Категория обобщенных модулей и спектр Циглера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Гаркуша, Григорий Анатольевич

• Гаркуша, Григорий Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гаркуша, Григорий Анатольевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ 3 ГЛАВА I. Категории Гротендика как факторкатегории

(R - mod, АЪ)

1. Предварительные сведения

1.1. Локализация, кручение, спектр Циглера

1.2. Локально когерентные категории

2. Категории Гротендика как факторкатегории

(R — mod, Ab) 20 ГЛАВА II. Двойственность для категорий

конечно представимых модулей

3. Абсолютно чистые и плоские модули

4. Почти регулярные кольца. 48 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Категория обобщенных модулей и спектр Циглера»

ВВЕДЕНИЕ

В настоящий момент в теории колец и модулей а также в теории абелевых категорий существует ряд фундаментальных понятий, берущих свое начало в теории моделей. Теория моделей модулей уже давно оформилась в самостоятельную дисциплину (подробное изложение этой теории содержится, например, в работах Циглера [25] и Преста [18]), и принесла с собой существенно новые понятия и постановки вопросов, касающиеся чисто алгебраических объектов. По этой причине, она обусловила ряд новых исследований, которые, с одной стороны, являются компиляцией теоретико-модельных конструкций на алгебраический язык, и, с другой стороны, полученные в них методы эвристически дополняют ранее известные алгебраические средства

и

изучения категории модулей.

Оказалось, что основные теоретико-модельные концепции реализуются в категории rC — (mod—R, Ab), состоящей из аддитивных кова-риантных функторов F : mod—R —>• Ab из категории mod—Я конечно представимых правых Д-модулей над ассоциативным кольцом с единицей R в категорию абелевых групп Ab, и чьи морфизмы — естественные преобразования функторов (см. [14]). Категория rC называется категорией обобщенных левых R-модулей, ввиду вполне унивалент-ного, точного справа функтора rM —> — <S)r М из категории левых Л-модулей R—Mod в rC.

Отметим отдельно, что категория обобщенных модулей занимает особое место в современной теории представлений артиновых алгебр (относительно этого вопроса см. подробный обзор Ауслэндера [6], а также недавно вышедшую работу Краузе [17]).

Одним из фундаментальных теоретико-модельных понятий является спектр Циглера кольца, построенный Циглером [25] в 1984 году. Алгебраическое же определение спектра Циглера кольца было предложено Херцогом [12]. Оно состоит в следующем.

Пусть fp r С — полная подкатегория конечно представимых объектов rC. Согласно [5, Theorem 1.6], категория fp rC абелева, или эквивалентно: каждый конечно представимый объект В Е rC когерентен, то есть В — конечно представимый объект и каждый конечно порожденный подобъект объекта В также конечно представим, так что подкатегории fp r С конечно представимых объектов и когерентных объектов coh r С совпадают.

Циглер сопоставил каждому кольцу R топологическое пространство, состоящее из классов изоморфности неразложимых чисто-инъектив-ных левых Л-модулей rQ. Это пространство гомеоморфно, посредством функтора rQ —» — Q (который отождествляет чисто-инъек-тивные левые Д-модули и инъективные объекты категории rС), топологическому пространству Zg rC, состоящему из классов изоморфности неразложимых инъективных объектов категории rC, и базис

открытых множеств которого задается семейством подмножеств

O(C) = {EeZgRC\RC(C,E)¿0},

где С пробегает когерентные объекты rC [12].

Теорема (Херцог [12]). Существует биективное соответствие между подкатегориями Серра S подкатегории когерентных объектов coh r С и открытыми подмножествами О пространства Zg r С. Это соответствие задается отображениями

O^S0 = {C е coh RC I О {С) С О},

которые взаимно обратны друг другу.

Излагаемый в диссертации материал существенно опирается на понятие локализующей подкатегории и факторкатегории категории rC. Поэтому, наше изложение ведется на языке функторов кручения и локализующих функторов, наиболее адекватном в данной ситуации, поскольку многие результаты естественно формулируются именно на этом языке, который, начиная с основных определений, содержащихся в первом параграфе, вводится и подробно объясняется в данной работе.

В главе I доказывается главный результат нашего исследования, который по существу относится ко всему материалу в целом. А именно,

теорема 2.2 утвеждает, что если С — категория Гротендика, и Р — конечно порожденный проективный объект, то подкатегория S = {С Е С | с(Р,С) = 0} является локализующей и функтор C/S{PS,~) устанавливает эквивалентность между категорией C/S и категорией модулей Mod—R над кольцом эндоморфизмов R = С(Р,Р) объекта Р. Данный результат позволяет, в частности, представить категорию модулей R—Mod в виде факторкатегории л С по локализующей подкатегории Vя = {F Е rC | F(Rr) = 0} (см. следствие 2.3).

В главе II показывается, как некоторые вопросы и понятия, возникающие при исследовании абсолютно чистых и плоских модулей естественным образом решаются и интерпретируются в терминах локализующих подкатегорий VR, SR и Sr. Подкатегория SR (соответственно, Sr) определяется следующим образом: объект У Е S (соответственно, У Е Sr), если и только если У = С{ Е SR = Vя П coh rC = {С Е coh rC I C(Rr) = 0} (соответственно, Сг- Е Sr = {С Е coh rC j rC(C, — &)r R) = 0}). Так, например, абсолютно чистые модули реализуются в r С, посредством функтора rM i—>• — М, как те и только те модули rM, для которых функтор — М не имеет Рд-кручения (см. предложение 3.1). С другой стороны, класс плоских модулей удается реализовать в rC аналогичным образом (а именно, когда существует такая локализующая в rC подкатегория <5, что модуль rM плосок, если и только если функтор — М не имеет tS-кручения) тогда и

только тогда, когда кольцо R когерентно справа (см. теорему 3.3). Одним из основных результатов этой главы является теорема 3.4, в которой описываются абсолютно чистые кольца.

Далее наше изложение относится к исследованию двойственности категорий конечно представимых модулей R—mod и mod—R. Кольца, над которыми кольцо R задает указанную двойственность, называем слабо квазифробениусовыми. Оказывается, что такие кольца описываются как абсолютно чистые (слева и справа), когерентные (слева и справа) кольца. Этот класс колец ранее встречался в [21, 24].

В §4 главы II исследуется класс абсолютно чистых колец, для которых подкатегории и Sr нулевые. Такие кольца мы называем почти регулярными (см. теорему 4.1). Изучаются также инедискрет-ные" кольца, а именно те кольца, у которых топология спектра Ци-глера Zg rC тривиальна. Оказывается, что "недискретные" кольца характеризуются как простые почти регулярные кольца. Результаты этого параграфа являются обобщением результатов Преста, Ротмале-ра и Циглера [19], которые описали "недискретные" кольца с использованием теории моделей модулей. Результаты, выносимые на защиту диссертации: 1) получен следующий результат для категорий Гротендика: если С — категория Гротендика, и Р — конечно порожденный проективный объект, то факторкатегория C/S категории С по локализующей

подкатегории S = {С G С \ с(Р,С) = 0} эквивалентна категории модулей Mod—R над кольцом эндоморфизмов R = EndP объекта Р. В частности, категория левых Р-модулей R—Mod эквивалентна фактор-категории rC/Vr, где VR = {F £ RC I F(Rr) = 0}.

2) получены новые критерии для когерентных, абсолютно чистых, почти регулярных и "недискретных" колец.

3) найдены необходимые и достаточные условия Д-двойственности категорий конечно представимых модулей.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 10].

Приношу глубокую признательность моему научному руководителю профессору А.И. Генералову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гаркуша, Григорий Анатольевич, 1999 год

Список литературы

[1] Г.А. ГАРКУША, Категория обобщенных модулей и спектр Циглера, Деп. ВИНИТИ 12 декабря 1998 г., № 3745-В98, 9с.

[2] Е.Г. СКЛЯРЕНКО, Чистые и конечно представимые модули, гомоморфизмы двойственности и свойство когерентности кольца, Матем. сб., 105 (1978), 192-206.

[3] К. ФеЙС, Алгебра: кольца, модули и категории, том 1, Мир, Москва, 1977.

[4] К. ФЕЙС, Алгебра: кольца, модули и категории, том 2, Мир, Москва, 1979.

[5] М. AUSLANDER, Coherent functors, in: Proc. Conf. on Categorical Algebra (La Jolla, 1965), Springer, 1966, 189-231.

[6] M. ausländer, A functorial approach to representation theory, Lect. Notes Math. 944 (1982), 105-179.

[7] m. ausländer, Isolated singularities and almost split sequences, in: Representation Theory II, Lect. Notes Math. 1178 (1986), 194-242.

[8] S.U. CHASE, Direct products of modules, Trans. Amer. Math. Soc., 97(1960), 457-473.

[9] P. Gabriel, Des categories abeliennes, Bull. Soc. Math. France 90(1962), 323-448.

[10] G.A. GARKUSHA, Duality for categories of finitely presented modules, Международная конференция памяти JT.С. Понтрягина, Тезисы докладов (Appendices), Москва, 1998, с. 294-295.

[11] L. GRUSON, С.U. JENSEN, Dimensions cohomologiques reliees aux foncteurs l^im^, Lect. Notes Math. 867 (1981), 234-294.

[12] i. herzog, The Ziegler spectrum of a locally coherent Grothendieck category, Proc. London Math. Soc. 74 (1997), part 3, 503-558.

[13] S. JAIN, Flat and FP-injectivity, Proc. Amer. Math. Soc. 41(2) (1973), 437-442.

[14] C.U. jensen, M. Lenzing, Model theoretic algebra, Logic and its Applications 2, Gordon and Breach, New York, 1989.

[15] H. KRAUSE, Functors on locally finitely presented categories, preprint, 1995.

[16] H. krause, The spectrum of a locally coherent category, J. Pure Appl. Algebra 114 (1997), 259-271.

[17] h. krause, The spectrum of a module category, Habilitationsschrift, Universität Bielefeld, 1998.

[18] M. PREST, Model theory of modules, London Mathematical Society Lecture Notes Series 130, Cambridge University Press, 1988.

[19] M. prest, ph. Rothmaler, M. Ziegler, Absolutely pure and flat modules and "indiscrete" rings, J. Algebra 174 (1995), 349-372.

[20] J.-E. Roos, Locally noetherian categories, in: Category Theory, Homology Theory and their Applications II, Lect. Notes Math. 92 (1969), 197-277.

[21] G. Sabbagh, Sur la pureté dans les modules, C. R. Acad. Sc. Paris, 271 (1970), 865-867.

[22] B. StenstrÖM, Coherent rings and FP-injective modules, J. London Math. Soc. 2 (1970), part 2, 323-329.

[23] B. STENSTRÖM, Rings of quotients, Springer-Verlag, New York and Heidelberg, 1975.

[24] T. würfel, Über absolut reine Ringe, J. Reine Angew. Math., 262/263 (1973), 381-391.

[25] M. ziegler, Model theory of modules, Ann. Pure Appl. Logic 26 (1984), 149-213.