Метод Ә-одевания и интегрируемые иерархии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Богданов, Леонид Витальевич

• Богданов, Леонид Витальевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Богданов, Леонид Витальевич

Введение

1. Метод 9-одевания

1.1. Первоначальная формулировка метода.

1.1.1. Иерархия КП.

1.1.2. Система Дарбу-Захарова-Манакова

1.2. Различные нормировки и система общего положения

1.2.1. Вырождение системы общего положения

1.3. Система Веселова-Новикова и ее редукции.

1.3.1. Редукции в терминах 9-проблемы.

1.4. Дискретные и ^-разностные переменные.

1.4.1. Дискретная и q-paзнocтнaя иерархия КП.

1.4.2. Дискретная и я-разностная система общего положения

1.4.3. Дискретная и q-paзнocтнaя система Дарбу-Захарова Манакова.

1.5. Дуальная 9-проблема и тождество Хироты.

2. Убывающие решения и размерные редукции

2.1. Специальные случаи нелокальной

-проблемы.

2.2. Выделение решений со специальными свойствами.

2.2.1. Малые убывающие решения (непрерывный спектр)

2.2.2. Размерные редукции.

2.3. Метод д-одевания и уравнение Буссинеска.

2.3.1. Непрерывный спектр.

2.3.2. Солитонный сектор.

Билинейное тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахие

3.1. Обращение оператора д в единичном круге.

3.1.1. Оператор д с нулевым индексом.

3.2. Рациональные деформации граничных условий.

3.3. Свойства билинейного тождества.

3.4. Детерминантная формула для действия мероморфных петель на ядро Коши.

3.5. т-функция для однокомпонентного случая.

Метод ^-одевания и интегрируемые иерархии I. Производящие дискретные уравнения 143 4.1. Однокомпонентный случай.

4.1.1. Уравнения для потенциала.

4.1.2. Модифицированные уравнения.

4.1.3. Уравнение многообразия особенностей.

4.1.4. Связь различных уровней иерархии.

4.2. Общие матричные уравнения для многокомпонентного случая

4.2.1. Уравнения на потенциал.

4.2.2. Матричные модифицированные уравнения.

4.2.3. Матричное уравнение многообразия особенностей

4.2.4. Общая картина многокомпонентной иерархии.

4.3. Иерархия Дэви-Стюартсона.

4.3.1. Линейные задачи.

4.3.2. Векторные модифицированные уравнения ДС.

4.4. Система Дарбу.

4.5. Иерархия двумерной цепочки Тоды

4.5.1. Уравнения 2БТЬ-иерархии.

4.5.2. Модифицированные дискретные уравнения 2DTL

4.5.3. Дискретные Мебиус-инвариантные уравнения 2DTL . . 214 Метод d-одевания и интегрируемые иерархии II. От дискретного случая к непрерывному

5.1. Скалярная иерархия КП.

5.1.1. Иерархия КП: уравнения, преобразования Дарбу и Бэк-лунда

5.1.2. Модифицированная иерархия КП.

5.1.3. Иерархия Мебиус-инвариантных уравнений КП

5.1.4. Связь между различными уровнями иерархии.

5.1.5. Преобразование Комбескура

5.1.6. т-функция и формулы сложения.

5.2. Многокомпонентная иерархия КП.

5.2.1. Система Дарбу.

5.2.2. Иерархия ДС.

5.2.3. О редукциях

5.2.4. г-функция и замкнутая 1-форма для многомерного случая

5.3. Группа петель Г и иерархия 2БТЬ.

5.3.1. Формулы сложения для иерархии 2БТЬ.

6. О развитии метода и некоторых приложениях

6.1. Редукции и проективная геометрия

6.1.1. Определение класса редукций и элементарные свойства

6.1.2. Явный вид редукций и геометрический смысл.

6.1.3. Производящая форма 5 для редукции произвольного порядка.

6.2. Неизоспектральные симметрии.

6.2.1. Тригонометрические потоки.

6.2.2. Преобразования Мебиуса.

6.2.3. Симметрийные редукции и система Калоджеро-Мозера

6.3. Квазиклассический метод ^-одевания.

6.3.1. Без дисперсионная иерархия КП

6.3.2. Бездисперсионная иерархия 2БТЬ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Метод Ә-одевания и интегрируемые иерархии»

Теория солитонов и метод обратной задачи, с которыми связана настоящая диссертация, являются сейчас важным разделом математической физики, которому посвящено множество публикаций и монографий (см., например, [76]). В результате развития теории солитонов получено большое количество новых интегрируемых систем, обладающих замечательными математическими свойствами и имеющих множество приложений. Одним из важных методов в современной теории солитонов является метод d-одевания, предложенный В.Е. Захаровым и C.B. Манаковым [111, 112]. Этот метод позволяет конструировать интегрируемые уравнения одновременно с широким классом их решений. Настоящая диссертация посвящена развитию метода <9-одевания. Основное внимание уделено исследованию схемы конструирования интегрируемых уравнений и расширению ее возможностей, а также изучению свойств возникающих интегрируемых систем (непрерывных и дискретных симметрий, редукций). Получены новые интегрируемые системы и щ редукции, имеющие интересные приложения, в частности, к непрерывной и дискретной геометрии.

Метод одевания берет начало с работ Захарова и Шабата [83, 107], в которых была предложена схема конструирования интегрируемых уравнений и одновременно вычисления их решений. Эта схема основана на факторизации интегрального оператора на прямой в произведение двух операторов Вольтерра. Дальнейшее развитие метод одевания получил в работе [109], где в схему метода одевания была введена задача Римана-Гильберта.

Метод <9-одевания возник в результате двух важных наблюдений, сделанных при изучении обратной задачи рассеяния для L-операторов уравнений КП1 и КП2. В 1981 году С. В. Манаков показал [68], что обратная задача для L-оператора КП2 (зависящего от времени одномерного оператора Щре-дингера) в классе убывающих потенциалов сводится к нелокальной задаче Римана. В 1983 году Абловиц, Бар Яаков и Фокас [1] обнаружили, что обратная задача для L-оператора КП1 (оператора теплопроводности) сводится к d-проблеме на комплексной плоскости. Осознание общей структуры, стоящей за этими двумя результатами, привело С. В. Манакова и В. Е. Захарова к формулировке метода <9-одевания [111, 112].

Метод ^-одевания представляет собой метод конструирования решений интегрируемых уравнений, используя вспомогательную линейную задачу в плоскости комплекной переменной (нелокальную ^-проблему), сводящуюся к линейным интегральным уравнениям. В общем случае решения строятся локально в окрестности некоторой точки пространства-времени, и их глобальное поведение не фиксировано.

Одновременно метод ^-одевания является методом построение интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, так как если уравнение вкладывается в схему этого метода, для него существует бесконечное количество симметрий и представление в виде условий совместности (что обычно и подразумевается под интегрируемостью в этом случае).

В работах [111, 112] было показано, что формализм метода ^-одевания применим к уравнениям КП1, КП2. Было также замечено, что метод одевания позволяет строить широкий класс частных решений, зависящий от функциональных параметров, в явной форме. Этот класс соответствует вырожденным ядрам интегральных уравнений нелокальной ¿^-проблемы, в него входят, в частности, решения в виде набора плоских солитонов.

Технически, уравнения КП1 и КП2 в методе ^-одевания [111, 112] определялись тройкой функций вспомогательной (спектральной) переменной, которые входят в показатели экспонент, определяющих зависимость ядра нелокальной 5-проблемы от пространственных и временных переменных. Для КП1 это функции К\(Х) = iA, К2(А) = iA2, К3(А) = iA3; для КП2 К^Х) = iA, К2(Х) = А2, Кз(Х) = iA3. Было также выяснено, что введение дополнительных переменных tn с Кп(X) = гАп+3 (или Кп(X) = (гА)п+3 для КП2) соответствует высшим уравнениям КП. В работах [111, 112] было также построена интегрируемая система (система Захарова- Манакова), соответствующая функциям К{{А), имеющим один простой полюс в различных точках. Имея в виду многочисленные приложения ^-метода к геометрии, возникшие в последнее время, достаточно символично, что первая же новая интегрируемая система, сконструированная в рамках метода <9-одевания, оказалась геометрической по природе. Позднее выяснилось, что в скалярном случае система Захарова-Манакова совпадает с системой Дарбу, описывающей системы сопряженных поверхностей и хорошо известной в геометрии.

Возник естественный вопрос, какая интегрируемая система соответствует произвольной тройке рациональных функций Ki(X), и, в частности, какие уравнения возникают в случае общего положения, когда эти функции имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов. Схема конструирования интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, предложенная в работах [111, 112], использовала кольцо операторов (кольцо Захарова-Манакова), позволяющих размножать решения нелокальной ô-проблемы. Изучение общих свойств линейного пространства решений, получаемых с помощью этого кольца, показывало, что произвольной тройке рациональных функций должна соответствовать интегрируемая система, но выписать эту систему в явном виде не удавалось. Ключом к решению этой задачи стало наблюдение о существовании различных нормировок нелокальной ^-проблемы, сделанное в работе автора и C.B. Манакова [123]. В этой работе было показано, что, наряду с канонической нормировкой, с той же степенью корректности определена и нормировка нелокальной ^-проблемы на произвольную рациональную функцию Используя специальный набор решений ô-проблемы, в работе [123] удалось построить интегрируюмую систему, соответсвующую ситуации общего положения (функции Ki(Л) имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов). Эта система представляет собой модификацию известной интегрируемой системы N волн. Оказалось, что система общего положения формально лагранжева, для нее было найдено действие и выписаны простейшие интегралы движения [123]. В принципе, произвольная система, интегрируемая методом д-одевания, может быть получена из системы общего положения вырождение, при котором простые полюса функций Кг(Х) сливаются и превращаются в кратные. Это также должно означать, что системы, интегрируемые методом д-одевания, лагранжевы, и действие для них получается предельным переходом (вырождением) из действия системы общего положения. В работе [123] на примере уравнения КП было показано, что процедура предельного перехода действительно работает для действия, и (известный) лагранжиан КП был получен предельным переходом из лагранжиана системы общего положения (системы типа N волн).

В связи с тем, что метод ^-одевания дает процедуру получения лагранжиана интегрируемой системы, возникла следующая интересная задача. При изучении изоспектральных (при фиксированном уровне энергии) деформаций двумерного оператора Шредингера было найдено новое интегрируемое уравнение - уравнение Веселова-Новикова [96]. Лагранжиан для него найти не удавалось. Встал вопрос, нельзя ли получить этот лагранжиан предельным переходом из лагранжиана системы общего положения. Процедура интегрирования уравнения Веселова-Новикова методом ¿¡¡-одевания была уже известна, но в ней пара точек с особенностями (ноль и бесконечность), технически равноправные, использовались несимметрично, и с самого начала вводилась сильная редукция, состоящая в занулении магнитного поля в двумерном операторе Шредингера. Для использования предельного перехода возникла необходимость вывести нередуцированную систему с использованием различных нормировок (в нуле и на бесконечности). В результате возникла система Веселова-Новикова на две функции, связанная с двумерным оператора типа оператора Дирака [120]. Редукциями этой системы являются уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова (новое уравнение). Лагранжиан системы Веселова-Новикова легко находился и без предельного перехода, но оказалось, что при редукции, соответствующей модифицированному уравнению ВН, из него получается лагранжиан этого уравнения, а при редукции, соответствующей уравнению ВН, лагранжиан вырождается. Таким образом, стоявшая первоначально задача (нахождение лагранжиана уравнения ВН) решена не была. Однако, были получены новые интересные уравнения (система ВН и уравнение мВН), которые через некоторое время нашли важные приложения в геометрии и сейчас широко используются [53, 87]. Следует заметить, что при выводе этих уравнений существенно использовались различные нормировки нелокальной 5-проблемы.

В связи с заметным интересом к дискретным интегрируемым системам в 90-х годах, возник вопрос о месте дискретных переменных в методе д-одевания. В первой работе автора в этом направлении [126] было показано, как включить дискретные (разностные) операторы в кольцо Захарова-Манакова, и с использованием этого кольца был построен дискретный аналог КП иерархии, а также дискретный аналог системы общего положения (системы типа N волн).

Продолжением работы по изучению интегрируемых дискретных систем в рамках метода 5-одевания стала статья [129]. В этой работе были впервые построены дискретный и я-разностный аналоги системы Дарбу-Захарова-Манакова (ДЗМ). Была найдена интерпретация различных типов преобразований симметрии для системы ДЗМ (преобразования Бэклунда, Дарбу, Комбескура), известных (в непрерывном случае) из геометрии, в спектральных терминах (на языке д-проблемы). Были построены также некоторые решения дискретной и q-paзнocтнoй системы ДЗМ.

Безусловно, задача о дискретизации системы ДЗМ была поставлена не случайно. Поскольку в непрерывном случае эта система играет важную роль в геометрии и интенсивно изучалась, была надежда, что и ее дискретный аналог имеет геометрический смысл. Через два года Долива и Сантини пришли к той же системе из геометрических соображений [18]. Геометрическая интерпретация ее оказалась неожиданно простой: она описывает систему дискретных поверхностей, состоящих из плоских четырехугольников. После того, как выяснилось, что возникшая в работе [18] система уже проинтегрирована методом д-одевания [129], этод метод стал широко использоваться в работах по дискретной геометрии [13, 19], включая конструкции, введенные в работах [128, 129] (дискретные переменные в методе 5-одевания, функция Коши-Бейкера-Ахиезера в методе 5-одевания). В геометрическом контексте функция Коши-Бейкера-Ахиезера (матричная) играет фундаментальную роль: она задает компоненты радиус-вектора, задающего систему поверхностей.

В работе [126] были сделаны наблюдения о том, что построение общего решения рассматриваемых полностью дисретных интегрируемых систем сводится к линейной алгебре и возникающие формулы для решений связаны с детерминантной формулой типа формулы для т-функции Мивы [72]. Были выписана формулы для таких решений в терминах функции Коши-Бейкера-Ахиезера (КБА). Автор использует название, предложенное в работе Грине-вича и Орлова [37], в которой была введена функция (ядро) Коши-Бейкера-Ахиезера на римановой поверхности. В рамках метода д-одевания эта функция связана с решением нелокальной 5-проблемы с нормировкой (Л — ¿¿)-1 ('плавающая нормировка'). Эти наблюдения послужили для автора толчком к дальнейшему изучению свойств функции Коши-Бейкера-Ахиезера, как в рамках метода д-одевания, так и в контексте интегрируемых иерархий, результаты которого были сформулированы в работе [128]. В этой работе было введено тождество Хироты для функции КБА. Было показано, что, стартуя с этого тождества, можно воспроизвести все необходимые элементы схемы конструирования интегрируемых нелинейных уравнений, применяемые в методе 5-одевания (кольцо Захарова-Манакова и свойства линейного пространства, в котором оно действует). В то же время, тождество Хироты для фунции Коши-Бейкера-Ахиезера не является объектом, специфическим для метода д-одевания, оно воспроизводится и в методе конечнозонного интегрирования и может быть помещено в более общий контекст подхода Сато и Сегала-Вильсона, в котором функция КБА является хорошо определенным объектом. Таким образом, тождество Хироты связывает метод д-одевания с другими методами теории интегрируемых систем и позволяет поместить результаты, полученные с его помощью, в более широкий контекст.

Следует отметить, что первый шаг, связывающий метод ^-одевания с подходом Сато и Сегала-Вильсона, был сделан в работе Кэррола и Коно-пельченко [10], где в рамках метода д-одевания было получено стандартное тождество Хироты для функции Бейкера-Ахиезера. Вывод в рамках метода <9-одевания тождества Хироты для функции КБА, введенного в работе [128], дан в работе [129]. Для этого вывода существенно наблюдение, что решение нелокальной ^-проблемы, нормированное на (Л — /л)-1 (ядро КБА), одновременно решает нелокальную ^-проблему по Л и дуальную проблему по ¡1. Это же наблюдение было независимо сделано Манаковым и Зенчуком [118] и использовалось при изучении редукций интегрируемых систем в терминах метода д-одевания.

В связи с важностью функции Коши-Бейкера-Ахиезера и билинейного тождества для нее, автором (совместно Б.Г. Конопельченко) были предприняты усилия по изучению тождества Хироты самого по себе, вне контекста метода д-одевания, и анализа функциональных уравнений для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающих из этого тождества [132, 133]. Динамика функции Коши-Бейкера-Ахиезера, задаваемая тождеством Хироты, связана с группой петель (гладких функций на кривой без нулей); ее можно рассматривать как основной объект интегрируемой иерархии. Для тождества Хироты можно поставить начальную задачу и показать, что для преобразований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается явно, средствами линейной алгебры. Решение дается детерминантной формулой для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле [128] (фактически эта формула решает интегрируемые дискретные уравнения при произвольной начальной точке грассманиана явно, средствами линейной алгебры). Таким образом, решение начальной задачи для тождества Хироты существует (по крайней мере, в подгруппе рациональных петель). Кроме того, в работе [119] было показано, что решение единственно. Эти утверждения показывают, что тождество Хироты является содержательным объектом и его можно изучать в отрыве от конструктивных методов построения решений.

Детерминантная формула позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерминантную форму теорем сложения для нее. Найдена также формула, выражающая тау-функцию через ядро Коши-Бейкера-Ахиезера в терминах вариационной 1-формы. Показано, что стартуя с билинейного тождества Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (без отсылки к ^-проблеме), можно получить картину динамики на грассманиане и ввести стандартные объекты.

Особую роль играют функциональные (дискретные) уравнения на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающие из тождества Хироты, которые отвечают элементарным рациональным петлям (т.е. петлям, имеющим простой ноль и простой полюс). Эти уравнения в компактной форме содержат всю информацию об соответствующей интегрируемой иерархии и дают различные типы производящих уравнений иерархии. В работах [132, 133, 119] из функционального уравнения для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего КП иерархии, получены теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение для потенциала и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него (второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (КБА-функция, проинтегрированная с произвольными весами) (третий уровень), преобразования Миуры 3->2-> 1.

Наибольший интерес представляет уравнение третьего уровня. Это новое Мёбиус-инвариантное дискретное уравнение (discrete Schwarzian КР; discrete КР singular manifold equation) которое недавно получило геометрическую интерпретацию, связанную с классической теоремой Менелая, известной с глубокой древности [57].

Дискретные производящие уравнения дают уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных

1) КП иерахию для потенциала

2) мКП иерархию для волновых функций

3) иерархию уравнений многообразия особенностей (Мебиус-инвариантных уравнений) для волновых фунций второго уровня.

В терминах иерархии в форме PDE дискретные уравнения интерпретируются как алгебраический принцип суперпозиции для трех преобразований Бэклунда.

В монографии [119] рассмотрены также соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды. Преимуществом подхода, базирующегося на тождестве Хироты для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, является то, что многокомпонентный случай рассматривается в основном аналогично однокомпонентному и требует лишь минимальной модификации. Спецификой общего многокомпонентного случая является наличие существенно дискретных переменных (типа дискретной переменной цепочки Тоды). В многокомпонентном случае возникает также новый класс уравнений - векторные модифицированные уравнения. В связи с этим общая картина многокомпонентного случая достаточно сложна, и в монографии [119] сделана попытка описать лишь ее основные элементы.

При изучении Мебиус-инвариантных дискретных уравнений интегрируемых иерархий обнаружилось, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, связанной с бинарным преобразованием Дарбу [137]. Была найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты и построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки [137, 138]. Симметрийные редукции иерархии по этим потокам приводят к возникновению рациональной и тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.

В рамках метода 5-одевания была также развита эффективная техника исследования редукций интегрируемых систем. При изучении системы Веселова-Новикова было выяснено, что редукции, выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова соответствуют простым линейным условиям на ядро нелокальной ^-проблемы, сохраняющимся при динамике по нечетным временам иерархии [36, 120]. Дальнейшее развитие исследование редукций в рамках метода 5-одевания получило в работе [115], где было показано, что уравнения Ламе, хорошо известные в геометрии и описывающие 1Ч-ортогональные системы координат, получаются в результате сходной редукции. В работе [116] был изучен общий класс условий на ядро нелокальной ^-проблемы, определяющих редукции. В монографии [119] введены условия на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующие редукциям.

Недавно автором совместно с Е.В. Ферапонтовым [140] было обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, низшими представителями которого в двухкомпонентном случае являются редукции, выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова, а в многокомпонентном случае - егоровская редукция и уравнения Ламе, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией.

Было показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется весьма простым свойством, а именно, существованием дифференциального оператора Вп порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. В двумерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) Ъ-опрератором является оператор Дирака

0яФ2 = 0Фь №= 7^2, играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физике; дуальный оператор имеет вид

Основное наблюдение, связывающее редукции с геометрией, состоит в том, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями Гаусса-Кодацци, описывающими специальные классы конгруэнций прямых в проективном пространстве р2п1; которое представляет собой про-ективизированное ядро преобразования Бп. Во втором порядке возникают И^-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу. Третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Был рассмотрен также многокомпонентный случай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу /З^Фг, i, j = 1,i ^ j, и дуальных линейных уравнений

ЭгЩ = получены соответствующие редукции и рассмотрена их геометрическая интерпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающих редукциям, были построены производящие формы для редукций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и играют критическую роль в геометрической интерпретации.

Недавно был предложен квазиклассический метод 9-одевания, полученный в длинноволновом пределе из обычного метода [54, 55, 56]. Этот метод дает возможность конструировать уравнения бездисперсионных интегрируемых иерархий и их решения, стартуя с нелинейного уравнения Бельтрами в комплексной плоскости. С использованием этого метода, автором совместно с Б.Г. Конопельченко и Л. Мартинесом Алонсо были получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала, в терминах действия и в терминах бездисперсионного аналога ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (аналоги первого, второго и третьего уровня иерархии в обычном случае).

Изложение настоящей диссертации в основном следует историческому развитию метода д-одевания.

Первая глава начинается с первоначальной формулировки метода д-одевания, предложенного Захаровым и Манаковым. Затем рассмотрены различные нормировки и система общего положения, система Веселова-Новикова и ее редукции. Конец главы посвящен введению дискретных и д-разностных переменных в методе 5-одевания и возникающим дискретным интегрируемым системам. В рамках 5-метода введено ядро Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и доказано тождество Хироты для него.

Во второй главе развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро ^-проблемы. Подробно расмотре-ны соответствующие задачи для различных случаев уравнения Буссинеска.

В третьей главе тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера рассматривается самостоятельно, вне контекста ^-метода. Сформулирована начальная задача для тождества Хироты (рассматриваемого как уравнение). Получены детерминантные формулы для преобразований ядра КБА. Рассмотрен вопрос о введении т-функции.

В четвертой главе из билинейного тождества Хироты выводятся производящие дискретные уравнения интегрируемых иерархий. Рассмотрены иерархия КП, многокомпонентная иерархия КП и иерархия двумерной цепочки Тоды.

В пятой главе изучается переход от дискретных производящих уравнений к непрерывному случаю и различные типы уравнений, возникающих при этом переходе.

В шестой главе рассмотрены некоторые приложения и дальнейшее развитие метода <9-одевания.

Сначала изучается класс редукций многокомпонентной иерархии КП, имеющий важные приложения приложения к проективной дифференциальной геометрии.

Затем рассмотрены неизоспектральные симметрии, связанные с преобразованием Мебиуса, и симметрийные редукции.

В конце главы сформулирован квазиклассический метод <9-одевания и получены производящие уравнения для бездисперсионных иерархий.

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Богданов, Леонид Витальевич

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации.

Введены различные нормировки нелокальной ¿^-проблемы, и с их использованием найдена интегрируемая (2+1)-мерная система, соответствующая случаю общего положения для 5-одевания на плоскости (произвольное количество простых несовпадающих полюсов в показателях экспонент, одевающих ядро). Это система типа системы N волн, для нее выписан Лагранжиан и некоторые законы сохранения. Показано, что из Лагранжиана системы общего положения предельным переходом можно получить Лагранжиан уравнений с кратными полюсами (на примере КП).

С использованием различных нормировок найдена система уравнений, связанная с двумерным оператором Дирака, редукции которой дают уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение ВеселовагНовикова (введено впервые). Построен Лагранжиан системы, найдены условия на ядро д-проблемы, обеспечивающие редукции, решена обратная задача для малых убывающих потенциалов при фиксированной энергии.

Развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро ^-проблемы. Подробно расмотрены соответствующие задачи и солитонный сектор для различных случаев уравнения Буссинеска.

В схему метода 9-одевания введены дискретные и q-paзнocтныe переменные. Исследованы возникающие дискретные системы. Найден дискретный и q-paзнocтный интегрируемые аналоги геометрической системы Дарбу.

В рамках д-метода введена ядро Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и дуальная д-проблема. Получено тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера.

Тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера рассмотрено самостоятельно, как уравнение. Для этого уравнения поставлена начальная заг дача и показано, что для преобразований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается явно, средствами линейной алгебры. Доказано также, что решение начальной задачи единственно. Стартуя с тождества Хироты, найдена детерминантная формула для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле. Показано, что детерминантная формула в однокомпонентном случае позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерми-нантную форму теорем сложения для нее.

Для скалярной иерархии КП из билинейного тождества выведено дискретное (функциональное) уравнение для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающее элементарной рациональной петле. Из этого уравнения получены: теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение на потенциал и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (третий уровень иерархии). Уравнение третьего уровня - новое, Мёбиус-инвариантное (discrete Schwarzian КР; discrete КР singular manifold equation). Получены преобразования Миуры 3->2->1. Рассмотрены соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды.

Из дискретных производящих уравнений получены уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия ДС, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Показано, что разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных в случае иерархии КП 1) иерахию уравнений на потенциал (стандартная иерархия КП) 2) иерархию уравнений для волновых функций (модифицированная иерархия КП) 3) иерархию уравнений для волновых фунций второго уровня (Мебиус-инвариантная иерархия КП). Показано, что из дискретных производящих уравнений получаются также преобразования Бэклунда и формулы суперпозиции для них. Найдены соответствующие уравнения для многокомпонентной иерархии КР, иерархии ДС и для однокомпонентной иерархии цепочки Тоды. В многокомпонентном случае получены также векторные модифицированные уравнения.

Обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, совместных с динамикой по нечетным временам, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией. Показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется существованием дифференциального оператора £>п порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. В двумерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) Ь-опрератором является оператор Дирака, играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физике. Выяснено, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями ГауссагКодацци, описывающими специальные классы конгруэнций прямых в проективном пространстве Р2п1, которое представляет собой проективизированное ядро преобразования £)„. Показаг но, что во втором порядке возникают Ж-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу, а третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Рассмотрен также многокомпонентный случай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу и дуальных линейных уравнений, получены соответствующие редукции и найдена их геометрическая интерпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающих редукциям, построены производящие формы для редукций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и играют критическую роль в геометрической интерпретации.

Показано, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты, построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки, показано, что симметрийная редукция по этим потокам приводит к возникновению тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.

С использованием квазиклассического метода ^-одевания получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала, в терминах действия и в терминах бездисперсионного аналога ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (аналоги первого, второго и третьего уровня иерархии в обычном случае).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Богданов, Леонид Витальевич, 2003 год

1. Ablowitz, M. J.; Bar Yaacov, D.; Fokas, A. S. (1983) On the inverse scattering transform for the Kadomtsev- Petviashvili equation. Stud. Appl. Math. 69(2), 135-143

2. Adler, M.; van Moerbeke, P. (1994) Birkhoff strata, Bäcklund transformations, and regularization of isospectral operators. Adv. Math. 108 (1), 140204

3. Aoyama, Shogo; Kodama, Yuji. (1996) Topological Landau-Ginzburg theory with a rational potential and the dispersionless KP hierarchy. Comm. Math. Phys. 182(1), 185-219

4. Beals, R.; Deift, P.; Tomei, C. (1988) Direct and inverse scattering on the line. Mathematical Surveys and Monographs, 28. American Mathematical Society, Providence, RI.

5. Blaschke W. (1929) Vorlesungen über Differentialgeometrie, V.3. Springer-Verlag, Berlin.

6. Boiti, M.; Pempinelli, F.; Pogrebkov, A. K.; Prinari, B. (1998) On the theory of the inverse scattering problem for two-dimensional nondecreasingpotentials. Teoret. Mat Fiz. 116(1), 3-53

7. Bol G. (1954) Projektive Differentialgeometrie. Gôttingen.

8. Burstall F., Pedit F. and Pinkall U. (2001) Schwarzian derivatives and flows on surfaces. Препринт arXiv:math.DG/0111169.

9. Carroll, R.; Konopelchenko, B. (1993) Z?-bar dressing and Sato theory. Lett Math. Phys. 28(4), 307-319

10. Carroll, R.; Kodama, Y. (1995) Solution of the dispersionless Hirota equations. J. Phys. A 28(22), 6373-6387

11. Caudrey, P. J. (1982/83) The inverse problem for a general nxn spectral equation. Phys. D 6(1), 51-66

12. Cieslinski J., Doliwa A., Santini P.M. (1997) The integrable discrete anar logues of orthogonal coordinate systems are multi-dimensional circular lattices. Phys. Lett. A 235(5), 480-488

13. Darboux, G. (1910) Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvilignes. Paris.

14. Date, E.; Kashiwara, M.; Jimbo, M.; Miwa, T. (1983) Transformation groups for soliton equations, Nonlinear integrable systems—classical theoryand quantum theory (Kyoto, 1981), M. Jimbo and T. Miwa (Eds). World Sci. Publishing, Singapore. 39-119

15. Deift, P.; Tomei, C.; Trubowitz, E. (1982) Inverse scattering and the Boussinesq equation. Comm. Pure Appl. Math. 35(5), 567-628

16. Dickey L. A. (1991) Soliton equations and Hamiltonian systems. World Scientific, Singapore.

17. Doliwa, A.; Santini, P. M. (1997) Multidimensional quadrilateral lattices are integrable. Phys. Lett A 233(4-6), 365-372

18. Doliwa A., Manakov S.V., Santini P.M. (1998) Dbar-reductions of the multidimensional quadrilateral lattice. The multidimensional circular lattice. Commun. Math. Phys. 196(1), 1-18

19. Dryuma V.S. (1974) Analytic solution of the two-dimensional Korteveg-de Vries equation. Soviet ZETP letters 19, 387

20. Dubrovin, B. A.; Novikov, S. P. (1989) Hydrodynamics of weakly deformed soliton lattices. Differential geometry and Hamiltonian theory. Russian Math. Surveys 44(6), 35-124

21. Dubrovin, B. (1992) Integrable systems in topological field theory. Nuclear Phys. B 379(3), 627-689

22. Dubrovin, B. A. (1992) Hamiltonian formalism of Whitham-type hierarchies and topological Landau-Ginsburg models. Comm. Math. Phys. 145(1), 195-207

23. Dubrovin, Boris; Zhang, Youjin. (1998) Bi-Hamiltonian hierarchies in 2D topological field theory at one-loop approximation. Comm. Math. Phys. 198 (2), 311-361

24. Dunajski, M.; Mason, L.J.; Tod, P. (2001) Einstein-Weyl geometry, the dKP equation and twistor theory. J. Geom. Phys. 37(1-2), 63-93

25. Eisenhart, L. P. (1923) Transformation of surfaces. Princeton Univ. Press.

26. N. M. Ercolani et al, eds., Singular limits of dispersive waves, Nato Adv. Sci. Inst. Ser. B Phys. 320, Plenum, New York (1994).

27. G.E. Falkovich, M.D.Spector and S.K. Turitsyn (1983) Destruction of stationary solutions and collapse in the nonlinear string equation, Phys. Lett. A 99 (6-7) (1983) 271-274.

28. Ferapontov E.V. Lie sphere geometry and integrable systems, Tohoku Math. J. 52 (2000) 199-233.

29. Ferapontov E.V. Surfaces with flat normal bundle: an explicit construction, Diff. Geom. Appl 14, N1 (2001) 15-37.

30. Finikov S.P. Projective Differential Geometry. Moscow-Leningrad, 1937.

31. Finikov S.P. Theory of congruences. Moscow-Leningrad, 1950.

32. Gibbon, J. D.; Tabor, M. (1985) On the one- and two-dimensional Toda lattices and the Painleve property. J. Math. Phys. 26(8), 1956-1960

33. Gibbons, John; Tsarev, Serguei P. (1999) Conformal maps and reductions of the Benney equations. Phys. Lett. A 258(4-6), 263-271

34. Grinevich, P.G.; Manakov, S.V. (1986) Inverse scattering problem for the two-dimensional Schrodinger operator, the ^-method and nonlinear equations. Funct. Anal. Appl. 20, 94-103

35. Grinevich, P. G.; Orlov, A. Yu. (1989) Virasoro action on Riemann surfaces, Grassmannians, det dj and Segal-Wilson r-function, Problems of modern quantum field theory (Alushta, 1989). Springer, Berlin. 86-106

36. M. Jimbo and T. Miwa (1983) Solitons and infinite-dimensional Lie algebras. Publ. RIMS, Kyoto Univ. 19, 943-1001

37. Jin, Shan; Levermore, C. David; McLaughlin, David W. (1999) The semi-classical limit of the defocusing NLS hierarchy. Comm. Pure Appl. Math. 52(5), 613-654

38. Kac, V. G.; van de Leur, J. W. (1993) The n-component KP hierarchy and representation theory, Important developments in soliton theory. SpringerVerlag, Berlin. 302-343

39. Kodama, Yuji. (1988) A method for solving the dispersionless KP equation and its exact solutions. Phys. Lett. A 129(4), 223-226

40. Kodama, Yuji. (1990) Solutions of the dispersionless Toda equation. Phys. Lett A 147(8-9), 477-482

41. Kodama, Yuji. (1999) The Whitham equations for optical communications: mathematical theory of NRZ. SIAM J. Appl Math. 59 (6), 2162-2192

42. Konopelchenko, B. and Strampp, W. (1991) The AKNS hierarchy as symmetry constraint of the KP hierarchy. Inverse Problems 7(5), L17-L24

43. Konopelchenko, B. and Strampp, W. (1992) New reductions of the Kadomtsev-Petviashvili and two-dimensional Toda lattice hierarchies via symmetry constraints. J. Math. Phys. 33(11), 3676-3686

44. Konopelchenko, B. G. (1990) Soliton eigenfunction equations: the 1ST in-tegrability and some properties. Rev. Math. Phys. 2 (4), 399-440

45. B. G. Konopelchenko (1993) Solitons in multidimensions. World Scientific, Singapore.

46. Konopelchenko B.G. Nets in R3, their integrable evolutions and the DS hierarchy, Phys. letters A 183 (2-3), 153-159 (1993).

47. Konopelchenko B. G. and Schief W. K. (1993) Lamé and Zakharov-Manakov systems: Combescure, Darboux and Backlund transformations .Preprint AM 93/9, UNSW, Sydney.

48. Konopelchenko B.G. Induced surfaces and their integrable dynamics, Studies in Appl. Math., 96(1) 9-51 (1996).

49. Konopelchenko B.G. and Pinkall U. Integrable deformations of affine surfaces via Nizhnik-Veselov-Novikov equation, Preprint SFB 288 No. 318, Berlin (1998).

50. Konopelchenko, B. G.; Taimanov, I. A. (1996) Constant mean curvature surfaces via an integrable dynamical system. J. Phys. A 29 (6), 1261-1265

51. Konopelchenko, B.; Martinez Alonso, L.; Ragnisco, O. (2001) The d-approach to the dispersionless KP hierarchy. J. Phys. A 34(47), 1020910217

52. Konopelchenko, B.; Martinez Alonso, L. (2001) ^-equations, integrable deformations of quasiconformal mappings and Whitham hierarchy. Phys. Lett A 286(2-3), 161-166

53. Konopelchenko, B.; Martinez Alonso, L. (2002) Dispersionless scalar integrable hierarchies, Whitham hierarchy, and the quasiclassical ^-dressing method. J. Math. Phys. 43 (7), 3807-3823

54. B.G. Konopelchenko and W.K. Schief. Menelaus' theorem, Clifford configurations and inversive geometry of the Schwarzian KP hierarchy. J. Phys A 35, 6125-6144 (2002)

55. I.K. Rostov et al, r-function for analytic curves, in: Random matrices and their applications, MSRI Publications, 40, 1-15 (2001).

56. Krichever, I. M. (1978) On rational solutions of Kadomtsev-Petviashvili equation and integrable systems of N particles on the line. Funct. Anal, i Pril. 12(1), 76-78

57. Krichever, I. M. (1988) The averaging method for two-dimensional "integrable" equations. (Russian) Funktsional. Anal, i Prilozhen. 22(3), 37-52

58. Krichever, I. M. (1992) The dispersionless Lax equations and topological minimal models. Comm. Math. Phys. 143, 415-429

59. Krichever, I. M. (1994) The r-function of the universal Whitham hierarchy, matrix models and topological field theories. Comm. Pure Appl. Math. 47(4), 437-475

60. Kuperschmidt, B. A.; Manin, Ju. I. (1977) Long wave equations with a free surface. I.Conservation laws and solutions. (Russian) Funktsional. Anal, i Prilozhen. 11 (3), 31-42;

61. Kuperschmidt, B. A.; Manin, Ju. I. (1978) Long wave equations with a free surface. II. The Hamiltonian structure and the higher equations. (Russian) Funktsional. Anal. I Prilozhen. 12 (1), 25-37

62. Kalantarov, V. K.; Ladyzhenskaja, O. A. (1977) Formation of collapses in quasilinear equations of parabolic and hyperbolic types. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 69, 77-102

63. Lax, Peter D.; Levermore, C. David. (1983) The small dispersion limit of the Korteweg-de Vries equation. I,II,III. Comm. Pure Appl. Math. 36(3,5,6), 253-290, 571-593, 809-829

64. Leznov, A. N.; Saveliev, M. V.; Smirnov, V. G. (1980) Explicit solutions to two-dimensionalized Volterra equations. Lett. Math. Phys. 4(6), 445-449

65. Manakov, S. V. (1976) The method of the inverse scattering problem, and two-dimensional evolution equations. (Russian) Uspehi Mat Nauk 31(5(191)), 245-246

66. Manakov S. V. (1981) The inverse scattering transform for the time-dependent Schrodinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation. Physica D 3, 420-427

67. Manas, M.; Doliwa, A.; Santini, P.M. (1997) Darboux transformations for multidimensional quadrilateral lattices. I. Phys. Lett. A 232(1-2), 99-105

68. Matveev V. B. and Salle M. A. (1991) Darboux transformations and Solitons. Springer-Verlag, Berlin.

69. M. Mineev-Weinstein P. B. Wiegmann and A. Zabrodin (2000) Integrable Structure of Interface Dynamics. Phys. Rev. Lett. 84, 5106-5109

70. Miwa, T. (1982) On Hirota's difference equations. Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. 58(1), 9-12

71. Nijhoff, F. W.; Capel, H. W. (1990) The direct linearisation approach to hierarchies of integrable PDEs in 2 + 1 dimensions. I. Lattice equations and the differential-difference hierarchies. Inverse Problems 6 (4), 567-590

72. Nizhnik, L. P. (1980) Integration of multidimensional nonlinear equations by the inverse problem method. (Russian) Dokl. Akad. Nauk SSSR 254(2), 332-335

73. Novikov, S.; Manakov, S. V.; Pitaevskií, L. P.; Zakharov, V. E. (1984) Theory of solitons. The inverse scattering method. Consultants Bureau Plenum], New York-London.

74. A.Yu. Orlov, Collapse of solitons in integrable models, Preprint IAiE No 221 (IAiE, Novosibirsk, 1983).

75. Orlov, A. Yu. and Shulman, E.I. (1986) Additional symmetries for integrable equations and conformal algebra representation. Lett. Math. Phys. 12, 171-179

76. Orlov, A. Yu. (1993) Volterra Operator Algebra for Zero Curvature Representation. Universality of KP, in A. Fokas et al (eds.), Nonlinear Processes in Physics. Potsdam-Kiev, 1991. Springer, Berlin. 126-131

77. Orlov, A. Yu. (1994), Ph. D. Thesis, Chernogolovka.

78. M. Sato (1981) Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifolds. RIMS, Kokyuroku, Kyoto Univ. 439, 30-46

79. Sato, M.; Sato, Y. (1983) Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifold, Nonlinear partial differential equations in applied science (Tokyo, 1982). North-Holland, Amsterdam-New York. 259-271

80. Segal, G.; Wilson, G. (1985) Loop groups and equations of KdV type. Inst. Hantes Etudes Sci. Publ. Math. 61, 5-65

81. Schief, W. K. (1994) On a (2 + l)-dimensional Darboux system: integrable reductions. Inverse Problems 10(5), 1185-1198

82. Shabat A.B. (Шабат А.Б.) (1973) Об уравнении Кортевегагде Фриза. ДАН СССР 211, 1310

83. Shabat, А. В.; Yamilov, R. I. (1997) То a transformation theory of two-dimensional integrable systems. Phys. Lett. A 227(1-2), 15-23

84. Shiota, T. (1986) Characterization of Jacobian varieties in terms of soliton equations. Invent Math. 83 (2), 333-382

85. Shiota, T. (1994) Calogero-Moser hierarchy and KP hierarchy. J. Math. Phys. 35, 5844-5849

86. Taimanov I.A. Modified Novikov-Veselov equation and differential geometry of surfaces, in Solitons, Geometry and Topology (eds. V.M. Buchstaber and S.P. Novikov) Transí AMS, ser.2 179 (1997), 133-155.

87. Takasaki, K. (1989) Geometry of universal Grassmann manifold from algebraic point of view. Rev. Math. Phys. 1 (1), 1-46

88. K. Takasaki and T. Takebe (1992) Int. J. Mod. Phys. A, Suppl IB, 889922

89. Takasaki, K.; Takebe, T. (1995) Integrable hierarchies and dispersionless limit. Rev. Math. Phys. 7(5), 743-808

90. Tsarev, S. P. (1991) The geometry of Hamiltonian systems of hydro-dynamic type. The generalized hodograph method. Math. USSR-Izv. 37(2), 397-419

91. Tsarev, S. P. (1993) Classical differential geometry and integrability of systems of hydrodynamic type, Applications of analytic and geometric methods to nonlinear differential equations (Exeter, 1992). Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. 241-249

92. Ueno, K. and Takasaki, K. (1984) Toda lattice hierarchy, in K. Okamoto (ed.), Group representations and systems of differential equations (Tokyo, 1982). North-Holland, Amsterdam-New York. 1-95

93. Van Moerbeke, P. (1994) Integrable foundations of string theory, Lectures on integrable systems (Sophia-Antipolis, 1991), Eds. 0. Babelon et al. World Sci. Publishing, River Edge, NJ. 163-267

94. I.N. Vekua, Generalized analytic functions, Pergamon Press, Oxford (1962).

95. Veselov, A. P.; Novikov, S. P. (1984) Finite-gap two-dimensional potential Schrodinger operators. Explicit formulas and evolution equations. (Russian) Dokl Akad. Nauk SSSR 279(1), 20-24

96. Vladimirov, V. S. (1984) Equations of mathematical physics. "Mir", Moscow.

97. Weiss, John; Tabor, M.; Carnevale, George (1983) The Painlevé property for partial differential equations. J. Math. Phys. 24(3), 522-526

98. Wiegmann, P. B.; Zabrodin, A. (2000) Conformai maps and integrable hierarchies. Comm. Math. Phys. 213 (3), 523-538

99. Wilczynski E.I. Projective-differential geometry of curved surfaces, Trans. AMS 8 (1907) 233-260; 9 (1908) 79-120, 293-315.

100. Wilczynski E.I. Sur la théorie générale des congruences, Mémoire couronné par la classe des sciences. Mémoires publiés par la Classe des Sciences de l'Académie Royale de Belgique. Collection en 4. Deuxième série. Tome III (1911).

101. Wilczynski E.I. The general theory of congruences, Trans. Amer. Math. Soc. 18 (1915) 311-327.

102. Segal, G.; Wilson, G. (1985) Loop groups and equations of KdV type. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 61, 5-65

103. Witten, E. (1988) Quantum field theory, Grassmannians, and algebraic curves. Comm. Math. Phys. 113 (4), 529-600

104. Zabrodin, A. V. (1997) Hirota difference equations. Teoret. Mat. Fiz. 113(2), 179-230

105. Zakharov, V.E. (1974) On stochastization of one-dimentional chains of nonlinear oscillations. Soviet Phys. JETP 38, 108-110

106. Zakharov, V.E.; Shabat, A.B. (1974) A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. I. Funct. Anal. Appl. 8, 226-235

107. Zakharov, V. E.; Mikhailov, A. V. (1980) On the integrability of classical spinor models in two-dimensional space-time. Comm. Math. Phys. 74(1), 21-40

108. Zakharov, V.E.; Shabat, A.B. (1980) Integration of nonlinear equations of mathematical physics by the method of inverse scattering. II. Funct. Anal. Appl. 13, 166-174

109. Zakharov, V. E. (1980) Benney equations and quasiclassical approximation in the inverse problem method. Funktsional. Anal, i Prilozhen. 14 (2), 1524

110. Zakharov, V. E.; Manakov, S. V. (1984) Multidimensional nonlinear integrable systems and methods for constructing their solutions. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 133, 77-91

111. Zakharov, V. E.; Manakov, S. V. (1985) Construction of multidimensional nonlinear integrable systems and their solutions. (Russian) Funktsional. Anal, i Prilozhen. 19(2), 11-25

112. Zakharov, V. E. (1990) On the dressing method, Inverse methods in action (Montpellier, 1989), ed. P. C. Sabatier. Springer, Berlin. 602-623

113. V. E. Zakharov, Dispersionless limit of integrable systems in (2+1)-dimensions, 27], 165-174 (1994)

114. Zakharov, V.E. (1998) Description of the n-orthogonal curvilinear coordinate systems and Hamiltonian integrable systems of hydrodynamic type. I. Integration of the Lamé equations. Duke Math. J. 94(1), 103-139

115. Zakharov, V. E.; Manakov, S. V. (1998) On reductions in systems integrable by the method of the inverse scattering problem. Dokl. Akad. Nauk 360(3), 324-327

116. Zakharov V. E. (2001) Integration of the Gauss-Codazzi equations. Teoret. Mat. Fiz. 128, 133-144

117. Zenchuk, A. I.; Manakov, S. V. (1995) The dual ^-problem, (2 + 1)-dimensional nonlinear integrable evolution equations and their reductions. Theoret. and Math. Phys. 105(3), 1490-1499

118. Публикации автора по теме диссертации1. Монография

119. Bogdanov, L. V. (1999) Analytic-Bilinear Approach to Integrable Hierarchies. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.1. Статьи

120. Bogdanov, L. V. (1987) The Veselov-Novikov equation as a natural generalization of the Korteweg- de Vries equation. ТМФ 70 (2), 309-314

121. Bogdanov L.V. (1987) About two-dimensional Zakharov-Shabat problem. ТМФ 72(1), 155-159

122. Bogdanov, L. V.; Manakov, S. V. Nonlocal ^-problem and (2 + 1)-dimensional soliton equations. Plasma theory and nonlinear and turbulent processes in physics, Vol. 1, 2 (Kiev, 1987), 7-19, World Sei. Publishing, Singapore, 1988.

123. Bogdanov, L. V. and Manakov, S. V. (1988) The nonlocal д problem and (2 + l)-dimensional soliton equations. J. Phys. A 21 (10), L537-L544

124. Bogdanov L.V. and Zakharov V.E. (1992) Decreasing solutions and dispersion laws in the (2+l)-dimensional dressing method. St. Petersburg Math. J. 3, 533-540

125. Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (1994) Integrable (1 + 1)-dimensional systems and the Riemann problem with a shift. Inverse Problems 10 (4), 817-835

126. Bogdanov L. V. (1994) Generic solutions for some integrable lattice equations. ТМФ 99, 177-185

127. Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (1995) On some developments of the ^-dressing method. St. Petersburg Math. J. 6(3), 475-493

128. Bogdanov, L. V. (1995) Generalized Hirota bilinear identity and integrable g-difference and lattice hierarchies. Phys. D 87(1-4), 58-63

129. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1995) Lattice and ^-difference Darboux-Zakharov-Manakov systems via ^-dressing method. J. Phys. A 28(5), L173-L178

130. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1997) Generalized integrable hierarchies and Combescure symmetry transformations. J. Phys. A 30(5), 1591-1603

131. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1998) Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. I. Generalized KP hierarchy. J. Math. Phys. 39 (9), 4683-4700

132. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1998) Analytic-bilinear approach to integrable hierarchies. II. Multicomponent KP and 2D Toda lattice hierarchies. J. Math. Phys. 39(9), 4701-4728

133. Bogdanov, L. V. and Ferapontov, E. V. (1998) A nonlocal Hamiltonian formalism for semi-Hamiltonian systems of hydrodynamic type. TM& 116(1), 113-121

134. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (1999) Moebius invariant integrable lattice equations associated with KP and 2DTL hierarchies. Phys. Lett. A 256 (1), 39-46

135. Bogdanov, L. V.; Konopelchenko, B. G. (2000) Moebius invariant integrable lattice equations associated with the generalized KP hierarchy. CRM Proc. Lecture Notes 25, 33-45

136. Bogdanov, L. V. and Konopelchenko, B. G. (2001) Generalized KP hierarchy: Mobius symmetry, symmetry constraints and Calogero-Moser system. Physica D 152-153, 85-96

137. Bogdanov, L. V., Konopelchenko, B. G. and Orlov, A. Yu. Trigonometric Calogero-Moser System as a Symmetry Reduction of KP Hierarchy, in Integrable Hierarchies and Modem Physical Theories (NATO ARW-UIC 2000), Kluwer, Dordrecht, 2001.

138. Bogdanov, L. V. and Zakharov, V. E. (2002) The Boussinesq equation revisited. Phys. D 165(3-4), 137-162

139. Bogdanov L.V. and Ferapontov E.V. (2002) Projective differential geometry of higher reductions of the two-dimensional Dirac equation. Препринт nlin.SI/0211040

140. Bogdanov, L.V., Konopelchenko, B.G. and L. Martinez Alonso (2003) Quasi-classical ¿'-method: Generating equations for dispersionless integrable hierarchies. ТМФ 134(1), 46-54