Исследование энергетических спектров и характеристик рассеяния в системах трех частиц с кулоновским и контактным взаимодействием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.16, кандидат физико-математических наук Малых, Анастасия Владимировна

• Малых, Анастасия Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Малых, Анастасия Владимировна

Введение

Глава 1 Универсальное низкоэнергетическое описание трехчастичных систем

1.1 Описание трехчастичых свойств двухкомпонентных систем

1.1.1 Задача на собственные значения.

1.1.2 Полный угловой момент Ь=1.

1.1.3 Полный угловой момент Ь> 2.

1.1.4 Колебательно-вращательный спектр.

1.1.5 Выводы.

1.2 Низкоэнергетическая трехчастичная динамика в двухкомпонентных одномерных системах.

1.2.1 Постановка задачи и метод.

1.2.2 Точные решения.

1.2.3 Численный расчет.

1.2.4 Основные закономерности и асимптотические зависимости

1.2.5 Двухпараметрическое описание спектра и длин рассеяния.

1.2.6 Выводы.

1.3 Три тождественных двумерных бозона.

1.3.1 Задача на собственные значения.

1.3.2 Асимптотические разложения

1.3.3 Численные результаты

1.3.4 Выводы.

Глава 2 Аналитические выражения для коэффициентов гиперрадиальных уравнений

Глава 3 Описание ядра 12С в «-кластерной модели и эффективные потенциалы взаимодействия

3.1 Определение характеристик 12С из гиперрадиального разложения

3.2 Двухчастичные потенциалы

3.3 Термы и свойства собственных функций уравнения на гиперсфере

3.4 Расчет свойств 0+ состояний ядра 12С.

3.5 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование энергетических спектров и характеристик рассеяния в системах трех частиц с кулоновским и контактным взаимодействием»

Изучение различных аспектов трехчастичной динамики при низких и сверхнизких энергиях представляет важное значение для экспериментальных и теоретических исследований в различных областях атомной и ядерной физики. Диссертация посвящена исследованию характеристик трех частиц с короткодействующими взаимодействиями, а также трех а-частиц, в которых существенную роль играет кулоновское отталкивание. Изучение свойств трех частиц с короткодействующими взаимодействиями имеет важное значение для современных исследований атомных и молекулярных ультрахолодных газов, а так же представляют интерес для изучения динамики многочастичных систем. Проблема описания процессов с участием трех а-частиц связана с исследованием свойств ядра 12С, в котором особое значение имеет состояние, предсказанное Хойлом [1] (возбужденное Оз состояние ядра 12С) для объяснения распространенности тяжелых элементов во Вселенной и изучаемое экспериментально и теоретически в течение многих лет. Кроме того, построение а-кластерной модели имеет значение для вычисления характеристик ядер, содержащих а-частицы.

Существенное значение при описании атомных систем в пределе низких энергий играет тот факт, что взаимодействие между частицами с хорошей точностью может быть выбрано в виде потенциалов нулевого радиуса (контактного взаимодействия). Таким образом, энергии связи и характеристики рассеяния для трех частиц имеют универсальный характер, то есть не зависят от деталей взаимодействия, а определяются симметрией системы, кинематическими параметрами (отношением масс частиц) и безразмерными параметрами, описывающими взаимодействия (отношением длин рассеяния). Информация о трехчастичных энергиях и характеристиках рассеяния используется при изучении различных аспектов динамики многочастичных систем, например, в связи с активно исследуемыми в последние годы теоретически (например, см. [2, 3, 4]) и экспериментально (например, см. [5, 6]) ультрахолодными квантовыми газами. Изучение зависимости от параметров взаимодействия имеет принципиальное значение в связи с уникальной возможностью управления двухчастичным взаимодействием в эксперименте, в частности, используя магнитное поле для подстройки энергии резонанса в связанном канале (резонанс Фешбаха) или используя резонансы, возникающие благодаря ограничению движения в поперечном направлении [7].

В последние годы возник определенный интерес к микроскопическому описанию элементарных процессов в ультрахолодных газах, например, вычислен коэффициент трехчастичной рекомбинации для бесспиновых бозонов [8, 9, 10], фермионов [11] и частиц с внутренними степенями свободы [12]. Для трех тождественных бозонов с резонансным р-волновым взаимодействием недавно было предсказано бесконечное число связанных 1+ состояний [13]. С другой стороны, необходимо упомянуть быстро растущий интерес к исследованию смесей ультрахолодных газов [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Например, экспериментально и теоретически рассматриваются смеси различных фермионов [15, 16, 21] и бозонов с фермионами [22, 14], изучается влияние примесей в квантовых газах [23, 24]. Современные экспериментальные методики предоставляют уникальные возможности для изменения в широких пределах свойств ультрахолодных газов, что позволяет исследовать принципиальные проблемы микроскопических квантовых состояний, в качестве примера которых следует указать образование Бозе-Эйнштейновского конденсата и появление сверхтекучести в бозонных системах [5, 6], возникновение БКШ пар [22, 15] и двухатомных бозонных молекул в ферми-онных системах.

Интересной специфической возможностью является исследование ультрахолодных газов в ловушках различной формы, в частности, интенсивно исследуются ультрахолодные газы в оптических решетках, в которых движение является (квази)одномерным [5, 25, 26, 22] или (ква-зи)двумерным [2, 5, 6, 27, 28, 29, 30]. Недавно были проведены эксперименты с атомами в наноструктурах [31, 32, 33]. Изучение свойств трех частиц в двумерном конфигурационном пространстве имеет значение в связи с исследованием атомов, адсорбированных на поверхности, таких как атомы гелия, адсорбированные на графите [34] и атомы водорода.на гелиевых пленках [35, 36], в том числе, в [37] наблюдали квазиконденсат; в [38] измеряли коэффициент трехчастичной рекомбинации; а также этим исследованиям посвящен ряд теоретических работ [39, 40, 41, 42]. Описание нескольких тел, движущихся в двумерном конфигурационном пространстве, имеет ряд специфических особенностей [43, 44, 40, 45], описанных подробно в Главе 1. Различные аспекты трехчастичной динамики изучались в случае двумерного движения, в том числе, трехчастич-ные энергии связи рассмотрены в работах [46, 47, 48, 49], низкоэнергетическое рассеяние атома на димерной молекуле в [50], низкоэнергетическое рассеяние 3 —> 3 в [51, 52]. Трехчастичная динамика изучалась в случае одномерного движения, в том числе, энергии связи трех частиц двух типов рассмотрены в [53], низкоэнергетическая трехчастичная рекомбинация в [54], кроме того, следует отметить метод интегральных уравнений, использованный в [55] и различные варианты гиперсферических разложений, рассмотренные в [56, 57].

Из этого круга явлений в диссертации изучена трехчастичная динамика систем, содержащих либо тождественные частицы либо частицы двух видов, обладающие различной перестановочной симметрией, как в трехмерном конфигурационном пространстве, так и в пространстве низкой размерности. Для таких систем вычислены энергии связи и характеристики рассеяния, определены асимптотические поведения решений, исследованы изотопические зависимости и вычислены универсальные константы.

В течении ряда лет значительное внимание привлекает описание ядра 12С. Образование ядра 12С в реакции с участием трех а-частиц играет ключевую роль в астрофизической проблеме нуклеосинтеза, поскольку является единственной возможностью сгорания гелия и образования более тяжелых элементов [58, 1]. Существенное значение в процессе образования ядра 12С играет предсказанный Хойлом припоро-говый За резонанс (О^-состояние 12С). Благодаря существованию этого резонанса, а также припорогового а-а резонанса, достаточно быстрое сгорание гелия объясняется двухступенчатым резонансным механизмом реакции За —» 8Ве + а —► 12С*(0о~) —> 12С + 7. Предсказанное резонансное 0Í-состояние 12С было обнаружено экспериментально при изучении реакции 14N(cZ, cv)12C [59] и /5-распада 12В [60], а также изучалось в последующих работах [61, 62].

Несмотря на то, что экспериментально свойства этого состояния хорошо изучены, теоретическое описание сравнимой точности встречает затруднения на протяжении всего периода исследования. Следует подчеркнуть, что значительные затруднения в расчете связаны с наличием принципиальной проблемы более общего характера, а именно, описания реакций и распадов в системе трех частиц с кулоновским взаимодействием. В ядерной физике и астрофизике такие процессы активно исследуются, образование ядра 12С в реакции с участием трех а-частиц - наиболее известный трехчастичный процесс. В качестве других примеров отметим активно обсуждающуюся проблему двухпротонной радиоактивности (см. подробный обзор в [63, 64]), а также экспериментальное изучение дол-гоживущего распада 1+-состояния 12С [65, 66]. Основная трудность в исследования таких систем заключается в описании волновой функции непрерывного спектра трех (или более) заряженных частиц (трехчастичный континуум) [67].

Особую трудность в расчете характеристик -состояния ядра

12С также представляет получение чрезвычайно малой по ядерным масштабам ширины Г ~ 8 эВ этого состояния. При рассмотрении 12С как многочастичной системы, например, в модели оболочек [61, 62], описать узкий резонанс не удалось. В ряде работ [68, 69, 70, 71, 72] О^-состояние ядра 12С и »-кластерные состояния более тяжелых ядер рассматривались в связи с проблемой конденсацией а-частиц. Для сравнительно успешного описания ядра 12С широко используется а-кластерная модель [73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90]. Одним из существенных аргументов, доказывающих применимость этой модели, является тот факт, что ряд состояний ядра 12С имеет а-кластерную структуру. Наиболее ярко выраженную кластеризацию еледует ожидать для припорогового Оо -состояния, которое имеет принципиальное значение как пример трехчастичного распада.

При рассмотрении трехчастичных распадов значительный интерес представляет выяснение механизма таких реакций. Качественные характеристики многочастичных распадов на основе представлений о проницаемости многомерных кулоновских потенциальных барьеров рассмотрены в [91]. Имеются экспериментальные данные [92], указывающие на то, что механизм распада (^'-состояния является последовательным 12С*(0^) —> 8Ве + а —> За. Кроме резонансной За реакции в астрофизических приложениях существенное значение имеет впервые рассмотренная в [93] нерезонансная За реакция при малых энергиях и больших плотностях. Сгорание гелия в таких условиях происходит в процессе аккреции на белые карлики и нейтронные звезды. Нерезонансный процесс рассматривался в ряде работ [94, 74, 95, 96] с использованием двухчастичных представлений. Следует заметить, что в области столь низких энергий погрешность расчета скорости реакции может меняться на несколько порядков.

Разработка метода расчета (^-состояния 12С может также рассматриваться как необходимый этап описания низкоэнергетических реакций с участием а-частиц, например, описанной выше нерезонансной реакции горения гелия. С другой стороны, расчет трехчастичных характеристик ядра 12С позволяет определить параметры самой а-кластерной модели. Построение эффективных взаимодействий для этой модели представляет значительный интерес для теоретического описания свойств различных ядер, для которых наличие ск-кластеров является хорошим приближением. В связи со всем вышеизложенным одной из целей диссертации является построение эффективных потенциалов ^-кластерной модели, описывающих основные двух- и трехчастичные характеристики, а также изучение свойств За-системы вблизи трехчастичного порога, в частности, определение характеристик возбужденного Оз состояния ядра 12С [81, 85, 86].

В значительной части диссертации расчет проводится с помощью метода гиперсферических "поверхностных" функций (приложение А) [97], который широко используется в решении различных проблем нескольких тел. Преимущество данного метода в том, что он позволяет единообразно рассматривать как задачу на связанные состояния, так и задачу двух- и трехчастичного рассеяния, а также учитывать различные симметрии задачи естественном образом.

Контактные взаимодействия [44, 98, 99, 100, 101, 102] возникают в теоретическом описании широкого круга квантовомеханических систем. Методы решения задачи на собственные значения и задачи рассеяния для систем с контактными взаимодействиями представляют общий интерес, таким образом, рассмотренные в диссертации усовершенствования подхода, связанного с решением гиперрадиальных уравнений, представляют собой заметное методическое достижение. А именно, полученные аналитические выражения для матричных элементов системы гиперрадиальных уравнений [103, 104, 105, 106] применимы к широкому кругу задач, который не ограничивается системами, рассмотренными в диссертации.

Для решения трехчастичных задач с кулоновским взаимодействием необходимо адаптировать численную процедуру решения уравнения на собственные значения на гиперсфере. Для этого, в случае системы трех а-частиц, в вариационном методе решения использовался гибкий базис пробных функций. Последние позволяют воспроизвести волновую функцию при больших и малых расстояниях между частицами.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и двух приложений. В конце каждой главы приводятся полученные в ней результаты.

Заключение диссертации по теме «Физика атомного ядра и элементарных частиц», Малых, Анастасия Владимировна

Основные результаты диссертации содержатся работах [81, 85, 104, 105, 106, 86, 108, 107], а также были представлены на

• международной летней школе "Нарушение СР-симметрии, бариоге-незис и нейтрино" (Прероу, Германия, 15-21 сентября 2002 года),

• рабочем совещании по вычислительной физике, посвященное памяти Станислава Меркурьева (Санкт-Петербург, Россия, 24-27 августа 2003 года),

• DST-UNISA-JINR симпозиуме "Модели и методы в мало- и многочастичных системах" (Скукуза, национальный Крюгер-парк, Южная Африка, 6-9 февраля 2007 года),

• международной летней школе имени Гельмгольца "Теория ядра и астрофизические приложения" (Дубна, Россия, 7-17 августа 2007 года),

• 20-ая Европейской конференции по малочастичным проблемам в физике (Пиза, Италия, 10-14 сентября 2007 года). а также обсуждались на семинарах Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова ОИЯИ, Европейского центра теоретических исследований (Тренто, Италия), НовГУ им. Яр. Мудрого, Университета Южной Африки (Претория).

В заключении хочу поблагодарить своего научного руководителя Картавцева Олега Ивановича за постановку задач, и большую помощь, оказанную при выполнении данной работы.

Выражаю свою признательность своему соавтору Федотову Сергею Ивановичу, в том числе, и за полезные комментарии по поводу текста диссертации.

За доброе отношение и полезные обсуждения хочу поблагодарить Беляева Владимира Борисовича.

Я благодарна дирекции Лаборатории теоретической физики и лаборатории ядерных проблем ОИЯИ за предоставленную возможность провести данные исследования. Хочу также поблагодарить коллектив Новгородского Государственного Университета, в особенности Захарова Анатолия Юльевича, за оказанную мне поддержку.

А. Метод гиперсферических "поверхностных" функций

Гамильтониан трехчастичной системы в системе центра масс имеет вид: з

Я = + , (А.1) г=1 где {ijk} - циклические перестановки {123}, h — 1, потенциал в паре (jk) равен Vjk(\vj — г&|) = Vjk Масштабированные переменные Якоби

- Xj, у i связаны с радиус-векторами r¿, массами mi частиц следующими соотношениями x¿ = ^ (г,- - rfc) , у,- = (п - ) , (А.2) rrij + Шк J где приведенные массы //¿, Дг- имеют вид

Hi = m3mk/(mj + тк) , Дг- = пц(т3 + тк)/(ггц + rrij + mk) . (А.З)

Различные наборы координат Якоби связаны между собой соотношениями

Xi = - COSCÜkXj - SÍll OJkyj , Уj = Sm CükXj - cos tokyj (A A) где mi(mi + rrij +mk) i = ± arctg ч / —------(A.5) y m3mk углы кинематического вращения, знак выбирается в зависимости от четности или нечетности перестановки {ijk} в {123}.

Для получения системы гиперрадиальных уравнений используются - гиперрадиус р (0 < р < оо) и углы О = Xi, yi), связанные с переменными Якоби соотношениями

Xi = psina¿ , yi = р cos Oii , (A.6)

X¿ = Xi/Xi , у г = У i/Vi ■ (А.7)

Из (А.4) следует соотношение между различными наборами гиперсферических переменных cos 2ai = cos 2u}f. cos 2aj + sin 2cu^ sin 2aj cos 6j , (A.8) sin 2 ai cos в i — cos sin 2a j cos 9j =p sin 2u>k cos 2 ocj , (A. 9) где 0i (0 < 6i < it) - угол между векторами x¿ и yif то есть cos= (x¿y¿).

В гиперсферических координатах гамильтониан (А.1) в пространстве размерности d имеет вид: где Л2 - квадрат оператора обобщенного углового момента в пространстве размерности 2d-1 и он равен

Л2 = -^2> <*=1, (АЛ1) д2 д 1? 1

Л2 = —2 — 2(d— 1)ctg2ai~--Ь —г^--1--т— , d>l , (A.12) oaf oai sir cos^ где lx- и ly¿ - операторы углового момента соответствующие векторам хг-и y¿.

В основе метода лежит представление суммарной волновой функции 3-х частиц в виде разложения оо ф =р-(М-1)/2 J2fn(p)^n(^p) (А. 13) п= 1 по функциям на гиперсфере Фп(0,,р) (при фиксированном гиперрадиусе), удовлетворяющим уравнению

Фп(П,р) = 0 (А. 14) и симметрии задачи. Для каждого значения переменной р, решение уравнения на гиперсфере (А. 14) дает бесконечное число дискретных собственных значений, которые удобно записать в виде еп(р) = £2(р) — с/ — I)2, и соответствующие собственные функции Ф„ нормированные условием

ФП|ФШ) = ¿тп . (А. 15)

•]•) означает интегрирование по инвариантному объему на гиперсфере сЮ, = (зт2а.У~1с1а ¿х^уг (или (Ю, = с1а для (1 — 1).

Собственные функции и соответствующие собственные значения используются для построения системы гиперрадиальных уравнений (ГРУ), которая, используя разложение (А. 13) для уравнение Шредингера #Ф = Е'Ф с гамильтонианом (АЛО), получается в двух эквивалентных формах

Ар ад = о, ад = о, (а. ш)

А-17) где {(р) означает вектор-функцию с компонентами радиальных функций п{р), и(р) - диагональная матрица, элементы которой равны ипп{р) = 4£,1(р)+(2^-3)(2^-1) = £-1/4 ^ и и р^ антисимметричная и симметричная матрицы с матричными элементами

Рпт(р) = ф „ (1фт\ р /

1ФП ¿Фт

1р д,р

Тождество оо

Рптп — ^ ^ QnkQmk

А. 18) (А. 19)

А. 20) а;=1 обеспечивает эквивалентность бесконечных систем уравнений в виде (А.16) и (А.17). Эффективный потенциал в пом канале для конечной системы из м ГРУ (А. 16) равен

К»м = +рпМ, а для (А. 17) равен

А.21)

А.22) к=1

Хотя две бесконечные системы ГРУ (А. 16) и (А. 17) эквивалентны, конечные системы дают разные результаты,'что позволяет в практических расчетах оценивать сходимость с увеличением числа ГРУ М. Важно, что решение конечной системы из м ГРУ в первой форме (А. 16) дает верхние границы ь\ для точной энергии г-го состояния щ, ьгез1 для положения резонанса Еге8^ и для точной длины рассеяния А, то есть е\ы) > е{, > ЕгеаА и А^м) > А [163, 164]. Доказательство может быть получено, наблюдая, что конечная система ГРУ в виде (А. 16) может быть получена применением вариационного принципа с пробной функцией, содержащей ограниченную сумму в виде (А. 13). С другой стороны, решение системы ГРУ (А. 17), по крайней мере в одноканальном приближении, дает нижнюю границу для энергии основного состояния [163]. Несмотря на то, что решение системы (А. 17) не требует расчета Рпт(Я), система (А. 17) обычно обеспечивает более медленную сходимость с увеличением числа уравнений. Заметим, что возможность вычисления длины рассеяния решением обрезанной системы (А. 17) должна быть проанализирована исходя из поведения эффективного потенциала в первом канале У^^(р). Если У^^(р) содержит дальнодействующий терм, который убывает медленнее, чем 1/4р2 для каждого ограниченного М, то данное обрезание системы не позволяет вычислить длину рассеяния.

Заметим, что для решения двумерной задачи, оказалось удобным вместо гиперрадиуса использовать переменную Я = \пр и заменить в разложении (А. 13) радиальную функцию Г —> е~Л//2£. Тогда ГРУ имеют тот же вид (А. 16), (А. 17) при замене р Я, Е е2НЕ, и и —>■ е2Ни + 1/4. В определении матричных элементов (А. 18) и (А. 19) так же производится замена р —> Я.

Давно известно (см., например, [131, 132]), что одномерная задача для системы из N тождественных частиц с взаимодействиями нулевого радиуса (в этом случае - это обычные Дираковские 5-функции) решается точно. Это обеспечивает хорошую возможность проверить используемый метод и проконтролировать численную точность.

Рассмотрим систему из трех тождественных бозонов массы т, с интенсивностью взаимодействия между частицами А. Выберем единицы

К = т = Л = 1. Из-за симметрии системы можно решать задачу на собственные значения на интервале 0 < а < 1г/6 с дополнительным граничным условием = 0 в точке су — тг/6. В рамках ПНР взаимодействие да описывается граничным условием lim а—>0 + da ^

Ф = 0 , (А.23) которое следует из уравнения (1.43). Решение задачи на собственные значения на окружности ^+ fn^ ®n{oi,p) = 0 имеет вид Фп(ск,р) =

Вп cos(a—7г/6)£п, где собственные значения £2(/?) определяются из трансцендентного уравнения + pctg££ = 0 . (А.24) 5

Благодаря простой зависимости £(р) (А.24), можно, используя выражения (2.9), (2.12), (2.16), вывести простые аналитические выражения для матричных элементов. Например, cos4 | [ж (ж2 — 3) (х — 2 sin х) — 6ж2 cos х + 3 sin2 ж]

Рпп — тг~о7 : : л ' (А.25) x¿{x + smi)4 где ж = |f„(/o).

Заключение

В диссертации проведены исследования систем трех частиц с контактным взаимодействием в одно-, двух- и трехмерных конфигурационных пространствах, а также исследовались 0+-состояния ядра 12С в а-кластерной модели.

На защиту выдвигаются следующие результаты

1. Определен колебательно-вращательный спектр трех частиц (двух типов) с контактным взаимодействием для произвольных значений отношений масс. Получена универсальная функция, описывающая спектр энергии. Для системы, содержащей два тождественных фермиона, в состоянии с полным угловым моментом Ь — 1 определены изотопические зависимости трехчастичных энергий связи и сечений упругого и неупругого рассеяния.

2. Исследована система трех частиц (двух типов) с контактным взаимодействием в одномерном конфигурационном пространстве, определены энергии связи и длины 2 + 1 рассеяния. Получен ряд аналитических и качественных результатов. Построена схематическая "фазовая" диаграмма, на которой задано число связанных состояний и знак длины 2 + 1 рассеяния в плоскости двух параметров — отношения масс и отношения интенсивностей взаимодействий.

3. Изучена система трех тождественных бозонов с контактным взаимодействием в двумерном конфигурационном пространстве. Получены точные значения энергий связи и длина 2 + 1 рассеяния, исследовано асимптотическое поведение всех коэффициентов системы гиперрадиальных уравнений и определено поведение полной волновой функции вблизи точки тройного столкновения.

4. Дан вывод аналитических выражений для коэффициентов гиперрадиальных уравнений, описывающих систему трех частиц с контактным взаимодействием.

5. Построен набор эффективных двух- и трехчастичных потенциалов а - кластерной модели, описывающий экспериментальные значения положения и ширины s-волнового а - а резонанса, s-, d- и д-волновые фазы а - а рассеяния, энергии основного и возбужденного 0+ состояний ядра 12с и среднеквадратичный радиус основного состояния.

6. В а-кластерной модели определены ширина возбужденного Оо" состояния 12С, матричный элемент монопольного перехода (Oj —> 0+) и среднеквадратичный радиус возбужденного состояния R(2\ Исследован механизм распада состояния на три а-частицы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Малых, Анастасия Владимировна, 2008 год

1. Hoyle, F. On Nuclear Reactions Occuring in Very Hot STARS. 1. the Synthesis of Elements from Carbon to Nickel / F. Hoyle // Astrophys. J. Suppl. — 1954.-Vol. 1,- P. 121.

2. Petrov, D. S. Bose-Einstein Condensation in Quasi-2D Trapped Gases / D. S. Petrov, M. Holzmann, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - P. 2551.

3. Petrov, D. S. Interatomic collisions in a tightly confined Bose gas / D. S. Petrov, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 64. -P. 012706.

4. Bao, C. G. Effect of hard-core repulsion on the structures of a trapped two-dimensional three-boson system / C. G. Bao, Y. He, G. M. Huang, T. Y. Shi // Phys. Rev. A. 2002. - Vol. 65. - P. 022508.

5. Realization of Bose-Einstein Condensates in Lower Dimensions / A. Görlitz, J. M. Vogels, A. E. Leanhardt, C. Raman, T. L. Gus-tavson, J. R. Abo-Shaeer, A. P. Chikkatur et al. // Phys. Rev. Lett. — 2001,-Vol. 87,- P. 130402.

6. Rychtarik, D. Two-Dimensional Bose-Einstein Condensate in an Optical Surface Trap / D. Rychtarik, B. Engeser, H.-C. Nägerl, R. Grimm // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 92. - P. 173003.

7. Olshanii, M. Atomic Scattering in the Presence of an External Confinement and a Gas of Impenetrable Bosons / M. Olshanii // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 938.

8. Fedichev, P. O. Three-Body Recombination of Ultracold Atoms to a Weakly Bound s Level / P. O. Fedichev, M. W. Reynolds, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77. - P. 2921.

9. Nielsen, E. Low-Energy Recombination of Identical Bosons by Three-Body Collisions / E. Nielsen, J. H. Macek // Phys. Rev. Lett. — 1999. Vol. 83. - P. 1566.

10. Esry, B. D. Recombination of Three Atoms in the Ultracold Limit / B. D. Esry, C. H. Greene, J. J. P. Burke // Phys. Rev. Lett. 1999. — Vol. 83.-P. 1751.

11. Petrov, D. S. Three-body problem in Fermi gases with short-range interparticle interaction / D. S. Petrov // Phys. Rev. A. — 2003,— Vol. 67,- P. 010703(R).

12. Kartavtsev, O. I. Low-energy three-body recombination near a Fesh-bach resonance / O. I. Kartavtsev, J. H. Macek // Few-Body Syst. — 2002.-Vol. 31.-P. 249.

13. Macek, J. H. Exact solution for three particles interacting via zerorange potentials / J. H. Macek, S. Y. Ovchinnikov, G. Gasaneo // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. - P. 032704.

14. Karpiuk, T. On the stability of bose-fermi mixtures / T. Karpiuk, M. Brewczyk, M. Gajda, K. Rzazewski // J. Phys. B. — 2005,-Vol. 38.- P. L215.

15. Shin, Y. Observation of phase separation in a strongly interacting imbalanced fermi gas / Y. Shin, M. W. Zwierlein, C. H. Schunck, A. Schirotzek, W. Ketterle // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. -P. 030401.

16. Chevy, F. Density profile of a trapped strongly interacting fermi gas with unbalanced spin populations / F. Chevy // Phys. Rev. Lett. — 2006,- Vol. 96.- P. 130401.

17. Deh, B. Feshbach resonances in mixtures of ultracold 6Li and 87Rb gases / B. Deh, C. Marzok, C. Zimmermann, P. W. Courteille // Phys. Rev. A. 2008. - Vol. 77. - P. 010701.

18. Taglieber, M. Quantum Degenerate Two-Species Fermi-Fermi Mixture Coexisting with a Bose-Einstein Condensate / M. Taglieber, A.C. Voigt, T. Aoki, T. W. Hänsch, K. Dieckmann // Phys. Rev, Lett. — 2008. Vol. 100. - P. 010401.

19. Capponi, S. Molecular superfluid phase in systems of one-dimensional multicomponent fermionic cold atoms / S. Capponi, G. Roux, P. Le-cheminant, P. Azaria, E. Boulat, S. R. White // Phys. Rev. A.— 2008. Vol. 77. - P. 013624.

20. Zöllner, S. Composite fermionization of one-dimensional Bose-Bose mixtures / S. Zöllner, H.-D. Meyer, P. Schmelcher // Phys. Rev. A. 2008. - Vol. 78. - P. 013629.

21. I skin, M. Two-species fermion mixtures with population imbalance / M. Iskin, C. A. R. S. de Melo // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 97. -P. 100404.

22. Ospelkaus, C. Interaction-driven dynamics of 40K 87Rb fermion-boson gas mixtures in the large-particle-number limit / C. Ospelkaus, S. Ospelkaus, K. Sengstock, K. Bongs // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Vol. 96.- P. 020401.

23. Cucchietti, F. M. Strong-coupling polarons in dilute gas bose-einstein condensates / F. M. Cucchietti, E. Timmermans // Phys. Rev. Lett. — 2006,-Vol. 96,- P. 210401.

24. Kalas, R. M. Interaction-induced localization of an impurity in a trapped bose-einstein condensate / R. M. Kalas, D. Blume // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. - P. 043608.

25. Moritz, H. Confinement Induced Molecules in a ID Fermi Gas / H. Moritz, T. Stöferle, K. Günter, M. Köhl, T. Esslinger // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 94. - P. 210401.

26. Sadler, L. E. Spontaneous symmetry breaking in a quenched ferromagnetic spinor Bose-Einstein condensate / L. E. Sadler, J. M. Higbie, S. R. Leslie, M. Vengalattore, D. M. Stamper-Kurn // Nature. — 2006. Vol. 443. - P. 312.

27. Mora, C. Atom-Dimer Scattering for Confined Ultracold Fermion Gases / C. Mora, R. Egger, A. O. Gogolin, A. Komnik // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 170403.

28. Mora, C. Three-body problem for ultracold atoms in quasi-one-dimensional traps / C. Mora, R. Egger, A. O. Gogolin // Phys. Rev.

29. A. 2005. - Vol. 71. - P. 052705.

30. Yurovsky, V. A. One-Dimensional Bose Chemistry: Effects of Nonin-tegrability / V. A. Yurovsky, A. Ben-Reuven, M. Olshanii // Phys. Rev. Lett. 2006. - Vol. 96. - P. 163201.

31. Rizzi, M. Pairing of one-dimensional Bose-Fermi mixtures with unequal masses / M. Rizzi, A. Imambekov // Phys. Rev. A. — 2008,— Vol. 77.- P. 023621.

32. Johnson, A. C. Coulomb-Modified Fano Resonance in a One-Lead Quantum Dot / A. C. Johnson, C. M. Marcus, M. P. Hanson, A. C. Gossard // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 106803.

33. Slachmuylders, A. F. Trions in cylindrical nanowires with a dielectric mismatch / A. F. Slachmuylders, B. Partoens, W. Magnus, F. M. Peeters // Phys. Rev. B. 2007. - Vol. 76. - P. 075405.

34. Olendski, O. Analytical and numerical study of a curved planar waveguide with combined Dirichlet and Neumann boundary conditions in a uniform magnetic field / O. Olendski, L. Mikhailovska // Phys. Rev.

35. B. 2008. - Vol. 77. - P. 174405.

36. Dash, J. G. Helium films from two to three dimensions / J. G. Dash // Phys. Rep. 1978. - Vol. 38. - P. 177.

37. Hess, H. F. Temperature and Magnetic Field Dependence of Three-Body Recombination in Spin-Polarized Hydrogen / H. F. Hess, D. A.

38. Bell, G. P. Kochanski, D. Kleppner, T. J. Greytak // Phys. Rev. Lett. —1984,-Vol. 52,- P. 1520.

39. Sprik, R. Compression experiments with spin-polarized atomic hydrogen / R. Sprik, J. T. M. Walraven, I. F. Silvera // Phys. Rev. B. —1985.-Vol. 32.-P. 5668.

40. Safonov, A. I. Observation of Quasicondensate in Two-Dimensional Atomic Hydrogen / A. I. Safonov, S. A. Vasilyev, I. S. Yasnikov, I. I. Lukashevich, S. Jaakkola // Phys. Rev. Lett. 1998,— Vol. 81.— P. 4545.

41. Jarvinen, J. Three-body recombination in two-dimensional atomic hydrogen gas / J. Jarvinen, J. Ahokas, S. Jaakkola, S. Vasilyev // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 72. - P. 052713.

42. Каган, Ю. Квадидвумерный спин-поляризованный атомарный водород / Ю. Каган, Г. В. Шляпников, И. А. Вартаньянц, Н. А. Глухов // Письма ЖЭТФ.- 1982,- Vol. 35.- Р. 386.- JETP Lett. 35, 477 (1982).

43. Bruch, L. W. Binding of three identical bosons in two dimensions / L. W. Bruch, J. A. Tjon // Phys. Rev. A. 1979. - Vol. 19. - P. 425.

44. Lim, T. K. Nonexistence of the Efimov effect in two dimensions / T. K. Lim, P. A. Maurone // Phys. Rev. B.- 1980,- Vol. 22.-P. 1467.

45. Petrov, D. S. Superfluid transition in quasi-two-dimensional Fermi gases / D. S. Petrov, M. A. Baranov, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. A. 2003. - Vol. 67. - P. 031601.

46. Cabral, F. Trimer binding in two dimensions / F. Cabral, L. W. Bruch // /. Chem. Phys. 1979. - Vol. 70. - P. 4669.

47. Tjon, J. A. Bound states of four identical bosons in two dimensions / J. A. Tjon // Phys. Rev. A. 1980. - Vol. 21. - P. 1334.

48. Nielsen, E. Structure and Occurrence of Three-Body Halos in Two Dimensions / E. Nielsen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Few-Body Syst. 1999. - Vol. 27. - P. 15.

49. Vranjes, L. Helium trimers and tetramers in two dimensions and quasi-two-dimensions / L. Vranjes, S. Kilic // Phys. Rev. A.— 2002. Vol. 65. - P. 042506.

50. Adhikari, S. K. Model independence of scattering of three identical bosons in two dimensions / S. K. Adhikari, A. Delfino, T. Frederico, L. Tomio // Phys. Rev. A. 1993. - Vol. 47. - P. 1093.

51. Adhikari, S. K. Low-energy behavior of few-particle scattering amplitudes in two dimensions / S. K. Adhikari, W. G. Gibson // Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 46. - P. 3967.

52. Klemm, A. D. Behaviour of adiabatic potentials in the scattering of three particles / A. D. Klemm, S. Y. Larsen // Few-Body Syst. — 1990,- Vol. 9.-P. 123.

53. Cornean, H. D. On Critical Stability of Three Quantum Charges Interacting Through Delta Potentials / H. D. Cornean, P. Duclos, B. Ri-caud // Few-Body Syst. 2006. - Vol. 38. - P. 125.

54. Mehta, N. P. Three-body recombination in one dimension / N. P. Mehta, B. D. Esry, C. H. Greene // Phys. Rev. A.— 2007,-Vol. 76,- P. 022711.

55. Mehta, N. P. Three bosons in one dimension with short-range interactions: Zero-range potentials / N. P. Mehta, J. R. Shepard // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 72. - P. 032728.

56. Amaya-Tapia, A. Three-Body Phase Shift in One-Dimensional 2 + 1 Scattering / A. Amaya-Tapia, S. Y. Larsen, J. Popiel // Few-Body Syst. 1998. - Vol. 23. - P. 87.

57. Amaya-Tapia, A. Integral representation of one-dimensional three particle scattering for delta function interactions / A. Amaya-Tapia, G. Gasaneo, S. Ovchinnikov, J. H. Macek, S. Y. Larsen // /. Math. Phys. 2004. - Vol. 45. - P. 3533.

58. Salpeter, E. E. Nuclear Reactions in Stars Without Hydrogen / E. E. Salpeter // Astrophys. J. 1952. - Vol. 115. - P. 326.

59. Dunbar, D. N. F. The 7.68-Mev State in C12 / D. N. F. Dunbar, R. E. Pixley, W. A. Wenzel, W. Whaling // Phys. Rev. 1953. - Vol. 92. -P. 649.

60. Cook, C. W. B12, 12C, and the Red Giants / C. W. Cook, W. A. Fowler, C. C. Lauritsen, T. Lauritsen // Phys. Rev. — 1957,— Vol. 107,— P. 508.

61. Kanada-En'yo, Y. Variation after Angular Momentum Projection for the Study of Excited States Based on Antisymmetrized Molecular Dynamics / Y. Kanada-En'yo // Phys. Rev. Lett. 1998. — Vol. 81. — P. 5291.

62. Vary, P. N. J. P. Properties of 12C in the Ab Initio Nuclear Shell Model / P. N. J. P. Vary, B. R. Barrett // Phys. Rev. Lett. 2000. -Vol. 84. - P. 5728.

63. Grigorenko, L. V. Two-proton radioactivity and three-body decay: General problems and theoretical approach / L. V. Grigorenko, R. C. Johnson, I. G. Mukha, I. J. Thompson, M. V. Zhukov // Phys. Rev. C. 2001. - Vol. 64. - P. 054002.

64. Grigorenko, L. V. Two-proton radioactivity and three-body decay. II. Exploratory studies of lifetimes and correlations / L. V. Grigorenko, M. V. Zhukov // Phys. Rev. C. 2003. - Vol. 68. - P. 054005.

65. Clarification of the three-body decay of 12C (12.71 mev) / H. O. U. Fynbo, Y. Prezado, U. C. Bergmann, M. J. G. Borge, P. Den-dooven, W. X. Huang, J. Huikari et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. -Vol. 91.- P. 082502.

66. Revised rates for the stellar triple-alpha process from measurement of 12C nuclear resonances / H. O. U. Fynbo, C. A. Diget, U. C. Bergmann, M. J. G. Borge, J. Cederkäll, P. Dendooven, L. M. Fraile et al. // Nature. 2005. - Vol. 433. - P. 136.

67. Garrido, E. Necessary conditions for accurate computations of three-body partial decay widths / E. Garrido, A. S. Jensen, D. V. Fedorov // Phys. Rev. C. 2008. - Vol. 78. - P. 034004.

68. Tohsaki, A. Alpha Cluster Condensation in 12C and 160 / A. Tohsaki, H. Horiuchi, P. Schuck, G. Röpke // Phys. Rev. Lett. 2001.-Vol. 87,- P. 192501.

69. Yamada, T. Dilute multi-alpha cluster states in nuclei / T. Yamada, P. Schuck // Phys. Rev. C. 2004. - Vol. 69. - P. 024309.

70. Funaki, Y. Resonance states in 12C and ce-particle condensation / Y. Funaki, A. Tohsaki, H. Horiuchi, P. Schuck, G. Röpke // Eur. Phys. J. A.- 2005. Vol. 24. - P. 321.

71. Funaki, Y. Inelastic form factors to alpha-particle condensate states in 12C and 160: What can we learn? / Y. Funaki, A. Tohsaki, H. Horiuchi, P. Schuck, G. Röpke // Eur. Phys. J. A.- 2006. Vol. 28. - P. 259.

72. Chernykh, M. Structure of the Hoyle State in 12C / M. Chernykh, H. Feldmeier, T. Neff, P. von Neumann-Cosel, A. Richter // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 98. - P. 032501.

73. Portilho, 0. Three-body potential among alpha particles / O. Portilho, D. Agrello, S. Coon // Phys. Rev. C. 1983. - Vol. 27. - P. 2923.

74. Langanke, K. The triple-alpha-reaction at low temperatures / K. Langanke, M. Wiescher, F.-K. Thielemann // Z. Phys. A. — 1986. — Vol. 324. P. 147.

75. Descouvemont, P. Microscopic theory of the 8Be(a,7)12C reaction in a three-cluster model / P. Descouvemont, D. Baye // Phys. Rev. C. — 1987,- Vol. 36,- P. 54.

76. Fedorov, D. V. The three-body continuum Coulomb problem and the 3a structure of 12C / D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Phys. Lett. B. — 1996,-Vol. 389.-P. 631.

77. Pichler, P. Three-alpha structures in 12C / P. Pichler, H. Oberhummer, A. Csoto, S. A. Moszkowski // Nucl. Phys. A. — 1997,— Vol. 618.- P. 55.

78. Филихин, H. H. 0^-резонанс ядра 12C в кластерной модели о;8Ве / Н. Н. Филихин // ЯФ. 2000. - Vol. 63. - Р. 1612.

79. Филихин, Н. Н. Ядро 160 в кластерной модели 4а / Н. Н. Филихин, С. Л. Яковлев // ЯФ. 2000. - Vol. 63. - Р. 409.

80. Tursunov, Е. М. Comparative variational studies of 0+ states in three-a models / E. M. Tursunov, D. Baye, P. Descouvemont // Nucl. Phys. A. 2003. - Vol. 723. - P. 365.

81. Fedotov, S. I. За-cluster structure of the 0+ states in 12C and the effective a —a interactions / S. I. Fedotov, О. I. Kartavtsev, V. I. Kochkin, A. V. Malykh // Phys. Rev. C. 2004. - Vol. 70. - P. 014006.

82. Kurokawa, C. New broad 0+ state in 12C / C. Kurokawa, K. Kato // Phys. Rev. C. 2005. - Vol. 71. - P. 021301 (R).

83. Itagaki, N. Simplified method to include the tensor contribution in a-cluster model / N. Itagaki, H. Masui, M. Ito, S. Aoyama, , K. Ikeda // Phys. Rev. C. 2006. - Vol. 73. - P. 034310.

84. Filikhiri, I. 0+ states of the 12C nucleus: the Faddeev calculation in configuration space / I. Filikhin, V. M. Suslov, B. Vlahovic // /. Phys. G. 2005. - Vol. 31. - P. 1207.

85. Fedotov, S. I. Effective three-body interactions in the ce-cluster model for the 12C nucleus / S. I. Fedotov, O. I. Kartavtsev, A. V. Malykh // Eur. Phys. J. A.- 2005. Vol. 26. - P. 201.

86. Kartavtsev, O. I. Multi-Cluster Decay of Atomic Nuclei / O. I. Kartavtsev // Few-Body Syst. 2004. - Vol. 34. - P. 39.

87. Limits for the 3a branching ratio of the decay of the 7.65 MeV, 0^ state in 12C / M. Freer, A. H. Wuosmaa, R. R. Betts, D. J. Henderson, P. Wilt, R. W. Zurmuhle, D. P. Balamuth et al. // Phys. Rev. C. -1994.-Vol. 49,- P. R1751.

88. Cameron, A. G. W, Pycnonuclear Reations and Nova Explosions / A. G. W. Cameron // Astrophys. J. ~ 1959. Vol. 130. - P. 916.

89. Nomoto, K. The triple alpha reaction at low temperatures in accreting white dwarfs and neutron stars / K. Nomoto, F.-K. Thielemann, S. Miyaji // Astron. Astrophys. 1985. - Vol. 149. - P. 239.

90. Fushiki, I. S-matrix calculation of the triple-alpha reaction / I. Fushiki,

91. D. Q. Lamb // Astrophys. J. 1987. - Vol. 317. - P. 368.

92. Schramm, S. Pycnonuclear triple-alpha fusion rates / S. Schramm, K. Langanke, S. E. Koonin // Astrophys. J. 1992. - Vol. 397. -P. 579.

93. Macek, J. H. Properties of autoionizing states of He / J. H. Macek // /. Phys. B. 1968. - Vol. 1. - P. 831.

94. Demkov, Y. N. Zero-range potentials and their applications in atomic physics / Y. N. Demkov, V. N. Ostrovskii. — New York: Plenum Press, 1988.

95. Wodkiewicz, K. Fermi pseudopotential in arbitrary dimensions / K. Wodkiewicz // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 68.

96. Idziaszek, Z. Pseudopotential Method for Higher Partial Wave Scattering / Z. Idziaszek, T. Calarco // Phys. Rev. Lett.— 2006.— Vol. 96.- P. 013201.

97. Braaten, E. Universality in the three-body problem for 4He atoms /

98. E. Braaten, H.-W. Hammer 11 Phys. Rev. A. 2003.- Vol. 67,-P. 042706.

99. Hammer, H.-W. Universal Properties of Two-Dimensional Boson Droplets / H.-W. Hammer, D. T. Son // Phys. Rev. Lett. 2004. -Vol. 93,- P. 250408.

100. Kartavtsev, О. I. Universal description of the He3 system at low energy / О. I. Kartavtsev // Few-Body Syst. Suppl. 1999. - Vol. 10. -P. 199.

101. Kartavtsev, О. I. Universal low-energy properties of three two-dimensional bosons / О. I. Kartavtsev, A. V. Malykh // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 74. - P. 042506.

102. Kartavtsev, О. I. Low-energy three-body dynamics in binary quantum gases / О. I. Kartavtsev, A. V. Malykh /¡ J. Phys. B. 2007. -Vol. 40. - P. 1429.

103. Картавцев, О. И. Универсальный колебательно-вращательный спектр трех частиц с контактными взаимодействиями / О. И. Картавцев, А. В. Малых // Письма ЖЭТФ. 2007. - Vol. 86. -Pp. 713-717,- JETP Lett., 86, 10, 625-629, (2007).

104. Kartavtsev, О. I. Universal three-body dynamics in binary mixtures of ultra-cold atoms / О. I. Kartavtsev, A. V. Malykh // to be published in Few Body Syst. — 2008.

105. Ферми, Э. / Э. Ферми. — Москва: Наука, 1971. — Р. 611. — Перевод Е. Fermi, Nuova cim. 11, 157, (1934).

106. Bollé, D. Scattering observables in arbitrary dimension n > 2 / D. Bollé, F. Gesztesy // Phys. Rev. A. 1984. - Vol. 30. - P. 1279.

107. Скорняков, Г. В. Задача трех тел при короткодействующих силах. Рассеяние нейтронов малой энергии дейтонами / Г. В. Скорняков, К. А. Тер-Мартиросян // ЖЭТФ. 1956. - Vol. 31. - Р. 775.

108. Минлос, Р. А. О точечном взаимодействии системы из трех частиц в квантовой механике / Р. А. Минлос, JI. Д. Фаддеев // Доклады АН СССР. 1961.-Vol. 141.-Pp. 1335-1338.

109. Минлос, Р. А. Замечания о задаче трех тел с точечным взаимодействием / Р. А. Минлос, J1. Д. Фаддеев // ЖЭТФ. — 1961. Vol. 41.- Pp. 1850-1851.

110. Efimov, V. Energy levels arising from resonant two-body forces in a three-body system / V. Efimov // Phys. Rev. B. 1970. - Vol. 33. -P. 563.

111. Ефимов, В. Слабосвязанные состояния трех резонансно взаимодействующипх частиц / В. Ефимов // ЯФ,— 1970. — Vol. 12. Р. 1080.

112. Efimov, V. Energy levels of three resonantly interacting particles / V. Efimov // Nucl. Phys. A. 1973. - Vol. 210. - P. 157.

113. Jensen, A. S. Efimov states in asymmetric systems / A. S. Jensen, D. V. Fedorov // Europhys. Lett 2003. - Vol. 62. - P. 336.

114. Ovchinnikov, Y. N. Number of bound states of three-body systems and efimov's effect / Y. N. Ovchinnikov, I. M. Sigal // Ann. Phys. — 1979,-Vol. 123.-P. 274.

115. Шерматов, M. X. О точечном взаимодействии двух фермионов и одной частицы иной природы / М. X. Шерматов // ТМФ. — 2003. — Vol. 136. Р. 257,- Theor. Math. Phys. 136, 1119, 2003.

116. Яфаев, Д. Р. К теории дискретного спектра трехчастичного оператора шредингера / Д. Р. Яфаев // Машем, сб.— 1974. — Vol. 94. Р. 567.

117. Яфаев, Д. Р. О конечности дискретного спектра трехчастичного оператора шредингера / Д. Р. Яфаев // ТМФ. — 1975. — Vol. 25. — Р. 185.

118. Thomas, L. Н. The interaction between a neutron and a proton and the structure of H3 / L. H. Thomas // Phys. Rev. 1935. - Vol. 47. -P. 903.

119. Данилов, Г. К задаче трех тел при короткодействующих силах / Г. Данилов // ЖЭТФ. 1961. - Vol. 40. - Р. 498.

120. Павлов, Б. Модель потенциала нулувого радиуса с внутренней структурой / Б. Павлов // ТМФ. 1984. - Vol. 59. - Р. 345.

121. Шондин, Ю. Г. К задаче трех частиц с ¿»-потенциалами / Ю. Г. Шондин // ТМФ. 1982. - Vol. 51. - Р. 181.

122. Albeverio, S. A class of exactly solvable three-body quantum mechanical problems and the universal low energy behavior / S. Albeverio, R. Hoegh-Krohn, Т. T. Wu // Phys. Lett. A. — 1981.- Vol. 83.-P. 1053.

123. Richard, J.-M. Limits on the Domain of Coupling Constants for Binding iV-Body Systems with No Bound Subsystems / J.-M. Richard, S. Fleck // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. - P. 1464.

124. Li, Y. Halo state in realistic molecular systems / Y. Li, Q. Gou, T. Shi // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 74. - P. 032502.

125. D'Incao, J. P. Mass dependence of ultracold three-body collision rates / J. P. D'Incao, B. D. Esry // Phys. Rev. A. 2006. - Vol. 73. -P. 030702(R).

126. Petrov, D. S. Scattering properties of weakly bound dimers of fermion-ic atoms / D. S. Petrov, C. Salomon, G. V. Shlyapnikov // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 71. - P. 012708.

127. McGuire, J. B. Study of Exactly Soluble One-Dimensional N-Body Problems / J. B. McGuire // /. Math. Phys.- 1964,- Vol. 5.-P. 622.

128. Lieb, E. H. Exact Analysis of an Interacting Bose Gas. I. The General Solution and the Ground State / E. H. Lieb, W. Liniger // Phys. Rev. 1963. - Vol. 130. - P. 1605.

129. Li, Y.-Q. Exact results of the ground state and excitation properties of a two-component interacting Bose system / Y.-Q. Li, S.-J. Gu, Z.-J. Ying, U. Eckern // Europhys. Lett. 2003. - Vol. 61. - P. 368.

130. Girardeau, M. D. Soluble Models of Strongly Interacting Ultracold Gas Mixtures in Tight Waveguides / M. D. Girardeau, A. Minguzzi // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99. - P. 230402.

131. Zvonarev, M. B. Spin Dynamics in a One-Dimensional Ferromagnetic Bose Gas / M. B. Zvonarev, V. V. Cheianov, T. Giamarchi // Phys. Rev. Lett. 2007. - Vol. 99. - P. 240404.

132. Guan, X.-W. Ferromagnetic behavior in the strongly interacting two-component Bose gas / X.-W. Guan, M. T. Batchelor, M. Takahashi // Phys. Rev. A. 2007. - Vol. 76. - P. 043617.

133. Simon, B. The Bound State of Weakly Coupled Schrodinger Operators in One and Two Dimensions / B. Simon // Ann. Phys. — 1976.— Vol. 97. P. 279.

134. Blume, D. Threshold behavior of bosonic two-dimensional few-body systems / D. Blume // Phys. Rev. B. 2005. - Vol. 72. - P. 094510.

135. Adhikari, S. K. Efimov and Thomas effects and the model dependence of three-particle observables in two and three dimensions / S. K. Adhikari, A. Delfino, T. Frederico, I. D. Goldman, L. Tomio // Phys. Rev. A. 1988. - Vol. 37. - P. 3666.

136. Fedorov, D. V. Efimov effect in coordinate space Faddeev equations / D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Phys. Rev. Lett. 1993. — Vol. 71. — P. 4103.

137. Platter, L. Universal Properties of the Four-Boson System in Two Dimensions / l. Platter, H.-W. Hammer, U.-G. Meißner // Few-Body Syst. 2004. - Vol. 35. - P. 169.

138. Nielsen, E. Three-body halos in two dimensions / E. Nielsen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56. - P. 3287.

139. Bateman, H. Higher transcendental functions / H. Bateman, A. Erdélyi. — New York Toronto - London: Mc Graw-Hill, 1953.

140. Nielsen, E. The three-body problem with short-range interactions /

141. E. Nielsen, D. V. Fedorov, A. S. Jensen, E. Garrido // Phys. Rep. — 2001.-Vol. 347.-P. 373.

142. Esry, B. D. Threshold laws for three-body recombination / B. D. Es-ry, C. H. Greene, H. Suno // Phys. Rev. A. — 2001.- Vol. 65.— P. 010705.

143. Pen'kov, F. iVi. Lifetime of efimov states of negative two-atom ions /

144. F. M. Pen'kov // Phys. Rev. A. 1999. - Vol. 60. - P. 3756.

145. Girardeau, M. Relationship between Systems of Impenetrable Bosons and Fermions in One Dimension / M. Girardeau //J. Math. Phys. — I960. Vol. 1,- P. 516.

146. Gaudin, M. Solution exacte d'un probleme modele a trois corps. Etat lié / M. Gaudin, B. Derrida // /. Phys. (Paris). 1975. - Vol. 36. -P. 1183.

147. Rosenthal, C. M. Solution of the Delta Function Model for Heliumlike Ions / C. M. Rosenthal // J. Chem. Phys. — 1971. Vol. 55. -P. 2474.

148. Verhaar, B. J. Scattering length and effective range for scattering in a plane and in higher dimensions / B. J. Verhaar, L. P. H. de Goey, J. P. H. W. van den Eijnde, E. J. D. Vredenbregt // Phys. Rev. A.— 1985.-Vol. 32,- P. 1424.

149. O'Malley, Т. F. Modification of Effective-Range Theory in the Presence of a Long-Range (r~4) Potential / T. F. O'Malley, L. Spruch, L. Rosenberg // /. Math. Phys. 1961. - Vol. 2. - P. 491.

150. Voronin, A. Y. Quantum motion of a neutron in a waveguide in the gravitational field / A. Y. Voronin, H. Abele, S. Bae/31er, V. V. Nesvizhevsky, A. K. Petukhov, К. V. Protasov, A. Westphal // Phys. Rev. D. 2006. - Vol. 73. - P. 044029.

151. Соловьев, E. А. Неадибатические переходы в атомных столкновениях / Е. А. Соловьев // УФН,— 1989.— Vol. 157. — Р. 437.

152. Stolyarov, А. V. Analog of the Hellmann-Feynman theorem in multichannel quantum-defect theory / A. V. Stolyarov, M. S. Child // Phys. Rev. A. 2001. - Vol. 63. - P. 052510.

153. Ali, S. Phenomenological a — a potentials / S. Ali, A. R. Bodmer // Nucl. Phys. 1966. - Vol. 80. - P. 99.

154. Sick, I. Precise root-mean-square radius of 4He / I. Sick // Phys. Rev. C. 2008. - Vol. 77. - P.:041302.

155. Ajzenberg-Selove, F. Energy levels of light nuclei A = 5-10 / F. Ajzenberg-Selove // Nucl. Phys. A. 1988. - Vol. 490. - P. 1.

156. Atomic effects on a-a scattering to the 8Be ground state / S. Wustenbecker, H. W. Becker, H. Ebbing, W. H. Schulte, M. Berhei-de, M. Buschmann, C. Rolfs et al. // Z. Phys. A.- 1992. — Vol. 344. P. 205.

157. Ajzenberg-Selove, F. Energy levels of light nuclei A = 11-12 / F. Ajzenberg-Selove // Nucl. Phys. A. 1990. - Vol. 506. - P. 1.

158. Offermann, E. A. J. M. Energy dependence of the form factor for elastic electron scattering from 12C / E. A. J. M. Offermann, L. S. Cardman, C. W. de Jager, H. Miska, C. de Vries, H. de Vries // Phys. Rev. C. 1991. - Vol. 44. - P. 1096.

159. Reuter, W. Nuclear charge distribution and rms radius of 12C from absolute elastic electron scattering measurements / W. Reuter, G. Fricke, K. Merie, H. Miska // Phys. Rev. C. 1982. - Vol. 26. - P. 806.

160. Starace, A. F. Atomic hydrogen in a uniform magnetic field: Low-lying energy levels for fields below 109 G / A. F. Starace, G. L. Webster // Phys. Rev. A. 1979. - Vol. 19. - P. 1629.

161. Coelho, H. T. Proof of basic inequalities in the hyperspherical formalism for the N-body problem / H. T. Coelho, J. E. Hornos // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 43. - P. 6379.

162. Smith, F. T. A Symmetric Representation for Three-Body Problems. I. Motion in a Plane / F. T. Smith // J. Math. Phys. 1962. - Vol. 3. -P. 735.

163. Dragt, A. J. Classification of Three-Particle States According to Sty3 / A. J. Dragt // J. Math. Phys. 1965. - Vol. 6. - P. 533.