Нелинейные пространственно-временные оптические структуры в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты генерации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат физико-математических наук Кренц, Антон Анатольевич

• Кренц, Антон Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кренц, Антон Анатольевич

Введение

Глава 1.Современное состояние теоретических и экспериментальных исследований динамики нелинейных оптических структур в поле излучения широкоапертурных лазеров

1.1 Динамика нелинейных оптических структур в поле широкоапертурных лазеров. Эксперимент

1.2 Динамика нелинейных оптических структур в поле широкоапертурных лазеров. Теория

Глава 2. Нелинейные оптические структуры в поле излучения широкоапертурного лазера при отрицательном знаке отстройки

2.1 Сценарий перехода к хаосу для интенсивности излучения

2.2 Сценарий перехода к хаосу для комплексной огибающей 67 оптического поля

2.3 Учет конечности времени релаксации поляризации 83 2.4. Численный расчет динамики оптического поля широкоапертурного лазера на конечной апертуре

Глава 3. Нелинейные оптические структуры в поле излучения широкоапертурного лазера при положительном знаке отстройки

3.1 Нелинейные оптические структуры и их устойчивость при положительной отстройке в одномерном случае

3.2 Нелинейные оптические структуры и их устойчивость при положительной отстройке в двумерном случае

3.3 Численное моделирование динамики оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты 123 Заключение 144 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные пространственно-временные оптические структуры в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты генерации»

Диссертация посвящена теоретическому исследованию нелинейных пространственно-временных оптических структур, формируемых в поле излучения широкоапертурных лазеров.

Актуальность темы. Нелинейная оптика широкоапертурных активных и пассивных оптических систем является быстро развивающимся научным направлением, иногда объединяемым под общим названием нелинейной поперечной оптики. Данное направление нелинейной оптики исследует спонтанное формирование пространственно-временных структур электромагнитного поля в плоскости ортогональной направлению распространения излучения. В широкоапертурных пассивных оптических системах были экспериментально зафиксированы такие пространственно-временные структуры как периодические структуры автоволнового типа, спиральные автоволны, различные вихревые структуры, включая изолированные вихри, вихревое стекло, вихревые дорожки, стационарные и нестационарные решётки оптических вихрей, пространственно-временной хаос. Существование таких структур в широкоапертурных лазерах с отстройкой частоты было предсказано теоретически [1-5] и за последние годы в связи с развитием новых методов исследования и новой быстродействующей экспериментальной техники зафиксированы в многочисленных экспериментах [1-22]. Одной из причин возрастания интереса к этим структурам является расширение области применения широкоапертурных лазеров, прежде всего миниатюрных твердотельных, а также полупроводниковых лазеров, излучающих вдоль (например, традиционные инжекционные лазеры) или поперёк (полупроводниковые вертикально излучающие лазеры) р-п перехода. В частности, полупроводниковые вертикально излучающие лазеры (ВИЛ) имеют очень маленькие продольные размеры, эффективная длина резонатора порядка 1 мкм. Такая конструкция лазера дает важное преимущество - ВИЛ работает на единственной продольной моде. В то же время, поскольку в этом типе лазеров генерация происходит поперёк р-п перехода, а не вдоль, как в обычных полупроводниковых лазерах, для получения требуемой для многих современных приложений мощности генерации приходится использовать очень широкую апертуру. Поперечный размер составляет от 10-20 мкм в типичных коммерческих лазерах до 200 мкм в лабораторных прототипах. Таким образом, в широкоапертурных ВИЛ поперечный размер резонатора гораздо больше продольного, т.е. резонатор имеет большое число Френеля, что способствует возбуждению большого числа поперечных мод, нелинейное взаимодействие между которыми может приводить к появлению сложных пространственно-временным структур. ВВИЛ с широкой апертурой наблюдаются поперечные оптические структуры близкие к модам пустого резонатора только при накачках близких к пороговому значению. При увеличении накачки значительную роль начинает играть взаимодействие поперечных мод, обусловленное нелинейностью активной среды. При этом стоит отметить, что чем больше поперечные размеры, тем большее количество поперечных мод вовлечено во взаимодействие, и тем сложнее пространственно-временная динамика лазера. Значительное превышение накачки над порогом приводит к возникновению стационарных или не стационарных квадратных решёток оптических вихрей, переходам к режимам пространственно-временного хаоса.

Появление квадратных решёток оптических вихрей, оптической турбулентности зафиксировано также в широкоапертурных твердотельных и газовых лазерах. Во всех случаях, несмотря на принципиально разные физические процессы в этих активных средах, основными управляющими параметрами смены типов пространственно-временной структуры оптического поля являлись число Френеля, параметр накачки и отстройка частоты генерации. Последняя возникала в силу естественных (разогрев среды) или искусственных изменений оптической длины резонатора.

Миниатюрные лазеры активно применяются при передаче по оптическим каналам связи. Также активно разрабатываются системы передачи данных без применения оптоволокна, использующие распространение излучения в свободном пространстве. Данная технология требует высокой мощности полупроводникового устройства (а, следовательно, широкой апертуры) и чувствительна к пространственным неоднородностям, ограничивающим пространственную и временную когерентность.

На сегодняшний день очень перспективно использование широкоапертурных ВИЛ, как передающих устройств, в суперкомпьютерах. В современных суперкомпьютерах обмен информацией между отдельными стойками вычислительной системы осуществляется исключительно по оптическим каналам, общее число которых достигает десятков тысяч. Причем в качестве активного элемента передатчика используется исключительно ВИЛ.

Очевидно, что для эффективного использования широкоапертурных лазеров надо уметь классифицировать и контролировать сложную пространственно-временную структуру оптического поля, в частности, избегать нежелательных режимов генерации. Поэтому актуальным является теоретическое исследование устойчивости и динамики нелинейных оптических структур в поле излучения широкоапертурных лазеров с общих позиций, без детализации особенностей активных сред конкретных лазеров.

Цель работы - теоретическое исследование механизмов формирования и устойчивости нелинейных пространственно-временных оптических структур, возникающих в поле излучения широкоапертурных лазеров с отстройкой частоты генерации.

В соответствие с поставленной целью определены основные задачи диссертации.

С использованием аналитических и численных решений системы уравнений Максвелла-Блоха:

1) определить условия и сценарии перехода к хаосу для интенсивности и компонент оптического поля широкоапертурного лазера с отрицательной отстройкой частоты при больших числах Френеля;

2) исследовать пространственно-временную структуру хаотического оптического поля широкоапертурного лазера с отрицательной отстройкой частоты;

3) исследовать устойчивость стоячей волны и квадратной решетки оптических вихрей в широкоапертурном лазере с положительной отстройкой частоты;

4) изучить нелинейную динамику неустойчивой квадратной решетки оптических вихрей в широкоапертурном лазере с положительной отстройкой частоты.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1) Показано, что в случае бесконечно широкой апертуры лазера с отрицательной отстройкой частоты переход к хаотическому режиму генерации может осуществляться через последовательность удвоений периода квазипериодического колебания комплексной амплитуды оптического поля (бифуркации удвоения двумерного тора).

2) Установлено, что режимы генерации, предсказанные на основе анализа автомодельной системы, оказываются устойчивыми и на конечной апертуре при большом числе Френеля. Найдены параметры лазерной системы, при которых наблюдаются периодические оптические структуры автоволнового типа, а также условия перехода к пространственно-временному хаосу через бифуркации удвоения тора.

3) Доказано, что для широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты стоячая волна оказывается неустойчивой оптической структурой при любом значении накачки независимо от соотношений между релаксационными константами.

4) Показано, что вблизи порога генерации широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты квадратная решетка оптических вихрей является устойчивой оптической структурой.

5) Показано, что существует критическое значение накачки, при котором решетка оптических вихрей теряет устойчивость. Критическое значение накачки зависит от соотношений между релаксационными константами. Построены диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей. Показано, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей нелинейной оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Защищаемые положения:

- результаты численного моделирования автомодельной и распределенной систем уравнений Максвелла-Блоха с отрицательной отстройкой частоты. Расчеты спектра колебаний комплексной амплитуды оптического поля, показателей Ляпунова и сечений Пуанкаре, показывающие существование устойчивых двухчастотных колебаний комплексной огибающей оптического поля и переход к хаотическому режиму через каскад бифуркаций удвоения двумерного тора;

- результаты анализа устойчивости полной системы уравнений Максвелла-Блоха для оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты, показывающие, что стоячая волна является неустойчивой оптической структурой как в одномерном, так и в двумерном случае при любых значениях релаксационных констант и накачки;

- диаграмма устойчивости квадратной решетки оптических вихрей и результаты численного моделирования оптического поля широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты, показывающие, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Оптический пространственно-временной хаос активно используется в системах связи и кодировки информации. С другой стороны, во многих практических приложениях хаотическая структура оптического поля является нежелательным явлением. Таким образом, практическая и теоретическая ценность проведенных исследований заключается в том, что их результаты могут быть использованы при выборе оптимальных параметров и режимов генерации широкоапертурных лазеров. Стационарные решетки оптических вихрей могут быть использованы в качестве оптических ловушек. Результаты исследования устойчивости, бифуркаций и эволюции нелинейных оптических структур являются важным вкладом в теорию самоорганизации распределенных динамических систем и ее приложений, в частности в развитие теории поперечной нелинейной оптики.

Достоверность полученных научных результатов обеспечена корректной математической постановкой задач, использованием общепринятых уравнений и моделей для широкоапертурных лазеров, применением известных апробированных асимптотических методов, отсутствием противоречий между аналитическими и численными решениями, а также качественным согласием полученных результатов с данными других авторов, включая экспериментальные данные.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 24 работы, в том числе 9 статей в изданиях, рекомендованных ВАК России, 15 тезисов всероссийских и международных конференций.

Апробация результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных семинарах Самарского филиала Физического института РАН имени П.Н. Лебедева, Самарского государственного аэрокосмического университета имени С.П. Королева, Института систем обработки изображений РАН, отделения квантовой радиофизики им. Н.Г. Басова Физического института РАН. Результаты работы докладывались на VI-1ХВсероссийском молодежном Самарском конкурсе-конференции научных работ по оптике и лазерной физике (Самара 2008-2011 гг.), 51 и 52-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва 2008, 2009 гг.), V и VI Международной междисциплинарной научной конференции «Синергетика в естественных науках» (Тверь 2009, 2010 гг.), XIII Международной молодежной научной школы «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань 2009 г.), Высшей лазерной школе «Современные проблемы лазерной физики» (Москва 2009г.), X Всероссийской молодежной научной конференции с международным участием «Королевские чтения» (Самара 2009 г.), XV и XVI научной школе «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» (Нижний Новгород 2010 и 2012 гг.), международной конференции Int'lConferenceonCoherentandNonlinearOptics -ICONO 2010 (Казань 2010 г.), Международной конференции с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара 2010 г.), 9-й Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010 г.), международной , конференции

4thChaoticModelingandSimulationInternationalConference (Греция, г. Агиос-Николаос 2011г.).

Результаты, вошедшие в диссертацию, были отмечены: стипендией Президента Российской Федерации за 2011/2012 гг.; премией победителя в Самарском областном конкурсе «Молодой учёный», номинация «аспиранты» -2011 г; дипломом победителя конкурса НИР в номинации «Лучшая студенческая работа» на Всероссийской научной «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук». (Москва, МФТИ - 2009 г.); дипломами Самарского конкурса-конференции научных работ по оптике и лазерной физике 2009г. - III место, 2010г. - II место, 2011г. - III место (Самара, СФ ФИАН, СГУ); дипломом за III место во всероссийском молодёжном конкурсе НИР по фундаментальной и прикладной физике, по направлению «Оптика» -(МГТУ им.Баумана, Москва 2012 г.).

Авторский вклад Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором лично, либо при его определяющем личном участии.

Связь с государственными программами

Работа была выполнена при поддержке Аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», проекты 1.2.08, 2.1.1/309, 2.1.1/13492, Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», ГК № 14.740.11.0703, ГК Ж11930, Государственного задания ВУЗам № 2.560.2011, НИР ГР 01200805605.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы. Общий объём 153 страницы, в том числе 108 рисунков и 74 библиографических ссылки.

Заключение диссертации по теме «Оптика», Кренц, Антон Анатольевич

Основные результаты, полученные при выполнении данной диссертационной работы:

1) Показано, что в случае бесконечно широкой апертуры лазера с отрицательной отстройкой частоты переход к хаотическому режиму генерации для интенсивности осуществляется через последовательность бифуркаций удвоения периода колебаний. Построена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая сценарий перехода к хаосу. Показано что последовательность бифуркаций удвоения периода приводит к сплошному спектру колебаний интенсивности. Для комплексной огибающей оптического поля наблюдаются устойчивые двухчастотные колебания, переход к хаосу осуществляется через последовательность удвоений периода квазипериодического колебания (бифуркации удвоения двумерного тора).Рассчитаны сечения Пуанкаре и полный спектр характеристических показателей Ляпунова, подтверждающие данный механизма перехода к хаосу.

2) Установлено, что режимы генерации, предсказанные на основе анализа автомодельной системы, оказываются устойчивыми и на конечной апертуре при большом числе Френеля. Найдены параметры лазерной системы, при которых наблюдаются периодические оптические структуры автоволнового типа. Анализ спектра колебаний комплексной огибающей оптического поля подтвердил существование в распределенной системе устойчивых двухчастотных колебаний. Найдены бифуркации удвоения тора, с соответствующим им появлением характерным усложнением спектра колебаний. О переходе системы в режим динамического хаоса свидетельствует сплошной спектр колебаний.

3) В результате проведённого линейного анализа устойчивости и численного моделирования уравнений Максвелла-Блоха установлено, что для широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты стоячая волна оказывается неустойчивой оптической структурой, как в одномерном, так и в двумерном случае при любом значении накачки независимо от соотношений между релаксационными константами.

4) В результате проведённого линейного анализа устойчивости и численного моделирования уравнений Максвелла-Блоха установлено, что вблизи порога генерации широкоапертурного лазера с положительной отстройкой частоты квадратная решетка оптических вихрей является устойчивой пространственно-временной оптической структурой.

5) Показано, что существует критическое значение накачки, при котором решетка оптических вихрей теряет устойчивость. Критическое значение накачки зависит от соотношений между релаксационными константами. Построены диаграммы устойчивости квадратной решетки оптических вихрей. Показано, что неустойчивость приводит к возбуждению в решетке вихрей нелинейной оптической колебательной моды с дальнейшим переходом к нерегулярным оптическим структурам.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кренц, Антон Анатольевич, 2012 год

1. Hegarty, S.P. Pattern Formation in the Transverse Section of a Laser with a Large Fresnel Number текст. / S.P. Hegarty, G. Huyet, J.G. Mclnerney // Physical Review Letters. - 1999. - Vol. 8. - №7. - P. 1434-1437.

2. Voignier, V Stabilization of self-focusing instability in wide-aperture semiconductor lasers текст. / V.Voignier, J.Houlihan, J.R. O'Callaghan, C. Sailliot, G. Huyet // Physical Review A. 2002. - Vol. 65. - 053807.

3. Lippi, G.L. Evidence that transverse effects cause an instability in a single-mode C02 laser текст. / G.L. Lippi, N.B. Abraham, G.P. Puccioni, F.T. Arecchi, J.R. Tredicce // Physical Review A. 1987. - Vol. 35. - №9. - P. 3978-3981.

4. Tredicce, J.R. Spatial and temporal instabilities in a CO2 laser текст. /Physical Review Letters. 1989. - Vol.62. -№11.- P. 1274-1277.

5. Cabrera, E. Evolution of the Correlation between Orthogonal Polarization Patterns in Broad-Area LasersTeKCT. / E. Cabrera, S. Melle, O.G. Calderon, J.M. Guerra // Physical Review Letters. Vol.97. - P. 233902.

6. Cabrera, E. Development of spatial turbulence from boundary-controlled patterns in class-B lasers текст. / E.Cabrera, O. G. Calderon, S. Melle, J. M. Guerra // Physical Review A. 2006. - Vol. 73.- P. 053820.

7. Genevet, P. Bistable and Addressable Localized Vortices in Semiconductor Lasers текст. / P. Genevet, S. Barland, M. Giudici, J.R. Tredicce // Physical Review Letters. 2010. - Vol. 104. - P. 223902.

8. Arecchi, F.T. Chaos in a C02 waveguide laser due to transverse-mode competition текст. / F.T. Arecchi, R. Meucci, L. Pezzati // Physical Review A. 1990. - Vol. 42. - №9. - P.5791-5793.

9. Encinas-Sanz, F.Time Resolved Pattern Evolution in a Large Aperture Laser текст. / F. Encinas-Sanz, I. Leyva, J. M. Guerra // Physical Review Letters. 2000. - Vol. 84. №5.-P. 883-886.

10. Chen, Y.F. Spontaneous transverse pattern formation in a microchip laser excited by a doughnut pump profile текст. / Y.F. Chén, Y.P. Lan // Appl.Phys. B. 2002. -Vol. 75.-P. 453-456.

11. S.Chen, Y.F. Formation of optical vortex lattices in solid-state microchip lasers: Spontaneous transverse mode locking текст. / Y.F. Chen, Y.P. Lan // Physical Review A. 2001. - Vol. 64. - P. 063807.

12. Chen, Y.F. Transverse pattern formation of optical vortices in a microchip laser with a large Fresnel number текст. / Y.F. Chen, Y.P. Lan // Physical Review A. 2001. -Vol. 65.-P. 013802.

13. M. A. Schulz-Ruhtenberg текст. / Experimental analysis of spatial states in broad-area vertical-cavity surface-emitting lasers // Ph.D. Dissertation, Berlin. 2008. - P. 184

14. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки, М.: Наука, 1990.

15. Jakobsen, Р.К.Space-time dynamics of wide-gain-section lasers текст. / P.K. Jacobsen, J.V. Moloney, A.C. Newell, R. Indik // Physical Review A. 1992. - Vol. 45.-№11.-P. 2076-2086.

16. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров М. : Наука : Физматлит, 1999.

17. Lega, J.Nonlinear transverse modes of large-aspect-ratio homogeneously broadened lasers II. Pattern analysis near and beyond threshold текст. / J. Lega, P.K. Jacobsen, J.V. Moloney, A.C. Newell // Physical Review A. 1994. - Vol. 49. -№5.-P. 4201-4212.

18. Huyet, G. Spatiotemporal Dynamics of Lasers with a Large Fresnel number текст. / G. Huyet, M.C. Martinoni, J.R. Tredicce, S. Rica// Phys. Rev. Lett. 1995. - V. 75. - № 22. - P. 4027-4030.

19. Boscolo, I. Three mode rotating pattern in a C02 laser with high cylindrical symmetry текст. /1. Boscolo, A. Bramati, M. Malvezzi, F. Prati // Phys. Rev. A. -1997. V. 55. - №1. - P. 738- 743.

20. Weiss, C.O. Restless optical vortex текст. / C.O. Weiss, H.R. Telle, K. Staliunas, M. Brambilla// Phys. Rev. A. 1993. - V. 47. - №3. - P. R1616-R1619 .

21. D'Angelo, E.J. Spatiotemporal Dynamic of Lasers in the Presence of an Imperfect 0(2) Symmetry текст. / E.J. D'Angelo, E. Izaguirre, G. Huyet, L. Gil, J.R. Tredicce // Phys. Rev. Lett. 1992. - V. 68. -№25. - P. 3702-3705

22. Cabrera EduardoPattern formation in large- aspect -ratio single -mode inhomogenously broadened lasers текст. / Cabrera Eduardo, Calderon Oscar G., J.M.Guerra // Phys. Rev.A.- 2004. V. 70. - № 6. - P. 063808-1 - 063808-11.

23. Taranenko, V.B. Spatial soliton laser: Localized structures in a laser with a saturable absorber in a self -imaging resonator текст. / V.B. Taranenko, K. Staliunas,

24. C.O.Weiss// Physical Review A. 1997. - V. 56. - № 2. - P. 1582-1591 .

25. Dangoisse, D. Two-dimensional optical lattices in C02 laser текст./!). Dangoisse,

26. D. Hennequin, C. Lepers, E. Louvergneaux, P. Glorieux// Phys. Rev. A.- 1992.-V.46.- №9.-P.5955-5958

27. Calderon, O.G. From Nearly Tilted Waves to Cavity Phase Solitons in Broad Area Lasers with Squeezed Vacuum текст./О.С. Calderon, E. Cabrera, M.A. Anton, I. Gonzalo, F. Carreno, J.M. Guerra// Phys. Rev. Lett. 2004 - V.92.- №16.-P.l 63901-1-163901-4

28. Rica, S. Interaction of defects in two-dimensional systems текст. / S. Rica and E. Tirapegui// Phys. Rev. Lett. 1990 .- V. 64, P. 878

29. Aranson, S. Interaction of spirals in oscillatory media текст. / S. Aranson, L. Kramer and A. Weber // Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 67, P. 404

30. Staliunas, K. Dynamics of optical vortices in a laser beam текст. / К. Staliunas

31. Opt. Commun. 1992.- V.90. - P. 123 45.Oppo, G.L., Spatio temporal dynamics of optical parametric oscillators текст. / G.L. Oppo, M. Brambilla, D. Camesasca, A. Gatti and L.A. Lugiato // J. Mod. Opt. - 1994.-V. 41.-P. 1151

32. Staliunas, K. Transverse pattern formation in optical parametric oscillators текст. / К. Staliunas // J. Mod. Opt. 1995. - V. 42. - P. 1261

33. Lugiato, L.A. Bistability, self-pulsing and chaos in optical parametric oscillators текст. / L.A. Lugiato, C. Oldano, C. Fabre, E. Giacobino and R. Horowicz //, NuovoCimento . 1988. -10D. - P. 959

34. Swift, J.B. Hydrodynamic fluctuations at the convectiveinstability текст. / J.B. Swift and P.C. Hohenberg // Phys. Rev. A 1977. - V. 15. - P. 319

35. Mandel P. Transverse effects in coherently driven nonlinear cavities текст. / P. Mandel, M. Georgiou and T. Erneux // Phys. Rev. A 1993. - V. 47 - P. 4277

36. Valcrarcel, G.J. Transverse patterns in degenerate optical parametric oscillation and degenerate four-wave mixing текст. / G.J. de Valcrarcel, K. Staliunas,E. Roldran and V.J. Sranchez-Morcillo //, Phys. Rev. A. 1996. V. 56. - P. 1609

37. Longhi, S. Swift-Hohenberg equation for optical parametric oscillators текст. / S. Longhi and A. Geraci //Phys. Rev. A. 1996.- V. 54. - P. 4581

38. Staliunas, К. Tilted and Standing Waves and Vortex Lattices in Class-A Lasersтекст. / К. Staliunas, C.O. Weiss// PhysicaD . 1995 , V.8. - P. 79-93 60. Staliunas, K. Transverse patterns in nonlinear optical resonators текст] / К.

39. Staliunas, V.J. Sanchez-Morsillo // STMP 183, 2003. 61.Staliunas, K. Nonstationary vortex lattices in large-aperture class В lasers текст. / К. Staliunas, C.O. Weiss // JOSA В . 1995. - V. 12. - P. 1142

40. Кренц, A.A. Каскад бифуркаций удвоения тора в лазере с отстройкой частоты текст. /A.A. Кренц, Н.Е. Молевич//Квантовая электроника. 2009. - №8. - С. 751-756.

41. Кренц, A.A. Исследование сценария перехода к хаосу в динамической системе с особой окружностью на фазовой плоскости текст. /A.A. Кренц, Н.Е. Молевич//Известия СНЦ РАН. 2010. - Т. 12. - №4. С. 108-112.

42. Кренц, A.A. Пространственно-временная динамика поперечного профиля оптического поля в лазере с отстройкой частоты текст./А.А. Кренц, Н.Е. Молевич // Компьютерная оптика. 2010. - Т.34. - № 4. С. 110-118.

43. Кренц, A.A. Рождение устойчивого тора из замкнутой особой кривой и его бифуркации в лазерной системе с отстройкой частоты текст./А.А. Кренц, Н.Е. Молевич// Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. № - 5. С. 211-219.

44. Кренц, A.A. О переходе к хаосу в широкоапертурном лазере с отстройкой частоты текст. / A.A. Кренц, Н.Е. Молевич// Физическое образование в вузах. 2010. - Т.16. - №1. С. П18-П19.

45. Анчиков, Д.А. Образование сложных пространственно-временных структур в поперечном сечении пучка в лазере с отстройкой частоты текст. / Д.А. Анчиков, A.A. Кренц, Н.Е. Молевич//Физическое образование в вузах. 2011. -Т.17. - №1. С. П38.

46. Кренц, A.A. Возникновение сложных пространсвтенно-временных оптических структур в поперечном сечении широкоапертурного лазера текст. / A.A. Кренц, Д.А. Анчиков, Н.Е. Молевич// Известия СНЦ РАН. 2011. - Т. 13. -№4(2). С. 601-605

47. Кренц, A.A. Решетки вихрей в широкоапертурных лазерах текст. / A.A. Кренц, Д.А. Анчиков// Известия СНЦ РАН. 2012. - Т. 14. - №4. С. 201-205

48. Amroun, D. Complex intermittent dynamics in large-aspect-ratio homogenously broadened single-mode lasers текст./Е). Amroun, M. Brunei, C. Letellier, C. Leblond, F. Sanchez// Physica D.-2005.- V.203.- P.-185-197

49. Staliunas // Phys.Rev. A . 1993. - V. 48. - P. 1573 73 .Madelung, E. Quantentheorie in hydrodynamischer form текст. / E. Madelung //

50. Phys. Rev. 1996 .- V.69. - P. 322 74.Coullet, P. Defect-mediated turbulence текст. / P. Coullet, L. Gil and J. Lega // Phys. Rev. Lett.- 1989. - V. 62. - P. 1619