Нелинейные периодические волны в газоподобных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Аксенов, Александр Васильевич

• Аксенов, Александр Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Аксенов, Александр Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Симметрии и фундаментальные решения дифференциальных уравнений

1.1. Нахождение симметрий линейных дифференциальных уравнений с ^-функцией в правой части

1.2. Алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений

1.3. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа

1.4. Примеры

1.5. Основные результаты главы.

ГЛАВА 2 . Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу

2.1. Постановка задачи

2.2. Построение линейных дифференциальных соотношений с помощью групп непрерывных преобразований.

2.3. Нахождение всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка

2.4. Сравнение результатов полученных с помощью групп непрерывных преобразований и прямым методом.

2.5. Линейные дифференциальные соотношения между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу.

2.6. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

2.7. Гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные периодические волны в газоподобных средах»

Одномерные движения идеального газа в случае баротропных процессов (давление завит во всем потоке только от плотности) являются одним из наиболее исследованных разделов механики жидкости и газа. Основополагающие результаты были получены в классической работе Б. Римана [105]. Им, в частности, была показана линеаризуемость системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа и изучены некоторые свойства гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, к которому сводится система уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа. Усилиями многих поколений математиков и механиков исследования в этом направлении были продолжены и были получены важные результаты. Эти результаты отражены в монографиях [83,88,98,106,116,125].

Во второй половине 20-го столетия были начаты исследования по изучению движений так называемых квазигазовых (или абсолютно неустойчивых сред). По-видимому, первой работой в этом направлении была работа Book D.L., Ott Е., Salton A.L. [140]. В этой работе была рассмотрена задача об эволюции периодических волн на поверхности опрокинутой мелкой воды, проведены численные расчеты. Далее, в работах Трубникова Б.А. и Жданова В.К. была введена в рассмотрения система уравнений, описывающая движения квазигазовых сред [61,161]. Ими было показано, что к исследованию этой системы уравнений могут быть сведены, при рассмотрении слабонелинейных длинноволновых приближений, многие задачи механики и физики. Ими были описаны более 50 таких сред. Ими также было показано, что система уравнений квазигазовых сред линеаризуема и ее решение сводится решению эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Решение рассмотренных выше систем уравнений сводится к решению уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу впервые было изучено Эйлером [148] и позднее исследовано Пуассоном [159], Риманом [105] и Дарбу [145] (см. историю вопроса в [88, с. 532], [121, с. 527]).

В настоящей работе проведено исследование системы уравнений, описывающей движение газоподобных сред. Газоподобными средами называются среды, движение которых описывается следующей системой уравнений ди ди , Л др1!х ot ox ox 2)

Система уравнений (В.1) в частных случаях содержит в себе как систему уравнений одномерной газовой динамики, так и систему уравнений квазигазовых сред.

Таким образом, изучение газоподобных сред актуально. Изучение системы уравнений газоподобных сред (В.1) позволило получить новые результаты как для системы уравнений одномерной газовой динамики, так и для системы уравнений квазигазовых сред.

Целью работы является систематическое изучение свойств и построение точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений, описывающей движение газоподобных сред. В частности, целью работы является решение следующих проблем:

• Создание метода нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с «^-функцией в правой части.

• Описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу.

• Построение точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений, описывающей эволюцию возмущений в абсолютно неустойчивых средах. При этом в начальный момент времени решения должны сколько угодно мало отличаться друг от друга и иметь разные финальные стадии их конечного во времени существования.

• Нахождение общих решений системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов. Построение точных периодических по пространственной переменной решений для этих случаев.

Научная новизна состоит в следующем:

• Впервые единым образом рассмотрено и проведено систематическое изучение свойств как системы уравнений одномерной газовой динамики, так и системы уравнений, описывающей эволюцию возмущений в абсолютно неустойчивых средах.

• Предложен новый метод нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ^-функцией в правой части. Сформулирован алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

• Впервые дано описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу как для эллиптического, так и для гиперболического случаев.

• Впервые приведены примеры точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред, со сколь угодно мало отличающимися начальными данными, но имеющими разные финальные стадии их конечного во времени существования. Тем самым впервые показана неустойчивость по начальным данным решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред.

• Впервые получены и изучены точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты работы носят общий характер и могут быть использованы во многих областях механики и физики. В частности, значимость работы состоит в следующем:

• Предложенный алгоритм нахождения фундаментальных решений на основе использования симметрий может быть использован для построения инвариантных фундаментальных решений других уравнений механики.

• Метод, предложенный для нахождения линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу может быть применен для построения соотношений между решениями других классов уравнений.

• Полученные точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики могут быть использованы при проведении тестовых расчетов для проверки численных алгоритмов.

• Результаты работы продолжают развиваться в трудах российских и зарубежных ученых, о чем свидетельствуют ссылки на труды автора. Результаты диссертации входят в спецкурс "Групповой анализ дифференциальных уравнений (с приложениями в механике сплошной среды)", более десяти лет подряд читаемый автором на механико-математическом факультете МГУ.

Методы исследования: в работе были использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аналитические методы теории дифференциальных уравнений и методы асимптотического анализа.

Ключевую роль в настоящей работе играют методы группового анализа дифференциальных уравнений. Групповой анализ дифференциальных уравнений (это название, отражающее суть метода, было введено JI.B. Овсянниковым) берет свое начало в работах выдающего норвежского математика Софуса Ли (1842-1899). К сожалению, работы Софуса Ли не переведены на русский язык, но его творчество отражено в монографиях, изданных на русском языке [75-79,103].

Широкое применение находит изучение отдельных классов частных решений: стационарных, бегущих волн, автомодельных решений. Известно, что все они являются частным случаем более общего класса инвариантных решений, которые отыскиваются средствами группового анализа дифференциальных уравнений [94]. Значение таких решений не исчерпывается тем, что они дают описание процессов в некоторых частных случаях или являются тестами для отладки вычислительных алгоритмов. Важно подчеркнуть, что часто эти решения описывают асимптотики (промежуточные асимптотики) процессов для достаточно общих начальных условий [35,47]. В ряде случаев такие решения оказываются устойчивыми не только к возмущениям начальных данных, но и к возмущениям коэффициентов уравнений [48].

Важной составной частью исследования уравнений, описывающих тот или иной процесс, является изучение групповых свойств этих уравнений: отыскание группы непрерывных преобразований Ли [94] или более общих преобразований Ли-Беклунда [67], относительно которых уравнения инвариантны. Отыскание группы непрерывных преобразований выполняется с помощью алгоритмов группового анализа [94] и сводится к решению переопределенной системы линейных уравнений (определяющих уравнений), интегрирование которых во многих случаях, важных для практики, удается довести до конца. Поскольку преобразование, допускаемое уравнением, переводит всякое его решение снова в решение, то знание группы непрерывных преобразование позволяет из известных частных решений получать многопараметрические (или даже зависящие от произвольных функций - в случае бесконечной группы) семейства решений. Кроме того, это облегчает построение так называемых инвариантных решений, которые под действием некоторой подгруппы допускаемой группы преобразований переходят в себя: их отыскание сводится к решению уравнения меньшей размерности, чем исходное. Как отмечалось выше, к классу инвариантных решений относятся многие широко используемые решения. Так, например, бегущие волны инвариантны относительно преобразований переноса, автомодельные решения - относительно растяжений.

Групповые свойства уравнений используются также при изучении вопроса о существовании преобразования, связывающего различные уравнения, в частности преобразования, переводящего данное уравнение в линейное.

Групповой анализ непрестанно развивается. Он находит свое применение при исследовании не только дифференциальных уравнений, но и уравнений других типов. В частности, методы группового анализа были применены и развиты при исследовании разностных уравнений [60], псевдодифференциальных уравнений (одна из работ автора [25] была посвящена построению фундаментальных решений псевдодифференциального уравнения Шредингера релятивистски свободной частицы).

Прошло более сорока лет с момента выхода известной книги J1.B. Овсянникова "Групповые свойства дифференциальных уравнений" [92]. С тех пор были вычислены допустимые группы, найдены инвариантные и частично инвариантные решения для различных уравнений математической физики, обнаружены новые применения групповых методов [32,67,94,99,136,141,144,151-153]. Достигнутые успехи привели к необходимости более глубокого изучения теоретико-групповых свойств дифференциальных уравнений. В связи с этим JI.B. Овсянниковым выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ [95,97]. Одной из целей данной программы является построение существенно различных редуцированных систем для математических моделей механики сплошной среды. Эта проблема фактически сводится к сложной алгебраической задаче нахождения оптимальной системы подгрупп основной группы [96], допускаемой основной моделью.

Важно подчеркнуть, что знание методов группового анализа является элементом современной математической культуры исследователя. Эти знания могут найти подчас совершенно неожиданные применения. Покажем это на примере изучения фазовой структуры линейных волн, распространяющихся в однородной среде с дисперсией (это наблюдение принадлежит автору).

Распространение линейных волн в однородной среде с дисперсией определяется дисперсионным соотношением ш = W{k), (В.2) где к - волновой вектор, и - частота. Отметим, что по дисперсионному соотношению (В.2) может быть восстановлено линейное уравнение с частными производными, описывающее распространение таких волн.

Фазовую структуру волн вдали' от локализованного источника возмущений можно описать, вводя функцию фазы 9(x,t) [87,117]. Тогда локальный волновой вектор k(x,t) и локальная частота u)(x,t) определяются через фазу 9 следующим образом:

89

Считается, что величины к и и по-прежнему удовлетворяют дисперсионному соотношению (В.2).

Вдали от локализованного около начала координат источника возмущений выполнено условие [118]

9 = кх — u>t.

Откуда, используя выражения (В.З), получаем соотношение

39 xV9 + t— = 9. (В.4)

Соотношение (В.4) означает (на языке группового анализа) инвариантность в (x,t) пространстве семейства поверхностей постоянной фазы 9{х, t) = const относительно однопараметрической группы однородных растяжений.

Предложение В.1. Поверхности постоянной фазы 9(x,t) = const образуют в (x,t) пространстве инвариантное относительно однородных растяжений семейство поверхностей.

Предложение В.2. Для стационарных источников возмущений (и) = 0) поверхности постоянной фазы 9{х) — const геометрически подобны в (х) пространстве.

Подобие фазовых картин наблюдалось в экспериментах [26-30] по изучению фазовой структуры волн в стратифицированных жидкостях. Типичная фазовая картина внутренних волн изображена на рис. В.1.

Рис. В.1. Фотография типичной фазовой картины внутренних волн, полученной при горизонтальном движении цилиндра в безграничной экспоненциально стратифицированной жидкости (использовался теневой прибор ИАБ-451) [26]

Достоверность полученных результатов определяется применением строгих математических методов, математическими доказательствами полученных формул, совпадением их для частных случаев с известными формулами, а также физической интерпретацией полученных закономерностей. Громоздкие математические выкладки проверялись также с помощью системы компьютерной алгебры Maple 9.

Основные положения, выносимые на защиту на защиту:

• Метод нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с 5-функцией в правой части и алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

• Описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу как для эллиптического, так и для гиперболического случаев.

• Точные периодические решения системы уравнений абсолютно неустойчивых сред, показывающие неустойчивость по начальным данным решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред.

• Точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов.

Апробация работы. Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:

• IX Коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения". 24-30 июня 1992 г. Нижний Новгород, Россия.

• Совместные заседания семинара им. И.Г Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (16 сессия, 18-21 января 1994 г.; 19 сессия, 20-24 января 1998 г.). Москва, Россия.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 95-летию со дня рождения И.Г. Петровского. 25-29 апреля 1996 г. Москва, Россия.

• Первая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и применения". 3-5 декабря 1996 г. Санкт-Петербург, Россия.

• International Conference "Modern Group Analysis VII. Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis". June 30-July 5, 1997. Nordfjordeid, Norway.

• VIII International Conference on "Symmetry Methods in Physics", is dedicated to the 80th anniversary of Professor Smorodinsky's (1917-1992) birth. July 28-August 2, 1997. Dubna, Russia.

• Всероссийская конференция "Современные методы и достижения в механике сплошных сред". 12-14 ноября 1997 г. Москва, Россия.

• Юбилейная научная конференция "Современные проблемы механики", посвященная 40-летию Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова. 22-26 ноября 1999 г. Москва, Россия.

• Научная сессия МИФИ-2000. 17-21 января 2000 г. Москва, Россия.

• The Third International Conference "Differential Equations and Applications". June 12-17, 2000. Saint Petersburg, Russia.

• Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М.А. Лаврентьева (19001980). 26 июня-1 июля 2000 г. Новосибирск, Россия.

• "Modern Group Analysis for the New Millennium (MOGRAN-2000)". September 27-October 3, 2000. Ufa, Russia.

• Международный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 90-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. 22-23 января 2001 г. Москва, Россия.

• International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 100th Anniversary of I.G. Petrovskii. May 22-27, 2001. Moscow, Russia.

• 16 th International Symposium on Nonlinear Acoustics "Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century (ISNA-16)". August 19-23, 2002. Moscow, Russia.

• V International Congress on Mathematical Modelling. September 30-October 6, 2002. Dubna, Russia.

• Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 85-летию академика Л.В. Овсянникова. 10-14 мая 2004 г. Новосибирск, Россия.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского. 16-22 мая 2004 г. Москва, Россия.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. Апрель 2001, 2002, 2004 г.г. Москва, Россия.

• Семинары механико-математического факультета МГУ, Института механики МГУ, Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Московского физико-технического института (г. Долгопрудный).

Публикация результатов. По теме диссертации опубликовано около сорока работ. Основные результаты диссертации изложены в 29 публикациях, включая одну монографию; шесть из них опубликованы в соавторстве. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором. Основных публикации по теме диссертации составляют работы [1-24,26-30].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы; содержит 242 стр., включая 27 стр. с рисунками и 16 стр. списка литературы. В работе 168 рисунков и 165 библиографических ссылок.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Аксенов, Александр Васильевич

4.6. Основные результаты главы

Сформулируем основные результаты главы:

1. Получены соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями основной системы уравнений в плоскости годографа.

2. Получены симметрии основных уравнений. Найдены симметрии уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

3. Построены инвариантные решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Представлен обширный класс точных решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

4. Получены и исследованы точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев 7 = 3; 5/3; 7/5. Построенные решения существуют конечное время. Получены зависимости времени наступления градиентной катастрофы в зависимости от амплитуды начальной волны. Р

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Показано, что симметрии линейного неоднородного дифференциального уравнения с J-функцией в правой части образуют подалгебру алгебры Ли симметрий однородного уравнения и выписаны алгебраические условия, выделяющие эту подалгебру (теорема 1.1.1).

2. Предложен алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

3. Найдены симметрии и получены инвариантные фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа.

4. Получены симметрии следующих линейных неоднородных (с 5-функцией в правой части) уравнений: одномерного уравнения теплопроводности, двумерного бигармонического уравнения, двумерного волнового уравнения, трехмерного уравнения Лапласа. Используя полученные симметрии, построены новые нетривиальные семейства инвариантных фундаментальных решений на основе известных фундаментальных решений.

5. Найдены все линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (для эллиптического и гиперболического случаев).

6. Дана теоретико-групповая интерпретация найденных соотношений.

7. Получены тождества между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу.

8. На основании полученных соотношений найдены два новых представления общего решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в случае четных целых значениях параметра а.

9. Построены все рекуррентные соотношения между функциями Бесселя.

10. Получены соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений квазигазовых сред в плоскости годографа.

11. Доказано, что фундаментальным решениям эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу соответствуют периодические по пространственной переменной решения системы уравнений квазигазовых сред.

12. Получены симметрии основных уравнений. Найдены симметрии эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

13. Построены инвариантные фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

14. Получены и исследованы точные решения системы уравнений квазигазовых сред для случаев Л = ±1/2. Показано, что эти решения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга в начальный момент времени, имеют различные финальные стадии (решения существуют конечное время).

15. Получены соотношения между решениями гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа.

16. Получены симметрии основных уравнений. Найдены симметрии гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

17. Построены инвариантные решения гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Представлен обширный класс точных решений гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

18. Получены и исследованы точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев 7 = 3; 5/3; 7/5. Построенные решения существуют конечное время. Получены зависимости времени наступления градиентной катастрофы в зависимости от амплитуды начальной волны.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Аксенов, Александр Васильевич, 2004 год

1. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Успехи математических наук. 1994. Т. 49. Вып. 4. С. 143-144.

2. Аксенов А.В. Симметрии фундаментальных решений линейных уравнений с частными производными //В кн.: Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. М.: Изд-во Московского университета. 1994. С. 213-215.

3. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН. 1995. Т. 342. № 2. С. 151-153.

4. Аксенов А.В. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С. 1697-1700.

5. Aksenov А.V., Baikov V.A., Chugunov V.A., Gazizov R.K., Ibragimov N.H., Meshkov A.G. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 2. Applications in Engineering and Physical Sciences. CRC Press. USA. 1995. 546 p.

6. Аксенов А.В. Локальные и нелокальные симметрии, точные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Успехи математических наук. 1996. Т. 51. Вып. 5. С. 223.

7. Аксенов А.В. Периодические инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1997. № 2. С. 14-20.

8. Аксенов А.В. Инвариантные решения уравнений движения абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела.1998. № 1. С. 110-115.

9. Аксенов А.В. Периодические по пространственной переменной точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 198.

10. Аксенов А.В. Точные решения, описывающие изэнтропическое одномерное движение политропного газа // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С. 148-152.

11. Aksenov A.V. Symmetries and Invariant Solutions of the Absolutely Instable Media Equations // Ядерная физика. 2000. Т. 63. № 4. С. 742744.

12. Аксенов А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу // Известия АН. Механика твердого тела. 2001. Т. 63. № 1. С. 15-20.

13. Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу // Доклады АН. 2001. Т. 381. № 2. С. 176-179.

14. Aksenov A.V. Evolution of the Periodic Perturbations in Absolutely Unstable Media // 16th International Symposium on Nonlinear Acoustics. Abstracts. Moscow: MSU. 2002. P. 256.

15. Aksenov A.V. On the evolution of periodic perturbations in absolutely unstable media. In: Nonlinear Acoustics at the beginning of the 21st Century. Volume 1. Moscow: Faculty of Physics, Moscow State University. 2002. P. 547-550.

16. Аксенов А.В., Самаров К.Л. Лоренц-инвариантные решения псевдодифференциального уравнения Шредингера // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 2. С. 268-271.

17. Аксенов А.В., Кириллов В.П., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Ше-ронов А.А. Структура внутренних волн в канале // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. № 1. С. 106-110.

18. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Структура внутренних волн в трехслойной жидкости со стратифицированным средним слоем // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987. № 3. С. 128-132.

19. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Фазовая структура внутренних волн в канале // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 1. С. 129-135.

20. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Особенности обтекания цилиндра стратифицированной жидкостью при малых значениях внутреннего числа Фруда // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 4. С. 175-178.

21. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Структура внутренних корабельных волн в трехслойной жидкости со стратифицированным средним слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1989. № 1. С. 104-109.

22. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука. 2003. 352 с.

23. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука. 1994. 319 с.

24. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. М.: Мир. 1976. 312 с.

25. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС. 2002. 416 с.

26. Баренблат Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. JL: Гидрометеоиздат. 1982. 256 с.

27. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1973. 296 с.

28. Берест Ю.Ю. Построение фундаментальных решений для гюйгенсо-вых уравнений как инвариантных решений // Доклады АН СССР. 1991. Т. 317. № 4. С. 786-789.

29. Берест Ю.Ю. Слабые инварианты локальных групп преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 10. С. 1796-1803.

30. Берест Ю.Ю. Групповой анализ линейных дифференциальных уравнений в обобщенных функциях и построение фундаментальных решений // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 11. С. 1958-1970.

31. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: Изд-во ИЛ. 1963. 244 с.

32. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: Изд-во ИЛ. 1949. 798 с.

33. Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Устойчивость плазмы // Успехи физических наук. 1961. Т. 73. Вып. 4. С. 701-766.

34. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука. 1968. 191 с.

35. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений М.-Л.: ОГИЗ. Гостехиздат. 1948. 296 с.

36. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1981. 512 с.

37. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1979. 320 с.

38. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самармкий А.А. Об асимптотической устойчивости инвариантных решений нелинейных уравнений теплопроводности с источником // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 4. С. 614-632.

39. Галактионов В .А., Самармкий А.А. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. IV // Математический сборник. 1983. Т. 121. № 2. С. 131-155.

40. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Обобщенные функции. Выпуск 1. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1958. 439 с.

41. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. Обобщенные функции. Выпуск 2. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1958. 307 с.

42. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Обобщенные функции. Выпуск 3. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1958. 274 с.

43. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: Изд-во ИЛ. 1952. 476 с.

44. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга. 1998. 268 с.

45. Голубятников А.Н. Аффинная симметрия сплошных сред. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ. 2001. 94 с.

46. Голубятников А.Н. Симметрии сплошных сред // Успехи механики. 2003. Т. 2. № 1. С. 126-183.

47. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1963. 1100 с.

48. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. III. Ч. 1. М-Л.: ГТТИ. 1933. 276 с.

49. Джаиани Г.В. Решение некоторых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения и их приложения к призматическим оболочкам. Тбилиси: Изд-во ТбГУ. 1982. 163 с.

50. Джаиани Г.В. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. Тбилиси: Изд-во ТбГУ. 1984. 73 с.

51. Дородницын В.А. Групповые свойства разностных уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 240 с.

52. Жданов В.К., Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1991. 176 с.

53. Жданов С.К., Трубников Б.А. Теория "квази-чаплыгинских" неустойчивых сред и "эволюционный принцип" отбора спонтанных решений // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 43. Вып. 4. 178-182.

54. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 576 с.

55. Зверев И.Н., Смирнов Н.Н. Газодинамика горения. М.: Изд-во МГУ. 1987. 307 с.

56. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: Изд-во ИЛ. 1957. 487 с.

57. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск. 1972. 161 с.

58. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1983. 280 с.

59. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание. 1989. 44 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия "Математика, кибернентика". № 8).

60. Ибрагимов Н.Х. Динамика в мире де Ситтера. 1. Приближенное представление группы де Ситтера. 1990. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. № 144. 22 с.

61. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук. 1992. Т. 47. Вып. 4. С. 83-144.

62. Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля (новые проблемы). М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1951. 479 с.

63. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1976. 576 с.

64. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир. 1978. 518 с.

65. Киряков П.П., Сенатов С.И., Яхно А.Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2001. 192 с.

66. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том 1. М.: Наука. 1989. 453 с.

67. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том 2. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 240 с.

68. Клейн Ф. Отзыв Ф. Клейна о сочинении Софуса Ли "Теория групп преобразований", том III (1893), представленном в связи с первымприсуждением премии имени Лобачевского. С. 435-451. //В кн.: Об основаниях геометрии. ГИТТЛ. М.: 1956. 527 с.

69. Клейнъ Феликсъ. О Софусъ Ли // Известия физико-математического общества при императорском Казанском университете. Казань: 1902. Вторая серия. Т. IX. № 3. С. 619. (перевод Д.М. Синцова).

70. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л: ГОНТИ. 1939. 399 с.

71. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во ИЛ. 1963. 467 с.

72. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. 2004. 360 с.

73. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964. 830 с.

74. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во ИЛ. 1950. 426 с.

75. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Издание артиллерийской академии РККА. Ленинград. 1933. 315 с.

76. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга вторая. Дифференциальные уравнения с частными производными. Издание артиллерийской академии РККА им. Дзержинского. Ленинград. 1934. 334 с.

77. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1975. 432 с.

78. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир. 1981. 600 с.

79. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во ИЛ. 1961. 588 с.

80. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир. 1981. 344 с.

81. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: Изд-во ИЛ. 1960. 896 с.

82. Неменьи П.Ф. Современное развитие обратных и полуобратных методов в механике сплошной среды. В кн.: Проблемы механики. Сборник статей под редакцией Р. Мизеса и Т. Кармана. М.: Изд-во ИЛ. 1955. С. 234-257.

83. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 240 с.

84. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1966. 132 с.

85. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978. 400 с.

86. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск. Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. 1992. 11 с.

87. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады АН. 1993. Т. 333. Ж 6. С. 702-704.

88. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 30-55.

89. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Издание второе, дополненное. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 336 с.

90. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер. с англ. М.: Мир. 1989. 639 с.

91. Олевский М.Н. Решение задачи Дирихле, относящейся к уравнению Д и + — = р для полусферической области // Доклады АН1. ХЦ OXfi

92. СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.

93. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими системами. В сб.: Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. 1982. С. 155-189.102103104105106107108109110111112113114115.

94. Сибгатуллин Н.Р. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1984. 352 с.

95. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. СО. 1984. 272 с.

96. Соляник-Красса К.В. Кручение валов переменного сечения. М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1949. 166 с. Соляник-Красса К.В. Осесимметричная задача теории упругости. М.: Стройиздат. 1987. 335 с.

97. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М. Абра-мовица и И. Стиган. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1979. 832 с.

98. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1971. 856 с.

99. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

100. Уизем Дж. Б. Волны с дисперсией и вариационные принципы // Нелинейные волны. Сборник статей под редакцией С. Лейбовича и А. Сибасса. М.: Мир. 1977. С. 151-180.

101. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова думка. 1989. 336 с.

102. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир. 1976. 631 с.

103. Цалдастани О. Одномерное изэнтропическое течение жидкости // Проблемы механики. Сборник статей под редакцией Р. Мизеса и Т. Кармана. М.: Изд-во ИЛ. 1955. С. 519-552.,

104. Чаплыгин С.А. О газовых струях. Собрание сочинений. Том II. М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1948. С. 19-137.

105. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1940. 396 с.

106. Чеботарев Н.Г. Доказательство 7г-теоремы. Собрание сочинений. Т. II. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1949. С. 414-416.

107. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. 424 с.

108. Шефтель М.Б. Группы Ли и дифференциальные уравнения: симметрии, законы сохранения и точные решения математических моделей в физике // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1997. Т. 28. Вып. 3. С. 615-684.

109. Шубников А.В. Симметрия (законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве). Изд-во АН СССР. М.-Л.: Наука. 1940. 176 с.

110. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука. 1972. 339 с.

111. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. Изд-во ИЛ. М.: 1947. 360 с.

112. Ames W.F. Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering. Academic Press. New York. London. V. 1. 1965. 511 p.; V. 2. 1972. 305 p.

113. Bechert K. Zur Theorie ebener Strorungen in reibungsfreien Gasen // Annalen der Physik. 1940. Folge 5. Band 37. Heft 2. 89-123.

114. Bechert K. Zur Theorie ebener Strorungen in reibungsfreien Gasen. II // Annalen der Physik. 1940. Folge 5. Band 38. Heft 1. 1-25.

115. Beltrami E. Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche // Mem. R. Accad. sci. Bologna. 1880. Vol. 2. P. 461-505 (Opere mat. 1911.1. Vol. 3. P. 349-382).

116. Bluman G. Simplifying the form of Lie groups admitted by a given differential equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1990. Vol. 145. N. 1. P. 52-62.

117. Bluman G.W., Anco St.C. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. Springer-Verlag New York, Inc. 2002. 419 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 154)

118. Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation // Journal of Mathematics and Mechanics. 1969. Vol. 18. N. 11. Pp. 1025-1042.

119. Bluman G.W., Gregory R.D. On transformations of the biharmonic equation // Mathematica. 1985. Vol. 32. Pp. 118-130.

120. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. Springer-Verlag New York, Inc. 1989. 412 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 81)

121. Book D.L., Ott E., Salton A.L. Rayleigh-Taylor instability in the "shallow-water" approximation // The Physics of Fluids. 1974. Vol. 17. № 4. Pp. 676-678.

122. Cantwell Br. J. Introduction to Symmetry Analysis. Cambridge. Cambridge University Press. 2002. 654 p.

123. Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Morette C., Dillard-Bleik M. Analysis, Manifolds and Physics. Part I: Basics. Amsterdam: North-Holland. 1982. 630 p.

124. Copson E.T. On sound waves of finite amplitude // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. 1953. Vol. 216. N. 1127. P. 539-547.

125. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Edited by N.H. Ibragimov. CRC Press. USA:

126. Vol. 1. Symmetries, exact solutions, and conservation laws. 1994. 429 p.

127. Vol. 2. Applications in engineering and physical sciences. 1995. 546 p.

128. Vol. 3. New trends in theoretical developments and computational methods. 1996. 536 p.

129. Darboux G. Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Т. II. Paris. 2 ed., 1915 (1 ed., 1888). 579 p.

130. Diaz J.B. Weinstein A. On the Fundamental Solutions of a Singular Beltrami Operator // Studies in Mathematics and Mechanics. Presented to Richard von Mises by Friends, Colleagues, and Pupils. N.Y.: Academic Press. 1954. Pp. 97-102.

131. Dickson L.E. Differential equations from the group standpoint // Annals of Mathematics. Second series. 1924. Vol. 25. N. 4. Pp. 287-378.

132. Euler L. Institutions calculi integralis. Vol III. Petropoli. 1770. Pt. II. Ch. Ill, IV, V (Opera Omnia. Ser. 1. T. 13. Leipzig, Berlin. 1914. 212230.).

133. Euler N., Steeb W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras and Differential equations. Leipzig. Wissenschaftsverlag. 1992. 320 p.

134. Garabedian P.R. Calculation of axially symmetric cavities and jets // Pacific journal of Mathematics. 1956. Vol. 6. N. 4. P. 611-684.

135. Hydon P.E. Symmetry Methods for Differential Equations. A Beginner's Guide. Cambridge. Cambridge University Press. 2000. 213 p.

136. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations. John Wiley h Sons Ltd. Great Britain. 1999. 347 p.

137. Ibragimov N.H. Introduction to Modern Group Analysis. Ufa: Изд-во "Tay". 2000. 113 p.

138. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Differentialgleichungen // Archiv der Mathematik. 1881. Bd. 6. Heft 3. S. 328-368.

139. Ludford G.S. On an extension of Riemann's metthod of integration, with applications to one-dimensional gas dynamics // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1952. V. 48. P. 499-510.

140. Mackie A.G. Contour integral solutions of a class of differential equations // Journal of Rational Mechanics and analysis. 1955. Vol. 4. N. 5. P. 733-750.

141. Miller W., Jr. Symmetries of differential equations. The hypergeometric and Euler-Darboux equations // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1973. Vol. 4. N. 2. P. 314-328.

142. Olver P., Rosenau P. Group-invariant solutions of the heat equation // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1987. Vol. 47. N. 2. Pp. 263278.

143. Poisson S.D. Memoire sur l'integration des equations lineaires aux diffrences partielles. Journal de l'Ecole Polytechechnique. 1823. Ser. 1. T. 12. No 19. 215-248.

144. Rogers C., Ames W.F. Nonlinear Boundary Value Problems in Science and Engineering. N.Y. Academic Press. 1989 (Mathematics in Science and Engineering. Vol. 183). 417 p.

145. Trubnikov B.A., Zdanov S.K. Unstable quasi-gaseous media // Physics Reports (Review Section of Physics Letters). 1987. V. 155. № 3. P. 137230.

146. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Transactions of the American mathematical society. 1948. Vol. 63. N. 2. P. 342-354.

147. Weinstein A. The singular solutions and the Cauchy problem for generalized Tricomi equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1954. Vol. 7. N. 1. P. 105-116.