О многомерных аналогах эллиптических функций Вейерштрасса тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Галушина, Елена Николаевна

• Галушина, Елена Николаевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Галушина, Елена Николаевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Эллиптические функции

1.1 Обращение эллиптических интегралов

1.2 Эллиптические и тэта-функции Якоби

1.3 Эллиптические функции Вейерштрасса

1.4 Связь эллиптических функций Вейерштрасса и функций Якоби

1.5 Представление числа ж в виде двойного ряда

Глава 2. Многомерные аналоги эллиптических функций

Вейерштрасса

2.1 Многомерный аналог р-функции Вейерштрасса и её свойства

2.2 Многомерный аналог ^-функции Вейерштрасса и её свойства

2.3 Нахождение периодической формы т (х) = ((г) — )

Глава 3. Применение (-формы к проблеме числа точек

решётки в замыкании области

3.1 Интегральное представление для взвешенного числа точек решётки в замыкании области из Сп

3.2 Интегральное представление для взвешенного числа точек решётки в замыкании области из

3.3 Вычисление объёмов решётчатых многогранников

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О многомерных аналогах эллиптических функций Вейерштрасса»

Введение

Всем хорошо известны примеры периодических функций на комплексной плоскости: sin z, cos z, tgz, cigz с периодами 2n и n соответственно. Поднимая вопрос о существовании функций с большим количеством периодов, можно легко убедиться в том, что не существует более двух линейно независимых (над полем вещественных чисел) периодов, а функции, обладающие двумя такими периодами, называются двоякопериодическими.

Из теоремы Лиувилля следует, что аналитические двоякопериодические функции без особых точек являются константами. Среди аналитических дво-якопериодических функций с особенностями выделяется класс эллиптических функций — не имеющих никаких других особых точек, кроме полюсов в узлах решётки на плоскости.

Изучению эллиптических функций предшествовало накопление знаний об эллиптических интегралах, систематическое описание которых дал А. Ле-жандр. Развитие эллиптических функций шло двумя путями: К. Якоби в основу теории положил эллиптические функции, которые позже были названы в его честь, и вспомогательные тэта-функции; К. Вейерштрассом был предложен другой подход, базирующийся на р-функции. С её помощью можно описать все эллиптические функции, так как они все представляются в виде алгебраических выражений от р-функции и её производной. В современной математике теория эллиптических функций занимает одно из центральных мест: объединяя алгебраические, аналитические и арифметические методы, она связывает различные её области.

В случае нескольких переменных хорошо известны [10] многомерные тэта-функции, заданные в виде экспоненциальных рядов, и построенные с их помощью многомерные эллиптические функции. В начале 1980-х годов итальянский математик П. Заппа дал иное многомерное обобщение р- и ^-функций Вейер-штрасса в виде дифференциальных форм [53]. Напомним, что для решётки Г изоморфной Z2 (-функция Вейерштрасса задаётся в виде ряда

Слагаемые вида - можно рассматривать как ядра Коши без дифференциала ¿г. Тогда, если теперь Г — решётка максимального ранга в Сп, и 'фвм (% — 7) — ядро Бохнера-Мартинелли с особенностью в 7 без голоморфных дифференциалов Л ... Л ¿гп, то (-форма определяется рядом

с (х) = -фвм (г) + ( (х — ч) + (ч) —

7€Г\{0} V

ЕП (дфвм , ч _ \ \

,=Д (') г!+-кт(7' гу; ■

Аналоги р-функции Вейерштрасса — это формы рг (г), определённые равенством

д

р (г) = — кс

Свойства таким образом определённых дифференциальных форм напоминают свойства классических р- и ^-функций Вейерштрасса. Кроме того, они сохраняют воспроизводящее свойство, присущее форме Бохнера-Мартинелли.

В 1995 году Р. Диаз и С. Робинс [31] дали новое доказательство известной формулы Пика:

I + 2 — 1 = 5,

связывающей число I целых точек целочисленного многоугольника внутри него, число В целых точек на границе многоугольника и площадь $ этого многоугольника, при помощи ^-функции Вейерштрасса. Оно основано на том, что интеграл от (-функции по замкнутому контуру сводится к интегралам от ядра Коши. Так как вычет ядра Коши равен 0 либо 1 в зависимости от того, попадает ли его особенность внутрь контура или нет, этот факт можно использовать для подсчёта числа особых точек (-функции внутри контура.

Аналогичным образом воспроизводящее свойство (-формы можно использовать для исследования проблемы числа точек решётки в многомерной области.

Целью данной работы является изучение свойств многомерных аналогов эллиптических функций Вейерштрасса и их применение к задаче оценки числа точек решётки в замыкании области.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Исследовать свойства многомерных аналогов эллиптических функций Вейерштрасса.

2. Доказать возможность почленного дифференцирования ряда для (-формы.

3. Вычислить такую форму чтобы форма ( — ^ стала Г-инвариантной.

4. Получить интегральное представление для разности взвешенного числа точек произвольной решётки максимального ранга в Cn в замыкании области с кусочно-гладкой границей и её объёма:

£ — Vol (D).

7 ег

Научная новизна: Результаты работы являются новыми. Впервые была исследована сходимость рядов для производных ^-формы, вычислена дифференциальная форма ^ с линейными коэффициентами такая, что форма ( — ^ является Г-инвариантной. Доказано новое интегральное представление для разности взвешенного числа точек решётки в замыкании области и её объёма.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Их ценность состоит в том, что они могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, алгебраической геометрии, комбинаторике и теории чисел, а также в компьютерной алгебре.

Практическое применение полученных результатов состоит в их внедрении в учебный процесс в виде материала для проведения специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.

Ыетодология и методы исследования. В работе используются методы многомерного комплексного анализа, в частности, техника теории интегрального представления Бохнера-Мартинелли, теория сходимости многомерных числовых и функциональных рядов.

При вычислении суммы двойного числового ряда использовались методы теории специальных функций и асимптотические оценки, а при исследовании сходимости функционального ряда оценивалась величина производной ядра Бохнера-Мартинелли на компакте.

Доказательство основного результата опирается на фундаментальные свойства интегрального представления Бохнера-Мартинелли. В исследованиях

последнего раздела диссертации важную роль сыграла симметрия рассматриваемых множеств.

В процессе исследований для выполнения расчётов и верификации полученных результатов активно использовались методы численного моделирования, а также системы компьютерной алгебры.

Основные результаты:

1. Получена интегральная формула для разности взвешенного числа точек произвольной решётки максимального ранга в Сп в замыкании области с кусочно-гладкой границей и её объёма. Указанная разность представляется в виде интеграла по границе этой области.

2. Получено новое представление числа ж в виде двойного ряда по решётке гауссовых чисел.

3. Получено аналитическое доказательство многомерного аналога формулы Пика для многогранника с вершинами в узлах решётки и центрально-симметричными гипергранями.

Достоверность полученных результатов работы подтверждается строгими математическими доказательствами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

1. Красноярском городском научном семинаре по комплексному анализу и алгебраической геометрии (СФУ, 2010-2017 гг);

2. 50-ой международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2012 г.);

3. Четвёртом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, 2012 г.);

4. Пятом российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Ереван, 2014 г.);

5. Международной школе-конференции по многомерному комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Красноярск, 2014 г.);

6. Третьей российско-китайской научной конференции по комплексному анализу, алгебре, алгебраической геометрии и математической физике (Москва, 2016 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и 4 тезисах. Все статьи ([5; 48; 49]) опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК. Одна статья ([49]) совместная, её результаты получены

в нераздельном соавторстве с А.В. Щуплевым. Две другие ([5; 48]) подготовлены лично автором диссертации. Кроме того, для проведения компьютерных экспериментов была разработана программа «Tex2Cpp», зарегистрированная в Федеральной службе по интеллектуальной собственности [18].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 65 страниц, включая 1 рисунок и 2 таблицы. Список литературы содержит 53 наименования.

В первой главе даются необходимые сведения об эллиптических функциях одной комплексной переменной, то есть двоякопериодических мероморфных функциях.

Рассмотрим комплексную плоскость C и решётку Г на ней

Г = {п71 + mrj2ln,m Е Z} ,

определённую парой комплексных чисел 71 и 72 со свойством ^ Е C \ R. Очевидно, что линейным преобразованием любая такая решётка приводится к виду Z0tZ, где Imr > 0, поэтому в рамках первой главы будем считать, что решётка Г задана именно в таком виде. Будем рассматривать эллиптические функции с множеством периодов Г. В основе подхода К. Якоби к определению эллиптических функций лежат вспомогательные тэта-функции.

Определение 1. Тэта-функцией называется сумма ряда

то

в (z,T)= ^ eWе2шпг.

Сами тэта-функции являются квазипериодическими функциями, то есть сдвигу аргумента на любой элемент решётки периодов соответствует умножение функции на экспоненциальный множитель. Однако, отношение двух тэта-фукнций, ассоциированных с одной и той же решёткой, представляет собой двоякоперио-дическую функцию.

Другой подход в теории эллиптических функций был предложен К. Вей-ерштрассом, который перестроил всю теорию, используя р-функцию

р (г)=?+5 (^- ?)' (1)

где Г' = Г\ {0}, и связанные с ней функции

с w = 1 + Е (-1- + i +

z ^ГЛ * - 7 7 7Ч

a (z) = z ^ - е*+2 7 .

7бГ'

Несмотря на разницу в подходах к построению теории эллиптических функций, между основополагающими функциями существуют связывающие их формулы. Одна из них заключается в следующем тождестве

(I2

Р ) = -1пвп (г) + с,

где вп (г) = -в (г + 2т + Ц ,т) .

В случае гауссовой решётки Г = Ъ 0 гЪ константа с равна -ж. Для этой константы существует интегральное представление

1

* = - с = /Р - Р) ^

0

откуда можно получить представление для ж в виде двойного ряда Теорема 1.

11

п = --+ -+ >

1 — р р

1 1 1

1 — 7 — Р 7 + Р 72

Также мы приводим прямое вычисление суммы этого ряда, опубликованное в [5].

В рамках исследования были проведены компьютерные эксперименты по вычислению знаков числа ж с помощью полученного представления в виде двойного ряда. Скорость сходимости данного ряда невысокая и зависит от выбора точки р. В ходе компьютерных экспериментов была разработана компьютерная программа, которая преобразует математические формулы, записанные в формате TEX, в программы для их вычисления на языке программирования C++ [18]. Программа способна интерпретировать арифметические операции, операции с комплексными числами, элементарные математические функции, индексированные суммы, операции с векторами.

Во второй главе приводятся многомерные аналоги р- и (-функций, исследуются их свойства.

Пусть 'вм — ядро интегрального представления Бохнера-Мартинелли с особенностью в нуле без голоморфных дифференциалов:

'вм й =

(П _ 1)! Т,к=1 (-1)"-1 г.к]

(2-)П (е;=1Ы2)п

где йг [к] = йг1А...А(1,гк_1А(1,гк+1А...А(1,гп. Обозначим через & (х,7) производную смещённой на 7 формы Бохнера-Мартинелли по

д

& ^,7) = _д^'вм _ 7),

Пусть Г — решётка максимального ранга в пространстве Сп. Следуя [53], введём аналоги р-функции Вейерштрасса:

р (г) = & (г,0) + ^ (г,7) _ & (0,7))

7€Г'

и -функции Вейерштрасса

7еГ' \

с (г) = 'вм й + I 'вм (? _ 7) + 'вм (7) _

7 еГ'

ЕП (д'вм ( , , д'вм ( , _ \ \

,=Д т(7) г! + т(7' V).

Свойства (- и рг-форм напоминают свойства (- и р-функций Вейерштрас-са. В частности, формы р являются Г-инвариантными и

Р д г

р = С.

д zг

Кроме того, и (-, и р1 -формы обладают восстанавливающим свойством.

В разделе 2.2 мы исследуем свойства (-формы. Равномерная сходимость ряда для (-формы и её голоморфных производных, то есть для р1 -форм, доказана П. Заппой [51]. Мы доказываем сходимость рядов, представляющих анти-

голоморфные производные ^-формы:

Ал ( ) - (п -1)! ((-1) 1 РУ^И-п Е%=1 (-1)^ 1 ад^М +

д7> (2) (2т)М ||;гп2п+2 +

+ Е

7ЕГ'

(-1) 1 11г-11\2Лг[г] -п (-1)^ 1 (Ъ - 7»)(7 — 1к )^[к]

II II 2п+2

Цх — 71|

(-1) 1 Ь||2 ^И -п Е^=17*7^7 [к] 1|7 ||2П+2

. (2)

Предложение 2. Ряд (2) сходится абсолютно и равномерно на компактах из Сп \ Г.

Таким образом, ряд для ^-формы можно почленно дифференцировать. Кроме того, доказывается, что для 7 Е Г разность

С(г + 7) - СМ

зависит только от .

Для вычисления характеристик областей в Сп, инвариантных относительно сдвига на элемент решётки, каковой, очевидно, является число точек решётки в ней, естественно использовать Г-периодические выражения, в то время как ^-форма не Г-периодическая. Поэтому в разделе 2.3 мы вычисляем форму г] (г) с коэффициентами, линейно зависящими от 7 и 7

( _ 1)! .гс / п

ч М - "^тГ1 Е Е Е + ^7) атк +

( ) то=1 &=1

п \

+ + N27)^тоП ^Н , (3)

¿=1 /

где матрицы Ь1, N1, Ь2, N2 и константы ото, Дто зависят от векторов, порождающих решётку Г.

Предложение 3. Для любой точки г Е СП\Г и точки 7 Е Г

ф + 7) - С(

где г](г) задана формулой (3).

Затем определяем форму ( ) такую, что имеет место

Теорема 3. Форма т (г) = ( (г) _ г] (г) является Г-инвариантной.

В случае целочисленной решётки Г = (Ъ 0 гЪ)п матрицы Ь1, N1, Ь2, N имеют вид Ь1 = 2>Е, Ь2 = _|Е, N1 = ^Е, N = |Е, где Е — единичная матрица, а форма значительно упрощается:

(п _ 1)! п п

1 ( *) = /о лп^ У" (®тк • Ие^ + ртк • 1т^) (г [т] (2тТ г) ^——'

у т=1 к=1

Кроме того, между коэффициентами атк и /Зтк существует следующая связь.

Предложение 4. Если Г = (Ъ 0 гЪ)п, то

$тк ^тк, к = т,

Ртк ^тк, к т1.

Таким образом, для целочисленной решётки форму г] (г) можно записать следующим образом [49]:

(п _ 1)! п п

V М = /о лп'^ У^ атк ($ткгк + (1 _ $тк) (Иегк + 1т%к)) • (г [т].

(2ттг) ^——' > 1 —1

В третьей главе полученные результаты о свойствах (-формы применяются к исследованию проблемы числа точек решётки в замыканиях областей.

Раздел 3.1 посвящён доказательству основного результата диссертации — интегрального представления для разности взвешенного числа точек решётки в замыкании области и её объёма.

Обозначим ввеличину телесного угла области И в точке г0. Очевидно, что если г0 е И, то телесный угол И в точке г0 есть полный телесный угол, и в= 1. Аналогично, если г0 е И, то в= 0.

Определение 5. Взвешенным числом точек решётки Г в замыкании области

И назовём в-у,Б.

еГ

Теорема 4. Пусть D — область в Cn с кусочно-гладкой границей, тогда

где Vol (D) — объём области D, нормированный условием, что объём фундаментального параллелепипеда периодов решётки Г равен 1.

Формула (4) верна лишь для комплексных, то есть чётномерных вещественных пространств. Поэтому в разделе 3.2 мы рассматриваем случай областей в Rn. Пусть D — область с кусочно-гладкой границей в Rn, а tr — решётка максимального ранга в Rn, порождённая векторами v\,..,vn. Рассмотрим Rn как вещественное подпространство Cn и определим в нём решётку Г = tr 0 iZn, порождённую векторами v\,...,vn и

имеет кусочно-гладкую границу и к ней можно применить результат Теоремы 4. Таким образом, верна

Теорема 5. Пусть И — область с кусочно-гладкой границей в тогда

В разделе 3.3 приводится аналитическое доказательство многомерного аналога формулы Пика ([26], [37]) для решётчатых многогранников с центрально-симметричными гипергранями.

Определение 6. Пусть Г — решётка максимального ранга в Сп. Решётчатым многогранником в Сп называется многогранник с вершинами в точках решётки Г.

[х = (г ,0,...,0)

[n = (0,0,...,г).

Область D = D + iUn, где Un = [—2; 1>]n — n-мерный единичный куб

Для таких многогранников верна

Лемма 2. Если гипергрань Q решётчатого многогранника обладает центральной симметрией, то

J r(z) Adz = 0. Q

Отсюда непосредственно вытекает

Теорема 6. Если D — решётчатый многогранник, гиперграни которого обладают центральной симметрией, то

Vol (D) = 07.

7€Г

В случае плоского многоугольника последнее равенство превращается в формулу Пика, так как с учётом известного факта, что сумма углов п-угольника равна ж (п — 2), сумма телесных углов приобретает вид

D

Е0^ = '+ 2 — 1

7€Г

Заметим, что не все такие многогранники являются зонотопами ([38], [39]). Кроме того, из Леммы 2 легко получить следующую теорему.

Теорема 7. Если D — п-мерная решётчатая призма, то

Vol (D) = 07.

7€Г

Результаты этого раздела доказаны в предположении, что D — область в Cn. Однако, формулы в теоремах 4 и 5 различаются только областями, по границе которых ведётся интегрирование. Так как в условиях теорем 6 и 7 эти интегралы равны нулю, то они верны и для областей в вещественном пространстве.

Глава 1. Эллиптические функции

В начале XIX века математики активно работали над расширением возможностей математического анализа с помощью включения в его сферу функций, не являющихся элементарными. Новые классы функций должны были быть изучены так же тщательно и глубоко, как это было сделано с элементарными функциями. Этот процесс шёл и на протяжении всего XVIII века, а в XIX веке он существенно систематизировался и ускорился. Для изучения специальных функций применялись общие методы теории аналитических функций. Это приводило к взаимообогащению этих теорий: накапливался массив новых фактов и возникали вопросы, стимулирующие и определяющие направление дальнейшего развития теории.

Особую роль среди специальных функций играли эллиптические функции. Это объясняется универсальностью алгебраических, аналитических и топологических свойств этого класса функций, которая служила источником новых идей и позволяла связывать различные разделы математики. Своим рождением теория эллиптических функций обязана К. Гауссу, Н. Абелю и К. Якоби, рассматривавшим обращения эллиптических интегралов, оказавшиеся двоякопе-риодическими. Именно это свойство позволило затем Б. Риману рассматривать эллиптические функции на торах $1 х $1, и тем самым дать геометрическую трактовку предыдущих известных результатов об эллиптических и гиперэллиптических интегралах (см. [44]).

В первой половине XIX века эллиптическими функциями заинтересовался К. Вейерштрасс, который занимался построением строгой аналитической теории функций комплексного переменного. Особое значение он придавал обоснованию степенных рядов и произведений, которые К. Гаусс, Н. Абель и К. Якоби использовали в полной мере. Имея разложение в виде бесконечного произведения гамма-функции Эйлера, К. Вейерштрасс определил квазипериодическую сигма-функцию (1.5) в виде бесконечного произведения, на основе которой он перестроил всю теорию эллиптических функций. Подробный исторический обзор можно найти в [4; 11; 27; 47]

В этой главе мы вводим основные понятия и рассматриваем свойства эллиптических и тэта-функций Якоби (раздел 1.2), эллиптических функций Вей-ерштрасса (раздел 1.3), исследуем связь эллиптических функций Вейерштрасса

и эллиптических функций Якоби (раздел 1.4), пользуясь которой в разделе 1.5 получено новое представление для числа ж в виде двойного ряда.

где Я — рациональная функция, а Р — многочлен степени 3 или 4 без кратных корней. Название таких интегралов связано с тем, что впервые они появились при спрямлении дуги эллипса и других кривых второго порядка.

Проблема нахождения таких интегралов в замкнутом виде (то есть в терминах элементарных функций) занимала многих математиков ХУ11-Х1Х веков. Если Р — квадратный трёхчлен, то хорошо известно, что такой интеграл вычисляется в элементарных функциях, например, при помощи подстановок Эйлера, а относительно эллиптических интегралов ещё в 1694 году Я. Бернулли предположил, что это в общем случае невозможно. Гипотеза Бернулли подтвердилась только в 1833 году после работ Ж. Лиувилля.

Рассмотрим эллиптический интеграл, появляющийся при вычислении дуги лемнискаты

1.1 Обращение эллиптических интегралов

Эллиптическими интегралами называются интегралы вида

(х2 + У2)2 = х2 — у2,

который рассматривал Я. Бернулли.

А

г?

2

Рисунок 1.1 — Лемниската Бернулли (х2 + у2) = х2 — у2

В полярной системе координат кривая задаётся уравнением

Г2 = 008 2 р, (1.1)

и длина дуги ОАВ равна

г г

и (¿) = J лА'2 (р) +т'2 (р)^р = J

о о

Подставив выражение для р, полученное из (1.1), придём к интегралу

1

и (() = ! ттЪ. (12)

л/ео82

Этот интеграл рассматривал К. Гаусс в 1797 году [47] и заметил, что вместо функции и (£) следует рассматривать обращение этого интеграла Ь (и) также, как вместо

и (£) = = аго8т£

^/Г—г2

о

удобнее изучать обращение арксинуса — t = sin и.

Функция (1.2) называется лемнискатическим синусом sl (и) и имеет период

1

, f dt 2w = 4

J Vr—t'v

о

равный длине лемнискаты. Однако,

d (it) dt

= г-

^Г—Jit)

4 Vi - tA '

поэтому лемнискатический синус имеет также 2iw в качестве периода, и является, таким образом, двоякопериодической функцией.

В 1827-1828 годах Н. Абель опубликовал серию работ ([20], [21], [22]), в которых обобщил результаты Л. Эйлера и А.М. Лежандра по эллиптическим интегралам и, фактически, переоткрыл подход и (неопубликованные) результаты К. Гаусса.

В то же самое время К. Якоби, подобно К. Гауссу и Н. Абелю, но независимо от них, рассматривал обращения эллиптических интегралов Лежандра. В своей работе [34], посвящённой преобразованиям эллиптических интегралов, он развил теорию эллиптических функций как обращений интегралов и показал, что эти функции можно получить как отношения бесконечных произведений — тэта-функций.

1.2 Эллиптические и тэта-функции Якоби

Рассмотрим эллиптический интеграл первого рода в нормальной форме Лежандра:

и / л к • ^• (1-з)

J vi -к2 sin2 ф

0 V г

где 0 ^ к ^ 1. Выполним подстановку z = sin ф. Тогда, обозначив х = sin^>, получим тот же интеграл в форме Якоби

X

и (х) = Í —== dZ . (1.4)

V ; J ^(1 - ¿2) (1 - k2z2) V 7

К. Якоби ввёл обратную функцию к и (х), которую в настоящее время обозначают как sn и

х = snu = sin

Вместе с функцией sn и, К, Якоби рассмотрел еще две функции (используем современные обозначения)

cnu = cos

dnu = у 1 — к2 sin2 f.

Функция Якоби snu действительного аргумента u обладает периодом 4К, где К — полный эллиптический интеграл первого рода:

Я.

2

К = 2 Лф

\Л - к2 sin2 ф

2

2гК' = 2г /

Функции спи и dnu также периодические с периодами 4 К и 2 К, соответственно.

Заменив х на гх в интеграле (1.4), К. Якоби определил функцию и для чисто мнимых значений аргумента. Применив теорему сложения, он распространил определение всех трёх эллиптических функций на случай произвольного комплексного аргумента. При этом обнаружилось, что у функции япи есть и комплексный период

Е.

2

(1ф

л/1 - к'2 ят2 ф'

0 V т

где к' = л/1 — к2, у функции спи — 2К + 2гК', у функции dnu — 4гК'. Таким образом, функции Якоби двоякопериодические.

Можно дать эквивалентное определение эллиптическим функциям Якоби, используя введённые им тэта-функции. Для этого рассмотрим комплексную плоскость С и решётку Г на ней:

Г = |п71 + Ш72|п,т е Ъ^ е С \ М | .

Для двоякопериодической функции с минимальными периодами 71 и 72 множество Г называется множеством периодов. Параллелограмм с вершинами в точках 0, 71, 71 + 72, 72 называется фундаментальным параллелограммом периодов. Очевидно, что всю комплексную плоскость можно замостить подобными параллелограммами. Чтобы исключить возможность пересечения параллелограммов, будем присоединять к внутренности параллелограмма также вершину г0 и открытые отрезки (г0,г0 + 71), (г0,г0 + 72). Заметим, что линейным преобразованием любая решётка приводится к виду Ъ 0 тЪ, 1шт > 0. Обозначим также

д = е г т.

Определение 1. Тэта-функцией называется сумма ряда

00

п2

гл) = > сТ2 е .

Я) = Е У

п=— 00

Замечание 1. Сам К. Якоби определял тэта-функции как бесконечные произведения, например, [7, стр. 204]

то то

в (хл) = П (1 — яп) П (1 + 4п—1 е2" *) (1 + 2е—) .

п=1 п=1

Определение в виде суммы выше (по Эрмиту [27]) в настоящее время используется чаще.

Ряд для в ( ^&) сходится абсолютно и равномерно на любом компактном подмножестве в С х Н (Н — верхняя полуплоскость) [19, стр. 335]. Тэта-функция является квазипериодической, то есть сдвигу аргумента на любой элемент решётки периодов соответствует умножение функции на экспоненциальный множитель. Действительно, по определению:

0 (^ + + ^ д) _ ^ ^ ^кт2т^2кт(г+ат+Ъ) _ ^ ^ ^кт2т+2ктг+2ктат+2ктЪ

nGZ пGZ

Выделим в показателе экспоненты полный квадрат относительно п:

в(г + ат + Ь,я) _ Е екгт(п+а)2е-кгта'2е2кгпге2кгпЪ.

пе Z

Обозначим п + а _ т:

в(х + ат + Ь,д) _ ^ екгтт2е-кгта2е2к(т-а>е2кг(т-а)ь.

mGZ

Вынесем независящий от индекса суммирования множитель за знак суммы и учтём периодичность экспоненты по мнимой оси:

в (х + ат + Ь,д) _ е-кгта2-2кшг ^ ектт2е2кт _ е-кгта2-2кшгв (г,д).

mGZ

Обычно в теории эллиптических функций рассматриваются 4 тэта-функции:

(1 1 \

г + 2Т+2;Я)_ -е^^(2) Е ^ект(2г+1)ектт;

' п=-то

\ 00 1 \ ^ П2

в2 (г,д) _ е4кгт+кггв (х + 1т; ^ _ е1кгт+кг" ^е2™е'

^ ' 41--

п=-то

00

2

03 (*Л)_в(г;д)_ ^ ^

п=-то

00

/ 1 \ ^ 2

04 (г ) + ^ ект(2"+1)

п=

Замечание 2. В литературе используются разные системы обозначений. В таблице 1 приведены некоторые из них.

Таблица 1 — Обозначения тэта-функций

02 О3 О4

—вц вю в00 в01 Мамфорд [10]

#1 (т г) #2 (тг) #3 (тг*) # (тг) Уиттекер [19]

Часто в аргументах тэта-функции опускается, так как он связан с зафиксированной решёткой.

Все тэта-функции, очевидно, квазипериодические. В силу квазипериодичности, отношение двух тэта-функций, ассоциированных с одной и той же решёткой, представляет собой двоякопериодическую функцию. В качестве примера приведём выражения для эллиптических функций Якоби [19, стр. 376]:

( ) 03 (0; д) 01 (г; д)

яп (и) = ——-—----,

( ) 92 (0;д) вА (г;д)'

04 (0; д) 02 (г; д)

92 (0; д) вА (г; д)' 04 (0; д) 9з ( г; д)

93 (0;д) 04 ( г;д)'

где

и

* =

сп ( и) = ^ (и) =

т03 (0; д)'

Определение 2. Эллиптической функцией называется двоякопериодическая мероморфная функция.

Таким образом, любая эллиптическая функция имеет представление в виде отношения тэта-функций [19, стр. 350], ассоциированных с одной решёткой. Очевидно, эллиптические функции образуют поле.

1.3 Эллиптические функции Вейерштрасса

В 1874/75 К. Вейерштрасс читал курс лекций по теории аналитических функций. Среди прочих в нём рассматривался такой вопрос: существуют ли од-

нозначные аналитические функции, значения которых в точках и, V и связаны алгебраическим соотношением, то есть для которых существует алгебраическая теорема сложения. К тому времени К. Вейерштрасс доказал, что такие функции существуют, и их три типа: алгебраические, алгебраические функции экспоненты, алгебраические функции эллиптических функций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Галушина, Елена Николаевна, 2017 год

Список литературы

1. Айзенберг, Л.А. Применение многомерного логарифмического вычета для представления в виде интеграла разности между числом целых точек в области и её объёмом / Л.А. Айзенберг // Докл. Акад. Наук СССР. — 1983. — Т. 270, № 3. — С. 521—523.

2. Вальфиш, А.Ж. Целые точки в многомерных шарах / А.Ж. Вальфиш. — Издательство Академии Наук Грузинской ССР, 1959. — 460 с.

3. Варченко, А.Н. О числе целых точек в семействах гомотетичных областей в Rn / А.Н. Варченко // Функц. анализ и его прил. — 1983. — Т. 17, № 2. — С. 1—6.

4. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия: Пер. с нем. под ред. А.П. Юшкевича / Г. Вилейтнер. — М. : Гос. изд. физ.-мат. лит, 1960. — 468 с.

5. Галушина, Е.Н. Об одном представлении числа ж в виде двойного ряда / Е.Н. Галушина // Известия Иркутского государственного университета. — 2016. — Т. 17. — С. 3—11.

6. Гриффитс, Ф. Принципы алгебраической геометрии: Пер. с англ. / Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. — М. : Мир, 1982. — 496 с. — Т. 1.

7. Гурвиц, А. Теория функция / А. Гурвиц, Р. Курант. — М. : Наука, 1968. — 648 с.

8. Зубченкова, Е.В. Интегральный признак сходимости некоторых кратных рядов / Е.В. Зубченкова // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2011. — Т. 4, № 3. — С. 344—349.

9. Кытманов, А.М. Интеграл Бохнера-Мартинелли и его применения / А.М. Кытманов. — Новосибирск : Наука, 2002. — 240 с.

10. Мамфорд, Д. Лекции о тэта-функциях: Пер. с англ. / Д. Мамфорд. — М. : Мир, 1988. — 448 с.

11. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. Под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. — М. : Наука, 1981. — 270 с.

12. Прасолов, В.В. Эллиптические функции и алгебраические уравнения У В.В Прасолов, Ю.П. Соловьев. — М. : Факториал, 1997. — 2ВВ с.

13. Прудников, А.П. Интегралы и ряды У А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Марычев. — М. : Шука, 19В1. — В00 с.

14. Терешонок, E.H. Двумерный аналог дзета-функции Вейерштрасса в задаче оценки числа целых точек в области У E.H. Терешонок ^ Материалы Юбилейной 50-й международной научной студенческой конференции Студент и научно-технический прогресс: Математика. — ^восибирск : Швосиб. гос. ун-т., 2012. — С. 101.

15. Терешонок, E.H. О многомерной версии формулы Пика У E.H. Терешонок УУ Труды Математического центра имени ^И. Лобачевского: материалы Тринадцатой молодежной научной школы-конференции Лобачевские чтения. — Казань : Изд-во Казан. ун-та., 2014. — С. 163—165.

16. Терешонок, E.H. О многомерном аналоге дзета-функции Вейерштрасса У E.H. Терешонок, А.В. Щуплев ^ Четвёртое российско-армянское совещание по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам: тезисы докладов. — Красноярск : Сибирский федеральный университет., 2012. — С. 69—70.

17. Терешонок, E.H. Формула Макмюллена и многомерный аналог дзета-функции Вейерштрасса У E.H. Терешонок ^ Сборник материалов международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Молодёжь и наука: проспект Свободный. — Красноярск : Сибирский федеральный университет., 2015.

18. Терешонок E. Tex2Cpp: свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ У E.H. Терешонок. — М. : Реестр программ для ЭВМ, 2014. Шмер гос. рег. 2014616394.

19. Уиттекер, Э.Т. Курс современного анализа: в 2 частях. Часть 2. Трансцендентные функции У Э.Т. Уиттекер, ДжЛ. Ватсон. — М. : Гос. изд. физ.-мат. лит, 1963. — 516 с.

20. Abel, N. Memoire sur une propriété générale d'une classe tres étendue de fonctions transcendents / N. Abel // Memoires presentes par divers savants a l'Academie des sciences, Paris, 1841, Oeuvres Completes. Vol. 1. — P. 145-211.

21. Abel, N. Recherches sur les fonctions elliptiques / N. Abel // J. Reine Angew. Math. — 1827. — Vol. 2. — P. 101-181.

22. Abel, N. Recherches sur les fonctions elliptiques / N. Abel //J. Reine Angew. Math. — 1828. — Vol. 3. — P. 160-187.

23. Abramowitz, M. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun. — Washington, D.C. : 10 ed., Dept. of Commerce : U.S. G.P.O., 1972. — 1046 p.

24. Aizenberg, A. An integral formula for the number of lattice points in a domain / L. Aizenberg, N. Tarkhanov // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2015. — Vol. 8, no. 2. — P. 134139.

25. Apostol, Tom M. Modular function and Dirichlet series in number theory / Tom M. Apostol. — 2nd ed. p. cm. — (Graduate texts in mathematics; 41). — New York : Springer Verlag, 1990. — 206 p.

26. Barvinok, A. An algorithmic theory of lattice points in polyhedra / A. Barvinok, J. Pommersheim // New Perspectives in Algebraic Combinatorics. — Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999. — Vol. 38. — P. 91147.

27. Bottazzini, U. Hidden harmony — geometric fantasies / U. Bottazzini, J. Gray. — Springer New York Heidelberg Dordrecht London, 2013. — 848 p.

28. Brion, M. Lattice points in simple polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of the AMS. — 1997. — Vol. 10. — P. 371-392.

29. Brion, M. Residue formulae, vector partition functions and lattice points in rational polytopes / M. Brion, M. Vergne // Journal of the AMS. — 1997. — Vol. 10, no. 4. — P. 797-833.

30. Cappell, S.E. Some problems in number theory I: the circle problem / S.E. Cappell, J.L. Shaneson. — 2007. — URL: http:/ /arxiv.org/pdf/math/ 0702613v3.pdf.

31. Diaz, R. Pick's Formula via the Weierstrass p-Function / R. Diaz, S. Robins // The American Mathematical Monthly. — 1995. — Vol. 102, no. 5. — P. 431-437.

32. Erhart, E. Sur les polyedres rationnels homothétiques a n dimensions / E. Erhart // C. R. Acad. Sci., Paris. — 1962. — Vol. 254. — P. 616-618.

33. Guy, R.K. Unsolved problems in number theory / R.K. Guy. — 3rd rd. — Springer Science & Business Medis Inc., 2004. — 438 p.

34. Jacobi, C. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum / C. Ja-cobi // Sumptibus fratrum Borntrager, Regiomonti in Ges. Werke. — 1829. — P. 49-239.

35. Korn, G.A. Mathematical handbook for scientists and engineers: definitions, theorems, and formulas for reference and review / G.A. Korn, T.M. Korn. — 2nd rd. — Mineola, New York : Dover publications, 2000. — 1130 p.

36. Macdonald, I. G. The volume of a lattice polyhedron / I.G. Macdonald // Proc. Camb. Phil. Soc. — 1963. — Vol. 59. — P. 719-726.

37. McMullen, P. Lattice invariant valuations on rational polytopes / P. Mc-Mullen // Arch. Math. — 1978/79. — No. 31. — P. 509-516.

38. McMullen, P. Polytopes with centrally symmetric faces / P. McMullen // Israel J. Math. — 1970. — Vol. 8. — P. 194-196.

39. McMullen, P. Polytopes with centrally symmetric facets / P. McMullen // Israel J. Math. — 1976. — Vol. 23, no. 3. — P. 337-338.

40. Mordell, L.J. Lattice points in a tetrahedron and generalized Dedekind sums / L.J. Mordell //J. Indian Math. Soc. — 1951. — Vol. 15. — P. 41-46.

41. Morelli, R. Pick's theorem and the Todd class of a toric variety / R. Morelli // Adv. Math. — 1993. — No. 100. — P. 183-231.

42. Pick, G. Geometrisches zur Zahlenlehre / G. Pick // Naturwissenschaft Zeitschrift Lotos, Prague. — 1899.

43. Reeve, J.E. On the volume of lattice polyhedra / J.E. Reeve // Proc. London Math. Soc. — 1957. — No. 7. — P. 378-395.

44. Riemann, G.F.B. Theorie der Abelischen Funktionen / G.F.B. Riemann // J. Reine Angew. Math. — 1857. — Vol. 54. — P. 115-155.

45. Rosen, K.H. Dedekind-Rademacher sums and lattice points in triangle and tetrahedra / K.H. Rosen // Acta Arithmetica. — 1981. — Vol. 39. — P. 59-75.

46. Serre, J.-P. A course in Arithmetic / J.-P. Serre. — NewYork : SpringerVerlag, 1973. — 115 p.

47. Stillwell, J. Mathematics and its history / J. Stillwell. — Springer-Verlag New York, 2010. — 662 p.

48. Tereshonok, E.N. McMullen's formula and a multidimensional analog of the Weierstrass zeta-function / E.N. Tereshonok // Complex variables and elliptic equations: an international journal. — 2015. — Vol. 60.- Issue 11. — P. 1594-1601.

49. Tereshonok, E.N. Multidimensional Analog of the Weierstrass ^-function in the Problem of the Number of Integer Points in a Domain / E.N. Tereshonok, A.V. Shchuplev // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2012. — Vol. 5, no. 4. — P. 480-484.

50. Yau, S.T. On formulas for Dedekind sums and the number of lattice points in tetrahedra / S.T. Yau, L. Zhang // Journal of Number Theory. — 2009. — Vol. 129, no. 8. — P. 1931-1955.

51. Zappa, P. Osservazioni sui nuclei di Bochner-Martinelli / P. Zappa // Acc. Naz. Lincei. — 1979. — Vol. VIII, no. LXVII. — P. 21-26.

52. Zappa, P. Su una generalizzazione della p di Weierstrass / P. Zappa // Bollettino U. M. I. — 1983. — Vol. 6, 2-A. — P. 245-252.

53. Zappa, P. Sulle classi di Dolbeault di tipo (0,n — 1) con singolarita in un insieme discreto / P. Zappa // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. — 1981. — Vol. 8, no. 70. — P. 87-95.