Нестандартные краевые задачи и прямые разложения функциональных пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Боровиков, Илья Александрович

• Боровиков, Илья Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Боровиков, Илья Александрович

ВВЕДЕНИЕ

1 Вещественные и комплексные краевые задачи и прямые разложения функциональных пространств

1.1 Необходимые функциональные пространства.

1.2 Градиентно-дивергентный оператор.

Теорема Г. Вейля и ее частичное обобщение.

1.3 Критерий дополняемости подпространства нормированного пространства

1.4 Прямые разложения функциональных пространств.

1.4.1 Пространства Соболева "отрицательной гладкости "и дифференциальные операторы

1.4.2 Обобщение разложения Г. Вейля.

1.4.3 Другие разложения функциональных пространств

1.5 Краевые задачи.

1.5.1 Градиентно-дивергентный оператор.

1.5.2 Вариационные задачи.

2 Некоторые краевые задачи клиффордова анализа и прямые разложения модулей Клиффорда

2.1 Модули над алгебрами Клиффорда.

2.1.1 Определения и некоторые утверждения.

2.1.2 Пронизывающие изоморфизмы.

2.2 Модули Соболева-Клиффорда

2.2.1 Определения и некоторые свойства.

2.2.2 Операторы дифференцирования.

2.2.3 Прямые разложения. "Одномерный" случай

2.2.4 Прямые разложения. "Многомерный" случай.

2.3 Краевые задачи для систем типа Стокса в модулях Соболева-Клиффорда ./.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестандартные краевые задачи и прямые разложения функциональных пространств»

Известно, что всякое гладкое векторное поле может быть представлено в виде суммы соленоидального поля (поля без источников) и некоторого потенциального поля. Это утверждение часто называют теоремой Гельмголъца, в частности, в учебнике по математическому анализу [1]. Приведем формулировку этой теоремы из данного учебника.

Теорема. Любое гладкое в области D евклидова ориентированного пространства К3 поле F можно разложить в сумму F = Fi + F2 безвихревого поля Fi и соленоидального поля F2.

Доказательство этого факта сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области D. В самом деле, если применить оператор div к полю F и решить задачу Дирихле то для поля F можно будет написать представление

F = gradp + (F — gradp), в котором, как очевидно, поля Fi = gradp и F2 = (F —gradp) являются, соответственно, безвихревым и соленоидальным. Граничное условие (2) в задаче Дирихле мы специально не конретизировали, поскольку при любом условии

Ар = divF p\dD = • • •,

1) (2) будет получаться некоторое представление Гельмгольца, важно только, что р является решением уравнения Пуассона (1).

Видно, что представление Гельмгольца неоднозначно. Произвол появляется ввиду того, что классы безвихревых и соленоидальных векторных полей имеют непустое пересечение. Однозначное представление можно получить, если потребовать, скажем, вместо произвольного потенциального поля такое, у которого потенциал имеет нулевое значение на границе области D, и для получения этого представления решать задачу Дирихле (1), (2) с нулевым краевым условием.

Приведенная выше классическая теорема имеет важное значение для теории уравнений с частными производными не только ввиду ее тесной связи с задачей Дирихле для уравнения Пуассона, но и по той причине, что в этой теореме дается некоторое представление о ядрах дифференциальных операторов первого порядка rot и div, точнее об их в некотором роде взаимной дополнительности в пространстве всех гладких векторных полей. Чтобы говорить об алгебраической прямой сумме подпространств, нужно позаботиться о пересечении этих подпространств, т.е. либо факторизовать по нему, либо рассматривать потенциальные поля с потенциалом, обращающимся в нуль на границе области. Также эта теорема важна с точки зрения теории функций, поскольку дает представление о произвольном гладком векторном поле.

С современной точки зрения важно получить аналоги теоремы Гельмгольца для функций не гладких, а например, только суммируемых в области. Обобщение этой теоремы на случай негладких полей было получено в 1940 году Г. Вейлем [2]. Он показал, что всякое поле из L2 обладает тем же свойством.

1 В то время теория пространств Соболева и обобщенных функций только зарождалась, поэтому Вейль формулировал свой результат без использования пространств с суммируемыми обобщенными производными, но неявно именно в рамках этой теории.

Выше мы отмечали, что класс солеиоидальных полей имеет непустое пересечение с классом потенциальных полей. Вейль исследовал это пересечение в случае векторных полей из пространства Лебега L2 и дал полный ответ о представимости пространства L2 в виде ортогональной суммы подпространств. А именно, им было получено следующее ортогональное разложение

L2 - rot Cq е (S2 ПI2) ® gradCg, где S2 — подпространство солеиоидальных полей, I2 — подпространство безвихревых полей, черта над множеством означает замыкание в метрике пространства L2. Вейль показал, что пересечение S2ni2 составляют потенциальные поля с гармоническим потенциалом. Приведенные обозначения не совпадают с теми, которые были использованы Вейлем, но нам они удобны ввиду обобщений, которые будут установлены в диссертации.

Важно отметить, что полученное Вейлем обобщение уже носит топологический характер, поскольку указано не просто алгебраическое представление в сумму, но и топологическое, т.е. с оценками компонент разложения через исходную функцию. Таким образом, теорема Гельмгольца и ее обобщение Вейля охватывает интересы минимум трех разделов математики: теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории функций и функционального анализа.

Некоторые частичные обобщения разложения Вейля-Гельмгольца, а также его комплексные аналоги и приложения рассматривались такими авторами, как Р. Темам, Ю. А. Дубинский, О. А. Ладыженская, см. [3-7].

Одной из целей настоящей работы является получение обобщения разложения Вейля-Гельмгольца на случай полной шкалы соболевских пространств. Эта задача тесно связана с изучением ядер и коядер классической тройки операторов векторного анализа grad, div и rot в полной шкале соболевских пространств. Важность этих операторов заключается в том, что большое количество изучаемых в математической физике уравнений с частными производными имеет своими операторами те или иные их композиции. В работе, в частности, будут рассмотрены некоторые как линейные, так и нелинейные задачи, изучение которых будет основано на знании геометрии пространств Соболева относительно ядер и коядер этой классической тройки операторов.

Стоит отметить, что нами будет предложен общий подход, с помощью которого будет получено обобщение разложения Вейля-Гельмгольца и ряд других представлений функциональных пространств в виде прямой суммы подпространств. В частности, посредством этого подхода может быть получено более простое, как нам кажется, и короткое доказательство самого разложения Вейля, не использующее никаких громоздких конструкций, которые имеют место в работе Г. Вейля. Стоит отметить также, что по сравнению со случаем гильбертова пространства L2 в общем случае пространств Соболева вопрос даже о дополняемости того или иного замкнутого подпространства отнюдь не очевиден, не говоря уже об описании дополнения.

Прямые разложения функциональных пространств позволяют исследовать некоторые краевые задачи для уравнений с частными производными. В работе будут рассмотрены некоторые задачи для градиентно-дивергентного оператора, некоторые "переопределенные" задачи, а также вариационные задачи, приводящие к системам типа Стокса.

Диссертация условно разделена на две содержательные части (главы).

Первая глава посвящена вещественным и комплексным краевым задачам и соответствующим разложениям функциональных пространств. Основное содержание главы представляют обобщения разложения Вейля-Гельмгольца и их приложения, о которых мы говорили выше.

Вторая глава посвящена уравнениям и пространствам, в которых функции принимают значения в клиффордовой алгебре Ап.

При изучении литературы по теории прямых разложений в клиффордо-вом анализе (см., например, [8-10], а также имеющиеся там ссылки) бросается в глаза то, что авторы рассматривают не вполне, на наш взгляд, соответствующую изучаемым объектам структуру. Объектами, прямое разложение которых они устанавливают, служат множества функций со значениями в клиффордовой алгебре и суммируемых со степенью р вместе со всеми производными до некоторого порядка' т (W™{G\ Ап), G С Mn+1 — область определения функций), на которых вводится естественная — как в обычных пространствах Соболева — норма. При этом не учитывается то, что эти множества являются в действительности Ап-модулями, а не только векторными пространствами над полем Ж. Таким образом, строится теория нормированных R-линейных пространств, вместо более естественной теории Дг-модулей со структурой нормированного пространства, т.е. учитывающей Лп-линейность изучаемых объектов. Это существенно меняет двойственную теорию: рассматривая W™(G: Ап) только как нормированные пространства, мы, фактически, работаем с 2П степенью пространства- W™(G) и Лп-линейная структура теряется.

В диссертации мы рассмотрели полную Ап структуру изучаемых множеств функций и построили соответствующую теорию прямых разложений именно для А „-модулей W™(G;An) Соболева-Клиффорда. Попутно получены аналоги хорошо известных утверждений вещественно-комплексного функционального анализа для случая нормированных Ап-модулей: например, теорема Хана-Банаха, теорема Браудера-Минти и некоторые другие утверждения. Опираясь на прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда нами изучены некоторые вариационные задачи, приводящие к системам, являющимися аналогами систем типа Стокса для случая клиффордова анализа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11-16].

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Боровиков, Илья Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проведенного исследования, кратко сформулируем полученные в работе результаты.

• Развит общий подход к изучению дополняемости подпространств-ядер линейных непрерывных операторов в функциональных пространствах, который основывается на доказанных в работе теоремах о дополняемости подпространств как исходного нормированного пространства, так и сопряженного к нему пространства.

• Установлено полное обобщение теоремы Г. Вейля на случай шкалы соболевских пространств и пространств "с суммируемой дивергенцией".

• Получен ряд других прямых разложений пространств Соболева, в частности, прямые разложения с Д-соленоидальными полями.

• Изучены две краевые задачи для нелинейного градиентно-дивергентного оператора. Установлена их "нормальная" разрешимость, а также "нормальная" разрешимость двух задач для уравнения третьего порядка, как следствие полученных ранее прямых разложений.

• Рассмотрена вариационная задача, приводящая к системе типа Стокса. Доказана ее разрешимость.

• Введены нормированные модули Клиффорда. Для них получены аналоги теорем Хана-Банаха, Браудера-Минти, а также обобщение ранее предложенного подхода для изучения дополняемости подпространств нормированного пространства на случай нормированных модулей Клиффорда.

• Получены некоторые свойства модулей Соболева-Клиффорда, аналогичные свойствам классических пространств Соболева, а также прямые разложения модулей Соболева-Клиффорда.

• Исследованы краевые задачи для систем типа Стокса. Установлена их однозначная разрешимость.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Боровиков, Илья Александрович, 2010 год

1. Зорин В. А. Математический анализ: Учебник. Ч. 2. — М.: Наука, 1984. - 640 с.

2. Weyl Н. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math. J., 1940, 7, p. 414-444.

3. Темам P. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. — М.: Мир, 1981. 409 с.

4. Дубинский Ю. А. Об аналитических «краевых» задачах на плоскости // УМН, 1997, т. 52, вып. 3, с. 53-104.

5. Ладыженская О. А. О связи задачи Стокса и разложений пространстви W2(1) // Алгебра и анализ, 2001, т. 13, вып. 4, с. 119-133.

6. Дубинский Ю. А. Разложения пространств W™ и D™-k в сумму солеиоидальных и потенциальных подпространств и факторизационные неравенства // Доклады АН, 2006, т. 408, № 2, с. 1-5.

7. Дубинский Ю. А. Разложения соболевской шкалы и градиентно-дивер-гентной шкалы в сумму солеиоидальных и потенциальных подпространств // Труды матем. инст. им. В. А. Стеклова РАН, 2006, т. 255, с. 136-145.

8. Дубинский Ю. А., Осипенко А. С. Нелинейные аналитические и коана-литические задачи (Lp-теория, клиффордов анализ, примеры) // Матем. сборник, 2000, т. 191, №1, с. 65-102.

9. Begehr Н., Dubinskii Ju. Orthogonal decompositions of Sobolev spaces in Clifford analysis // Ann. Mat. Рига ed Appl. Ser. 4, 2002, v. 181, №1, p. 55-71.

10. Dubinskii Ju., Reissig M. Variational problems in Clifford analysis // Math. Meth. Appl. Sci., 2002, v. 25, p. 1161-1176.

11. Боровиков И. А. Некоторые разложения пространств С. JT. Соболева и их приложения // Вестник МЭИ, 2005, №6, с. 25-41.

12. Боровиков И. А. Теорема Хана-Банаха в модулях над алгебрами Клиффорда // Вестник МЭИ, 2007, №6, с. 5-10.

13. Боровиков И. А., Дубинский Ю. А. Некоторые разложения модулей Соболева-Клиффорда и нелинейные вариациоииые задачи // Труды матем. инст. им. В. А. Стеклова РАН, 2008, т. 260, с. 57-74.

14. Боровиков И. А. Безвихревые и соленоидальные поля в пространствах W™ // Доклады АН, 2008, т. 422, №1, с. 7-10.

15. Боровиков И. А. Об одном пронизывающем изоморфизме и безвихревых полях // Труды междунар. науч.-техн. конф. "Информационные средства и технологии". М.: МЭИ, 2008, т. 2, с. 169-171.

16. Боровиков И. А. Об одном нелинейном градиентно-дивергентном операторе // Вестник МЭИ, 2009, №6, с. 49-55.

17. Lindenstrauss J., Tzafriri L. On the complemented subspaces problem // Isr. J. Math., 1971, 9, p. 263-269.

18. Кадец M. И., Митягин Б. С. Дополняемые подпространства в банаховых пространствах // УМН, 1973, т. 28, вып. 6 (174), с. 77-94.

19. Одинец В. П., Якубсон М. Я. Проекторы и базисы в нормированных пространствах. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 152 с.

20. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М: Мир, 1978. — 336 с.

21. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О. Нелинейный функциональный анализ и его приложения к уравнениям в частных производных. — М.: Научный Мир, 2008. — 400 с.

22. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.

23. Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. 552 с.

24. Clifford Algebras in Analysis and Related Topics. Ed. by J. Ryan. — Boca Raton (FL): CRC Press, 1996.