Дифференциально-геометрические задачи теории сигма-функций и приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Бунькова, Елена Юрьевна

• Бунькова, Елена Юрьевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Бунькова, Елена Юрьевна

Введение. Постановка задач и основные результаты.

Глава 1. Задачи теории сигма-функций на универсальном расслоении якобианов кривых рода 1.

1.1 Функции Вейерштрасса.

1.2 Рекурсия Вейерштрасса для сигма-функции.

1.3 Уравнение Шази и эллиптическая сигма-функция.

1.4 Связность Гаусса-Манина.ЗГ

1.5 Дифференциально-геометрическая структура универсального расслоения эллиптических кривых.33*

Глава 2. Задачи теории сигма-функций на универсальном расслоении якобианов кривых рода 2. 38,

2.1 Определения.38'

2.2 Решение системы уравнений теплопроводности в терминах сигма-функции.

2.3 Рациональный предел.

2.4 Дифференциально-геометрическая структура универсального расслоения гиперэллиптических кривых рода 2.

Глава 3. Формальные группы и роды Хирцебруха.

Общая эллиптическая формальная группа.

3.1 Формальные группы.

3.2 Роды Хирцебруха.

3.3 Эллиптическая формальная группа.

3.4 Дифференциальные уравнения на экспоненты эллиптических формальных групп.

Глава 4. Формальные группы и роды Хирцебруха.

Формальная группа Кричевера.

4.1 Род Кричевера.

4.2 Формальная группа Кричевера.

4.3 Кольцо коэффициентов универсальной формальной группы Кричевера.

4.4 Эллиптические формальные группы Кричевера.

Глава 5. Деформированная функция Бейкера-Ахиезера.

5.1 Конструкция.

5.2 Теорема сложения.

5.3 Дифференциальные уравнения. Деформированное уравнение Ламе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциально-геометрические задачи теории сигма-функций и приложения»

Диссертационная работа посвящена геометрическим и алгебро-топологическим приложениям теории сигма-функций и теории формальных групп эллиптических кривых.

В 1974 году С. П. Новиков в [33] ввёл конечнозонные (алгебро-геометрические) периодические и квазипериодические операторы Шредингера и конечнозонные (алгебро-геометрические) решения иерархии Кортевега-де Фриза. Б. А. Дубровиным и С. П. Новиковым в [19] показано,-, что пространство универсального расслоения гиперэллиптических якобианов унирационально, а проекция этого расслоения задаётся интегралами потоков иерархии Кортевега-де Фриза. Это привело к созданию широкого направления исследований, включивших классические задачи и совершенно новые задачи ряда областей математики и математической физики. Большое внимание было привлечено к теории многомерных абелевых функций благодаря тэта-функциональным формулам теории конечнозонного интегрирования (см. [20], [21], [22], [25]).

В эллиптическом случае (род 1) наряду с тэта-функциями большую роль играют сигма-функции Вейерштрасса. Начиная с 1995 года началось развитие теории многомерных сигма-функций (см. [10]), которое опиралось на классические результаты Г. Бейкера (см. [38]). Важнейшее свойство сигма-функций рода д ^ 1, отличающее их от тэта-функций, заключается в том, что они являются целыми функциями от г = (г^,., гд), у которых коэффициенты при мономах в разложении в ряд по ъ представляют собой полиномы от параметров соответствующих семейств алгебраических кривых. В работах В. М. Бухштабера, В. 3. Энольского и Д. В. Лейкина [39] и [40] была построена теория гиперэллиптических сигма-функций. Одним из центральных результатов этой теории явилось описание алгебраических образующих и алгебраических соотношений в поле мероморфных функций на гиперэллиптических якобианах в терминах гиперэллиптических аналогов функций Вейерштрасса. Было показано, что дифференциальные соотношения между этими функциями непосредственно приводят к фундаментальным уравнениям математической физики, включая иерархии Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Петвиашвили.

В дальнейшем этими авторами была развита теория сигма-функций (п, з)-кривых рода |(п — 1)(з — 1). Гиперэллиптический случай рода д соответствует (2,2д + 1)-кривым. Одним из ключевых результатов этой общей теории явилось построение операторов, аннулирующих сигма-функции (см. [15]). Это привело к так называемым полиномиальным алгебрам Ли — обобщению классических алгебр Ли, роль структурных „констант" которых играют полиномы от параметров кривых (см. [13]). В гиперэллиптическом случае эти алгебры описаны весьма эффективно (см. [16]).

В первых двух главах в рамках выдвинутой С. П. Новиковым общей программы эффективизации алгебро-геометрического метода решения уравнений математической физики описана дифференциальная геометрия универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых рода, 1 и 2 над пространствами параметров этих кривых. Получены дифференциальные уравнения, задающие метрики, с которыми согласована связность Гаусса-Манина. Построение опирается на- алгебру Ли операторов, аннулирующих соответ- -ствующую сигма-функцию. В случае рода 1 предъявлено решение такого уравнения в виде рядов и явно указаны области их сходимости.

Б. А. Дубровин в [43] рассмотрел универсальное расслоение якобианов эллиптических кривых над пространством невырожденных решёток в С, описал его связность Фробениуса-Штикельбергера и доказал, что коэффициент этой связности является решением уравнения Шази. В первой главе показано, что каждое решение уравнения Шази задаёт решение уравнения теплопроводности в терминах сигма-функции, заданной на универсальном накрытии универсального расслоения якобианов эллиптических кривых над пространством параметров этих кривых.

Теория эллиптических функций нашла важные приложения в алгебраической топологии благодаря формальной группе комплексных кобордизмов (см. [8], [31]). Третья глава диссертации посвящена развитию этих приложений. Её центральным результатом является построение в явном виде общей эллиптической формальной группы.

Теория формальных групп играет важную роль во многих направлениях современной математики. В работах [23], [29], [51], [52] можно найти фундаментальные результаты о геометрической структуре эллиптических кривых, приводящие к замечательным формальным групповым законам.

Формальная группа в комплексных кобордизмах была открыта С. П. Новиковым и А. С. Мищенко. С. П. Новиковым в [31] были заложены основы метода формальных групп в комплексных кобордизмах. Важным шагом в развитии этого метода явился результат Д. Квиллена (см. [50]) о том, что кольцевой гомоморфизм Л —> классифицирующий формальную группу геометрических кобордизмов (см. (3.3)), является изоморфизмом. Таким образом, задача построения А-целочисленных родов Хирцебруха, важная в классической проблеме делимости чисел Чженя комплексных многообразий, эквивалентна алгебро - теоретико числовой задаче построения формальных групп над кольцом А. Отметим, что задача классификации формальных групп над Ъ опирается на глубокие результаты" теории чисел.

Широкое внимание к задаче об А-целочисленных родах связано с теоремами типа Атья-Зингера, описывающими индекс дифференциальных операторов на многообразиях как значения родов Хирцебруха на них (см. [34]). В третьей главе рассматривается общая модель Вейерштрасса эллиптической кривойс параметрами ¡1 = (/¿1, /Х2, /¿45 ¿¿б)- На основе арифметической униформизации Тейта этой кривой в явном виде описана формальная группа над кольцом названная общей эллиптической формальной группой. На основе этого результата построены X[/¿]-целочисленные роды Хирцебруха, введено понятие общего эллиптического рода. Подчеркнём, что широко известные роды Хирцебруха, такие как род Тодда, Ь-род (сигнатура), эллиптический род Виттена-Ошанина, относятся* к частному случаю ¡1$ = 0.

И. М. Кричевер в [24] ввел род Хирцебруха, задаваемый функцией Бейкера-Ахиезера, и показал, что соответствующий эквивариантный род обладает фундаментальным свойством жёсткости на многообразиях с 51-эквивариантной ¿"¿/-структурой, более того, он показал, что все известные до того роды с таким свойством являются частными случаями его рода.

Четвёртая глава посвящена построению формальной группы, экспонента которой задаёт род Кричевера. Введена универсальная формальная группа

Кричевера и исследовано кольцо Лкг, над которым она определена. На основе результатов третьей и четвёртой главы решены задачи по проблеме целочис-ленности родов Хирцебруха и жёсткости эквивариантных родов Хирцебруха. Получена классификация эллиптических родов Хирцебруха, являющихся родами Кричевера, и следовательно построены й[д]-целочисленные роды Хирцебруха такие, что соответствующий эквивариантный род является жёстким на многообразиях с б^-эквивариантной 5С7-структурой.

В основе результатов пятой главы лежит наблюдение, что логарифмическая производная функции Бейкера-Ахиезера задаёт экспоненту эллиптической формальной группы, выделяемой из общей условием ^ = 0. Вводится деформированная функция Бейкера-Ахиезера, логарифмическая производная которой задаёт экспоненту общей эллиптической формальной группы. На основе результатов первой, третьей и четвёртой глав исследуются свойства этой функции. Центральным результатом этой главы является теорема сложения для деформированной функции Бейкера-Ахиезера.

Далее мы переходим к более подробному изложению основных результатов.

Первые две главы диссертации посвящены дифференциальной геометрии универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых'рода 1 и 2 над пространствами параметров-этих кривых.

Сигма-функцию Вейерштрасса можно представить в виде ряда где коэффициенты а^ Е ((]) задаются рекурсией Вейерштрасса.

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Бунькова, Елена Юрьевна

Основные результаты раздела 4.4:

Теорема. Для того, чтобы эллиптическая формальная группа РЕ1{и,у) являлась формальной группой Кричевера Екг(и,у), необходимо выполнение следующих условий:

- /Л1/Х4 = 0, 2(/х§ + 3//6) = 0, /11(^3+ 3//6) = 0, //1^1 + ^3^4 = 0.

Теорема 99. Пусть А — кольцо без делителей нуля. Эллиптическая формальная группа Ее1(у>,у) над А является формальной группой Кричевера Ркг(и,и) тогда и только тогда, когда

- = 0, (4 + 3/х6 = 0, /¿1/4 + = 0.

В условиях теоремы 99 экспонента эллиптической формальной группы совпадает с экспонентой соответствующей формальной группы Кричевера. Пусть (т, <72, <7з, А) — параметры ряда /ку(£), то есть

1кг&) =--г--^гт-ехр тг+ Н •

7\Р + т\ 92,9з) \\2 ) )

Следствие. Параметры (т, <72,<?з,А) и параметры /I соответствующей эллиптической формальной группы связаны соотношениями

А = -¿¿ь р(т; £2,<7з) = - 8//2), р'О; 02, <7з) = М1М2 7 Зд3, д2 = /1А~ 2М1МЗ 4- ^(4^2 + М?)2>

14 Л 2 4 2 1 /„ 1 3 32

Рз = уМ2МзД1 - 9/Х3 - -М1М4 - (4М2 + Мх) + + уМ2М4.

Указанные соотношения между параметрами эллиптической формальной группы и формальной группы Кричевера задают отображение эллиптической кривой с параметрами /1 в кривую с параметрами (<7г,<7з)- Отметим, что в общем случае при этом (<72,<?з) Ф (02(аО,0зМ)

Род Хирцебруха мы называем 577 -жёстким, если соответствующий ему эквивариантный род является жёстким на многообразиях с 51-эквивариантной 577-структурой.

Следствие 106. Экспоненты эллиптических формальных групп над кольцом А из теоремы 99 задают А-целочисленные 5С/-жёсткие роды Хирцебруха.

В разделе 4.4 описаны законы сложения формальных групп, удовлетворяющих условию следствия 106.

Пятая глава посвящена построению деформированной функции Бейкера-Ахиезера и описанию её аналитических свойств.

Задачи пятой главы мотивированы тем, что при /¿6 = 0 экспонента эллиптической формальной группы /е7(£) связана с функцией Бейкера-Ахиезера Ф(£) (см. (0.12)) соотношением

1 = $'(*) /2ЯЙ 2 Ф(*) •

Деформированная функция Бейкера-Ахиезера введена как обобщение этого соотношения на случай /не ф 0 — её логарифмическая производная задаёт экспоненту общей эллиптической формальной группы.

Пусть ~ экспонента общей эллиптической формальной группы

РЕ1(и,у). Тогда

1 \ 1 р'{Ь) + р'(ги) , щ = № V, ш, ¡1) = -- ——-—— + fEi(t) ' ' 2 p{t)-p(v) 2 5 где p(t) = p(t-,g2(ß)j 93(11)), p'(w) = -/¿з, p(v) = +

Деформированной функцией Бейкера-Ахиезера Ф(£;г>,ги,/¿) называется решение уравнения которое в окрестности точки t = 0 имеет вид Ф(£) = 1/i + (регулярная функция).

В задаче об аналитических свойствах деформированной функции Бейкера-Ахиезера получены следующие результаты:

Теорема. Функции ги) при ¡i\ — 0 являются решениями с начальным условием Ф(£) = \ + (t) деформированного уравнения Ламе

Ф"(«) - иЩ) = p{v)®{t) с эллиптическим потенциалом

TT-мл р'(»)г - р»2 и - 2p(i) - 4(РЮ-РМ)'

Лемма. Деформированная функция Бейкера-Ахиезера задается формулой

Обратим внимание, что функция Ф(£) при а ^ ±1 имеет две точки ветвления £ = ±г>, то есть не является мероморфной.

1 1 1 р(Р) р(ц) РМ р'{1) р'(д) р'(у)

Теорема. Функция Ф(£) однозначно, с точностью до множителя ехь, определяется законом сложения

Положим q, v) =

Ф(* + q) =

ФИ Ф(д)

Ф'(г) Ф'(д) х при начальном условии Ф(£) = 1/£ + (регулярная функция) в окрестности I = 0.

Следствие. Функция Ф(£; и, ги, д) при /¿х = 0 является общей собственной функцией операторов

1-а2 р'(у)2(9р'ф + ар'(у))

L2 = d2- U, Ьъ = 2<93 - 3£/<9 - 3p'(t) -где 8

P(i) - р(«))3

U = 2p(t) р'М2

4 (р(*)-р(г/))2' с собственными значениями р{у) и —p'(w) соответственно.

Операторы L2 и Ьз коммутируют только при а = ±1. В этом случае потенциал не зависит от собственного значения и функция Ф является мероморфной.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Бунькова, Елена Юрьевна, 2011 год

1. Е. Ю. Бунькова. Теорема сложения для деформированной функции Бейкера-Ахиезера, УМН, 65 (2010), вып. 6, стр. 183-184.

2. V. М. Buchstaber, Е. Yu. Bunkova. Addition theorems, formal group laws and integrable systems, XXIX Workshop on Geometrical Methods in Physics, AIP Conference Proceedings, 1307 (2010), стр. 33-43.

3. В. M. Бухштабер, Е. Ю. Бунькова, Формальная группа Кричевера, Функц. анализ и его прил., 45 (2011), вып. 2, стр. 23-44.

4. Е. Ю. Бунькова. Дифференциально-геометрическая структура универсального расслоения эллиптических кривых, УМН, 66 (2011), вып. 4, стр. 185-186.

5. V. М. Buchstaber, Е. Yu. Bunkova. Elliptic formal group laws, integral Hirzebruch genera and Krichever genera, http://arxiv.org/abs/1010.0944.

6. В. М. Бухштабер. Характер Чженя-Долъда в кобордизмах, I, Матем. сб., т. 83 (1970), вып. 4, стр. 575-595.

7. В. М. Бухштабер, А. С. Мищенко, С. П. Новиков. Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии, УМН, 26 (1971), вып. 2, стр. 131-154.

8. В. М. Бухштабер. Функциональные уравнения, ассоциированные с теоремами сложения для эллиптических функций, и двузначные алгебраические группы, УМН, 45 (1990), вып. 3, стр. 185-186.

9. В. М. Бухштабер, В. 3. Энольский. Абелевы блоховские решения двумерного уравнения Шредингера, УМН, 50 (1995), вып. 1, стр. 191-192.

10. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, В. 3. Энольский. Рациональные аналоги абелевых функций, Функц. анализ и его прилож., 33 (1999), вып. 2, стр. 1-15.

11. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, В. 3. Энольский. а-функции (п,в)-кривых, УМН, 54 (1999), выл-. 3, стр. 155-156.

12. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Полиномиальные алгебры Ли, Функц. анализ и его прилож., 36 (2002), вып. 4, 2002, стр. 18-34.

13. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, М. В. Павлов. Егоровские гидродинамические цепочки, уравнение Шази и группа 5Х(2, С), Функц. анализ и его прилож., 37 (2003), вып. 4, стр. 13-26.

14. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Уравнения теплопроводности в неголономном репере, Функц. анализ и его прилож., 38 (2004), вып. 2, стр. 12-27.

15. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых, в сб.: Нелинейная динамика, Труды МИРАН им. Стеклова, т. 251 (2005), вып. 4, Наука М., стр. 54126.

16. В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин. Решение задачи дифференцирования абелевых функций по параметрам для семейств (п, б)-кривых, Функц. анализ и его прилож., 42 (2008), вып. 4, стр. 24-36.

17. В. М. Бухштабер. Общий род Кричевера, УМН, 65 (2010), вып. 5, стр. 187-188.

18. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза и Штурма-Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией, ДАН СССР, т. 219, вып. 3, 1974, стр. 531534.

19. Б. А. Дубровин. Тэта-функции и нелинейные уравнения, УМН, 36 (1981), вып. 2, стр. 11-80.

20. Б.А. Дубровин, И. М. Кричевер, С.П. Новиков. Интегрируемые системы, Итоги науки и техники, М., ВИНИТИ, 4 (1985)'( стр. 179285.

21. А. Р. Итс, В. Б. Матвеев. Операторы Шредингера с конечнозон-ным спектром и Ы-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриса, ТМФ, т. 23 (1975), вып. 1, стр. 51-68.

22. Э. Кнэпп. Эллиптические кривые, Факториал Пресс, М., 2004.

23. И. М. Кричевер. Формальные группы и формула Атьи-Хирцебруха, Изв. АН СССР, сер. матем., т. 38 (1974), 6, стр. 12891304.

24. И. М. Кричевер. Интегрирование нелинейных уравнений с помощью алгебро-геометрических методов, Функц. анализ и его прил., 1Г (1977), вып. 1, стр. 15-31.

25. И. М. Кричевер. Эллиптические решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили и интегрируемые системы частиц Функц. анализ и его прил., 14 (1980), вып. 4, стр. 45-54.

26. И. М. Кричевер. Обобщенные эллиптические роды и функции Вейкера-Ахиезера, Матем. заметки, 47 (1990), вып. 2, стр. 34-45.

27. H. A. Кудряшов. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

28. Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. Введение в теорию чисел, М., ВИНИТИ, 1990.

29. С. П. Новиков. Гомотопические свойства комплексов Тома, Ма-тем. сб. 57 (1962), вып. 4, стр. 407-442.I

30. С. П. Новиков. Операторы Адамса и неподвижные точки, Изв. АН СССР, сер. матем., 32 (1968), вып. 6, стр. 1245-1263.

31. С. П. Новиков. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза, Функц. анализ и его прил., 8 (1974), вып. 3, стр. 54-66.

32. Р. Пале. Семинар по теореме Атьи Зингера об индексе, пер. с англ., М., 1970.

33. Р. Стонг. Заметки по теории кобордизмов (с приложением В. М. Бухштабера), М., Мир, 1973.

34. Э. Т. Уиттекер, Дж. Н. Ватсон. Курс современного анализа, ч. 2. Трансцендентные функции, Москва, УРСС, 2010.

35. Ф. Хирцебрух. Топологические методы в алгебраической геометрии, Мир, 1973.

36. H. F. Baker. On the hyperelliptic sigma functions, Amer. Journ. Math. 20 (1898), p. 301-384.

37. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin. Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, V. M. Buchstaber, S. P. Novikov Editors, AMS Trans. 2, 179 (1997), p. 1-33.

38. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin. Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and applications, Reviews in Mathematics and Math. Physics, 10 (1997), part 2, Gordon and Breach, London, p. 3120.

39. V. M. Buchstaber. Abelian Functions and Singularity Theory, International Conference "Analysis and Singularities", dedicated to the 70th anniversary of V. I. Arnold, Book of abstracts, Steklov Math. Inst., Moscow, 2007, p. 117-118.

40. P. A. Clarkson, P. J. Olver. Symmetry and the Chazy equation, J. Diff. Eq. 124 (1996), p. 225-246.

41. B. A. Dubrovin. Geometry of 2D topological field theoriesLecture Notes in Math. 1620 (1996), p. 120-348.

42. G. Frobenius, L. Stickelberger. Ueber die Differentiation der elliptischen Functionen nach den Perioden und Invarianten, Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal) 92 (1882), p. 311-327.

43. M. Hazewinkel. Formal Groups and Applications, Academic Press, New York-San Francisco-London, 1978.

44. M. Lazard. Sur les groupes de Lie formels à un paramètre, Bull. Soc. Math. France 83 (1955), p. 251-274.

45. J. Milnor. On the cobordism ring and complex analogue, Part I, Amer. J. Math., 82 (1960), no. 3, p. 505-521.

46. S. Ochanine. Sur les genres multiplicatifs définis par des intégrales elliptiques, Topology 26 (1987), no. 2, p. 143-151.

47. Y. Onishi. Universal elliptic functions, arXiv:1003.2927vl

48. D. Quillen. On the Formal Group Laws of Unoriented and Complex Cobordism Theory, Bulletin of the American Mathematical Society 75 (1969), p. 1293-1298,см. также:

49. Д. Квиллен, О формальных группах в теориях неориентированных и унитарных кобордизмов, Раздел 7 в книге «Кобордизмы и их приложения», Топологическая библиотека, том I, Москва-Ижевск, 2005.

50. J. Н. Silverman. The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Verlag, GTM 106 (1986). Expanded 2nd Edition, 2009.

51. J. T. Tate. The arithmetic of elliptic curves, Invent. Math., 23 (1974), 3-4, Springer-Verlag, p. 179-206.

52. K. Weierstrass. Zur Theorie der elliptischen Funktionen, Mathematische Werke, Bd. 2 (1894), Berlin, Teubner, p. 245-255.