Нелинейный анализ панельного флаттера изогнутой пластины в сверхзвуковом потоке тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Амирзадеган Садег Мохаммадреза

• Амирзадеган Садег Мохаммадреза
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Амирзадеган Садег Мохаммадреза

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

1.1. Уравнение движения пластины в сверхзвуковом потоке

1.2. Определение функций формы

1.3. Проверка численной реализации основных уравнений

1.4. Результаты численных исследований колебаний прямоугольной плоской пластины в сверхзвуковом потоке

1.4.1. U= 500, M=

1.4.2. U=700, M=

1.4.3. U=800, M=

1.4.4. U=830, M=

1.4.5. U=850, M=

1.5. Анализ влияния погонных нормальных к кромкам усилий в срединной поверхности на флаттер прямоугольной панели

Выводы по главе

Глава 2. НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА

ПРОДОЛЬНО-ИЗОГНУТОЙ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

2.1. Геометрически нелинейная математическая модель изогнутой пластины в потоке

2.1.1. Основные соотношения

2.1.2. Выбор функций формы

41

2.1.3. Верификация математической модели

2.2. Численные исследования флаттера изогнутой квадратной пластины с жесткой заделкой по всем кромкам

2.3. Сравнение с экспериментом

2.4. Численные исследования панельного флаттера реальной конструкции

Выводы по главе

Глава 3. НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА ИЗОГНУТОЙ ПЛАСТИНЫ С РАЗЛИЧНОЙ КРИВИЗНОЙ И НАГРУЗКАМИ

3.1. Теоретическая / вычислительная модель

3.2. Исследование сходимости функций формы колебаний

3.3. Результаты вычислительного эксперимента

3.3.1. Влияние кривизны на скорость флаттера

3.3.2. Влияние удлинения пластины на флаттер

3.3.3. Влияние разности статического давления

3.3.4. Влияние усилий в срединной поверхности изогнутой пластины

3.4. Колебания предельного цикла (LCO)

3.4.1. Результаты для пластины №

3.4.2 Результаты для пластины №

3.4.3 Результаты для пластины №

3.5 Рекомендации для авиаконструкторов

Выводы по главе

Глава 4. НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА

ИЗОГНУТОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ

4.1. Теоретическая / вычислительная модель

4.2. Верификация математической модели

4.3. Влияние кривизны на скорость флаттера

4.4. Влияние удлинения на скорость флаттера

4.5. Влияние разности статического давления

4.6. Влияние усилий в срединной поверхности

4.7. Рекомендации для авиаконструкторов

Выводы по главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

МКЭ - метод конечных элементов

LCO - limit cycle oscillation (колебания предельного цикла)

СПИСОК УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

a - длина пластины

b - ширина пластины

D - изгибная жесткость пластины (Eh3/12/(1-u2))

E - модуль упругости

H - максимальная высота подъема изогнутой пластины

H - толщина пластины

H/h - величина характеризующий степень кривизны пластины

M - число Маха

Nx - приложенное погонное нормальное усилие в срединной

поверхности в направлении х

N - приложенное погонное нормальное усилие в срединной

поверхности в направлении у

P - безразмерное давление (APa4/Dh)

Л - общее давление

AP - перепад статического давления

q - динамическое давление

я - радиус кривизны

t - время

£/ - скорость потока

w - вертикальные перемещения пластины

^ - высота подъема изогнутой пластины

в - (M2-1)1/2

в - угол укладки волокон композиционного материала (от оси х)

X - безразмерное динамическое давление флаттера, соответствует

скорости флаттера (X =2qa3/DP)

^ - массовое соотношение (ра/ршЬ)

и - коэффициент Пуассона

Ф - функция напряжений Эри

р - плотность потока

рт - плотность материала пластины

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейный анализ панельного флаттера изогнутой пластины в сверхзвуковом потоке»

ВВЕДЕНИЕ

Панельный флаттер представляет собой самовозбуждающуюся, динамически-аэроупругую неустойчивость тонкостенных панелей летательного аппарата. Это происходит чаще всего, хотя и не исключительно, в сверхзвуковом потоке. При дозвуковых скоростях, неустойчивость чаще принимает форму статической дивергенции или аэроупругого изгибания.

Флаттер вызывается и поддерживается взаимодействием между аэродинамическими, инерционными и упругими силами системы. Это аэроупругое явление, вызывающее усталостное повреждение панелей обшивки самолета (а иногда и катастрофическое разрушение) в сверхзвуковом потоке газа. Если скорость полета не слишком высокая, то панель устойчива. Флаттер панели или связанные с этим проблемы возникали обычно на сверхзвуковых режимах полета многих сверхзвуковых летательных аппаратов со Второй мировой войны и до наших дней: немецкая ракета V-2 в 1944 году, несколько опытных американских самолетов в 1950 году, гиперзвуковой самолет X-15, ракета Сатурн V, американский Аполлон, самолеты Lockheed SR-71 Blackbird, F-117A, F-22 и т. д. Обычно флаттер панели, даже в случае разрушения отдельных панелей, непосредственно не приводит к катастрофе, но может привести к полной или частичной потере управления самолетом, разрушению гидросистем и увеличению фонового шума внутри самолета [70].

Панели обычно проектируют так, чтобы избежать флаттера. Однако, если это произойдет во время полета, то для некоторых летательных аппаратов допускается ограниченная амплитуда и ограниченная длительность флаттера, если амплитуда и продолжительность не вызывают:

1. разрушение конструкции панели или несущей конструкции из-за усталости.

2. функциональный отказ оборудования, прикрепленного к панели.

3. чрезмерные уровни шума в отсеках космических аппаратов вблизи вибрирующих панелей.

Эта диссертация посвящена различным аспектам проблемам панельного флаттера, определению условий его возникновения, оценке серьезности и основным мерам его предотвращения. Как правило, используются численный анализ для прогнозирования границы устойчивости, амплитуды и частоты колебаний для нескольких типов панелей.

Чтобы получить данные для проектирования или проверки расчета панелей с заданными условиями нагружения, рекомендуется, главным образом, провести вибрационные испытания, а также испытания в аэродинамической трубе. Эти эксперименты позволяют определить соответствующие параметры проектирования на границах устойчивости панели, а также общие критерии для оценки возможного кратковременного флаттера с ограниченной амплитудой на летательных аппаратах.

Одной из трудностей в прогнозировании динамической характеристики панели является большое количество параметров, которые могут быть важны для конкретной панели.

Некоторые базовые знания о физической природе проблемы флаттера панели полезны для оценки этого прогнозирования. Границу флаттера обычно определяют через изменение безразмерного динамического давления, при котором начинается флаттер панели. Ниже границы флаттера происходят случайные колебания панели, которые имеют частоты вблизи нижних собственных частот панели. Эти колебания представляют собой реакция панели на колебания давления в турбулентном пограничном слое.

Амплитуды колебаний обычно меньше толщины панели. При превышении границы флаттера при некотором критическом динамическом давлении,

называемом динамическим давлением флаттера колебания становится почти синусоидальными с амплитудой, которая имеет тенденцию к увеличению и приближается или превышает толщину пластины. Поведение панелей после начала флаттера во многом определяется нелинейными факторами, наиболее заметным из которых является нелинейная конструктивная связь между изгибом и растяжением пластины.

Пластина растягивается при изгибе, и возникают усилия, лежащие в срединной поверхности и действующие перпендикулярно к кромкам пластины. Эти силы увеличивают эффективную упругую жесткость пластины. Если расчет пластины производится в геометрически нелинейной постановке, то возникают колебания с устойчивым предельным циклом, которые являются результатом баланса между упругими силами, аэродинамическими силами и силами инерции. Качественные оценки амплитуды флаттера, которые учитывают этот баланс, могут быть сделаны из соображений порядка оцениваемых величин.

Важность конструктивных параметров для любого конкретного анализа флаттера панели можно оценить, отметив их влияние на собственные частоты панели. Влияние этих параметров на флаттер можно измерить с точностью, с которой можно определить собственные частоты панели.

Влияние конструктивных параметров на естественные моды и частоты панели можно определить либо теоретически [50, 60, 61, 69, 83], либо экспериментально [90, 97]. Как правило, наиболее эффективная процедура заключается в использовании теоретических методов насколько это возможно с несколькими экспериментальными проверками, чтобы убедиться в правильности теоретической модели. Типичными методами анализа являются методы Рэлея-Ритца, Галеркина, конечно-разностные и конечно-элементные методы [3, 5, 17, 19, 43].

Различные типы панелей можно классифицировать приближенно в порядке точности результатов, с помощью которой теория или эксперименты могут предсказать начало и степень интенсивности их колебаний. Это примерно тот же порядок, с которым можно точно определить собственные моды и собственные частоты панелей. Основная трудность заключается в прогнозировании жесткости панели, например при использование композитных пластин [34, 47, 57, 58, 65, 67, 74, 81, 82, 85, 88, 96, 101, 104, 106, 116, 119]. Наиболее сложными факторами для оценки являются:

1. неодинаковость прочностных и жесткостных характеристик по разным направлениям (например, ортотропия или определение эквивалентной ортотропии встроенных панелей);

2. эффективная жесткость изогнутых пластин;

3. кривизна изогнутых пластин;

4. граничные условия пластины, в частности, для пластин переменной жесткости.

Примерная сортировка различных типов панелей по возрастанию их сложности прогнозирования начала и степени интенсивности флаттера приведен в следующем списке. Этот список составлен с учетом различий геометрических параметров:

(а) Плоские изотропные панели

(б) Плоские, ортотропные панели

(в) Изотропные панели с кривизной

(г) ортотропные панели с кривизной

В данной работе изучается нелинейный панельный флаттер 3-мерной изогнутой и ортотропной панели в сверхзвуковом потоке. Для определения мод колебаний используются спектральные методы, а для определения

аэродинамической нагрузки применяется поршневая теория [48, 66, 103, 117]. Используя метод Галеркина [31, 49, 53, 54, 58, 71, 72, 86, 91, 93, 94, 99, 120, 121], решаются уравнения фон Кармана [28, 29, 35, 55, 63, 64, 68, 76, 77, 87, 89, 95, 98, 112, 113, 124] для колебаний изогнутой пластины, которые представляют собой систему связанных уравнений в частных производных. Изучаются изогнутые пластины с различными граничными условиями - шарнирным закреплением и жестким защемлением.

В настоящее время в литературе можно встретить уравнения движения для трехмерной панели, которые получены для граничных условий шарнирного закрепления [32]. Но численных результатов для изогнутой панели с жестким закреплением, видимо, нет.

Актуальность темы исследования. Развитие авиаракетной техники всегда было связано с борьбой за уменьшение массы летательного аппарата при сохранении летно-технических характеристик. Одним из следствий этого является уменьшение толщины обшивки. На сверхзвуковых скоростях это может привести к возникновению панельного флаттера — интенсивных вибраций панелей обшивки самолётов и ракет, возбуждаемых набегающим потоком. Когда скорость летательного аппарата превышает критическую скорость флаттера, панель становится неустойчивой и начинает вибрировать. Эти колебания возникают из-за перекачки энергии от потока к панели и могут иметь большую амплитуду, приводить к катастрофическому или усталостному повреждению летательного аппарата [41, 70, 111]. Первоначально амплитуда движения неустойчивой панели экспоненциально возрастает со временем, но затем вступают в действие нелинейные ограничения [20].

Хотя теме флаттера панелей написано много работ, есть большое количество вопросов, требующих новых исследований. Часть этих вопросов связана с необходимостью наличия у конструкторов на этапе проектирования

сведений о динамической устойчивости панелей обшивки проектируемых летательных аппаратов. Поэтому создание относительно простых и удобных методик, позволяющих оценить влияние различных факторов, таких как боковые и продольные усилия, кривизна панелей, условия закрепления панелей и т.д., на критическую скорость флаттера в геометрически нелинейной постановке является актуальной задачей.

Степень разработанности темы исследования. Большинство исследований, посвященных математическому моделированию панельного флаттера, можно разделить на две группы: проведенные с помощью аналитических или численных методов. Целью работ, относящихся к первой группе, является вывод аналитической зависимости критической скорости флаттера как функции, зависящей от параметров панели и расхода газа.

Вторую группу также можно разделить на две части: решение в дифференциальной и интегральной формулировках. Общим для этой группы является сведение исходной задачи к вычислению и анализу сложных собственных значений задачи [111]. Одно из основных различий между ними заключается в следующем: в первом случае уравнения теории пластин и оболочек записываются в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений и строятся численные решения с использованием метода Бубнова-Галеркина. Во втором случае для решения задачи используется вариационная формулировка, такая как виртуальная работа, а для реализации численных вариационных уравнений используется метод конечных элементов (МКЭ) [1, 4, 6-14, 18, 107].

По флаттеру изогнутой пластины было проведено много исследований. Fung [46] исследовал статическую устойчивость двумерных изогнутых пластин в сверхзвуковом потоке. Yates и Zeijdel [118] провели линейный анализ для изогнутых пластин. Anderson [27] предоставил экспериментальные результаты,

которые особенно актуальны для настоящего исследования. Stearman [105] также провели эксперименты с флаттером цилиндрической оболочки. Болотин [32] также сформулировал проблему изогнутой пластины, хотя количественные результаты не приводятся.

Houbolt [59] изучил несколько аэротермоупругих проблем конструкций самолетов в условиях высокоскоростного полета. Schaeffer и Heard [102] исследовали флаттер плоской панели, подвергшейся нелинейному распределению температуры. Dowell [42] провел линейный и нелинейный анализ изогнутых пластин с простыми опорами, используя уравнения фон Кармана и метод Галеркина. Ventres и Dowell [110] сравнили теорию и эксперимент для нелинейного флаттера пластин. Yang и Han [115] изучили флаттер панели с тепловым изгибом. Xue и Mei [114] разработали метод конечных элементов для нелинейного анализа панели с произвольным распределением температуры в сверхзвуковом потоке.

Zhou и соавт. [123] формулировали модальный конечный элемент во временной области для нелинейного флаттера композитных панелей. Librescu и соавт. [80] исследовали колебание геометрически несовершенных панелей, подверженных тепловым и механическим нагрузкам. Librescu и соавт. [79] также изучали линейные и нелинейные колебания панелей в высокотемпературном поле. Abbas и соавт. [21] провели исследование сверхзвукового флаттера плоской ортотропной пластины.

Отметим несколько исследований по флаттеру изогнутой пластины, проведенных в последние годы. Chitaranjan Pany и S. Parthan [92] представили одномерный анализ распространения аксиальных волн для бесконечно длинной периодически поддерживаемой цилиндрически изогнутой панели, подвергаемой воздействию сверхзвукового воздушного потока. L.Ravi Kumar и соавт. [73] исследовали колебательную и динамическую неустойчивость многослойных

композитных панелей с двойной кривизной, подверженных неравномерной нагрузке, с использованием метода конечных элементов. Xiaomin Ап и соавт. [26] исследовали нелинейное аэроупругое поведение изогнутых многослойных композитных панелей с использованием уравнения Эйлера для модели аэродинамического потока вместо поршневой теории. F. ТогпаЬепе и М. ВассюссЫ [108] сосредоточили свое внимание в своих исследованиях на оценке значений критической скорости флаттера двухслойных оболочечных структур с двойной кривизной.

Бочкарев С.А. [6] Представил результаты численного исследования динамического поведения деформируемой пластины, которая взаимодействует одновременно с внешним сверхзвуковым потоком газа и внутренним потоком жидкости. Он также [7] посвящал анализу панельного флаттера круговых цилиндрических оболочек, содержащих идеальную сжимаемую жидкость и обтекаемых сверхзвуковым потоком газа.

Веденеев В. В. [15] исследовал флаттер периодически подкреплённой упругой полосы в потоке газа с малой сверхзвуковой скоростью и численно изучал одномодовый флаттер пластины в форме полосы, имеющей периодическое подкрепление, построены границы устойчивости и проанализировано влияние ширины полосы и расстояния между подкреплениями. Он также [16] исследовал предельные циклы колебаний при одномодовом флаттере пластины и получил зависимости амплитуд предельных циклов от параметров задачи, что позволяет оценить опасность возникновения флаттера.

Исследования по теме флаттера и колебаний с устойчивым предельным циклом пластин и оболочек продолжают оставаться темой, представляющей значительный интерес для исследовательского сообщества и разработчиков летательных аппаратов, поскольку количество научных источников в настоящее время насчитывает более тысячи различных ресурсов. Недавние работы, наиболее

соответствующие этой работе, включают в себя статьи по улучшению аэродинамической модели, выходящие за рамки поршневой теории, и теории линейного потенциального потока [30, 33, 78], структурные модели с конечными элементами в качестве альтернативы модальным моделям [100] и различные физические модели как учета свойства материала (композиты или многослойная конструкция) и так же конструктивной геометрии (кривизна) [36, 51, 52].

Несмотря на большое количество работ по панельному флаттеру, панельный флаттер изогнутых пластин с жестким закреплением изучен недостаточно. Большая часть работ по панельному флаттеру посвящена пластинам и оболочкам с шарнирным закреплением. Кроме того, кроме работ Доуэлла, автору не известны работы, сравнивающие результаты теоретических расчетов со, ставшим классическим, экспериментом Андерсена по флаттеру продольно изогнутой панели с жестким закреплением.

При исследовании панельного флаттера можно использовать сложные аэродинамические модели, использовать МКЭ, а не модальные формулировки. Но такие расчеты требуют больших вычислительных ресурсов и мало пригодны на этапе проектирования. В данной работе проводится исследование с учётом многих важных параметров для изогнутой изотропной и ортотропной пластины, применяя простейшую, наиболее используемую, аэродинамическую модель (поршневая теория) и метод Бубнова-Галеркина.

Целью диссертационной работы является создание матмодели, методики расчета, пригодных для использования на этапе проектирования, и проведение численных исследований панельного флаттера изогнутых изотропных и ортотропных панелей обшивки с жестким закреплением с различной кривизной.

Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Исследование колебаний, скорости флаттера и собственных частот прямоугольной изотропной плоской пластины в сверхзвуковом потоке газа.

2. Выбор функций формы для пластин с жестким закреплением.

3. Изучение нелинейных колебаний изотропной тонкой продольно изогнутой пластины в сверхзвуковом потоке для определения скорости флаттера и исследования колебаний с устойчивым предельным циклом.

4. Сравнение теоретических и экспериментальных значений безразмерного динамического давления флаттера изогнутой пластины с жестким закреплением.

5. Получение численных результатов для широкого диапазона некоторых параметров при различных граничных условиях, которые важны для флаттера изогнутой изотропной пластины.

6. Численные исследования безразмерного динамического давления флаттера изогнутой ортотропной пластины в зависимости от значений кривизны, угла укладки волокон, удлинения и других параметров.

Научная новизна:

1. Разработана вычислительная модель, основанная на геометрически нелинейных соотношениях Кармана для изотропных и ортотропных пластин, методе Бубнова-Галеркина с интегрированием по времени методом Рунге-Кутты-Фельберга и определением аэродинамической нагрузки по поршневой теории.

2. Проведен анализ соответствующих функций формы для расчета колебаний пластин с использованием метода Бубнова-Галеркина и выбрана наилучшая функция формы для пластин с жестким закреплением.

3. Проведено сравнение полученных результатов численных исследований с экспериментальными результатами Андерсона для панельного флаттера

изогнутой пластины с жестким закреплением, установлена согласованность теоретических и экспериментальных результатов.

4. Исследовано влияние различных факторов на скорость флаттера - боковых и продольных сил, кривизны панели, соотношения длин сторон панели и других. Получены новые результаты по колебаниям с устойчивым предельным циклом изогнутых изотропных пластин с продольной кривизной, поперечной кривизной и с кривизной в обоих направлениях.

5. Проведено исследование панельного флаттера многослойных ортотропных пластин. Исследовано влияние различных факторов на безразмерное динамическое давление флаттера ортотропной пластины - кривизны панели, угла укладки волокон, боковых и продольных сил, соотношения длин сторон панели и перепада статического давления. Получены новые результаты по колебаниям с устойчивым предельным циклом изогнутых ортотропных пластин с продольной кривизной и поперечной кривизной. Практическое значение диссертационной работы состоит в том, что

разработанные модели, методики не требуют больших вычислительных ресурсов и могут использоваться на этапе проектирования. Эти модели и методики, а также результаты исследований могут быть использованы в проектных конструкторских организациях при создании образцов новых сверхзвуковых летательных аппаратов.

Методология и методы исследования. Панели обшивки моделируются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных фон Кармана для изотропных и ортотропных тонких пластин, для определения аэродинамической нагрузки используется поршневая теория сверхзвуковой аэродинамики. Решение полученных уравнений проводится методом Бубнова-Галеркина, интегрирование по времени производится методом Рунге-Кутты-Фельберга. Численное решение получено с помощью пакета МАТЬАВ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Основные соотношения разработанной вычислительной модели и алгоритм динамического расчета панели.

2. Выбор наилучшей функции формы для расчета колебаний пластин с жестким закреплением с использованием метода Бубнов-Галеркина.

3. Сравнительный анализ результатов численного исследования флаттера изогнутой пластины с жестким закреплением с экспериментальными результатами Андерсона.

4. Результаты исследований панельного флаттера изогнутых изотропных пластин с продольной кривизной, поперечной кривизной и с кривизной в обоих направлениях. Оценка влияния кривизны панели, боковых и продольных сил, соотношения длин сторон панели и других факторов на скорость флаттера.

5. Результаты исследований панельного флаттера изогнутых ортотропных пластин с продольной кривизной и поперечной кривизной. Оценка влияния кривизны панели, угла укладки волокон, боковых и продольных сил, соотношения длин сторон панели и перепада статического давления.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность основных результатов работы обеспечивается корректной математической постановкой задачи, результаты расчетов проанализированы с точки зрения их физической достоверности, проведено сравнение с решениями других авторов и с данными экспериментальных исследований.

Основные положения диссертации опубликованы в журналах, которые находится в первом и втором квартиле (Q1 и Q2) по показателю SJR (Scopus) и публикуемый Американским институтом авиации и космонавтики (AIAA).

Результаты исследований по теме диссертационной работы отражены в 5 публикациях; из них 2 статей в сборниках конференций и 3 статей в журналах, 2 из которых в изданиях, входящих в перечень WoS, 1 в перечень SCOPUS. Amirzadegan S. Correlation of Experimental and Computational Results for Flutter of Streamwise Curved Plate / Sadegh Amirzadegan, Earl H. Dowell // AIAA Journal. -2019. - Vol. 57. - Issue 8. - Pp. 3556-3561.

Amirzadegan S. Nonlinear Limit Cycle Oscillation and Flutter Analysis of Clamped Curved Plates / Sadegh Amirzadegan, Earl H. Dowell // AIAA -Journal of Aircraft. -2019. - Vol. 57. - Issue 2. - Pp. 368-376.

Amirzadegan S. Supersonic Panel Flutter Analysis Assuming Effects of Initial Structural Stresses / Sadegh Amirzadegan, Seyyed Mohammad Mousavi Safavi, Amir Jafarzade // Journal of The Institution of Engineers: Series C. - 2019. - Vol. 100. - Issue 5. - Pp 833-839.

Кроме того, основные положения диссертации докладывались на 2 международных и всероссийских научных конференциях и семинарах в том числе: Fundamental And Applied Scientific Research, 2019 г., г. Берлин, Германия; XXV International Symposium Dynamic and technological problems of mechanics of continuum and structures, 2019 г., г. Москва.

Структура диссертационной работы и аннотация глав. Диссертация состоит из введения, 4 глав, выводов, списка литературы из 124 наименования. Текст изложен на 142 страницах, включает 61 рисунков и 6 таблицы.

В главе 1 изучаются колебания прямоугольной изотропной тонкой плоской пластины в сверхзвуковом потоке с помощью программы MATLAB, используя

метод Бубнова-Галеркина и аэродинамическую модель поршневой теории сверхзвуковой газовой динамики в линейной постановке. Путем расчета собственных частот колебаний панели и построения графиков колебаний была определена критическая скорость флаттера, а также оценено влияние продольных и поперечных погонных усилий в срединной поверхности на эту скорость.

В главе 2 изучаются геометрически нелинейные колебания изотропной тонкой прямоугольной изогнутой пластины в сверхзвуковом потоке газа. Определяется критическая скорость флаттера и исследуются колебания с устойчивым предельным циклом после начала флаттера. Изложена методика выбора соответствующих функций формы. Используя метод Галеркина и аэродинамическую модель поршневой теории для сверхзвукового потока, были проанализированы характеристики флаттера панели. Определены и сопоставлены с экспериментальными результатами Андерсона частоты колебаний и динамическое давление флаттера изогнутой пластины с жестким закреплением.

В главе 3 изучаются динамическая неустойчивость (флаттер) упругих изогнутых изотропных пластин в сверхзвуковом потоке газа в геометрически нелинейной постановке. В этой главе представлены результаты численных исследований влияния нескольких параметров, которые важны для динамической устойчивости панели. Оценивается влияние продольной, поперечной и двойной кривизны при различных удлинениях, различных граничных условиях, а также влияние статического давления и нагрузок. Ни одно из известных автору предыдущих исследований не включало такой широкий диапазон параметров и значений параметров. Для получения этих результатов используются теория изогнутых пластин фон Кармана, модальное разложение вместе с методом Бубнова-Галеркина и аэродинамическая модель поршневой теории для сверхзвукового / гиперзвукового потока.

В главе 4 изучается динамическая неустойчивость (флаттер) упругих изогнутых ортотропных панелей в сверхзвуковом потоке газа в геометрически нелинейной постановке. Оценивается влияние угла укладки волокон, различных граничных условий, удлинения, разности статического давления и усилий в срединной поверхности на флаттер ортотропных пластин при различных значениях кривизны для пластин с продольной и поперечной кривизной.

В заключении диссертации подведены итоги работы и сформулированы её основные результаты и выводы.

Глава 1. ЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ ПАНЕЛЬНОГО ФЛАТТЕРА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

1.1. Уравнение движения пластины в сверхзвуковом потоке

Чтобы найти связь между малым прогибом пластины w(x,y) и

распределением приложенной нагрузки AP(x,y), используется уравнение Кирхгофа для пластины [41, 56, 111]:

Здесь х, у - координаты в плоскости пластины, w=w(х,у) - прогиб, АР -разность давлений с обеих сторон пластины, D - цилиндрическая жесткость (D=Eh3/12(1-u2)), E - модуль упругости, Ь - толщина пластины и и - коэффициент Пуассона.

Уравнение (1.1) является основным уравнением изгиба тонкой пластины. Оно имеет следующие свойства:

Рисунок 1.1. Рисунок панели

(1.1)

• линейность (следствие линейности геометрических соотношений).

• инвариантность относительно обмена координатами (х,у) (это является следствием изотропии материала).

После решения уравнения (1.1) по прогибу ,№(х,у) можно определить все компоненты погонных усилий и деформаций в любой точке пластины. Однако решение этого уравнения приводит к постоянным интегрированиям. Определить их можно с помощью граничных условий.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Амирзадеган Садег Мохаммадреза, 2023 год

Список литературы

1. Алгазин, С.Д. Флаттер пластин и оболочек / С.Д. Алгазин // Российская академия наук, Институт проблем механики; ответственный редактор Р. А. Васин. - Москва. - 2006.

2. Амирзадеган, С. Исследование влияния внутренних сил на параметры колебаний прямоугольных тонкостенных конструкций / Садег Амирзадеган, Сейед Мохаммад Мусави Сафави // Fundamental And Applied Scientific Research. - 2019. - Берлин. - Германия.

3. Амирян, А.Р. Расчет прямоугольной пластины методом ортогонализации Бубнова - Галеркина при поперечном изгибе / А.А. Артемьева, В.В. Белова, Т.Р. Баркая // В сборнике: Строительство И Землеустройство: Проблемы И Перспективы Развития Материалы, Всероссийской научно-практической конференции. - 2019. - С. 7-12.

4. Анкилов, А.В. Об устойчивости решений начально-краевой задачи о динамике защитного экрана при взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа / А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов, В.А. Судаков // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2013. - № 3 (63). - С. 45-52.

5. Байшева, З.П. Сравнительный анализ метода Бубнова-Галеркина и метода конечных элементов на примере задачи из теории упругости / З.П. Байшева // В сборнике: XLIII Итоговая студенческая научная конференция материалы конференции. Ответственный редактор И. В. Меньшиков. -2015. - С. 4-5.

6. Бочкарев, С.А. Аэроупругая устойчивость двух параллельных пластин, взаимодействующих с потоком идеальной жидкости / С.А. Бочкарёв, С.В. Лекомцев // В сборнике: Материалы XXII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и

сплошных сред" им. А.Г. Горшкова Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет). - 2016. - С. 52-54.

7. Бочкарев, С.А. Аэроупругая устойчивость круговых цилиндрических оболочек, содержащих текущую жидкость / С.А. Бочкарёв, С.В. Лекомцев // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2015. - Т. 19. - № 4. - С. 750-767.

8. Бочкарев, С.А. Об одном методе исследования аэроупругой устойчивости оболочек вращения / С.А. Бочкарев, В.П. Матвеенко // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2007. - № 4 (54). - С. 387-399.

9. Бочкарев, С.А. Панельный флаттер вращающихся круговых оболочек, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа / С.А. Бочкарёв, В.П. Матвеенко // Вычислительная механика сплошных сред. - 2008. - Т. 1. - № 3. - С. 25-33.

10. Бочкарев, С.А. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов / С.А. Бочкарев, В.П. Матвеенко // Математическое моделирование. - 2002. - Т. 14. - № 12. - С. 55-71.

11. Бочкарев, С.А. Численное исследование аэроупругой устойчивости оболочек вращения / С.А. Бочкарев // автореферат диссертаций кандидата физико-математических наук. - Ин-т механики сплошных сред. - Пермь. -1997.

12. Вельмисов, П.А. Математическая модель крылового профиля в аэродинамической трубе / П.А. Вельмисов, Ю.А. Решетников, Е.П. Семёнова, А.Б. Захарова // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2013. - № 4 (64). - С. 40-50.

13. Вельмисов, П.А. Математическое моделирование в задачах динамики виброударных и аэроупругих систем / П.А. Вельмисов, В.К. Манжосов. -Ульяновск. - 2014.

14. Вельмисов, П.А. Математическое моделирование динамики защитного экрана при взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа / П.А. Вельмисов, В.А. Судаков, Анкилов А.В. // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 15. - № 3. - С. 49-57.

15. Веденеев, В.В. Флаттер периодически подкреплённой упругой полосы в потоке газа с малой сверхзвуковой скоростью / Веденеев В.В., Шитов С.В. // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. - 2015. - № 3. -С. 105-126.

16. Веденеев, В.В. Предельные циклы колебаний при одномодовом флаттере пластины / Веденеев В.В. // Прикладная математика и механика. - 2013. - № 3. -С. 355-370.

17. Власенко, В.В. Выбор метода аппроксимации вязких членов в методе галеркина с разрывными базисными функциями / В.В. Власенко, А.В. Волков, А.И. Трошин // Ученые записки ЦАГИ. - 2013. - Т. 44. - № 3. - С. 18-38.

18. Исаулова, Т.Н. Устойчивость консольно защемленной косоугольной неоднородной пластины в сверхзвуковом потоке газа / Т.Н. Исаулова, И.М. Лавит // Прикладная механика и техническая физика. - 2011. - Т. 52. - № 4. - С. 191-204.

19. Савостьянов, Д.В. О случае алгебраической эквивалентности метода коллокации и метода галеркина / Д.В. Савостьянов, Е.Е. Тыртышников // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44. - № 4. - С. 686-693.

20. Тлеулинов, М.К. О методике расчета нелинейных колебаний крыла и панелей обшивки / М.К. Тлеулинов, С. Амирзадеган, М.С. Осипова, А.Г. Пресман. - XXV International Symposium Dynamic and technological problems of mechanics of continuum and structures. - 2019. - Москва.

21. Abbas, J.F. Nonlinear flutter of orthotopic composite panel under aerodynamic heating / Jehad F. Abbas // AIAA Journal. - 1993. - Vol. 31. - Pp. 1447-1488.

22. Abdel-Motagaly, K. Nonlinear flutter of composite panels under yawed supersonic flow using finite elements / K. Abdel-Motaglay, R. Chen and C. Mei // AIAA Journal. - 1999. - Vol. 37. - Pp.1025-1032.

23. Amirzadegan, S. Correlation of experimental and computational results for flutter of streamwise curved plate / Sadegh Amirzadegan and Earl Dowell // AIAA Journal. - 2019. - Vol. 57. - Issue 8. - Pp. 3556-3561.

24. Amirzadegan, S. Nonlinear limit cycle oscillation and flutter analysis of clamped curved plates / Sadegh Amirzadegan and Earl H. Dowell // Journal of Aircraft. -2019. - Vol. 57. - Issue 2. - Pp. 368-376.

25. Amirzadegan, S. Supersonic panel flutter analysis assuming effects of initial structural stresses / Sadegh Amirzadegan, Seyyed Mohammad Mousavi Safavi, Amir Jafarzade // Journal of The Institution of Engineers (India): Series C. -2019. - Vol 100. - Issue 5. - Pp 833-839.

26. An, X. Nonlinear aeroelastic analysis of curved laminated composite panels / Xiaomin An, Boo Cheng Khoo, Yongdong Cui // Composite Structures. - 2017. -Vol. 179. - Pp. 377-414.

27. Anderson, W.J. Experiments on the flutter of flat and slightly curved panels at Mach number 2.81 / W.J. Anderson // TN 2996. - 1962. - California Institute of Technology. - Pasadena.

28. Bahmyari, E. Stochastic analysis of moderately thick plates using the generalized polynomial chaos and element free Galerkin method / Ehsan Bahmyari, Mohammad Reza Khedmati, C. Guedes Soares // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 2017. - Vol. 79. - Pp. 23-37.

29. Bein, T. Hypersonic flutter of a curved shallow panel with aerodynamic heating / T. Bein, P. Friedmann, X. Zhong, I. Nydick // 34th Structures, Structural Dynamics and Materials Conference. - 1993. - La Jolla, CA.

30. Bhatia, M. Design of thermally stressed panels subject to transonic flutter constraints / Manav Bhatia, Philip Beran // Journal of Aircraft. - 2017. - Vol. 54.

- Issue 6. - Pp. 2340-2349.

31. Bock, I. On the solutions of a dynamic contact problem for a thermoelastic von Karman plate / I. Bock, J. Jarusek, M. Silhavy // Nonlinear Analysis: Real World Applications. - 2016. - Vol. 32. - Pp.111-135.

32. Bolotin, V.V. Nonconservative problems of the theory of elastic stability / V.V. Bolotin // Pergamon Press. -1963. - Oxford, London, New York, Paris.

33. Boyera, N. R. Features of shock-induced panel flutter in three-dimensional inviscid flow / Nathan R. Boyera, J. J. McNamaraa, D. V. Gaitondea, Caleb J. Barnesb, Miguel R. Visbalb // Journal of Fluids and Structures. - 2018. - Vol. 83.

- Pp. 490-506.

34. Castro Saullo, G.P. Flutter of stiffened composite panels considering the stiffener's base as a structural element / Saullo G. P. Castro, Thiago A. M. Guimaraes, Domingos A. Rade, Mauricio V. Donadon // Composite Structures. -2016. - Vol. 140. - Pp. 36-43.

35. Qeribasi, S. Static analysis of super elliptical clamped plates by Galerkin's method / Seyit Qeribasi, Gulay Altay, M. Cengiz Dokmeci // Thin-Walled Structures. -2008. - Vol. 46. - Issue 2. - Pp. 122-127.

36. Chai, Y. Nonlinear flutter suppression and thermal buckling elimination for composite lattice sandwich panels / Yuyang Chai, Fengming Li and Zhiguang Song // AIAA Journal. - 2019. - pp. 4863-4872.

37. Chai, Y.Y. Active aerothermoelastic flutter suppression of composite laminated panels with time-dependent boundaries / Yu-Yang Chai, Zhi-Guang Song, Feng-Ming Li // Composite Structures. - 2017. - Vol. 179. - Pp. 61-76.

38. Dixon, R. Finite element analysis of large-amplitude panel flutter of thin laminates / R. Dixon, Chuh Mei // AIAA Journal. - 1993. - Vol. 31. - Pp. 701707.

39. Dowell, E. H. A modern course in aeroelasticity / E. H. Dowell // Springer International Publishing. - 2015. - Switzerland.

40. Dowell, E. H. Nonlinear flutter of curved plates. II / E. H. Dowell // AIAA Journal. - 1970. - Vol. 8. - Issue 2. - Pp. 259-261.

41. Dowell, E.H. Aeroelasticity of plates and shells / E. H. Dowell // Noordhoff International Publishing, Springer. -1974. - Leyden, The Netherlands.

42. Dowell, E.H. Nonlinear flutter of curved plate, part 1 / E.H. Dowell // AIAA Journal. - 1969. - Vol. 7. - Pp. 424-431.

43. Dowell, E. H. A modern course in aeroelasticity / E. H. Dowell, Marat Ilgamov // Springer. - 1988. - New York.

44. Eisley, J.G. Nonlinear vibration of beams and rectangular plates / J.G. Eisley // Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1964. - Vol. 15. - Pp. 167-175.

45. Fehlberg, E. Classical fifth-, sixth-, seventh-, and eighth-order Runge-Kutta formulas with step size control / Erwin Fehlberg // NASA Technical Report. -1968. - № 287.

46. Fung, Y.C. The static stability of two-dimensional curved panel in supersonic flow with an application to panel flutter / Y.C. Fung // Journal of Aeronautic Science. - 1954. - Vol.21. - Pp. 556-565.

47. Ganapathi, M. Supersonic flutter analysis of thermally stressed laminated composite flat panels / M. Ganapathi, M. Touratier // Composite Structures. -1996. - Vol. 34. - Issue 2, Pp 241-248.

48. Ganji, H.F. Panel flutter prediction in two dimensional flow with enhanced piston theory / Hamed Faghanpour Ganji, Earl H. Dowell // Journal of Fluids and Structures. - 2016. - Vol. 63. - Pp. 97-102.

49. Gavardinas, I.D. A von Karman plate analogue for solving anti-plane problems in couple stress and dipolar gradient elasticity / I. D. Gavardinas, A. E. Giannakopoulos, Th. Zisis // International Journal of Solids and Structures. -2018. - Vol. 148. - Pp. 169-180.

50. Gebhardt, C.G. Nonlinear dynamics of slender structures: a new object-oriented framework / C.G. Gebhardt, B. Hofmeister, C. Hente, et al. // Computational Mechanics. - 2019. - Vol. 63. - Pp. 219-252.

51. Ghoman, S. S. Supersonic aerothermoelastic nonlinear flutter study of curved panels: frequency domain / Satyajit S. Ghoman and M. Salim Azzouz // Journal of Aircraft. 2012. - Vol. 49. - Issue 4. - Pp. 1075-1090.

52. Ghoman, S. S. Supersonic aerothermoelastic nonlinear flutter study of curved panels: time domain / Satyajit S. Ghoman and M. Salim Azzouz // Journal of Aircraft. - 2012. - Vol. 49. - Issue 4. - Pp. 1178-1183.

53. Gorder, R.A.V. Asymptotic solutions for the Foppl - von Kármán equations governing deflections of thin axisymmetric annular plates / Robert A. Van Gorder // International Journal of Non-Linear Mechanics. -2017. - Vol. 91. - Pp. 8-21.

54. Gorder, R.A.V. Analytical method for the construction of solutions to the Foppl-von Kármán equations governing deflections of a thin flat plate / Robert A. Van Gorder // International Journal of Non-Linear Mechanics. -2012. - Vol. 47. -Issue 3. - Pp. 1-6.

55. Hansbo, P. A posteriori error estimates for continuous/discontinuous Galerkin approximations of the Kirchhoff-Love plate / Peter Hansbo, Mats G. Larson // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2011. - Vol. 200. -Issues 47. - Pp. 3289-3295.

56. Hasheminejad, S.M. Aeroelastic analysis and active flutter suppression of an electro-rheological sandwich cylindrical panel under yawed supersonic flow / Seyyed M. Hasheminejad, M. Aghayi Motaaleghi // Aerospace Science and Technology. - 2015. -Vol. 42. - Pp. 118-127.

57. Hayat, K. Flutter performance of large-scale wind turbine blade with shallow-angled skins / Khazar Hayat, Sung Kyu Ha // Composite Structures. - 2015. -Vol. 132. - Pp. 575-583.

58. He, X.T. A biparametric perturbation method for the Foppl-von Karman equations of bimodular thin plates / Xiao Ting He, Liang Cao, Ying Zhu Wang, Jun Yi Sun, Zhou Lian Zheng // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 2017. - Vol. 455. - Issue 2. - Pp. 1688-1705.

59. Houbolt, J. C. Study of several aerothermoelastic problems of aircraft structures in high-speed flight / J.C. Houbolt // ETH Zurich. - 1958.

60. Hu, H. Development of a shock-fitting field-panel method for 3D transonic flow / H. Hu // Computational Mechanics. - 1995. - Vol. 15. - Pp. 364-371.

61. Ibrahim, H.H. Non-linear panel flutter for temperature-dependent functionally graded material panels / H.H. Ibrahim, M. Tawfik, M. Al-Ajmi // Computational Mechanics. - 2008. - Vol. 41. - Pp. 325-334.

62. Ibrahim, H.H. Thermo-acoustic random response of temperature-dependent functionally graded material panels / H.H. Ibrahim, H.H. Yoo, M. Tawfik // Computational Mechanics. - 2010. - Vol. 46. - Pp. 377-386.

63. Jaberzadeh, E. Inelastic buckling of skew and rhombic thin thickness-tapered plates with and without intermediate supports using the element-free Galerkin method / E. Jaberzadeh, M. Azhari, B. Boroomand // Applied Mathematical Modelling. - Vol. 37. - Issues 10. - Pp. 6838-6854.

64. Jaberzadeh, E. Thermal buckling of functionally graded skew and trapezoidal plates with different boundary conditions using the element-free Galerkin method

/ E. Jaberzadeh, M. Azhari, B. Boroomand // European Journal of Mechanics -A/Solids. - 2013. - Vol. 42. - Pp. 18-26.

65. Jiang, G. Aerothermoelastic analysis of composite laminated trapezoidal panels in supersonic airflow / Guoqing Jiang, Fengming Li // Composite Structures. -2018. - Vol. 200. - Pp. 313-327.

66. Johns, D.J. Some panel-flutter studies using piston theory / David John Johns // Journal of the Aerospace Sciences. - 1958. - Vol. 25. - Issue 11. - Pp. 679-684.

67. Jounior, O. D. de Matos. Aeroelastic behavior of stiffened composite laminated panel with embedded SMA wire using the hierarchical Rayleigh-Ritz method / Odeny D. Jounior, Mauricio V. Donadon, Saullo G. P. Castro // Composite Structures. - 2017. - Vol. 181. - Pp. 26-45.

68. Katili, I. Isogeometric Galerkin in rectangular plate bending problem based on UI approach / Irwan Katili, Ricky Aristio // European Journal of Mechanics -A/Solids. - 2018. - Vol. 67. - Pp. 92-107.

69. Katsikadelis, J. Dynamic analysis of nonlinear membranes by the analog equation method: a boundary-only solution // J. Katsikadelis. - Computational Mechanics. - 2002. - Vol. 29. - Pp. 170-177.

70. Kehoe, M.W. Historical overview of flight flutter testing / Michael W. Kehoe // NASA Technical Memorandum. - 1995.

71. Kere, P. Reissner-Mindlin-Von Kármán type plate model for nonlinear analysis of laminated composite structures / Petri Kere, Mikko Lyly // Composite Structures. - 2005. - Vol. 71. - Issues 3. - Pp. 289-292.

72. Kouchakzadeh, M.A. Panel flutter analysis of general laminated composite plates, / M.A. Kouchakzadeh, M. Rasekh, H. Haddadpour // Composite Structures. -2010. - Vol. 92. - Pp. 2906-2915.

73. Kumara, L.R. Dynamic instability characteristics of laminated composite doubly curved panels subjected to partially distributed follower edge loading / L.Ravi

Kumara, P.K.Dattaa, D.L.Prabhakara // International Journal of Solids and Structures. - 2005. - Vol. 42. - Issue 8. - Pp. 2243-2264.

74. Kuo, S.Y. Flutter of rectangular composite plates with variable fiber pacing / Shih-Yao Kuo // Composite Structures. - 2011. - Vol. 93. - Issue 10. - Pp. 2533-2540.

75. Leissa, A. W. Vibration of Plates / Arthur W. Leissa // NASA Special Publication. - 1969. - SP-160.

76. Li, D. h-Adaptive analysis based on meshless local Petrov-Galerkin method with b spline wavelet for plates and shells / Di Li, Zhongqin Lin // Acta Mechanica Solida Sinica. -2009. - Vol. 22. - Issue 4. - Pp. 337-346.

77. Li, M. Post buckling analysis for composite plate by finite block Petrov-Galerkin method / M. Li, L. X. Meng, C. Shi, P. H. Wen // European Journal of Mechanics - A/Solids. - 2017. - Vol. 61. - Pp. 443-455.

78. Lia, Y. Laminar boundary layer separation over a fluttering panel induced by an oblique shock wave / Yingkun Lia, Haoxiang Luob, Xiong Chena, Jinsheng Xua // Journal of Fluids and Structures. - 2019. - Vol. 90. - Pp. 90-109.

79. Librescu, L. Linear/non-linear supersonic panel flutter in high-temperature field / L. Librescu, P. Marzocca, W.A. Silva // Journal of Aircraft. - 2004. - Vol. 41. -Pp. 918-924.

80. Librescu, L. Vibration of geometrically imperfect panels subjected to thermal and mechanical loads / L. Librescu, W. Lin, M.P. Nemeth, J.H. Starnes // Journal of Spacers and Rockets. - 1996. - Vol. 33. - Pp. 285-291.

81. Lin, H. An admissible function for vibration and flutter studies of FG cylindrical shells with arbitrary edge conditions using characteristic orthogonal polynomials / Huagang Lin, Dengqing Cao, Chonghui Shao // Composite Structures. - 2018. -Vol. 185. - Pp. 748-763.

82. Lin, H. Studies for aeroelastic characteristics and nonlinear response of FG-CNT reinforced composite panel considering the transient heat conduction / Huagang Lin, Dengqing Cao, Chonghui Shao, Yuqian Xu // Composite Structures. - 2018. - Vol. 188. - Pp. 470-482.

83. Ma, J. The dynamic analysis of stochastic thin-walled structures under thermal-structural-acoustic coupling / Juan Ma, Bei Liu, Peter Wriggers, Wei Gao, Bin Yan // Computational Mechanics. - 2019.

84. Marius-Corne, M. Aeroelastic prediction for missile fins in supersonic flows / Meijer Marius-Corne // 29th congress of the international council of the aeronautical science. - 2014. - Russia.

85. Marques, F.D. Evolutionary-based aeroelastic tailoring of stiffened laminate composite panels in supersonic flow regime / F. D. Marques, S. Natarajan, A. J. M. Ferreira // Composite Structures. - 2017. - Vol. 167. - Pp. 30-37.

86. Mehreganian, N. Nonlinear dynamics of locally pulse loaded square Foppl-von Karman thin plates / Mehreganian, A. S. Fallah, L. A. Louca // International Journal of Mechanical Sciences. - 2019. - Vol. 163.

87. Moghaddam, M. R. Three-dimensional free vibrations analysis of functionally graded rectangular plates by the meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) method / M. Rashidi Moghaddam, G. H. Baradaran // Applied Mathematics and Computation. - 2017. - Vol. 304. - Pp. 153-163.

88. Moon, S.H. Suppression of nonlinear composite panel flutter with active/passive hybrid piezoelectric networks using finite element method / Seong Hwan Moon, Seung Jo Kim // Composite Structures. -2003. - Vol. 59. - Issue 4. - Pp. 525533.

89. Mousavi, H. A novel formulation for static and buckling analysis of plates using coupled element free Galerkin-finite strip (EFG-FS) / Hamed Mousavi, Mojtaba

Azhari, Mohammad Mehdi Saadatpour // Applied Mathematical Modelling. -2019. - Vol. 70. - Pp. 264-284.

90. Murphy, K.D. Experimental snap-through boundaries for acoustically excited thermally buckled plates / K.D. Murphy, K, L.N. Virgin, S.A. Rizzi, // Experimental Mechanics. - 1996. - Vol. 36. - Pp. 312-317.

91. Norouzi, H. Dynamic analysis of nonlinear elastically supported von-kàrmàn plates subjected to subsonic flow / Hamed Norouzi, Davood Younesian // Procedia Engineering. - 2017. - Vol. 199. - Pp. 765-771.

92. Pany, C. Flutter analysis of periodically supported curved panels / Chitaranjan Pany, S.Parthan // Journal of Sound and Vibration. -2003. - Vol. 267. - Issue 2. -Pp. 267-278.

93. Park, J.Y. Adaptive stabilization of a von Karman plate equation with a boundary output feedback control / Jong Yeoul Park, Yong Han Kang, Sun Hye Park // Computers & Mathematics with Applications. - 2009. - Vol. 58. - Issue 9. - Pp. 1742-1754.

94. Park, S.H. General decay of a von Karman plate equation with memory on the boundary / Sun-Hye Park // Computers & Mathematics with Applications. -2018. - Vol. 75. - Issue 9. - Pp. 3067-3080.

95. Peng, L.X. Free vibration analysis of corrugated-core sandwich plates using a meshfree Galerkin method based on the first-order shear deformation theory / Lin-Xin Peng, Shi-tao Yan, Gui-kai Mo, Xiong Zhang // International Journal of Mechanical Sciences. - 2014. - Vol. 78. - Pp. 8-18.

96. Petrolo, M. Flutter analysis of composite lifting surfaces by the 1D Carrera Unified Formulation and the doublet lattice method // M. Petrolo. - Composite Structures. - 2013. - Vol. 95. - Pp. 539-546.

97. Rajamani, A. Response of composite plates to blast loading / A. Rajamani, R. Prabhakaran // Experimental Mechanics. - 1980. - Vol. 20. - Pp. 245-250.

98. Ramezannezhad, H. Nonlinear dynamic buckling of imperfect rectangular plates with different boundary conditions subjected to various pulse functions using the Galerkin method / H. Ramezannezhad, M. Darvizeh, A. Darvizeh, R. Ansari // Thin-Walled Structures. - 2015. - Vol. 94. - Pp. 577-584.

99. Rivera, J. E. Munoz. Asymptotic behavior to a von Karman plate with boundary memory conditions / J. E. Munoz Rivera, H. Portillo Oquendo, M. L. Santos // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. - 2005. - Vol. 62. - Issue 7. - Pp.1183-1205.

100. Sabri, F. Finite element method applied to supersonic flutter of circular cylindrical shells / Farhad Sabri and Aouni A. Lakis // AIAA Journal. - 2010. -Vol. 48. - Issue 1. - Pp. 73-81.

101. Sankar, A. Investigation of supersonic flutter of thick doubly curved sandwich panels with CNT reinforced facesheets using higher-order structural theory / A. Sankar, S. Natarajan, T. Ben Zineb, M. Ganapathi // Composite Structures. -2015. - Vol. 127. - Pp. 340-355.

102. Schaeffer, H.G. Flutter of flat panel subjected to nonlinear temperature distribution / H.G. Schaeffer, W.I.Jr. Heard // AIAA Journal. - 1965. - Vol. 8. -Pp. 1918-1923.

103. Shahverdi, H. Nonlinear panel flutter analysis of fg plates with cutout in supersonic flow / H. Shahverdi, M.R. Amoozgar, H. Soleimani // 4th International Conference on Composites: Characterization, Fabrication, and Application. - 2014.

104. Shiau, L. Nonlinear flutter of two-dimensional simply supported symmetric composite laminated plates / Le-Chung Shiau, Li-Teh Lu // Journal of Aircraft. -1992. - Vol. 29. - Pp. 140-145.

105. Stearman, R. O. Ames tests on the flutter of cylindrical shells / R. O. Stearman, M. H. Lock, Y. C. Fung // Structural Dynamic report SM 62-37. -1962. -California Institute of Technology. - Pasadena.

106. Sun, Q. Exact eigen solutions for flutter of two-dimensional symmetric cross-ply composite laminates at high supersonic speeds / Qiaozhen Sun, Yufeng Xing // Composite Structures. - 2018. - Vol. 183. - Pp. 358-370.

107. Tawfik, M. Different finite element models for plate free vibration-comparative study / Mohammad Tawfik // PEADC. Alexandria. - Egypt. - 2004.

108. Tornabene, F. Dynamic stability of doubly-curved multilayered shells subjected to arbitrarily oriented angular velocities: Numerical evaluation of the critical speed / Francesco Tornabene, Michele Bacciocchi // Composite Structures. -2018. - Vol. 201. - Pp. 1031-1055.

109. Vedeneev, V. V. Panel flutter at low supersonic speeds / Vasily V. Vedeneev // Journal of Fluids and Structures. - 2012. - Vol. 29. - Pp. 79-96.

110. Ventres, C.S. Comparison of theory and experiment for nonlinear flutter of loaded plates / C.S. Ventres, E.H. Dowell // AIAA Journal. - 1970. - Vol. 8. -Pp. 2022-2030.

111. Ventsel, E. Thin plates and shells theory, analysis, and applications / Eduard Ventsel, Theodor Krauthammer // Marcel Dekker, Inc. - 2001. - New York. -Basel.

112. Watts, G. Free vibration analysis of non-rectangular plates in contact with bounded fluid using element free Galerkin method / Gaurav Watts, S. Pradyumna, M. K. Singha // Ocean Engineering. - 2018. - Vol. 160. - Pp. 438448.

113. Watts, G. Nonlinear analysis of quadrilateral composite plates using moving kriging based element free Galerkin method / Gaurav Watts, S. Pradyumna, M. K. Singha // Composite Structures. - 2017. - Vol. 159. - Pp. 719-727.

114. Xue, D.Y. Finite element non-linear panel with arbitrary temperatures in supersonic flow / D.Y. Xue, C. Mei // AIAA Journal. - 1993. - Vol. 31. - Pp. 154-162.(83)

115. Yang, T.Y. Flutter of thermally buckled finite element panels / T.Y. Yang, A.D. Han // AIAA Journal. - 1976. - Vol. 4. - Pp. 975-977.

116. Yang, X.D. Damping effect on supersonic panel flutter of composite plate with viscoelastic mid-layer / Xiao Dong Yang, Tian Jun Yu, Wei Zhang, Ying Jing Qian, Ming Hui Yao // Composite Structures. - 2016. - Vol. 137. - Pp. 105113.

117. Yang, Z. Integrated analysis on static/dynamic aeroelasticity of curved panels based on a modified local piston theory / Zhichun Yang, Jian Zhou, Yingsong Gu // Journal of Sound and Vibration. - 2014. - Vol. 333. - Issue 22. - Pp. 58855897.

118. Yates, J.E. flutter of curved panels / J.E. Yates, E.F.E. Zeijdel // TR 59-163. -1959. - Midwest research institute.

119. Yazdi, A.A. Flutter of delaminated cross-ply laminated cylindrical shells / Ali A Yazdi // Composite Structures. - 2012. - Vol. 94. - Issue 9. - Pp. 2888-2894.

120. Yosibash, Z. Collocation methods for the solution of von-Karman dynamic nonlinear plate systems / Z. Yosibash, R. M. Kirby, D. Gottlieb // Journal of Computational Physics. - 2004. - Vol. 200. - Issue 2. - Pp. 432-461.

121. Yosibash, Z. Dynamic response of various von-Karman non-linear plate models and their 3-D counterparts / Z. Yosibash, R. M. Kirby // International Journal of Solids and Structures. - 2005. - Vol. 42. - Issues 9. - Pp. 2517-2531.

122. Zhao, H. Supersonic flutter of laminated composite panel in coupled multi-fields / Hai Zhao, Dengqing Cao // Aerospace Science and Technology. -2015. - Vol. 47. - Pp. 75-85.

123. Zhou, R.C. Finite element time domain modal formulation for non-linear flutter of composite panels / R.C. Zhou, D.Y. Xue, C. Mei // AIAA Journal. - 1994. -Vol. 32. - Pp. 2044-2052.

124. Zhou, T. Three-dimensional nonlinear bending analysis of FG-CNTs reinforced composite plates using the element-free Galerkin method based on the S-R decomposition theorem / Tao Zhou, Yanqi Song // Composite Structures. - 2019. - Vol. 207. - Pp. 519-530.