Полюсный метод Ньютона тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Петров, Михаил Юрьевич

• Петров, Михаил Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петров, Михаил Юрьевич

Введение.

Глава 1. Одномерный полюсный метод Ньютона.

1.1. Построение метода и исследование его сходимости.

1.2. О параметрах метода.

1.3. Численные примеры.

1.4. Выводы.

Глава 2. Полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.

2.1. Перенос метода на системы из двух уравнений (векторный подход)

2.2. Обобщение метода на случай систем произвольной размерности.

2.3. Сходимость полюсного метода Ньютона в «-мерных пространствах.

2.4. Численные примеры.

2.5. Выводы.

Глава 3. Полюсный метод Ньютона в банаховых пространствах.

3.1. Формальное построение полюсного метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и его представления в

3.2. Сходимость обобщенного полюсного метода Ньютона.

3.3. Выводы.

Глава 4. О применении полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам.

4.1. Полюсные методы секущих.

4.2. Полюсный метод Ньютона с векторным параметром.

4.3. Аппроксимационный аналог полюсного метода Ньютона с векторным параметром.

4.4. Выводы.

Глава 5. Примеры применения полюсных методов к решению прикладных задач.

5.1. Численные эксперименты с интегральными уравнениями Гаммерштейна.

5.2. Применение полюсного метода к решению уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

5.3. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Полюсный метод Ньютона»

При решении многих прикладных задач на каком-то этапе возникает необходимость в нахождении корней нелинейных скалярных уравнений вида = 0 ' ' (0.1) или систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, представляемых уравнением

F(x) = 0, (0.2) где F: Rn -> Rn — векторная функция векторного аргумента. Изначально решаемые задачи при математической постановке часто сами формулируются в виде задачи отыскания решений нелинейного операторного уравнения

F(x) = 0, (0.3) где в общем случае F — нелинейный оператор, действующий из некоторого множества Q банахова пространства X в нормированное пространство Y. Очевидно, что уравнения вида (0.1) являются частным случаем систем (0.2) при п = 1, а системы (0.2), в свою очередь, можно рассматривать как уравнения (0.3) при X = Y = R„.

Главное место среди известных методов приближенного решения уравнений (0.1)-(0.3) принадлежит итерационным методам. Без описания методов решения уравнений (0.1), (0.2) не обходится никакая учебная и справочная литература по современным численным методам [1, 2, 5, 11-13, 18, 20, 24, 28-31, 38, 47, 56, 66], а методы решения уравнений (0.3) содержатся во многих учебниках по функциональному анализу [40, 58, 67, 68 и др.]. Вопросам теории и применения итерационных методов посвящено множество монографий (см., например, [25, 35, 39, 49, 50, 64]), огромное количество научных статей.

Из обширного списка известных на сегодняшний день итерационных методов решения уравнений (0.1) выделим метод касательных, предложенный Ньютоном еще в 1669 году и позже, в 1690 году, Рафсоном. Названный в честь знаменитого ученого-первооткрывателя метод Ньютона (Ньютона-Рафсона) отличается идейной простотой, геометрически наглядной интерпретацией и вторым порядком сходимости итерационной последовательности, которая при заданном начальном элементе х0 определяется рекуррентной формулой xM=xk-j^, к = 0,1,2, . (0.4)

Теоретические результаты исследований и .рекомендации по практическому применению данного метода можно найти почти в любой литературе по вычислительной математике. Несмотря на достаточно высокую эффективность [64] и вычислительную устойчивость [3, 25, 50, 64, 79], метод Ньютона (как, впрочем, и любой другой итерационный метод) не лишен недостатков, среди которых: необходимость вычисления производной на каждом итерационном шаге, линейная сходимость в случае кратных корней [62, 85], сугубо локальный характер сходимости, подразумевающий знание достаточно близкого к корню начального приближения. В связи с этим были созданы некоторые модификации метода:

- упрощенный метод Ньютона [24], предполагающий вычисление производной только в точке начального приближения, а также реализации метода Ньютона, где производная вычисляется точно не на каждой итерации, а через некоторое их число [93]. Цель таких модификаций — уменьшение вычислительных затрат, однако при этом теряется квадра-тичность скорости сходимости итерационных последовательностей (например, упрощенный метод Ньютона, будучи частным случаем метода простых итераций, обладает лишь скоростью сходимости геометрической прогрессии [11, 13]);

- конечноразностные модификации (конечноразностный метод Ньютона и метод секущих [5, 11, 13, 25, 50], метод Стеффенсена [50, 62], метод экспоненциального спуска [118] и некоторые другие методы подобного типа (см., например, [117, 119])). В итерационных формулах таких модификаций производная заменяется некоторым аппроксимирующим ее разностг -г * v к к~х' к -1 2 лА+1 — лк sr. \ г/. \ ' ~~ ' ' ным отношением и возникающие при этом итерационные методы различаются, в основном, выбором формулы и шага дискретизации производной. Например, метод секущих

-**-i) /(** )"/(**-!) получается из метода Ньютона (0.4) на основе простейшего приближенного равенства

•./ w. f(xk+h)-f(xk) h при h = хкх -хк, а метод Стеффенсена — из него же при h = f(xk). В некоторых случаях подобный подход повышает вычислительную эффективность метода с сохранением высокой скорости сходимости (от сверхлинейной до квадратичной); параметрические модификации (метод Ньютона-Шрёдера [11, 13, 62], методы [115, 116, 119] и др.). Здесь введение параметров в итерационную формулу метода Ньютона вместе с соответствующим правилом их выбора позволяют как увеличить быстроту сходимости классического метода Ньютона (например, в случае кратных корней),'так и повысить его устойчивость к выбору начального приближения; модификации, полученные суперпозицией метода Ньютона и какого-либо другого итерационного процесса. Эти модификации либо сочетают быструю сходимость метода Ньютона с «глобальной», но обычно более медленной сходимостью другого метода (например, метода дихотомии), расширяя таким образом границы применимости классического метода Ньютона при сохранении достаточно высокой скорости сходимости последовательности приближений к корню (гибридные методы) [11, 50], либо являются сложными многоступенчатыми или вложенными итерационными процессами [64, 91, 92, 99, 104, 114], в которых результирующие итерационные последовательности имеют более высокий порядок сходимости по сравнению с ньютоновскими. Например, в [104] строится метод достаточно простого вида r -v/(**) k — 0 1 9 м г хк и обосновывается его кубическая сходимость. Цена за повышение порядка — лишнее вычисление производной на каждом итерационном шаге. Существуют также и стоящие в стороне от перечисленных идейно близкие методу Ньютона методы порядка сходимости выше второго, но они, как правило, содержат старшие производные заданной функции [5, 37, 64, 73, 75, 96 и др.]. Таковыми являются, например, известные методы Чебышева-Шрёдера и Хэлли.

Подытожив сложившуюся ситуацию с различными модификациями одномерного метода Ньютона, отметим, что большинство из полученных современными авторами результатов, укладывается в общую теорию итерационных функций, описанную в замечательной монографии Трауба [64].

Безусловный интерес представляет повышение вычислительной эффективности итерационных методов, иначе, получение более точных результатов без дополнительных вычислений функций и их производных. Одно направление такого повышения — это ускорение сходимости итерационных последовательностей за счет построения «паразитирующих» на них более быстро сходящихся к тому же пределу последовательностей. Классическим примером тому служит А2-преобразование Эйткена, а также метод Вегстейна [11, 13]. Подробный обзор на эту тему можно найти в работе [87]; к сожалению, из 155 литературных источников там нет ни одного русскоязычного. Другое направление, развиваемое в настоящей диссертации, — это создание на базе хорошо зарекомендовавших себя классических методов таких модификаций, которые бы успешно с ними конкурировали по части вычислительной эффективности.

Для решения систем нелинейных уравнений (0.2) обобщение метода Ньютона (0.4) имеет вид • x<4+i) = x(4)-[f'(xw)]"v(xw), k = 0, 1, 2, . (0.5)

Так же, как и в одномерном случае, метод (0.5) является одним из наиболее привлекательных и для исследователей, и для тех, кому приходится решать реальные задачи, сводящиеся к системам вида (0.2). Метод Ньютона здесь обладает в общем смысле теми же достоинствами и недостатками, что и метод (0.4), но переход от размерности п-1 к п > 2 значительно усложняет задачу успешного и эффективного его применения, внося в нее дополнительные нюансы. А именно:

- при наличии многочисленных утверждений о сходимости метода Ньютона (см., например, [11, 13, 24, 25, 49, 88, 120]) выбор начального приближения х(0), удовлетворяющего требуемым ими совокупностям достаточных условий сходимости, сопряжен со значительными трудностями;

- построение на каждом шаге матрицы Якоби и ее обращение (или решение соответствующей системы линейных уравнений относительно шаговых поправок) при достаточно большой размерности системы (0.2) является вычислительно дорогой задачей, и т.п. Многие из способов модификации метода Ньютона в R„, призванных так или иначе улучшить ситуацию, приведены в известных монографиях Ортеги и Рейнболдта [49] и Дэнниса и Шнабеля [25]. Однако вышеперечисленные проблемы и по сей день остаются актуальными для вычислительной математики. Об этом свидетельствует появление все новых результатов по данной тематике, из которых отметим, например, работы [41, 71, 87, 107, 110]. Особый интерес представляют исследования возможностей применения метода Ньютона к решению систем уравнений с негладкими функциями [94, 95, 113]. Следует заметить, что хотя далеко не все модификации одномерного метода Ньютона можно однозначно обобщить на многомерный случай, переход к большим размерностям порождает свою специфику, с учетом которой можно строить на базе ньютоновского процесса эффективные методы, используя, например, только «одномерную» геометрическую идею. Пример тому — конечноразностные многомерные модификации метода Ньютона [11, 25].

В общей теории приближенных методов имеется ряд фундаментальных результатов. К таковым, наверное, можно отнести основополагающие работы JI.B. Канторовича по методу Ньютона [32-34], которые дали толчок интенсивному изучению различных итерационных методов решения операторных уравнений вида (0.3). Из обширной посвященной этому литературы прошлых лет выделим лишь две монографии [35, 57] и статью [70], а из современной — статьи [65, 83, 84, 78, 79, 81, 97, 98, 100-103, 105] и докторскую диссертацию [72]). Метод Ньютона k = 0, 1, 2, . (0.6) обычно называемый в операторном случае методом Ньютона-Канторовича) часто изучается в рамках семейства более общих методов типа метода Ньютона [72, 77, 82, 120]

1> = х(*> - [а (jc(t>) J' F(x(i)), Ar = 0, 1, 2, (0.7) где A(x(i)):X —> Г — некоторый линейный оператор, каким-либо образом отслеживающий скорость изменения оператора F с увеличением номера к. Основные теоретические результаты об условиях и скорости сходимости таких методов, полученные в последние 30 лет, можно найти в сконцентрированном виде в обзорных статьях [93, 120]. Обобщен на операторный случай и упоминавшийся выше метод секущих; здесь отметим лишь одну старую [63] и одну современную [74] статьи на эту тему.

Проводились исследования и более широких, чтем (0.7), семейств итерационных методов, содержащих в себе метод Ньютона и некоторые его модификации. Речь идет о так называемом усиленном методе Ньютона-Канторовича xlk+l)=xw + Q(xw, Ак), к = 0, 1, 2, ., (0.8) где Ак — линейный оператор, так или иначе аппроксимирующий обратный к производной Фреше оператор, a Q — определенным образом конструируемый по F оператор итерирования [17, 35, 42]. Для случая, когда (0.8) является прямой модификацией метода Ньютона, т.е. основная расчетная формула метода имеет вид x{M)=x(k)-AkF[xw), к = 0, 1, 2, ., (0.9) к построению последовательности операторов Ак, как правило, привлекаются те или иные обобщения известного процесса Шульца итерационного обращения матриц [112]. Исследования получающихся при этом на базе (0.9) методов восходят к работам Ульма [69] и Мозера [108] и далее развиваются в статьях [6, 8, 48, 89, 90, 109, 111 и др.]. При этом с целью «удешевления» одной итерации здесь зачастую прибегают к рекурсии, что приводит к различным комбинированным многоступенчатым процессам, в которых чередуются точные обращения с приближенными обращениями операторов-производных или операторы Ак сохраняются неизменными на одном или нескольких итерационных шагах. Исследования таких процессов можно найти, например, в работах [4, 9, 19, 22, 65].

Не остались без внимания исследователей и случаи, когда, например, прямое применение метода Ньютона некорректно и вместо обратных операторов в методе (0.6) и ему подобных используются псевдообратные и правые обратные операторы [61, 80, 86 и др.]. Ряд работ посвящен непрерывным аналогам метода Ньютона, в которых вместо дискретной переменной к используется непрерывная скалярная переменная изменяющаяся на полуоси [0, +оо) или на отрезке [0, l], и решение х* исходной задачи (0.3) ищется как предел решения соответствующей дифференциальной задачи Коши либо при /->+оо [21, 27], либо при t—>1 [26, 106]. Имеются также предложения сводить уравнение (0.3) в конечномерном случае к уравнениям с частными производными гиперболического типа [43].

Обобщенные итерационные методы и результаты их изучения могут быть естественным образом применены к решению и исследованию конечномерных уравнений вида (0.2), а также других частных случаев уравнений вида (0.3), из и которых наиболее типичными неконечномерными объектами являются нелинейные интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако чаще всего в конкретных пространствах с конкретными свойствами для конкретных задач удается получить более тонкие теоретические результаты, облегчающие реализацию методов [41, 49, 57, 76].

Настоящая диссертация посвящена изучению и обобщению новой параметрической модификации итерационного метода Ньютона решения нелинейных уравнений, предложенной в 1989 году П.В. Вержбицким1 и впоследствии названной полюсным методом Ньютона, которая, как показывается, может превосходить классический метод Ньютона по скорости сходимости и успеш2 ности без привлечения дополнительных вычислений функции и ее производной.

Заметим, что бурное развитие вычислительной техники в последние годы заставляет переосмысливать роли приближенно-аналитических и сугубо численных методов решения различных задач прикладного анализа, отдавая предпочтение последним. Отсюда — преимущественное внимание автора к конечномерным задачам (к которым сразу приводит дискретизация тех или иных задач в бесконечномерных пространствах), наверное, в ущерб исследованиям методов решения операторных и конкретных функциональных уравнений. Такой подход характерен для многих других современных исследователей. Довольно типична ситуация, когда тот или иной метод решения операторных уравнений вида (0.3) применяется для решения нелинейных интегральных уравнений. При этом вместо пошагового сведения их к линейным интегральным же уравнениям сразу производится переход к системам алгебраических и/или трансцендентных уравнений и уже к ним применяется рассматриваемый метод ([74, 75] и др.).

Кроме доклада на конференции старшеклассников МФТИ, эта идея ее автором нигде публично не представлялась.

2 :

Термин заимствован из [59] и подразумевает возможность формального применения метода, приводящего на тестовых примерах к верному результату.

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

Научная новизна работы. Изучается новая параметрическая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, а также нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Научных публикаций, посвященных построению, изучению и обобщению данного метода, кроме работ диссертанта и научного руководителя, не имеется.

Практическая ценность работы. Предложенная модификация предоставляет принципиальные возможности улучшить сходимость и расширить границы применимости классического метода Ньютона решения нелинейных уравнений. Значимость выполненных исследований обусловлена тем, что, в конечном итоге, решение многих задач сводится к решению нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, и очень важно, чтобы они решались как можно более эффективными методами. Положения, выносимые на защиту:

- способ построения одномерного полюсного метода Ньютона, его обобщение на системы нелинейных уравнений и на операторные уравнения в банаховых пространствах;

- теоретические результаты исследования сходимости предлагаемого метода, численные примеры, демонстрирующие его достоинства в сравнении с классическим методом Ньютона;

- условия на выбор параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, при которых возможно его эффективное и успешное применение; способы выбора параметров в многомерном полюсном методе Ньютона;

- применение полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам; численные примеры, демонстрирующие достоинства такой параметризации;

- способ оптимизации численного решения серий «близких» систем нелинейных уравнений полюсным методом Ньютона на примере прикладной задачи движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной работой, где воедино сведены результаты, полученные лично автором и в соавторстве с научным руководителем. Автором совместно с научным руководителем проведено теоретическое исследование сходимости одномерного полюсного метода и средствами аналитической геометрии и векторной алгебры выполнен перенос полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Лично автором проанализированы эффективные способы выбора параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, сформулированы теоремы сходимости многомерного полюсного метода Ньютона, проведено сравнительное численное тестирование метода при различных способах фиксирования параметров. Кроме того, получено обобщение полюсного метода Ньютона на операторные уравнения в банаховых пространствах, сформулированы теоремы сходимости обобщенного метода. В качестве примера рассмотрена содержательная прикладная задача, в которой применен предлагаемый метод решения систем нелинейных уравнений. Здесь предложен эффективный способ фиксирования полюсов при решении жестких дифференциальных уравнений неявными методами. Основные положения и выводы диссертационной работы также сформулированы автором.

Доклады и публикации по теме диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», Москва, МГУ, 12-15 апреля, 2000 г.;

- XXXII Научно-техническая конференция ИжГТУ, Ижевск, 18-21 апреля, 2000 г.;

- VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001», Москва, МГУ, 10-13 апреля, 2001 г.1;

Работа отмечена грамотой «За лучший доклад» министра образования РФ.

- Межвузовская научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Ижевск, ИжГТУ, 18-20 апреля, 2002 г.;

- IV Международная научно-техническая конференция ИжГТУ «Информационные технологии в инновационных проектах», Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.;

- Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г, а также на математических семинарах Ижевского государственного технического университета, Пермского государственного университета, Института математики и механики УрО РАН.

Основное содержание работы изложено в 3 статьях и 6 тезисах докладов (ссылки [14-16, 46, 51-55] в списке литературы; результаты исследований частично включены в вузовские учебники по численным методам В.М. Вержбиц-кого [11, 12] (§5.7, §7.5) и [13] (§7.7, §9.5).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Петров, Михаил Юрьевич

5.3. Выводы

Приведенные в данной главе результаты применения модификаций полюсного метода Ньютона к двум прикладным задачам еще раз подчеркивают эффективность полюсных итерационных процессов в сравнении с классическим методом Ньютона. Для задачи численного решения нелинейного дифференциального уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена благодаря применению модификации полюсного метода Ньютона оптимизирован процесс решения многочисленных серий «близких» нелинейных систем, возникающих при интегрировании дифференциального уравнения неявным методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Применяющийся здесь подход к «настройке» параметров метода на серию «близких» нелинейных систем оправдал свою эффективность, как и предполагалось в гл. 4.

Заключение

Как показывает теоретическое и экспериментальное изучение, предлагаемая здесь новая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений с гладкими функциями при удачном распоряжении ее параметрами может оказаться более выигрышной по сравнению с широко употребляемым классическим методом Ньютона.

Практическое применение этой модификации затрудняет незнание способов прямого указания оптимальных значений параметров, и вопрос об их нахождении требует дальнейших исследований. Однако уже на данном этапе освоения нового метода можно указать множество ситуаций, когда от его использования можно ожидать положительный эффект: например, в многочисленных случаях, где требуется решать большие серии «близких» нелинейных уравнений и окажутся оправданными вычислительные затраты на экспериментальную оптимизацию параметров.

Представляет также интерес дальнейшее изучение полученных здесь обобщенных полюсных методов решения нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петров, Михаил Юрьевич, 2005 год

1. Амосов А А., Дубииский ЮЛ., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

3. Бартиш М.Я. Возмущенные аналоги методов типа Ньютона-Канторовича. В кн. «Матем. сб.». — Киев: Наукова думка, 1976. — С. 5962.

4. Бартиш М.Я., Щербина Ю.М. Итерационные формулы, получаемые с помощью рекурсии. В кн. «Матем. сб.». — Киев: Наукова думка, 1976. — С. 50-53. :

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1962.

6. Ваарманн О. О некоторых итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Изв. АН ЭССР. — 1968. Т. 17, №4. —С. 379-390.

7. Вержбицкий В.М. Об условиях сходимости итерационных методов с аппроксимацией обратного оператора. В сб. «Мат. анализ». — Краснодар: Изд. КубГУ, 1971. — С. 8-25.

8. Вержбицкий В.М. Выбор параметров в теоремах сходимости одного ап-проксимационного аналога метода Ньютона // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1975. Т. 15, №6. — С. 1594-1597.

9. Вержбицкий В.М. О свободных от обращения вложенных итерациях Ньютона. В сб. «Краевые задачи». — Пермь: Изд. ППИ, 1979. — С. 83-84.

10. Вержбицкий В.М. О сходимости последовательностей элементов банаховых пространств к нулям нелинейных операторов // Вестник ПГТУ. Функц.-дифф. уравнения (спец. выпуск). Пермь, 2002. — С. 98-107.

11. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. — М.: Высш. шк., 2002.

12. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. 2-е изд. — М.: Высш. шк., 2005.

13. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). 2-е изд. — М.: ОНИКС 21 век, 2005.

14. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. Двухполюсный метод Ньютона // XXXII науч.-техн. конф. ИжГТУ, 18-21 апр. 2000 г.: Тез. докл. — Ч. I. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2000. — С. 63-64.

15. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона в конечномерных и в банаховых пространствах // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 2004. Т. 44. №6. — С. 979-985.

16. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. Полюсный метод Ньютона // Пробл. совр. теории периодич. движений. Межвуз. сб. — Ижевск, Изд-во ИжГТУ, 2005, №11.— С. 91-97. (В печати).

17. Вержбицкий В.М., Цалюк З.Б. Об одном аналоге усиленного метода Ньютона-Канторовича // Докл. АН СССР. — 1972. Т. 203, №3. — С. 515516.

18. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. —Киев: Наукова думка, 1986.

19. Волокитим С. С. Ступенчатые итерационные процессы с аппроксимацией обратных операторов // Деп. ред. Сиб. матем. ж., №200 — 79 Деп. — Новосибирск, 1979. — 26 с.

20. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений; — М.: Наука, 1971.

21. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итерационных методов // Изв. вузов: Математика, 1958. — №5(6). —С. 18-31.

22. Горфункелъ И.А. Комбинированные методы с последовательной аппроксимацией обратного оператора. В сб. «Вычисл. и прикл. матем.», вып. 26. — Киев: изд. Киевск. ун-та, 1975. — С. 135-140.

23. Деккер К, Вервер Я. Устойчивость методов Руиге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988.

24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970.

25. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. — М.: Мир,'1988.

26. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. — 1953. Т. 88, №4. с. 601-604.

27. Жидкое Е.П., Хоромский Б.Н. О локальной сходимости приближенных процессов решения операторных уравнений // Докл. АН СССР. — 1976. Т. 231, №5. —С. 1052-1055.

28. Загускин B.JI. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. — М.: Физматгиз, 1960.

29. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. — Киев: Наукова думка, 1986. :

30. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко, А.И. Кошелев, М.А. Красносельский и др. — М.: Наука, 1968.

31. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

32. Канторович JI.B. О методе Ньютона для функциональных уравнений // Докл. АН СССР. — 1948. Т. 59. №7. — С. 1237-1240.

33. Канторович JI.B. Принцип мажорант и метод Ньютона // Докл. АН СССР. — 1951. Т. 76. №1. с. 17-20.

34. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984.

35. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969.

36. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.

37. Кацухико Фукусима, Сейносуке Китагава. Обобщение метода Ньютона-Рафсона // Sugaku. — 1998. Vol. 50. №2. — С. 99-102. (Яп.)

38. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1. —М.: Наука, 1976.

39. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. — Минск: Наука и техника, 1985.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 2-е изд. — М.: Наука, 1968.

41. Лебедев К.А. Об одном способе нахрждения: начального приближения для метода Ньютона // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1996. Т. 36. №3. —С. 6-14.

42. Лика Д.К., Шафиев Р.А. Об усиленном методе Ньютона-Канторовича с последовательной аппроксимацией в гильбертовом пространстве. В сб. «Приближ. решение уравнений». — Кишинёв: Штиинца, 1973. — С. 4053.

43. Липанов A.M. Многопараметрический траекторный метод решения систем функциональных уравнений // ДАН. — 1995. Т. 343. №2. — С. 153155. , :

44. Ломаев Г.В., Кочетова Д.В. К вопросу о моделировании процесса переключения бистабильных ферромагнетиков // Материалы евро-азиат, сим-поз. Eastmag-2001. — Екатеринбург, 2001. — С. 308.

45. Ломаев Г.В., Мерзляков Ю.М. Эффект Баркгаузена. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. — 164 с.

46. Ломаев Г.В., Петров М.Ю., Ходырев А.В. О математическом моделировании ГПР в процессе переключения бистабильных ферромагнетиков // Вестник УдГУ, серия «Физика». — 2005, №4. — С. 195-202.

47. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. — М.: Физматгиз, 1962.

48. Огнева В.А., Чернышенко В.М. Об одном итерационном процессе с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Метем, заметки.1980. Т. 28, №5. — С. 785-790.

49. ОртегаДж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975.

50. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. — М.: ИЛ, 1963.

51. Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона // Материалы Международ. конф. студ. и асп. по фунд. наукам «Ломоносов». Выпуск 4. — М.: Изд-во МГУ, 2000. — С. 163. •

52. Петров М.Ю. Обобщение полюсного метода Ньютона на случай систем нелинейных уравнений // Материалы Международ, конф. студ. и асп. по фунд. наукам «Ломоносов 2001»: Секция «Выч. матем. и кибер.». — М.: Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ, 2001. — С. 15.

53. Петров М.Ю. О решении нелинейных уравнений полюсным методом Ньютона // Известия института матем. и информ. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2002. — С. 69-72.

54. Петров М.Ю. О сходимости полюсного метода Ньютона в банаховых пространствах // Информационные технологии в инновационных проектах: Тр. IV Междунар. науч.-технич. конф. (Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.).

55. В 4 ч. — Ч. 2. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. — С. 60-61.

56. Петров М.Ю. О достаточных условиях квадратичной сходимости полюсного метода Ньютона в банаховых пространствах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф., 2-6 февр. 2004 — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. — С. 57-58.

57. Пирумов У.Г. Численные методы. 2-е изд. — М.: Дрофа, 2003.

58. Приближенное решение операторных уравнений / Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.И и др. — М.: Наука, 1969.

59. Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. — М.: Изд-во МАИ, 1996.

60. Роозе А., Кулла В. Комплект тестовых систем нелинейных уравнений // В сб. «Численные методы и оптимизация». Таллин: Валгус, 1988. — С. 181-188.

61. Рычина Н.А. О допустимых зонах положения полюсов в полюсным методе секущих // Известия института матем. и информ. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2002. —С. 91-92.

62. Раковщик JI.C. О методе Ньютона-Канторовича // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1968. Т. 8. №6. — С. 1208-1217.

63. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

64. Сергеев А.С. О методе хорд // Сиб. метем, журн. — 1961. Т. 2, №2. — С. 282-289.

65. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир, 1985.

66. Тронель Ж. О некоторых модификациях метода Ньютона-Канторовича // Автоматика и телемеханика. — 1997. №10. — С. 27-33.

67. Турчак Л.И., Плотников ИВ. Основы численных методов. 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

68. Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа. — М.: Высш. шк., 1982.

69. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.

70. Ульм С.Ю. Об итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Изв. АН ЭССР, сер. физ.-мат. наук. — 1967. Т. 16, №4. — С. 403-411.

71. Шафиев Р.А. О некоторых итерационных процессах // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1964. Т. 4. №1. — С. 139-143.

72. Якунин В. Ф. Об одном методе решения систем нелинейных уравнений // Приближ. методы решения операт. уравн.: Межвуз. сб. науч. тр. / Иркутский гос. пед. институт; Волокитин С.С. (отв. ред. редкол.) и др. — Иркутск, 1992. —С. 11-17.

73. Eapmiiu М.Я. Методи типу Ньютона для розв'язування нелшшних опе-раторних р1внянь i задач на екстремум: Автореферат дисертаци на здо-буття науково ступеня доктора ф1зико-математичних наук. — Кшв, 2003. — 34 с. • :

74. Abbasbandy S. Improving Newton-Raphson method for nonlinear equations by modified Adomian decomposition method // Applied Mathematics and Computation. — 2003. Vol. 145. — P. 887-893.

75. Amat S.,Busquiez S. On a higher order Secant method // Applied Mathematics and Computation. — 2003. Vol. 141. — P. 321-329.

76. Amat S.,Busquiez S., Gutierrez J.M. Geometric constructions of iterative functions to solve nonlinear equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. —2003. Vol. 157. —P. 197-205.

77. Amann Herbert. Uber die naherungsweise Losung nichtlinearer Integral-gleichungen // Numer. Math. — 1972. Vol. 19. — P. 29-45.

78. Argyros I.K. An improved error analysis for Newton-like methods under generalized conditions // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2003. Vol. 157. —P. 169-185.

79. Argyros I.K. Results on Newton Methods, Part 1 // Applied Mathematics and Computation. — 1996. Vol. 74. — P. 119-141.

80. Argyros I.K. Results on Newton Methods, Part 2 // Applied Mathematics and Computation. — 1996. Vol. 74. — P. 143-159.

81. Argyros I.K. Semilocal Convergence Theorems for Newton's Method Using Outer Inverses and Hypotheses on the Second Freshet-Derivative // Manatsh. Math. —2001. Vol. 132. —P. 183-195.

82. Argyros I.K. Sufficient conditions for constructing methods faster than Newton's // Applied Mathematics and Computation. — 1998. Vol. 93. №2-3. — P. 169-181.

83. Argyros I. К. New unifying convergence criteria for Newton-like methods // Applicationes Mathematicae. — 2002. Vol. 29. №3. — P. 359-369.

84. Argyros I.K. On a theorem of L.V. Kantorovich concerning Newton's method // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2003. Vol. 155. №2. — P. 223-230.

85. Argyros I.K., Chen D., Qian Q. An inverse-free Jarratt-type approximation in Banach space // J. Appr. Th. Appl. — 1996. Vol. 12. №1. — p. 19-30.

86. Bodewig E. On types of convergence and on the behavior of approximation in the neighborhood of a multiple root of a equation // Quart. Appl. Math. — 1949. Vol. 7. №3. — P. 325-333.

87. Ben-Israel A. A Newton-Raphson method for the solution of system of equation // J. Math. Anal. Appl. — 1966. Vol. 15. — P. 243-252.

88. Brezinski C. Convergence acceleration during the 20th century // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. Vol. 122. — P. 1-21.

89. Dembo R.S., Eisenstat S.C., Steihaug T. Inexact Newton methods // SIAM j. Numer. Anal. — 1982. Vol. 19. №2. — P. 400-408.

90. Diaconu A. Sur quelques methodes iteratives: combinees // Mathematica (RSR). — 1980. Vol. 22 (45), №2. — P. 247-261.

91. Diaconu A.,Pavaloiu /. Asupra methode iterative pentru resolvarea equatiilor operational nelineare // Rev. anal, numer. §i tear, aproxim. — 1973. Vol. 2. №1. —P. 61-79.

92. Frontini M., Sormani E. Some variant of Newton's method with third-order convergence // Applied Mathematics and Computation. — 2003. Vol. 140. №2-3. —P. 419-426.

93. Frontini M., Sormani E. Modified Newton's method with third-order convergence and multiple roots // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2003. Vol. 156. №2. — P. 345-354.

94. Galantai A. The theory of Newton's method // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. Vol. 124. — P. 25-44.

95. Gao Yan. Newton's methods for solving two classes of nonsmooth equations // Applications of Mathematics. — 2001. Vol. 46. №3. — P. 215-229.

96. Gao Yan. Newton's methods for solving nonsmooth equations via a new sub-differential // Math. Meth. Oper. Res. — 2001. Vol. 54. — P. 239-257.

97. Gerlach Jtirgen. Accelerated convergence in Newton's method // SIAM Review. — 1994. Vol. 36. №2. — P. 272-276.

98. Guo Xue-Ping. Convergence and error estimates for the inverse-free deformation Newton iteration I I Journal of Zhejiang University (Science Edition).2001. Vol. 28. №4. — P. 377-383.

99. Gutierrez J.M. A new semilocal convergence theorem for Newton's method // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1997. Vol. 79. №1. — P. 131-145.

100. Gutierrez J.M., Hernandez M.A. An acceleration of Newton's method: Super-Halley method // Applied Mathematics and Computation. — 2001. Vol. 117.1. P. 223-239.

101. Hernandez M.A. The Newton method for operators with Holder continuous first derivative // Jornal of Optimization Theory and Applications. — 2001. Vol. 109. №3. — P. 631-648.

102. Hernandez M.A., Salanova M.A. A new third-order iterative process for solving nonlinear equations // Monatsh. Math. — 2001. Vol. 133. — P. 131-142.

103. Homeiez H.H.H. A modified Newton method for rootfinding with cubic convergence // Journal of Computational and Applied Mathematics. —2003. Vol. 157. —P. 227-230. :

104. Lopez S. An improvement of convergence in Newton's method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1997. Vol. 145. №3-4. — P. 323-327.

105. Mozer J. Stable and Random Motions in Dinamical Systems. — Princenton University Press, 1973.

106. Mozet I. Sharp error bounds for a Newton-Moser type method // Rend 1st. mat. Univ. Trieste. — 1984. Vol. 16. №1-2. — P. 129-137.

107. Perez R., Lopes V.L.R. Recent applications and numerical implementation of quasi-Newton methods for solving nonlinear systems of equations // Numerical Algorithms. — 2004. Vol. 35. — P. 261-285.

108. Petzeltova H. Remark on a Newton-Moser type method // Comment, math. Univ. Carolinae. — 1980. Vol. 21. №4. —P. 719-725.

109. Schulz G. Iterative Berechnung der reziproken Matrix // ZAMM. — 1933. Vol. 13. —P. 57-59.

110. Taji K., Miyamoto M. A globally convergent smoothing Newton method for nonsmooth equations and it's application to complementarity Problems // Computational Optimisation and Applications. — 2002. Vol. 22. — P. 81-101.

111. Weerakoon S.,Fernando T.G.I. A variant of Newton's method with accelerated third-order convergence // Applied Mathematics Letters. — 2000. Vol. 13. №8. —P. 87-93.

112. WuXin-Yuan. A new continuation Newton-like method and its deformation // Applied Mathematics and Computation. — 2000. Vol. 112. №1. — P. 75-78.

113. Wu Xinyuan, Wu Hongwei. On a class of quadratic convergence iteration formulae without derivatives // Applied Mathematics and Computation. — 2000. Vol. 107. №1, —p. 77-80.

114. Wu Xinyuan, Fu Dongsheng. New high-order convergence iteration methods without employing derivatives for solving nonlinear equations // Computers and Mathematics with Applications. — 2001. Vol. 41. — P. 489-495.

115. Wu Xinyuan, Wu Zhonglin. Iterative method of exponential descent with su-perlinear convergence // Gaodeng xuexiao jisuan shuxue xuebao=Numer. Math. J. Chinese Univ. — 2000. Vol. 22. №1. — P. 41-46.

116. Wu Xin-Yuan, Xia Jian-Lin, Shao Rong. Quadratically convergent multiple roots finding method without derivatives // Computers & Mathematics with Applications. — 2001. Vol. 42. №1-2. — P. 115-119.

117. Yamamoto T. Historical developments in convergence analysis for Newton's and Newton-like methods // Journal of Computational and Applied Mathematics.—2000. Vol. 124. №1-2. —P. 1-23.