Пространственно-временная динамика частотно-модулированных лазерных пучков в условиях проявления нестационарных когерентных эффектов и резонансного самовоздействия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Мисюрин, Артём Геннадьевич

• Мисюрин, Артём Геннадьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мисюрин, Артём Геннадьевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Анализ динамических характеристик протяженных лазерных пучков в условиях резонансного самовоздействия

1.1 .Исследование нелинейно динамических свойств протяженных

лазерных пучков и импульсов

1.2.Экспериментальные и теоретические исследования резонансного

самовоздействия

1.3.Основные принципы исследования нелинейно-динамических

систем

1.4.Заключительные замечания и выводы

2. Математическая модель распространения частотно-модулированного лазерного пучка в нелинейно оптической двухуровневой среде. Система уравнений максвелла-блоха и метод их решения

2.1.Система уравнений Максвелла-Блоха

2.2.Численный метод решения системы уравнений Максвелла-Блоха

2.3.Использование многопоточных технологий в расчетах задач распространения лазерных пучков в условиях резонансного самовоздействия

2.4.Векторизация численного алгоритма и анализ производительности технологий параллельных вычислений

2.5.Заключительные замечания и выводы

3. Исследование пространственно-временного поведения лазерных пучков, модулированных по частоте

3.1.Влияние эффектов резонансного самовоздействия на характеристики лазерного пучка

3.2.Проявление нестационарных когерентных эффектов

3.3.Нестационарная оптическая нутация в условиях резонансного самовоздействия

3.4.Заключительные замечания и выводы

4. Анализ динамических свойств частотно-модулированного лазерного пучка, распространяющегося в нелинейно-оптической среде

4.1.Анализ нелинейной динамики лазерного пучка с модуляцией частоты в условиях резонансного самовоздействия

4.2.Анализ динамических свойств на основе вычисления старшего показателя Ляпунова

4.3.Заключительные замечания и выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Пространственно-временная динамика частотно-модулированных лазерных пучков в условиях проявления нестационарных когерентных эффектов и резонансного самовоздействия»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Взаимодействие лазерного излучения с нелинейно-оптической средой в условиях резонанса частоты излучения и частоты атомного перехода исследуется с момента зарождения нелинейной оптики. Результатом подобного взаимодействия, как правило, является изменение параметров распространяющихся лазерных сигналов и оптических характеристик вещества. Практическое применение данных эффектов весьма широко и разнообразно: от преобразования частот и управления амплитудой и фазой оптических сигналов до параметрических генераторов и оптических усилителей.

Развитие и постоянное совершенствование оптоволоконных линий связи давно привлекает внимание исследователей к проблеме оптимизации и повышения степени устойчивости передачи модулированных лазерных сигналов. Известен ряд работ, в которых исследуется распространение протяжённых лазерных пучков в резонансных и нерезонансных нелинейных средах (Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Луговой В.Н., Прохоров A.M., Javan A., Kelley P., Аскарьян Г.А., Бутылкин B.C., Каплан А.Е., Хронопуло Ю.Г., Кандидов В.П., Карамзин Ю.Н., Трофимов В.А., Альтшуллер Г.Б. и др.). При этом основное внимание уделялось пространственным характеристикам пучков (изменения поперечного профиля пучка, его радиуса, продольной зависимости интенсивности на оси пучка в условиях керровской, тепловой и резонансной самофокусировки, самоканалирования и других эффектов самовоздействия). Исследования динамики лазерных сигналов, как правило, проводились на примере импульсного излучения (Розанов H.H., Ханин Я.И., Кившарь Ю.С., Agraval G.P., Мельников J1.A., Маломед Б.А., Фрадкин Э.Е., Пулькин

С.А., Козлов С.А., Выслоух В.А. и др.), а анализ нелинейно-динамических свойств лазерных систем - на примере лазеров различных типов (Ханин Я.И., Haken G., Mandel Р. и др.) и поперечных структур лазерных пучков (Otsuka К., Abraham N., Lugiato L., Воронцов М.А., Желтиков A.M., Мельников JI.A., Конюхов А.И. и др.).

В этой связи вопросы анализа нелинейно-динамических характеристик непрерывных частотно-модулированных лазерных пучков с распределением интенсивности по сечению в условиях резонансного самовоздействия являются малоисследованными. При этом можно ожидать появления новых эффектов, связанных с неравномерным распределением интенсивности по сечению пучка, и накапливающихся в процессе его распространения в условиях резонансного самовоздействия. Вследствие этого характеристики лазерного сигнала на выходе из среды могут существенно отличаться от входных значений, что становится принципиально важным при оптическом зондировании атмосферы на длинных трассах, передаче сигналов по волоконно-оптическим линиям связи, в спектроскопии насыщения, в системах оптического усиления сигналов, линиях задержки и других прикладных задачах.

Основной причиной нестабильного поведения лазерных сигналов в подобных условиях является неравномерное распределение показателя преломления в пространстве, на которое влияют: с одной стороны -различный уровень интенсивности лазерного пучка, а с другой стороны - частотные отстройки распространяющегося модулированного сигнала от резонанса с атомным переходом.

Сложность и нелинейность подобных задач требуют развития математических моделей и применения эффективных вычислительных методов, которые могли бы сочетать в себе подходы макроскопической

теории волн и квантово-механического описания нелинейного отклика среды. Математическим выражением объединения этих двух подходов являются волновые уравнения для распространяющихся в среде полей, учитывающие локальные характеристики среды - восприимчивости, несущие информацию об энергетических уровнях и состояниях образующих среду частиц. С другой стороны, анализ степени устойчивости рассматриваемой системы должен проводиться на основе методов нелинейной динамики.

Подобное объединение возможно только на основе методов математического моделирования, причём для полноценного анализа требуется выполнить очень большой объём вычислений, что ещё несколько лет назад было труднореализуемой задачей. С развитием технологий параллельных вычислений на основе видеопроцессоров, существенно ускоряющих процедуры расчётов, решение подобных задач стало весьма доступным.

Таким образом, целью диссертационной работы является исследование методами численного моделирования пространственно-временного поведения и динамических свойств лазерных пучков, модулированных по частоте, в условиях проявления нестационарных когерентных эффектов и резонансного самовоздействия, а также анализ влияния частотных характеристик лазерного сигнала на оптические свойства среды.

Для достижения этой требуется выполнить следующие основные задачи:

• Разработка программного комплекса, реализующего алгоритм решения системы уравнений Максвелла-Блоха на основе метода расщепления по направлениям и разложения поперечного профиля поля по модам Гаусса-Лагерра.

• Оптимизация численных экспериментов на основе реализации параллельных вычислений и векторизации алгоритма.

• Исследование динамических характеристик частотно-модулированных протяженных лазерных пучков в двухуровневой среде с насыщением поглощения и дисперсии.

• Анализ влияния резонансного самовоздействия и нестационарных когерентных эффектов на характеристики частотно-модулированного лазерного пучка и оценка степени стабильности рассматриваемой системы на основе серии проводимых численных экспериментов.

Научная новизна.

Научная новизна результатов диссертации состоит как в обнаружении ранее не исследовавшихся физических эффектов и свойств рассмотренных систем, так и в разработке оригинальных программных комплексов, реализованных на основе современных технологий параллельных вычислений на видеопроцессорах, ранее не использовавшихся для решения подобных классов задач.

• Впервые исследованы динамические характеристики частотно-модулированных протяжённых лазерных пучков, распространяющихся в двухуровневой среде с насыщением поглощения и дисперсии.

• В протяженных лазерных пучках, модулированных по частоте, впервые выявлены условия и природа возникновения оптической нутации и исследовано влияние резонансного самовоздействия пучка на этот эффект.

• Впервые на основе проведенных численных экспериментов было обнаружено, что лазерный пучок, модуляция частоты которого сравнима с временами релаксации, распространяющийся в нелинейно-оптических средах с насыщением поглощения или усиления является системой, где реализуется режим цикла периода 1Т и переход через бифуркацию

удвоения периода к циклу периода 2Т в условиях проявления резонансного самовоздействия. В условиях взаимного влияния оптической нутации и резонансного самовоздействия реализуется режим цикла периода 4Т.

• Впервые для задач нелинейной оптики, связанных с распространением модулированных лазерных пучков, была выполнена оптимизация вычислений на основе векторизации использованного численного алгоритма и проведён сравнительный анализ эффективности параллельных вычислений на различных типах видеопроцессоров с применением технологий CUDA, GLSL, OpenCL, OpenMP, что позволило за счёт существенного повышения скорости вычислений провести подробный анализ динамических характеристик модулированного лазерного пучка, распространяющегося в условиях насыщения поглощения и дисперсии.

Методы исследования Решение задач, поставленных в диссертационной работе, проводилось на основе методов математического моделирования, включающих численное решение начально-краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных; разработку программного комплекса, реализующего параллельные вычисления на видеопроцессорах NVidia и ATI на основе технологий CUDA, GLSL, OpenCL, OpenMP, а также вычислительные эксперименты с помощью разработанных программных средств.

Для реализации программных комплексов были использованы языки программирования С#,С,С++ и программная платформа .Net.

Практическая значимость • Полученные в диссертации результаты позволяют оценить влияние резонансного самовоздействия пучка в экспериментах нелинейной

лазерной спектроскопии на протяжённых трассах и при оптическом зондировании атмосферы, использовать эти эффекты для оптимизации распространения лазерного сигнала в волоконно-оптических линиях связи и оптических линиях задержки, где благодаря эффекту самоканалирования возможно увеличение степени проникновения лазерного сигнала. Оценка частотных измеыений, возникающих при распространении модулированного лазерного сигнала в условиях насыщения поглощения и дисперсии, позволяет более точно вычислить сигнал ошибки, возникающий при регистрации субдоплеровских спектров в фазово-модуляционной спектроскопии насыщения и при использовании метода переноса спектра модуляции, используемого при стабилизации частоты лазеров. Использование в ходе исследований безразмерных величин позволяет применять эти оценки в широком диапазоне лазерных мощностей и параметров нелинейной среды путём соответствующего масштабирования.

• Разработанные в ходе диссертационного исследования программные комплексы, алгоритмы и расчётные методики могут быть использованы для анализа пространственно-временной динамики и частотных характеристик протяжённых лазерных пучков, распространяющихся в нелинейно-оптических системах различных типов.

• Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе на факультете электронной техники и приборостроения Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А. при чтении курсов «Сети ЭВМ и коммуникации», «Системы и сети передачи данных», «Компьютерное моделирование» для студентов специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем».

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных математических методов и моделей и следует из сравнения расчётных и экспериментальных данных, сопоставления результатов, полученных различными численными методами, совпадения результатов расчётов с предсказаниями более простых приближений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 7 международных и 2 всероссийских конференциях, научных школах и семинарах: International School for Young Scientists on Optics, Laser Physics and Biophysics (Saratov Fall Meeting (SFM)) (Saratov, Russia, 2010, 2011, 2012); Всероссийская научно-практическая конференция молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий» (Саратов, 2009, 2010); Всероссийская школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2010); Международная научно-техническая конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-23, 24, 25) (Саратов, 2010; Киев, 2011; Волгоград 2012), XV Международная зимняя школа-семинар по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 2012)

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 13 печатных работах, включающих 5 статей в периодических изданиях, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов ВАК РФ, а также авторское свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад соискателя заключается в том, что все представленные численные результаты получены лично автором. Обсуждение полученных результатов проводилось автором при участии научного руководителя и соавторов работ. Автором разработан

программный комплекс для решения системы уравнений Максвелла-Блоха на основе метода расщепления по направлениям и разложения поперечного профиля поля по модам Гаусса-Лаггера, а также выполнена векторизация используемого алгоритма для реализации параллельных вычислений на графических процессорах NVidia и ATI с применением технологий CUDA, GLSL, OpenMP, OpenCL.

На защиту выносятся следующие положения:

• Эффекты резонансного самовоздействия, такие как наведённая рефракция и насыщение поглощения приводят к существенному искажению осцилляций выходной интенсивности частотно-модулированного лазерного пучка как в случае точного резонанса (двукратный проход через резонанс), так и при отстройке несущей частоты на величину, равную амплитуде модуляции (однократный проход через резонанс).

• Нестационарная оптическая нутация, возникающая при распространении протяженного лазерного пучка с модуляцией частоты в случае, когда амплитуда модуляции в несколько раз превышает ширину линии поглощения, существенно сглаживается при высоких интенсивностях пучка, приводящих к насыщению поглощения и выравниванию населённостей энергетических уровней.

• Лазерный пучок с частотной модуляцией, сравнимой со скоростью релаксации, распространяющийся в нелинейно-оптических средах с насыщением поглощения или усиления представляет собой систему, где реализуется режим цикла периода 1Т с переходом через бифуркацию удвоения периода к циклу периода 2Т в условиях проявления резонансного самовоздействия. В условиях взаимного влияния

оптической нутации и резонансного самовоздействия реализуется режим цикла периода 4Т.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, состоящего из 123 наименований. Общий объём диссертации 140 страниц текста, включающего 28 рисунков и 5 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во Введении обозначен предмет исследования, дан краткий анализ современного состояния проблемы, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, охарактеризованы новизна полученных результатов и практическая ценность работы, приводятся сведения о методах исследования, апробации работы, структуре диссертации и публикациях по её теме, а также определяется личный вклад автора работы.

В первой главе анализируется состояние экспериментальных и теоретических исследований эффектов резонансного самовоздействия и динамики лазерных пучков, изложены фундаментальные основы методики исследования нелинейно-динамических систем, обосновывается необходимость исследования нелинейно-динамических характеристик частотно-модулированных лазерных сигналов в протяжённых нелинейно-оптических средах с насыщением поглощения и дисперсии.

Во второй главе диссертации описывается пространственно-временная численная модель распространения лазерного пучка, модулированного по частоте, в нелинейно-оптической двухуровневой среде с насыщением поглощения и дисперсии, а также приводятся

описание реализации используемого в работе алгоритма на основе технологии параллельных вычислений на видеопроцессорах и сравнительный анализ оптимальности работы различных технологий.

Основу численной модели, изложенной в первом разделе главы, составляет система уравнений Максвелла-Блоха , куда входит волновое уравнение, или уравнение Максвелла, описывающее пространственно-временную эволюцию пучка, и два уравнения Блоха для параметров среды: разности заселённостей уровней I) и поляризации среды Р.

Данная система уравнений решалась в приближении медленно меняющихся амплитуд, означающем, что исследуется поведение огибающей модулированного лазерного сигнала, а не колебания вектора напряженности электрического поля, поскольку в исходном состоянии среда является слабо нелинейной и слабо поглощающей, и амплитуды волн будут изменяться на малую величину при прохождении волной расстояния порядка её длины, т.е. амплитуды волн будут медленно изменяющимися функциями эволюционной координаты г и времени t.

Для повышения удобства и скорости расчётов была использована так называемая система «бегущих» координат, когда время выражается через продольную координату. В этом случае расчет эволюции по времени происходит по слоям (шагам), причем на каждом новом слое решается задача пространственной эволюции пучка, где в качестве начальных условий используются значения, полученные на предыдущем слое, а приращение по времени происходит по шагам, связанным с шагом по продольной координате.

Во втором разделе главы описывается неявная разностная схема второго порядка, основанная на методе расщепления по направлениям, где используется разложение поля по поперечной координате по модам Гаусса-Лаггера, используемая в диссертационной работе для решения

системы уравнений Максвелла-Блоха. Длина распространения берётся конечной и равной нескольким дифракционным длинам пучка.

В третьем разделе главы представлен краткий обзор различных технологий параллельных вычислений на графических процессорах и сфер применения подобных технологий в научно-технических расчётах.

В четвёртом разделе приводится описание векторизации алгоритма разложения поперечного профиля поля и поляризации среды по модам Гаусса-Лагерра, необходимой для организации мультипоточности, а также приводятся результаты сравнительного анализа реализации используемой в диссертационной работе расчётной схемы на основе технологий CUDA, GLSL, OpenMP, OpenCL, выполненной на видеокартах различных типов.

В ходе численных экспериментов было установлено, что наибольшее преимущество в скорости вычислений даёт новая кроссплатформенная технология GLSL, реализованная на видеоускорителе ATI от AMD , чуть меньший выигрыш в скорости наблюдается при реализации алгоритма на основе более популярного сочетания технологии CUDA и видеокарты NVidia. При этом необходимо отметить, что точность вычислений на видеопроцессорах ATI в несколько раз превышает точность вычислений на NVidia, что весьма существенно для научных расчётов.

В третьей главе изложены основные физические результаты диссертационного исследования, полученные в ходе численных экспериментов.

Были рассмотрены протяжённые лазерные пучки, симметричные относительно оси распространения, что соответствует большинству физических экспериментальных задач по распространению лазерных сигналов.

Частота пучка на входе в среду гармонически модулировалась по времени. Профиль пучка на входе в среду брался гауссовым.

Начальный радиус пучка а во всех рассматриваемых случаях был взят равным 1. Предполагалось, что центральная несущая частота со0 равна частоте атомного перехода. В этом случае частота модулированного поля осциллирует симметрично по отношению к точной величине резонанса. Время и частота нормированы на времена релаксации. Амплитуда частотной модуляции бралась порядка времени релаксации, это означает, что отстройка частоты поля от резонанса составляет одну полуширину линии. Исследуемыми параметрами являются интенсивность пучка на выходе из среды 1(2,г,1,оо) и размер пятна определяемый как второй момент поперечного

распределения нормированной интенсивности.

Линейное поглощение в рассматриваемых случаях принималось равным g=l, и, таким образом, интенсивность на выходе из среды оказывалась небольшой из-за поглощения и дифракционного расплывания. Рассматривался режим низкочастотной модуляции, когда спонтанные эффекты отклика среды пренебрежимо малы.

Были рассмотрены режимы, когда центральная несущая частота равна частоте атомного перехода, а также когда несущая частота отстроена от резонанса на величину амплитуды модуляции.

В первом случае частота модулированного поля осциллирует симметрично по отношению к точной величине резонанса, а при отстройке несущей в фокусирующую или дефокусирующую область за один период модуляции резонанс достигается только один раз, а всё остальное время пучок испытывает влияние околорезонансной фокусировки или дефокусировки.

Было обнаружено, что в слабых полях, не вызывающих насыщения поглощения и дисперсии, симметричные изменения поглощения вызывают равные скачки интенсивности, причём в случае отстройки от резонанса на величину, равную амплитуде модуляции, частота осцилляций интенсивности уменьшается вдвое. При увеличении интенсивности входного сигнала эффекты насыщения поглощения и дисперсии вызывают возникновение наведённой фокусировки и дефокусировки, приводящих к асимметрии осцилляций интенсивности.

При увеличении амплитуды модуляции до величин, превышающих ширину линии перехода начинает проявляться эффект нестационарной оптической нутации. Продемонстрированы проявления оптической нутации в случае точного резонанса несущей частоты и при её отстройке на величину амплитуды модуляции. Таким образом, при точном резонансе частота лазерного пучка дважды пересекает линию поглощения, что вызывает не только удвоение частоты модуляции, но и более ярко выраженный сигнал оптической нутации. При отстройке несущей частоты от резонанса таким образом, чтобы частота модулированного пучка попадала в резонанс только один раз, наблюдается существенное уменьшение амплитуды осцилляций, что можно объяснить менее резким переходом в область более сильного поглощения с последующим возвратом.

Природа затухающих колебаний объясняется осцилляциями поляризации, вызванными переходами частиц с одного уровня на другой.

При сильном насыщении, когда возможно достичь инверсии заселённостей уровней, проявления оптической нутации сглаживаются за счёт уменьшения величины поглощения, способствующей более

плавным колебаниям интенсивности при неизменном характере релаксации поляризации.

Четвёртая глава диссертации посвящена анализу нелинейно-динамических свойств частотно-модулированного лазерного пучка, распространяющегося в двухуровневой среде с насыщением поглощения или насыщением усиления в условиях резонансного самовоздействия.

В первом разделе главы с целью исследования нестационарного поведения системы были проанализированы фазовые диаграммы на плоскости «поляризация среды Р - разность заселенностей I)», иллюстрирующие динамику отклика среды на воздействующее излучение, а также спектры мощности, рассчитанные по реализации интенсивности на оси пучка на выходе из среды.

В линейном режиме , когда модуляция выходной интенсивности близка к гармонической, на фазовом портрете поляризации среды Р и разности заселенностей О, а также на спектре мощности интенсивности можно наблюдать режим периодических колебаний с частотой модуляции 1/Т.

В режиме насыщения полупериоды модуляции становятся неравными, при этом возникает субгармоника, хорошо заметная и на фазовом портрете, и на спектре мощности, которая постепенно с увеличением интенсивности поля подавляет первую гармонику, что объясняется постепенным уменьшением разности заселенностей £> и нарастающим влиянием эффекта дефокусировки на частотах ниже резонансной.

Таким образом, при определённой интенсивности поля возникает эффект деления частоты модуляции, что может оказать существенное влияние на более точное вычисление и идентификацию сигнала ошибки, возникающего при регистрации субдоплеровских спектров в фазово-

модуляционной спектроскопии насыщения и при использовании метода переноса спектра модуляции, используемого при стабилизации частоты лазеров.

Во втором разделе главы представлен анализ нелинейно-динамических свойств рассматриваемой системы на основе вычисления показателей Ляпунова, построения сечения Пуанкаре и построения карты динамических режимов.

Анализ динамических свойств рассматриваемой системы проводился на основе вычисления старшего показателя Ляпунова.

По вычисленным показателям Ляпунова были построены карты динамических режимов. Данные карты позволяют визуально оценить, при каких значениях параметров в системе реализуются регулярные или хаотические режимы. Для более точного анализа хаотических режимов были построены сечения Пуанкаре.

Необходимо отметить, что как в случае среды с насыщением поглощения, так и с насыщением усиления нелинейно-динамическое поведение системы практически идентично: при отсутствии насыщения в слабых полях система полностью стабильна, то есть реализуется режим цикла периода 1Т.

При увеличении интенсивности поля возникает насыщение, и проявляются эффекты резонансного самовоздействия, вследствие чего возникает субгармоника и происходит перекачка энергии из основного колебания в субгармонику с последующим делением частоты наведенной амплитудной модуляции. Это характеризуется режимом цикла периода 2Т, хорошо заметным и на проекциях фазового пространства, и на спектрах мощности, и на карте динамических режимов.

При увеличении амплитуды модуляции лазерного пучка возникает эффект нестационарной оптической нутации, на который в случае сильного насыщения накладывается эффект резонансной самофокусировки. Это является дополнительным дестабилизирующим фактором, приводящим к тому, что система переходит в режим цикла периода 4Т.

Дальнейшее увеличение интенсивности поля приводит к просветлению среды, следствием которого является возврат системы в стабильное состояние.

В ходе численных экспериментов было установлено, что общим свойством рассматриваемой системы является переход к циклу периода 2Т, а затем - к циклу периода 4Т через бифуркацию удвоения периода при изменении управляющих параметров - начальная интенсивность задаваемого сигнала и амплитуда модуляции - в диапазоне значений от 0.1 до 30.

Относительная стабильность рассматриваемой системы объясняется тем, что частотно-модулированный пучок, распространяющийся в двухуровневой среде с насыщением поглощения или усиления, представляет собой нелинейную диссипативную систему, где диссипацию вызывает поглощение и дифракционное расплывание пучка.

Устойчивость подобной системы свидетельствует о том, что ее можно использовать в качестве активного элемента в усилителях оптических сигналов в системах волоконно-оптической связи и в оптических линиях задержки.

В Заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе.

1. АНАЛИЗ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОТЯЖЕННЫХ ЛАЗЕРНЫХ ПУЧКОВ В УСЛОВИЯХ РЕЗОНАНСНОГО САМОВОЗДЕЙСТВИЯ

Динамические свойства лазерных систем изучаются с момента зарождения нелинейной динамики (см., например, [1] и [2]). Изначально внимание исследователей привлекали процессы, происходящие в самих лазерах, поскольку условия резонанса и сопутствующее ему перераспределение населённостей по энергетическим уровням, вызывающие принципиально неустранимую нелинейность системы, наиболее ярко проявляются именно во внутрирезонаторных процессах, представляющих собой закрытую систему с высокой вероятностью возникновения неустойчивых хаотических режимов. Подробный анализ нелинейно-динамических режимов, реализуемых в различных типах лазеров, а также в различных связанных нелинейно-оптических системах проведён в монографиях Я.И.Ханина [1] и К.СКэика [3].

Наряду с обнаружением и анализом нелинейно-динамических режимов, реализуемых в лазерах различных типов, большой интерес вызывают условия зарождения и дальнейшие трансформации пространственных неоднородностей в лазерных пучках, развивающиеся под действием нелинейного отклика среды на воздействующее излучение. Краткий обзор исследований динамики поперечных структур лазерных пучков приведён в нижеследующем разделе.

1.1. Исследование нелинейно динамических свойств протяженных лазерных пучков и импульсов

Существует большое количество работ, посвящённых анализу нелинейной динамики лазерных пучков в резонаторах различных типов. В частности, фундаментальный обзор многомодовой динамики,

образования структур и анализ нелинейно-динамических режимов в лазерах класса В проведён К.СКзика [4]. Им же проанализированы процессы образования поперечных структур в твердотельных лазерах [5]. Пространственно-временная динамика поперечных структур в полупроводниковых лазерах типа УС8ЕЬ теоретически и численно рассмотрена в [6] и в [7]. В [8] рассмотрена структура динамики лазера на С02. В [9] теоретически исследована динамика генерации лазера класса В, излучающего поперечные моды ТЕМоо, ТЕМм и ТЕМ0ь Изучены бифуркационные механизмы переходов между различными режимами генерации при изменениях межмодовых интервалов и превышения накачки над порогом. При одновременной генерации трёх мод обнаружено появление оптического вихря. Экспериментальное исследование образования поперечных структур в гелио-неоновом лазере в условиях контролируемой обратной связи было проведено в [10]. Поперечная динамика лазерных пучков в лазерах с большим числом Френеля была рассмотрена в [11].

В работах Л.А.Мельникова и А.И.Конюхова [12,13] на основе пространственно-временной численной модели подробно исследовалось образование и динамика поперечных структур в лазерах и нелинейно-оптических средах. Динамика световых пучков в фотонно-кристаллическом лазере была исследована в [14] Для расчетов использовалось разложение поперечного распределения поля по модам фотонно-кристаллической структуры. Показана зависимость структуры выходного лазерного пучка от профиля накачки.

В [15] представлены результаты экспериментальных исследований временной динамики формирования дифракционной картины маломощного лазерного пучка, проходящего через кюветы с взвешенными в жидкости металлическими наночастицами. Установлено,

что устойчивая структура интенсивности дальнего поля пучка формируется за времена порядка нескольких секунд с момента включения лазерного излучения и состоит из нескольких соосных светлых и темных колец, диаметр и число которых варьируют в зависимости от типа и концентрации коллоидного раствора, а также зависят от величины оптической толщи коллодиной среды и мощности лазерного пучка. На основе дифракционного интеграла Кирхгофа и аналитического решения уравнения теплопроводности дается теоретическая интерпретация наблюдаемых закономерностей развития дифракционной картины от коллоидного раствора.

Широкий обзор работ по нелинейной динамике лазерных систем с запаздывающей обратной связью представлен в [16]. Кроме того, рассмотрено запаздывание в системах с обратной связью, обеспечивающей сам процесс генерации, а также в цепи внешней обратной связи, контролирующей один из лазерных параметров. Сформулированы дифференциально-разностные уравнения,

описывающие динамику генерации, прослежена эволюция динамики при изменении времени запаздывания. Определены механизмы и условия формирования периодических пульсаций разной структуры. Найдены асимптотические характеристики регулярных режимов и их зависимость от запаздывания. Обнаружено явления мультистабильности. Показана возможность наблюдения гистерезиса о периоду, амплитуде, а также структуре пульсаций. Выявлены пути хаотизации. В [17] на основе численного моделирования также рассматривались различные хаотические режимы в системах с запаздывающей обратной связью.

1.2. Экспериментальные и теоретические исследования резонансного самовоздействия

Процессы самовоздействия интенсивных лазерных пучков, распространяющихся в нелинейной среде, изучаются довольно давно (см. [18,19,20] и обзор [21]). В зависимости от условий, в которых находится ограниченный световой пучок, можно наблюдать ряд различных эффектов, обусловленных индуцированной лазерным излучением пространственной неоднородностью показателя преломления среды. К таким эффектам относятся: самофокусировка [22,23] и самодефокусировка [24] лазерного пучка, нелинейные светоиндуцированные линзы [25], самоканалирование [26,27], коническая эмиссия [28,29], самодифракция [30], самоизгибание лазерного пучка [31] и другие эффекты. Все они, в основном, исследовались в средах с керровской и тепловой нелинейностью, в отсутствие резонанса. Необходимость специального исследования эффектов резонансного самовоздействия обусловлена тем, что в этом случае механизм процесса имеет качественные отличия от обычного, нерезонансного самовоздействия. Резонансная самофокусировка, в отличие от нерезонансной, сопровождается насыщенным поглощением, изменяющимся по профилю пучка (самонаведенная диафрагма) и, следовательно, дополнительной дифракцией. Резонансные эффекты наведенной линзы и наведенной диафрагмы имеют одинаковый порядок по параметру насыщения и в равной степени воздействуют на пучок. Таким образом, в ход распространения в резонансной среде с насыщением поглощения пучоек подвергается воздействию нескольких конкурирующих между собой эффектов: наведенной линзы, наведенной диафрагмы и дифракции, что может вызывать сложные изменения его профиля.

Резонансная самофокусировка, вызванная насыщением дисперсии в среде с однородно уширенными переходами была теоретически предсказана в работе Джавана и Келли [32]. Кроме того, Г.А. Аскарьяном [33] указывалось на возможность самофокусировки при изменении квантовых состояний атомов или молекул среды. В [34] рассмотрено нелинейное распространение волны в резонансной двухуровневой системе и исследована возможность фокусировки излучения за счет нелинейности среды. В [35] на основе исследования особенностей самофокусировки в поглощающих средах были найдены области возможного наблюдения резонансной фокусировки, при этом в образовании нелинейной добавки к показателю преломления учитывались также и такие факторы, как «переполяризация» [36] и эффект Штарка.

Экспериментально резонансная самофокусировка была обнаружена Гришковским [37] и Бонч-Бруевичем [38] при резонансном поглощении лазерного излучения парами калия. В [37] наблюдалась импульсная самофокусировка в режиме «бегущего фокуса», а в [38] в мощном излучении с широким спектром наблюдалось сужение луча для одних спектральных компонент и расширение для других. В [39-41] впервые экспериментально наблюдалась стационарная по времени самофокусировка в резонансно-поглощающих газах: в парах натрия [40], калия [41] и в ВСЬ и БРг, [39]. При этом в [40] была детально прослежена периодическая структура нелинейного волновода в пространстве, то есть наблюдалось резонансное самоканалировапие излучения, а в [41] исследовалась нелинейная восприимчивость среды в условиях насыщения поглощения и дисперсии.

Теоретическое описание резонансной самофокусировки непрерывного лазерного излучения, опирающееся на численное

\

моделирование, было предложено в [42], где рассматривалась двухуровневая среда с неоднородно уширенными переходами. Было предсказано явление увеличения интенсивности излучения на оси пучка при его распространении в резонансной среде. Этот теоретически предсказанный эффект был подтвержден в экспериментах, приводимых в [43], где также описывается механизм явлений. Он состоит в следующем: нелинейное поглощение диафрагмирует пучок; когда радиус диафрагмирования становится примерно равным или меньше радиуса пучка на входе в среду. В этом случае свет дифрагирует на внешнем по отношению к оси краю, являясь достаточно сильным, чтобы интерферировать в центре пучка [43]. В [42] отмечается, что данное явление возникает в результате перераспределения излучения по сечению пучка вследствие дифракции Френеля, вызванной нелинейным поглощением. И в [42], и в [43] подчеркивается, что резонансная самофокусировка является качественно иным эффектом по сравнению с обычной, керровской самофокусировкой.

В экспериментах, проводимых в [43] с парами натрия, помимо резонансного увеличения интенсивности на оси пучка, было также зарегистрировано появление кольцевой пространственной структуры пучка. Появление пространственных колец вокруг центрального пятна впервые было зарегистрировано Гришковским при наблюдении резонансной самофокусировки в парах калия [37]. Впоследствии кольцевая структура пучка наблюдалась во многих экспериментах [2628,40,43-48] как в ближней, так и в дальнеполевой зоне. Интенсивности колец, их диаметр и число сильно зависят от интенсивности пучка и параметров среды. Кольцевая структура сопутствует не только резонансной самофокусировке [43-48], но и эффекту самоканалирования пучка [26,40] и конической эмиссии [27,28] и может наблюдаться как в

стационарном [40,43-46], так и в импульсном [37,47,48] режиме распространения. Краткий обзор литературы по этой проблеме приводится в [26] и [44].

В [43] предлагается физическая модель для описания эффектов резонансного увеличения интенсивности на оси пучка и появления пространственных колец. Эта модель подробно описывается и в [44]. Следуя этой, так называемой «апертурной» модели, среда разделяется на две области: первая - область с бездифракционным амплитудным диафрагмированием, вторая - область свободной дифракции. Отмечается, что осцилляции интенсивности на оси пучка, наблюдаемые в эксперименте, довольно хорошо воспроизводятся внесением отверстия подходящего диаметра и подбором его местоположения.

Помимо численного моделирования резонансной самофокусировки на основе апертурной модели [43,44], была сделана попытка рассчитать этот эффект с помощью теории возмущений с разложением электрического поля по степеням малого параметра, кратного числу Френеля [45,46]. Целью работы [45] было предсказание точки фокуса, где приосевая интенсивность резко возрастает, и нахождение связи между положением этой точки и входной интенсивностью на оси пучка. В [46] сообщается о наблюдении тороидального профиля при распространении лазерного излучения в парах натрия и дается сравнение экспериментально полученных результатов с аналитическим и численным моделированием.

Наиболее часто резонансная самофокусировка наблюдалась в парах щелочных металлов [28,37,38,40,41,43-46], для которых удовлетворительно «работает» модель двухуровневого атома, наиболее наглядная и простая для объяснения. В двухуровневой системе, насыщаемой одной модой, основное действие поля на коэффициент

поглощения и, следовательно, на показатель преломления, состоит в понижении разности заселенностей (эффективного числа частиц). Похожая ситуация наблюдалась в эксперименте [47], где поперечное распределение атомов таллия, созданное посредством фотодиссоциации в пучке лазера на красителе, формировало фокусирующую или дефокусирующую наведенную линзу в зависимости от частоты пучка.

Еще один пример двухуровневой системы - распространение резонансного лазерного излучения в метане [48], где целью эксперимента было измерение величины поглощения линии 3.39 мкм гелио-неонового лазера в метане.

Более сложной системой для описания резонансного самовоздействия являются молекулярные поглотители, например, 8Р6 [39,49,50]. Трудности теоретического описания обусловлены тем, что спектры поглощения многоатомных молекул «густые» и во взаимодействии с излучением участвует большое число колебательно-вращательных переходов молекул.

При резонансном самовоздействии импульсов ССЬ- лазера в 8Рб [49,50] так же, как и в экспериментах по стационарной самофокусировке в натрии [43-46], наблюдалось искажение поперечной формы пучка с начальным гауссовым профилем, проявляющееся в расслоении на концентрические кольцевые зоны. Теоретическое обоснование полученных результатов строилось на модели невырожденного ангармонического осциллятора. При аналитическом и численном исследовании самовоздействия гауссовых пучков в случае двухфотонного резонанса [51] была использована адиабатическая модель, состоящая в том, что длительность распространяющегося импульса принимается короче времени релаксации излучения. В рамках этой модели изучалось влияние насыщения на режимы распространения

импульсов и найдены зависимости пороговой мощности самофокусировки при различных соотношениях дифракционных эффектов и эффектов насыщения.

Помимо обычной самофокусировки лазерного излучения, в резонансно-поглощающих средах наблюдались также: мелкомасштабная самофокусировка [52,53], эффект самоиндуцированной прозрачности, состоящий в наблюдении устойчивого распространения импульса света в среде с насыщением поглощения (экспериментально - [54] и теоретически - [55]), сильное самоиндуцированное искажение профилей пучков накачки и стоксовой компоненты - при резонансном вынужденном комбинаци-онном рассеянии в аммиаке [56].

С помощью аналитических и численных исследований было проанализировано влияние действительной и мнимой части диэлектрической проницаемости на распространение излучения в резонансно-поглощающих средах [57], а также влияние таких факторов, как отстройка [58] и лазерно-индуцированная неравновесность распределения молекул газа по скоростям [59].

Наряду с пространственными характеристиками пучка, распространяющегося в резонансно-поглощающей среде, исследовалась и его поляризация [60,61].

1.3. Основные принципы исследования нелинейно -

динамических систем

Сложные системы - это системы, которые сильно зависимы от начальных параметров, и изменение этих параметров на небольшую величину приводит к непредсказуемым последствиям (Рисунок 1).

Все хаотические системы являются детерминированными, а, именно, подчиняются строгому закону, а так же в некоторым смысле

являются упорядоченными. Не нужно путать слово хаос в нелинейно

динамике и в, например, хаос в мифологии. Кроме того есть область

физики, называемая теория квантового хаоса, в которой изучаются

недетерминированные системы. Эти системы подчиняются законам квантовой механики (Рисунок 1,2).

Рис. 1. Пример чувствительности системы к первоначальным условиям, где , - 4х (1 -х) иу-^х+у еслиху<1 (иначе х + у— Д Здесь четко видно, что ряды значений х и у через какое-то время заметно отклоняются друг от друга хотя в первоначальных состояниях отличия микроскопические

Первыми уменьши, иеследующими и сформировавшими теорию хаоса являются фразцузский физики и филосов Анри Пуанкаре Анри Пуанкаре (доказал теорему о возвращении [62]), советские математики В. И. Арнольд и А. Н. Колмогоров и немецкий математик Ю. К. Мозер, построившие теорию хаоса, называемую KAM (теория Колмогорова -Арнольда — Мозера [63-66])

В обыденной жизни термин «хаос» является синонимом словосочетания «быть в состоянии беспорядка». Прилагательное «хаотический» в теории хаоса определено достаточно точно. На самом деле общепринятого универсального математического определения не существует. Тем не менее обычно используемое определение

подразумевает под собой динамическую систему со следующими свойствами :

1. чувствительность к начальным условиям

2. наличие свойства топологического смешивания

3. периодические орбиты должны быть плотными всюду

1.0 -

0.8 -

0.6 -

X

0.4 -

0.2 -

0.0 -

2 0

Рис. 2. Диаграмма раздвоения логистической карты, где х —» г х (1 - х). Каждый вертикальный сектор показывает аттрактор определённого значения г. Диаграмма отображает удвоение периода когда г увеличивается, что в конечном итоге производит хаос

Существуют и более точные математические условия для возникновения хаоса, вот они:

Система должна быть глобально устойчивой, иметь нелинейные характеристики, иметь хотя бы одну неустойчивую точку равновесия колебательного типа, причем размерность системы должна быть больше равна 3/2(т.е. дифференциальное уравнения должно быть порядка не меньше 3-го)

Отсюда следует, что линейные системы не могут быть хаотическими. Одним из главным признаком хаотической динамической системы является ее нелинейность. Как мы можем видеть из теоремы Пуанкаре-Бендиксона[62,67] непрерывная динамическая система не может быть хаотической на плоскости. Только системы с наличием не менее трёх измерения или неевклидовой геометрией(неплоские пространственные системы) имеют хаотическое поведение среди всех непрерывных систем. Но иногда дискретная динамическая система тоже может проявить хаотическое поведение в одно и в двумерном пространстве.

Если система чувствительна к начальным условиям, то в такой системе все точки, близко первоначально приближены между собой, в будущих итерациях будут иметь очень отличающиеся траектории. Отсюда следует, что небольшое произвольное изменение текущей траектории приводит к сильному изменению ее в будущем. Доказано, что эти свойства подразумевают фактически чувствительность к первоначальным условиям(более слабое или альтернативное определение хаоса использует только два первых свойства из вышеупомянутого списка).

«Эффект бабочки» - самый известный термин, описывающий чувствительность к начальным условиям. История возникновения термина следующая: В 1972 Эдвард Лоренц вручил американской «Ассоциации для продвижения науки» в Вашингтоне статью под названием: «Предсказание: Взмах крыльев бабочки в Бразилии вызовет торнадо в штате Техас». Взмахи крыльев бабочки означают небольшие изменения в начальном состоянии системы, из за которых возникает цепочка событий, ведущих к большим изменениям. Траектория системы была бы абсолютно другой, если бы бабочка не хлопала

крыльями. С другой стороны не всегда мелкие изменения в начальном состоянии системы приводят к крупномасштабным изменениям в цепочки событий системы.

Термин топологическое смешивание означает в динамике хаоса схему расширения системы, в которой одна область в какой-то стадии расширения может накладываться на совершенно другую область. Смешивание разноцветных красок и или жидкостей соответствует математическому смешиванию, как пример хаотической системы.

Обычно в известных работах хаос путается с чувствительность к начальным условиям системы. Грань почти прозрачная, так ткак зависит как от выбора показателей измерения, так и от определения расстояний в конкретной стадии системы. Возьмем к примеру систему, которая динамическая и удваивает неоднократно первоначальные значения. Так как любые две соседние точки в первоначальной стадии впоследствии случайным образом будут на значительном расстоянии друг от друга, такая система имеет чувствительную зависимость от первоначальных условий везде. Между тем поведение такой системы тривиально, так как все точки имеют тенденцию к бесконечности, кроме нуля конечно, и это не топологическое смешивание. В теории хаоса обычно внимание ограничивается вокруг закрытых систем, в которых чувствительность к первоначальным условиям и расширение объединяются со смешиванием.

Чувствительность к первоначальным условиям не идентична с хаосом в том смысле, что изложен выше. Итак, взглянем на тор(фигура в геометрии, поверхность вращения окружности которой имеет форму бублика), который задан парой углов (х, у) со значениями от нуля до 2 я. Любая точка определяется как (2х, у+а), так что значение а/2л; является иррациональным. На чувствительность к первоначальным

условиям указывает удвоение первой координаты в отображении. Следовательно отображение не является хаотическим в сопоставлении с вышеописанному определением, так как из-за иррационального изменения во второй координате, нет никаких периодических орбит.

Перейдем к рассмотрению аттракторов. Аттрактор это множество состояний (а именно точек фазового пространства) некой динамической системы, с течением времени к которому она стремится [68,69].

Самыми простыми случаями аттрактора являются несомненно: периодическая траектория(самовозбуждающиеся колебания с положительно обратной связью в контуре), а так же точка(например, в задаче о маятнике с трением), но существуют и более сложные примеры. Обычно хаотические системы проявляют хаотического поведение далеко не всегда, а только когда параметры динамической системы принадлежат некоторому специальному подпространству, но есть системы, которые хаотичные всегда.

Самыми интересными случаями проявления хаотического поведения являются те случаи, когда довольно большой набор первоначальных параметров приводит к изменению на орбитах аттрактора(Рисунок 3). Началь с точки в районе притяжения аттрактора и далее составить график последующей орбиты его - самый простой способ увидеть хаотический аттрактор. Есть некая похожесть на отображения картины конечного полного аттрактора из-за состояния топологической транзитивности. Если система описывает маятник -пространство двумерное и включает два параметра данных: положение и скорость. Поэтому возможно составить график скорости и положения маятника. Если маятник покоится, то его положение будет точкой, если же он опишет один периода, то график будет представлять собой

простую замкнутую кривую. Такая кривая называется орбитой. Для маятника имеется бесконечное количество орбит, по виду формирующих совокупность вложенных эллипсов.

Рис.3. Аттрактор Лоренца как диаграмма хаотической системы.

Почти все типы движения можно описать простыми аттракторами, которые являются ограниченными циклами. Если же движение хаотическое, то оно описывается странными аттракторами, которые имеют много параметров и очень сложны. Например известный аттрактор Лоренца[70,71] описывает простую трехмерную систему погоды. Эта диаграмма одна из самых известных для хаотических систем, не только потому, что была одной из первых, а потому, что была довольна сложна. Еще одним примером аттрактора является отображение Рёслера[72,73]. Он имеет двойной периода, и это подобно логистическому отображению. Странные аттракторы проявляются и в некоторых дискретных(Отображения Хенона) и в непрерывных динамических(Лоренц), то есть в обеих системах. Несколько из дискретных динамических систем назвали системами Жулиа. И системы Жулия и странные аттракторы имеют типичную фрактальную, рекурсивную структуру. Согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона

странный аттрактор возникает в непрерывной системе(динамической) при условии, что она имеет 3 и больше измерений. Если же посмотреть на дискретные динамические системы, мы обнаружим что это ограничение не работает для них. Дискретные системы, имеющие размерность 2 или даже 1 могут иметь странные аттракторы. Допустим есть несколько тел, испытывающих гравитационное притяжение при некоторых начальных условиях. Движение этих тел может иметь хаотический порядок.

Дифференциальные уравнения - не обязательное условия для существования хаотической системы. Рассмотрим логистическое отображение. Оно описывает изменение количества населения с течением времени. Это отображение является логистическим и полиномиальным отображением второй степени. Оно является примером хаотического поведения, которое получается из очень простых нелинейных динамических уравнений. Кроме того есть еще модель Рикера, еще один пример, который также описывает динамику роста населения.

Для дифференциального уравнения, чтобы показать хаос, требуется три или больше измерений, хотя для соответствующих значений параметра показать хаос может и одномерное отображение. Из теоремы Пуанкаре-Бендиксона следует, что дифференциальное уравнение, если оно двумерно, имеет очень стабильно поведение. Однако трехмерные квадратичные системы только с четырьмя и тремя переменными не могут дать хаотическое поведение, что и было доказано Zhang и Heidel. Суть в том, что решения систем такого типа являются асимптотическими по отношению к плоскостям двумерным, и следовательно представляют собой стабильные решения.

Применение теории хаоса расширяет доступность и дешевизна современных компьютеров. Сейчас теория хаоса очень активно исследуется во многих отраслях науки(астрофизика, теория информации, математика, топология, биология, метеорология, физика, , и т.д.).) и является очень активной областью.

Большую значимость в данным момент представляет собой применении теории хаоса в следующих научных дисциплинах: биология, философия, физика, экономика, инженерия, финансы. Во многих лабораториях сейчас наблюдают различные хаотические процессы. Например в электрических схемах, химических реакциям, лазерах, магнитно-механических устройствах и в динамике жидкостей. Движение спутников солнечной системы так же имеет хаотическое поведение, как и в приросте населения в экологии, эволюции магнитного поля астрономических тел, а так же динамики потенциалов в нейронах и молекулярных колебаниях. Однако существуют сомнения насчет существования динамики хаоса в таких отраслях как тектоника плит и экономика

Чтобы показать зависимость прироста населения от его плотности, использовались динамические системы, похожие на модель Рикера, что было одним из самых успешных применений теории хаоса в экологии. На данный момент в медицине при изучении эпилепсии также используется теория хаоса для предсказания приступов, учитывая первоначальное состояние организма. Квантовая теория хаоса(похожая область физики) исследует связь между квантовой механикой и хаосом. Относительно недавно появилась еще одна область, описывающая системы, которые развиваются по законом общей теории относительности.

Стоит отметить что по начальным данным практически невозможно сказать, является процесс случайным либо хаотическим, так как не существует чистого явного «сигнала» отличия. Это означает, что почти любая система, если даже она детерминирована, будет содержать случайности. Нужно знать, что детерминированная система всегда развивается по одному пути от данной отправной точки, чтобы отличить стохастический процесс от детерминированного, для проверки детерменизма процесса надо: выбрать состояние; найти несколько подобных состояний; сравнить их развитие;

Различие между изменениями в тестируемом и подобных состояниях определяет погрешность. Имеем два исхода: погрешность системы будет увеличиваться по экспоненте по времени, и это будет хаос, либо она будет иметь очень маленькую погрешность, и тогда мы получим постоянный и устойчивый результат.

Все методы по определению детерминизма опираются на обнаружение состояний, которые находятся как можно ближе к данному тестируемому (т.е. изменению показателя Ляпунова, корреляции и т.д.). Для определения состояния системы обычно используют методы определения стадии развития. В этом случае исследователь исследует развитие погрешности в некоем выбранном заранее диапазоне измерений между двумя близлежащими состояниями. Диапазон увеличивают, если она выглядит случайной, чтобы получить детерминированную погрешность. Может сложиться впечатление, что это довольно легко сделать, но это не так. Дело в том, что чем шире диапазон, тем больше времени необходимо для поиска требуемого близлежащего состояния. Это первая сложность. С другой

стороны, если диапазон измерения слишком мал, то данные(детерминированные) будут выглядеть как случайные, но если выбрать слишком большой диапазон, то этого не будет - работать метод будет успешно.

Траектория детерменированной системы постоянно искажается, если в нее вмешиваются помехи. Из-за нелинейности сиестемы действие помех усиливаются, и у системы появляются абсолютно вые динамические свойства. Стоит отметить, что испытания, проводимые с целью изолировать помехи от детерминированной основы или отделить их, потерпели неудачу. Т.е. при взаимном воздействии помех и нелинейными детерминированными компонентами возникает динамика, нелинейность которой порой очень трудно определить традиционными методами.

Для исследования нелинейной динамики системы часто используют метод сечения Пуанкаре (Рисунок 4).

Рис.4. Отображение Пуанкаре трансверсальной площадки на себя определяется точкой первого возвращения траектории на площадку

В разделе математики, посвященному теории динамических систем отображение Пуанкаре, также называемой отображением

первого возвращения и отображением проследования - проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя, ну или на другую площадку в вдоль фазовых кривых (траекторий) системы.

Более подробно, сечение Пуанкаре определяется следующим методом. Рассмотрим некий участок поверхности на фазовом портрете (отображение Пуанкаре), трансверсальный к векторному полю системы (не касающийся поля; обычно говорят просто трансверсаль). Из точки выпустим траекторию системы. В какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль опять; обозначим точку пересечения как х. Сечение Пуанкаре точке сопоставляет в соответствие точку первого возвращения . Если же траектория выпущена из х никогда не возвращалась на трансверсаль, то сечение Пуанкаре в этой точке не определено.

Практически идентично можно определить отображение Пуанкаре не только с трансверсали на себя, но и обратно, т.е. с одной трансверсали на другую.

Итерации сечения Пуанкаре с некой трансверсали на себя образуют некоторую динамическую систему с дискретным временем на фазовом портрете меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в очень тесной связи со свойствами изначальной, где время непрерывно (замкнутым траекториям системы, например, соответствуют неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре). Таким образом устанавливается связь между векторными полями и потоками с одной стороны и их итерациями отображений с другой. Сечение Пуанкаре является одним из самых важных инструментов исследования динамических систем с непрерывным временем.

Существенной характеристикой сложного поведения нелинейных систем является ляпуновский показатель. Проще всего его ввести для дискретных отображений. Ляпуновский показатель характеризует поведение двух изначально очень близких точек в фазовом пространстве. С течением времени расстояние между ними меняется экспоненциальным образом, как раз с величиной показателя. Поэтому если он отрицателен, то точки сближаются, и мы имеем периодический режим. Если же показатель положителен, то точки расходятся. Таким образом, ляпуновский показатель является мерой присущей системе чувствительной зависимости от начальных условий и может тестировать хаос.

Для отображений число ляпуновских показателей в системе равно размерности фазового пространства. При этом, если один показатель положителен, то имеем хаос, если два - то гиперхаос.

Весьма информативным является представление ляпуновского показателя на плоскости параметров системы, когда каждая точка окрашивается в свой цвет, определяемый величиной показателя(Рисунок 5). На представленном примере градациями синего цвета отмечены области отрицательного показателя («моря»), а оттенками красного и желтого - положительного («суша»). На рисунке показана ляпуновская карта старшего ляпуновского показателя для отображения Икеды. Данное отображение описывается следующим соотношением:

Е„+1=Л + ВЕ1/Ф"1'

Отображение Икеды предложено в 1980 г. как модель, объясняющая возникновения сложной динамики в нелинейной

оптической системе - кольцевом резонаторе, содержащем среду с фазовой нелинейностью.

Для автономных систем с непрерывным временем периодические орбиты характеризуются присутствием нулевого показателя (отвечающего возмущению типа сдвига вдоль траектории), однако, при построении карт его целесообразно исключить и рассматривать зависимость от параметров наибольшего из ненулевых показателей. Тогда соответствие между типом режима и знаком показателя Ляпунова такое же, как и для отображений.

Рис.5. Карталяпуновских показателей для отображения Икеды

Для автономных систем с непрерывным временем периодические орбиты характеризуются присутствием нулевого показателя (отвечающего возмущению типа сдвига вдоль траектории), однако, при построении карт его целесообразно исключить и рассматривать зависимость от параметров наибольшего из ненулевых показателей.

Тогда соответствие между типом режима и знаком показателя Ляпунова такое же, как и для отображений.

1.4. Заключительные замечания и выводы

Проблема исследования динамики лазерных пучков и импульсов,

как следует из обзора литературы, изучалась достаточно давно и весьма подробно, но необходимо отметить, что основное внимание исследователей концентрируется на внутрирезонаторных процессах в различных типах лазеров. Конечно, с точки зрения нелинейной динамики подобные системы являются очень интересными и разнообразными, но существует некоторая малоизученная область - это анализ нелинейно-динамических свойств лазерных пучков, распространяющихся в нелинейно - оптических средах в условиях резонанса. Сами по себе эффекты резонансного самовоздействия вносят существенную нелинейность в поведение распространяющегося пучка, но в случае частотно-модулированного сигнала на эти эффекты могут накладываться нестационарные когерентные эффекты, вызванные быстрой сменой частоты лазерного пучка, что может вызвать возникновение хаотических режимов. Исследование нелинейно-динамических характеристик частотно-модулированных пучков, распространяющихся в условиях резонансного самовоздействия ранее не проводилось, что делает весьма актуальным и востребованным исследование в этой области. Кроме того, ранее не рассматривалось совместное влияние на пространственно-временные характеристики модулированных лазерных пучков эффектов резонансного самовоздействия и нестационарных когерентных эффектов.

Представленный в настоящей работе анализ совместного влияния нестационарных когерентных эффектов и резонансного самовоздействия на динамику протяжённого лазерного пучка,

модулированного по частоте, является продолжением исследования, начатого в диссертационной работе И.Л.Пластун [74].

Основные результаты представленной диссертационной работы опубликованы в статьях [75-82,94,98-100].

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО ЛАЗЕРНОГО ПУЧКА В НЕЛИНЕЙНО ОПТИЧЕСКОЙ ДВУХУРОВНЕВОЙ СРЕДЕ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА-БЛОХА И МЕТОД

ИХ РЕШЕНИЯ

2.1. Система уравнений Максвелла-Блоха

В скалярном приближении для медленных огибающих поля и поляризации и при использовании простейшей двухуровневой модели среды соответствующие уравнения представляют собой хорошо известную систему уравнений Максвелла-Блоха (см., например, [19]). В эту систему входят два уравнения Блоха для параметров среды: разности заселённостей уровней (2.2) и поляризации, (2.3) и уравнение Максвелла (2.1), включающее собственный поперечный Лапласиан, описывающее пространственно-временную эволюцию пучка.

С точки зрения теории, вполне естественно описывать отклик среды на основе нелинейной восприимчивости. Очевидно, что тот же самый подход можно использовать для описания временных зависимостей поля, так как они достаточно медленны и сравнимы с атомными временами релаксации. Более быстрые изменения поля вызывают случайный кратковременный отклик среды и, таким образом, случайную самофокусировку и эффекты наведенной апертуры. Пространственно-временные численные модели достаточно удовлетворительно описывают проявления самофокусировки при распространении коротких импульсов (см., например, [12]). Экспериментальные проявления нестационарной резонансной самофокусировки частотно-модулированных лазерных пучков наблюдались в спектроскопии насыщения [61].

Численная модель в рамках скалярной параксиальной оптики основывается на прямом решении уравнений Блоха (2.2, 2.3), выводящихся из уравнений для матрицы плотности и описывающих отклик среды, совместно с параболическим волновым уравнением (2.1), которое описывает пространственно-временную эволюцию распространяющегося лазерного пучка (данная система из трех уравнений в нелинейной оптике носит название системы уравнений Максвелла-Блоха).

В безразмерных единицах система Максвелла-Блоха имеет вид:

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Мисюрин, Артём Геннадьевич

Основные результаты проведенного исследования можно сформулировать следующим образом:

1. Разработан программный комплекс для численного решения системы уравнений Максвелла-Блоха на основе метода расщепления по направлениям и спектральном разложении по модам поперечного распределения поля и поляризации среды. Данный комплекс предназначен для численного исследования динамики протяжённого лазерного пучка, модулированного по частоте, распространяющегося в нелинейно-оптической двухуровневой среде с насыщением поглощения и дисперсии. Программный комплекс предоставляет возможность исследования как пространственно-временных и частотных характеристик распространяющегося сигнала и отклика среды, так и нелинейно-динамических свойств рассматриваемой системы. Он обладает развитым пользовательским интерфейсом с разнообразным графическим представлением результатов и возможностью распараллеливания вычислений.

2. С целью реализации параллельных вычислений на основе технологий CUDA, GLSL, OpenMP, OpenCL была проведена векторизация используемого численного алгоритма разложения поперечного распределения поля и поляризации среды по модам Гаусса-Лагерра.

3. Впервые для задач нелинейной волновой оптики, связанных с численным моделированием распространения протяжённых лазерных пучков, были реализованы параллельные вычисления на основе графических процессоров NVidia и ATI и проведён сравнительный анализ быстродействия различных технологий: CUDA, GLSL, OpenMP, OpenCL.

4. Методами численного моделирования исследовано распространение частотно-модулированных протяжённых лазерных пучков в двухуровневой среде с насыщением поглощения и дисперсии. Показано, что благодаря эффектам резонансного самовоздействия по мере роста интенсивности распространяющегося сигнала возрастает степень влияния наведённой рефракции, что, в свою очередь, вызывает существеные искажения осцилляций выходной интенсивности частотно-модулированного лазерного пучка как в случае точного резонанса (двукратный проход через резонанс), так и при отстройке несущей частоты на величину, равную амплитуде модуляции (однократный проход через резонанс).

5. В протяженных лазерных пучках, модулированных по частоте, исследованы условия появления эффекта оптической нутации и обнаружено, что эффекты резонансного самовоздействия пучка сглаживают оптическую нутацию в случае сильных полей, вызывающих насыщение поглощения и инверсию населённостей уровней.

6. Впервые исследованы нелинейно-динамические характеристики и степень устойчивости лазерных пучков, модулированных по частоте, распространяющихся в средах с насыщением поглощения и с насыщением усиления. Анализ показателей Ляпунова, спектров мощности, рассчитанных по реализации интенсивности на оси пучка, проекций фазовых портретов отклика среды и сечений Пуанкаре показал, что рассматриваемая система отличается высокой степенью устойчивости, где реализуются только режим цикла 1Т, режим цикла периода 2Т и режим цикла периода 4Т, переход к которым идёт через бифуркацию удвоения периода.

7. Устойчивость системы, включающей нелинейно-оптическую среду с насыщением поглощения и дисперсии и распространяющийся в ней частотно-модулированный протяжённый лазерный пучок, объясняется наличием диссипации и может обеспечивать стабильное распространение лазерных сигналов при использовании подобных сред в качестве активных элементов в оптических усилителях и линиях задержки.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н. И.Л.Пластун, под руководством которой выполнялась эта диссертационная работа.

Автор благодарит к.ф-м.н, доцента Мантурова А.О. за полезные консультации по нелинейной динамике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мисюрин, Артём Геннадьевич, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Ханин Я.И. Основы динамики лазеров. -М.: Наука.Физматлит, 1999. -368с.

2. Хакен Г. Лазерная светодинамика. -М.: Мир, 1988.3. К. Otsuka Nonlinear Dynamics in Optical Complex Systems/ Otsuka

K. //Tokyo: KTK Scientific publishers. 2002. -299p.

4. Otsuka K. Multimode laser dynamics /К. Otsuka// Progress in Quantum Electronics, 1999, P. 97-129

5. Otsuka K. Spatial and polarization entanglement of lasing patterns and related dynamic behaviors in laserdiode-pumped solid-state lasers/ K. Otsuka, S.-C. Chu, C.-C. Lin, K. Tokunaga, T. Ohtomo// Optics Express, 2009, Vol. 17, No. 24

6. Law J.Y. Nonlinear spatio - temporal dynamics due to transverse-mode competition in gain-switched microcavity semiconductor lasers / J.Y. Law, G.P. Agrawal// Optic Communications, 1997, P. 95-98

7. Logvin Yu. A. Modeling Transverse Optical Pattern Dynamics of Vertical-Cavity Surface-Emitting Lasers beyond the Rate Equation Approximation / Yu. A. Logvin, N. A. Loiko, S. I. Turovets, P. S. Spencer, and K. A. Shore// Laser Physics 1997, Vol. 7, No. 6, P. 11601167

8. Ramon M.I. Pattern dynamics in an annular C02 laser / M.L. Ramon, R. Meucci, E. Allaria, S. Boccaletti // The European Physical Journal D, 2000,P. 329-337

9. Владимиров А.Г., Динамические неустойчивости при взаимодействии поперечных мод в лазере класса В/ А.Г. Владимиров, Д.В. Скрябин //, Квант, электроника, 1997

10. Lin H. Control of beam patterns in a helium-neon laser using a spatially filtered feedback/ H. Lin, S. Mahadoo// Optic Communications, 2003, P. 357-364 '

11. Labate A. Pattern dynamics in a large Fresnel number laser close to threshold / A. Labate, M. Ciofini, R. Meucci, S. Boccaletti, F.T. Arecchi//Physical review A, 1997, Vol. 56, Num. 3, P. 2237-2241

12. Konukhov A.I. Pulse-train dynamics simulation in Kerr-lens mode-locked solid-state laser using a full spatio-temporal numerical model /А.1. Konukhov, L.A. Melnikov //Proceedings SPIE. 2000. V.4243. P.12-19.

13. Numerical studies of beam and pulse propagation in lasers and nonlinear media: transverse pattern dynamics and nonparaxial effects / L.A.Melnikov, V.L.Derbov, I.V.Veshneva, A.I.Konukhov //Computers Mathematical Applications. 1997. V.34. №7/8. P.881-909.

14. Конюхов А.И. Моделирование динамики полупроводникового фотонно-кристаллического лазера с широкой излучающей поверхностью / А.И. Конюхов // Известия СГУ 2005, Том 5, выпуск 1 С. 102-107

15. Гейнц Ю.Э. Временная динамика пространственной структуры интенсивности дальнего поля лазерного пучка, прошедшего тонкий слой наноколлоидной среды/ Ю.Э. Гейнц, В.А. Донченко, Ал. А. Землсянов, Н.С. Панамарев// Оптика атмосферы и океана,2011, No 3

16. Лойко Н.А. Нелинейная динамика лазерных систем с запаздыванием/ Н.А. Лойко, A.M. Самсон// Квантовая электроника, 1994, No 8, С. 713-728

17. Chesnokov S.S. Spatiotemporal Chaotic Behavior of Time-Delayed Nonlinear Optical Systems / S. S. Chesnokov, A. A. Rybak// Laser Physics 2000, Vol. 10, No. 5, P. 1061-1068

18. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике / А.П.Сухоруков -М.: Наука, 1988. -232 с.

19. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики / И.Р. Шен. -ML: Наука, 1989.-560 с.

20. Бутылкин B.C. Резонансные взаимодействия света с веществом / B.C. Бутылкин, А.Е. Каплан, Ю.Г. Хронопуло. -М.: Наука, 1977. -352 с.

21. Луговой В.Н. Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде / В.Н. Луговой, A.M. Прохоров //Успехи физических наук. 1973. Т.111, В.2. С.203-247.

22. Ахманов С.А. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде / С.А. Ахманов, А.П. Сухоруков, Р.В. Хохлов // Успехи физических наук. 1967. Т.93, В.1. С. 19-70.

23. Аскарьян Г.А. Эффект самофокусировки / Г.А. Аскарьян // Успехи физических наук. 1973. Т.111, В.2. С.249-260.

24. Самодефокусировка сходящихся пучков: кольцевые «волны интенсивности» в фокусе / Ю.К. Данилейко, В. А. Миляев, Ю.П. Минаев и др. //Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1986. Т.91. В. 1(7). С.166-171

25. Альтшулер Г.Б. Нелинейные линзы и их применение / Г.Б. Альтшулер, М.В. Иночкин // Успехи физических наук. 1993. Т. 163, №7. С. 65-84.

26. Quasi-trapping of Gaussian beams in two-level systems / M. LeBerre, E. Ressaure, A. Tallet, F.P. Mattar //Journal of Optical Society of America B. 1985. V.2. №6. P.956-967.

27. Harter D.J. Four-wave mixing resonantly enhanced by AC-Stark-split levels in self-trapped filaments of light / D.J. Harter, R.W. Boyd // Physical Review A. 1984. V.29, №2. P.739-748.

28. Skinner C.H. Observation of anomalous conical emission from laser-exited barium vapor / C.H. Skinner, P.D. Kleiber // Physical Review A. 1980. V.21, №1. P. 151-156.

29. Cw Conical Emission: First Comparison and Agreement between Theory and Experiment / J.F. Valley, G. Khitrova, H.M. Gibbs, et al. // Physical Review Letters. 1990. V.64, №20. P.2362-2365.

30. Kalt H. Resonant self-diffraction from dynamic, laser-induced gratings in II-IV compounds / H. Kalt, R. Renner, C. Klingshirn // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1986. V.22, №8. P. 1312-1319.

31. Каплан A.E. Искривление траекторий асимметрических пучков света в нелинейных средах / А.Е. Каплан // Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т.9, В.1. С.58-62.

32. Javan A. Possibility of self-focusing due to intensity-dependent anomalous dispersion / A. Javan, P. Kelley // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1966. V.2, №9. P. 470-473.

33. Аскарьян Г.А. Самофокусировка луча света при возбуждении атомов и молекул среды в луче / Г.А. Аскарьян //Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т.4, №10. С.400-403.

34. Красовицкий В.Б. Взаимодействие электромагнитных волн с двухуровневой системой / В.Б. Красовицкий, В.И. Курил ко //Журнал технической физики. 1966. Т.36, № 2 С.401-404.

35. Бутылкин B.C. Особенности самовоздействия света в поглощающих средах и условия наблюдения самофокусировки, вызванной резонансным поглощением. / B.C. Бутылкин, А.Е. Каплан, Ю.Г. Хронопуло // Журнал экспериментальной и теоретической физики 1971. Т.61, В.2(8). С.520-533.

36. Бутылкин B.C. Нелинейная поляризуемость при резонансных взаимодействиях электромагнитного поля с веществом / B.C. Бутылкин, А.Е. Каплан, Ю.Г. Хронопуло // Журнал экспериментальной и теоретической физики 1970. Т.59. В.3(9). С.921-933.

37. Grischkowsky D. Self-focusing of light by potassium vapor / D. Grischkowsky // Physical Review Letters. 1970. V.24, №16. P.866-869.

38. Бонч-Бруевич A.M. Нелинейные явления при прохождении излучения лазеров с широким спектром через атомные пары калия / A.M. Бонч-Бруевич, В.А. Ходовой, В.В. Хромов // Письма в журнал экспериментальной и теоретичес-кой физики. 1970. Т.11, В. 9. С.431-434.

39. Самофокусировка излучения СОг-лазера в резонансно-поглощающих средах / Н.В. Карлов, Н.А. Карпов, Ю.Н. Петров, О.М. Стельмах //Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1973. Т. 17. В. 7. С.337-340.

40. Bjorkholm J.С. CW self-focusing and self-trapping of light in sodium vapor / J.C. Bjorkholm, A. Ashkin // Physical Review Letters. 1974. V.32. P.129-132.

41. Дисперсия резонансной нелинейной восприимчивости в парах калия / С.А. Ахманов, А.И. Ковригин, С.А. Максимов, В.Е. Оглуздин //Письма в журнал экспериментальной и теоретической физики. 1972. Т.15. В.4. С. 186-191.

42. Boshier M.G. Self-focusing in a vapour of two-state atoms / M.G. Boshier, W.J. Sandle // Optics Communications. 1982. V. 45. №5. P. 371-376.

43. Observation of continuous-wave on-resonance «self-focusing» / K. Tai, H.M. Gibbs, M.C. Rushford et al. // Optics Letters. 1984. V. 9, № 6. P.243-245.

44. Continuous-wave off-resonance rings and continuous-wave on-resonance enhancement / M. LeBerre, E. Ressaure, A. Tallet et al. //Journal of the Optical Society of America B. 1984. V.l. №3. P.591-605.

45. LeBerre M. On-resonance self-focusing / M. LeBerre, E. Ressaure, A. Tallet // Coherence and Quantum Optics 5: Proceedings of 5 Rochester Conference, June 13 -15, 1983. -New York; London: 1984. P.331-337.

46. Spatial ringing of intense cw light propagation through a strongly self-defocusing medium / M. LeBerre, E. Ressaure, A. Tallet et al. // Coherence and Quantum Optics 5: Proceedings of 5 Rochester Conference, June 13 -15, 1983. -New York; London: 1984. P.347-353.

47. Zhang J. Focusing and defocusing of near-resonant dye laser beam by photodissociation-produced T1 atoms / J. Zhang, T.A. King // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. 1990. V.23. P.L153-L157.

48. Mueller R.E. Propagation of saturating laser beam through methane / R.E. Mueller, A.D. May // Journal of the Optical Society of America B. 1988. V.5. №1. P. 112-115.

49. Резонансное самовоздействие импульсов С02-лазера в SFs / B.IO. Баранов, JI.A. Большов, Т.К. Кириченко и др.// Квантовая электроника 1987. Т.14, № 4. С.707-713.

50. Искажения волнового фронта светового пучка при формировании мощных импульсов излучения СОг-лазера / В.Ю. Баранов, JI.A. Большов, Т.К. Кириченко и др. // Препринт ИАЭ-4018/7. -М., 1984.

51. Гора В.Д. Адиабатическая модель резонансной двухфотонной самофокусировки и дефокусировки световых пучков / В.Д. Гора, Ю.Н. Карамзин, А.П. Сухоруков // Квантовая электроника. 1980. Т.7. № 8. С.1748-1755.

52. Small-scale andwhole beam self-focusing of very intense laser beams in saturable absorbers / J.P. Babuel-Peyrissac, J.P. Marinier, C. Bardin, F.P. Mattar // Proceedings of the Society of Photo-Optical Instruments and Engineering. 1985. V.540. P.569-580.

53. Physical insights of the cw on-resonance whole beam absorptive small-scale self-focusing in propagation of laser beams in saturable absorbers / J.P. Babuel-Peyrissac, J.P. Marinier, C. Bardin et al.// Advanced Laser Science 1 - Proceedings of 1st International Laser Science Conference. 1985. -New York: 1986. P.320-323.

54. Самоиндуцированная прозрачность в сфокусированном световом пучке / B.C. Егоров, В.В. Козлов, Н.М. Реутова, Э.Е. Фрадкин //Оптика и спектроскопия. 1992. Т.72. В.З. С.632-637.

55. Козлов В.В. Распространение трехмерного оптического солитона в резонансной газовой среде. /В.В. Козлов, Э.Е. Фрадкин // Журнал

экспериментальной и теоретической физики. 1993. Т. 103, В.6. С.1902-1913.

56. Резонансное ВКР в NH3 с истощением излучения накачки и широким диапазоном перестройки частоты. / А.Н. Бобровский, А.В. Кожевников, В.А. Мищенко и др. //Квантовая электроника. 1988. Т. 15, № 2. С.379-381.

57. Левин В.А. К вопросу о распространении импульса излучения в резонансно поглощающей газовой среде / В.А. Левин, А.А. Сорокин, A.M. Старик //Доклады АН СССР. 1987. Т. 293, № 6. С.1364-1369.

58. Gross В. Effects of detuning on the propagation of a 2-D beam in a resonant two-level medium / B. Gross, J.T. Manassah // Laser Physics. 1992. V. 2, №6. P.758-761.

59. Резонансная самофокусировка при лазерно - индуцированной неравновесности распределений молекул газа по скоростям / А.Э. Баделян, С.В. Иванов., М.Н. Коган, Б.Я. Панченко //Оптика атмосферы и океана. 1992. Т. 5. № 4. С.408-412.

60. Adonts G.G. Propagation of two polarized impulses through a resonant medium / G.G. Adonts, J.N. Elgin // Journal of Modern Optics. 1988. V.35. №3.P.419-429.

61. Базаров E.H. Динамическая самофокусировка гауссова светового пучка при насыщении неоднородно - уширенной линии поглощения / Е.Н. Базаров, Г.А. Герасимов, В.П. Губин и др. //Квантовая электроника. 1990. Т. 17, № 2, С. 207-210.

62. А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем / А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с.

63. Ю. Мозер, КАМ-теория и проблемы устойчивости/ РХД -Ижевск.: 2001.-436 с.

64. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики / Динамические системы — 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, 3, ВИНИТИ, — М.: 1985. — 405 с.

65. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике/В. И. Арнольд// Успехи математических наук, 1963, Т. 18, с 91-101.

66. Колмогоров А. Н. О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона/ А.Н. Колмогоров// Докл. АН СССР, 1954, Т. 98 с. 572-580.

67. Ю. С. Ильяшенко, Эволюционные процессы и философия общности положения /МЦНМО, — М.: 2007 — 32 с.

68. Yu.S.Ilyashenko, Global Analysis of the Phase Portrait for the / Yu.S.Ilyashenko //Kuramoto-Sivashinsky Equation, Journal of Dynamics and Differential Equations, 1992, Vol. 4, No. 4, pp. 27—35

69. A. Gorodetski, Minimal and strange attractors/ A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, Vol.

6, No. 6, pp. 1177—1183.

70. Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value problem. / Saltzman В // Journal of the atmospheric science, 1962, No

7, pp. 329—341.

71. Лоренц Э. Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. — М.: 1981. — 280 с.

72. Ф.Мун. Хаотические колебания.- М.:,Мир, 1990, 285 с.

73. Ressler,O.E (1976). "Chemical Turbulence: Chaos in a Small Reaction-Diffusion System", Z. Naturforsch. a 31,1168-1172.

74. И. JT. Пластун, Математическое моделирование резонансного самовоздействия в протяжённых лазерных пучках. Дисс. д. ф.-м. н., СГТУ, 2011

75. Мисюрин А.Г. Нестационарное резонансное самовоздействие лазерного сигнала, модулированного по частоте / И.Л. Пластун, А.О. Мантуров, А.Г. Мисюрин, В.Б. Байбурин// Вестник СГТУ. 2009, Т.4(43), вып.2, С.24-27

76. Мисюрин А.Г. Пространственно-временная динамика модулированного лазерного пучка в протяжённой нелинейно -оптической среде / И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин// Известия СГУ Серия физика., 2011, Т. 11 выпуск 1 С. 14 -19.

77. Мисюрин А.Г. Использование многопоточных технологий в расчетах задач распространения лазерных пучков в условиях самовоздействия / И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин// Компьютерная оптика, 2012, Т.36, №3, С.316-326.

78. Мисюрин А.Г. Нестационарная оптическая нутация в частотно-модулированных протяжённых лазерных пучках в условиях резонансного самовоздействия/ И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин// Известия СГУ Новая серия. Серия физика, 2012, Т. 12, выпуск 2, С. 52 -57.

79. Мисюрин А.Г., Численное исследование резонансного самовоздействия и нестационарных эффектов в нелинейно-оптических средах / A.A. Вдовухин, А.Г. Мисюрин. - Материалы всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Инновации и актуальные проблемы техники и технологий». Саратов: Изд-во СГТУ, 2009 С.23-25

80. Мисюрин А.Г. Анализ динамики лазерного пучка, распространяющегося в условиях резонансного самовоздействия./

j

И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин. - Нелинейные дни в Саратове для молодых 2010. Саратов: «Известия вузов. ПНД.» 2010 г. С.28-32

81. Мисюрин А.Г. Анализ динамики протяжённых лазерных пучков, модулированных по частоте, в условиях проявления резонансных нелинейных интерференционных эффектов / И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин, А.А. Оруджев / Материалы XV Международной зимней школы-семинара по электронике СВЧ и радиофизике, Саратов 2012, с.50-51

82. Мисюрин А.Г. Решение уравнений нелинейной оптики на основе технологии CUDA. / И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин/ Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25. Сборник трудов XXV Международной научной конференции Волгоград: , 2012 г. Т. 5 Секция 9, С. 86-88.

83. Phase and amplitude near-resonance self-action in periodically

modulated laser beams. / V.L. Derbov, I.L. Plastun, V.V. Serov, D.A.

th

Larionov // Proceedings of 5 International Conference on Transparent Optical Networks. -Warsaw, Poland, 2003. July 17-22. P. 122-128

84. Пластун И.Л. Численное моделирование распространения лазерного излучения в нелинейно - оптических средах: монография / И.Л.Пластун. -Саратов: Сарат.гос.техн.ун-т, 2008. -108с.

85. Марчук Г.И. Методы расщепления / Г.И.Марчук -М.: Наука, 1988. -264с.

86. Карамзин Ю.Н. Математическое моделирование в нелинейной оптике / Ю.Н. Карамзин, А.П. Сухоруков, В.А. Трофимов -М: Изд-воМГУ, 1989.-156с

87. Sanders J. CUDA by Example. An Introduction to General-Purpose GPU Programming / J.Sanders, E.Kandrot -Addison-Wesley Professional, 2010, -312p.

88. Изотов П.Ю. Технология реализации нейросетевого алгоритма в среде CUDA на примере распознавания рукописных цифр / П.Ю. Изотов, C.B. Суханов, Д.Л. Головашкин // Компьютерная оптика. 2010. Т.34, №2, с.243-251.

89. Алексеев В.А. Векторизация метода распространяющегося пучка и его реализация по технологии CUDA / В.А. Алексеев, Д.Л. Головашкин // Компьютерная оптика. 2010. Т.34, №2, с.225-230

90. Программа моделирования распространения двух лазерных пучков в нелинейно-оптической трехуровневой среде /Пластун И.Л.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010613868. (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 15.06.2010).

91. Программа численного решения системы уравнений Максвелла-Блоха /Пластун И.Л., Мисюрин А.Г.; Свидетельство Роспатента о государственной регистрации программы для ЭВМ №2010613449. (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26.05.2010).

92. Шилд Г. С#: учебный курс. / Г. Шилд. -СПб: Питер; К.: Издательская группа BHV, 2003. -512с.

93. Bipin Joshi Beginning XML with C# 2008: From novice to Professional / Joshi Bipin -New York: Springer-Verlag, 2009. -530p.

94. Пластун И.Л. Оптическое деление частоты при распространении лазерного излучения в среде с насыщением поглощения и дисперсии /И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин // Компьютерная оптика. 2010. Т.34, №3, с.292-296.

95. Karimi К. A Performance Comparison of CUDA and OpenCL / K.Karimi, N.G. Dickson, F.Hamze -D-Wave Systems Inc. 100-4401 Still Creek Drive Bumaby, British Columbia Canada, 2011, -1 Op.

96. Воробьев А., Берилло А. ЗО-ускоритель от AMDrATI RADEON HD 4890 1024MB [Электронный ресурс]//

1ХВТ[сайт]. [2009] .URL:www.ixbt.com/video3/rv790.shtml_(дата

обращения: 10.06.2012).

97. Технические характеристики NVidia Quadro 801[Электронный ресурс]// NVidia [сайт]. [2010]. URL:http://www.nvidia.ru/page/qfx 4000sdi techspec.html (дата обращения: 10.06.2012).

98. Пластун И.Л., Анализ нестационарности поведения лазерного пучка, моделируемого системой уравнений Максвелла-Блоха / И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-23: сб. тр. XXIII Междунар. науч. конф. Т.7. Секция 8. Саратов:СГТУ, 2010, С. 80-82.

99. Пластун И.Л. Математическое моделирование нестационарных эффектов в нелинейно-оптических двухуровневых средах / И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин // Инновации и актуальные проблемы техники и технологий: материалы Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых. Т.1. Саратов: СГТУ, 2010. С. 195-197.

100. Пластун И.Л. Численный анализ нестационарности поведения модулированного лазерного пучка в усиливающей среде / И.Л. Пластун, А.Г. Мисюрин // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-24: сб. тр. XXIV Междунар. науч. конф. Т.1. Секция 1. Киев: Национальный технический университет Украины «КПИ», 2011.С. 74-76.

101.Hocker G.B. Observation of the Optical Transient Nutation / G.B.Hocker, C.L.Tang // Phys. Rev. Lett. -1968. V.21, №9. P. 591-594.

102. Brewer R.G. Optical Free Induction Decay / R.G.Brewer, R.l. Shoemaker //Phys. Rev.A.-1972.-V.6, №6. -P. 2001-2007.

103. Brewer R.G., Shoemaker Optical Free Induction Decay/ R.G. Brewer//Phys. Rev.A. 1972. V.6, №6. P. 2001-2007

104. Аникеев C.B. Оптическая нутация на комбинационно-активном переходе/ C.B. Аникеев, В.И. Кулясов, В.Б. Морозов, А.И. Оленин, Тункин В.Г// Письма в ЖЭТФ. 1999. Т.70, Вып.1, С. 7-12.

105. Хасанов О.Х, Оптическая нутация в полупроводниковых гетероструктурах и плотных газах/ О.Х. Хасанов, Г.А. Русецкий// Учёные записки Казанского государственного университета. 2007. Т. 149, кн.1, С. 115-120.

106. Рожин А.А. Когерентные нестационарные процессы в газе

13

CH3F, сформированные ступенчатым включением электрического поля /А.А Рожин, Д.В. Ледовских, Н.Н. Рубцова// Вестник НГУ. Серия Физика. 2011, Т.6, вып.З, С. 5-10.

107. Хаджи П.И. Двухимпульсная двухфотонная оптическая нутация биэкситонов в полпроводниках/ П.И. Хаджи, В.В. Васильев //Оптика и спектроскопия, 2008, том 104, № 3 С. 400 - 408

108. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука. 1979. 384с.

109. Пластун И.Л Исследование влияния нестационарных когерентных эффектов и резонансного самовоздействия на характеристики лазерного пучка, модулированного по частоте/ И.Л. Пластун, В.Л. Дербов. - //Компьютерная оптика. 2009. Т.ЗЗ, №3, С. 233-239 .

110. Dutton Z. Analysis and optimization of channelization architecture for wideband slow light in atomic vapors / Z. Dutton, M. Bashkansky, M. Steiner, J. Reintjes // Optics Express. 2006 Vol. 14, № 12 P.4978-4991.

111. Риле Ф. Стандарты частоты. Принципы и приложения. / Риле Ф.; пер. с англ. -М.: ФИЗМАТЛИТ. 2009. -512с. (Fritz Riehle Frequency Standards. Basics and Applications /WILEY-VCH Verlag GmbH & Со. KGaA, Weinheim, 2004).

112. Султанов A.X.. Подход к построению коммутаторов оптических сигналов / А.Х. Султанов, И.Л. Виноградова //Компьютерная оптика. 2004. Вып.26, с.56-64.

113. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой. / B.C. Анищенко. -М.: УРСС, 2008. -224с.

114. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций). / С.П. Кузнецов. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -296 с.

115. Лоскутов А.Ю. Введение в синергетику / А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов - М.: Наука, 1990. - 272 с.

116. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор - М. : Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с.

117. Карлов Н. В. Колебания, волны, структуры / Н. В. Карлов, Н. А. Кириченко - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001.- 496 с.

118. Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман - М.: Мир, 1984. - 528 с.

119. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров / Ф. Мун - Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. -312 с.

120. Томпсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике / Дж. Томпсон - М.: Мир, 1985. - 254 с.

121.Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой / В. С. Анищенко - Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. -180 с.

122. Wolf A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J.B. Swift, H.L. Swinney, J.A. Vastano.- Physica D. - 1985. -Vol. 16.-P. 285.

123. Marcus M. Chaos in Maps with continuous and discontinuous maxima / M. Marcus// Computers in Physics. - 1990. - Sept.-Oct. -P.481-493.