Нормальное строение и большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы групп лиева типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Сулейманова, Галина Сафиуллановна

• Сулейманова, Галина Сафиуллановна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Сулейманова, Галина Сафиуллановна

Содержание

Введение

Глава 1. Нормальное строение унипотентных подгрупп II

1.1. Основные элементы и подгруппы групп лиева типа

1.2. Специальные представления унипотентных подгрупп

1.3. Фреймы и критерии нормальности подгрупп в и

1.4. Нормальное строение группы иСп(К) при 2К = 0

1.5. Случаи групп и типа £>п, 2£>п и Еп

Глава 2. Максимальные абелевы нормальные подгруппы

2.1. Группы лиева типа ранга <2

2.2. Группы и классических типов

2.3. Группы и типа Еп

2.4. Группы и типа 2£6, и 2РА

Глава 3. Большие Р-подгруппы

3.1. Следствие о больших нормальных абелевых подгруппах в II

3.2. Проблема (В) о больших абелевых подгруппах группы V

3.3. Завершение вычисления порядков и множество Ар/{и)

3.4. С-сопряженность больших абелевых подгрупп в II к подгруппам

из Ар/(и) для классических типов

3.5. Редукция проблемы (В) к лиеву рангу <4

Глава 4. Завершение решения проблемы (В)

4.1. Исключительные подгруппы из А{11) для малых рангов

4.2. Случай групп и типа ^

4.3. Случай групп V типа 2Е§

4.4. Подгруппы Томпсона и завершение решения проблемы (В)

Глава 5. Некоторые приложения

5.1. Новое решение задачи Паркера - Раули

5.2. Финитарные унипотентные группы и их автоморфизмы

5.3. Соответствия нормальных подгрупп в £/ и идеалов ассоциирован-

ного кольца Ли

5.4. Перечисления в кольцах Ип(К. ^

Список литературы

127

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нормальное строение и большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы групп лиева типа»

Введение

К главным в диссертационной работе относятся следующие две, исследуемые взаимосвязано, задачи:

(А) Описать максимальные нормальные абелевы подгруппы унипотентно-го радикала и подгруппы Бореля группы С лиева типа над полем;

(Б) Описать большие абелевы подгруппы группы С лиева типа над конечным полем.

По-видимому, первой задачу (А) изучала А. Уир. В 1955 г. она описала автоморфизмы унитреугольной группы 17Т(п,К) (т.е. группы и типа Ап_1) над конечным полем К нечетного порядка, основываясь на решении задачи (А) для этого случая [84, Теорема 7|. Для унитреугольных групп над любым полем (даже телом) эту задачу решил в 70-80-х гг. В.М. Левчук [19, Теорема 3]. Автоморфизмы он описал в большей общности, представив [/Т(п, К) присоединенной группой кольца ЫТ(п, К) нильтреугольных матриц (с нулями на главной диагонали и над ней) и установив соответствие:

Нормальные подгруппы присоединенной группы кольца АтТ(п, К) - это, в •точности, идеалы, ассоциировавшего ■кольца, Ли.

Большой V-подгруппой конечной группы для любого теоретико-группового свойства V называют всякую Р-подгруппу наивысшего порядка. Изучаемая с 1970-х годов задача описания больших абелевых подгрупп конечных групп лиева типа восходит к А.И. Мальцеву, выделившему задачу о нахождении абелевых подгрупп максимальной размерности в комплексных простых группах Ли, [29].

Для одной серии классических комплексных групп Ли решение задачи было известно: И. Шур в начале прошлого века указал наивысшую размерность абелевых подгрупп групп ЗЬ(п. С) и доказал, что абелевы подгруппы этой размерности при п > 2 переводятся друг в друга автоморфизмами [77].

Свою задачу А.И. Мальцев решил переходом к комплексной алгебре Ли Ьс, ассоциированной с соответствующей системой корней Ф, и последующей редукцией к задаче нахождения абелевых подалгебр наивысшей размерности, все элементы которых нильпотентны: автоморфизмами они переводятся в нильпо-тентную подалгебру ТУФ (С) с базисом {ег | г € Ф+} алгебры Шевалле, [48].

Требуемые подалгебры в [29] перечислены, с точностью до автоморфизмов алгебры Ьс, вместе с найденным перечислением "больших коммутативных" множеств корней в Ф+. Подмножество Ф в Ф+ названо А.И. Мальцевым коммутативным (или абелевым), если г + в £ Ф для всех г, 5 е Ф.

Подобно схеме Мальцева задача (Б) для групп лиева типа редуцируется к аналогичной задаче для групп и. Более точно, большая абелева подгруппа

группы G лиева типа над конечным полем совпадает с большой абелевой уни-потентной подгруппой или с одним из максимальных торов в G\ последние в 1978 - 1984 гг. перечислили Р. Картер |49|, |50| и Д. Деризиотис |52|, |53|.

К середине 80-х гг. М. Барри и В. Вонг в серии работ [41], [42], [85], [86], обобщая результаты Дж. Гузефа [59] и Г. Твейтса [81], описали для классических типов множество A(U) больших абелевых подгрупп группы U вместе с подмножеством A^{U) нормальных в U подгрупп, множество Ae(U) больших элементарных абелевых подгрупп в U, а также подгруппы Томпсона

J(U) = (А \ А £ A(U)), Je(U) = {А \ А £ Ae(U)).

В 1986 г. в обзоре A.C. Кондратьева [16] записана, как проблема (1.6).

Проблема (В). Описать множества A(U), Ae(U), AN(U) и подгруппы Томпсона J(U), Je(U) для оставшихся случаев G.

Подход к этой задаче, связанный с решением задачи (А), начинал разрабатываться с 90-х годов, см. анонс [25], [102] и [60]. В 1999 - 2001 г. порядки больших абелевых подгрупп в U и подгруппы Томпсона находил Е.П. Вдовин [5], [7], [6], модифицируя метод А.И. Мальцева [29] и используя компьютерные вычисления.

К. Паркер и П. Раули [72] называют нормальную абелеву подгруппу А группы U = UG(K) экстремальной, если A^U2 (2-й член стандартного центрального ряда в U). Это означает, что А имеет простой угол, т.е. существует простой корень г такой, что хотя бы один элемент из А имеет в каноническом разложении сомножитель вида xr(t), t ф 0. С целью приложений, в первую очередь, в ревизии ККПГ (классификации конечных простых групп) в |72| - |74| изучается

Задача Паркера — Раули: Выявить группы U, имеющие экстремальные подгруппы, и простые углы в таких подгруппах.

Тесно связана с этой задачей и (А) следующая задача

(Г) Изучить нормальное строение U и соответствие нормальных подгрупп в U — иФ(К) над полем и идеалов ассоциированного кольца Ли А^Ф(К).

Нормальное строение и автоморфизмы классических линейных групп [1], [12], [61], [76], а затем и групп Шевалле вызывали традиционный интерес (Д.А. Супруненко [37], Ю.И. Мерзляков [31], A.B. Михалев [18], [43], В.М. Пе-течук [33], [34], И.З. Голубчик [8], Е.И. Зельманов [13], Э. Абэ [39], [40] и др.).

Соответствие нормальных подгрупп группы 11Ф(К) и идеалов ассоциированного кольца Ли А^Ф(К) изучалось с 90-х годов. Вопросы характеризации радикальных колец с таким соответствием записаны в Коуровской тетради [17], см. вопрос 6.19 с комментарием Е.И. Хухро и вопрос 10.19.

Проблему описания автоморфизмов групп U над полем К решили Дж. Гиббс [58J (при charK ф 2, 3) и В.М. Левчук |22|, |23|. Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы взаимосвязано изучали A.B. Михалев, Е.И. Бунина |3], |46|, [47], [45] и др. для групп Шевалле над локальными кольцами, а для унипо-тентных подгрупп U групп Шевалле и ассоциированных колец - В. Вилер |83|, К. Видела [82], О.В. Белеградек [44], В.М. Левчук, Ф. Кузучуоглу [66], [65], Е.В. Минакова [28|.

С 90-х годов стали систематически изучаться локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования алгебр. Тривиальные локальные автоморфизмы дают автоморфизмы. Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма построил Р. Крист [51|. Естественно возникает задача

(Д) Построить примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и локальных дифференцирований алгебр NQ(K).

Группы Шевалле классических типов, их унипотентные подгруппы UG(K) и ассоциированные с ними кольца допускают финитарные обобщения. Пусть Г - произвольная цепь (линейно упорядоченное множество) с отношением порядка <. В.М. Левчук изучал обобщенную упитреугольиую группу UT(T,K) [21, 69, 70] как присоединенную группу кольца NT(T, К) финитарных матриц 7 =|| ||г,.?ег (с "iij = 0 при г < j и 7n = 1). На этом пути естественно интерпретируются известные примеры р-группы. совпадающей с коммутантом (И.Д. Адо [2]), и характеристически простой р-группы (Д. Маклейн [71]). В 1994 г. Ю.И. Мерзляков [32] выявил подгруппы с разными аномальными свойствами в мультипликативной группе GL(T, К) обратимых финитарных Г-матриц.

Другое обобщение подгруппы U группы G{K) лиева типа над кольцом К с квазирегулярным идеалом J дает ее произведение на конгруэнц-подгруппу G(K, J), то есть G(K, J)U. Известно, что такое представление с J, равным радикалу Джекобсона, имеет силовская р-подгруппа Р группы Шевалле Ф(К) над кольцом К вычетов целых чисел по р-примарному модулю. С.Г. Колесников [15] решил вопрос 12.42, описав Aut Р. Для типа Ап естественно приходим к изучению присоединенной группы радикального кольца Rn(K, J) всех п х тг-матриц с коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей и элементами из его идеала J на главной диагонали и над ней, [66]. Вопросы, связанные с перечислениями идеалов в Rn(K,J) изучаются с начала 2000-х гг.

Диссертация посвящена решению задач (А) - (Д) и некоторым приложениям. Она состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Номер теоремы, леммы и др. включает номер главы, параграфа и порядковый номер.

Основные результаты диссертации следующие.

1. Описаны максимальные абелевы нормальные подгруппы радикала II подгруппы Бореля группы С лиева типа над полем (решение задачи (А)).

2. Перечислены большие нормальные абелевы подгруппы конечных групп II и показано, что они есть большие абелевы; вместе с тем, завершено вычисление (для типов 3-Е>4 и 2Е&) порядков больших абелевых подгрупп в II.

3. Доказано, что в группе С лиева типа либо любая большая абелева унипо-тентная подгруппа сопряжена с нормальной подгруппой в II, либо б типа Сг,

2-^4 или 2Еб, перечислены все исключительные подгруппы из А(11).

4. Завершено вычисление подгрупп Томпсона в II (для типов Сг, 304, 2Е4,

2 Ее и Е%) и, в целом, решение проблем о больших абелевых подгруппах в[/иС.

5. Найдены критерии нормальности подгрупп в и над полем в терминах введенных фреймов и соответствие нормальных подгрупп группы [/ = IIФ(К) для классических типов и типа Еп и идеалов ассоциированного кольца Ли; для типа. Ап соответствие обобщается на случай колец коэффициентов.

Как приложения, получены следующие результаты:

- дано новое решение задачи Паркера - Раули об экстремальных подгруппах;

- для любой цепи Г построены финитарные унипотентные группы [I над полем типа Вг, Ср, -Сг; 2-Ог и описаны их автоморфизмы;

- найдены новые примеры нетривиальных локальных автоморфизмов лиевых алгебр ТУФ (К) классических типов;

- обобщены на некоммутативное кольцо К коэффициентов известные перечислительные теоремы об идеалах кольца Яп(К, </).

В § 1.1 главы 1 приводится используемая из известных монографий Р. Картера [48], Ж-П. Серра [35] и Р. Стейнберга [36] терминология, связанная с группами лиева типа; особо оговариваются случаи расхождения терминологии. В § 1.2 вводятся специальные представления группы \JGiK) из [22], [23]. Основные результаты главы 1 посвящены нормальному строению иС(К). Ключевым для них является понятие фрейма подмножества в II (см. § 1.3). Пусть С = Ф или С =т Ф. Через {г}+ при г £ С обозначим совокупность

3 £ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении з — г через базу П. Положим

Т(г) = (х, 15 е м+), <3(г) = {х3\ зе {г}+ \ {г},

а при Ь С также С^{Ь) = (Х3 | я е иге£,{?,}+ \ Ь).

Если Н С Т{ )Т(г2) ■. .Т(гт) и включение нарушается при любой замене Т(гг) на С^(гг), то назовем {г^гг,--- , ?*т} = £{Н) множеством углов для Н.

Когда s-проекция любого элемента из H равна произведению r-проекции на фиксированный скаляр ф 0, назовем г и s связанными в Н; при р, г + р, s + р G G+ их называем также р-связа,нпым:и,.

Замечаем, что если в произвольной группе G зафиксировать систему S представителей смежных классов по нормальной подгруппе H, то при любом А С. G однозначно определено подмножество Т(А) Ç S такое, что А = Т(А) mod H.

Фреймом, для, H С. U назовем множество Т{Н) такое, что

П Xa, Т{Н) = Н mod Ц Q(s).

seC(H) seC(H)

Ясно, что элементы из H дают фрейм Т(Н), если в их канонических разложениях отбросить все сомножители xr(t) с г ^ £(Н).

Критерий нормальности подгрупп групп U классического типа и Еп дает

Теорема 1.3.1. Пусть H - подгруппа группы UG(K) классического типа или типа Еп над полем К. Если 2К = К или UG(K) типа Ап или 2Ап, то H < U G {К) в том и только том случае, когда J-"([H, Хр]) Ç H для каждого р G П(С). Для типа Dn (или 2Dn), если H < UG(K) и !F([H,XP]) g H для некоторого р G П(С), то существуют простые углы г, г (соответственно, С(г)) и р-связанный с ними угол в H, проекции H на которые имеют порядок 2.

Нормальное строение групп U некоторых классических типов описывает

Теорема 1.3.8. Пусть UG(K) - группа типа Вп, Сп при 2К = К или типа Ап, 2Ап. Подгруппа H нормальна тогда и только тогда, когда для любого угла г подгруппы H и любого р G П(С) с условием г + р G G имеем

(Л) T([H,Xp})Q(r+p)ÇH,

или G = Вп и выполнено условие

(В) в [Н, Хр] найдутся два q-связанных угла для некоторого q G П(С), в [H, Xq] найдутся два связанных угла и XP})J-([H, Xq])Q(r + p,r + p + q) С H.

На исключительные группы UCn(K), 2К = 0 теорема 1.3.8 переносится в § 1.4 с помощью модификации понятий углов и фреймов. Подмножество S в Ф+ назовем 2-норм,а,льн:ым,, если включения s G S и t, s + t. is + jt G Ф+ при нечетной константе Cl3ySt (i,j > 0) из коммутаторной формулы Шевалле всегда дают включение is + jt G S. Через {r}^ обозначим минимальное 2-нормальное подмножество в Ф+, содержащее г. По аналогии с Т(г) и Q(L) вводим

T{r} = (Xs | s G {r}2+>, Q{L} = (Xs | s G UreL{r}+ \ L), L С Ф+.

Назовем {ri,?^,-- - ,rm} множеством 2-углов с обозначением С2(Н) в H Ç T{ri}T{r2} .. .Т{гт}, если при любой замене Т{гг} на Q{rt} включение нарушается. Заменив в определении фрейма Т(Н) множеств Q(s) на Qfs} и С(Н) на С2{Н), приходим к понятию 2-фрейма H). Основной в § 1.4 является

Теорема 1.4.1. Подгруппа Я группы 11Сп(К) над полем К порядка > 2 у характеристик а 2 нормальна тогда и только тогда, "когда дня /чобого ее 2-угла г и любого простого корня р такого, 'что г + р - короткий корень, выполнено одно из следующих условий

(.А2) Т2([Н,Хр})(3{г + р] С Я и при |? | ф \р\ также <^){г + р + й} С Н для короткого корня з € {г, р},

(В2) в [Я, АГР] найдутся два д-связанных 2-угла для некоторого простого корня в [Я, найдутся два связанных 2-угла, причем

Т2([Н, ХР])Ъ([Я, Хч])Я{г + р,г + р + Я} С Я

Нормальное строение группы 1/Сп(2) более громоздкое (теорема 14 2) Теоремы 151,152и153в§15 показывают существенность ограничения 2К = К в теореме 13 1 для групп и типа 2Бп и Еп, соответственно, и выявляют нормальное строение указанных исключительных групп Заметим, что в группах и типа и 2£)п существуют максимальные абслевы нормальные подгруппы М такие, что вес коммутаторов [[ [[М, II], Щ ], [/], не порождаемых корневыми подгруппами, неограничено растет вместе с п

Теоремы 131, 13 8, 151, 152 опубликованы в совместных работах [113], [104], [114] (соавтор В М Лсвчук) в нераздельном соавторстве Теорема 15 3 (см также теорему 5 3 4 из § 5 3) опубликована в работе [105], совместной с дипломником В В Якоби, ему принадлежат компьютерные перечисления в доказательстве теоремы 15 3 Теоремы 1 4 1 и 1 4 2, вместе с понятиями 2-угла и 2-фрейма, опубликованы автором в [103]

В главе 2 полностью решена проблема (А) Для групп [I исключительного типа лиева ранга < 2 ее решение приведено в § 2 1 (теорема 2 11)

Для классических типов решение проблемы (А) устанавливается в § 2 2 (теоремы 2 2 2 и 2 2 4) Для типа Ап она была решена ранее в [19] (см лемму 2 2 1) Для остальных классических типов ее решают теорема 2 2 2 и теорема 2 2 4, использующая язык специального матричного представления из § 1 3 Для групп и типа Еп проблема (А) решена в § 2 3 (таблицы 2 - 4 и теорема 2 3 1)

Явное описание максимальных абелевых нормальных подгрупп в группах иРА(К), и2Е6(К) и и2Е4(К) дает в § 24 теорема 2 4 1, опирающаяся на их представление из [22]

Результаты второй главы опубликовали совместно автор и В М Левчук [104] и [114] результаты, относящиеся к классическим типам и к случаям лиева ранга < 2, получены в нераздельном соавторстве остальные результаты принадлежат диссертанту

Главы 3 и 4 посвящены решению проблемы (В). Развивается подход, связанный с гипотезой:

(В1) Верно ли, что большая нормальная абелева подгруппа в U всегда есть большая абелева подгруппа?

В общем случае большая нормальная Р-подгруппа конечной группы не обязана быть большой Р-подгруппой, как показывают примеры в § 3.2. Описание в §3.1 больших абелевых нормальных подгрупп групп U = UG(K) над конечным полем К найдено как следствие результатов главы 2 (теоремы 3.1.1 и 3.1.2). В §3.3 гипотезу подтверждает

Теорема 3.3.1. В группе U = UG(K) над конечным полем К большие нормальные абелевы подгруппы и только они являются нормальными большими абелевыми подгруппами.

Таким образом, найденное в § 3.1 описание больших нормальных абелевых подгрупп в U дает также явное описание множества AN(U). Одновременно получаем и порядки a(U) больших абелевых подгрупп в U; известные ранее формулы Е.П. Вдовина [7] порядков a(U) уточняются для типов G2, 3D4 и 2Е&.

Далее проблема (В) редуцируется к задаче

(В2) Выявить группы U, в которых любая большая абелева подгруппа G-сопряжена подгруппе из An(U), и описать исключительные подгруппы.

Решение задачи (В2) для классических типов указывает теорема 3.4.1. Вместе с теоремой 3.5.1, она редуцирует (В2) к группам U исключительных типов лиева ранга < 4: ÖCMj'KCbHi большая абелева, подгруппа, группы, UG(K) классического типа 'ал/и, типа, Еп (п = 6, 7, 8) над конечным пол,ем, К сопряэ/сена в G(K) с нормальной подгруппой из UG{K).

Решение проблемы (В) для групп U типа 2В2 и 2G2 легко следует из известных результатов; это показано в замечании в конце §3.5. Таким образом, проблема (В) редуцирована в главе 3 к задаче (В2) для групп U исключительных типов G2. 3D4, F4, 2Fa и 2Е6.

Теоремы 3.1.2, 3.3.1, 3.4.1 (классические типы) опубликованы в совместных работах [104] и [108] в нераздельном соавторстве (соавтор - В.М. Левчук). Теорема 3.1.1, опубликованная в совместных работах [104], [114], принадлежит автору, кроме случаев лиева ранга < 2, полученных в нераздельном соавторстве. Теорема 3.5.1 опубликована автором в [112].

Основные теоремы главы 4 показывают, с одной стороны, что для групп U всех указанных пяти типов существуют исключительные большие абелевы подгруппы, то есть не являющиеся G-сопряженными с подгруппой из A^(U), а с другой стороны, описывают все исключения.

В § 4.1 задача (В2) решается для групп U лиева ранга 2. Выбирая в системе корней типа G2 простые корни а и b так. что |а| < |Ь|, используем гиперцентральный автоморфизм qd (d G К) группы U (см. |22|), для которого Sd{,Xb{t)) = xb(t)xsa+b(2dt) mod U5 (t G К). Полагаем

a := ха{1)х2а+ъ{1), ßc(t) := xa+b{t)x2a+b(tc).

Теорема 4.1.1. Каждая большая абелева подгруппа группы U = UG2(K) является G2(K)-сопряженной с одной из следующих подгрупп:

a) с нормальной большой абелевой подгруппой в U;

b) с образом относительно автоморфизма qd (d G К) подгруппы, которая (Хапа)-сопряжена с или Xa+bU4 при 6К = К;

c) {xb(t)x3a+b(t) I t G K}ßd(K)U5 (d G К) для четного \K\ > 2;

d) (а,0г(1))и4 при \К\ = 4.

Аналогично задача (В2) решается для групп U типа 3D4. Эти результаты § 4.1 опубликованы [117] в нераздельном соавторстве (соавтор В.М. Левчук). В этом же параграфе задача (В2) решена для групп U типа 2F4 (опубликовано в [118]).

В § 4.2 приводится решение задачи (В2) для групп U типа F4. Для системы корней Ф типа F4 через abed обозначим, как ив [4], корень аа i + ba2 + са 3 + da4, где \, (х2, с^з, Oi\ — простые корни. Основная теорема использует в группе U типа F4 подгруппы

{x00n(t)xi22i(cit) I t G i^}{a;oiii(i)xii2i(c2i) | t G K}

{xiiu(t)x012i{c3t) I t G K}X123lT(0122) (Cl, c2, c3 G K). (4.2.1)

Теорема 4.2.1. В группе Шевалле G(K) типа F4 над конечным полем К каждая большая абелева подгруппа унипотентной подгруппы U сопряжена в G(K) л,ибо с нормальной подгруппой в U, либо, когда 2К = 0, с подгруппой (4.2.1) или ее образом относительно графового автоморфизма. Подгруппа (4.2.1) не сопря,Э1сеиа, в G(K) с нормальной в U подгруппой.

Эта теорема опубликована автором в [109] и [111]. Случай групп U типа 2Е& рассмотрен в теореме 4.3.1, опубликован в [116] и совместной работе [117] и принадлежит автору. Таким образом, получено решение задачи (В2) и завершено описание множества A(U).

В § 4.4, наряду с описанием множества Ae(U). завершено описание (для типов G2, 3D4. 2Fa, 2Е& и Es) подгрупп Томпсона J(U) и Je(JJ) и, тем самым, завершено решение проблемы (В) A.C. Кондратьева. Простые корни аь а2, ■ ■ ■

систем корней типов Еп и выберем как в |4, таблицы У-УШ|. Как и в |48], положим иг = {Хг | г Е <7+ \ {г}), г е П(С).

Теорема 4.4.1. Пусть II = 1Ю(К) - исключительного типа. Тогда:

a) 3(11) = 7е(17) = П®=1Т(аг) для типа Е8;

b) А(и) = Ан(и) = Ае(11) для типа Е& и Е7;

c) Ли) = 7е([/) = иа1 в группе иГА(К) при 2К = К и в и2Е6{К);

й) 7(£/) = 7е(£/) = и в группе ПРА{К) при 2К = 0;

е) 7(С/) = Т(а), 7е(*У) = I/ в группе £/3£>4(8) и 7(£/) = 7е([/) = II в группах и304{К) при \Ка\ >2 и 1Ю2{К) при \К\ > 2;

/; (7(Е/)} = Ам{и) и 7е([/) = и для группы 1Ю2{2);

д) 7(Е/) = и, 7е([/) = Ц2 в группе Ц2В2{К);

к) 7(17) = Д2,-10ЮС/з, = Я32{К)и2 в группе и2ЕА{К).

В конце § 4.4 также отражаются исследования по проблеме (Б). Уточнение в § 3.3 известных порядков а(II) для типов 2Е§, (72 и 3£>4 приводит к уточнению порядков а((7) больших абелевых подгрупп соответствующих конечных групп (7 лиева типа. Теорема 4.4.1 опубликована в работе [118].

В главе 5 рассматриваются некоторые приложения.

§ 5.1 посвящен задаче Паркера - Раули об экстремальных подгруппах, исследовавшейся в работах [72] - [75] с целью приложений в ревизии классификации конечных простых групп (и к симплектическим амальгамам [74]). Решение этой задачи они устанавливают (исключая тип (72) в работах [72] - [75]. Новое решение задачи К. Паркера и П. Раули дает найденное в главе 2 решение задачи (А) - описание максимальных абелевых нормальных подгрупп группы С/.

В то же время, уточняются результаты из [72] и [73] для групп и типа Т>4 и 2-04. Экстремальную подгруппу группы 1ЮА(К) над любым полем К характеристики 2, имеющую три простых угла, дают пример в [72, стр. 396 - 397] и теорема 1.3 там же. Согласно [73, Теорема 1.2], если группа и20А(К) имеет экстремальную подгруппу с двумя простыми углами, то 2К = 0.

Однако, в § 5.1 показано, что для указанных групп должны иметь \К\ = 2 и \К\ = 4, соответственно. Зафиксируем симметрию ~ порядка 3 графа Кокстера системы корней Ф типа Т>4, простые корни д — д, г, г, г и общий для групп иОА{К) и и2ИА{К) элемент

■д = хг(1)хг(1)х^(1)х3^г(1)х3^(1)х3-^(1) (з = <? + г + г + ¥). (5.1.1)

Теорема 5.1.1. Нормальное замыкание элемента (5.1.1) в группах С/_04(2) и [72£>4(4) является экстремальной подгруппой с тремя или двумя простыми

углами, соответственно Группы 1ЮА(К), \К\ > 2 и, аналогично, и204(К), \К\ >4 не (одержат жстремапьных подгрупп, имеющих > 3 или > 2 простыт углов, соответственно

Теорему опубликовали автор и В М Левчук [104] [114] в нераздельном соавторстве

Для произвольной цепи Г известны ([21], [69]) финитарные группы 1Ю(К) типа Ар, Вг, Сг и £)р В § 5 2 построены финитарные обобщения оставшихся унипотентных подгрупп классических типов - скрученных типов 2 Ар и 2Вр, определены стандартные автоморфизмы и переносится понятие гиперцентрального автоморфизма из [22] Ю М Горчаков [9] назвал автоморфизм произвольной группы локально внутренним, если на всякое конечное подмножество он действует как подходящий внутренний автоморфизм этой группы Описание автоморфизмов дает (опубликованная в нераздельном соавторстве в [108])

Теорема 5.2.4. Всякий автоморфизм финитарной унипотентной группы 1№(К) над полем К типа, С = Аг. Вг, Сг £>г иди 2Ир равен произ-

ведению центральных, графовых, полевых, локально внутренних и обобщенных диагональных автоморфизмов, а также гиперцентрального автоморфизма высоты <5, а когда 2К = 0 и С = Вр или Ср, еще специального гиперцентрального автоморфизма

Один из первых примеров нетривиального локального автоморфизма алгебры построил Р Крист [51], а именно для алгебры треугольных 3 х 3-матриц с попарно равными элементами на каждой диагонали Локальные дифференцирования и локальные автоморфизмы алгебр изучаются с 90-х годов

В связи с задачей (Д) новые примеры нетривиальных локальных автоморфизмов и дифференцирований указывает для алгебр Ли ТУФ (К) классического типа теорема 5 2 5, она принадлежит автору и опубликована в совместной работе [110]

Соответствие нормальных подгрупп группы и = 11Ф(К) и идеалов ассоциированного кольца Ли (задача (Г)) изучается в § 5 3 для классических типов и типа Еп Согласно работам В М Левчука и Л А Мартыновой 1990-х гг , классы нормальных подгрупп присоединенной группы и лиевых идеалов в ЖФ(К) при р(фук = К совпадают, исключая при 2К = 0 тип £)га и Еп

Исследование исключительных случаев завершают теорема 5 3 1 для типа Бп (опубликована в неразделимом соавторстве в [104] - соавтор В М Левчук) и теорема 5 3 4 для типа Еп

Вопросы о радикапьных кольцах с аналогичной связью присоединенной группы и ассоциированного кольца Ли ставились в "Коуровской тетради" ([17], см

вопрос 6.19 с комментарием Е.И. Хухро и вопрос 10.19). Условие радикальности кольца Вп(К,3) (п > 2) равносильно квазирегулярности идеала 3. Однако, здесь случай 3 = 0 единственный, когда нормальные подгруппы присоединенной группы есть, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли. Это показывает пример 5.4.1 в § 5.4, опубликованный автором в |93, Пример 1.3|.

В [64] идеал 3 ассоциативно-коммутативного кольца К с единицей назван сильно максимальным,, если любой идеал, лежащий между произвольным 3-подмодулем Ь в К и ЗЬ, совпадает с Ь или ЗЬ. Для этого случая там же, в терминах введенных Т-границ явно описаны идеалы кольца Вп(К, 3).

В § 5.4 введены лиевы Г-границы и нормальные Т-границы. На их основе, когда 3 - нильпотентный сильно максимальный идеал, установлены теоремы (опубликованы в [90] и [93]), дающие взаимосвязанные алгоритмы построения лиевых идеалов кольца Вп(К, 3) и нормальных подгрупп присоединенной группы.

Найденные описания применялись к перечислениям Р-инвариантных (или инвариантных относительно подгруппы V диагональных автоморфизмов) подгрупп в II, идеалов в кольцах ЫТ{п,К) = Вп(К, 0) и ТУФ (К), методами интегрального представления комбинаторных сумм, [56]. В [57] доказана

Теорема. Пусть К - локальное кольцо с главным максимальным идеалом 3 ступени нильпотентности в и \К/3\ > 2. Тогда число всех О-инвариантных идеалов кольца Вп(К, 3) (п > 2) есть функция П(п, й) такая, что

Теорема 5.4.2 в § 5.4 (опубликована автором в [96]) обобщает на случай некоммутативного кольца К описание из [64] идеалов кольца Вп{К.З) и, вместе с тем, переносит предыдущую теорему о числе идеалов. При этом идеал 3 некоммутативного кольца К называется сильно максимальным, если 3 Ь — ЬЗ для любого ^/-подмодуля Ь кольца К, и любой односторонний идеал кольца К, заключенный между Ь и ЗЬ, совпадает с Ь или ЗЬ.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Все результаты диссертации опубликованы, в том числе в рецензируемых

журналах [90], [93], [96], [103] - [105], [108] - [114], [116] - [118]. Диссертация носит

теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в ревизии классификации конечных простых групп, в исследованиях групп, колец и алгебр, а также при чтении спецкурсов.

^ х , ч /2п - 2\ 4 / 2п \

П(п, 5 ) = (2зп - в - Зп + 1 , --

\п — 1 у п\п — 2/

+ 22п"1, й>2.

Результаты диссертации апробировались на алгебраических семинарах в МГУ (2007), ИМ СФУ (2012). Они были представлены на Международных алгебраических конференциях (Москва, 2004, 2008), Всероссийском симпозиуме "Абелевы группы"(Бийск, 2005, 2006), Международной конференции "Классы групп, алгебр и их приложения "(Гомель, 2007), Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2007), Международном российско-китайском семинаре "Алгебра и логика"(Иркутск, 2007), Международной конференции "Antalya Algebra Days IX"(Ankara, 2007), Международной школе-конференции (Челябинск, 2008), Международной алгебраической конференции (Киев, 2012), Международных конференциях "Algebra and Logic, Theory and Applications" (Красноярск, 2010, 2013), на "Мальцевских чтениях"(Новосибирск, 2004, 2006, 2009, 2011, 2012).

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01-00968).

В заключение автор выражает благодарность своему научному консультанту Владимиру Михайловичу Левчуку за всестороннюю помощь и постоянное внимание к работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сулейманова, Галина Сафиуллановна, 2013 год

Список литературы

[1] Автоморфизмы классических групп. - М.: Мир, 1976.

[2] Адо И. Д. О нильгютентных алгебрах и р-группах // ДАН СССР, т. 40 (1943), № 8, с. 339-342.

[3] Бунина Е. И. Элементарная эквивалентность линейных и алгебраических групп // Фундаментальная и прикладная математика, т. 6 (2000), № 3, с. 707-722.

[4] Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (главы IV-VI). - М.: Мир, 1972.

[5] Вдовин Е. П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле // Матем. заметки, т. 68 (2000), вып. 1, с. 53-76.

[6] Вдовин Е. П. Абелевы и нильпотентные подгруппы максимального порядка конечных простых групп. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000.

[7] Вдовин Е. П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 40 (2001), № 5, с. 523-544.

[8] Голубчик И. 3., Михалев А. В. Изоморфизмы полной линейной группы над ассоциативным кольцом // Вестник МГУ, мат. и мех, 1983, №3, с. 61-72.

[9] Горчаков Ю. М. Группы с конечными классами сопряженных элементов. - М.: Наука, 1978.

[10] Давлетшин М. Н. Перечисление Р-инвариантных идеалов кольца Rn(K, J) // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, vol. 3 (2010), no.2, p. 319-330.

[11] Егорычев Г. П. Интегральные представления и вычисление комбинаторных сумм. - Новосибирск: Наука, 1977. (Egorychev G. P. Integral represantation and computation combinatorial sums (AMS, vol. 59, 1984; 2-nd ed. in 1989)).

[12] Залесский A. E. Линейные группы // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, т. 21 (1983), с. 135-182.

[13] Зельманов Е. И. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативным кольцом // Сибирский математический журнал, т. 26 (1985), № 4, с. 49-67.

[14| Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. - М., Наука, 1982.

[15] Колесников С. Г. Автоморфизмы силовских р-подгрупп групп Шевалле над р-примарными кольцами вычетов целых чисел // Фундаментальная и прикладная математика, т. 12 (2006), № 8, с. 121-158.

[16| Кондратьев А. С. Подгруппы конечных групп Шевалле // Успехи математических наук, т. 41 (1986), № 1 (247), с. 57-96.

[17| Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 17-е изд., ИМ СО РАН, Новосибирск, 2010.

[18| Крылов П. А., Михалев А. В., Туганбаев А. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. — М.: Факториал Пресс, 2006.

[19| Левчук В. М. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами // Алгебра и логика, т. 15 (1976), № 5, с. 558-578.

[20] Левчук В. М. Параболические подгруппы некоторых ЛЯЛ-гругш // Мат. заметки, т. 31 (1982), вып. 4, с. 509-525.

[21] Левчук В. М. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы // Мат. заметки, т. 42 (1987), вып. 5, с. 631-641.

[22] Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 29 (1990), № 2, с. 141-161.

[23] Левчук В. М. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 29 (1990), № 3, с. 315-338.

[24] Левчук В. М. Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле //Украинский математический журнал, т. 44 (1992), № 6, с. 786-795.

[25] Левчук В. М. Обобщенные унипотентные подгруппы классических линейных групп // Фундаментальная и прикладная математика, т. 2 (1996), № 2, с. 625-627.

[26] Левчук В. М. Гиперцентральные ряды и парные пересечения силовских подгрупп групп Шевалле // Алгебра и логика, т. 41 (2002), № 6, с. 730-744.

[27] Левчук В. М., Мартынова Л. А. Нормальное строение унипотентных подгрупп групп Шевалле и идеалы ассоциированного кольца Ли, В сб.: Конструкции в алгебре и логике. — Тверь: ТГУ, 1990, с.60-66.

[28] Левчук В. М., Минакова Е. В. Элементарная эквивалентность и изоморфизмы локально нильпотентных матричных групп // Доклады РАН, т. 425 (2009), № 2, с. 165-168.

[29] Мальцев А. И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли // Известия АН СССР, сер. матем., т. 9 (1945), № 4, с. 291-300.

[30] Мартынова Л. А. Нормальное строение и автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиевых типов. Дисс. ...канд. физ.-мат. наук - М., МГУ, 1994.

[31] Мерзляков Ю. И. Линейные группы // Итогах науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия", М.: ВИНИТИ, т. 16 (1978), с. 35-89.

132] Мерзляков Ю. И. Эквиподгруппы унитреугольных групп: критерий само-нормализуемости // Докл. РАН, т. 339 (1994), № 6, с. 732-735.

133] Петечук В. М. Автоморфизмы матричных групп над коммутативными кольцами // Математический сборник, т. 117 (1982), № 4, с. 534-547.

[34] Петечук В. М. Автоморфизмы групп SLn. GLn над некоторыми локальными кольцами // Математические заметки, т. 28 (1980), № 2, с. 187-206.

[35] Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. - М.: Мир, 1969.

[36] Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. - М.: Мир, 1975.

[37] Супруненко Д. А. Группы матриц. - М.: Наука, 1972.

[38] Холл М. Теория групп. - М. 1962.

[39] Abe Е. Normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Contemp. Math., vol. 83 (1989), p. 1-17.

[40] Abe E. and Suzuki K. On normal subgroups of Chevalley groups over commutative rings // Tohoku Math. J., 1976, 28, no. 2, p. 185-198.

[41] Barry M. J. J. Large Abelian subgroups of Chevalley groups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. Vol. 27 (1979), no. 1, p. 59-87.

142] Barry M. J. J. and Wong W. J. Abelian 2-subgroups of finite syrnplectic groups in characteristic 2 // J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 33 (1982), no. 3, p. 345-350.

[43] Beidar C. I., Michalev A. V. On Malcev's theorem on elementary equivalence of linear groups // Contemp. math., vol. 131 (1992), p. 29-35.

[44] Belegradek O. V. Model theory of unitriangular groups // Amer. Math. Soc. Transl., vol. 195 (1999), no. 2.

[45] Bunina E. I. Automorphisms of Chcvallcy groups of different types over commutative rings //J. Algebra, vol. 355 (2012), no.l, p. 154-170.

[46] Bunina E. I., Mikhalev A. V. Elementary properties of linear groups and related questions, // Math. Sciences, vol. 123 (2004), no. 2, p. 3921-3985.

[47] Bunina E. I., Mikhalev A. V. Combinatorial and Logical Aspects of Linear Groups and Chevalley Groups // Acta Appl Math., vol. 85 (2005), no. 3, 5774.

[48] Carter R. Simple groups of Lie type. - New York: Wiley and Sons, 1972.

[49] Carter R. Centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type // Proc. London Math. Soc. (3), vol. 37 (1978), no. 3, p. 491-507.

[50] Carter R. Centralizers of scmisimple elements in the finite classical groups // Proc. London Math. Soc. (3), vol. 42 (1981), p. 1-41.

[51] Crist R. Local automorphisms // Proc. AMS, vol. 128 (2000), p. 1409-1414.

[52| Deriziotis D. I. The centralizers of semisimple elements of the Chevalley groups E7 and E& // Tokio J. Math., vol.06, no.l (1983), p. 191-216.

[53] Deriziotis D. I. Conjugacy classes and centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type // Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universität Essen, 1984.

[54] Dubish R., Perlis S. On total nilpotent groups // Amer. J. Math., vol. 73 (1951), no. 3, p. 439-452.

[55] Egorychev G. P. and Levchuk V. M. Enumeration of characteristic subgroups of unipotent Lie-type groups. - In Algebra. Walter dc Gruyter: Berlin - New York. 1996. - P. 68-79.

[56] Egorychev G. P. and Levchuk V. M. Enumeration in the Chevalley algebras // ACM SIGSAM Bull., vol. 35 (2001), p. 20-34.

[57| Egoryehev G. P., Kuzucuoglu F., Levchuk V. M. Enumeration of ideals of some nilpotent matrix rings // Journal of Algebra and its Applications, vol. 12 (2013), no. 1.

[581 Gibbs J. Automorphisms of certain unipotent groups //J. Algebra, vol. 14 (1970), no. 2, p. 203-228.

[59] Goozeff J. T. Abelian p-subgroups of GL(n,p) //J. Austral. Math. Soc., vol. 11 (1970), no. 3, p. 257-259.

[60] Gupta C. K., Levchuk V. M. and Ushakov Yu. Yu. Hypercentral and inonic automorphisms of classical algebras, rings and groups //J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics, vol. 1 (2008), no. 4, p. 280-290.

[61] Hahn A. J., James D. G. and Weisfelier B. Hoinomorphisins of algebraic and classical groups: a survay // Can. Math. Soc., 1984, no. 4, p. 249-296.

[62] Hungerford T. W. Algebra. - NY, 1974.

[63] Hurley J. F. Ideals in Chevalley algebras // Trans. Amer. Math. Soc., vol. 137 (1969), no.3, p.245-258.

[64] Kuzuciioglu F., Levchuk V. M. Ideals of some matrix rings // Cornmun. Algebra, vol. 28 (2000), no. 7, p. 3503-3513.

[65] Kuzucuoglu F., Levchuk V. M. The automorphism group of certain radical rings // J. Algebra, vol. 243(2001), p. 473-485.

[66] Kuzucuoglu F., Levchuk V. M. Isomorphism of certain locally nilpotent finitary groups and associated rings // Acta Appl. Math., vol. 82 (2004), no. 2, p. 169181.

[67] Larson D. R., Sourour A. R. Local derivations and local automorphisms of B(H) // Proc. Sympos. Pure Math., vol. 51 (1990), p. 187-194.

[68] Levchuk V. M. The finitary rings, their adjoint groups and generalizations // Int. Conference "Algebra and its applications"(abstracts), Krasnoyarsk, 2002. - P. 143-144.

[69] Levchuk V. M. Chevalley groups and their unipotent subgroups // Contemp. Math, vol. 131 (1992), part 1, p. 227-242.

[70] Levchuk V. M. Sylow subgroups of the Chevalley groups and associated (weakly) finitary groups and rings // Acta Appl. Math., vol. 85 (2005), no. 1-3, p. 225-232.

[71] McLain D. H. A characteristically-simple group // Proc:. Cambridge Phil. Soc,., vol. 50 (1954), p.641-642.

[72] Parker C. and Rowley P. Extremal subgroups in Chevalley groups //J. London Math. Soc, vol. 55 (1997), no. 2, p. 387-399.

[73| Parker C. and Rowley P. Extremal subgroups in twisted Lie type groups //J. Reiene Angew. Math., no. 498 (1998), p. 135-152.

[74] Parker C. and Rowley P. Symplectic Amalgams, Springer Monographs in Mathematics, London. Springer-Verlag London, Ltd. 2002.

[75] Parker C. and Rowley P. Unique node extremal subgroups in Chevalley groups // Comm. Algebra, vol. 31 (2003), no. 7, p. 3471-3486.

[76] Seligman G. B. On automorphisms of Lie algebras of classical type/ I - III // Trans. Amer. Math. Soc., vol. 92 (1959), p. 430-448; vol. 94 (1960), p. 452-481; vol. 97 1960), p. 286-316.

[77] Schur I. Zur theorie der vertauschbaren matrizen //J. reine und angew. Math., vol. 130 (1905), p. 66-76.

|78| Spitznagel E. I. Terminally of the maximal unipotent groups of Chevalley groups // Math. Z., vol. 103 (1968), no. 2, p. 112-116.

[79] Spitznagel E. I. Structure and terminality of the maximal unipotent groups of Steinberg groups // J. Math., vol. 13 (1969), no. 2, p. 400-405.

[80] Stein M. R. Generators, relations and coverings of Chevalley groups over commutative rings // Amer. J. Math., vol. 93 (1971), no. 4, p. 965-1004.

[81] Thwaites G. N. The abelian p-subgroups of GL(n,p) of maximal rank // Bull. London Math. Soc., vol. 4 (1972), no. 12, p. 313-320.

[82] Videla C. R. On the model theory of the ring jVT(n, R) // Pure and Appl. Algebra, vol. 55 (1988), p. 289-302.

[83] Wheeler W. H. Model theory of strictly upper triangular matrix ring //J. Symbolic Logic, vol. 45 (1980), p. 455-463.

[84] Weir A. J. Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p // Proc. Amer. Math. Soc., vol. 6 (1955), no. 3, p. 454-464.

[85] Wong W. J. Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups //J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 32 (1982), no. 2, p. 223-245.

[86] Wong W. J. Abelian unipotent subgroups of finite unitary and symplectic groups // J. Austral. Math. Soc., Ser. A, vol. 33 (1982), no. 2, p. 331-344.

Работы автора по теме диссертации

[87] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы Стейнберга над полем // Вестник КГТУ. Вып. 16. - Красноярск: КГТУ, 1999. - С. 44-48.

[88] Сулейманова Г. С. Нормальное строение максимальной унипотентной подгруппы унитарной группы над полем // Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды Международной конференции. - Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000. - С. 206-209.

[89] Сулейманова Г. С. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец // IV международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию проф. Ю.И. Мерзлякова (Новосибирск, 7-11 августа 2000 г): Тез. докл. -Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2000. - С. 167-168.

[90| Сулейманова Г. С. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец // Абе-левы группы и модули. Сборник статей. Вып. 15. - Томск: ТГУ, 2000. - С. 89-97.

[91] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение некоторых нильпо-тентных групп // Международный семинар по теории групп, посвященный 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина. Екатеринбург, 1721 декабря 2001 г.: Тез. докл. - Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2001. - С. 129-133.

[92] Сулейманова Г. С. Нормальное строение некоторых нильпотентных групп //II Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения C.B. Ковалевской): Тезисы докладов конгресса, 15-17 января 2002 г. - Красноярск: КрасГУ, 2002. - С. 211-212.

[93] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Rn(K,J) // Сибирский математический журнал, т. 43 (2002), № 2, с. 419-437.

[94] Suleimanova G. S. On ideals of some matrix rings // Международная конференция "Алгебра и ее приложения": Тез. докл. - Красноярск: КрасГУ, 2002. - С.146-147.

[95] Suleimanova G. S. On some matrix rings // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов. - М: Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ, 2004. - С. 286-288.

[961 Suleimanova G. S. Ideals of Some Matrix Rings // Acta Applicandae Mathematical, 85, 2005. - P. 291-296.

[97| Левчук В. M., Сулейманова Г. С. Абелевы нормальные подгруппы унипо-тентных подгрупп в классических группах и их финитарных обобщениях // Абелевы группы: Труды Всероссийского симпозиума (Бийск, 22-25 августа 2005 г.). - Бийск, РИО БГПУ им. В.М. Шукшина, 2005. - С. 33-35.

[981 Сулейманова, Г. С. Абелевы нормальные подгруппы унипотентных подгрупп в группах Шевалле исключительных типов // Абелевы группы: Материалы Всероссийского симпозиума (Бийск. 19-25 августа 2006 г.) - Бийск: РИО БГПУ им. В.М. Шукшина, 2006. - С. 36-38.

[99| Suleimanova G. S. Abelian normal subgroups of unipotent subgroups of Chevalley groups // Proceed. Int. Conf - 2007 "Antalya Algebra Days IX". Ankara. METU, 2007. - P. 30-31.

1100) Левчук В. M.: Сулейманова Г. С. Нормальное строение и абелевы нормальные подгруппы унипотентной подгруппы группы Шевалле // "Классы групп, алгебр и их приложения"(Межд. конф.) - Гомель, ГГУ, 2007. -С. 98-99.

[101] Levchuk V. M., Suleimanova G. S. The normal structure of the unipotent subgroup of the Chevalley group // "Алгебра и логика"(Международный российско-китайский семинар) - Иркутск, ИГПУ, 2007. - С. 123-125.

[102] Levchuk V. M., Suleimanova G. S., Voitenko T. Yu. Some questions for the unipotent subgroup of the Chevalley group // "Алгебра и ее приложения" (Межд. Конф.) - Красноярск, СФУ, 2007. - С. 168-169.

[103] Сулейманова Г. С. Нормальное строение и абелевы нормальные подгруппы унипотентной подгруппы симгшектической группы // Владикавказский математический журнал, т. 10 (2008), № 1. с. 79-83.

[104] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Доклады РАН, т. 419 (2008), № 5, с. 595-598.

[105] Suleimanova G. S., Yakobi V. V. The normal structure of the unipotent subgroup of a Chevalley group of type Eq, Ey, Eg // Journal of Siberian Federal University, Mathematics & Physics, vol. 1 (2008), no. 2, p. 51-55.

[1061 Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы группы лиева типа и смежные вопросы // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Ку-роша. Тезисы докладов. - М., 2008. - С.154-155.

[107] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле // Теория групп. Тезисы сообщений седьмой Международной школы-конференции, посвященной 60-летию A.C. Кондратьева. Челябинск, 3-9 августа, 2008 г. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. - С.57-58.

1108] Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Автоморфизмы и нормальное строение унипотентных подгрупп финитарных групп Шевалле // Труды института математики и механики УрО РАН, т. 15 (2009), № 2, с. 133-142.

[109] Сулейманова Г. С. О сопряженности в группе Шевалле больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Фундаментальная и прикладная математика, т. 15 (2009), № 7, с. 205-216.

1110] Елисова А. П., Зотов И. Н., Левчук В. М., Сулейманова Г. С. Локальные автоморфизмы и локальные дифференцирования нильпотентных матричных алгебр // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", т. 4 (2011), № 1, с.9-19.

[111] Сулейманова Г. С. Классы сопряженных в группе Шевалле типа больших абелевых подгрупп унипотентной подгруппы // Владикавказский математический журнал, т. 13 (2011), вып. 2, с. 45-55.

[112] Сулейманова Г. С. Сопряженность в конечной группе Шевалле типа Eg больших абелевых унипотентных подгрупп // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, vol. 4 (2011), no. 4, p. 536-540.

[113] Левчук В. M., Сулейманова Г. С. Нормальное строение унипотентной подгруппы групп лиева типа и её экстремальные подгруппы // Фундаментальная и прикладная математика, т. 17 (2012), Л'2 1, с. 155-169.

[114] Levchuk V. М., Suleimanova G. S. Extremal and maximal normal abelian subgroups of a maximal unipotent subgroup in groups of Lie type // Journal of Algebra, vol. 349 (2012), iss. 1, no.l, p. 98-116.

[115| Suleimanova G. S. Large abelian unipotent subgroups in finite Lie-type groups // Book of abstracts of Internetional Conference on Algebra. - Kiev, 2012. - P. 153.

1116] Сулейманова Г. С. Исключительные большие унипотентные абелевы подгруппы групп лиева типа // Вестник СибГАУ, т. 44 (2012), № 4, с. 61-64.

|117] Levchuk V. М., Suleimanova G. S. Thompson subgroups and large abelian unipotent subgroups of Lie-type groups // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, vol. 6 (2013), no.l, p. 64-74.

[118| Сулейманова Г. С. Большие элементарные абелевы унипотентные подгруппы групп лиева типа // Известия Иркутского государственного университета. Серия "Математика", т. 6 (2013), № 2, с. 69-76.

[119] Сулейманова Г. С. Большие элементарные абелевы унипотентные подгруппы групп лиева типа // Международная конференция "Algebra and Logic, Theory and Applications". Тезисы докладов. - Красноярск, 2013.