Взаимодействующие кинки и пузырьки кирального конденсата в некоторых теоретико-полевых моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Гани Вахид Абдулович

• Гани Вахид Абдулович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гани Вахид Абдулович

Введение

1 Резонансные явления в кинк-антикинк рассеянии

1.1 Уединенные волны в (1+1)-мерной классической теории поля

1.2 Столкновения кинков. Механизм резонансного обмена энергией

1.3 Модель "двойной синус-Гордон".

1.4 Дискретный спектр возбуждений системы К К в модели "ДсГ"

1.5 Численные расчеты и заключительные замечания.

2 Об эволюции домена дезориентированного кирального конденсата

2.1 Дезориентированный киральный конденсат в физике высоких энергий.

2.2 Одномерный случай.

2.3 Трехмерный случай.

2.4 Пузырек большой амплитуды.

2.5 Заключительные замечания.

3 Динамика столкновений доменных стенок в модели с двумя действительными скалярными полями

3.1 Нетривиальные точные решения.

3.2 Временная зависимость для BPS-насыщенных конфигураций

3.3 Временная зависимость для не BPS-конфигураций.

3.4 Заключительные замечания.

4 Заряженный топологический солитон в системе двух взаимодействующих скалярных полей

4.1 Заряженные топологические дефекты в различных теориях

4.2 Топологические и нетопологические Q-боллы.

4.3 Точное решение для топологического Q-болла.

4.4 Улучшенная вариационная процедура.

4.5 Заключительные замечания об описанных топологических дефектах, несущих U(l) заряд.

4.6 Проблема динамической устойчивости решения, постановка спектральной задачи.

4.7 Аналитические свойства спектральной задачи.

4.8 Численное исследование устойчивости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Взаимодействующие кинки и пузырьки кирального конденсата в некоторых теоретико-полевых моделях»

В последнее десятилетие значительно возрос интерес к всевозможным топологическим дефектам [1]. Доменные стенки представляют собой, пожалуй, наиболее наглядный пример топологических дефектов: они возникают в полевых моделях с лагранжианами, потенциальная часть которых имеет дискретный набор минимумов, и представляют собой полевые конфигурации, соединяющие эти минимумы [2].

Спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса [3] играют чрезвычайно важную роль в современной теоретической физике. Топологические решения, называемые обычно кинками, представляют собой классические топологические решения уравнений движения в (1+1)-мерных моделях со спонтанным нарушением симметрии, имеющие различные асимптотики на пространственных бесконечностях. Для конечности энергии такого решения необходимо, чтобы асимптотические значения поля, совпадали с вакуумами модели - минимумами потенциала лагранжиана [4]. По этой причине простейшая модель, имеющая решения типа кинка должна иметь, по меньшей мере, два минимума потенциала.

Далее, можно рассматривать аналогичные модели в (3+1)-мерном пространстве-времени. Тогда одномерное решение типа кинка приобретает смысл доменной стенки [5]. Например, плоская доменная стенка, перпендикулярная оси X в (3+1)-мерном пространстве Минковского в модели с двумя вырожденными вакуумами, - это такая зависящая только от одной пространственной координаты х конфигурация, что поле заметно отличается от вакуумных значений лишь на небольшом интервале оси X (толщина стенки), а по обе стороны от стенки быстро выходит на вакуумные значения (строго говоря, поле равно вакуумным значениям лишь в пределе х —У ±оо). При этом энергия кинка приобретает смысл поверхностной плотности энергии стенки или, как иначе говорят, поверхностного натяжения). Замечательно, что во многих случаях уравнения Эйлера-Лагранжа для статических конфигураций в (1+1) могут быть решены аналитически, и конфигурации типа доменных стенок выписываются в явном виде [6]. В других случаях решения типа доменных стенок получаются в результате численного интегрирования уравнений движения [7].

Выделим теоретико-полевые модели, допускающие решения в виде доменных стенок. Введем условное их деление на четыре класса, каждый из которых в той или иной степени обсуждается в настоящей диссертации.

1. Пожалуй, самыми простыми примерами здесь являются кинки в моделях с одним действительным скалярным полем и с симметрией потенциала, например, кинк теории \фА или солитон модели sine-Gordon [8]. [9] (в последнем случае потенциал периодический).

2. Помимо кинков (доменных стенок) в упомянутых моделях с одним действительным скалярным полем и с двумя вырожденными вакуумами, можно выделить модели с одним действительным скалярным полем, но с потенциалами, допускающими существование по крайней мере двух различных типов доменных стенок. Примером может служить модель двойной синус-Гордон (double sine-Gordon) [10], в которой при некоторых значениях параметра имеются два различных кинка - "малый" и "большой".

3. К третьему классу отнесем модели с двумя и более действительными скалярными полями, которые проявляют новые интересные свойства: в них возможно существование доменных стенок с внутренней структурой, а также появляется возможность образования пересечений доменных стенок (в моделях с двумя полями в случае потенциала, имеющего так называемые "неколлинеарные" минимумы на плоскости полей).

4. И, наконец, следует сказать о так называемых Q-боллах (Q-шарах, Q-balls) и Q-стенках (Q-walls) - топологических и нетопологических решениях в моделях с действительным полем Хиггса и комплексным скалярным полем, несущим сохраняющийся U(l) заряд в силу глобальной U(l) симметрии лагранжиана. Некоторые решения такого рода были впервые рассмотрены Коулменом [11].

В последнее десятилетие достигнут значительный прогресс в изучении свойств доменных стенок в различных теоретико-полевых моделях. Это обусловлено пристальным вниманием к этому типу топологических дефектов, связанному с важной ролью доменных стенок, а также более сложных структур на их основе, которую они играют в современной космологии, физике элементарных частиц и теории процессов в жидкостях и твердых телах. В этой связи следует упомянуть также проблему темной материи и темной энергии [12] (подробнее об этом см. в главе 4 настоящей диссертации). Высказываются предположения, что доменные стенки могут образовывать структуры типа сетей, несущих значительные энергии. (Присутствие таких структур во Вселенной имело бы следствием некоторую анизотропию реликтового излучения, которая, однако, невелика и не выходит за пределы современных экспериментальных оценок.)

Диссертация изложена на 125 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка иллюстраций, предметного указателя и списка цитируемой литературы. В тексте диссертации содержится 31 иллюстрация, список литературы состоит из 110 пунктов.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Гани Вахид Абдулович

Заключение

Итак, сформулируем кратко основные результаты, полученные в диссертации.

1. В модели "двойной синус-Гордой" объяснено явление квазирезонансов в столкновениях кинка и антикинка при значении параметра R = 0.5. Дано качественное и полуколичествеиное объяснение сдвига резонансной частоты в системе кинк-антикинк по сравнению с частотой уровня дискретного спектра в потенциальной яме уединенного кинка. Обнаружено также, что при некоторых значениях параметра модели явления квазирезонансов и окон разлета сосуществуют, что является прямым следствием их общей природы - механизма резонансного обмена энергией.

2. Численно и аналитически исследована временная эволюция первоначально сформированного пузырька дезориентированного кирального конденсата. Показано, что процесс распада существенно зависит от самодействия пионных полей. При некоторых значениях параметров модели возможно образование долгоживущих источников пионных полей в центре первоначального пузырька ДКК. В случае пузырька большой амплитуды обнаружено наличие продолжительной предраспадной стадии, что является следствием существования многосолитонных решений уравнения синус-Гордон.

3. Исследован процесс столкновения двух параллельных доменных стенок в суперсимметричной модели с двумя действительными скалярными полями. В случае BPS-насыщенных конфигураций получен эффективный лагранжиан, описывающий взаимодействие стенок. В качестве динамической переменной использован внутренний параметр конфигурации, состоящей из двух параллельных стенок, который при определенных ограничениях имеет смысл расстояния между стенками. Временная эволюция, полученная с помощью эффективного лагранжиана, подтверждена численным расчетом - непосредственным решением задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (уравнений Эйлера-Лагранжа). При небольших начальных скоростях процесс столкновения стенок выглядит как упругое отражение с некоторой задержкой по времени.

4. В случае конфигураций, не являющихся BPS-насыщенными, в столкновениях доменных стенок обнаружено наличие критического значения Va- ~ 0.9120 начальной скорости. При v\ < vcr наблюдается (неупругое) отражение, не сопровождающееся изменением вакуумного состояния между стенками. При значениях начальной скорости vi > vcr вакуумное состояние между стенками в результате столкновения изменяется. Процесс столкновения стенок исследовался численно. Результаты численных экспериментов находятся в качественном соответствии с предсказаниями "потенциального" рассмотрения, основанного на энергетических соображениях.

5. В модели с одним действительным и одним комплексным скалярными полями в (1+1)-измерениях найдено точное топологическое решение -и(1)-заряженный солитон. Исследована его устойчивость относительно распада в конфигурацию типа "кинк + плоские волны" (из энергетических соображений), а также устойчивость найденного точного решения в рамках линейной теории возмущений.

Наконец, я хотел бы выразить искреннюю благодарность людям, чья поддержка и неизменно хорошее отношение ко мне помогли завершить работу над диссертацией, несмотря на трудности и неблагоприятные обстоятельства.

Моему научному руководителю, ведущему научному сотруднику ГНЦ РФ ИТЭФ, доктору физико-математических наук, замечательному человеку и учителю Кудрявцеву Александру Евгеньевичу.

Моему школьному учителю физики, Заслуженному учителю РФ, учителю физики гимназии № 1506 г. Москвы Зубову Виктору Михайловичу.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гани Вахид Абдулович, 2009 год

1. A. Vilenkin, Е. P. S. Shellard, "Cosmic strings and other topological defects", Cambridge University Press, 1994.

2. Т. И. Белова, A. E. Кудрявцев, УФН, том 167, номер 4, стр. 377 (1997); Physics Uspekhi, vol. 40, num. 4, p. 359 (1997).

3. Higgs P. W., Phys. Rev. 145, p. 1156 (1966).

4. P. Раджараман, "Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля", Москва, Мир. 1985.

5. Зельдович Я. Б., Кобзарев И. Ю., Окунь Л. Б., ЖЭТФ, том 67, стр. 3 (1974).

6. D. Bazeia, "Defect Structures in Field Theory", arXiv: hep-th/0507188.

7. A. V. Smilga, A. I. Veselov, "Domain Walls Zoo in Supersymmetric QCD", arXiv: hep-th/9710123.

8. J. K. Perring, Т. H. R. Skyrme, Nucl. Phys., 31, 550 (1962).

9. L. D. Faddeev, L. A. Takhtadzhyan, Teor. Mat. Fiz., 21, 160 (1974).

10. D. K. Campbell, M. Peyrard, P. Sodano, Physica D 19, p. 165 (1986).

11. S. Coleman, Nucl. Phys. В 262, 263 (1985).

12. A. Friedland, H. Murayama, M. Perelstein, Phys. Rev. D 67, 043519 (2003).

13. V. A. Gani, A. E. Kudryavtsev, "Kink-antikink interactions in the double sine-Gordon equation and the problem of resonance frequencies", Phys. Rev. E 60, num. 3, p. 3305 (1999);preprint ITEP-31 (1998); arXiv: cond-mat/9809015.

14. V. A. Gani, А. Е. Kudryavtsev, Т. I. Belova, "Decay of a bubble of disoriented chiral condensate", ЯФ, том 62, номер 5, стр. 956 (1999); Phys. of Atom. Nucl., vol. 62, p. 895 (1999);

15. V. A. Gani, A. E. Kudryavtsev, Т. I. Belova, B. L. Druzhinin, "On decay of bubble of disoriented chiral condensate", preprint ITEP-43 (1997), arXiv: hep-ph/9712526.

16. Т. И. Белова, В. А. Гани, A. E. Кудрявцев, "О распаде пузырька дезориентированного кирального конденсата большой амплитуды", ЯФ, том 64, номер 1, стр. 143 (2001); Phys. of Atom. Nucl., vol. 64, num. 1, p. 140 (2001);

17. Т. I. Belova, V. A. Gani, A. E. Kudryavtsev, "On decay of large amplitude bubble of disoriented chiral condensate", preprint ITEP-11 (2000), arXiv: hep-ph/0003308.

18. S. V. Troitsky, M. B. Voloshin, Phys. Lett. В 449, p. 17 (1999).

19. В. А. Гани, A. E. Кудрявцев, "О столкновениях доменных стенок в одной суперсимметричной модели", ЯФ, том 64, номер 11, стр. 2130 (2001); Phys. of Atom. Nucl., vol. 64, num. 11, p. 2043 (2001);

20. R. Friedberg, T. D. Lee, A. Sirlin, Phys. Rev. D 13, p. 2739 (1976).

21. В. А. Ленский, В. А. Гани, A. E. Кудрявцев, "О доменных стенках, несущих и(1)-заряд", ЖЭТФ, том 120, выпуск 4, стр. 778 (2001); J. of Exp. and Theor. Phys., vol. 93, num. 4, pp. 677 (2001);препринт ИТЭФ-5 (2001); arXiv: hep-th/0104266.

22. V. A. Gani, N. B. Konyukhova, S. V. Kurochkin, V. A. Lensky, "Study of

23. Stability of a Charged Topological Soliton in the System of Two Interacting Scalar Fields", arXiv: 0710.2975 hep-th.,

24. Гани В. А., Кудрявцев A. E., Белова Т. И., "Распад пузырька дезориентированного кирального конденсата", тезисы конференции "Научная сессия МИФИ-99".

25. Гани В. А., Кудрявцев А. Е., "Взаимодействия кинка и антикинка двойного синус-Гордон уравнения и проблема резонансных частот", тезисы конференции "Научная сессия МИФИ-99".

26. Поляков А. М., Письма в ЖЭТФ, том 20, стр. 430 (1974).

27. Dashen R. F.; Hasslacher В., Neveu A., Phys. Rev. D 10, p. 4130 (1974).

28. JI. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, "Квантовая механика", М.: Наука, 1989.

29. Кудрявцев А. Е., Письма в ЖЭТФ, том 22, стр. 178 (1975).

30. Гетманов Б. С., Письма в ЖЭТФ, том 24, стр. 323 (1976).

31. Anbry S. J., Chem. Phys., 64, p. 3392 (1976).

32. Ablowitz M. J., Kruskal M. D., Ladik J. F., SIAM J. Appl. Math., 36, p. 428 (1979).

33. Moshir M., Nucl. Phys. В 185, p. 318 (1981).

34. Wingate C. A., Ph. D. Thesis (Univ. of Illinois, 1978); SIAM J. Appl. Math. 43, p. 120 (1983).

35. Campbell D. K., Schonfeld J. F., Wingate C. A., Physica D 9, p. 1 (1983).

36. BelovaT. I., Kudryavtsev A. E., Preprint ITEP-94 (Moscow, 1985); Physica D 32, p. 18 (1988).

37. Anninos P., Oliveira S., Matzner R. A., Phys. Rev. D 44, p. 1147 (1991).

38. B. D. Josephson, Phys. Lett., 1, p. 251 (1962).

39. P. W. Anderson, J. M. Rowell, Phys. Rev. Lett., 10, p. 230 (1963).

40. G. Delfino, G. Mussardo, Nucl. Phys. В 516, p. 675 (1998).

41. D. Controzzi, G. Mussardo, Phys. Rev. Lett. 92, 021601 (2004); arXiv: hep-th/0307143 (2003).

42. F. D. M. Haldane, Phys. Lett. A 93, p. 464 (1983).

43. F. D. M. Haldane, Phys. Rev. Lett. 50, p. 1153 (1983).

44. F. D. M. Haldane, Journ. Appl. Phys. 57, p. 3359 (1985).

45. I. Affleck, Nucl. Phys. В 257, p. 397 (1985).

46. I. Affleck, F. D. M. Haldane, Phys. Rev. В 36, p. 5291 (1977).

47. I. Affleck, Quantum Theory Methods and Quantum Critical Phenomena, in Fields, Strings and Critical Phenomena, Les Houches XLIX, 1988.

48. M. Fabrizio, A. O. Gogolin, A. A. Nersesian, Nucl. Phys. В 580, p. 647 (2000).

49. Maki K., Kumar P., Phys. Rev. В 14, p. 118 (1976).

50. Maki K., Physica В 90, p. 84 (1977).

51. Kitchenside P. W., Bullough R. K., Caudrey P. J., in Solitons in Condensed Matter Physics (Eds. A. R. Bishop, T. Schneider), p. 291 (Berlin: Springer, 1978).

52. Bullough R. K., Caudrey P. J., Gibbs H. M., in Solitons (Eds. R. K. Bullough, P. J. Caudrey), p. 107 (Berlin: Springer, 1980).

53. Shiefman J., Kumar P., Physica Scripta, 20, p. 435 (1979).

54. Kumar P., Holland R. R., in Nonlinear Problems: Present and Future (Eds. A. R. Bishop, D. K. Campbell, B. Nikolaenko), p. 229, (Amsterdam: North-Holland, 1982).

55. P. Sodano, M. El-Batanouny, C. R. Willis, Phys. Rev. В 34, num. 7, p. 4936 (1986).

56. R. Ravelo, M. El-Batanouny, C. R. Willis, P. Sodano, Phys. Rev. В 38, num. 7, p. 4817 (1988).55 56 [57 [5859 60 [61 [626367 68 [6970 71 [72

57. A. A. Anselm, Phys. Rev. Lett. В 217, p. 169 (1989).

58. J.-P. Blaizot, A. Krzywicki, Phys. Rev. D 46, p. 246 (1992). J. Bjorken, K. Kowalski, C. Taylor, SLAC-PUB-6104 (1993).

59. B. А. Карманов, A. E. Кудрявцев, препринт ИТЭФ-88 (1983); arXiv: hep-ph/0207321

60. И. В. Андреев, Письма в ЖЭТФ, том 33, стр. 384 (1981).

61. К. Rajagopal, F. Wilczek, Nucl. Phys. В 339, p. 395 (1993).

62. К. Rajagopal, F. Wilczek, Nucl. Phys. В 404, p. 577 (1993).

63. J. Berges, J. Serreau, "Progress in nonequilibrium quantum field theory I and II", arXiv:hep-ph/0302210 and hep-ph/0410330.

64. B. Mohanty, J. Serreau, Phys. Rept. 414, p. 263 (2005); arXiv: hep-ph/0504154

65. И. JI. Боголюбский, В. Г. Маханьков, Письма в ЖЭТФ, 24, с. 15 (1976); Письма в ЖЭТФ, том 25, с. 120 (1977).

66. A. Abado, М. С. Birsa, Phys. Rev. D 55, 6887 (1997).

67. G. Amelino-Camelia, J. D. Bjorken and S. E. Larsson, Phys. Rev. D 56, 6942 (1997).

68. J. Hormuzdiar, S. Hsu, Phys. Rev. C.,vol. 59, p. 889 (1999).

69. M. Б. Волошин, И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь, ЯФ, том 20, с. 1229 (1974).

70. Dymnikova, L. Koziel, М. Khlopov, S. Rubin, Grav. Cosmol. vol. 6, p. 311 (2000); arXiv: hep-th/0010120 (2000).

71. M. A. Shifman, Phys. Rev. D 57, p. 1258 (1998).

72. M. B. Voloshin, Phys. Rev. D 57, p. 1266 (1998).

73. M. A. Shifman, M. B. Voloshin, Phys. Rev. D 57, p. 2590 (1998).

74. M. Shifman, Т. ter Veldhuis, Phys. Rev. D 62, 065004 (2000).

75. D. Binosi, M. Shifman, T. ter Veldhuis, TPI-MINN-00/27-T, arXiv: hep-th/0006026.

76. A. V. Smilga, A. I. Veselov, Nucl. Phys. В 515, p. 163 (1998).

77. E. Богомольный, ЯФ, том 24, с. 449 (1976); M. К. Prasad, С. Н. Sommerfeld, Phys. Rev. Lett. 35, p. 760 (1976).

78. D. Bazeia and F. A. Brito, "Bags, junctions, and networks of BPS and non-BPS defects", Phys. Rev. D61, 105019 (2000).

79. A. Kudryavtsev, B. Piette, W. Zakrzewski, Phys. Lett. A180, p. 119 (1993).

80. T. D. Lee, Y. Pang, Phys. Rep. 221, p. 251 (1992).

81. A. Kovner, M. Shifman and A. Smilga, Phys. Rev. D 56, p. 7978 (1997).

82. G. Dvali and M. Shifman, Phys. Lett. В 396, p. 64 (1997).

83. A. Hanany, K. Hori, Nucl. Phys. В 513, p. 119 (1998).

84. E. Witten, Nucl. Phys. В 507, p. 658 (1997).

85. J. Gauntlett, R. Portugues, D. Tong, P. Townsend, Phys. Rev. D 63, 085002 (2001).

86. M. Б. Волошин, ЯФ, том 21, стр. 1331 (1975).

87. G. R. Farrar and J. W. Mcintosh, Phys. Rev. D 51, p. 5889 (1995).

88. G. Dvali, H. Liu and T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 80, p. 2281 (1998).

89. A. E. Kudryavtsev, В. M. A. G. Piette, W. J. Zakrzewski, Phys. Rev. D 61, 025016 (2000).

90. J. F. Gomes, E. P. Gueuvoghlanian, G. M. Sotkov and A. H. Zimerman, Nucl. Phys. В 606, p. 441 (2001); arXiv: hep-th/0007169.

91. R. A. Leese, Nucl. Phys. В 366, 283 (1991).

92. В. А. Рубаков, "Классические калибровочные поля", М.: Эдиториал УРСС, 1999.

93. Я. Б. Зельдович, И. Ю. Кобзарев, JI. Б. Окунь, ЖЭТФ, том 67, стр. 3 (1974).

94. V. A. Kuzmin, V. A. Rubakov, М. Е. Shaposhnikov, Phys. Lett. В 155, p. 36 (1985).

95. G. Farrar, M. E. Shaposhnikov, Phys. Rev. Lett. 70, p. 2833 (1993).

96. P. Viciarelly, Nuov. Cim. Lett., vol. 4, num. 16, p. 905 (1972).

97. W. A. Bardeen, M. S. Chanowitz, S. D. Drell, M. Weinstein, Tung-Mow Yan, Phys. Rev. D 11, p. 1094 (1975).

98. Affleck I., Dine M., "A new mechanism for baryogenesis", Nucl. Phys. В 249, p. 361 (1985).

99. Kusenko A., Shaposhnikov M., Tinyakov P., Tkachev I., "Star wreck", Phys. Lett. В 423, p. 104 (1998).

100. Рубаков В. А., "Темная материя и темная энергия во Вселенной", публичная лекция по физике, ФИАН, 17 апреля 2005 года.

101. Anderson D. L. Т., Derrick G. Н., "Stability of time-dependent particlelike solution in nonlinear field theories. I", J. Math. Phys., vol. 11, num. 4, p. 1336 (1970).

102. Anderson D. L. Т., "Stability of time-dependent particlelike solution in nonlinear field theories. II", J. Math. Phys., vol. 12, num. 6, p. 945 (1971).

103. Белова Т. И., Воронов Н. А., Конюхова Н. Б., Парийский Б. С., "Области устойчивости одномерных солитонов заряженного скалярного поля", ЯФ, том 57, номер И, стр. 2105 (1994).

104. Биргер Е. С., Ляликова (Конюхова) Н. Б., "О нахождении для некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений решений с заданным условием на бесконечности", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 5, номер 5, стр. 979 (1965).

105. Лебедев Н. Н., "Специальные функции и их приложения", М.: Физмат-лит, 1963.

106. Абрамов А. А., "О переносе граничных условий для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки)", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 1, номер 3, стр. 542 (1961).

107. Абрамов А. А., Диткин В. В., Конюхова Н. Б. и др., "Вычисление собственных значений и собственных функций обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 20, номер 5, стр. 1155 (1980).

108. Курочкин С. В., "Метод нахождения собственных значений несамосопряженной краевой задачи", Доклады РАН, том 336, номер 4, стр. 442 (1994).

109. Абрамов А. А., Юхно Л. В., "Об определении числа собственных значений спектральной задачи", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 34, номер 5, стр. 776 (1994).

110. Курочкин С. В., "Топологические методы локализации собственных значений краевых задач", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 35, номер 8, стр. 1165 (1995).

111. Абрамов А. А., Ульянова В. И., Юхно Л. В., "Об использовании принципа аргумента в спектральной задаче для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями", Ж. вычисл. матем. и матем. физ., том 38, номер 1, стр. 61 (1998).