Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Зыкова, Татьяна Викторовна

• Зыкова, Татьяна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зыкова, Татьяна Викторовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Интегралы Меллина-Барнса и алгебраические уравнения

1.1 Одномерные интегралы Меллина-Барнса

1.1.1 Условия сходимости

1.1.2 Множество сходимости интеграла, представляющего решение триномиального алгебраического уравнения

1.2 Многомерные интегралы Меллина-Барнса

1.2.1 Область сходимости

1.2.2 Интегральное представление главного решения общего алгебраического уравнения

1.2.3 Множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения

1.2.4 Тетраномиальное уравнение

1.2.5 Пентаномиальное уравнение

Глава 2. Интегралы Меллина-Барнса и полиномиальные системы

2.1 Каноническая приведенная система полиномиальных уравнений

2.2 Замена переменных и линеаризация системы

2.3 Степень отображения

2.4 Преобразование Меллина мономиальной функции / х

у \ х/

2.5 Множество сходимости интеграла, представляющего функцию ^фщ

Приложение

П.1 Многогранники и многогранные конусы

П.2 Общее алгебраическое уравнение

П.З Преобразования Меллина

П.4 Степень отображения

П.4.1 Собственное отображение

П.4.2 Определение степени отображения

П.4.3 Степень и интеграл

П.4.4 Форма Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегралы Меллина-Барнса, представляющие решения алгебраических уравнений, и их множества сходимости»

Введение

Интегралы Меллина-Барнса являются обратными преобразованиями Меллина для отношений произведений конечного числа гамма-функций в композициях с линейными функциями. Частные случаи этих интегралов впервые появились в работах Б. Римана, связанных с теорией гипергеометрических функций. Позднее X. Меллин [1], [2] развил их теорию, а Е. Варне в серии статей [3-5] разработал метод получения асимптотических разложений для разных классов функций, определяемых степенными рядами и интегралами. Асимптотическое поведение интеграла определяется структурой особенностей подынтегрального выражения, в частности, гамма-функций.

Интегралы Меллина-Барнса представляют гипергеометрические функции - самый обширный класс специальных функций. В недавней работе Ф. Бёйкерса [6] они применяются к вычислению группы монодромии А-гипергеометрических систем дифференциальных уравнений. Кроме того, интегралы Меллина-Барнса нашли широкое применение в теоретической физике, в частности, в задачах квантовой электродинамики [7].

Отдельно следует подчеркнуть роль интегралов Меллина-Барнса в теории алгебраических уравнений. Впервые такое их применение было продемонстрировано X. Меллином [8] в работе 1921 года, где были найдены интегральные формулы для решения общего алгебраического уравнения. Интегральную формулу и неполную область сходимости Меллин привел без доказательства. Полное доказательство этой формулы с указанием истинной области сходимости было

предъявлено И.А. Антиповой [9]. В работах Б. Штурмфельса [10], А.К. Циха и соавторов [11], [12] были получены аналитические продолжения для решения общего алгебраического уравнения, описаны области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение, а также взаимное расположение этих областей относительно дискриминантного множества уравнения.

Интегральные преобразования Меллина решения для общей системы алгебраических уравнений исследовались в ряде современных работ [13], [14], в которых прямое преобразование было вычислено с помощью линеаризации системы (замены переменной специального вида). Идея линеаризации алгебраического уравнения принадлежит Меллину. Ее реализация для системы алгебраических уравнений позволила получить параметризацию дискриминантного множества общей системы п полиномов Лорана от п переменных [15]. Отметим, что линеаризация также используется для получения самого интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения уравнений. В настоящее время остается актуальным дальнейшее исследование свойств линеаризации систем уравнений в связи с изучением сингулярного множества и монодромии общей алгебраической функции.

Проблема сходимости интегралов Меллина-Барнса привлекала внимание специалистов на протяжении последнего столетия. В одномерном случае вопрос о сходимости был решен в серии статей и монографий: А. Диксон и Б. Феррар [16], Л. Слейтер [17], Г. Бейтмен и А. Эрдейи [18]. Шаги к решению этой проблемы в многомерном случае были сделаны X. Меллином, Р. Бушманом и X. Сриваставой [19], О.Н. Ждановым и А.К. Цихом [20]. Окончательно область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса найдена М. Пассаре, А. Цихом и Л. Нильсон [21].

Представляет интерес задача исследования сходимости интегралов Меллина-Барнса в граничных точках их областей сходимости. Для интегралов, представляющих решения алгебраических уравнений

(систем), эта задача сопряжена с исследованием дискриминантных множеств уравнений и систем [22], [23].

Целью диссертационной работы является исследование структуры множеств сходимости интегралов Меллина-Барнса, представляющих решения общей системы алгебраических уравнений, а также вычисление степени для линеаризации системы.

В диссертационном исследовании применяются методы вещественного, комплексного и асимптотического анализа, а также многомерной теории функций. В частности, существенно используются теоремы обращения для многомерных преобразований Меллина. Вычисление преобразования Меллина мономиальной функции координат решения системы основано на линеаризации этой системы уравнений.

Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами.

Характеризуя диссертационную работу в целом, можно сказать, что она посвящена проблемам сходимости многомерных интегральных преобразований Меллина, возникающих в задачах теории алгебраических уравнений.

В первой главе диссертации исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения. А именно, получено достаточное условие сходимости такого интеграла в граничных точках области сходимости.

Изложение начинается с краткого обзора условий сходимости одномерных интегралов Меллина-Барнса (раздел 1.1).

Главный объект исследования - многомерный интеграл Меллина-Барнса вводится в разделе 1.2. Он имеет следующий вид:

здесь параметры Aj,Bk Е е М, dz = dzl...dzp, вектор

5

7 € выбран так, что подпространство интегрирования 7 + Жр не пересекает полюсы гамма-функций в числителе. Полагаем, что параметр х = (х1,...,хр) изменяется в римановой области над комплексным алгебраическим тором Тр = (С \ {0})р, и

xvZv = е argzv £ R.

Области сходимости интегралов Меллина-Барнса являются секториальными: они определяются условиями на аргументы параметров х\,... ,хр. Максимальная область сходимости [21] интеграла (0.1) представляет собой прообраз Агд~г (Р°) при отображении

Arg:Tp^RP,(xh...,xp)^(eh..., 9Р)

внутренности многогранника Р, гиперграни которого имеют нормальные векторы - одномерные конусы полиэдра, образованного гиперплоскостями (Aj,v) = 0, () = 0, v = (vv), vv — Imzv, v — 1,... ,p (Теорема 1.1).

Рассмотрим общее алгебраическое уравнение

уп + хруп<> + • • • + х1УП1 -1 = 0 (0.2)

с комплексными коэффициентами х^ г £ J := {1,. .. ,р} , п > пр > ... > щ > 1. Интеграл Меллина-Барнса, представляющий ¡1-ю степень {ц > 0) главного решения (ветви у(х) с условием у(0) = 1) уравнения (0.2), имеет вид

I V vi; yPJ \п nw, Llx-zi...x-zPdZj (о.З)

7+ЖР п п

здесь ф — (пх,..., пр), ф = (п — щ,..., п — пр), вектор 7 6 фиксирован и выбирается из открытого симплекса

и = {и е : Щ > 0, {ф, и) < ц) . (0.4)

Как доказано в [9], интеграл (0.3) сходится в секториальной области Бро, основание которой в пространстве аргументов

9\ = а^Жь ..., вр = a,тgxp есть внутренность Р° выпуклого многогранника

Р = {веШр: <<кпи <тгп,, (0.5)

здесь

щ = пеи 4>кз = —щек + пке ... ,ер - базисные векторы в Мр.

Основной результат главы 1 (достаточное условие сходимости интеграла (0.3) в граничных точках области сходимости) содержится в разделе 1.2.3 (Теорема 1.3 и Теорема 1.4). Пусть в уравнении (0.2) показатели мономов подчинены условию п < 2п2, тогда среди неравенств, определяющих многогранник Р, нет лишних. В этом случае он имеет р2 + р гиперграней, которые задаются пересечением соответствующих гиперплоскостей с самим многогранником Р :

г± = {9е Р: (Р1,6) = ±тгп1},1е^

г± = {в е Р : , 0) = ±7тпк} ,к<з, к, з е ^

Теорема 1.3. Прообразы Агд~1в точек 0 из относительной внутренности гиперграней (0.6) многогранника Р принадлежат множеству сходимости интеграла (0.3).

Если п > 2 щ, то среди неравенств (0.5), определяющих Р, появляются лишние, следовательно количество гиперграней многогранника Р уменьшается. Рассмотрим крайнюю ситуацию, когда многогранник Р превращается в р-мерный параллелепипед, которая наступает при п > 2пр. Зафиксируем поднаборы <7, = {^ь • • • Ля] С J)

— {з\т ■ ■ 5Зг} С 7, 38С\11 = 0- При в = 0 считаем Js = 0, при £ = 0 считаем ^ = 0. Рассмотрим грань параллелепипеда коразмерности

в + г

Г (Л, Ъ) = {веР: (ч>иВ)=тти I € Л, (<^,0> = -тг Е . (0.7)

Заметим, что Г( Jq, Jq) = Р.

При условии р > 3, п > 2пр имеет место

Теорема 1.4. Прообразы Агд~19 точек в из относительной внутренности грани (0.1) многогранника Р принадлежат множеству сходимости интеграла (0.3), если (s,t) G {0,1,2} .

В заключительных разделах 1.2.4 и 1.2.5 приводится подробное описание множества сходимости интегралов Меллина-Барнса, представляющих главные решения тетраномального и пентаномиального уравнений. Рассматривается интеграл вида (0.3) с двумя параметрами х\,х2, представляющий fi-ю степень главного решения тетраномиального алгебраического уравнения

уп + х2уП2 + xi уП1 -1 = 0, п>п2>п 1 > 1. (0.8)

Он сходится на множестве, угловая проекция которого есть многогранник

Р = {(0i, в2) € М2 : N < —, Щ < —, |Щв2 - Mil < тгщ) L п п J

без четырех вершин , ^f) , тг (f - l)) , (-2^, ,

(—7г (1 — (затемненный шестиугольник с четырьмя

"выколотыми" вершинами на Рис. 1).

Сопоставим множество сходимости интеграла с сингулярным множеством полной (многозначной) алгебраической функции у(х). Это сингулярное множество есть дискриминантная гиперповерхность V С Тр уравнения (0.2).

Коамебой дискриминантной гиперповерхности V С Тр уравнения (0.2) называется ее образ при отобажении Arg. Например, для кубического уравнения (п = 3, п2 = 2, п\ = 1)

у3 + х2у2 + х\у — 1 = 0

дискриминант равен

Б{х) = 27 + 4ж? - 4х32 + 18x1^2 - х\х\,

а его коамеба изображена серым цветом на Рис. 2 в рамках квадрата 1 < 7г, < к. Заметим, что выделенные точки на Рис. 2

принадлежат коамебе дискриминанта И(х). "Выколотые" вершины шестиугольника на Рис. 1 есть точки коамебы и они не входят в множество сходимости интеграла.

1 . .. . • ...... . .

Рис. 1. Множество сходимости. Рис. 2. Коамеба дискриминанта,

интеграла.

Для пентаномиального уравнения (с тремя переменными коэффициентами) многогранник Р есть двенадцатигранник с восемнадцатью вершинами (см. Рис. 3). Соответствующий интеграл Меллина-Барнса сходится в прообразах почти всех граничных точек Р, за исключением шести вершин А^, Ац, А^,

принадлежащих коамебе дискриминанта пентаномиального уравнения.

Вторая глава посвящена исследованию интегралов Меллина-Варнса, представляющих мономиальную функцию вектор-решения системы уравнений. Применительно к вычислению прямого преобразования Меллина мономиальной функции найдена степень отображения, линеаризующего систему уравнений (разделы 2.2 и 2.3). Исследовано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего мономиальную функцию вектор-решение системы

полиномиальных уравнений специального вида (раздел 2.5).

Рассмотрим приведенную систему л полиномиальных уравнений:

УТ+ £ (0-9)

АеЛ(')

с неизвестными у — (у\,..., у.„) € Тп и переменными коэффициентами АЫ С Ж™ - фиксированные конечные подмножества, Vх = У\1 ■■■Уп-, "Ч '1 = 1,...,п.

Рис. 3. Многогранник Р : р — 3. п < Ъщ,

Обозначим через Л дизъюнктное объединение множеств Л^ и пусть N = фА число коэффициентов в системе (0.9). Множество коэффициентов этой системы пробегает векторное пространство СЛ = С;}', в котором координаты точек х — (^'д^ индексируются э.;гементами Л £ Л.

Посмотрим на систему (0,9) как на систему полиномиальных уравнений в пространстве СЛ х Т" с координатами х = (^л') и у = (у\ ,.... уГ(). Введем в этом пространстве замену координат (Ц, \¥) —> (:с. у) следующего вида:

# = # П ЩШ а Л = Ш е А 1 =

^■=1 (0.10)

щ = Шр, ] = 1,.... п.

Тем самым, система (0.9) преобразуется в систему линейных уравнений вида

Е £а) = 1> ¿ =

ЛбЛ«)

Рассматривая (0.9) как систему относительно неизвестных у — (у\,... ,уп), получаем, что при замене (линеаризации) Ф : С^ —> С^, определяемой формулами:

= «?'П ( 1 + Е "" ■ А = (А^) 6 Л®, < = 1,...,«, (0.11)

;=1 V дел«) /

координаты yj{—x) решения системы (0.9) приобретают вид

и (-*(£))=(!+ Е^Г-

V ЛбЛО) / Для системы (0.9), удовлетворяющей условию

Е—<1, Л = (Лг)€Л,

справедлива

Теорема 2.1. Отображение Ф|жлг собственное. Его степень дед Ф корректно определена и равна 1.

Как упоминалось выше, идеи Меллина были развиты для систем алгебраических уравнений в ряде современных работ. В частности, в работе И.А. Антиповой [24] для мономиальной функции

1 1

-, (Лг > о,

(0.12)

у»{-х) ' у?1

составленной из координат у^{~х) решения системы уравнений (0.9), формально с помощью замены переменной (0.11), было вычислено прямое преобразование Меллина, определяемое интегралом

М

1

X

г-1

дх,

(0.13)

1

где хг~1 = х!1"1 ■ ■ ■ х^ дх = йх\ • • • дхм-

Теорема 2.1 подтверждает корректность применения линеаризации (0.11) к вычислению интеграла (0.13). Результат вычислений преобразование Меллина М —^у (г)) приведены в разделе 2.4 диссертации (Теорема 2.2).

В разделе 2.5 второй главы диссертации рассматривается приведенная система двух полиномиальных уравнений

у?* + хгу*ю -1 = 0, г = 1,2, (0.14)

с двумя переменными коэффициентами х!,х2 € С. Составим матрицы из показателей мономов системы (0.14):

Ф - ( ^ ^

~ А« \ (2) Л2 Л2

Ф

А« — ТПх

Л

(1)

(2)

Л

(2)

Предположим,

что

2 ~™2

Введем векторы ортогональные вектор-

Д := ¿еЬЪ > 0. / = (Ш2

строкам матрицы Ф. Справедлива

Теорема 2.3. Мономиальная функция координат решения системы (0.14), представляется следующим интегралом Меллина-Варнса

у^(-х) ■

составленная из

1

(2тгг)2

7+Ж2

П

г=1

пг+^мгы

Г I & + —(Л, г) + 1

' ГГЦ /

(5(^1, гг)^! *1х2 дг1(1г2,

(0.15)

где полином

Я{гьг2) =

77717712

ЛЛМ2 + М!^1^! + г2 - Кг\г2

а вектор 7 £ Е2 выбирается из открытого множества 11 = <Е : А4» + (Фи и) > 0, г = 1, 2} .

Множество сходимости интеграла (0.15) в переменных в = агдх определяется неравенствами

71

|6>г| < - [777,;

777;

А

ФГ.о

к -х

<—А,

ГПг

1,2.

1

Для удобства прочтения диссертационной работы некоторые важные понятия и вспомогательные результаты вынесены в специальный раздел "Приложение".

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Зыкова, Татьяна Викторовна

Заключение

В диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Для интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебарического уравнения, получено достаточное условие сходимости в граничных точках области сходимости.

2. Найдена степень отображения, линеарезующего общую систему п полиномиальных уравнений с п неизвестными.

3. Получено интегральное представление типа Меллина-Барнса мономиальной функции вектор-решения системы полиномиальных уравнений специального вида с указанием множества сходимости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зыкова, Татьяна Викторовна, 2012 год

Список использованных источников

[1] Mellin H.R. Om definita integraler, hvilka för obegränsadt växende Vörden af vissa heltaliga paramétras hafva tili gränser hypergeometriska funktionen of särskilda ordningen // Acta Soc. Sei. Fenn. 1895. V. 20. № 7. P. 3-39.

[2] Mellin H.R. Uber die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der Gamma und der hypergeometrischen Funktionen // Acta Soc. Sei. Fennica. 1896. V. 21. № 1. P. 1-115.

[3] Barnes E.W. On asymptotic expansions of the integral functions 00 00

E r?a+nf and £ // Trans- Cambr- Philos- Soc- 1906-

n=0 n—0

V. 20. P. 215-232.

[4] Barnes E.W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalized hypergeometric series // Proc. London Math. Soc. 1907. V. 5. № 2. P. 59-116.

[5] Barnes E.W. A new development of linear differential equations // Trans. Cambr. Philos. Soc. 1908. V. 22. P. 178-221.

[6] Beukers F. Monodromy of A-hypergeometric functions // arXiv: 1101.0493.vl [math.AG]. 3 Jan 2011.

[7] Aguilar J.P., Greynat D., De Rafael E. Muon anomaly from lepton vacuum polarization and the Mellin-Barnes representation // Phys. Rev. D 77 2008 093010 [arXiv: 0802. 2618 [hep-ph]].

[8] Mellin H.R. Résolution de l'équation algébrique générale à l'aide de la fonction gamma // C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 1921. V. 172. P. 658-661.

[9] Антипова И. A. Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений // Матем. сб. 2007. Т. 198. № 4. С. 3-20.

[10] Sturmfels В. Solving algebraic equation in terms of A-hypergeometric series // Discrete Math. 2000. V. 210. P. 171-181.

[11] Семушева А. Ю., Ци x А. К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч. тр. Красноярск: КрасГУ. 2000. С. 134-146.

[12] Passare M., Tsikh A. Algebraic equations and hypergeometric series. In the book "The legacy of N.H. Abel". Springer-Verlag. Berlin. 2004. P. 653-672.

[13] Антипова И.А. Выражение суперпозиции общих алгебраических функций через гипергеометрические ряды // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44. № 5. С. 972-980.

[14] Степаненко В.А. О решении системы п алгебраических уравнений от п неизвестных с помощью гипергеометрических функций / / Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2003. № 2. С. 35-48.

[15] Антипова И.А., Цих А.К. Дискриминантное множество системы п полиномов Лорана от п переменных // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76. № 5. С. 28-55.

[16] Dixon A.L., Ferrar W.L. A class of discontinuous integrals // The Quarterly Journal of Mathematics (Oxford Series). 1936. V. 7. P. 81-96.

[17] Slater L.J. Generalized Hypergeometric Functions. Cambridge University Press. 1966.

[18] Бейтмен Г., ЭрдейР1 А. Высшие трансцендентные функции. Москва: Наука. 1973.

[19] Buschman R., Srivastava Н. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions // Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. 1986. V. 17. № 5. P. 605-609.

[20] Жданов O.H., Цих А.К. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов // Сиб. матем. журн. 1998. Т. 39. № 2. С. 281-298.

[21] Nilsson L. Amoebas, Discriminants, and Hypergeometric Functions // Doctoral Thesis, Department of Mathematics. Stockholm University. Sweden. 2009.

[22] Gelfand I.M., Kapranov M.M., Zelevinsky A.V. Discriminants, resultants and multidimensional determinants. Boston: BirkhEauser. 1994. x+523 pp.

[23] Васильев В.А. Топология дополнений к дискриминантам. М: ФАЗИС. 1997. XIV+538 С.

[24] Антипова И.А. О мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Вестник Красноярского госуниверситета. Серия физ.-мат. науки. 2005. № 1. С. 106-111.

[25] Риекстынын Э.Я. Асимптотические разложения интегралов, Р: Зинатне, 1977. - Т. 2.

[26] Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные функции. М.: Физматлит, 1963.

[27] Михалкин Е.Н., О решении общих алгебраических уравнений с помощью интегралов от элементарных функций // Сиб. матем. журн. 2006. Т. 47. № 2. С. 365-371.

[28] Бухштабер В.М., Панов Т.Е. Торические действия в топологии и комбинаторике. Москва: МЦНМО, 2004.

[29] Хованский А.Г. Многогранники Ньютона (разрешение особенностей) // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления). М. ВИНИТИ. 1985. Т. 22. С. 207-239.

[30] Fulton W. Introduction to Toric Varieties. Annals of Mathematics Studies. V. 131. Princeton University Press, 1993.

[31] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Москва: Наука, 1986.

[32] Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ. Ч. 2. Функции нескольних переменных. Москва: Наука, 1985. 464 С.

[33] Айзенберг Л.А.,Южаков А.П. Интегральные представления и вычеты в многомерном комплексном анализе. Новосибирск: Наука. 1979. 368 С.

Работы автора по теме диссертации

[34] Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение алгебраического уравнения // VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения С.В. Ковалевской): Материалы Всероссийской конференции / Красноярск: РИЦ СибГТУ, 2010. С. 161-164.

[35] Зыкова Т.В. О структуре множества сходимости интеграла Меллина-Барнса // Геометрия многообразий и ее приложения: Материалы научной конференции с международным участием / Улан-Удэ: Бурятский гос. ун-т, 2010. С. 23-28.

[36] Зыкова T.B. О представлении решения алгебраического уравнения в виде интеграла Меллина-Барнса // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции „Лобачевские чтения - 2010" / Казань: Казан, матем. об-во, 2010. Т.40. С. 139-143.

[37] Антипова И.А., Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения тетраномиального алгебраического уравнения // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2010. Т. 3. № 4. С. 475—486.

[38] Зыкова Т.В. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу. Кемерово, 19-26 июня 2011. [Электронный ресурс] / Кемерово: КемГУ, 2011, номер гос. per. 0321102235 (http: //www. math, kemsu. ru/kma / file / tesis / index.htm)

[39] Зыкова Т.В. О преобразовании Меллина мономиальной функции вектор-решения общей системы алгебраических уравнений // Тезисы VI Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", посвященной 70-летию чл.-корр. РАН В.В. Напалкова / Уфа: ИМВЦ, 2011. С. 69-70.

[40] Зыкова Т.В. О сходимости интеграла Меллина-Барнса на границе его области сходимости // Вестник КемГУ. 2011. Т. 47. № 3/1. С. 199-202.