Нелокальные уравнения в струнной теории поля и их космологические применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Жуковская, Людмила Владиславовна

• Жуковская, Людмила Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жуковская, Людмила Владиславовна

Введение

Глава 1. Тахионное поле на D-бране, струнно-полевой подход

§1.1 Действие и уравнения движения.

§ 1.2 Пространственно-однородные конфигурации.

§ 1.3 Приближение и = й

• § 1.4 Решения уравнений движения.

§ 1.5 Энергия и Давление.

1.5.1 Тензор энергии-импульса.

1.5.2 Функционал энергии и его сохранение.

1.5.3 Давление

§ 1.6 Функционалы энергии и давления в случае произвольного потенциала.

Глава 2. Нелокальные модели с несколькими взаимодействующими полями

§2.1 Модель открытого и замкнутого тахиона.

§ 2.2 Решения системы интегральных уравнений.

§ 2.3 Эффективный механический потенциал.

§ 2.4 Энергия и давление

§ 2.5 Общее выражение для энергии и давления для произвольного числа полей и их свойства.

Глава 3. Построение интепролирующего решения для неоднородного нелинейного уравнения

Глава 4. Решения типа колокола

§4.1 Исследование решений типа колокола, зависящих от времени, в системах со степенными потенциалами.

4.1.1 Действие и уравнение движения.

4.1.2 Механическая аналогия.

4.1.3 Энергия.

4.1.4 Давление

§4.2 Возмущение решения типа гауссова колокола.

4.2.1 Возмущение решения типа гауссова колокола кинетическим слагаемым.

4.2.2 Возмущение решения типа гауссова колокола по мет

4.2.3 Точное решение типа гауссова колокола во Фридмановской метрике.

§4.3 Исследование решений типа колокола, зависящих от времени, в системах с полиномиальными потенциалами.

4.3.1 Постановка задачи, численное построение потенциала

4.3.2 Численное исследование интегрального уравнения

4.3.3 Механическая задача.

4.3.4 Эффективный потенциал.

4.3.5 Энергия системы, потенциал в терминах физических полей.

4.3.6 Давление

4.3.7 Точное решение типа колокола во Фридмановской метрике.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальные уравнения в струнной теории поля и их космологические применения»

Современное развитие физики элементарных частиц на основе квантовой теории поля [1,2] и попытки построить квантовую теорию гравитации привели к созданию теории струн [3-5], сблизившей квантовую теорию Янга-Миллса и гравитацию. В последнее время в теории струн особенно важную роль играет исследование непертурбатив-ных аспектов [6]. В частности, при исследовании непертурбативных свойств струны были найдены протяженные объекты, локализующие на своей мировой поверхности концы открытых струн. Такие решения были названы D-бранами, они аналогичны солитонным решениям в локальной теории поля [7,8]. Один из способов описания динамики бран состоит в следующем. Рассматривается открытая струна, на (р+1) пространственно-временную координату которой наложены условия Неймана, а на остальные (d—p — 1) координаты граничные условия Дирихле [9], при этом Дирихле-брана (D-брана) соответствует (р + 1) мерной гиперповерхности, на которой находятся концы струны. При этом локальные поля, которые соответствуют определенным струнным возбуждениям "живут" на бране, т.е. зависят от локальных переменных, принимающих значения на мировой поверхности браны. Это связано с тем, что в результате наложения условий Дирихле по (d — р — I) переменной координаты центра масс струны оказываются фиксированными по этим направлениям и поэтому возникают локальные поля, зависящие только от (р + 1)~координат.

Процесс распада нестабильной D-браны привлекает в последнее время значительный интерес. При этом исследуется динамика натяжения браны в процессе распада. Предполагается, что стартуя со своего максимального значения, равного плотности вакуумной энергии, натяжение нестабильной D-браны исчезает, в процессе чего низшее возбуждение струны - так называемый струнный тахион - переходит в истинный вакуум. В связи с этим возникает задача исследования классических зависящих от времени решений, описывающих этот переход.

Эффективный потенциал для струнного тахиона и различные классические решения в струнной теории поля в системе с нестабильной D-бранной интенсивно изучаются в последние несколько лет [10-14], см. также обзоры [15-17] и литературу в них. Вначале изучались только независящие от времени решения, описывающие либо тахионный вакуум, либо статические конфигурации £>-бран низких размерностей. Процесс рождения и распада нестабильных D-бран может быть описан как пространственно-подобная D-брана [18]. Более ранние исследование динамики тахионного поля связаны с системой брана-антибрана [19].

В 2002 году А. Сеном было предложено исследовать процесс классического распада нестабильной D-браны как динамику струнного тахиона в рамках струнной теории поля [20-23]. Отметим, что по сравнению с обычной локальной теорией поля, динамическое уравнение, описывающие тахион в струнной теории поля имеют специальные свойства. Во-первых, соответствующие уравнения содержат бесконечное число других полей. Во-вторых, струнно-полевое действие содержит бесконечное число производных по времени и, как следствие, постановка задачи с начальными условиями выглядит плохо определенной. Несмотря на указанные трудности А. Сен [20,23] показал, что представляется возможным построить семейство классических решений уравнений движения струнной теории поля, характеризуемое начальным положением и скоростью для тахионного поля - так называемые роллинговые решения.

Существует как минимум два подхода к построению зависящих от времени решений в струнной теории поля.

• Можно изучать решения струнно-полевых уравнений движения

QA + A*A = 0 (0.1) в рамках теории возмущений, задавая определенные начальные данные. Такой способ был выбран, в частности, в так называемом фоновом подходе для теории рассеяния в струнной теории поля в [24], а также в работе [23].

• Второй подход подразумевает изучение динамики низших возбуждений (уровней) в рамках так называемой процедуры обрезания по уровням [25]. Отметим, что как было указано в [26] существует много общего между уравнениями движения, полученными в струнной теории поля и уравнении р-адической струны [27,28].

В настоящей работе изучается динамика тахионного поля в струнной теории поля на нестабильной non-BPS D-бране в рамках процедуры обрезания по уровням [29,30]. Получаются уравнения движения для тахионного поля в первом нетривиальном приближении и строятся специальные зависящие от времени решения в первом нетривиальном приближении. Эти решения стартуют с пертурбативного вакуума и в процессе эволюции стремятся к стабильному вакууму. Для построения такого решения мы рассматриваем его как часть симметричного решения интерполирующего между двумя непертурбативными вакуумами соответствующими положительным временам. Как и в случае р-адической струны [28] для численного исследования таких решений с граничными условиями на бесконечности представляется удобным переписать соответствующие уравнения движения в интегральной форме. Интересно отметить, что форма уравнений движения в фермионной струнной теории поля имеет вид, схожий с уравнением движения р-адической струны [28] для р = 3. В то же время форма уравнений движения в бозон-ной струнной теории поля имеет вид, схожий со случаем р = 2 в теории р-адической струны [26,31]. В отличие от случая р-адической струны, ядра соответствующих интегральных операторов в уравнениях для тахионного поля как бозонной так и фермионной струн не являются положительными, что приводит к некоторым усложнениям при численном анализе [32] проводимом с использованием итерационной процедуры, обобщающей соответствующую итерационную процедуру для случая р~ адической струны [28,32,33]. Интересно также отметить, что уравнения для тахионного поля как бозонной так и фермионной струн могут рассматриваться как возмущения соответствующих уравнений р-адической струны [32]. В частности, осциллятивные свойства интерполирующего решения для случая фермионной струны могут быть качественно получены в рамках линейного приближения для отклонения от решения для р-адической (р = 3) струны.

Для понимания качественных свойств описываемых решений интересно исследовать соответствующее выражение для плотностей энергии и давления системы. В первой главе настоящей работы для системы из струнного тахиона на неэкстремальной бране будет построен сохраняющийся функционал энергии. Выражение для энергии состоит из трех слагаемых, а именно кинетического члена Епотенциального члена Ер и нелокального Еп\. В свою очередь Еп\ представляется суммой двух слагаемых Eni = Eni 1 + Eni2■ Для исследования нелокальных членов Епц и Еп12 мы представляем их в виде, допускающем интегральное представление.

Важной характеристикой поведения решения является соответствующее выражение для давления. Оно имеет вид

P{t) = Ek{t) - Ep(t) - Enll(t) + Enl2(t), (0.2) и можно интерпретировать Епц как нелокальную часть потенциальной энергии, a Eni2 как нелокальную часть кинетической энергии. В силу закона сохранения давление можно представить в виде

P(t) = -E + 2Ek{t) + 2Enl2(t)i и P(t) = E~2Ep{t)-2Enll{t), (0.3)

Е обозначает полную энергию системы. Будет также показано, что при больших временах, при выходе решения на непертурбативный вакуум, Р(оо) = —Е, в то время как при прохождении пертурбативного вакуума, в момент t = О, Р(0) = Е. Для действия, содержащего только поле тахиона, энергия Е равна минимуму тахионного потенциала, и, согласно гипотезе А. Сена, в полном действии натяжение D-браны должно компенсировать эту энергию давая нулевую полную энергию системы. В [29,30] было показано, что такая компенсация в кубической струнной теории поля действительно имеет место. В следствие того, что полная энергия равна нулю, давление системы в нашем случае также исчезает при больших временах. Далее в первой главе также показано, что давление на исследуемом решении достигает минимума в нулевой момент времени и стремится к минус энергии на больших временах.

Заметим, что существуют и другие способы исследования роллинго-вых решений для тахионного поля. Один из них связан с конформно полевым описанием динамики неэкстремальной D-браны. В [20,21,23] было показано, что соответствующая динамика может быть получена из эффективного действия Борна-Инфельда с экспоненциально убывающим потенциалом. Несмотря на то, что это действие не удается получить из фундаментальных принципов, оно обладает ожидаемыми свойствами с точки зрения описания классической динамики открытой струнной теории поля вокруг тахионного вакуума. А именно, в этой эффективной теории поля имеются решения с фиксированной плотностью энергии и ассимптотически исчезающим давлением. Такие решения интересны с точки зрения применения в космологии [36].

Заметим, что в настоящее время связь между струнной теорией поля и эффективным действием Борна-Инфельда не вполне выявлена. Возможно учет не только тахионного поля, но и полей с высшими спинами, в частности векторных полей, прояснит эту связь. Такое предположение поддерживается, в частности, результатами работ [37-39], где показано, что включение векторных полей может воспроизвести действие Борна-Инфельда.

В последние несколько лет процесс распада D-бран привлек значительное внимание в связи с задачами описания космологической инфляции [10,40-46] и ускоренного расширения Вселенной. Как показывают новейшие наблюдения вселенная в настоящее время ускоренно расширяется [47-49]. По всей видимости для описания этого явления необходима физика, выходящая за пределы стандартной модели. Представляется, что во Вселенной существует материя нового типа, так называемая темная энергия, с отрицательным давлением и, следовательно, отрицательным параметром состояния w = р/р {р - давление, р - плотность энергии). Эта материя в отличии от другой неизвестной материи, так называемой, темной материи, которая в основном сосредоточена в галактиках, равномерно распределена по всей Вселенной. Последние экспериментальные данные показывают, что w принимает значение в диапазоне w = — 1.06^Qgg. В предположении, что значение параметра состояния лежит в диапазоне 0 > w > — 1 существуют различные теоретические модели темной энергии - модель скалярного поля квинтиссенции [50], модели основанные на действии Дирака-Борна-Инфельда [10,40-42], и другие. Случай w = — 1 соответствует модели с космологической постоянной, которая также экспериментально не исключена.

Нетривиальным представляется возможность w < — 1, что соответствует случаю так называемой фантомной вселенной (см. [50]- [65], [46] и литературу там). Известно несколько феноменологических моделей описывающих такую фантомную вселенную [52], [54]. В этих моделях, в терминологии общей теории относительности, нарушается условие слабой положительности (WEC) [55] р + у> 0 (0.4) и, как следствие, большинство таких моделей нестабильны [58]. Существуют также модели, связанные с модифицированной гравитацией [66-73], однако, остается вопрос получения таких моделей из фундаментальных принципов.

Недавно было показано, что струнно-полевое описание распада нестабильной D-браны ведет на больших временах к эффективной фантомной модели [46]. В результате распада спектр системы становится стабильным в рамках рассматриваемого приближения. Связь модели с фундаментальной теорией струн также говорит в пользу стабильной теории. Распад D-браны на фоне неплоской метрики в рамках струнной теории поля описывается тахионным действием следующего вида [46]

S = J ^gd'x + + \ф2 - и(ф))^ (0.5)

5' =

16тlG

Здесь предполагается, что мы имеем дело с 3-мерной D-браной, G обозначает 4-мерную гравитационную постоянную, ol - натяжение струны, д^у - безразмерный метрический тензор, R - кривизна, с/о ~ безразмерная струнная константа связи, ф и Ф - безразмерные поля, связанные соотношением

3 и к,2 - константы, значения которых зависят от типа рассматриваемой струны, вид потенциала U также зависит от типа струны.

Отметим, что ковариантная полевая теория струн к настоящему времени построена только в плоской метрике. Для неплоского пространства теория струн построена только для специальных метрик, в частности в метрике анти-де-Ситтера [78] и в плосковолновом пространстве [79]. Это построение удается провести только в калибровке светового конуса. Поэтому действие (0.5) при специальных U{Ф) является прямолинейным обобщением приближенного тахионного действия на случай произвольной метрики.

Действие (0.5) на фоне фридмановской метрики приводит к уравнениям Фридмана и уравнению для поля Ф = Ф(£), ds2 = -dt2 + a2(t)(dxl + dx \ + dx\),

0.6) которое имеет вид к22? + 1)е"^Ф = СГ(Ф), (0.7) где V = -~d2t - 3H{t)dt, Н = а/а - параметр Хаббла и U'(Ф) = OU/дФ.

Для изучения решений уравнения (0.7) в [46] было использовано следующее приближение

-к2 + (5к1){ Ф + ЗЯФ) = 1/'(Ф), (0.8)

У(Ф) = U(Ф) - (0.9) где Kq - параметр, близкий к 1. Такое приближение строится на основе пренебрежения производными старше второго порядка, это так называемое механическое или локальное приближение.

В случае (3kq > к2 мы получаем духовый кинетический член в (0.8). В этом случае после перерастяжки мы можем положить (Зкq — k2 = 1. Этот случай соответствует фантомной модели. Динамика в такой фантомной модели в случае плоской метрики соответствует динамике обычной частицы в перевернутом потенциале [74]. Уравнение параметра состояния w в произвольной фантомной модели имеет вид где т2 - безразмерный параметр, связанный с планковской массой М2, т2р = М2а' = с//8тгС

В случае кубического потенциала U действие (0.5) соответствует действию для тахионного поля виттеновской струнной теории поля [77] на нижнем уровне в рамках процедуры обрезания по уровням [25, 87] с введенным искривленным пространством-временем. Предполагается, что мы имеем дело с 3-мерной D-браной в 26-мерном пространстве-времени, и объем компактифицированного 22-мерного подпространства в (0.5) опускается.

Случай потенциала U четвертой степени в действии (0.5) соответствует введению метрики в тахионное действие кубической фермион-ной струны [24] в приближении слабо меняющегося вспомогательного поля [74]. Это действие упоминалось выше, оно получается, если в рамках процедуры обрезания по уровням оставить лишь поле тахиона в ГСО(—) секторе и, соответственно, низшее поле в ГСО(+) секторе (это поле не имеет кинетического члена и рассматривается как вспомогательное). Интегрирование по вспомогательному полю приводит к потенциалу четвертого порядка для тахионного поля. Заметим, что появление неэкстремальных D-бран в рамках полевой теории фермионной струны требует выделения ГСО(—) сектора в спектре [13,29,30] (см. также обзоры [15-17]).

Существование кинк-подобных решений для уравнения (0.7) в случае плоской метрики при к, = 0 изучалось численно в [28] и было строго обоснованно в [33]. Точность приближения (0.8) для кинковских решений в случае плоской метрики изучалось в [32].

В случае плоской метрики и к, = 0 кинковское решение уравнения (0.7) представляет собой монотонную функцию, интерполирующую между двумя различными стационарными решениями. Однако, не только монотонные кинковские решения появляются при описании динамики струнного тахионного поля. Для к, ф 0, к2 < /3k,q при Н = 0 имеются немонотонные кинковские решения уравнения (0.7) которые имеют точки поворота. Типичным примером решений с точкой поворота являются решения типа колокола. В частности, решения такого типа были недавно найдены [82].

Поиск решений типа колокола представляет собой трудную задачу. Это связано, в частности, с тем, что немонотонный характер таких решений затрудняет применение к ним анализа, основанного на итерационной процедуре типа [28,33]. Таким образом, представляет интерес построение и исследование моделей типа (0.5), допускающих наличие решений типа колокола. В настоящей работе мы исследуем модели с потенциалом вида

U = к < 1, (0.11) к + 1 а также модели с полиномиальным потенциалом N и = У^-Фп+1 (0.12)

71=1

Важным свойством этих моделей является то, что в случае к = 0 и плоской метрики они допускают явные решения. Мы изучаем, в частности, применимость механического приближения для этих решений. Также в обоих случаях удается найти явные модификации механических потенциалов для решения соответствующих локальных уравнений при наличии фридмановской метрики. При этих построениях мы используем метод суперпотенциала, которий применялся ранее как для исследования стабилизации бран, так и для фантомных моделей [83], [65,84,85].

План работы следующий. В первой главе исследуется модель струнного тахиона на неэкстремальной D-бране, возникающего в теории фер-мионной струны. Получены соответствующие уравнения движения из действия, содержащего два поля - тахионное и вспомогательное, не имеющее кинетического члена. Исследуются пространственно однородные, зависящие от времени, конфигурации. Построено приближение, справедливое в случае медленно меняющегося вспомогательного поля. Выписано действие, приводящее к соответствующему уравнению движения. Это уравнение является обобщением исследовавшегося ранее уравнения р-адической струны. Далее, описаны решения уравнений движения и их свойства. Для рассматриваемой модели получен тензор энергии-импульса и на основе него построен функционал энергии и показано его сохранение на решениях уравнений движения. Исследовано давление тахионного поля и показано, что интерполирующее решение удовлетворяет свойствам, описанным в гипотезе Сена. Наконец, разобран случай произвольного потенциала и построен тензор энергии-импульса, а также сохраняющийся функционал энергии и функционал давления.

Во второй главе исследуются нелокальные модели с несколькими полями. Примером такой модели является модель Омури, качественно описывающая некоторые свойства взаимодействующих открытой и замкнутой струн. Получены уравнения движения и построен тензор энергииимпульса в общем случае произвольного конечного числа полей. Для модели Омури описан эффективный механический потенциал и процедура качественного исследования наличия решений, интерполирующих между стационарными конфигурациями.

В третьей главе исследуется уравнение, получаемое из модели Омури в приближении слабо меняющегося тахионного поля замкнутой струны. Это уравнение допускает строгое обоснование наличия решений. Доказан ряд теорем о свойствах уравнения и ограниченных решений. Предложена специальная итерационная процедура сходящаяся к нетривиальному решению, интерполирующему между стационарными конфигурациями. Доказана теорема о сходимости и свойствах итерационной процедуры. Таким образом указывается на возможное наличие решений в полной модели Омури.

В четвертой главе исследуются нелокальные модели, имеющие решения типа колокола. Отличительной особенностью таких решений является наличие точки поворота. Исследованы качественные свойства решений нелокальных уравнений и уравнений, получаемых в механическом приближении. В частности, исследованы модели со степенным потенциалом, допускающие точное решение в виде гауссова колокола. Качественно исследовано возможное наличие решений в этой модели при наличии кинетического члена, и показано, как кинетический член может влиять на наличие и тип решений. Также исследованы модели с полиномиальным потенциалом. Получены выражения для энергии и давления. Далее полученные модели рассматриваются на фоне фридмановской метрики. Исследуется динамика параметра Хаббла и параметра состояния w. Показано, что на построенных решениях w < — 1 и на больших временах w —> —1.

В приложении приведен вывод специального тождества, используемого при исследовании тензора энергии-импульса нелокальных моделей.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Жуковская, Людмила Владиславовна

Основные результаты диссертации представлены в работах автора [35,74,76,98,102,103].

Благодарности

Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова за полезные обсуждения и создание благоприятных условий для работы, всем сотрудникам отдела Математической физики за полезные обсуждения и комментарии.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю И.Я. Арефьевой за интересные задачи, внимание и поддержку, B.C. Владимирову и Б. Драговичу за полезные обсуждения.

Автор также хочет поблагодарить Я.И. Воловича за советы и помощь в проведении численных вычислений высокой точности.

Автор особенно хочет поблагодарить свою семью, без помощи и поддержки которой, работа над диссертацией была бы невозможной и, в особенности, свою дочку Юлию за наши плодотворные прогулки, ее нежность и улыбки.

Заключение

В работе получены следующие основные результаты:

• В модели струнного тахиона на неэкстремальной бране исследован тензор энергии-импульса и, в частности, сохраняющийся функционал энергиии и давление для случая пространственно однородных конфигураций. Исследованы свойства давления в случае роллинго-вых решений, показано, что давление достигает минимума в пертур-бативном вакууме и выходит на константу, равную минус энергии, на больших временах. Показано, что динамика тахионного поля в этой модели удовлетворяет свойствам, описанным в гипотезе Сена.

• Для эффективной модели Омури, качественно описывающей взаимодействие открытой и замкнутой струн, построено приближение, приводящее к одному уравнению для тахионного поля открытой струны. Это уравнение является обобщением уравнения, описывающего р-адическую струну. Доказано наличие роллинговых решений, интерполирующих между стационарными конфигурациями, и предложена итерационная процедура нахождения таких решений. Таким образом установлено наличие нетривиальной динамики в рассматриваемой модели.

• Проведено исследование нелокальных моделей с решениями с точкой поворота. Предложен ряд нелокальных моделей, допускающих точное решение в виде колокола, и исследованы их свойства. В частности, исследованы модели со степенным потенциалом, допускающие решения типа гауссового колокола и модели с полиномиальными потенциалами. Установлено качественное новое поведение решений вблизи точки поворота - выход за пределы соответствующих точек поворота для локального приближения.

• Исследованы нелокальные модели с решениями типа колокола на фоне фридмановской метрики. Получена динамика параметра Хаббла и параметра состояния w. Показано, что на рассматриваемых решениях параметр состояния w < — 1 и при больших временах ас-симптотически выходит на —1. Таким образом установлено наличие эффективной фантомной модели.

• Получены выражения для тензора энергии-импульса, функционала энергии и давления в общем случае теории поля с нелокальностью типа струнной при произвольном числе полей. Показано сохранение энергии. Исследованы свойства динамики давления в случае роллинговых решений.

В основу диссертации положены работы, выполненные в 2002-2005 годах в отделе Теоретической Физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на семинарах отделов Теоретической физики и Математической физики Математического института им. В. А. Стеклова

РАН, Лундском университе (Швеция), на международной конференции по р-адической математической физике (МИАН РАН, Москва), на международной конференции "Infinite Dimensional Analysis and Quntum Probability" (Левико, Италия).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жуковская, Людмила Владиславовна, 2006 год

1. Н.Н. Боголюбов и Д.В. Ширков, Введение в теорию квантовых полей, Москва, Наука, 1973

2. А.А.Славнов, Л.Д.Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, изд. 2, Москва, Наука, 1988

3. М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструп, Москва, Мир, 1990.

4. A.M. Поляков, Калибровочные поля и струны, Регулярная и хаотическая динамика, 1999

5. М. Каку, Введение в теорию суперструн, Москва, Мир, 1999

6. J. Polchinski, String theory, Cambridge Univ. Press, Vol I, II, 2005

7. B.A. Рубаков, Классические калибровочные поля, М.: Эдиториал УРСС, 1999

8. Р. Раджараман, Солитоны и ипстантоны в квантовой теории поля, Москва, Мир, 1985

9. B.C. Владимиров, Уравнения математической физики, "Наука5-е изд., Москва, 1988.

10. A. Sen, Non-BPS States and Branes in String Theory, hep-th/9904207.

11. A. Sen, В. Zwiebach, Tachyon condensation in string field theory, JHEP 003 (2000) 002, hep-th/9912249.

12. N. Moeller, A. Sen, B. Zwiebach, D-branes as Tachyon Lumps in String Field Theory, JHEP 0008 (2000) 039, hep-th/0005036.

13. N.Berkovits, A.Sen, B.Zwiebach, Tachyon condensation in superstring field theory, hep-th/0002211.

14. W. Taylor, N. Moeller, Level truncation and the tachyon in open bosonic string field theory, Nucl. Phys. B583, 105 (2000), hep-th/0002237.

15. K. Ohmori, A Review on Tachyon Condensation in Open String Field Theories, hep-th/0102085.

16. I.Ya. Aref'eva, D.M. Belov, A.A. Giryavets, A.S. Koshelev, P.B. Medvedev, Noncommutative Field Theories and (Super)String Field Theories, hep-th/0111208.

17. W.Taylor, Lectures on D-branes, tachyon condensation and string field theory, hep-th/0301094.

18. M. Gutperle and A. Strominger, Spacelike Branes, hep-th/0202210.

19. G. R. Dvali and S. H. Туе, Brane Inflation, Phys. Lett. В 450, 72 (1999), hep-ph/9812483.

20. A. Sen, Rolling Tachyon // JHEP т. 04, (2002) с. 048, hep-th/0203211

21. A. Sen, Tachyon Matter // JHEP т. 07, (2002) с. 065, hep-th/0203265

22. A. Sen, Field Theory of Tachyon Matter, hep-th/0204143.

23. A. Sen, Time evolution in open string theory, hep-th/0207105.

24. I.A. Aref'eva, P.B. Medvedev and A.P. Zubarev, Background formalism for superstring field theory, Phys.Lett. B240 (1990) 356.

25. V. Kostelecky and S. Samuel, Spontaneous Breaking of Lorentz Symmetry in String Theory, Phys. Rev. D 39 (1989) 683.

26. N. Moeller, B. Zwiebach, Dynamics with Infinitely Many Time Derivatives and Rolling Tachyons, JHEP 0210 (2002) 034, hep-th/MolZw.

27. P.H. Frampton, Y.Okada, Effective scalar field theory ofp-adic string, Phys.Rev. D37 (1988) 3077.

28. L. Brekke, P.G.O. Freund, M. Olson, E. Witten, Non-archimedian string dynamics // Nucl.Phys. B302 (1988) c. 365.

29. I.Ya. Arefeva, D.M. Belov, A.S. Koshelev, P.B. Medvedev, Tahyon Condensation in the Cubic Superstring Field Theory // Nucl.Phys B, 638 (2002) c. 3-20

30. I.Ya. Arefeva, D.M. Belov, A.S. Koshelev, P.B. Medvedev, Gauge In-variance and Tahyon Condensation in the Cubic Superstring Field Theory, Nucl.Phys B, 638:21-40, 2002, hep-th/0107197.

31. H.Yang, Stress tensors in p~adic string theory and truncated OSFT, hep-th/0209197.

32. Ya. Volovich, Numerical Study of Nonlinear Equations with Infinite Number of Derivatives // J.Phys. A36 (2003) c. 8685-8702

33. B.C. Владимиров, Я.И. Волович, О нелинейном уравнении динамики в теории р-адической струны, ТМФ, 2004, 138 (3), 297-309.

34. B.C. Владимиров, О нелинейном уравнении р-адической открытой струны для скалярного поля, Доклад на конференции, посвященной 100-летию С.М. Никольского, 2005.

35. JI.B. Жуковская, Итерационный метод решения нелинейных интегральных уравнений, описывающих роллинговые решения в теории струн, ТМФ, 2006, 146 (3), 402-409.

36. A.Sen, Time and tachyon, hep-th/0209122.

37. W.Taylor, D-brane effective field theory from string field theory, Nucl.Phys. В 585 (2000) 171, hep-th/0001201.

38. E. A. Bergshoeff, M. de Roo, Т. C. de Wit, E. Eyras and S. Panda, T-duality and Actions for Non-BPS D-branes, JHEP 0005, 009 (2000), hep-th/0003221.

39. M. R. Garousi, Tachyon couplings on non-BPS D-branes and Dirac-Born-Infeld action; Nucl. Phys. В 584, 284 (2000), hep-th/0003122.

40. G.W. Gibbons, Thoughts on Tachyon Cosmology, Class.Quant.Grav. 20 (2003) S321-S346, hep-th/0301117.

41. Andrei V. Frolov, Lev Kofman, Alexei A. Starobinsky, Prospects and problems of tachyon matter cosmology, Phys.Lett.B545 (2002) 8-16, hep-th/0204187;

42. Gary N. Felder, Lev Kofman, Alexei Starobinsky, Caustics in tachyon matter and other Born-Infeld scalars. JHEP 0209 (2002) 026, hep-th/0208019.

43. V. Sahni, Y. Shtanov, Brane World Models of Dark Energy JCAP 0311:014,2003, astro-ph/0202346;

44. Ph. Brax, C. van de Brack and A.-C. Davis, Brane world cosmology, Rept.Prog.Phys.67:2183-2232, hep-th/0404011;

45. B. Mclnnes, The phantom divide in string gas cosmology, hep-th/0502209.

46. I.Ya.Aref'eva, Nonlocal String Tachyon as a Model for Cosmological Dark Energy, astro-ph/0410443.

47. S.J. Perlmutter et al., Measurements of Omega and Lambda from 42 High-Redshift Supernovae, Astroph. J. 517 (1999) 565, astro-ph/9812133.

48. A. Riess et al., Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant, Astron. J. 116 (1998) 1009, astro-ph/9805201;

49. A. Riess et al., Supernova Search Team, Astron. J. 607 (2004) 665, astro-ph/0402512.

50. V. Sahni, Dark Matter and Dark Energy, astro-ph/0403324.

51. P. Frampton, Dark energy a pedagogic review, hep-th/0409166.

52. Caldwell R R, A Phantom Menace? Cosmological consequences of a dark energy component with super-negative equation of state, Phys. Lett. В 545 (2002) 23, astro-ph/9908168.

53. Mclnnes B, The dS/CFT Correspondence and the Big Smash, JHEP 0208 (2002) 029, hep-th/0112066.

54. Caldwell R R, Kamionkowski M and Weinberg N N, Phantom Energy and Cosmic Doomsday, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 071301, astro-ph/0302506.

55. S. Hawking and G.F.Ellis The Large Scale Structure of Space-Time, 1973

56. V.K. Onemli, R.P. Woodard, Super-Acceleration from Massless, Minimally Coupled Class.Quant.Grav. 19 (2002) 4607, gr-qc/0204065;

57. V. K. Onemli, R. P. Woodard Quantum effects can render wj-1 on cosmological scales, Phys.Rev. D70 (2004) 107301, gr-qc/0406098.

58. S.M.Carroll, M.Hoffman and M.Trodden, Can the dark energy equation-of-state parameter w be less than -1? , Phys. Rev. D 68 (2003) 023509, astro-ph/0301273.

59. A.Melchiorri, L.Mersini, C.J. Odman and Trodden M, The State of the Dark Energy Equation of State, Phys. Rev. D 68 (2003) 043509, astro-ph/0211522.

60. T.Padmanabhan, Cosmological Constant the Weight of the Vacuum, Phys.Rept. 380 (2003) 235-320, hep-th/0212290.

61. Bo Feng, Xiulian Wang, Xinmin Zhang, Dark Energy Constraints from the Cosmic Age and Supernova, astro-ph/0404224;

62. Bo Feng, Mingzhe Li, Yun-Song Piao, Xinmin Zhang, Oscillating Quintom and the Recurrent Universe, astro-ph/0407432.

63. S. Nojiri and S.Odintsov, Properties of singularities in (phantom) dark energy universe, Phys.Rev.D71, 063004, 2005, hep-th/0501025.

64. W.Fang, H.Q.Lu, Z.G. Huang and K.F.Zhang, Phantom Cosmology with Born-Infeld Type Scalar Field, hep-th/0409080.

65. I.Ya.Aref'eva, A.Koshelev and S.Vernov, Exactly Solvable SFT Inspired Phantom Model, astro-ph/0412619.

66. Sean M. Carroll, Vikram Duvvuri, Mark Trodden, Michael S. Turner, Is Cosmic Speed-Up Due to New Gravitational Physics? Phys.Rev. D70 (2004) 043528

67. A.D. Dolgov, M. Kawasaki, Can modified gravity explain accelerated cosmic expansion, Phys.Lett. B573 (2003) 1-4

68. M. E. Soussa, R. P. Woodard, The Force of Gravity from a Lagrangian containing Inverse Powers of the Ricci Scalar, Gen.Rel.Grav. 36 (2004) 855-862

69. G. Allemandi, A. Borowiec, M. Francaviglia, Accelerated Cosmological Models in First-Order Non-Linear Gravity, Phys.Rev. D70 (2004) 043524;

70. G. Allemandi, A. Borowiec, M. Francaviglia, Accelerated Cosmological Models in Ricci squared Gravity, Phys.Rev. D70 (2004) 103503

71. J. W. Moffat, Modified Gravitational Theory as an Alternative to Dark Energy and Dark Matter, astro-ph/0403266

72. J. D. Barrow, Sudden Future Singularities, gr-qc/0403084 Class.Quant.Grav. 21 (2004) L79-L82.

73. M.C.B. Abdalla, S. Nojiri, S. D.Odintsov, Consistent modified gravity: dark energy, acceleration and the absence of cosmic doomsday, Class.Quant.Grav. 22 (2005) L35.

74. I.Ya. Aref'eva, L.V. Joukovskaya and A.S. Koshelev, Time Evolution in Superstring Field Theory on non-BPS brane.I. Rolling Tachyon and Energy-Momentum Conservation, JHEP 0309 (2003) 012;

75. I.Ya. Aref'eva, Rolling tachyon in NS string field theory, Fortschr. Phys., 51 (2003) 652;

76. I.Ya. Aref'eva and L.V. Joukovskaya, Rolling Tachyon on non-BPS brane, Lectures given at the II Summer School in Modern Mathematical Physics, Kopaonik, Serbia, 1-12 Sept. 2002; SFIN, XVI, A1 (2003) 369-394.

77. E. Witten, Noncommutative geometry and string field theory, Nucl. Phys. B268 (1986) 253; E. Witten, Interacting field theory of open superstrings, Nucl.Phys. B276 (1986) 291.

78. R.R. Metsaev, Ch. B. Thorn, A.A. Tseytlin, Light cone superstring in ADS space-time, Nucl.Phys.B596 (2001) 151-184.

79. R.R. Metsaev, Type IIB Green-Schwarz superstring in plane wave ramond-ramond background, Nucl.Phys.B625 (2002) 70-96.

80. K. Ohmori, Toward Open-Closed String Theoretical Description of Rolling Tachyon, Phys.Rev. D69 (2004) 026008.

81. L. Joukovskaya and Ya. Volovich, Energy Flow from Open to Closed Strings in a Toy Model of Rolling Tachyon, math-ph/0308034.

82. V. Forini, G. Grignani, G. Nardelli, A new rolling tachyon solution of cubic string field theory, JHEP 03 (2005) 079, hep-th/0502151.

83. DeWolfe О., Freedman D.Z., Gubser S.S., Karch A., Modeling the fifth dimension with scalars and gravity, Phys.Rev. D62 (2000) 046008, hep-th/9909134.

84. Edward E. Boos, Yuri S. Mikhailov, Mikhail N. Smolyakov, Igor P. Volobuev, .Energy scales in a stabilized brane world Nucl.Phys.B717:19-33,2005

85. Alexey S. Mikhailov, Yuri S. Mikhailov, Mikhail N. Smolyakov, Igor P. Volobuev, Constructing stabilized brane world models in five-dimensional Brans-Dicke theory, hep-th/0602143

86. I.Ya. Aref'eva, D.M. Belov, A.A. Giryavets, A.S. Koshelev, P.B. Medvedev, Noncommutative Field Theories and (Super)String Field Theories, hep-th/0111208.

87. P. West, The Spontaneous Compactification of the Closed Bosonic String, Phys.Lett. B548 (2002) 92-96.

88. J.Kluson, Proposal for non-BPS D-brane action, hep-th/0004106.

89. I.Ya. Aref'eva, P.B. Medvedev and A.P. Zubarev, New representation for string field solves the consistency problem for open superstring field, Nucl.Phys. B341 (1990) 464.

90. C.R. Preitschopf, C.B. Thorn and S.A. Yost, Superstring Field Theory, Nucl.Phys. B337 (1990) 363.

91. A. Sen, Tachyon Dynamics in Open String Theory //Int. J. Mod. Phys. A20 (2005) c. 5513-5656, hep-th/0410103

92. R.A.Knop et al., New constraints on шт, uj\, and w from an independent set of eleven high redshift supernovae observed with HST, astro-ph/0309368.

93. M. Tegmark al., The 3-d power spectrum of galaxies from the SDSS, Astroph. J. 606 (2004) 702-740, astro-ph/0310723.

94. D. N. Spergel et al., First Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters, Astroph. J. Suppl. 148 (2003) 175, astro-ph/0302209.

95. H. Hata, S.Moriyama, Boundary and Midpoint Behaviors of Lump Solutions in Vacuum String Field Theory, hep-th/0504184.

96. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Теория поля. M. : Наука. Физматлит, 1988.

97. Nicolas Moeller, Martin Schnabl, Tachyon condensation in open-closed p-adic string theory, JHEP 2004, 0401, 011.

98. Л.В.Жуковская Сохранение энергии для р-адических и струнных уравнений, Труды МИАН, т. 245 (2004) 98-105.

99. L. Brekke and P.G.O. Freund, p-Adic Numbers Physics, Phys. Rep. (Rev. Set. Phys. Lett.), 1993, 233, N 1, p.1-66.

100. Г.М. Фихтенгольц, Основы математического анализа, Физматлит, 2002.

101. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин, Элементы теории функций и функционального анализа, "НаукаМосква, 1976.

102. I.Ya. Aref'eva, L.V. Joukovskaya, Time Lumps in Nonlocal Stringy Models and Cosmological Applications, // JHEP 0510 (2005) c. 087

103. L. Joukovskaya, Dynamics with Infinite Number of Derivatives for Level Truncated Non-Commutative Interaction, in Proc. of 26th Conference: QP and IDA, Levico, Itally (2005).

104. V. Forini, G. Grignani, G. Nardelli, A solution to the 4-tachyon off-shell amplitude in cubic string field theory hep-th/0603206

105. H. Singh, (A)symmetric Tachyon Rolling in de Sitter Spacetime: A universe devoid of Planck density // Nucl.Phys. B734 (2006) c. 169184

106. E. Coletti, I. Sigalov, W. Taylor, Taming the Tachyon in Cubic String Field Theory // JHEP 0508 (2005) c. 104

107. T. Lee, G.W. Semenoff, Fermion Representation Of The Rolling Tachyon Boundary Conformal Field Theory // JHEP 0505 (2005) c. 072

108. С. Maccaferri, R.J. Scherer Santos, D.D. Tolla, Time-localized projectors in String Field Theory with E-field // Phys.Rev. D71 (2005) c. 066007

109. A. Sen, Tachyon Dynamics in Open String Theory // Int.J.Mod.Phys. A20 (2005) c. 5513-5656

110. L. Bonora, C. Maccaferri, R.J.Scherer Santos, D.D.Tolla, Exact time-localized solutions in Vacuum String Field Theory // Nucl.Phys. B715 (2005) c. 413-439

111. M. Fujita, H. Hata, Rolling Tachyon Solution in Vacuum String Field Theory // Phys.Rev. D70 (2004) c. 086010

112. Y. Nakayama, Liouville Field Theory A decade after the revolution // Int.J.Mod.Phys. A19 (2004) 2771-2930

113. A. Sen, Moduli Space of Unstable D-branes on a Circle of Critical Radius // JHEP 0403 (2004) c. 070

114. M. R. Garousi, S-matrix elements and covariant tachyon action in type 0 theory // Nucl.Phys. B705 (2005) c. 212-238

115. A. Sen, Open-Closed Duality: Lessons from Matrix Model // Mod.Phys.Lett. A19 (2004) c. 841-854

116. M. R. Garousi, S-matrix elements and off-shell tachyon action with non-abelian gauge symmetry // JHEP 0312 (2003) c. 036

117. A. Sen, Open-Closed Duality at Tree Level // Phys.Rev.Lett. 91 (2003) c. 181601

118. Y. Demasure, R.A. Janik, Backreaction and the rolling tachyon an effective action point of view // Phys.Lett. B578 (2004) c. 195-202

119. I.R. Klebanov, J. Maldacena, N. Seiberg, D-brane Decay in Two-Dimensional String Theory // JHEP 0307 (2003) c. 045

120. A. Sen, Open and Closed Strings from Unstable D-branes // Phys.Rev. D68 (2003) c. 106003

121. N. Moeller, M. Schnabl, Tachyon condensation in open-closed p-adic string theory // JHEP 0401 (2004) c. 011

122. D. Gaiotto, N. Itzhaki, L. Rastelli, Closed Strings as Imaginary D-branes // Nucl.Phys. B688 (2004) c. 70-100

123. M. Fujita, H. Hata, Time Dependent Solution in Cubic String Field Theory // JHEP 0305 (2003) c. 043

124. G.-B. Zhao, J.-Q. Xia, M. Li, B. Feng, X. Zhang, Perturbations of the Quintom Models of Dark Energy and the Effects on Observations // Phys.Rev. D72 (2005) c. 123515

125. J.-Q. Xia, G.-B. Zhao, B. Feng, H. Li, X. Zhang, Observing Dark Energy Dynamics with Supernova, Microwave Background and Galaxy Clustering // Phys.Rev. D73 (2006) c. 063521

126. В. Mclnnes, The Most Probable Size of the Universe // Nucl.Phys. B730 (2005) c. 50-81

127. G. Allemandi, M. Francaviglia, M.L. Ruggiero, A. Tartaglia, Post-Newtonian Parameters from Alternative Theories of Gravity // Gen.Rel.Grav. 37 (2005) c. 1891-1904

128. Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия, Москва, Наука, 1986

129. Буслаев B.C. Вариационное исчисление, JL: Изд-во ЛГУ, 1980.