Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для интегральных уравнений Вольтерра тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Додонов, Николай Юрьевич

• Додонов, Николай Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Додонов, Николай Юрьевич

Оглавление

Введение

ГЛАВА 1. НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА БЕЗ ПАРАМЕТРА.

§1. Постановка задачи

§2. Нелокальная сходимость метода простой итерации

§3. Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича

§4. Нелокальные оценки быстроты сходимости К-метода

Добавление к главе 1

ГЛАВА 2. НЕЛОКАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА-КАНТОРОВИЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА С ПАРАМЕТРОМ

§1. Постановка задачи

§2. Общий промежуток сходимости К-метода для множества возможных значений параметра

§3. Оценка равномерной близости нормированных мер

§4. Аппроксимация функций распределения решения уравнения Вольтерра функциями распределения элементов последовательности К-метода

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелокальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для интегральных уравнений Вольтерра»

Введение.

Известно [26], что интегральные уравнения Вольтерра обладают рядом особенностей. Например, если интегральный оператор задан на пространстве непрерывных функций с вир-нормой на основном промежутке [0,Т], то можно говорить о максимальном промежутке существования решения уравнения при определенных ограничениях на ядро оператора. Пусть для решения уравнения Вольтерра применяется метод Ньютона-Канторовича (К-метод), [22]. Тогда, учитывая выше сказанное, можно поставить следующий вопрос о выборе начального приближения жо(£), ^ £ начиная с которого К-метод будет сходиться в вир-норме: существует ли для выбранной функции хо(-) число Т\ такое, что г) О < Т\ ^ Т, п) в вир-норме отрезка [О, Т]] К-метод сходится. Применяя стандартные рассуждения, достаточно просто (при разумных ограничениях на ядро и его производную Фреше) ответить положительно на такой вопрос в локальном смысле: достаточно малое такое Т\ существует для любого начального приближения жо(-). Однако для ряда вопросов полезно знать информацию о величине максимального промежутка сходимости К-метода для выбранного начального приближения, то есть о промежутке [0, Т(жо))> гДе Т(хо) - точная верхняя грань рассмотренных выше Т\. Заметим, что здесь мы сталкиваемся с нелокальной сходимостью, поэтому исследование величины Т(хо) уже не столь просто, как для Т\. Можно пойти еще дальше и построить точную нижнюю грань Тд для всех таких Т(хо). Тогда на промежутке [О, Т2], Т2 любое, строго меньше Тд (не обязательно Тд ф 0) К-метод будет сходиться в его вир-норме для любого начального приближения, то есть глобально сходиться. Опять-таки имеется ряд вопросов, для которых не бесполезна информация о величине Тд. Следует отметить, что в известных автору работах, например [31-42], такая постановка вопроса о выборе начального приближения не достаточно исследована.

Подчеркнем, что такой подход к начальному приближению принципиально важен, если решается семейство интегральных уравнений Вольтерра с распределенным параметром а. Это озна-

чает [20], что параметр изменяется в соответствии с некоторой борелевской мерой, заданной на пространстве его возможных значений (носителе параметра). Тогда функционалы, построенные на решениях семейства уравнений, будут индуцировать на прямой К. соответствующие меры-образы исходной нормированной меры, которые являются одним из основных объектов изучения при таком подходе к семейству операторных уравнений. Но все это предполагает существование общего промежутка разрешимости рассматриваемых уравнений для почти всех значений параметра. Если семейство решений ищется с использованием К-метода, то, владея для почти всех а информацией о соответствующих значениях Т(хо(-,ск)), можно в качестве общего промежутка взять точную нижнюю грань всех Т(хо(-, а)) по а.

Сделаем краткий обзор полученных результатов. В §1 главы 1 формулируется постановка задачи для интегрального уравнения Вольтерра, ядро которого принимает значения в банаховом пространстве X. Исследования проводятся в рамках пространства СХ непрерывных функций на отрезке [0, Т] со значениями в X и соответствующей sup-нормой. Приводятся примеры, отображающие влияние начального приближения для итерационного метода на величину промежутка сходимости.

В §2 на примере метода простой итерации (ПИ-метод) в рамках сформулированных условий на ядро подробно разрабатывается метод исследования, являющийся основным для изучения К-метода. Показано, что максимальный промежуток сходимости ПИ-метода для выбранного начального приближения всегда открыт в [0,Т]. Однако обнаружено, что если для ядер без последействия sup ||жп(Т(жо))|| — сю (жп(') - итерационная последовать z+

тельность ПИ-метода), что характерно и для максимального промежутка существования решения, то для ядер с последействием такого эффекта в общем случае уже не наблюдается, для чего построен соответствующий пример. В терминах функций сравнения для ядра, получены интегральные оценки для Т{хо)и Тд. Что касается топологической структуры промежутка [0,Тд), то на примерах выяснено, что возможны все три случая: Тд — 0,

[0,Гв) = [0,Г9], [0, Тд) = [0, Тд).

В §3 исследуется в рамках сформулированных условий на ядро и его производную Фреше нелокальная сходимость К-метода. Исследования проводятся в терминах соответствующих функций сравнения, построенных для ядра и производной Фреше. Помимо идей, развитых в §2, применяется интегральное неравенство Гронуолла. Получены оценки для величин Т(хо) и Тд.

В §4 в условиях, когда производная Фреше ядра удовлетворяет условию Липшица с показателем а (Е (0,1] найдены оценки радиусов шаров осуществимости и влияния для К-метода. Отличием полученных оценок от имеющихся является то, что они выписаны в прямых терминах ядра и его производной Фреше, без использования резольвенты последней. В заключительной части параграфа, используя полученные результаты, показана возможность построения априорной оценки решения, что позволяет с помощью ПИ-метода за конечное число итераций попасть в шар осуществимости К-метода.

В добавлении к первой главе приведено усиление оценок величин Т(хо) и Тд для ПИ-метода, полученных в §2. Для этого построено соответствующее уравнение сравнения. Однако показано, что такой подход не приводит к цели при исследовании сходимости К-метода.

В §1 главы 2 содержится постановка задачи исследования сходимости К-метода для семейства интегральных уравнений Воль-терра с распределенным параметром.

В §2 доказаны теоремы существования общего промежутка сходимости К-метода для носителя параметра. Отдельно рассмотрены случаи компактного и произвольного носителей. Для компактного носителя получена оценка величины такого промежутка. Найдены оценки радиусов объемлющих шаров.

В §3, применяя идеи сглаживания, получено неравенство для оценки близости функций распределения в метрике Колмогорова. Приведено применение неравенства для сравнения функций распределения значений нелинейного преобразования случайного элемента и значений линейной части такого преобразования.

В §4 получена оценка быстроты сходимости функций распределения значений норм сечения элементов итерационной последовательности К-метода к соответствующим функциям распределения решений уравнений Вольтерра. Рассмотрен случай компактного носителя. Указан способ сведения общего случая к компактному носителю, приемлимый с точки зрения рассматриваемой задачи аппроксимации. Используя идеи Чаплыгина о дифференциальных неравенствах, для частного случая ядра доказана теорема, позволяющая эффективно проверять условия применимости найденной оценки быстроты сходимости. Приведен пример применения результатов второй главы.

В заключении указаны некоторые возможности применения полученных теоретических результатов.

Результаты, полученные в диссертации, нашли отражение в работах [1-12].

Общеупотребительные математические обозначения (М, и т.д.) в основном тексте используются без дополнительных уточнений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Додонов, Николай Юрьевич, 1998 год

Литература

[1] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю., Шишковский С.Ю. О нелинейных случайных эффектах в астродинамике. // Бюллетень ИТА, т.XV, №9, 1986, с. 505-510.

[2] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю., Шишковский С.Ю. Построение законов распределения нелинейных функций случайного вектора. // Дифференциальные уравнения в частных производных. Межвуз. сб. научн. трудов., Л., 1986, с. 107-111.

[3] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю., Шишковский С.Ю. О функциях распределния решений случайных уравнений движения гироскопических устройств. // Вестник КПП, выпуск 17, Киев, 1987, с. 21-27.

[4] Додонов Н.Ю. О глобальной сходимости и точности метода Ньютона-Канторовича для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов четвертой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям, Руссе, Болгария, 1989, с. 99.

[5] Додонов Н.Ю. Оценка расстояния между функциями распределения по близости случайных величин. // Деп. в ВИНИТИ, №7015-В89, 1989, 10 с.

[6] Додонов Н.Ю. Глобальная сходимость метода квазилинеаризации для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Деп. в ВИНИТИ, №7016-В89, 1989, 8 с.

[7] Додонов Н.Ю. Уточнение оценки скорости сходимости метода квазилинеаризации для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Деп. в ВИНИТИ, №7013-В89, 1989, 8 с.

[8] Дегтярев В.Г., Додонов Н.Ю. Глобальная сходимость метода Ньютона-Канторовича для случайных обыкновенных дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов Всесоюзной конференции "Применение статических методов в производстве и управлении", Пермь, 1990, с. 131.

[9] Додонов Н.Ю. О глобальной сходимости и точности метода Ньютона-Канторовича для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Труды конференции КДУ-4, Руссе, Болгария, 1991.

[10] Додонов Н.Ю., Комиссаров А.Е., Княжицкий В.В. Численно-аналитический метод исследования вероятностных распределений решений случайных линейных дифференциальных уравнений. // Труды междунар. конференции "Математика в вузе - стандарты образования - базовая подготовка", Кострома - С.Петербург, 1996, с. 164-165.

[11] Додонов Н.Ю., Кондратьев М.С. Возможности применения предикатор-корректор методов для численного решения случайных дифференциальных уравнений. // Труды междунар. конференции "Математика в Вузе", Псков - С.-П., 1997, с. 160-161.

[12] Додонов Н.Ю. Итерационный метод выбора начального приближения для решения ОДУ методом Ньютона-Канторовича. // Труды междунар. конференции "Математика в Вузе", С.Петербург, 1998, с. 211-212.

[13] Чаплыгин С.А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. // M.-JL, Гос. изд-во техн.-теор. л-ры, 1950, 102 с.

[14] Красносельский М.А., Вайнико Г.М., Забрейко П.П., Рутиц-кий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. // М., Наука, 1969, 455 с.

[15] Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. // М., Наука, 1975, 510 с.

[16] Бурбаки Н. Функции действительного переменного. // М., Наука, 1965, 424 с.

[17] Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. // М., Наука, 1977, 351 с.

[18] Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. // М., Мир, 1978, 461 с.

[19] Хенгартнер В., Теодореску Р. Функции концентрации. // М., Наука, 1980, 172 с.

[20] Кириллов П.В. Случайные уравнения. // Кишинев, Штиинца, 1982, 124 с.

[21] Бхаттачария Р., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. // М., Наука, 1982, 286 с.

[22] Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. // М., Наука, 1984, 750 с.

[23] Адомиан Дж. Стохастические системы. // М., Мир, 1987, 376 с.

[24] Клебанов Л.Б., Какосян А.В., Рачев С. Т. Количественные критерии сходимости вероятностных мер. // Ереван, Айа-стан, 1988, 248 с.

[25] Приближенные методы решения операторных уравнений. // Межвуз. сб. научн. трудов, Иркутск, ИГПИ, 1992.

[26] Gripenberg G., Londen S.-O., Staffans О. Volterra Integral and Functional Equations. // Cambridge University Press, 1990, 701 p.p.

[27] Zeidler E. Applied functional analysis. Main principles and their applications. // Springer-Verlag, New-York, 1995, 404 p.p.

[28] Le Cam L. On the distribution of sums of independent random variables. // In: Bernoulli, Bayes, Laplace (anniversary volume). Berlin; Heidelberg; N. Y.: Springer, 1965, p. 179-202.

Паулаускас В. И. О неравенстве сглаживания. // Литовск. ма-тем. сб., т. 11, №4, 1971, с. 861-866.

Bellman R. On the representation of the solution of a class of stochastic differential equations. // Proc. Amer. Math. Soc., 9(1958), p. 326-327.

Argyros Ioannis K. A note on Newton's method. // Rev. Acad, cienc. exactas, fis., quim. у natur. Zaragoza, 1990, (45), p. 37-45.

Meyer P. A unifying theorem on Newton's method. // Numer. Funct. Anal, and Optimiz., 1992, (13), №5-6, p.463-473.

Argyros I. Some methods for finding error bounds for Newtonlike methods under mild differentiability condition. // Acta math, hung., 1993, (61), №3-4, p. 183-191.

Argyros I. Newton-like methods in partially ordered Banach spaces. // Approxim. Theory and Appl., 1993, (9), №1, p. 1-9.

Демидович H.T., Забрейко П.П., Лысенко Ю.В. Замечание о методе Ньютона-Канторовича для нелинейных уравнений с гельдеровскими линеаризациями. // Вести АН Беларуси, Сер. физ.-мат., 1993, №3, с. 22-27.

Афанасьева Т.Н., Цалюк З.Б. Верхнее решение нелинейного уравнения Вольтерра. // Куб. ун-т, Деп. ВИНИТИ, №1193-В94, 1994, 19 с.

Galperin A., Waksman Z. Regular smoothness and Newton's method. // Numer. Funct. Anal, and Optimiz., 1994, (15), №7-8, p. 813-858.

Argyros I. Results on Newton methods: Part 1. A unified approach for constructing perturbed Newton-like methods in Banach space and their applications. // Appl. Math, and Comput., 1996, (74), №2-3, p. 119-141.

Argyros I. Results on Newton methods: Part 2. Perturbed Newton-like methods in generalized Banach spaces. // Appl. Math, and Comput., 1996, (74), №2-3, p. 143-159.

[40] Argyros I. Extending the region of convergence for a certain class of modified iterative methods of Banach spaces and applications. // Rev. Acad, cienc. exactas, fis, quim. у natur. Zaragoza, 1997, (52), p. 17-21.

[41] Pandit Sudhakar G. Quadratically converging iterative schemes for nonlinear Volterra integral equations and an application. // J. Appl. Math, and Stochast. Anal., 1997, (10), №2, p. 169-178.

[42] Бухгейм A. JI., Калинина Н.И. Глобальная сходимость метода Ньютона в обратных задачах восстановления памяти. // Сиб. матем. журнал, 1997, (38), №5, с. 1018-1033.