Распределения гладких функций на пространствах с мерами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат наук Зеленов, Георгий Ильич

• Зеленов, Георгий Ильич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Зеленов, Георгий Ильич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Определения, обозначения и вспомогательные сведения

1.1. Определения и обозначения

1.2. Вспомогательные результаты

ГЛАВА 2. Дробная гладкость полиномиальных образов

гауссовской меры

2.1. Достаточное условие

2.2. Случай одномерного образа

2.3. Случай случайного вектора

2.4. Обобщение для измеримых многочленов

ГЛАВА 3. Оценки для расстояния по вариации между образами мер

3.1. Оценки вариации через расстояние по Канторовичу

3.2 Оценка вариации через расстояние между отображениями

ГЛАВА 4. Обобщение на другие меры и классы функций

4.1. Случай мер, абсолютно непрерывных относительно выпуклых мер

4.2. Обобщение на случай тригонометрических полиномов

4.3. Обобщение на случай соболевских функций

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

74

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Распределения гладких функций на пространствах с мерами»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Тематика диссертации находится на стыке теории меры, теории вероятностей и функционального анализа. Главными объектами исследования в работе выступают образы счетно-аддитивной меры, заданной на сигма-алгебре борелевских множеств некоторого локально выпуклого пространства, под действием гладких функций, причем требования гладкости в различных результатах широко варьируются: от полиномиальности до подходящей соболевской дифференцируемости.

Близкие проблемы интенсивно изучаются уже несколько десятилетий, среди внесших значительный вклад в эту область математиков можно назвать П. Маллявэна [33], А.В. Угланова [22], [23], [40], Ю.А. Давыдова, Г.В. Мартынову, М.А. Лифшица, Н.В. Смородину (см. [10], [11], [12], [13], [14], [29]), В.И. Богачева [2], [5], Ф. Гетце, Ю.В. Прохорова, В.В. Ульянова (см. [8], [9]), Нуаларта, Нурдина, Поли (см. [34], [35]), В. Балли и Л. Карамелино [25].

Хотя основные результаты работы относятся к теории меры, во многих задачах оказывается удобно использовать терминологию теории вероятностей. Работа может быть условно разделена на три части, которые соответствуют главам со второй по четвертую (первая глава является вспомогательной). Между тремя частями работы наличествует как идейная, так и техническая связь.

Во второй главе рассматриваются свойства образа стандартной гаус-совской меры под действием измеримого многочлена или измеримого полиномиального отображения. Данный объект имеет простую теоретико-вероятностную интерпретацию: это распределение случайной величины (или случайного вектора), заданной многочленом от нескольких независимых стандартных случайных величин. Измеримые многочлены подробно описаны в [26, §5.10]. Важно отметить, что к измеримым многочленам по гауссовской мере относятся не только обычные многочлены от нескольких переменных, но и более сложные объекты: например, кратные

стохастические интегралы Ито могут быть представлены как измеримые многочлены на пространстве с мерой Винера. (см. [36, п. 1.1.2] или [26, §2.11].)

Нас интересует гладкость плотности распределения измеримых многочленов в смысле (дробных) классов Соболева. Легко построить пример, когда плотность распределения многочлена от нормальной случайной величины не принадлежит соболевскому классу с целым показателем: достаточно рассмотреть х2-квадрат распределение с одной степенью свободы. Его плотность распределения не ограничена, поэтому не только не лежит в соболевском классе, но даже не имеет ограниченной вариации.

По этой причине во второй главе изучается принадлежность распределений измеримых многочленов к классам Никольского-Бесова. Более точно, мы исследуем принадлежность плотностей распределений многочленов к дробным классам Соболева, открытым Никольским и Бесовым. Существует обширная литература по этим классам функций. В частности эти классы описаны в работах [1], [20] , [24], [39].

Стоит заметить, что вопрос дробной гладкости распределений многочленов долгое время был обделен вниманием исследователей. Было известно, что плотности распределений полунепрерывны снизу, но этот результат имеет место для общего случая невырожденных Маллявеновских функций, как показано в работе [25].

В третьей главе обсуждается оценка сверху для расстояния по вариации между распределениями двух многочленов. Для изучения расстояния по вариации между распределениями многочленов полезны оценки следующего вида:

¿ту(7 ◦ /-1,7 ◦ 9-1) ^ С||/- 9\\1Р1. (0.0.1)

где /, 9 — 7-измеримые многочлены степени ё, а число С может зависеть от ё и некоторых числовых характеристик / и 9.

Оценку такого вида для измеримых многочленов / и 9 степени ё с 0 = 1/ё можно найти в работах Давыдова [29] и Давыдова и Мар-

тыновой [14]. Однако в этих работах нет полного доказательства. Полное доказательство можно найти в кандидатской диссертации Мартыно-вой [17]. Более того, доказательства из работ [29] и [14] опираются на теорему 1.3 из [17]. Также полное доказательство подобной, но худшей оценки с в = 1/2ё можно найти в работе Нурдина и Поли [35] . Авторы знали о работе [14], однако не имели доступа к [17] и поэтому привели свое доказательство оценки вида (0.0.1) с худшим показателем, не сумев добиться оптимального показателя. Предложенное в диссертации доказательство отличается от данного Г.В. Мартыновой не только тем, что оно короче (хотя и не столь элементарно), но, главное, исследованием структуры числа С.

Кроме того, в [35, теорема 3.1] Нурдин и Поли доказали следующий факт: если {/п} — последовательность многочленов степени ё на пространстве с гауссовской мерой 7, причем последовательность их распределений 7 о /-1 слабо сходится к абсолютно непрерывной мере, то найдется такое число С, что

ёту(7 о /п-1,7 о /-1) ^ сёкк(7 о /-\7 о /тУ, в = ,

где — расстояние по Канторовичу-Рубинштейну. (определения см. в главе 1 данной диссертации; в нашей работе символом ёрм, который использовался в [35] для обозначения называется метрика из оригинальной работы Форте и Мурье [30], эквивалентная ).

Из доказательства данного результата из [35] можно извлечь следующий факт: для любых двух 7-измеримых многочленов /, д степени ё с дисперсиями а/, ад, лежащими в интервале (а,Ь) с а > 0, существует такое число С = С (а, Ь, ё), зависящее только от а, Ь, ё, что

ёту(7 о /-1,7 о д-1) ^ Сёкк(7 о /-1,7 о д-1). (0.0.2)

Позже в работе [34] Нурдин, Нуаларт и Поли получили похожую оценку для к-мерных случайных векторов / и д, составленных из многочленов. При этом обе оценки одинаковы для многочленов от любого числа

переменных, что и позволяет перейти к измеримым многочленам по мере (которые, в некотором смысле, являются бесконечномерным аналогом обычных многочленов).

Связь между оценками вида (0.0.2) и возможностью вывести сходимость по распределению из сходимости по вариации не случайна. Метрика ёки (а также метрики ёк и ёрм) метризует слабую сходимость распределений измеримых многочленов. Точнее, метрики и эквивалентная ей ёрм метризуют слабую сходимость вероятностных мер, а метрика ёк — слабую сходимость вместе со сходимостью первых моментов распределений (см. [4, §8.3, §8.10]).

В связи с оценками расстояния по вариации через расстояния ёк или ёрм следует также упомянуть результат из работ [6], [7] (также см. работы [32] и [37]): для всякого к существует такое число С (к), что для любых двух вероятностных мер д и V на с плотностями дм и д1У из класса функций ВУ ограниченной вариации имеет место оценка

ёту(д, V)2 ^ С(к)ёк(д, V)||Вдм - Вд^||ту. (0.0.3)

Этот результат является обобщением классического неравенства Харди-Ландау-Литтлвуда (см. [31]), согласно которому

||/ИЬ < С||/||ь1|/''||ь

для любой интегрируемой функции /: К ^ К, имеющей две интегрируемых производные. В случае к = 1 неравенство (0.0.3) легко выводится из неравенства Харди-Ландау-Литтлвуда: достаточно приблизить функции ограниченной вариации гладкими функциями с компактным носителем и в качестве / взять разность между функциями распределения мер д и V. Однако неравенство (0.0.3) плохо подходит для оценок типа (0.0.2), поскольку (как уже отмечалось ранее) распределения многочленов не обязаны лежать в классе ВУ. Чтобы преодолеть эту проблему, в диссертации доказывается аналог (0.0.3), требующий от дм и ду принадлежность к классам Никольского-Бесова вместо принадлежности к ВУ.

В четвертой главе обсуждаются обобщения результатов предыдущих двух глав на другие классы функций и меры, отличные от гауссовской. В связи с этим следует отметить, что в статье [29] наряду с оценкой (0.0.1) для распределений многочленов приводится похожая оценка для распределений тригонометрических многочленов. А именно в [29, п. 4] приводится следующий результат:

1

ёту(7 о /-1,7 о д-1) ^ С||/- д||^+1, (0.0.4)

где /, д: ^ К — тригонометрические многочлены степени ё, 7 — стандартная гауссовская мера на . Этот результат является аналогом (0.0.1) для тригонометрических многочленов. В связи с этим также стоит отметить, что в работах [35] и [34] доказательство неравенств типа (0.0.2) для обычных многочленов опиралось на два факта: гладкость многочленов, позволяющую использовать интегрирование по частям, и неравенство Карбери-Райта. Неравенство Карбери-Райта, доказанное в [28], — факт из выпуклой геометрии, который имеет место для многочленов на пространстве с выпуклыми мерами. Его можно вывести из неравенства Ремеза (см. [28] и [18]). Однако для тригонометрических многочленов тоже выполнен аналог неравенства Ремеза: так называемая лемма Турана, доказанная в работе [19]. Поэтому возникает вопрос: можно ли обобщить результаты, справедливые для измеримых многочленов, на случай тригонометрических многочленов? Также возникает вопрос об обобщении результатов на случай многочленов на пространствах с негауссовской мерой. Например, в работе [17] аналог оценки (0.0.1) получен для мер на отрезке, имеющих ограниченную липшицеву плотность. Наконец, можно отметить следующий факт: в работах [35] и [34] оценки типа (0.0.2) возникали в связи со слабой сходимостью последовательностей распределений многочленов фиксированной степени. В работах [35], [34] было установлено, что для распределений случайных величин, представляющих собой измеримые многочлены фиксированной степени на локально выпуклом пространстве с гауссовской мерой, слабая сходимость влечет сходимость по вариации при условии невырожденности предела (и неко-

торых условиях на последовательность). Аналогичное свойство выполнено также для многомерных случайных векторов, компоненты которых являются многочленами фиксированной степени. Возникает вопрос, насколько широкий класс функций можно рассмотреть вместо класса (измеримых) многочленов фиксированной степени?

Цель работы.

• Для измеримых многочленов / относительно гауссовской меры 7 на локально выпуклом пространстве X исследовать дробную гладкость распределений 7о/-1. Исследовать аналогичный вопрос для отображений / = (/1,..., /к) из X в , компоненты которых являются измеримыми многочленами.

• Исследовать возможность получения оценки типа неравенства Хар-ди-Ландау-Литтлвуда, которую можно применять при изучении распределений невырожденных измеримых многочленов.

• Исследовать оптимальный показатель степени расстояния Канторовича в оценках расстояния по вариации через расстояние по Канторовичу для распределений измеримых многочленов.

• Изучить возможность обобщения полученных результатов на более широкие классы мер и функций.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Доказано достаточное условие принадлежности меры к классу Никольского-Бесова. С его помощью проверена принадлежность распределений измеримых многочленов на пространстве с гауссовской мерой к классу Никольского-Бесова.

2. Получено дробное неравенство Харди-Ландау-Литтлвуда для мер, позволяющее оценивать расстояние по вариации через расстояние по Канторовичу между мерами из класса Никольского-Бесова.

3. Улучшены оценки расстояния по вариации через расстояние по Канторовичу для распределений измеримых многочленов на пространстве с

гауссовской мерой, полученные в работах [35], [34]. Попутно получено новое доказательство оценки расстояния между распределениями измеримых многочленов через среднеквадратическое расстояние между самими многочленами, причем это доказательство дает информацию о структуре постоянной в неравенстве.

4. Установлена принадлежность распределений тригонометрических многочленов на пространстве с гауссовской мерой к классу Никольского-Бесова.

5. Для распределений тригонометрических многочленов на пространстве с гауссовской мерой получена оценка расстояния по вариации через расстояние по Канторовичу, а также через среднеквадратическое расстояние между тригонометрическими многочленами.

6. Доказано общее утверждение, позволяющее из слабой сходимости образов мер получить сходимость по вариации.

Методы исследования. В работе используются методы теории меры, функционального анализа и теории вероятностей, а также ряд оригинальных конструкций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах бесконечномерного анализа, теории меры, теории вероятностей и стохастического анализа. Результаты и методы работы будут востребованы в исследованиях, проводимых в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова, Математическом институте имени В.А. Стеклова РАН и его Петербургском отделении, Институте проблем передачи информации имени А.А. Харкевича РАН, Санкт-Петербургском государственном университете, Новосибирском государственном университете и Национальном исследовательском университете «Высшая школа экономики».

Апробация диссертации.

Результаты диссертации докладывались автором на следующих науч-

ных конференциях:

1. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, МГУ, 2015 г.),

2. Международная конференция "Infinite-dimensional analysis (the 19th ISE)", Казальмаджоре, Италия (2016 г.).

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих научно-исследовательских семинарах.

1. Научно-исследовательский семинар «Бесконечномерный анализ и стохастика» под руководством В.И. Богачева, С.В. Шапошникова и Н.А. Толмачева (МГУ, многократно, 2013-2018 г.)

2. Международный научно-исследовательский семинар "Infinite-dimensional stochastic analysis" в университете г. Билефельда, Германия (многократно, 2014-2017 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора (см. работы [41], [42], [43], первые две из которых в соавторстве) в рецензируемых научных журналах, входящих в базы данных SCOPUS и Web of Science.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 44 наименований. Общий объем диссертации составляет 78 страниц.

В диссертацию вошли результаты, полученные при работе над проектами 14-11-00196 и 17-11-01058 Российского научного фонда (выполняемыми при МГУ имени М. В. Ломоносова).

Краткое содержание диссертации. Нумерация приводимых здесь результатов соответствует нумерации в основном тексте диссертации.

Первая глава диссертации является вводной. В ней содержатся необходимые определения, обозначения, а также известные результаты, которые используются в остальных трех главах работы.

Во второй главе исследуются вопросы дробной гладкости образов

VJ VJ А

гауссовской меры под действием измеримых многочленов. А именно: на

локально выпуклом пространство X задана стандартная гауссовская мера 7. Мы исследуем меру 7о/-1, где / — измеримый многочлен степени б. В терминологии теории вероятностей мера 7 о /-1 является распределением случайной величины /, заданной на вероятностном пространстве X с а-алгеброй борелевских множеств и мерой 7. Мы исследуем принадлежность плотностей распределений 7 о /-1 к дробным соболевским классам Ва(Мк) (классам Никольского). Основными результатами данной главы являются следующие утверждения.

Предложение 2.1.1 Пусть а Е (0,1] и V — такая борелевская мера на Мк, что для каждой функции ^ Е О^М^) и каждого единичного вектора е Е Мк выполнено неравенство

[ де^(х) V^ оцад^.

Jшk

Тогда

К - V||ту < 21—аО|Н|а VН Е Мк,

т.е. V Е Ва(Мк) и IV||Ва ^ 21-аО. В частности, плотность меры V принадлежит всем ) при р < к/(к — а) согласно (1.1.2).

Теорема 2.2.2 Пусть 7П — стандартная гауссовская мера Мп. Для всякого б Е N найдется такое число О (б), зависящее только от б, что для любого многочлена / степени б на Мп и любой функции ^ Е О^М) выполнено неравенство

/ <Л/)б7п ^ О(б)||У/||—^М^И^^И^—

,/М"

Следовательно, 7П о /—1 лежит в классе Никольского-Бесова В 1/^(М) во всех случаях, когда / не является постоянной.

Следствие 2.4.2 Пусть 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X. Тогда для всякого б Е N существует такое число О (б), зависящее только от б, что для всяких 7-измеримого многочлена /: X ^ М степени б и функции ^ Е О^ (М1) имеет место неравенство

/ <Л/)б7 ^ о(б)||у/и—1^м^И^-1

Jx

В частности, если f не есть константа y-почти наверное, то 7 о f-1 лежит в классе Никольского-Бесова B 1/d(M).

Теорема 2.3.1 Пусть k,d £ N, а > 0, b > 0, т > 0. Тогда найдется такое число C(d, k, а, b, т) > 0, что для всякого отображения f = (f1,..., fk): Mn ^ Mk, где все компоненты fi — многочлены степени d, удовлетворяющие условиям

/ А/ dYn ^ а, max а/* ^ b, «УМ" *

для всякой функции ^ £ C^(Mk) и всякого вектора e £ Mk с |e| = 1 выполнено неравенство

I de^(f (x)) Yn(dx) < C ^МДт^И^УдеИ^^ a = Л! (J , .

JMn 4k(d — 1) + т

Следовательно,

llYn о f-1 - (Yn о f-1)h||TV ^ C(d, k, a, b, т)|h|a,

или, что равносильно,

Yn о f-1 £ Ba(Mk) для каждого a < 1

4k (d - 1)'

В частности, плотность меры Yn ◦ f принадлежит всем пространствам LP(Mk) с p < k/(k — a).

Следствие 2.4.3 Пусть y — центрированная радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X. Пусть k, d £ N, а > 0, b > 0, т > 0. Существует такое число C(d, k, а, b, т) > 0, что для всякого отображения f = (f1,...,fk): X ^ Mk, где все компоненты fi — y-измеримые многочлены степени d и выполнены условия

/ А/ dYn ^ а, max а/* ^ b, Ум" *

для каждой функции ^ £ C^(Mk) и каждого вектора e £ Mk с | e | = 1 справедливо неравенство

Г 1

de^(f (x)) Y(dx) ^ C^ДаДт)^^а, a =

^ , - 4k(d - 1)+ т'

|7 о / 1 — 7 о д 1|ту ^ О ||/ —

В частности, если А/ > 0 на множестве положительной меры, то мера 7 о /—1 лежит в классе Никольского-Бесова Ва(Мк).

Теорема 2.3.1 и следствие 2.4.3 являются обобщениями теоремы 2.2.2 и следствия 2.4.2 на случай случайных векторов, составленных из измеримых многочленов. Также важно отметить, что показатель а = 1/б класса Никольского-Бесова Ва(М) является наилучшим из возможных в условиях следствия 2.4.3, как показывает пример 2.2.3.

т-ч о V-/

В третьей главе исследуются свойства оценки на расстояние по вариации между распределениями измеримых многочленов и измеримых полиномиальных случайных векторов на пространстве с гауссовской ме-

V-/ Т-Ч V-*

рой. В этой главе рассматриваются оценки следующих видов:

||т о /—1 — 7 о д—1|ту < Обк(7 о /—1,7 о д—1)0

ту

Основными результатами об оценках первого типа являются следующие три утверждения. При этом теорема 3.1.1 справедлива не только для распределений измеримых многочленов, но для любых мер с плотностями из классов Ва(Мк).

Теорема 3.1.1 Пусть V, а Е Ва(Мк) — борелевские вероятностные меры на Мк. Тогда

||а — V||ту ^ О(к,а)||а — V||В?+а)бк(а, v)а/(1+а),

где

О (к, а) = 1 + /* |х|а 7к (бх). Jшk

Следствие 3.1.4 Пусть 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X. Пусть б Е N а > 0, т > 0. Тогда найдется такое число О = О (б, а), что для всяких 7-измеримых многочленов / и д на X степени б с ||У/1|* ^ а и ||Уд||* ^ а справедливы неравенства

11

7 о / — 7 о д ||ту < Обк(7 о / ,7 о д ), 0 =

б + 1'

Следствие 3.1.10 Пусть 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X. Пусть к, 1 Е N а> 0, Ь> 0, т> 0. Тогда найдется такое число С1 = С1(1, к,а,Ь,т), что для любых отображений / = (/ь ..., /) и д = (#1,..., д^) из в ^, компоненты /¿, д^ которых являются измеримыми многочленами степени 1 с

/ А/¿7 ^ а, / А3¿7 ^ а, а/ ^ Ь, а№ ^ Ь, г = 1,...,к,

^Х ,/Х г г

выполнено неравенство

(ту(7 ◦ /-1,7 ◦ д-1) ^ С1^рм(7 ◦ /-1,7 ◦ д-1)1^-1^.

Следствия 3.1.4 и 3.1.10 дают оценки с большими показателями чем в оценках из работ [35] и [34].

В работе [35] для распределений измеримых многочленов (т.е. для случая /, д : X ^ К) была доказана оценка с показателем в = 1/(21 + 1).

В [34] оценка для распределений к-мерных случайных векторов из измеримых многочленов (т.е. для случая /, д : X ^ ^) была доказана для всех показателей

в< 1

(к + 1)(4к(1 - 1) + 3) + 1' Также следует отметить следующий результат, который является непосредственным улучшением теоремы 3.1 из [35] (в том смысле, что при тех же условиях получается более сильный результат).

Следствие 3.1.7 Пусть 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X. Пусть {/п} — последовательность 7-измеримых многочленов степени 1. Предположим, что последовательность мер 7 о /п-1 слабо сходится к абсолютно непрерывной мере V на К. Тогда эта последовательность сходится по вариации, и для всякого т > 0 найдется такое число С2 = С2 (1, а^, т), где а^ — дисперсия V, что для достаточно больших п и т имеем

1ту(7 о /-1,7 о /-1) ^ С21к(7 о /-1,7 о /"1)1/(2'"1+т).

Еще одним важным результатом из главы 3 является следующая оценка.

Теорема 3.2.1 Для каждого б Е N найдется число такое число с(б), что для любого п и любой пары многочленов /, д: ^ К степени б, имеет место неравенство

||Тп о /—1 — 7п о д—1|ту ^ с(б) (|Уд|—110 + 1) ||/ — д||^.

Степень 1/б при Ь2-норме уже была достигнута в [14] (см. также [29] и [17]) и является наилучшей для измеримых многочленов степени б. Однако здесь получена новая информация о виде константы в этом неравенстве. Подробнее о сравнении результатов см. замечание 3.2.3.

В четвертой главе обсуждаются различные обобщения результатов предыдущих глав. В первом параграфе обсуждаются обобщения результатов первых двух глав на следующий случай: у нас есть пространство

с гауссовской мерой 7. Пусть теперь / — не многочлен, а тригонометрический многочлен. Что мы можем сказать о мере 7 о /—1? Доказано, что на этот случай переносятся все основные результаты первых двух глав. В качестве примеров приведем следующие три результата.

Теорема 4.2.8 Пусть 7П — стандартная гауссовская мера Для всякого б Е N найдется такое число О (б), зависящее только от б, что для любого тригонометрического / степени б на и любой функции ^ Е О^К) выполнено неравенство

[ ) б7„ < О(б)||У/1|—1/м||И|^|И|£г1/м-

Jшn

Таким образом, 7П о /—1 лежит в классе Никольского-Бесова В 1/м(К) во всех случаях, когда / не является постоянной.

Теорема 4.2.11 Пусть к, б Е N а > 0, Ь > 0, т > 0. Тогда найдется такое число О = О (б, к,а,Ь,т), что для любых отображений / = (/1,..., /к) и д = (д1,..., дк) из в , компоненты /¿, д^ кото-

рых являются тригонометрическими многочленами степени 1 с

/ А/ (7п ^ а, / А3 (7п ^ а, тах а/г ^ Ь, тах а3г ^ Ь,

«Ум» «Ум» г г

выполнено неравенство

(ТУ(7п о /-1,7п од-1) < С(к(7п о /-1,7п од-1 , в = 4к(21 _ ^ + 1 + т.

Теорема 4.2.12 Для каждого 1 Е N найдется такое число с(1), что для всяких п и пары тригонометрических многочленов /, д: Мп ^ К степени 1 имеет место неравенство

||7п о /-1 _ 7п о д_Чту ^ с№(||Уд||_1/(2<"> + 1)||/ _ дП2/2Л-

Другими основными результатами четвертой главы являются следующие теоремы.

Теорема 4.1.2 Пусть ц — абсолютно непрерывная логарифмически вогнутая мера мера на прямой, а вероятностная мера V имеет ограниченную плотность д относительно ц, причем функция д имеет ограниченную вариацию на всей прямой. Тогда найдется число с(1, д,ц, V), зависящее от 1, д, ц и V, такое, что для любой пары многочленов /, д степени 1 выполнено неравенство

11V о /_1 _ V о д_1|ту < ф^ц^^||д/|_21/(^_1) + ^||/ _ д||1эд-

Теорема 4.3.1 Если последовательность отображений Fn: X ^ такова, что

sup IF||4k2 < го и lim = 0,

n '

то последовательность мер дп = 7 о F"1 имеет подпоследовательность, сходящуюся по вариации.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Владимиру Игоревичу Богаче-ву за постановку задач, их обсуждение и постоянную поддержку в работе.

Глава 1

Определения, обозначения и вспомогательные сведения

В этой главе даются основные определения и обозначения, используемые в работе, а также приводятся известные результаты, применяемые при доказательствах основных теорем работы.

1.1 Определения и обозначения

Стандартная гауссовская мера 7п на задается плотностью

(2п)—п/2 ехр(—|х|2/2).

Выражение д о /—1 обозначает образ меры д под действием измеримого отображения /, принимающего значения в . По определению, образ меры задается формулой

д о /—1(В) = д(/—1(В)),

где В с — борелевское множество. Если ^,..., £п — независимые стандартные нормальные случайные величины, а /: ^ — некоторое измеримое отображение, то распределением вектора /(^1,..., £п) будет мера 7п о /—1. В случае к = 1 плотность меры д о /—1 (в том случае, когда мера имеет плотность) почти всюду совпадает с производной отображения I ^ д(/ < £).

Мы определим норму ||р||° = 8ирж |р(х)| для произвольной ограниченной функции р, заданной на некотором множестве. Для краткости в тех случаях, когда не возникает путаницы, Ь'-норма функции / будет обозначаться через ||/||р.

Напомним определение расстояния по вариации бту(д, V) между бо-релевскими мерами д, V на . Это расстояние задается нормой

|Н|ту :=8ир|^ рба, р Е О6°°(#), ||р||° ^ 1},

где О°°(Кк) — множество ограниченных бесконечно дифференцируемых функций, у которых ограничены все производные.

Расстояние Канторовича (его также называют расстоянием Канторовича-Рубинштейна [15], [16], или ошибочно именуют расстоянием Ва-серштейна) между борелевскими вероятностными мерами д, V на с конечными первыми моментами задается формулой

бк(д, V) :=8ир{У рб(д — V), р Е О°°(#), ||Ур||° ^ 1}.

Для мер без моментов можно рассмотреть метрику Форте-Мурье (см. [30, стр. 277-279]; в работе [30] также рассматриваются другие метрики, в том числе и бк):

брм(д, V) := вир|У рб(д — V), р Е О°°(Кк), ||р||° + ||Ур||° < 1}.

Эквивалентная метрика (мы будем называть ее метрикой Канторовича-Рубинштейна, поскольку она является частным случаем [16, теорема 1']) определяется формулой

бки.(д, V) :=8ир|^ рб(д — V), р Е О°°(Кк), ||р||° < 1, ||Ур||° < 1}.

Стоит отметить, что эти метрики могут быть определены в случае общих метрических пространств, для чего вместо класса О° рассматривается класс ограниченных липшицевых функций. Очевидно, что

бРМ ^ бки ^ бк.

Напомним понятие дробного соболевского класса ) (см., на-

пример, [1], [20]). Класс Никольского-Бесова ) порядка а Е (0,1)

есть класс таких функций д Е ), что

||д(- + Н) _ д|£1 < С(д)|Н|а VН Е М

для некоторого С(д). Для этого класса есть другие обозначения: он обозначен через (М*) в [20], через В^'^М*) в [24] и через А^ в [39]. Этот класс — частный случай класса ЯДМ^), определяемого аналогично с Ь'-нормой вместо Ь1-нормы. Для сокращения мы будем использовать обозначение В).

В данной работе обозначение В 1(М^) будет использовано и в случае а = 1. В случае а = 1 у нас получится класс ВУ(М^) функций ограниченной вариации. Стандартный класс В"(М1) определяется через симметрическую разность д(- + Н) + д(- _ Н) _ 2д и он меньше, чем класс ВУ (К^.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зеленов, Георгий Ильич, 2018 год

Литература

[1] Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. Т.1,2, 2-е изд. Москва: Наука, 1996.

[2] Богачев В.И. Функционалы от случайных процессов и связанные с ними бесконечномерные осциллирующие интегралы // Извест. РАН.

- 1992. - Т. 156. - №2. - С. 243-278.

[3] Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. М.-Ижевск: РХД, 2008.

[4] Богачев В.И. Основы теории меры. Т.1,2, 2-е изд. М.-Ижевск: РХД, 2006.

[5] Богачев В.И. Распределения многочленов на многомерных и бесконечномерных пространствах с мерами // Успехи матем. наук. - 2016. -Т. 71. -№4. - С. 107-154.

[6] Богачев В.И., Колесников А.В. Оценки снизу расстояния Канторовича // Доклады Академии наук. - 2015. - Т. 460. - №6. - С. 631-633.

[7] Богачев В.И., Ванг Ф., Шапошников А.В. Оценки норм Канторовича на многообразиях // Доклады Академии наук. - 2015. - Т. 463. - №6.

- С. 633-638.

[8] Гетце Ф., Прохоров Ю.В., Ульянов В.В. Оценки для характеристических функций многочленов от асимптотически нормальных случайных величин // Успехи матем. наук. - 1996. Т. 51. - №2. - С. 3-26.

[9] Гетце Ф., Прохоров Ю.В., Ульянов В.В. О гладком поведении вероятностных распределений при полиномиальных отображениях // Теория вероятн. и ее примен. - 1997. - Т. 42. - N 1. - С. 51-62.

[10] Давыдов Ю.А. О распределениях кратных интегралов Винера-Ито // Теория вероятн. и ее примен. - 1990. - Т. 35. - С. 51-62.

[11] Давыдов Ю.А. О сходимости по вариации образов одномерных мер // Зап. научн. семин. ПОМИ. 1992. Т. 194. Проблемы теории вероятностных распределений, XII. С. 48-58.

[12] Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А. Метод расслоений в некоторых вероятностных задачах. Итоги науки и техн. Теория вероятн., мат. статист. Теор. киберн. ВИНИТИ. 1984. Т. 22. С. 61-157.

[13] Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. М.: Физматлит, 1995.

[14] Давыдов Ю.А., Мартынова Г.В., Предельное поведение распределений кратных стохастических интегралов // Сборник статей: Статистика и управление случайными процессами, С. 55-57. Москва: Наука, 1989.

[15] Канторович Л.В. О перемещении масс // Доклады Академии наук СССР. - 1942. - Т. 37. - №7-8. - С. 227-229.

[16] Канторович Л.В., Рубинштейн Г.Ш. Об одном пространстве вполне аддитив ных функций // Вестн. ЛГУ. Математика. Механика. Астрономия. - 1958. - Т. 7. - №2. - С. 52-59.

[17] Мартынова Г.В. Предельные теоремы для функционалов от случайных процессов Диссертация кандидата физико-математических наук. Ленинград, 1987. - 01.01.05 / ЛГУ

[18] Назаров Ф.Л., Содин М.Л., Вольберг А.Л. Геометрическая лемма Каннана-Ловаса-Шимоновича, не зависящие от размерности оценки распределения значений полиномов и распределение нулей случайных аналитических функций // Алгебра и анализ. - 2002. - Т. 14. -№2. - С. 214-234.

[19] Назаров Ф.Л. Локальные оценки экспоненциальных полиномов и их приложения к неравенствам типа принципа неопределенности // Алгебра и анализ. - 1993. - Т. 5. - №4. - C. 3-66.

[20] Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

[21] Прохоров Ю.В. О многочленах от нормально распределенных случайных величин // Теория вероятн. и ее примен. - 1992. - Т. 37. -№4. - С. 747-750.

[22] Угланов А.В. О делении обобщенных функций бесконечного числа переменных на многочлены // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 264. -№5. - C. 1096-1099.

[23] Угланов А.В. О гладкости распределений функционалов от случайных процессов // Теория вероятн. и ее примен. - 1988.-Т. 33.-№3.

- C. 535-544.

[24] Adams R.A., Fournier J.J. Sobolev spaces. New York: Academic Press, 2003.

[25] Bally V., Caramellino L. On the distances between probability density functions // Electron. J. Probab. - 2014. - Vol. 19. - №110. - P. 1-33.

[26] Bogachev V.I. Gaussian measures. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1998.

[27] Bogachev V.I., Gaussian measures on infinite-dimensional spaces. // Real and Stochastic Analysis. Current trends. (ed. M.M. Rao), pp. 1-83. Singapore: World Sci., 2014.

[28] Carbery A., Wright J. Distributional and Lq norm inequalities for polynomials over convex bodies in Rn. // Math. Research Lett. - 2001.

- Vol. 8. - №3 - P. 233-248.

[29] Davydov Y.A. On distance in total variation between image measures // Statistics & Probability Letters. - 2017. - Vol. 129. - P. 393-400.

[30] Fortet R., Mourier E. Convergence de la repartition empirique vers la repartition theorique // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. - 1953. - Vol. 70. -№3. - Р. 267-285.

[31] Hardy G.H., Landau E., Littlewood J.E. Some inequalities satisfied by the integrals or derivatives of real or analytic functions // Math. Z. -1935. - B. 39. - №1. - S. 677-695.

[32] Kohn R.V., Otto F., Upper bounds on coarsening rates // Comm. Math. Phys. - 2002. - Vol. 229. - №3. 375-395.

[33] Malliavin P. Stochastic analysis. Berlin: Springer-Verlag, 1997.

[34] Nourdin I., Nualart D., Poly G. Absolute continuity and convergence of densities for random vectors on Wiener chaos // Electron. J. Probab. -2013. - Vol. 18. - №22. - P. 1-19.

[35] Nourdin I., Poly G. Convergence in total variation on Wiener chaos Stochastic Process. Appl. - 2013. - Vol. 123. - №2. - P. 651-674.

[36] Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 2006.

[37] Seis C., Maximal mixing by incompressible fluid flows // Nonlinearity. - 2013. - Vol. 26. - №12. - P. 3279-3289.

[38] Shigekawa I., Stochastic analysis. Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc., 2004.

[39] Stein E., Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton: Princeton University Press, 1970.

[40] Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2000.

Работы автора по теме диссертации:

Статьи в научных журналах Web of Science, SCOPUS, RSCI

[41] Богачев В.И., Зеленов Г.И. О сходимости по вариации слабо сходящихся многомерных распределений // Доклады Академии наук. -2015. - Т. 461. - №1. - С. 14-17.

Bogachev V.I., Zelenov G.I. On convergence in variation of weakly convergent multidimensional distributions // Doklady Mathematics. -2015. - Vol. 91. - №2. - P. 138-141.

[42] Богачев В.И., Зеленов Г.И., Косов Е.Д. Принадлежность распределений многочленов к классам Никольского-Бесова // Доклады Академии наук. - 2016. - Т. 469. - №6. - С. 651-655.

Bogachev V.I., Zelenov G.I., Kosov E.D. Membership of distributions of polynomials in the Nikolskii-Besov class // Doklady Mathematics. -2015. - Vol. 94. - №1. - P. 453-457.

[43] Zelenov G.I. On distances between distributions of polynomials // Theory of Stochastic Processes. - 2017. - Vol. 22. - №2. - P. 79-85.

Тезисы докладов на научных конференциях

[44] Зеленов Г.И. Совместные распределения измеримых многочленов // Сборник тезисов докладов на международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2015». М.: МГУ, 2015. - 1 c.