Существование, устойчивость, пространственные и временные асимптотики решений системы Навье-Стокса во внешних областях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, доктор физико-математических наук Сазонов, Леонид Иванович

• Сазонов, Леонид Иванович
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Сазонов, Леонид Иванович

Оглавление

Введение

0.1 Общая характеристика работы

0.2 Краткое содержание диссертации

1 Фундаментальное решение и гидродинамические

потенциалы системы Озеена

1.1 Фундаментальное решение системы Озеена в

пространстве М3

1.2 Ьр — Ьч - оценки оператора объемного потенциала

1.3 Формулы Грина и гидродинамические потенциалы системы Озеена со спектральным параметром

1.4 Интегральные уравнения для системы Озеена

в многосвязной внешней области

1.5 Оценки оператора прямого значения потенциала

двойного слоя для системы Озеена с параметром

1.6 Оценки оператора потенциала двойного слоя

для системы Озеена с параметром

2 Оператор Озеена во внешней области

2.1 Разложение Гельмгольца - Вейля

2.2 Гидродинамический проектор во внешней области

2.3 Существование обобщённого решения

2.4 Ьр-оценки обобщённого решения

2.5 Спектр оператора Озеена

2.6 Интегральное представление резольвенты

оператора Озеена

2.7 Обращение граничного оператора

2.8 (Lp —> Lq)~ оценки резольвенты оператора Озеена

2.9 Оценки резольвенты в окрестности точки А = 0

3 Полугруппа Озеена и ее возмущение

3.1 Полугруппа Озеена в пространстве Rn

3.2 Оценки норм преобразования Лапласа

объемного потенциала и потенциала двойного слоя

3.3 Оценки полугруппы Озеена

3.4 Алгебра функций Aa,/3

3.5 Алгебра оператор-функций Ла;/з(Епс1 X)

3.6 Возмущенная полугруппа Озеена в Мп

3.7 Оценки производных для возмущенной полугруппы Озеена в Rn185

3.8 Оценки возмущенной полугруппы Озеена

во внешней области

4 Пространственные асимптотики стационарных

решений системы Навье-Стокса

4.1 Lp - оценки решения задачи обтекания

4.2 Асимптотическое поведение решения задачи

обтекания вдали от обтекаемых тел

4.3 Асимптотика двумерного обтекания

5 Устойчивость стационарных и периодических

решений системы Навье-Стокса

5.1 Устойчивость стационарных решений системы

Навье - Стокса во внешних областях

5.2 Устойчивость периодических решений системы

Навье-Стокса в трехмерной внешней области

6 Некоторые результаты о существовании решений системы Навье—Стокса

6.1 Существование симметричного решения двумерной задачи о протекании жидкости

6.2 О существовании переходов между стационарными режимами системы Навье - Стокса во внешних областях

6.2.1 Задача о переходах в!"

6.2.2 Переходы между стационарными режимами задачи обтекания

6.3 Возникновение автоколебаний при обтекании

6.4 Существование слабого решения задачи линейного сопряжения

6.4.1 Вспомогательные предложения

6.4.2 Существование слабых решений задачи сопряжения

7 Система Навье-Стокса при малых

числах Рейнольдса

7.1 Трехмерная стационарная задача обтекания

при малых числах Рейнольдса

7.1.1 Обобщенное решение системы Озеена: существование и единственность

7.1.2 Оценки решений однородной линеаризованной системы Озеена (/ = 0)

7.1.3 Оценки решений неоднородной линеаризованной системы Озеена

7.1.4 Сходимость рядов

7.1.5 Сила сопротивления

7.1.6 Обтекание вращающегося шара

7.2 Асимптотическое разложение двумерной задачи обтекания

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Существование, устойчивость, пространственные и временные асимптотики решений системы Навье-Стокса во внешних областях»

Введение

0.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. В диссертационной работе исследуются некоторые вопросы теории системы Навье-Стокса во внешних областях. К их числу относятся: обоснование метода линеаризации в исследованиях устойчивости стационарных и периодических по времени решений системы Навье-Стокса во внешних областях, исследование пространственных и временных асимптотик решений, а также асимптотик стационарных решений задачи обтекания при малых числах Рейнольдса и вопросы о существовании некоторых классов решений системы Навье-Стокса. Исследования по устойчивости выполнены в рамках общего полугруппового подхода, применяемого к исследованию эволюционных уравнений с выделенной главной линейной частью. При этом подходе эволюционное уравнение рассматривается как обыкновенное дифференциальное уравнение в подходящем банаховом пространстве. Основное требование, предъявляемое к выделенному оператору, состоит в том, что в стационарном случае оператор должен порождать сильно непрерывную или аналитическую полугруппу, а в случае оператора, зависящего от времени, это условие должно выполняться в любой его момент. Это позволяет применить теорию полугрупп операторов Хилле-Филлипса-Иосиды или в нестационарном случае теорию эволюционных операторов Като, Соболевского и др. Различные аспекты полугруппового подхода развивались в работах Т. Като, М.А. Красносельского, С.Г. Крейна, П.Е. Соболевского, М.З. Соломяка, Д. Хенри и многих других авторов.

Проблеме обоснования метода линеаризации в исследовании устойчивости стационарных и периодических решений системы Навье - Стокса и параболических уравнений в ограниченных областях посвящена монография В.И. Юдовича [153]. Идеи и методы этой работы определили направление

исследований для данной диссертации. Напомним, что под обоснованием метода линеаризации (например, для стационарных решений) понимается доказательство утверждения о том, что расположение спектра оператора линеаризованного на стационарном решении уравнения строго в левой полуплоскости влечет ляпуновскую устойчивость данного решения. Следует отметить, что случай внешних областей отличается наличием у оператора Стокса или Озе-ена непрерывного спектра, расположенного в левой полуплоскости, причем точка ноль является точкой спектра. Применительно к проблеме устойчивости этот факт можно истолковывать как критический случай. Для соответствующих полугрупп убывание с ростом времени не является экспоненциальным. Тем не менее, как показано в диссертации, при определенных условиях на нелинейные члены обоснование линеаризации возможно.

Полугрупповой подход к исследованию системы Навье-Стокса во внешних областях стал развиваться около 40 лет назад. В первую очередь это были работы, посвященные оценкам резольвенты оператора Стокса и полугруппы Стокса ( В.А. Солонников, П. Маремонти, W. Borchers, Y. Giga, R. Farwig, М. McCracken, Н. Sohr и др .) Обзор этого направления содержится в работе В. А. Солонникова [140]. Применение полугруппы Стокса к исследованию разрешимости системы Навье-Стокса в различных функциональных пространствах для внешних областей, к вопросам устойчивости и оценкам убывания решений развивалось многими авторами. В одной только работе Борхерса и Миякавы [6] приведены ссылки на исследования более 30 авторов за период 1985-1995 гг.

Аналогичные исследования, связанные с оператором Озеена во внешних областях, были начаты позднее (Т. Miyakawa [51], Л.И. Сазонов [110], [113], Т. Kobayashi, Y. Shibata[37], Р. Biler, М. Cannone, G. Karch [4] и др.) Следует отметить, что для получения Lp — Lq - оценок полугруппы Озеена потребовались новые подходы. Впервые эти оценки были получены в [110], [113] методом гидродинамических потенциалов. Позднее другим методом они были установлены Т. Kobayashi, Y. Shibata [36], [37]. В дальнейшем эти оценки существенно использовались для исследования устойчивости стационарных и периодических решений, для оценок сходимости нестационарных решений к стационарным, для оценок возмущенной полугруппы Озеена [24], [4], [29], [13], [113], [117], [124], [127], [131], [135].

Для системы Навье-Стокса во внешних областях теоремы о существовании решений (Ж. Лере [44], Э. Хопф [30], O.A. Ладыженская [91]) дают мало информации о поведении решения на бесконечности. Далее ограничимся рассмотрением стационарного случая. Пусть скорость жидкости v принимает на бесконечности предписанное значение v^. В трехмерном стационарном случае по теоремам вложения для соболевских пространств для обобщенного решения получается, что разность v — vœ принадлежит пространству L6 и, таким образом, в определенном смысле убывает. В двумерном случае подобного результата нет, более того существуют соленоидальные поля с конечным интегралом Дирихле, растущие на бесконечности (G.P. Galdi [22]). Поэтому вопрос об асимптотическом поведении на бесконечности потребовал самостоятельного исследования. Р. Финн [15], [14], [16], постулируя для трехмерных решений соотношение

v{x) -Voo = 0(\х\~а), а > 1/2 (0.1.1)

(такие решения были названы физически приемлемыми или PR-решениями, так как эти решения описывают появление параболоидального следа за обтекаемым телом), установил асимптотическую формулу

v(x) =vDO + Н(х)а + 0(|ж|"3/2 ln М)- (0-1-2)

Здесь Н(х)- фундаментальный тензор системы Озеена, которая получается при линеаризации системы Навье-Стокса на постоянном векторе а-некоторый постоянный вектор. В дальнейшем Р. Финн установил для течения v(x) —Vqo бесконечность кинетической энергии и существование PR-решения при достаточно малых числах Рейнольдса.

Утвердительный ответ на интригующий вопрос - является ли решение с конечным интегралом Дирихле (существование именно таких решений установлено Лере) PR-решением - был получен К.И. Бабенко [65]. В дальнейшем асимптотика трехмерных стационарных решений рассматривалась в работах К.И. Бабенко и М.М. Васильева [68], М.М. Васильева [73], В.В. Пухначева [106], Л.И. Сазонова [114], Н.И. Яворского [156], G.P. Galdi [21] и др. Заметим, что стационарной системе Навье-Стокса посвящена монография Д. Галди [22].

Двумерная задача обтекания существенным образом отличается от трехмерной задачи. Конечность интеграла Дирихле не влечет убывания решения

на бесконечности. Поэтому неизвестно, является ли решение Лере решением задачи обтекания. Физически это означает, что мы не имеем ответа на вопрос - увлекает ли равномерно движущийся цилиндр за собой всю жидкость или вносит лишь локальные возмущения. О трудностях в двумерном случае свидетельствует также наличие парадокса Стокса: линейная система Стокса, вообще говоря, не имеет решения, которое принимает предписанное значение на бесконечности. Первые результаты по двумерной задаче принадлежат Р. Финну и Д. Смиту [17], которые установили существование решения задачи обтекания для достаточно малых чисел Рейнольдса при ненулевом значении скорости на бесконечности. Этот результат был получен при исследовании нелинейного интегрального уравнения, к которому сводится краевая задача методом функции Грина. Данные решения аналогично трехмерным были названы физически приемлемыми (РЯ-решениями). Они допускают асимптотическое представление на бесконечности, подобное трехмерным РЯ-решениям. Ряд важных результатов, проясняющих суть проблемы, был получен в работах Д. Гилбарга и X. Вайнбергера [77], [28], Ч. Эмика [2]. В случае ненулевого граничного условия была установлена равномерная ограниченность решения и существование постоянного вектора к которому в определенном смысле (равномерно в симметричном случае) сходится решение на бесконечности. Однако вопрос о совпадении этого вектора с предписанным значением остается открытым. В работах Ч. Эмика [3] (для симметричного случая) и Л.И. Сазонова [115] (для общего случая) доказано, что при равномерном стремлении решения к ненулевому предельному значению на бесконечности оно является РЯ-решением. В первоначальном определении РЯ-решения требовалась некоторая квалифицированная степенная оценка. В работе Д. Галди [27], подводящей итоги многолетней истории исследования задачи Лере, изложен ряд упомянутых результатов и приведены некоторые новые, в частности, об условиях существования симметричных решений при больших числах Рейнольдса.

Остановимся еще на одном направлении исследований стационарной задачи обтекания. При малых числах Рейнольдса, несмотря на наличие малого параметра лишь при младших производных, ввиду неограниченности области задача не является регулярной в том смысле, что ее решение нельзя представить в виде степенного ряда по малому параметру, которым является

число Рейнольдса Re (в трехмерном случае этот факт обнаружен Уайтхе-дом). В случае обтекания шара и цилиндра при малых числах Рейнольдса построение асимптотики выполнено в работе И. Праудмена и Дж. Пирсона [56] методом сращиваемых асимптотических разложений: внутреннее и внешнее разложения сращиваются в области перекрытия, где пригодны оба разложения. В дальнейшем появилось большое количество работ (эти исследования продолжаются и в настоящее время), в которых с помощью методики Праудмена-Пирсона изучались различные задачи гидродинамики при малых числах Рейнольдса. В частности, были рассмотрены задачи стационарного обтекания канонических тел: эллиптических цилиндров, ограниченных тел вращения, систем шаров, вращающихся шаров и т. д. Вопросам обоснования получаемых асимптотик, на наш взгляд, не уделялось должного внимания. Отметим в этом направлении работу Т.М. Фишера и др. [18], в которой выполнено обоснование метода сращиваемых асимптотических разложений для обтекания произвольного тела в трехмерном и двумерном случаях.

Иной подход к задачам обтекания развивался в работах Л.И. Сазонова [118] для двумерного случая и Д.А. Мальцева, Л.И. Сазонова [98] для трехмерного случая. Основная идея, использованная в этих работах, состоит в том, что внешнее разложение строится из решений системы Озеена во всем пространстве, имеющих особенность в нуле типа особенности фундаментального решения; такие решения зависят от двух (п = 2) или трех (п = 3) свободных параметров, для выполнения граничных условий к каждому члену внешнего разложения добавляется член внутреннего разложения - решение системы Стокса, из условий разрешимости (условий существования решений системы Стокса с нулевым условием на бесконечности при п = 2 или существования решения, имеющего порядок убывания 0(1/|х|2) при п — 3) определяется зависимость свободных параметров от числа Рейнольдса. Таким образом, сращивание внешнего и внутреннего разложения осуществляется на границе обтекаемого тела. В работе Л.И. Сазонова [131] установлены результаты о представимости решения трехмерной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса в виде сходящихся рядов из решений линеаризованной системы Озеена.

В заключение отметим, что приведенный обзор позволяет заключить об актуальности вопросов, исследуемых в диссертации.

Цель работы состоит в построении теории линеаризованной системы Озеена во внешних областях, включающее исследование резольвенты оператора Озеена, развитие метода гидродинамических потенциалов для получения степенных оценок полугруппы Озеена, применение теории обратимости в банаховых алгебрах к оценкам возмущенной полугруппы Озеена. На основе построенной линейной теории в диссертации выполнено исследовании ряда вопросов теории системы Навье - Стокса во внешних областях, к которым относятся обоснование метода линеаризации в проблеме устойчивости стационарных и периодических решений, построение и обоснование пространственной и временной асимптотики решений, доказательство существования решений некоторых задач гидродинамики во внешних областях.

Методика исследования. В диссертации используются методы и результаты функционального анализа и теории уравнений с частных производных.

Научная новизна. Результаты, выносимые на защиту. Все результаты, выносимые на защиту являются новыми. К ним относятся:

1. Построение и оценки фундаментального решения системы Озеена со спектральным комплексным параметром;

2. Применение метода потенциалов к доказательству ограниченности гидродинамического проектора в весовых пространствах суммируемых со степенью р > 1 векторных полей,

3. Развитие метода гидродинамических потенциалов для системы Озеена и его применение к вопросам разрешимости системы интегральных уравнений задачи типа Дирихле для системы Озеена с параметром;

4. Оценки резольвенты оператора Озеена и исследование спектра возмущенного оператора Озеена в Ьр - пространствах соленоидальных полей, интегральное представление резольвенты;

5. Степенные оценки полугруппы Озеена и применение методов некоммутативных банаховых алгебр для исследования возмущенной полугруппы Озеена;

6. Метод регуляризации в построении новых старпшх членов асимптотики решения трехмерной стационарной задачи обтекания в окрестности бесконечности;

7. Определение новых условий для РЯ-решений двумерного обтекания;

8. Обоснование метода линеаризации в исследованиях устойчивости стационарных и периодических решений задачи обтекания;

9. Результаты о существовании симметричного решения задачи Лере о протекании вязкой жидкости в многосвязной области;

10. Результаты о возникновении автоколебаний при обтекании;

11. Результаты о существовании переходов между стационарными режимами обтекания, входящих в устойчивое гладкое семейство;

12. Результаты о существовании слабых'решений задачи сопряжения для системы Навье-Стокса;

13. Построение решения системы Навье-Стокса во внешней области трехмерного пространства при малых числах Рейнольдса в виде сходящихся рядов и вычисление силы сопротивления;

14. Построение и обоснование аксимптотического разложения двумерного обтекания при малых числах Рейнольдса.

Степень достоверности результатов диссертации. Все результаты диссертации достоверны, что подтверждается строгими математическими доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. В диссертации рассмотрен ряд фундаментальных вопросов теории системы Навье-Стокса во внешних областях. Разработано применение метода гидродинамических потенциалов к исследованию пространственных и временных асимптотик решений системы Навье-Стокса во внешних областях. Получено обоснование метода линеаризации в задачах об устойчивости стационарных и периодических решений внешних задач для системы Навье-Стокса. Установлен ряд теорем о существовании решений. Развит метод исследования возмущенной системы Озеена, основанный на результатах теории обратимости в некоммутативных банаховых алгебрах. Результаты, полученные в диссертации, являются новыми и актуальными. Они могут найти применение при исследовании внешних задач для родственных для системы Навье-Стокса уравнений типа Буссинеска или магнитогидродинамики.

Аппробация диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре В.И Юдовича по математической гидродинамике (РГУ, ЮФУ), на международной конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы» (Ростов-на-Дону, 2004), на X, XII, XIII, XIV, XV, XVI меж-

дународных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2006-2012), на VIII и IX международных конференциях «Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование» (Владикавказ, 2010, Волгодонск 2011), на международной конференции «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 31 работе (4 из них в соавторстве). В совместной статье с В.И. Юдовичем [137] результаты принадлежат соавторам в равной мере. В совместных статьях с Д.А. Мальцевым [97], [98], [99] Л.И. Сазонову принадлежат постановки задач, разработ ка схем доказательств основных результатов, А.Д. Мальцеву принадлежит реализация указанных подходов. 15 статей ([110-115], [117-119], [123], [126], [130], [131], [133], [135]) опубликованы в журналах из списка ВАК.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав и списка литературы общим объемом в 390 страниц. Библиография содержит 156 наименований.

0.2 Краткое содержание диссертации

Диссертацию можно разбить на две части: линейная теория системы Озеена (главы 1, 2, 3) и ее приложения к системе Навье-Стокса во внешних областях (главы 4, 5, 6, 7).

В первой главе диссертации рассматривается система Озеена в пространстве М3 с комплексным параметром Л и вещественным параметром а

А и — ад\и — V» — \и = .

у (0.2.1) сНу и = 0.

Для нее выполнено построение фундаментального решения, введены гидродинамические потенциалы, исследованы вопросы об ограниченности операторов объемного потенциала и операторов простого и двойного слоя в пространствах Соболева - Слободецкого и о разрешимости систем интегральных уравнений задачи Дирихле для однородной системы Озеена во внешней области.

Фундаментальное решение системы (0.2.1) определяется как набор распределений (Hk,J,qk)(k,j = 1,2,3), являющийся решением системы

АНк>> - ad\Hk,J - djQk - \HkJ = 8kJ(x),

д0Нкл =0, [ ' ' }

где 5k,j — символ Кронекера, 5(x) — ¿-распределение Дирака, причем здесь и ниже по повторяющимся индексам осуществляется суммирование от 1 до 3.

Если для поля / = (/i, /2, /3) определены свертки с фундаментальным решением

(Uxf)j{x) = J Hl\x-y)ft(y)dy,

R3

(Pf)(x) = J ql{x — y)fi(y) dy, (0.2.3)

r3

то объемный потенциал (и — U\f,p = Pf) является решением системы (0.2.1).

Аналогично подходу, изложенному в монографии O.A. Ладыженской [92], после применения интегрального преобразования Фурье к системе (0.2.2) в § 1.1 получено следующее представление для преобразования Фурье фундаментального решения

sfc _ гак " V J а2 J (2тт)3/2(а2 + га1а + \У

Применение обратного преобразования Фурье к формулам (0.2.4) приводит к представлению самого фундаментального решения

Hk*{x) = {ökjA-dkd3)Fx(x), а>(х) ~ - 1 д (l\ (0.2.5)

где

Fx{x) = 8nj -Жх)- ' ( }

о

5(0, х, А) = \х\л/в(Х + ва2/4:)-а9х1/2, /¿(0, А) = у/в(Х + а20/4).

Из формул (0.2.5), (0.2.6) выводятся оценки фундаментального решения.

(Im X)2

Лемма 1.1.1 Пусть выполнены условия Re А > — ^ а2' , а ^ О, А ф 0. Тогда справедливы оценки

{ 1 (а2 + |Ah(H+i)/2\

\дтНг'3(а, х)\ < с , ,, -—— + ' , (0.2.7)

| v > /I \^|x|H+i(l + и(Х)\х\)2 (1 + v(\)\x\)\m\+3 J v ;

где 1у(А) = Re ^А + а2/4 - а/2.

В частности, при больших |А| в фиксированном секторе |arg А| < -к — 5 ввиду того, что и(Х) ~ |А|1//2, выполняется оценка

Если А = 0, а ф 0, |ж| > 1, то

a(|«|-ai)/2

\daHhJ(x)\ < C|^j(|a|+Qi)/2+1(,1+^(H_ai)/2+1. (0.2.9)

В § 1.2 для объемного потенциала (U\f,Pf), определяемого формулами (0.2.3), в качестве следствий теорем о мультипликаторах преобразования Фурье (Михлин, Лизоркин и др.) установлены результаты об ограниченности оператора объемного потенциала как оператора из пространства LP(M3) в пространство L9(IR3). Полученные результаты сформулированы в теореме 1.2.1. Отметим, что асимптотическое поведение норм ||£/a||l пРи больших и малых |А| существенно различно в отличие от объемного потенциала системы Стокса со спектральным параметром. Приведем один из результатов, сформулированных в теореме 1.2.1.

В любом фиксированном секторе |arg А| <iт — ö, S > 0 при достаточно больших |А| > R(5, а) равномерно по А при а ф 0, а при а = 0 во всем секторе выполняются оценки

\\daUxf\\q < с(р, q, 5)|А|~1+3/'2^1/р~1/'^+'а'/'2||/||р, (0.2.10)

где |о;| =0,1, а точки (l/p,l/q) заполняют множество Ва, являющееся четырехугольником

2 1

|(1/р, l/q); 0 < l/q < 1 /р < 1, 1 /р - l/q <

3(Н + 1)

со всеми удаленными вершинами, с(р, q, Ô) - константы, зависящие только от р, q, Ö.

В § 1.3 для системы Озееиа установлены формулы Грина, введены гидродинамические потенциалы простого слоя

Ш)к(х) = - J нк\х - у)фг(у) dsy, (0.2.11)

5

(ЯФ)(х) = - J q\x - y)t/ji(y) dsy s

и двойного слоя Wa</p, П(/9. Выражения для потенциалов двойного слоя здесь не приводятся ввиду их громоздкости. Пары (У\ф, Qip) и П<^) являют-

ся решениями однородной системы Озееиа (0.2.1) при / = 0 в области M3 \ S. В § 1.3 также установлены формулы для предельных значений потенциалов простого и двойного слоя, аналогичные соответствующим формулам для системы Стокса.

Центральным результатом первой главы является теорема о разрешимости интегрального уравнения, определяющего решение задачи типа Дирихле для однородной системы Озеена во внешней области il

Av — ад \v — Vp — \v — 0 div v = 0, г>|дп = x £ Î7

Разыскивая решение задачи (0.2.12) в форме потенциала двойного слоя

v = Wxtp = W\(a, ip), p = Uip = П(а, (p)

и используя предельные соотношения для потенциалов, получаем, что плотность ip определяется из интегрального уравнения

ip — 2W\ip = —26, (0.2.13)

где W\<p - прямое значение потенциала двойного слоя на границе области ÇI. Анализ, аналогичный приведенному в упомянутой монографии O.A. Ладыженской, приводит к следующему результату.

Теорема 1.4.1 Если а 0,Re Л > 0; то уравнение (0.2.13) однозначно разрешимо в пространстве непрерывных полей С(дО,) при любой правой части Ь G C(dQ).

0.2.12

Центральными во второй главе диссертации являются результаты об оценках решения системы Озеена во внешней области в пространствах Ьр(П). Из данных оценок вытекает, что оператор Озеена порождает аналитическую полугруппу операторов. По существу здесь рассматриваются два подхода: метод гидродинамических потенциалов и комбинация оценок системы Озеена для всего пространства с оценками системы Стокса в ограниченных областях, установленных В.И. Юдовичем [153].

В § 2.1 и § 2.2 методом гидродинамических потенциалов исследуется вопрос о разложении //^-пространств со степенным весом в прямую сумму подпространств соленоидальных и потенциальных полей. Сформулируем соответствующий результат.

Пусть В С Шп (п > 2) - ограниченная связная область класса С2, О = Кп \ В - ее внешность, - пространство п-мерных векторных

полей на О с конечной нормой

- замыкание в норме множества М(О) соленоидальных глад-

ких финитных в векторных полей с нулевой нормальной компонентой на границе:

где Сд°(0) обозначает ограничение Со°(Мп) на Г2.

Теорема 2.2.1 Пусть О, С Мп (п > 2) - внешняя область класса С2. Тогда при 1 < р < оо, —п < у < п(р — 1) в пространстве Ьра{0) определен ограниченный проектор П; для которого выполняются соотношения

М(П) = {ие СПП); сИу и = 0, (п,и)|ш = 0} СтР)7(Г2) - соответственно замыкание множества С0 (£7) градиентов гладких

Случай отсутствия веса (7 = 0) как для ограниченных, так и неограниченных областей при различных предположениях исследовался многими авторами (см., например, монографию С.Р. Са1сЦ [22].) Проектор П играет важную роль в гидродинамике. В частности, с помощью проектора П система Навье-Стокса включается в общую схему абстрактного параболического уравнения.

В § 2.3 главы 2 рассматривается для системы Озеена (0.2.1) краевая задача во внешней области с нулевым условием Дирихле на границе и\ди = 0. Стандартным образом определяется ее обобщенное решение. Применение теоремы Лакса-Мильграма позволяет установить существование и единственность обобщенного решения при выполнении условия Г1е А > —(1т А/а)2. Из результатов о регулярности обобщенного решения системы Стокса вытекает, что обобщенное решение и принадлежит пространству Соболева И/22(^) и существует такая функция р, что р 6 1/б(0), \/р ^'^(О), причем пара (и,р) удовлетворяет системе (0.2.1).

Основной результат об Ьр— оценках содержится в следующей теореме, установленной в § 2.4.

Теорема 2.4.1 Пусть (и,р) - обобщённое решение системы (0.2.1), в которой / - гладкое финитное в О, соленоидальное поле. Тогда в области

Та = {А; Ле А > -(1т А)2/а2}

при 1 < г < оо выполняются оценки

М(и,р,Х,г,П) <СГ(А)||/||МП), (0.2.14)

где

Щи,р, А, г, О) = \\д2и\\Ьгт + НУрН^п) + ||Аи||

а Сг{А) - константа, не зависящая от / и равномерно ограниченная по X в любой замкнутой области

К6 = {А; А| < тг - 5,5 > 0, |А| > Щ},

содержащейся в области Та. Из теоремы 2.4.1 следует

Теорема 2.4.2 Пусть А = П(Д + ас^) : 5Г(П) —> 5Г(П) - оператор Озеена с областью определения О (А) = 5Г(Г2) П Ж2 (О) П где

- соболевские пространства векторных полей, причем поля из име-

ют нулевой след на границе. Резольвента R\(A) (A € Та) оператора Озеена существует во всех пространствах Sr(Q) (1 < г < оо) и удовлетворяет оценкам

при 1 < г < оо, 0 < 1/r - l/q < (2 - |а|)/3, |а| = 0,1, 2.

В § 2.5 главы 2 вместе с оператором Озеена А рассматривается возмущенный оператор Озеена А = А + В, где Ви = П[(г>, V)t¿ + (и, V)i>], и исследуются спектры этих операторов. Имеет место следующая

Теорема 2.5.1 Пусть соленоидальное поле v удовлетворяет условиям: V Е Ьоо(й) П LSo(Q), е ^(Q) П Lao(Q)i j = 1,2,3, (s0, cr0 ± оо) причём

7л —» 0 при R —оо; где

Ir = ess sup (Ыж)| + |Vv0(x)|}.

|ж|>Я

Пусть CTp(A) и аР(А) - спектры операторов А и А в пространстве SP(Q), 1 < р < оо. Тогда

Ор(А) = К = {А е С : Re А < -(Im А)2/а2},

Op{Á) = a(Á) = Аа U {Л,}, {Xj} С С \ Ла,

где {A¿} не более чем счётное множество собственных значений оператора А, возможно, имеющее предельные точки лишь на границе множества Аа. Эта теорема обобщает L2- результаты К.И. Бабенко [66].

В §§ 2.6, 2.7, 2.8, 2.9 для исследования резольвенты оператора Озеена применяется теория гидродинамических потенциалов. В первую очередь отметим интегральное представление резольвенты, установленное в § 2.6. Теорема 2.6.1 При X G {A; Re А

> — (ImA/a)2} оператор

R\ = U\ + 2WX(I - 2~W\)~1SU\, (0.2.17)

где U\, W\, Wд, S - соответственно операторы объемного потенциала, двойного потенциала, прямого значения двойного потенциала и оператора следа на дО,, является резольвентой оператора Озеена в любом пространстве SP(Q) при 1 < р < оо.

Важную роль в доказательстве степенных оценок полугруппы Озеена в главе 3 играют представление резольвенты Озеена (0.2.17) и следующая теорема о равномерной обратимости граничного оператора.

Теорема 2.7.1 Для любых S > 0, > 0 существует число такое R = R{ö, £0,р) , что при

\еВ6 = {Л; |arg А| < тг - 6, |А| > R}, а G [ео,^1]

операторы I — 2W\ обратимы в пространстве Lp(dQ) (1 < р < оо), а их нормы

II (I - 2VKa)_1||ьр(дп)^ьр(дп)

равномерно ограничены по X, а.

В § 2.8 методом гидродинамических потенциалов получены оценки резольвенты Озеена, которые установлены раньше другим методом в § 2.4.

Отметим, что подход к оценкам резольвенты, развитый в § 2.4, не дает квалифицированных оценок в окрестности А = 0. Такие оценки с использованием потенциалов получены в § 2.9. Приведем один из результатов этого параграфа.

Теорема 2.9.1 В области ReA + (Im А/а)2 > 0 в достаточно малой окрестности точки А = 0 имеют место равномерные по А соотношения

PAIMhs^) < (0.2.18)

lim || ДА - R0\\Sp{^sq{ü) - 0 (0.2.19)

л—

при выполнении условий 1 < р < 2, q > 2, 1 /р — 1/q = 1/6, Ь € (3/2, 2);

Рл^зд^о) <с№ (0.2.20)

lim ||(ЯЛ - R^djh^s^) - 0 (0.2.21)

л—^и

при выполнении условий 1 < р < 4, q > 2, 1 /р — 1/q = 1/6, b G (3,4).

В главе 3 исследуется полугруппа Озеена во внешней области и ее возмущение. Основными результатами этой главы являются теоремы о степенных Lp — Lq - оценках для полугруппы Озеена во внешней области и для возмущенной полугруппы Озеена, аналогичные оценкам полугруппы теплопроводности во всем пространстве, причем для возмущенной полугруппы Озеена выводятся условия, при которых эти оценки имеют место. В § 3.1

показано, что полугруппа Озеена во всем пространстве Мп совпадает с полугруппой уравнения теплопроводности с переносом. Степенные оценки для этих полугрупп устанавливаются с помощью теоремы Юнга о свертках. В § 3.2 вычислены обратные преобразования Лапласа для операторов объемного потенциала и двойного потенциала и для этих операторов установлены степенные по переменной t оценки норм. Исследована также непрерывная зависимость этих операторов от параметра а. Один из основных результатов этой главы ( степенные оценки полугруппы Озеена во внешней области пространства Ж3) установлен в § 3.3. Следует отметить, что известный прием оценок полугруппы с непосредственным использованием оценок резольвенты производящего оператора и интегрального представления полугруппы через резольвенту [88] не позволяет получить точные оценки. Поэтому был применен метод гидродинамических потенциалов для получения интегрального представления резольвенты, которое было использовано для получения точных оценок.

Теорема 3.2.1 Пусть Q - внешняя область с границей класса С2. Тогда для полугруппы Озеена справедливы оценки

\\T(t)\\lp{n^lq{n) < cnt-wp-w* (0.2.22)

при l<p<q<oo3a исключеним случая (p,q) = (1,1), причем константы cpq непрерывны по q) G (M \ {0}) х {[1, оо) х [1, оо)} \ {(1,1)} при р < q\

¿-1/2-3(1/р-1/д)/2

\\T(t)dx\\Lp{^Lqm < clpq---(0.2.23)

при 1 < p < q < оо, к = min{0,1 — 3/(2p)), причем константы срд непрерывны по (a,p, q) G (M \ {0}) x (1, оо) x (1, оо) при p < q.

Операторы T(t)d£ : Lp(Q) —> Lq(Q), |o;| < 1 при допустимых значениях параметров p, q непрерывны по (a,t) G (M \ {0}) x (0, оо).

В оценках (0.2.22), (0.2.23) Lq(Q) можно заменить на Sq(Q).

Отметим, что в первоначальном варианте этой теоремы были установлены оценки при фиксированном значении параметра а / 0. В дальнейшем равномерные оценки в любой ограниченной окрестности а = 0 были доказаны иными методами [37]. В оставшейся части этого параграфа получены оценки операторов

w^T(t)a

Ограничимся следующим частным случаем.

Теорема 3.2.2 Для полугруппы Озеена справедливы оценки

¿п

\\^т\\Ьр{п)^Ьр{п) < 1 < Р < оо, * > 1

равномерные по параметру а, если а принадлежит компактному множеству полуоси (0, оо).

В оставшейся части главы 3 исследуется вопрос об условиях, при которых для возмущенной полугруппы Озеена Т(£), порожденной возмущенным оператором Озеена, справедливы оценки, аналогичные оценкам невозмущенной полугруппы Озеена. Естественно ожидать, что этот факт будет иметь место для «малых» возмущений. Дальнейший анализ подтверждает этот вывод. Однако мы получаем более общие результаты, так как предположение о малости возмущений не используется. Предлагаемый подход основан на использовании теории обратимости элементов некоммутативных банаховых алгебр. Точнее, используется локальный принцип обратимости Аллана - Дугласа. Банахова алгебра операторных сверток и коммутативная подалгебра ее центра исследуется в §§ 3.4,3.5. В § 3.5 в терминах преобразования Фурье сформулирован и доказан критерий обратимости в операторной алгебре сверток.

В § 3.6 рассматривается возмущенная полугруппа Озеена в Мп. Результаты §3.5 и анализ спектральных свойств возмущенного оператора Озеена приводит к следующему результату.

Теорема 3.6.2 Пусть v £ Бр П б'оо, р < п, ди € и возмущенный оператор Озеена А = А + В, где возмущение Ви = П[(г>, У)и + (и, У)г>]; удовлетворяет следующему спектральному свойству устойчивости: он не имеет собственных элементов в одном из ¿>д(Мп) при с/ Е (п/(п — 1),оо), отвечающих собственным числам в полуплоскости {Л; Р1е А > 0}. Тогда для возмущенной полугруппы Озеена справедливы оценки

\\Та{г)11де\\р^д < Ср5ГИ/2-(-/2)(1/р-1/9) (0.2.24)

при выполнении следующих условий |0| < 1, 1<р<^<оо,д>1 при \9\ = 0, 1 < р < Я < оо при \в\ = 1.

В § 3.7 приведены оценки операторов вида

<ап х к' х 21

где Т(£) - возмущенная полугруппа Озеена в Мп. Для справедливости оценок требуется выполнения спектрального условия устойчивости и некоторые условия гладкости поля, определящего возмущение. В § 3.8 рассматривается вопрос об оценках возмущенной полугруппы Озеена во внешней области пространства М3. Этот случай рассматривается отдельно в связи с влиянием границы области на характер оценок. Это влияние сказывается в том, что оценки совпадают с соответствующими оценками для всего пространства лишь в некоторой подобласти изменения параметров р, q. Для остальных значений параметров характерно более медленное убывание норм при £ —» оо.

Вторая половина диссертации - главы 4, 5, 6, 7 - посвящены различным аспектам нелинейной теории. В главе 4 исследуется асимптотическое поведение стационарного решения задачи обтекания с постоянным вектором скорости на бесконечности. В этом случае стационарное движение жидкости определяется системой Навье-Стокса

Au-Vp = Re(щV)u + f, х е О = М3 \ иУ3 (Иу и = 0, и\оо = ^оо = (1,0, 0).

где и- вектор скорости, р- давление, /- плотность внешних сил, предполагаемая в дальнейшем отличной от нуля лишь в ограниченной области, Яе-число Рейнольдса. В случае задачи обтекания на границах тел У0 выполняются условия

и\дУз = 0. (0.2.26)

Математически интересны и другие граничные условия. Далее предполагается, что

и\щ=а>, (0.2.27)

причем выполняется условие непротекания

/(¿^,71)^ = 0. (0.2.28)

дУ3

Если а3 и / удовлетворяют некоторым условиям «гладкости», то при любых числах Рейнольдса существует решение задачи (0.2.25), (0.2.27), (0.2.28), для которого конечен интеграл Дирихле

У < оо. (0.2.29)

гг

Как уже отмечалось, из этого результата Jlepe о существовании решения следует лишь, что и(х) — и\оо Е Le(Q). Поэтому усилия многих авторов были направлены на исследование асимптотики решения на бесконечности. В этой главе мы, следуя идеям работ К.И. Бабенко [65] и К.И. Бабенко, М.М. Васильева [68] приводим более простое доказательство результата К.И. Бабенко о том, что и(х) — и\оо Е LP(Q) для всех 2 < р < оо, и рассматриваем вопрос о построении следующих членов асимптотики. Применение регуляризации сверток с фундаментальным решением позволяет несколько продвинутся в этом вопросе по сравнению с работой Бабенко и Васильева.

В § 4.2 главы 4 для задачи двумерного обтекания установлен следующий результат: если решение и(х) двумерной задачи обтекания с конечным интегралом Дирихле удовлетворяет соотношению lim и(х) = Uoo, то оно

является PR-решением в смысле Финна-Смита.

Ранее это утверждение было доказано Ч. Эмиком [3] для симметричных решений. Напомним, что PR- решениями Финном и Смитом были названы решения, асимптотика которых на бесконечности определяется фундаментальным решением двумерной системы Озеена, и свидетельствует о наличии следа за обтекаемым телом. Для доказательства существования такой асимптотики предполагалось наличие оценки и(х) — и= 0(|ж|~1//4_£), где е > 0 может быть сколь угодно мало.

В главе 5 исследуются вопросы устойчивости стационарных и периодических решений системы Навье-Стокса во внешней области пространства М3. В § 5.1 доказаны две абстрактные теоремы об устойчивости. Первая из них установлена в [113] и является распространением одной теоремы В.И. Юдовича на случай аналитических полугрупп со степенными оценками вместо экспоненциальных. Этот результат необходим, чтобы включить в общую схему систему Навье-Стокса во внешних областях. Вторая теорема является обобщением результата из [137]. Применение этих теорем к стационарному решению задачи обтекания приводит к следующему результату.

Теорема 5.1.3 Пусть для стационарного решения v + и^ выполняются условия: v, djV Е L^il), v Е LP(Q) при некотором р < 3 и для возмущенного оператора Озеена выполнено спектральное условие устойчивости. Тогда решение v + Uqq асимптотически устойчиво по Ляпунову в простран-

стве 5з(П). Заметим также, что применение второй абстрактной теоремы об устойчивости позволяет установить оценки сходимости нестационарных решений к устойчивому стационарному решению.

Теорема 5.1.5 Пусть для стационарного решения задачи обтекания выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда при достаточно малой норме ||а||з начального возмущения уравнение для возмущений имеет единственное решение w(t), которое принадлежит всем пространствам Sq{Ct) при всех q G [3, оо) и выполняется неравенство

\\w{t)\\q < .

При нарушении спектрального условия устойчивости стационарное решение неустойчиво. Более точно, имеет место

Теорема 5.1.6 Пусть стационарное решение v + и00 удовлетворяет условиям:

v G Ls(Cl) П L00(il)npu некотором s < 3, djV G Loo(O),

возмущенный оператор Озеена имеет собственный вектор в некотором пространстве Sq(Q)( 1 < q < оо), отвечающий собственному значению А с положительной вещественной частью Re Л = а > 0. Тогда стационарное решение v + Uqq неустойчиво в любом пространстве SP(Q) при 1 < р < оо.

В § 5.2 рассмотрен вопрос об устойчивости периодических решений задачи обтекания с заданным ненулевым вектором на бесконечности. В данном случае для оператора монодромии линеаризованного на периодическом решении уравнения его непрерывный спектр расположен в единичном круге комплексной плоскости и точка Л = 1 является точкой, по крайней мере, непрерывного спектра. Тем не менее и в этом, по существу, критическом случае удается установить аналог результата В.И. Юдовича об устойчивости и неустойчивости периодических решений системы Навье-Стокса в ограниченных областях. Именно, доказано,

что при отсутствии у оператора монодромии мультипликаторов в области {Л; |А| > 1} периодическое решение устойчиво в пространстве 5з(0); а при наличии мультипликатора в области {Л; |А| > 1} неустойчиво в всех пространствах SP(Q,) при р > 3.

Кроме того, в § 5.2 исследована структура спектра. Для этого установлена связь оператора монодромии с операторами Винера-Хопфа с операторными символами.

В главе 6 рассмотрен ряд задач, связанных с вопросами существования решений системы Навье-Стокса. В § 6.1 приведено новое по сравнению с первоначальным доказательством Ч. Эмика [1] доказательство существования симметричного решения плоской задачи о протекании жидкости в многосвязной области.

Результат о существовании решений при условии нулевых потоков через каждую компоненту границы принадлежит Лере [44]. В случае произвольных потоков несмотря на усилия многих авторов окончательное решение до недавнего времени не было получено. В.И. Юдович [155] включил ее в список «11 великих проблем математической гидродинамики». Имеется много частных результатов, обзор некоторых из них имеется в работе В.В. Пухна-чева [107]. Предлагаемый в диссертации подход основывается на наблюдении, что известное доказательство из монографии O.A. Ладыженской можно реализовать, используя симметрию области и данных задачи, а также специальную конструкцию соленоидальных полей. Он допускает некоторые обобщения, в частности, в рамках этого подхода получен известный результат В.В. Пухначева [107] о существовании при определенных условиях симметрии трехмерных осесимметричных решений. В феврале 2013 г. появился препринт М. Коробкова, К. Пилецкаса, Р. Руссо [39], в котором доказано существование решения плоской задачи о протекании жидкости в многосвязной области и трехмерной осесимметричной задачи при любых числах Рейнольдса без предположений о симметричности области.

В § 6.2 исследуется задача о существовании переходов между стационарными режимами задачи обтекания. Постановка данной задачи состоит в следующем: для двух стационарных течений обтекания тела требуется найти нестационарное решение, которое в начальный момент времени сопадает с первым режимом и при t —оо стремится ко второму. Существование решения установлено при следующих предположениях: существует гладкое семейство стационарных режимов, связывающее данные стационарные режимы, причем параметром а является значение скорости на бесконечности, при каждом значении а для возмущенного оператора Озеена выполняется спек-

тральное условие устойчивости. При доказательстве реализуется следующая идея: сначала доказывается существование перехода из малой окрестности одного стационарного режима в малую окрестность близкого стационарного режима. Мерой малости является норма в подходящем Ьр - пространстве. Затем доказывается, что за конечное число таких переходов можно осуществить глобальный переход. Представлены два варианта решения задачи для всего пространства Мп и собственно для задачи обтекания тел в пространстве М3. При доказательстве существенно используются равномерные по параметру а оценки возмущенной полугруппы Озеена. Данный результат является дальнейшим продвижением в решении «стартовой» проблемы Р. Финна.

В § 6.3 исследован вопрос о возниковении автоколебаний при обтекании. Предварительно установлена одна абстрактная теорема о возникновении цикла для нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве

Данное исследование обобщает результат В.И. Юдовича [152] на тот случай, когда точка Л = 0 является точкой непрерывного спектра оператора А (в указанной работе предполагалось, что оператор А имеет ограниченный обратный). Необходимость такого обобщения диктуется тем, что для системы Навье-Стокса во внешней области реализуется именно эта ситуация. Ниже устанавливается, что методы работы [152] переносятся и на этот критический случай при определенной подчиненности нелинейности оператору А. В дальнейшем предложенная схема применяется к системе Навье-Стокса во внешней области. В частности, в эту схему включается задача обтекания, исследованная иными методами в [66].

В § 6.4 рассмотрен вопрос о существовании слабых решений задачи сопряжения для системы Навье-Стокса. Задачей линейного сопряжения для системы Навье-Стокса

со— + Ау = к(у,6).

<И

(0.2.30)

+ (и, У)и = иАи - \/р + /(ж, ¿) сНу и = 0,

(0.2.31)

в области О с граничным условием

и\оп = 0

(0.2.32)

будем называть задачу об определении решения системы (0.2.31), (0.2.32) на отрезке £ Е [0,Т], удовлетворяющего условию сопряжения

где II - некоторый линейный оператор, определенный на решениях системы

В частности, при 11и = и(Т) получаем задачу о периодическом решении, которая, начиная с Л. Бегпп'а [59], В.И. Юдовича [151], исследуется многими авторами.

Относительно задачи сопряжения заметим, что помимо работы автора [120] известна статья В.В. Шелухина [149], в которой рассматривается задача сопряжения в случае конечного набора моментов времени для уравнений динамики баротропного океана.

Ниже устанавливается существование слабых решений задачи сопряжения в областях (как ограниченных, так и неограниченных) пространства Мт. В доказательстве используется подход В. И. Юдовича, который применял в [151] теорему Шаудера о неподвижной точке. Особенностью задач для неограниченных областей является тот факт, что периодическое решение или в общем случае решение задачи сопряжения может не быть квадратично суммируемым на Это приводит к необходимости изменения определения обобщенного решения и доказательства его существования.

В главе 7 исследуется система Навье-Стокса при малых числах Рей-нольдса. В § 7.1 рассматривается задача трехмерного стационарного обтекания системы тел потоком вязкой несжимаемой жидкости, математическая формулировка которой состоит в определении решения системы Навье - Сток-са

в области О, С М3, являющейся внешностью системы ограниченных тел Вг {г = 1,2, ...Ы) с граничным условием

V и = гл(0),

(0.2.33)

(0.2.31).

(0.2.34)

и\оп = 0

(0.2.35)

и условием на бесконечности

1

(1,0,0)

(0.2.36)

Здесь и - поле скорости жидкости, р - функция давления, Ые - число Рей-нольдса.

Для дальнейшего удобно перейти к системе Озеена

Аи - 2едги - Ур = 2е(и, V)и

. (0.2.37)

сЦу и = 0, и\дп = а, Щоо = 0,

которая получается из (0.2.34) после замен и —» и + е1, Яе = 2е.

Собственно для задачи обтекания а = — е15 но в дальнейшем рассматриваются общие граничные условия. Например, неоднородные граничные условия возникают при протекании жидкости через поверхность обтекаемых тел или при вращении этих тел (в стационарном случае границы тел должны быть поверхностями вращения).

В § 7.1 главы 7 исследуется представимость решения трехмерной задачи обтекания в виде сходящегося ряда из решений линеаризованной системы Озеена. Вместе с системой (0.2.37) рассмотрим систему

Ли - 2ед\и - Vр = 26(щ V)и ^

сну и = 0, и\эп = а, и\оо = 0,

с некоторым вспомогательным малым параметром 5. Решение системы (0.2.38) будем разыскивать в виде

оо оо

и =

п=0 п=О

¿Уп)5п, р = (0.2.39)

Тогда для определения и^, р^ получаем следующие краевые задачи

Аи^ - 2ед1и^ - V= 0 сиу гх(°) = 0, и(°)|а1 = а, гх^!«, = 0,

АиМ - 2ед1и^ - Vр^ = 2 Е^^, У)^"1"^

сну и^ = 0, = 0, м^и = 0. ( ■ • )

Ниже устанавливается существование решений систем (0.2.40), (0.2.41) в подходящем банаховом пространстве и выполнение оценок

п— 1

•{п)'| < с(е) Н^IIIIи{п-1~к)||, (0.2.42)

\и _

к=0

где с(е) = 0(1п 1/е). Применение метода мажорант позволяет установить сходимость рядов (0.2.39) при достаточно малых 5 : 5 < 5(е). Оценка для 6(е) такова, что неравенство £ < 5(е) выполняется для достаточно малых е > 0. Поэтому ряды (1.6) при 5 = е < ео сходятся и определяют решение задачи обтекания. Заметим, что данный подход позволяет рассмотреть случай растущих при е —> 0 граничных условий. Установленные разложения позволяют получить сходящиеся ряды для силы сопротивления.

В качестве приложений изложенного подхода рассмотрена задача об обтекании вращающегося с постоянной угловой скоростью шара в вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Точное решение этой задачи имеет вид е1+и, р, где иир определяются рядами (0.2.37) при 6 = е, причем р^ являются решениями систем (0.2.40), (0.2.41) при а = —е1+ихх. На самом деле, строится приближенное решение, которое используется для вывода формулы для силы сопротивления. Для этого найдено точное решение системы (0.2.40), которое удовлетворяет граничному условию = —е1 + со х х + 0{е2):

и0 = 6тг(1 + Зе/4 )(#* + -^Уд1) + £-Уд1Ч1 + бтг е^Н]- (0.2.43)

О £

дк(1 +£/Зд1){(Щ,ек,и)}*=1 + ф3(Н2 + ^д2)-ш2(Н3£ + ^Уд3)) р° = 6тг(1 + Зе/4)(д1 - - тг£2д\^ + Ьъедх<£-

О

-4ТГ£ [(-а;3(<?2 - е-дх<12) - ((?3 - . (0.2.44)

Однако формулы (0.2.43), (0.2.44) определяют приближение для решения полной системы лишь с точностью до 0(е). Для получения приближенного решения полной системы с точностью о(е) к полю и0 следует добавить поле ей, где и - решение системы

Аи - 2£дхи - Ур = 2(и°, V

, , (0.2.45)

(Иу и = 0, и\дп = 0, Щоо = 0.

Анализ системы (0.2.45) выполнен в работе автора [122]. Там же установлена строго обоснованная формула для силы сопротивления

-47Г

11е

(1 + ^е )е1 - -^-Т1е21п (1/Ые )ег + ^Ке (ш2е3 - ш3е2) + 0(Яе2) о 40 6

(0.2.4

6)

которая, с одной стороны, обобщает формулу Праудмена-Пирсона на случай вращающегося шара, а, с другой стороны, уточняет формулу Рубинова-Келлера [58].

В § 7.2 на примере двумерной задачи обтекания рассматривается иной подход к построению асимптотики при малых числах Рейнольдса.

Основная идея состоит в том, что внешнее разложение строится из решений системы Озеена во всем пространстве, имеющих особенность в нуле типа особенности фундаментального решения; такие решения зависят от двух свободных параметров, для выполнения граничных условий к каждому члену внешнего разложения добавляется член внутреннего разложения -решение системы Стокса, из условий разрешимости (условий существования решений системы Стокса с нулевым условием на бесконечности ) определяется зависимость свободных параметров от числа Рейнольдса. Таким образом, сращивание внешнего и внутреннего разложения осуществляется на границе обтекаемого тела. Кроме построения асимптотики выполнено и его обоснование. В данном параграфе приведена общая схема и сформулированы окончательные результаты. Подробные доказательства и необходимый линейный анализ приведены в работе [118].

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Сазонов, Леонид Иванович, 2013 год

Литература

[1] Amick C. J. Existence of solutions to the nonhomogeneous steady Navier-Stokes equations //Indiana Univ.Math. J. 1984. Vol. 33. P. 817-830.

[2] Amick C. J. On Leray's problem of steady Navier-Stokes flow past a body in the plane // Acta Math. 1988. V. 161. P. 71-130.

[3] Amick C. J. On the asymptotic form of Navier-Stokes flow past a body in the plane //J. Differential Equations. 1991. V. 1. P. 149-167.

[4] Biler P., Cannone M., G. Karch G. Asymptotic stability of Navier - Stokes flow past an obstacle // Banach center publications 2004. V. 66. P. 47-59.

[5] Bochner S., Phillips R. S. Absolutely convergent Fourier expansions for non-comutative normed rings // Ann. of Math. 1942. 43 (2), p. 409-418.

[6] Borchers W., Miyakawa T. ¿2 - decay for Navier-Stokes flows in unbounded domains, with application to exterior stationary flows // Arch. Rat. Mech. Anal. 118 (1992), 273 - 295.

[7] Borchers W., Miyakawa T. On stability of exterior stationary Navier - Stokes flows // Acta Math. 1995. №174. Pp. 311 - 382.

[8] Botcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz operators.Akademie - Verlag Berlin. 1989. 410 p.

[9] Clark D. The vorticity at infinity for solutions of the stationary Navier-Stokes equations in exterior domains // Indiana Math. J. 1971. V. 20. № 7. P. 633-654.

[10] Deuring P. The resolvent problem for the Stokes system in exterior domains: an elementary approach // Math. Meth. in the Appl. Sci. 1990. № 13. P. 335-349.

[11] Deuring P. Resolvent estimates for a perturbed Oseen problem // Functional Analysis and Evolution Equations. The Giinter Lumer Volume, H. Amann e.a., eds., Birkhauser, Basel. 2007. P. 171-186.

[12] Deuring P., Neustupa J. An eigenvalue criterion for stability of a steady Navier - Stokes flow in M3. // Preprint, Institute of Mathematics, AS CR, Prague, 2008 - 2 - 7. 43 p.

[13] Enomoto Y., Shibata Y. On the Rate of Desay of the Oseen Semigroup in Exterior Domains and its Application to Navier - Stokes equation // J. of Math. Fluid Mech. 2005. V. 7. №3. P. 339-367.

[14] Finn R. On the steady-state Solutions of the Navier-Stokes Equations // Acta Math. 1961. V. 105. P. 197-244.

[15] Finn R. Estimates at Infinity for Stationary Solutions of the Navier-Stokes Equations // Bull. Math, de la Soc. Sci. Math. Phus. de la R.P.R. 1959. V. 3 (51). P. 387-418.

[16] Finn R. Stationary solutions of the Navier - Stokes equations // Proc. Symp. Appl. Math., Amer. Math. Soc., Providence. 1965. № 17 pp. 121-153.

[17] Finn R., Smith D. R. On the stationary solution of the Navier-Stokes equations in two dimensions 11 Arch. Rational Mech. Anal. 1967. V. 25. P. 26-39.

[18] Fischer T.M., Hsiao G.C., Wandland W.L. Singular pertubations for the exterior three-dimensional slow viscous flow problem.// J. Math. Anal. Appl. 110 (1985) 583-603.

[19] Fujita H. On the Existence and Regularity of the Steady-State Solutions of the Navier-Stokes Equations // J. Fac. Sci. Univ. of Tokyo. 1961. V. 9. P. 59-102.

[20] Fujita H. On stationary solutions to Navier - Stokes equations in simmetric plane domains under general out-flow conditions / / Proceedings of International Conference on Navier - Stokes Equations/ Theory end Numerical Methods. June. 1997. Vol. 388. P. 16 - 30.

[21] Galdi G. P. On the asymptotic structure of D-solutions to steady Navier-Stokes equations in exterior domains // Advances in Mathematics for Applied Sciences. 11. pp. 81 - 105.

[22] Galdi G. P. An introduction to the mathematical theory of Navier-Stokes equations. Steady -state problems. Springer, 2011. 1018 p.

[23] Galdi G. P. Further properties of steady-state solutions to the Navier - Stokes problem past a three-dimensional obstacle // J. of Math. Phys. 2007. V. 48. pp. 1-43.

[24] Galdi G. P., Hey wood J. G., Shibata Y. On the global existence and convergence to steady state of Navier - Stokes flow past an obstacle that is started from rest // Arch. Rational Mech. Anal. 1997. № 138. pp. 307-318.

[25] Galdi G. P., Silvestre A. Existence of time-periodic solutions to the Navier- Stokes equations around a moving body // Pac. J. Math. 2006. 223(2). P. 251-267.

[26] Galdi G. P.,Sohr H. Existence and uniqueness of time-periodic physically reasonable Navier-Stokes ow past a body // Arch. Ration. Mech. Anal. 2004. 172(3). P.363-406.

[27] Galdi G. P. 2004, Stationary Navier-Stokes Problem in a Two-Dimensional Exterior Domain, Handbook of Differential Equations, Stationary Partial Differential Equations, Vol. 1, Elsevier Science, 71-155.

[28] Gilbarg D., Weinberger H. F. Asymptotic properties of steady plane solutions of the Navier-Stokes equations with bounded Diricblet integral // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. CI. Sci. (4). 1978. V. 5. P. 381-404.

[29] Hyeong Ohk Bae, Bum Ja Jin Temporal and spatial decay rates of Navier - Stokes solutions in exterior domains // Bull. Korean Math. Soc. 2007. V. 44 P. 547 - 567.

[30] Hopf £.Uber die Anfangswertaufgabe fur die hydrodinamischen Grundgleihungen. // Math. Nachtrichten. 1950 - 1951. 4. 213 - 231.

[31] Heywood J. G. On stationary solutions of the Navier - Stokes equations as limits of nonstationary solutions // Arch. Rat. Mech. Anal. 1970. № 37. P. 48-60.

[32] Heywood J. G. The exterior nonstationary problem for the Navier - Stokes equations // Acta Math. 1972. № 129. P. 11-34.

[33] Heywood J. G. The Navier - Stokes equations: On the existence, regularity and decay of solutions // Indiana Univ. Math. J. 1980. № 29. P. 639-681.

[34] Kaniel S., Shinbrot M. A reproductive property of the Navier-Stokes equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1967. Vol. 24. P. 363-369.

[35] Kato T. Strong Lp - Solutions of the Navier-Stokes Equation in Rm, with Applications to Weak Solutions// Math. Z. 1984. v. 187. P. 471-480.

[36] Kobayashi T., Shibata Y. On the Oseen equation in exterior domains // Math. Research Note, Institute of Mathematics, university of Tsukuba. 1995.

[37] Kobayashi T., Shibata Y. On the Oseen equation in exterior domains // Math. Ann. 1998. V. 310. P. 1-45.

[38] Korobkov M., Pileckas K., Russo R. On the Flux Problem in the Theory of Steady Navier-Stokes Equations with Nonhomogeneous Boundary Conditions // Archive for Rational Mechanics and Analysis January 2013, Volume 207, pp 185-213.

[39] Korobkov M., Pileckas K., Russo R. Solution of Leray's problem for stationary Navier-Stokes equations in plane and axially symmetric spatial domains // Arxiv: 13020731 4 Feb. 2013.

[40] Kozono H., Nakao M .H. Periodic solutions of the Navier-Stokes equations in unbounded domains // Tohoku Math. J. 1996. 48(1). P. 33-50.

[41] Kozono H., Ogawa T. On stability of Navier - Stokes flows in exterior domains // Arch. Rat. Mech. Anal. 1994. № 128. P. 1-31.

[42] Kozono H., Yamazaki M. On stability of small stationary solutions in Morrey spaces of the Navier - Stokes equations // Indiana Univ. Math. J.1995. № 44. P. 1307-1336.

[43] Kozono H., Yamazaki M. On a large class of stable solutions to the Navier - Stokes equations in exterior domains // Math. Z. 1998. № 228. P. 751-785.

[44] Leray J. Etude de diverses equations intégrales non lineaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique// J. Math. Pures Appl. 1933. V. 12. P. 1-82.

[45] Lichtenstem L. Uber einige Existenzeprobleme der Hydrodynamik // Math. Z. 1928. 28. P. 387415.

[46] Maremonti P. Asymptotic stability theorems for viscous fluid motions in exterior domains // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1984. № 71. P. 35-72.

[47] Maremonti P. Existence and stability of time-periodic solutions to the Navier- Stokes equations in the whole space. Nonlinearity. 1991. 4(2). P. 503-529. 1991.

[48] Maremonti P. Some theorems of existence for solutions of the Navier-Stokes equations with slip boundary conditions in half-space // Ric. Mat. 1991. 40(1). P. 81-135.

[49] Maremonti P., Padula M. Existence, uniqueness and attainability of periodic solutions of the Navier-Stokes equations in exterior domains // Записки научных семинаров ПОМИ. 1996. Т. 27. с. 142-182.

[50] Masuda К. On the stability of incompressible viscous fluid motions past objects // J. of the Math. Soc. Japan. 1975. № 27. P. 294-327.

[51] Miyakawa T. On nonstationary solutions of the Navier-Stokes equation s in an exterior domain // Hiroshima Math. J. 1982. Vol. 12. N. 1. P. 115-140.

[52] Miyakawa Т., Teramoto Y. Existence and periodicity of weak solutions of the Navier-Stokes equations in a time dependent domain // Hiroshima Math. J. 1982. 12(3). P. 513-528.

[53] Morimoto H. On existence of periodic weak solutions of the Navier-Stokes equations in regions with periodically boundaries // J. Fac. Sei., Univ. Tokyo, 1972. Vol. 18. P. 499-524.

[54] Odqvist F.K.G. Uber die Randwertaufgaben der Hydrodynamik zäher Flüssigkeiten, Math. Z. 1930. 32. P. 329-375.

[55] Prodi G. Qualche risultato riguardo alle equazioni di Navier-Stokes nel caso bidimensionale // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova.1960. Vol. 30. P. 1-15.

[56] Proudmen I., Pearson J. R. A. Expansions at small Reynolds numbers for the flow past a sphere and a circular cilinder // J. Fluid Mech. 1957. 2. P. 237-262.

[57] Prouse G. Soluzioni periodiche dell'equazione di Navier-Stokes// Atti Accad. Naz. Lincei Rend. CI. Sei. Fis. Mat. Natur. 1963. Vol. 35. P. 443-447.

[58] Rubinow S. I., Keller J. B. The transverse force on a spinning sphere moving in a viscous fluid //Journal of Fluid Mechanics (1961). 11. p. 447-459.

[59] Serrin J. A note on the existence of periodic solutions of the Navier-Stokes equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. Vol. 3. P. 120-122.

[60] Shibata Y. On an exterior initial boundary value problem for Navier - Stokes equations // Quarterly of Applied Mathematics. 1999. LVII № 1. P. 117-155.

[61] Smith D. R. Estimates at infinity for stationary solutions of Navier-Stokes equations // Arch. Rational Mech. Anal. 1965. V. 20. P. 341-372.

[62] Takeshita A. On the reproductive property of the 2-dimensional Navier-Stokes equations //J. Fac. Sei. Univ. Tokyo Sect. 1969. Vol. 16. P. 297-311.

[63] Yamazaki M. The Navier-Stokes equations in the weak-Ln space with timedependent external force. Math. Ann. 2000. 317(4). P. 635-675.

[64] Бабенко К. И. Об асимптотическом поведении вихря вдали от тела при обтекании его потоком вязкой жидкости// Прикладная матем. и механика. 1970. Т. 34. С. 911-925.

[65] Бабенко К. И. О стационарных решениях задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью // Матем. сб. 1973. Т. 91, № 1. С. 3-26.

[66] Бабенко К. И. О спектре линеаризованной задачи обтекания тела вязкой несжимаемой жидкостью // ДАН СССР. 1982. Т. 262. №1. С. 64-68.

[67] Бабенко К. И. О периодических решениях задачи обтекания// ДАН СССР. 1982. Т. 262, №6. С. 1293-1298.

[68] Бабенко К. И., Васильев М. М. Об асимптотическом поведении стационарного течения вязкой жидкости вдали от тела// ПММ. 1973. Т. 37, № 4. С. 690-705.

[69] Белоносов С. М., Черноус К. А. Краевые задачи для уравнений Навье - Стокса М.:Наука. 1985.

[70] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

[71] Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений М.: Наука. 1969.

[72] Ван - Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.:Мир. 1967.

[73] Васильев М. М. Об асимптотическом поведении скорости и силах, действуютих на тело, в стационарном потоке вязкой жидкости// ПММ. 1974. Т. 38. N 1. С. 84-91.

[74] Ворович И. И., Юдович В. И. Стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости // Матем. сб. 1961. Т. 53(95). №24. С. 393-427.

[75] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции. Вып. 1. М., 1959.

[76| Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Коммутативные нормированные кольца. ГИФМЛ. 1960.

[77] Вайнбергер Г. Ф., Гилбарг Д. Асимптотические свойства решений Лере стационарных двумерных уравнений Навье-Стокса // УМН. 1974. Т. 29, № 2. С. 109-122.

[78] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989.

[79] Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. ГИФМЛ. М. 1963.

[80] Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука. 1971.

[81] Гохберг И. Ц. Задача факторизации оператор-функций // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28. С. 1055-1082.

[82] Гюнтер Н. М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики Гостехиздат. 1953.

[83] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

[84] Данфорд И., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. II. Спектральная теория. М.:Мир. 1966.

[85] Дынькин Е. М. Методы теории сингулярных интегралов ( преобразование Гильберта и теория Кальдерона - Зигмунда )// Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Т. 15.

[86] Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

[87] Копачевский Н.Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике М.-.Наука. 1989.

[88] Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустылъник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций М.: Наука., 1966.

[89] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

[90] Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2 Гостехиздат. 1951.

[91] Ладыженская О. А. Исследование уравнений Навье-Стокса в случае стационарного движения несжимаемой жидкости// УМН. 1959. Т. 14. N 3. С. 75-97.

[92] Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.

[93] Лизоркин П. И. О мультипликаторах интегралов Фурье в пространствах Ьр,в. Теоремы вложения и их приложения. М.: Наука, 1970. С. 137-141.

[94] Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972.

[95] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения М.:Мир. 1971.

[96] Мазъя В. Г. Пространства С.Л. Соболева. Л. Из-во ЛГУ.

[97] Мальцев Д. А., Сазонов Л. И. Асимптотическое разложение решения трехмерной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса // Деп. ВИНИТИ. 2004. № 1356 - В04.

[98] Мальцев Д. А., Сазонов Л. И. Построение асимптотического разложения решения трехмерной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса // Известия высших учебных заведений. Северо -Кавказский регион. Математика и механика сплошной среды. Спецвыпуск. 2004. С. 164-170.

[99] Мальцев Д. А.. Сазонов Л. И. Обоснование асимптотики решения трехмерной стационарной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса// Деп. в ВИНИТИ 29.11.05 № 1560-В2005.

[100] Михлин С. Г. О мультипликаторах интегралов Фурье // ДАН СССР 1956. 109, 701-703.

[101] Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.

L02] Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.:Высшая школа, 1977.

L03] Наймарк М. А. Нормированные кольца. М.:Наука. 1968.

L04] Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

105] Пухначев В. В. Оценка скорости убывания вихря от тела вращения при осесимметричном обтекании его потоком вязкой несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Вып. VIII. Новосибирск: Наука, 1971. С. 33-48.

106] Пухначев В. В. Асимптотика поля скоростей на больших расстояниях от самодвижущегося тела // Журнал прикладной механики и технической физики. 1989. №2. С. 52-60.

107] Пухначев В. В. Проблема Ж. Лерэ и гипотеза В.И. Юдовича // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки. Актуальные проблемы гидродинамики. Спецвыпуск. 2009. С. 185 - 194.

108] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. В 4-х т. Т. 1. М.: Мир. 1977.

109] Градштейн И. С., Рымсик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физ-матгиз, 1963.

110] Сазонов Л. И. Обоснование метода линеаризации в задаче обтекания // Докл. РАН. 1992. Т. 323, №1. С. 48-51.

111] Сазонов Л. И. О существовании стационарного симметричного решения двумерной задачи о протекании жидкости // Математические заметки. Том 54, вып. 6, 1993, с. 138-142.

112] Сазонов Л. И. О возникновении автоколебаний при обтекании // Сибирский математический журнал. Том 35, N 6, 1994, с. 1354-1361.

113] Сазонов Л. И. Обоснование метода линеаризации в задаче обтекания // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58. № 5. С. 85-109.

114] Сазонов Л. И. Об асимптотике решения задачи трехмерного обтекания вдали от обтекаемых тел // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. № 5. С. 173-196.

115] Сазонов Л. И. Об асимптотическом поведении решения двумерной стационарной задачи обтекания вдали от обтекаемого тела // Математические заметки, т. 65, вып. 2, 1999, с. 246254.

116] Сазонов Л. И. Гидродинамический проектор во внешней области // ВИНИТИ. Деп. № 3148 — В00.—15.12.2000

117] Сазонов Л. И. Об устойчивости периодических решений системы Навье - Стокса в трехмерной внешней области // Известия РАН. Серия математическая. Т. 67, № 4. 2003, с. 155-170.

118] Сазонов Л. И. Обоснование асимптотического разложения решения двумерной задачи обтекания при малых числах Рейнольдса // Известия РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67. № 5. С. 125 -154.

[119] Сазонов Л. И Трехмерная стационарная задача обтекания системы тел при малых числах Рейнольдса // Труды X международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. 2. С. 261-266. Ростов-на-Дону. 2007.

[120] Сазонов Л. И О существовании обобщенного решения задачи сопряжения для системы На-вье - Стокса // Математический сборник. 2007. Т. 198. № 12. С. 63-86.

[121] Сазонов Л. И Трехмерная стационарная задача обтекания при малых числах Рейнольдса. Построение решения в виде ряда. // ВИНИТИ. Деп. № 773 — В.— 09. 08. 2008.—34 с.

[122] Сазонов Л. И. Обтекание вращающегося шара. Равномерная асимптотика по малым числам Рейнольдса.// Деп. в ВИНИТИ 30. 09. 08 . № 772 - В 2008. 28 с.

[123] Сазонов Л. И. Оценки возмущенной полугруппы Озеена // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 12-й Международной конференции. Т. 1. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ, 2008.

[124] Сазонов Л. И. Оценки возмущенной полугруппы Озеена // Владикавказский математический журнал. 2009. Т.Н. №3. С. 50-61.

[125] Сазонов Л. И. Об устойчивости стационарных решений задачи обтекания // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Актуальные проблемы математической гидродинамики. 2009. Спецвыпуск. С. 195 - 200.

[126] Сазонов Л. И. Оценки решений возмущенной системы Озеена в пространстве 11п. // Труды XIII международной коференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 12-15 октября 2009 г. С. 189-194.

[127] Сазонов Л. И. Оценки возмущенной полугруппы Озеена в К" и устойчивость стационарных решений системы Навье - Стокса // Владикавказский математический журнал. 2010. Т. 12, вып. 3. С. 71-82.

[128] Сазонов Л. И. Оценки эволюционного оператора возмущенной системы Озеена/ / Труды научной школы И.Б. Симоненко. С. 220 - 235. Ростов н/Д. Изд-во ЮФУ. 2010. 275 с.

[129] Сазонов Л. И. Оценки сходимости нестационарных решений к устойчивым стационарным течениям задачи обтекания // Труды XIV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. 1. Ростов-на-Дону, Азов. 19-24 июня 2010 г. С. 295-300.

[130] Сазонов Л. И. Оценки возмущенной полугруппы Озеена и их приложения // Итоги науки. Юг России. Математический форум. 2010. Т. 4. С. 293-302.

[131] Сазонов Л. И. Трехмерная стационарная задача обтекания при малых числах Рейнольдса // Изв. РАН. Сер. мат. 2011. Т. 75. № 6. С. 99-128.

[132] Сазонов Л. И. О существовании переходов между стационарными режимами задачи обтекания // Владикавк. мат. журн. 2011. Т. 13. № 4. С. 60-69.

[133] Сазонов Л. И. О существовании переходов между стационарными режимами системы Навье-Стокса во всем пространстве // Итоги науки. Юг России. Математический форум. Владикавказ. 2011. Т. 5. С. 216-221.

[134] Сазонов Л. И. Оценки старших производных решений линеаризованной системы Озеена во всем пространстве// Труды XV международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. 1. Ростов-на-Дону. 4-6 декабря 2011 г. С. 209-213.

[135] Сазонов Л. И. Оценки возмущенной полугруппы Озеена и их приложения к системе Навье - Стокса в Кп //Математические заметки. 2012. Т. 91. Вып. 6. С. 880-895.

[136] Сазонов Л. И. О существовании глобальных переходов между стационарными режимами задачи обтекания // Труды XVI международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Т. 1. Ростов-на-Дону. 16-19 октября 2012 г. С. 202-206.

[137] Сазонов Л. И., Юдович В. И. Устойчивость стационарных решений параболических уравнений и системы Навье - Стокса во всем пространстве // Сиб. матем. журнал. 1988. Т. 29 № 1 С. 151-158.

[138] Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений // Известия АН СССР, серия математическая, 1965. Т. 29, в. 3, 567- 586; в. 4, 757-782.

[139] Симоненко И. Б.Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. -Ростов-на Дону: ИРУ, 1989. -112с.

[140] Солонников В.А. Об оценках нестационарной задачи Стокса в анизотропных пространствах С.Л. Соболева и об оценках резольвенты оператора Стокса // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58, вып. 2(350). С. 123-156.

[141] Срубщик Л. С., Юдович В. И. О применении метода Ньютона в задачах асимптотического интегрирования нелинейных уравнений // Тезисы Всесоюзной конференции по применению методов функционального анализа к решению нелинейных задач. Баку. Издат. АН АзССР, 1965.

[142] Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

[143] Темам Р. Уравнения Навье - Стокса.М.: Мир. 1981.

[144] Трибелъ X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы М.:Мир. 1980.

[145] Финн Р. Стационарные решения уравнений Навье-Стокса. Новосибирск: Наука, 1967.

[146] Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.:Мир, 1984. 376 с.

[147] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. В 4 т. Т. 1. М.: Мир. 1986.

[148] Хилле Э.. Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.

[149] Шелухин В. В. Нелокальная по времени задача для уравнения динамики баротропного океана // Сиб. мат. журнал. 1995. Т. 36. № 3. С. 701-724.

[150] Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.:Мир. 1969. С. 543-553.

[151] Юдович В. И. Периодические движения вязкой несжимаемой жидкости //ДАН СССР. 1960. Т. 130, вып. 6. С. 1214-1217.

[152] Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // Прикладная математика и механика. 1971. Т. 35. № 2 С. 638-655.

[153] Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону, 1984.

[154] Юдович В. И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 1. С.61-102.

[155] Юдович В. И. 11 великих проблем математической гидродинамики // Вест, молодых ученых. Серия Прикладная математика и механика. 2003. Т. 12. № 2. С. 3 - 18.

[156] Яворский Н. И. Об асимптотическом ламинарном следе // ПММ. 1990. Т. 54. № 4. С. 543-553.