказательство существования аппроксимирующих последовательностей для элементов введённых квазинормированных пространств

ГЛАВА III. Об исчезающей вязкости в линеаризованной задаче протекания несжимаемой жидкости

§1.Линеаризованная задача протекания несжимаемой жидкости

§2.Априорные оценки

§3.Предельный переход по вязкости в пространстве, определяемом как замыкание линеала гладких функций по квазинорме

§4.Предельный переход по вязкости в допустимой области, когда выделенные части границы при пересечении образуют криволинейные двугранные углы *: j^g

ГЛАВА 1У. Существование и асимптотика по вязкости слабых решений системы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдой части границы

§1.Слабое решение системы Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль части границы

§2.Асимптотическое представление слабого решения системы уравнений Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания, заданного на всей границе

§3.Слабое решение задачи протекания для системы Навье--Стокса в цилиндрической области с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок

§4.Асимптотическое представление слабого решения задачи протекания для системы Навье-Стокса в цилиндрической области

§5.Оценка остаточного члена

ГЛАБА У. Существование слабых решений задачи протекания и их асимптотическое представление в областях, имеющих у выхода форму сопла и раструба

§1.Определение слабого решения задачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок

§2.Построение финитного соленоидального продолжения с границы, имеющей двугранные углы

§3.Теорема существования слабого решения

§4.Асимптотическое представление слабого решения в области с соплом '

Оценка остаточного члена '

§6.Асимптотическое представление слабого решения в области с раструбом -.

§7.Оценка остаточного члена

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Об исчезающей вязкости в трехмерных краевых задачах динамики несжимаемой жидкости»

Математические проблемы, возникающие при изучении движения вязкой несжимаемой жидкости, имеют актуальное значение как в теоретическом плане, так и при исследовании конкретных моделей, используемых в механике, физике и других естественных науках для описания реальных процессов. В настоящее время гидродинамика представляет собой обширную и стремительно развивающуюся отрасль знаний, в которой находят своё применение многие разделы математики. Вместе с тем, гидродинамика постоянно служит источником оригинальных задач, несущих в себе новые математические идеи и открывающих перспективы дальнейших путей развития математики. В качестве подтверждающих примеров можно указать обзоры [54] , [72] и монографию [32] , близкие по тематике к данной работе.

Однако, имея в качестве исходного материала одни и те же модели, математика и гидродинамика сильно разнятся в методах и целях исследования. Так, подавляющее число математических моделей в гидродинамике представляют собой системы дифференци альных уравнений в частных производных с разного рода дополни тельными условиями. И если специалистов в области механики жидкости и газа интересуют, в основном, конкретный вид и конкретные свойства функций, удовлетворяющих исходной системе то математики обращаются к ним с позиций развития общих методов исследования таких систем.

Особенно ярко это различие проявляется в подходах к решению систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера, наиболее часто используемых для описания гидродинамических процессов. В основной массе работ по гидродинамике, берущих за основу, системы уравнений Навье-Стокса и Эйлера, стремятся исходя из конкретных данных максимально упростить исходную систему, чтобы затем можно было в какой-либо форме описать искомое решение. При этом специалисты в области гидродинамики с той или иной мере опираются, или должны опираться, на известные общие свойства решений систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера как и на способы нахождения таких решений.

Естественно, разработка общих методов исследования относится к области математики. Можно с полной уверенностью сказать, что хотя для систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера уже изучены многие аспекты теории, но запросы механики намного опережают сегодняшние возможности математики. Причём, как отмечено в [129] , хотя физическая модель, приводящая к урав нениям Навье-Стокса является наиболее простой из всех, описывающих движение жидкости с учётом диссипации, математическое изучение этих уравнений очень непросто и требует всей мощи современного функционального анализа.

Поэтому, наверное, в таком большом количестве работ по гидродинамике единственный способ исследования заключается в эмпирическом упрощении исходной задачи с последующим поиском приближённых решений. Безусловно, как можно убедиться по известной монографии [33] , таким способом были решены многие важные задачи и получены очень интересные результаты, но эти результаты нельзя поставить в заслугу математике.

Тем не менее, с позиций современной теории дифференциальных уравнений в частных производных уже изучены многие вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Определяющие аспекты математической теории движения вязкой несжимаемой жидкости изложены в монографии О.А.Ладыженской [40] . Ей, её коллегам и ученикам В.А.Солонникову, К.К.Головкину и другим принадлежат основополагающие результаты в исследовании уравнений

Навье-Стокса.

Разумеется, свой вклад в развитие теории уравнений Навье--Стокса и Эйлера внесли многие специалисты как в нашей стране, так и за рубежом. Но поскольку в цитированной монографии [ЦО] содержится достаточно обширный список литературы по данному вопросу, а также раскрыта роль классиков этого направления, то укажем лишь на работы, не вошедшие в список литературы к [Ц01 К числу монографий, не вошедших в [40] из-за более позднего выхода в свет, относятся [Z} 41, 88, 4 2,9].

В то же время, обращение к системам уравнений Навье-Стокса и Эйлера, опробывание на этих системах разрабатываемых методов, содержится у многих других авторов, например, [49 ~ Z3,

43. 45-49, 5Z-53, 52, 63-64, 81-83,. 95, Ю 3, 105, 1111,

Ещё большее различие в подходах между специалистами в области гидродинамики и математики обнаруживается в исследовании явления пограничного слоя, малой или исчезающей вязкости.

Теория пограничного слоя занимает во многих отношениях ведущее положение в механике жидкости и газа. Изучению разнообразных течений, при которых возникает явление пограничного слоя, посвящено огромное количество работ, как можно судить по обзорам 72,] или монографиям [51, 9 71.

Специалистами в области гидродинамики описано большое количество пограничных слоёв, при этом широко используется понятие уравнения пограничного слоя.

В математике тоже существует обширная теория, использующая термины "пограничный слой","уравнение пограничного слоя" и т.п. Её признание в качестве самостоятельной математической теории произошло около 1950 года после выхода в свет работ А.Н.Тихонова [89-91] И.С.Градштейна [16 - 48] и других авторов, начавших рассматривать в качестве самостоятельного объекта исследования дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных. В последующие годы эта теория получила широкое развитие в трудах советских и зарубежных специалистов. Свидетельством тому являются обзорные статьи и монографии LS-Wy Z5-27, 53, 9Zy 1,

Наибольший интерес и развитие в последние годы получило исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений в частных производных с малыми параметрами при старших производных, что тоже сводится, в конечном счёте, к пограничным слоям и уравнениям пограничных слоёв. Яркие результаты в этой области принадлежат многим известным математикам [7t iO,

34-35, 5Z, 5ву 65- 67, £8-69, ?7,&0>№iM5) 424].

Но если рассмотреть пограничные слои и уравнения погранич ных слоёв, используемые в гидродинамике для описания реальных явлений в вязкой несжимаемой жидкости, то с математической точ ки зрения в подавляющем большинстве случаев они не будут погра ничными слоями или уравнениями пограничных слоёв дяя системы уравнений Навье-Стокса. Как отмечено в [5 4] единственным видом пограничной функции в математическом смысле этого слова, извлекаемой из системы уравнений Навье-Стокса, является линейная. Для логарифмического погранслоя уже, по-существу, используется нелинейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации.

Тем более, существуют частные примеры, когда при стремлении вязкости к нулю в пределе не получается движение идеальной жидкости. Ссылки на соответствующую литературу и обзор других "расхождений" между гидродинамикой и математикой содержится в

151.

Во многих случаях уравнения пограничных слоёв, используемых в механике жидкости и газа, представляют собой просто модификации систем уравнений Навье-Стокса и Эйлера в тонком слое. Широкий спектр таких задач представлен в f

Конечно, такой подход оправдан во многих конкретных ситуациях, если теоретические результаты удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными. Но все-таки задачей математики является дедуктивное исследование системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.

В первую очередь это нужно для того, чтобы специалисты в области гидродинамики точно знали, какие свойства решений следуют из исходной модели, если в качестве такой модели принята начально-краевая задача для системы уравнений Навье--Стокса. И если эти свойства не согласуются с реальными процессами, то надо вносить изменения в исходную модель, а не "подправлять" процесс дедуктивного вывода эмпирическими соображениями, как это зачастую делается (например £ 1£3J).

В данной работе с теоретических позиций рассматривается вопрос о поведении решений системы уравнений Навье-Стокса при стремлении параметра, характеризующего вязкость, к нулю.

Первый результат общего характера, абстрагированный от физических задач, принадлежит по этому вопросу О.А.Ладыженской, указавшей на возможность предельного перехода по вязкости в двумерной задаче Коши ( [36] ). В последующем разными авторами с помощью разных подходов £13, 93Л О - lit Jl?~ -118 12.5"^ 12.6 ] доказано, что когда для системы уравнений Навье-Стокса задаётся только начальное условие, а под областью определения решения понимается всё пространство (двух и большего числа измерений), то решения системы уравнений Навье-Стокса сходятся к решению соответствующей начальной задачи для системы уравнений Эйлера. В большинстве случаев, при этом, речь идёт о сходимости сильного (или даже классического) решения на некотором отрезке времени, не зависящим от вязкости.

Гораздо сложнее проблема становится, когда решение системы уравнений Навье-Стокса ищется в ограниченной области и помимо начального условия требуется, чтобы решение на границе области удовлетворяло определённым краевым условиям.

Сравнительно много результатов по этой проблеме получено для систем уравнений с двумя независимыми пространственными переменными, моделирующих движение вязкой несжимаемой жидкости. Наиболее полный обзор известных, дедуктивно обоснованных фактов о поведении решений двумерных задач теории пограничного слоя содержится в [74]. Этой же теме посвящены работы [4,3,6,

6Z, 84-85, 86-8?, 937 9&>JM, М67 Ш - SM у 'lZ^f-Ъ

Кроме того, как приложение развиваемых общих методов, результаты для. двумерных задач содержатся в [ZZ - 23, 52 -53].

О.А.Ладыженской [40, 42.] исследован вопрос о поведении решений линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса с любым числом пространственных переменных вида

- i)&ir^(jnaclp + j , сШ гГ = О при стремлении "д О.

Для похожих уравнений в [73] построено асимптотическое разложение волновых движений вязкой жидкости со свободной границей.

Что касается трёхмерных задач для систем уравнений, содержащих конвективные члены, то до последнего времени о их решениях при стремлении коэффициента вязкости к нулю ничего конкретно не было известно, кроме того что всё множество решений при V 0 остаётся ограниченным в L^.

В первую очередь такое положение вещей связано с тем, что для полной нелинейной системы уравнений Навье-Стокса не доказано существование единственного сильного решения соответствующей краевой задачи на заранее обусловленном отрезке времени [0,Т]. Решение существует либо локально, причём интервал разрешимости пропорционален коэффициенту вязкости ~i)7 либо при выполнении определённых условий, ставящих значения начального поля скоростей и массовых сил в зависимость от величины "Л .

Обойти эту трудность пытались многими способами, в том числе изменением исходного предположения о характере зависимое ти тензора напряжений от тензора скоростей деформации [It

37,39-40, 50, 6&-71, -79]

И др., но особых сдвигов в изучении проблемы исчезающей вязкости это не принесло.

В этом отношении более эффективным оказался подход, описанный В.П.Масловым в его монографии [58.] (см. также

57] ) где при помощи модификации начально-краевой задачи за счёт задания в специальном виде начального условия, строится асимптотическое представление изучаемой задачи по параметру 1}.

В недавно опубликованных работах К.Асано [ 99 ~ iOO] с помощью оригинальной методики, основанной на обращении оператора, сопоставляемого системе уравнений Эйлера, исследуются вопросы разрешимости и асимптотики по вязкости полной системы уравнений Навье-Стокса, рассматриваемой в полупрост

-1Zранстве с условиями прилипания на твёрдой границе и при условии аналитичности всех входящих в задачу известных функций. Утверждается о сходимости решений системы уравнений Навье-Стокса к системе уравнений Эйлера и приводится сответ-ствующая асимптотическая формула. Справедливость своих рассуждений автор выводит из применимости к рассматриваемой задаче абстрактной теоремы Коши-Ковалевской.

Т.Като принадлежит условный результат о сходимости слабого решения Хопфа для системы уравнений Навье-Стокса к гладкому решению системы уравнений Эйлера. В качестве условия для решения У системы уравнений Навье-Стокса требуется выполнимость соотношения где JQ. - область определения решения, юг - размерность исходного пространства (fjJ2,J).

В первых трёх главах данной работы объектом изучения является линеаризованная система уравнений Навье-Стокса вида сШт тТ=0, (2) где i) - малый параметр, характеризующий вязкость, & —

- известные трёхмерные соленоидальные вектор-функции. Областью задания системы (I)--(2), а значит и её решения V- (ifj считается ограниченная область Q СIR, с границей S при е [о9т}у где Т = oomi.

В §§ 1-5 главы I рассматривается случай, когда система Ц)~(2) с начально-краевыми условиями и/ '

V\bs0 = CL, x £ Q. (4) представляет собой линеаризацию задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости внутри области, граница которой непроницаема для жидкости.

Конкретно это выражается в том, что на SCx^h) накладывается условие n-Sj$=0, *е[0,Г], • (5) где п - вектор внешней нормали к границе

Наличие для задачи (1)-(4) решения из х [0?Т]) гарантировано в силу теоремы I из [ 3 8] при любых \) > 0? поэтому в §§ 1-5 исследуются свойства множества j Ifj^^Q заданного соотношениями (Х)-(4) с условием (5).

Тем новым приёмом, благодаря которому удалось исследовать линеаризованную систему (1)-(2) с максимальной степенью общности, явилось введение понятия обобщённой полной производной по вектору 1'=(BxJ2J3tl\ Именно, пусть 7/ е

Полной производной вектор-функции у по вектору $ в точке ( названо выражение lslU=±A civ „у п М + ди где I.SI

Пусть теперь вектор-функции Ц = ^

U - (i0~d у llTz ) llf3) принадлежат пространству

Lig .(£1 х [О Т1) так чт0 они» в частности, суммируемы

-J4в любой внутренней подобласти из Q* [0,'Г]. Если для любой бесконечно дифференцируемой, финитной в Q - [0,Т] вектор-функции if = 7 ^ ^з ) справедливо тождество dv

У If 4>cloc dt =- J*, LL-j-dxdl, т dl то вектор-функция Щ" называется обобщённой полной производной вектор-функции U по вектору $ в области Q * [С?37~']Ф Для неё сохранено обозначение d U / d S. Обобщённая полная производная по вектору 5 будет обла.дать всеми общими свойствами обобщённых производных, перечисленными в ["64 3. Для вектор-функции lf1 являющейся решением задачи (I)

-(4), dv/di*LA(&x[o,T]).

С использованием понятия обобщённой полной производной по вектору 5 уравнение (I) перепишется в виде df ~iAlf +/

Оказалось, что при i) О для решений системы (I)--(2) с начально-краевыми условиями (3)-(4) справедлива априорная оценка А/,

ЦТ (6) где Q *[0,т]} N = W не увеличивается при v — а

На основании априорной оценки (6) и известных Априорных оценок 3 делается вывод о наличии у множества {?/} предельных точек Ub } Ъ - J/Z) таких, что при т) О If0* - Uh слайо в L ^Ъ СЛабо в LZ(Q) при Ы[0)Т]) ^f слабо в LZ((£T). els' ds

Вводится банаховое пространство функций с нормой wm^Jj^dccdi *1/{{Wclxdi> в терминах которого определяется обобщённая постановка начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений Эйлера в следующем виде.

Определить функцию Cj, 6 и функцию цГ £ \Х/6 О^) так» чтобы выполнялось равенство и условия где j(Q)

• LJQ) области,

Основываясь на свойствах пространства делается вывод, что решение задачи (7)~(9) единственно, и, в то же время, все функции Vb } Ъ - i,^,., будут удовлетворять задаче (7)-(9).

Щ.о = (8)

- подпространство соленоидальньгх функций из с нулевой нормальной компонентой на границе

Отсвда и выводится основной результат о поведении решений задачи (I) —(4), который заключается в том, что при — О 1Г1) слабо сходится в L,(Q) равномерно по f к (функции Vе £ ((JT) 7 являющейся единственным решением вырожденной задачи (7) -(9). "Имеете с том cllf^/df) слабо сходится

Б LгШт) к dv°/d£.

В параграфах 6,7,8 первой главы и в главах II и III для системы (Iизучается задача протекания. Но так как система (1)-(2) линейная, то без ограничения общности краевые условия взяты нулевыми, а всё отличие задачи протекания от задачи движения падкости внутри области состоит в отличии условий на функцию 8(ХУ{).

Конечно, кагс при липсаризаиди полной нелинейной системы уравнений Павье-Стокса, так и при приведении системы с неоднородными краевыми условиями к системе с однородными условиями, в уравнении (I) появляются другие члены, кроме тех, что записаны в правой части (I). По так как все они не вносят

Щ дополнительных трудностей в исследование, а нам важно выяснить принципиальные свойства решений, то в уравнении (I) оставлены лишь члены определяющие основные характеристики решения.

Б дальнейшем, при изучении линеаризованной задачи протекания предполагается, что грани.ид S области Q разбита па три поверхности S3> причем поверхности Sj и S3 медду собой не соприкасаются, так что на Sj Ц-п < О при ' всех £ £ [0 ;Т] на Sz в- ft О при всех { € [0,Т]^ S, в-П'* о при всех i € [ОТ]. Ф

МыглИ словами, грангпза области не совпадает целиком с характеристической поверхностью для уравнения li '^'5,7,0 первой власы .доказано, что решения системы уравнений (1)-(2) слабо сходятся к обобщённому решению системы (10) с соответствующим условием

СШГ LL - О (II) в том случае, если краевая задача для системы (1)-(2) сформулирована не во всей цилиндрической области (ffq, а в некоторой её подобласти, построенной так, чтобы поверхность выхода характеристик из трёхмерного объёма образовывала характеристическую it! 11 о р п о в с рх 11 ос т ь для уравнения (10) в четырехмерном пространстве.

При отом возникла необходимость в доказательстве существования и единственности решения краевой задачи для системы (I)-(2) в нс цилшщричс ckoji области. Теорию решения краевых задач для нестационарных уравнений в нецщшццрических областях нельзя признать достаточно разработанной, хотя к настоя- • щему времени появилось уже немало работ, посвященных подобным вопросам. Так, в частности, и для систем уравнений Навье--Стокса и Эйлера имеются доказательства существования решения в специальных функциональных пространствах при различных понятиях слабого и обобщённого решения [3i 0 iOZ? J 06 -10?^

Я3> J19 - JZO, iZZ ].

В § 6 предлагается свой способ доказательства существования решения для системы уравнений (1)-(2) в том случае, когда граиивд области определения решения изменяется с течением времени по известному закону.

Затем для решения системы (1)-(2) в четырёхмерной области ft ^? граница которой состоит из характеристических гиперповерхностей в IR^ для уравнения (10), доказывается априорная оценка /^{р j(jffc(xdt 4 /V, А/ = wW,

-i8 которая даёт возможность обосновать предельный переход по 1? О от решения исходной краевой задачи к специальным образом сформулированной вырожденной задаче для системы вица (?).

Главы II и III посвящены исследованию задачи протекания сформулированной традиционным образом в цилиндрической области, то есть в нашем случае, исследованию задачи (1)~(4) с тем условием па функцию ё о котором шла речь выше.

В качество аппарата исследования применяются квазинорми-рованные пространства, введённые с использованием полной производной по вектору S

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Алексеенко, Сергей Николаевич, 1994 год

1. Алексеев Г.В. Об исчезающей вязкости в двумерных стационарных задачах гидродинамики несжимаемой яидкости// Динамика сплошной среды/Ин-т гидродинамики СО All СССР.-1972.-Выи.10.-С.5-27.

2. Антоыцев С.Н. ,Кажихов А.В.,Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных гл.цкостей.-Новосибирск:Наука,1983. -320с.

3. Батищев В.Л.,Срубщик JLC. Об асимптотике свободной поверхности лщдкости при исчезающей вязкости//ДАН СССР.-1975.Т. 222. -J -4. С. 782-786.

4. Белопосов С Л., Черноус К.А. Краевые задачи для'уравнений Навье-Стокса. -М.: Паука, 1985. -312с.

5. Быховский З.Б. ,Олириов Н.В. Об ортогональных разложениях пространства вектор рушений, квадратично суммируемых по заданной области//Гр. МИАН СССР.-I960.-Т.59.-С.5-36.

6. Быховский Э.Б. О методе малого параметра ("исчезающая вязкость") для системы уравнений газовой динамики//Ж0М и МФ,-1962. -iJ2. -С. II28-II3I.

7. Васильева А.Б. О дтТференпиалъпых уравнениях., содержащих малые параметры// Матем.сб.-1952.-Т.31(73).-^.3.-С.587-644.

8. Васильева А.Б.,Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно врзмущенных уравнений. -М.: Hayica, 1973.

9. Волевич Л.Р.,Панеях Б Л. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы шю;шния//УМК.-1965.-Т.£0.-Вып.1(121)С. 3-74.

10. Головкин К.К. Об исчезающей вязкости в задаче Коши для уравнений пщродипамитш//Тр .МИЛН СССР. -1966. -Т. 92. -С. 31-49.

11. Градштекн К.С. 0 поведении решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными кооффи щентами, вырождающихся в иределе//Изв.АН СССР/Серия матем.-1949.Т. 13. -^3.-С.253-280.

12. Данфорд П.,Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория.-М.:Иностранная литература, 1962.

13. Дезин Д.Л.,Масленникова В.Н. Неклассические граничные за-дачи//Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр.симпоз.,посвященного 60-летию С.Л.Соболева.-М.:Наука, 1970. -С.81-95.

14. Дезин А. А. О некоторых системах уравнений, со держащих малый параметр//Матем. сб. -1980. -Т Л11 (153). -№3. -С. 323-333.

15. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. -М.: Наука, 1980.-208с.

16. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. -М.: Наука, 1989.-336с.

17. Иманалиев М.И.Асимптотические методы в теории сингулярно-возмущённых интегро-дифференпиальных систем.-Фрунзе:Илим, 1972.-356с.

18. Иманалиев М.И. Колебания и устойчивость решений сингуляр-но-возмущзнных интегро-дифференпиальных систем. -Фрунзе: Илим, 1974.-352с.

19. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение.-Фрунзе:Илим,1977.~348с.

20. Иосида К. Функциональный анализ.-М.:Мир, 1967.-624с.

21. Капитанский Л.В. ,Пилецкас К.И. 0 пространствах соленои-дальных векторных полей икраевых "задачах для уравнений Навье-Стокса в областях с некомпактными гранииами//Тр. МИАН СССР.-1932.-Т.159.-С.5-36.

22. Капитанский Л.В. ,Пилецкас К.И. 0 некоторых задачах вектор' ного анализа//3аписки научных семинаровЛОМИ. -1984. -Т. 138.-С.65-85.

23. Копилевич Ю.,Ладыженская О.А. 0 начально-краевой задаче для уравнений Навье-Стокса в областях, сжимающихся в точку при t ->0 //Записки научных семинаров Л0МИ.-1971. -Т.21. С.52-64.-Z7Z

24. Коул Д«.,Кук Л. Трансзвуковая аэродинамика. -М.:Мир, 1939.-360с.

25. Лаврентьев М.А.,Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.-М.:Наука,1977.-408с.

26. Ладыженская О.А. О разрешимости"в целом" краевых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений и уравнений Навье-Стокса //Тр. 4-го Всесоюзного матем. съезда, 1961 г. -ТД. -Ленинград, 1963. -С Л34-157.

27. Ладыженская О.А. О новых уравнениях для описания движений вязких несжимаемых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых зацач/Др.ШАН СССР.-1967.-Т. 102.С.35-104.

28. Ладыженская О.А. О единственности и гладкости обобщенных решений уравнений Навье-Стокса//Записки научных семинаров ЛОМИ.-1967.-Т.5.-С.169-185.

29. Ладыженская О.А. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей//Записки научных семинаров ЛОМИ,- 1968.-Т.7.-С.126-154.

30. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.:Наука,1970.-288с.-27341 Ладжзпская 0.а. ,Солоппкков jJ.A. ^раяьцева К.И. Линейныеи квазилииейные уравнения параболического тина.-М. :Наука, 1967.-733с.

31. Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределёнными системами. -М.:Наука,1937.-363с.

32. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. -М.: Наука,1982.-376с.

33. Лойпянский Л.Г. Механика жидкости и газа.-М.:Наука, 1987.-840с.

34. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М. .-Наука, 1931.-400с. .

35. Лущш В.Г. ,Павельев А. А. ,Якубенко А.Е. Уравнения переноса для характеристик турбулентности: модели и результаты расчётов//Итоги науки и техники/Механика жидкости и газа. -1988. -Т.22.-С.3-61.

36. Масленникова В.Н. ,Боговский М.Е. 0 плотности финитных со-леноидальных полей//Сибирский матем.журнал.-1978.-Т. 19.-№5.-С.I092-II09.

37. Маслов В.П.,Асимптотические методы решения псевдодиф-ференниальных уравнений. -М.: Наука, 1987. -408с.

38. Маслов В.П. Асимптотические методы и теория возмущений. -М.:Наука,1988.-312с.

39. Михайлов В.И. Дифференциальные уравнения в частных производных . -М.:Наука,1976.-392с.

40. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных.-М.: Высшая школа, 1977.-431с.

41. Моисеев Н.Н. 0 краевых задачах для линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае, когда вязкость мала/ДВМ и• т. -1961. -Т. I. -№3.-С.548-550.

42. Назаров С.А.,Пилецкас К.И.О поведении решений систем Сток-са и Навье-Стокса в областях с периодически изменяющимся сечением//Тр.МИАН СССР.-1982.-Т. 159.-С.95-102.

43. Осколков А.П. Об одной квазилинейной параболической системе с малым параметром аппроксимирующей систему уравнений Навье-Стокса//Записки научн.семинаров Л0МИ.-1971.-Т.21. С.79-103.

44. Осколков А.11. Об асш"•тотичоском поведении решении некоторых систем с мат? параметром, аппроксимирующих систему уравнений !1авье-Стокса//Тр ЛИАН СССР.-1973.-Т.125.-C.I47-IG3.

45. Осколков АЛ. О нестационарных точениях вязко-упругих ;;аад-костей//Тр .МИЛН СССР. -1983.-Т. 159.-С. 103-131.

46. Потетюпко Э.К. .Срубщик Л.С. Асимптотический анализ волновых движений вязкой шаткости со свободной границей//1Ш.-1970.-Т.34.-£5.-С.891-910.

47. Пухцачев Б.В. Кеклассические задачи теории иограиичного. слоя. Учебное пособие.-Новосибирск:изд.Новосибирского ун-та,1979.-75с.

48. Рудии У. Лупкщюиаяып^ анализ. -Л. :Мир, 1975. -443с.

49. Соболев С.Л. Некоторые применения функциоиа/гьного анализа в математической физике.-Ленинград. :Из-во ЛГУ, 1950.-255с.

50. Соболевский П.Е.,Васильев В.В. £ -аппроксимация уравнения Навт.е-Стокса/Л-пслешшо методы мех.сплошной среды. -I 1978. -Т. 9. 5. -С. II5-I39.

51. Соболевский П.В. Исследование асимптотически иыотоиолской модели шщкости//ДАК СССР.-1983.-Т.271.-112.-С.ЗиО-304.

52. Соболсвсжй П.В. Устойчивость движения пелипейио-гязкой .лощкости//ДЛК СССР. -1983. -Т. 2SI .-D5. -С. I0G7-I0 71.

53. Солопников В.А. О лилейных дифференциальных уравнениях с- ^ г * i.мапым параметром при старших производных//ДАН СССР.-1958,Т. 119,Го .-0.454-107. i

54. Солошшков Б.Л. ДЬзлецкас К.К. 0 некоторых пространствах ес|£енондальшьх. векторов п о разрешимости краевой задачи для системы зфавнений Навье-Стокса в областях с некомпактными граппщмп//Сапис1Ш научных семинаров ЛОМИ.-1977.Т. 73.-0.130-151.

55. Солошшков В.А. Разрешимость трехмерной задачи со свободной границей для стационарной системы уравнений Еавьё-Сток-са/оашюгл научных семинаров JiO'ffi. -1979. -Т.84.-С.252-285.

56. Солонников В.Л. К вопросу о разркшимости краевых и 'начально-краевых задач для уравнении Навье-Стокса в областях с -некомпактными гранипамр1//3ага4ски научных семинаров ЛОМИ,-1980. -Т. 96. -С 288-293.

57. Срубщик Л.С.,Юдович В.Н. Асимптотика слабых разрывов'те-• чений жидкости при исчезающей вязкости//ДАК CCCP.-I97I.-Т .199. -j/З. -С. 563-567.

58. Таганов Г.И. О предельных течениях вязкой жидкости со ста-ционарнмтл зонами при fte -> оо. //Ученые записки ЦАГЙ,1970.-Т.1.^3.-0.1-14./

59. Темам Р Уравнения Иаг.ьс-Стокса. Теория и численнш анализ.-"М. Ар,1281.-408оь- .S9.Тихонов А.11. О-завысь-мости решений дифференциальных уравнеt . . . • '• ^ . . . .; ний от чалого параметра/Д?атем. сб. -1948. -Т. 22 (64;);. .

60. Тихонов А.Н. О системах дифференииальных уравнений,содержащих параметры/Датем. сб. -1950. -Т. 27(69) .-С. 147-156.

61. Тихонов А.Н. Системы дифференниальных уравнений, содержащих малые параметры при производных//Матем. сб. -1952. Т. 31(73).-Ш.-С.575-536.

62. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика//УМН. -1970. -Т. 25. -№4( 154). -С. 123-156.

63. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. -М.: Мир,1985.-376с.

64. Четвёртая международная конференция по пограничным и внутренним слоям. Вычислительные и асимптотические методы.-Новосибирск,1936,-136с.

65. Щяихтинг Г. Теория пограничного слоя.-М.:Наука, 1974.-712с.

66. Bock David N. On the Navier-Stokes Equations in Noncylindrical Domains//J.of Differen.Equations.-1977. -V. 2 5 • -P • 151-162.

67. Foias C. On the Behavior of the'Solutions of the XJavier -Stokes Equations Lying on Invariant Manifolds//J.of Differential Equations.-1986.-V.6l.-P.128-148^:

68. Fujita H.,Sauer II. Construction of Weak Solutions of theNavier-Stokes Equations in a Hon-cylindrical Domain//Bull. Amer.Math.Soc.-1969.-V.75.-P.465-468.

69. Pujita H.,Sauer N. On Existence of Weak Solutions of the Navier-Stokes Equations in Regions with Moving Doundary//J. Рас.Sci.Univ.Tokyo Sect.I A.-1970.-V.17.-P.403-420.

70. Girault V. Curl-conforming Finite Element Method for Navier -Stokes Equations with Hon-standard Boundary Conditions in R"V/Publications du Laboratoire d*Analyse Numerique. Universite Pierre et Marie Curie.-1938*-R 88010.-19P*

71. Hopf E. The Partial Differential Equations ut+uux=juu^Coram.Pure Appl .Math.-19 50.-V.3.-N.3.-P.201-230.

72. Kato T. Non-stationary Flows of Viscous and Ideal Fluids in R3//J. Functional Anal.-1972.-V.9.~P.296-305.

73. Kato T. Quasi-Linear Equations of Evolutions with Applications to Partial Differential Equations//Lecture Notes Inst Math./Springer .-1975. -V.443. -P .25-70.-£30

74. Kato Т. Remarks on Zero-viscosity Limit for Nonstationary Navier-Stokes Plows with Boundary//Seminar on Nonlinear Partial Differential Equations/ Math, Sciences Research Institute Public at ions ,2.- New-York, 1983.- P. 85-98.

75. Kozomo H. On Existence and Uniqueness of a Global Classical Solution of the Two-Dimensional Euler Equation in a Tirae--Dependent Domain// J. of Differential Equations.-1985.- V.57.- P.275-302.

76. Matkowsky B. J. ,Siegmann W.L. The Ploww Between Counter-rotating disks at high Reynolds Number//SIAM J. Appl. Math.-1976.- V.30.- P.720-727.

77. Mc.Grath T.J.Nonstationary Plane Plow of Viscous and Ideal Fluids//Arch. Ration, Mech. and Analysis. 1968. -V.27.- P.329-348.

78. Mizumachi Ryuichi. On Convergence and Rates of the Conver2gence of Motions of Incompressible Fluids in R as viscosity goes to 0//J. Рас. Sci. Univ. Tokyo/ Sect. IA, Math. -1988. N.35. - P.225-249.

79. Miyakawa Т., Teramoto Y. Existence and Periodicity of a Weak Solution of the Navier-Stokes Equations in a Time Bependent Domain//Hiroshima Math. J.- 1982. V.*12.- P. 513-528.

80. Schnute J,, Shinbrot M. The Cauchy Problem for the Navier--Stokes Equations//Quart. J. Math. Qxford (2). 1973.- P.45^-474.

81. Swann H.S.G. The Convergence with Vanishing Viscosity of Nonstationary Navier-Stokes Plow to Ideal Plow in R^// Trans. Amer. Math. Soc.- 1971.-V.157.- P.373-393.

82. Tam K.K. A Jlote on the Asymptotic Solution of the Plow Between Two Oppositely Rotating Infinite Plane Disks //SIAM J. Appl, Math.-1969.- V.17.- Р-1Э05-13Ю.

83. Temam R. On the Euler Equations of Incompressible Perfect Fluids//J. Functional Analysis.- 1975.- V.20.- P.32-43.

84. Temam R. Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis.- Philadelphia: SIAM, 1983- 122 p.-Я82,

85. Ллексевико С .11. Об исчезающей вязкости для линеаризованных уравнений Навье-Стокса //International Congress of Mathematicians/Short Communications (Abstracts),Section 13: Math,Physics and Mechan.-V/arsaw,1983.-P*21.

86. Алсксеепко С.II. Решение вырождающейся линеаризованной системы Навье-Стокса с однородным краевым условием // Исслсд. но Ш1Тсгро-Д1ь}хТюро11Щ1а71ЫШМ уравнениям. 1983.- Еып. 10. С. 243-257.

87. Алекссенко С.К. Пространство функций, квазипормировапноо относительно протекающего соленоидалыюго поля: определения и свойства // Исслед. по интегро-дисТхуеренциальнш уравнениям. 1986. - Вып. 19. - С.215-237.

88. Аиексссшко С.К. Об исчезающей вязкости в линеаризованной задаче протекания несжимаемой жидкости // Исслед. по шг?о 1'т^о-дгдit;/;eiiiijiа.7гь. 1ыгi уравнениям. 1986. - Вып. 19.- С. 288-304.

89. Алексеешсо СЛ. Системы уравнений с "вязкостью", решения которых' сходятся к решению уравнений Эйлера // Конференция математиков и механиков Киргизиипоевгпцённач 70-ле-2,33тию Октября: Тез: докладов. Фрунзе, 1987. - С. 5.

90. Алексеенко С.Н. Влияние свойств границы на поведение решений линеаризованной системы Навье-Стокса при вырождении по вязкости// Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям.- 1987. Вып. 20. - С. 232-237.

91. Иманалиев М.И. ,Алексеенко С.Н. Асимптотическая оценка по вязкости в задаче протекания сквозь правильный цилиндр // Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. 1989.- Вып. 22. С. 3-16.

92. Алексеенко С.Н.Асимптотика по вязкости слабых решений задачи протекания для системы Навье-Стокса в цилиндрической области //Исслед. по интегро-дифференциальным уравнениям. 1991. - Вып. 23. - С.83-90.

93. Алексеенко С.Н. Слабое решение системы Навье-Стокса с условием регулярного проскальзывания вдоль части границыИсслед.по интегро-дифференциальным уравнениям.-1991. -Вып.23.-С. 90-103.

94. Алексеенко С.Н. Асимптотическое разложение по вязкости слабых решений задачи протекания с условием регулярного проскальзывания вдоль твёрдых стенок в областях с раструбом. //Исслед. по интегро-дифференпиальным уравнениям.-1992. -Вып.24. -С.226-255.

95. Алексеенко С.Н. Существование и асимптотическое представление слабых решений задачи протекания с условием регуляр ного проскальзывания вдоль твёрдых стенок//Сибирский математический журнал. -1994.-Т.35.-№2.-С.235-257.