Структурные описания и связи нильпотентных матричных групп и ассоциированных с ними колец тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сулейманова, Галина Сафиуллановна
- Специальность ВАК РФ01.01.06
- Количество страниц 60
Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сулейманова, Галина Сафиуллановна
Введение
Наиболее употребительные обозначения и термины
Глава 1. Нормальное строение присоединенной группы радикального кольца Яп(К,,1) и идеалы ассоциированного кольца Ли
1.1. Г-границы и идеалы кольца
1.2. Лиевы и нормальные Г-границы кольца #„(#,«/)
1.3. Теорема об идеалах ассоциированного кольца Ли
1.4. Нормальные подгруппы присоединенной группы
Глава 2. Нормальное строение унипотентной подгруппы унитарной и ортогональной групп над полем
2.1. Представление групп 1Ю{К) классических типов
2.2. Случай ортогональных групп.
2.3. Случай унитарных групп
Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Нормальное строение и большие абелевы подгруппы унипотентной подгруппы групп лиева типа2013 год, кандидат наук Сулейманова, Галина Сафиуллановна
Дифференцирования параболических подколец в матричных кольцах и регулярность присоединенной группы в радикальном случае2011 год, кандидат физико-математических наук Мальцев, Николай Владимирович
Автоморфизмы нильтреугольных подколец алгебр Шевалле классических типов2017 год, кандидат наук Литаврин, Андрей Викторович
О двух теоремах для групп лиева типа и ассоциированных колец2008 год, кандидат физико-математических наук Радченко, Оксана Владимировна
Некоторые вопросы теории групп Шевалле над полями и конечными кольцами2006 год, доктор физико-математических наук Колесников, Сергей Геннадьевич
Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структурные описания и связи нильпотентных матричных групп и ассоциированных с ними колец»
Через Яп{К, 3) далее обозначается кольцо всех п х п-матриц и коэффициентами из ассоциативного кольца К с единицей с элементами из его идеала 3 на и над главной диагональю. При 3 = 0 это есть кольцо МТп(К) (нижних) нильтреугольных матриц; как известно, его присоединенная группа (относительно присоединенного умножения аоЬ = а + Ь + аЬ) изоморфна унитреугольной группе иТп{К).
Диссертация состоит из двух глав, разбитых на 7 параграфов. В главе 1 взаимосвязанно исследуются вопросы описания нормальных подгрупп присоединенной группы радикального кольца 3) и идеалов ассоциированных колец. Структурные соответствия различных алгебраических систем, как правило, приводят к эффективным методам описания. В параграфе 1.1 приводятся некоторые известные и вспомогательные понятия и результаты. Вторая глава посвящена аналогичным вопросам для унипотентных подгрупп групп Шевалле.
Вопросы описания различных классов нормальных подгрупп унитреугольной группы над полем рассматривали А. Уир [18] (максимальные абелевы нормальные подгруппы), С. Д. Берман [1, 2], В.М. Лев-чук [5] и др. Идеалы алгебры ЫТп{К) над полем К описали на языке матричных лестниц Дюбиш и Перлис [15] в 1951 году. Идеалы кольца NТп{К) для случая тела К допускают аналогичное описание, как выявилось в [5]. В. М. Левчук и Ф. Кузучуоглу [16] разработали в 2000 году метод описания идеалов кольца Кп{К, 3) в более общей ситуации, когда кольцо коэффициентов К коммутативно, а его идеал 3 - сильно максимален. Они показали, что любой идеал такого кольца Яп{К, 3) порождается подходящей Т-границей (см. §1.1), которые охарактеризованы, как определенные подмножества кольца В,п{К, 3). Идеалы ассоциированного кольца Ли образуют существенно более широкий класс. Естественно возникает задача
А) перенести на лиевы идеалы кольца■ Яп(К, 3) с сильно максимальным идеалом 3 метод построения (ассоциативных) идеалов, основанный на Т-границах.
Ее решению посвящены параграфы 1.2 и 1.3 главы Ь В §1.2 вводятся лиевы Т-границы (определение 1.2.1). Основная в §1.3 теорема 1 устанавливает описание лиевых идеалов кольца Нп(К,3) при условии, когда идеал 3 сильно максимален и для любого идеала I С 3 кольца К выполняется равенство 21 = I. Примерами сильно мак4 симальных идеалов являются максимальные идеалы в кольцах т > 0)[16] и, более общо, в области целостности главных идеалов, см. §1.1. Частным случаем теоремы 1 при 3 — 0 являются теорема 9 [15] и теорема 2 [5] о лиевых идеалах кольца ИТп{К) над1 полем К.
Напомним, что ассоциативное кольцо называют радикальным, если присоединенное умножение в нем является групповой операцией. Конечно, поиски аналога теоремы 1 для описания нормальных подгрупп присоединенной группы кольца Яп(К,,7) целесообразны лишь, когда кольцо Яп(К,«/) радикально, это условие равносильно квазирегулярности идеала <7. На алгебраическом семинаре МГУ и на семинаре "Алгебра и логика" (г. Новосибирск) в 1999 - 2000 гг. В.М. Левчук сформулировал следующую задачу
Б) исследовать гипотезу о существовании алгоритма построения нормальных подгрупп присоединенной группы радикального кольца Яп(К,,]) из его лиевых идеалов.
В 1976 году он доказал [5], что нормальные подгруппы присоединенной группы кольца ЫТп{К) - это, в точности, идеалы ассоциированного кольца Ли (полное их описание было дано, когда К - тело). Указанное структурное соответствие не переносится на кольца Яп(К,«/), как выявилось в [16]. Вопрос о характеризации радикальных колец с таким соответствием записан в [4], вопрос 10.19. Построенный в §1.2 пример 1.2.2 показывает, что для колец Яп(К, /) (п > 2) случай ,7 = 0 (с коммутативным кольцом К) является единственным, когда указанное структурное соответствие выполняется.
В §1.2 вводятся нормальные Г-границы (определение 1.2.3). Теорема 2 описывает нормальные подгруппы присоединенной группы кольца Яп(К,,1)] по существу, она дает алгоритм их получения из лиевых идеалов.
Пусть и С (К) - унипотентная подгруппа группы Шевалле (обычной или скрученной) типа С над К. Известно, что для типа С = Ап-1 она изоморфна присоединенной группе кольца МТп(К), так что описание ее нормального строения содержится в [5]. Нормальное строение для некоторых других типов исследовалось в [11], [17], [12]. В главе 2 исследуется задача
В) завершить описание нормального строения унипотентных подгрупп 1Ю(К) групп Шевалле над полем К для оставшихся классических типов. 5
В [11], [17], [12] нормальное строение группы 1Ю(К) над полем К характеристики ф 2 исследуется, наряду с описанием идеалов ассоциированного кольца Ли, по аналогии с [5], см. §2.1.
Таким образом, нормальное строение групп 1Ю(К) над полем К известно для всех классических типов С?, исключая типы 21)п (ортогональный случай) и 2Ап (унитарный случай). В §2.1 рассматривается введенное в [7] специальное представление унипотентных подгрупп групп Шевалле классических типов. Их нормальное строение для исключительных типов 2Бп и 2АЛ и задача (В) исследованы в основных теоремах 3 и 4 соответственно в §2.2 и §2.3.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19, 22, 23, 24, 20, 25].
Результаты диссертации докладывались на алгебраических семинарах при Красноярском и Томском государственных университетах, ИМ СО РАН - НГУ. Они были представлены на "Мальцевских чтениях" и 4-й Международной алгебраической конференции (Новосибирск, 2000), на Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения" (Красноярск, 2000), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001) и на 2-м Всесибир-ском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2002).
В заключение автор выражает благодарность своему научному руководителю Владимиру Михайловичу Левчуку за всестороннюю помощь и постоянное внимание к работе. 6
Наиболее употребительные обозначения и термины
Всюду далее К есть произвольное ассоциативно коммутативное кольцо с единицей, если не оговорено другое. Если Н - множество матриц, то его каноническая т)-проекция | Ца^Ц £ Н} обозначается через 7гкт{Н) или Через еиь обозначается матричная единица, у которой (м, г>)-проекция равна 1, а остальные проекции нулевые. Фиксируются также следующие обозначения: и С {К) - унипотентная подгруппа группы Шевалле типа О над К; 11Тп(К) - унитреугольная группа степени п над кольцом К; МТп(К) - кольцо (нижних) нильтреугольных матриц; Яп{К,,/) - кольцо всех п х п-матриц над К с элементами из идеала ,7 кольца К на и над главной диагональю. 7
Похожие диссертационные работы по специальности «Математическая логика, алгебра и теория чисел», 01.01.06 шифр ВАК
Соответствие Мальцева и локальные автоморфизмы нильтреугольных алгебр классических типов2021 год, кандидат наук Зотов Игорь Николаевич
Подгруппы гиперболических унитарных групп2006 год, доктор физико-математических наук Дыбкова, Елизавета Владимировна
Теоретико-модельные и смежные вопросы колец, ассоциированных с кольцом нильтреугольных матриц2008 год, кандидат физико-математических наук Минакова, Елизавета Викторовна
Ковры и ковровые подгруппы групп Шевалле типов Bl, Cl, F42023 год, кандидат наук Лихачева Алена Олеговна
Неприводимые ковры аддитивных подгрупп над полями2021 год, кандидат наук Франчук Светлана Константиновна
Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сулейманова, Галина Сафиуллановна, 2002 год
1. С.Д. Берман. Нормальные делители группы треугольных матриц над конечным полем // Докл. и сообщ. Ужгор. ун-та, сер. физ.-мат. наук, 1960, №3, с.50.
2. С.Д. Берман. Нормальные делители 1-треугольных матриц над произвольным полем и над кольцом целых чисел // 10-й Всесоюзн. алгебр, колл., Резюме сообщ. и докл., т. 2, Новосибирск, 1969.
3. М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп. — М.: Наука, 1989.
4. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 12-е изд., ИМ СО РАН, Новосибирск, 1992.
5. В. М. Левчук. Связи унитреугольной группы с некоторыми кольцами // Алгебра и логика, 1976, 15, № 5, с. 558-578.
6. В. М. Левчук. Некоторые локально нильпотентные кольца и их присоединенные группы// Мат. заметки, 1987, 42, № 5, с. 631-641.
7. В.М. Левчук. Автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Ше-валле // Алгебра и логика, 1990, 29, № 3, с.315-338.
8. В. М. Левчук. Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле //Укр. мат. журнал, 1992, 44, № 6, с. 786-795.
9. В.М. Левчук. Обобщенные унипотентные подгруппы классических групп II Фунд. и прикл. математика, 1996, 2, № 2, с.625-627.
10. Л. А. Мартынова. Нормальное строение и автоморфизмы унипотентных подгрупп групп лиевых типов (канд. дисс-я). — Москва, МГУ, 1994.
11. Р. Стейнберг. Лекции о группах Шевалле. — М.: Мир,1975.59
12. R. Carter. Simple groups of Lie type. — New York: Wiley and Sons, 1972.
13. R. Dubish, S. Perlis. On total nilpotent groups. — Amer. J. Math., 1951, 73, № 3, p. 439-452.
14. F. Kuzucuoglu, V. M. Levchuk. Ideals of some matrix rings:-Commun.Algebra, 28, № 7 (2000), p. 3503-3513.
15. V. M. Levchuk. Chevalley groups and their unipotent subgroups // Contemporary Mathematics, 1992, 131 (part 1), p. 227-242.
16. A. Weir. Sylow p-subgroups of the general linear group over finite fields of characteristic p. — Proc. Amer. Math. Soc., 1955, 6, № 3, p. 454-464.РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
17. В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова. Нормальное строение унипо-тентной подгруппы группы Стейнберга над полем // Вестник КГТУ, вып. 16. — Красноярск: КГТУ, 1999, с. 44-48.
18. В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова. Нормальное строение некоторых нильпотентных групп // В сб.: Международный семинар по теории групп, посвященный 70-летию А. И. Старостина и 80-летию Н. Ф. Сесекина. Тезисы докладов. Екатеринбург: УрГУ, 2001, с. 129-133.
19. В. М. Левчук, Г. С. Сулейманова. Нормальное строение присоединенной группы в радикальных кольцах Rn(K,J) //Сиб. мат. журнал, 2002 (в печати).
20. Г. С. Сулейманова. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец //В сб. тезисов 4-й международной алгебраической конференции. — Новосибирск: ИМ СО РАН, 2000.
21. Г. С. Сулейманова. Нормальное строение максимальной унипо-тентной подгруппы унитарной группы над полем //В сб.: Симметрия и дифференциальные уравнения. — Красноярск: ИВМ СО РАН, 2000, с. 206-209.
22. Г. С. Сулейманова. Об идеалах некоторых матричных лиевых колец //В сб.: Абелевы группы и модули, вып. 15. — Томск: ТГУ, 2000, с. 89-97.60
23. Г. С. Сулейманова. Нормальное строение некоторых 'нильпо-тентных групп //В сб. тезисов 2-го Всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск: КрасГУ, 2002, с. 211-212.
Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.