Инварианты характеристик гиперболических систем уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Заблуда, Александр Владимирович

• Заблуда, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Заблуда, Александр Владимирович

Введение

Глава 1. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах

1.1 Основные понятия и утверждения.

1.2 Одномерная нестационарная газовая динамика. Политропный газ с постоянной энтропией

1.2.1 Построение точных решений.

1.3 Неполитропный газ с переменной энтропией

1.3.1 Инварианты нулевого порядка и их применение

1.3.2 Инварианты высших порядков.

1.3.3 Двумерная газовая динамика.

1.3.4 Трехмерная газовая динамика.

Глава 2. Инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики

2.1 Одномерный нестационарный случай

2.2 Двумерная магнитная гидродинамика.

2.3 Трехмерная магнитная гидродинамика.

Глава 3. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах

3.1 Инварианты нулевого порядка.

3.2 Точные решения.

3.3 Интегрирование уравнения Мутара с помощью преобразований Дарбу

3.4 Нелокальные инварианты.

3.5 Инварианты первого порядка.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инварианты характеристик гиперболических систем уравнений»

Дифференциальные уравнения в частных производных используются для описания разнообразных процессов реального мира. Несмотря на то, что развитие современной вычислительной техники позволяет применять эффективные численные алгоритмы для решения нелинейных систем уравнений, тем не менее, построение точных решений по-прежнему остается важной задачей. Эти решения позволяют не только глубже понять качественные, особенности описываемых процессов и явлений, но также могут быть использованы в качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных методов.

Данная работа посвящена методам интегрирования нелинейных гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка. Рассматриваются уравнения, описывающие движения идеального газа в эйлеровых и лагранжевых координатах, а также уравнения магнитной гидродинамики.

Можно сказать, что в настоящее время уравнения классической газовой динамики изучены достаточно хорошо, в то время как магнитная гидродинамика является сравнительно новой областью математический физики. Известно не так много точных решений для уравнений магнитной гидродинамики, поэтому развитие аналитических методов редукции и интегрирования этих систем представляет дополнительный интерес.

В книге [28] Курант отмечал ключевую роль интегралов характеристик при интегрировании уравнений с частными производными:

Самым важным фактом теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является эквивалентность задан интегрирования дифференциального уравнения с частными производными и характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Под интегралами характеристической системы понимаются функции, принимающие постоянные значения вдоль характеристических кривых. Утверждение Куранта носит более общий характер, и применимо не только к уравнениям первого порядка.

Так один из первых методов интегрирования нелинейного уравнения в частных производных второго порядка

Р(х, У, и, их, Щ, ихх, иху, Чуу) =0 (1) был предложен Монжем, а позднее улучшен Ампером. Чтобы воспользоваться методом Монжа-Ампера, необходимо найти уравнение первого порядка ${х,у,и,их,иу)=с, се Я (2) такое, что каждое его решение удовлетворяло бы уравнению (1) при любом с. При этом функцию / называют первым интегралом уравнения (1). Для построения первых интегралов необходимо искать функции, постоянные вдоль направлений характеристик уравнения (1). Если имеется два первых интеграла /х и /2 для данного семейства характеристик, то интегрирование уравнения (1) сводится к решению уравнения первого порядка где С — произвольная гладкая функция.

В 1870, Г. Дарбу представил обобщение метода Монжа-Ампера. Он предложил строить дополнительные дифференциальные уравнения в частных производных второго (и более высоких) порядков д(х. у. и, их, Иу, иХХ) иХу, Чуу) = с. (3)

Функция д также должна сохраняться вдоль характеристик уравнения (1), и в этом случае она называется инвариантом характеристик уравнения (1). Подробное описание этого метода, с большим числом примеров, имеется в книге [44], другое изложение метода можно найти в монографии [43].

Несмотря на то, что уравнения, интегрируемые по Дарбу, возникают сравнительно редко, тем не менее они представляют значительный интерес. Е. Вессио [52,53] классифицировал уравнения вида интегрируемые методом Дарбу, и нашел общее решение для каждого из полученных уравнений.

Основную роль в развитии этого метода играли французские математики. Российскими и советскими исследователями также были получены интересные результаты [6,24]. В последнее время вновь появились публикации, посвященные данному методу [7,8,19,34,36,37,39,51].

О.В. Капцовым [18] были введены инварианты характеристик систем гиперболических уравнений первого порядка, как функции, сохраняющиеся вдоль направлений характеристик. Эти функции могут включать независимые и зависимые переменные системы, а также частные производные до некоторого порядка. Классическими примерами инвариантов характеристик для трехмерных стационарных уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния р = р(р, в) являются энтропия, инвариант Бернулли где и = (и,у,и)) — вектор скорости, р — плотность, р — давление, 5 — энтропия.

Инварианты характеристик обобщают известные инварианты Рима-на. Они представляют самостоятельный интерес, а также могут использоваться для построения редукций и точных решений исходных систем а также инвариант Эртеля УЙ, гсЛ И) Р уравнений. Уравнения, обладающие достаточным количеством инвариантов характеристик, могут быть сведены к обыкновенным.

В данной работе также рассматривается метод, основанный на применении дифференциальных преобразований первого порядка (преобразований Дарбу). В третьем томе «Интегрального исчисления» Л. Эйлер [35] исследовал задачи интегрирования линейных уравнений с частными производными. Он нашел, в частности, дифференциальные преобразования, переводящие решение одного уравнения в решение уравнения того же вида.

Дарбу [42] использовал преобразования вида для интегрирования гармонических уравнений вида иху = [ф{х - у) + ф(х + у)]и.

Мутар [48] применял преобразования вида (4) при построении решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Кроме того, Мутар выписал условие, при выполнении которого уравнение (5) интегрируется в явном виде. Это условие формулируется в виде нелинейного дифференциального уравнения на функцию Л. Он указал также способ интегрирования этого нелинейного уравнения.

В данной работе метод преобразований Дарбу используется для построения точных решений уравнения Мутара

2 = М{х)(их + з(х)и)

4) у" + {к + и(х))у' + \(х)у = 0.

5) гху + А(ж -у)г = О

6) получаемого из уравнения Эйлера-Дарбу иху + д(х - у)(их - иу) = О с помощью замены ¿(ж, у) = а(х — у)г(х, у), где а1 — ад.

Со времен Эйлера хорошо известны решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу ихх + С(х)их = иуу, (7) соответствующие функции х) = пег. х£

Дарбу [42] несколько расширил список уравнений, приводимых к (7) точечными преобразованиями и допускающих общее явное решение.

Уравнение (7) возникает в исследованиях по газовой динамике и теории упругости [2,28]. Все линейные дифференциальные подстановки первого порядка, соответствующие указанной функции 6?. получены в [1]. Групповой анализ произвольного линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными выполнен академиком Овсянниковым в [27]. В настоящее время интересы школы Л.В. Овсянникова сместились в сторону досконального изучения подмоделей газовой динамики [29]. В работе [30] методы группового анализа применяются для исследования уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах.

Современный интерес к преобразованиям Дарбу связан, в основном, с исследованиями в области теории солитонов и дифференциальной геометрии [47,50]. В последние годы ведется поиск многомерных аналогов преобразований вида (4), переводящих решения одних линейных уравнений в другие. Также следует отметить работы [38,40,41], посвященные уравнению Шредингера и его обобщениям.

Цель диссертационной работы состоит в нахождении инвариантов характеристик систем уравнений газовой динамики и уравнений магнитной гидродинамики, а также в применении полученных инвариантов для построения редукций и точных решений.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех основных глав, заключения и одного приложения.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Заблуда, Александр Владимирович

Заключение

1. Для уравнений одномерной газовой динамики в эйлеровых координатах с непостоянной энтропией найдены инварианты характеристик нулевого и первого порядков, а также некоторые инварианты высших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка построено решение, зависящее от двух произвольных функций. Указан способ сведения исходной системы к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, основанный на использовании инвариантов первого порядка.

2. Получены инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики. В одномерном нестационарном случае исходная система сводится к одному уравнению второго порядка, для которого при некоторых условиях построено общее решение.

3. Для уравнений одномерной газовой динамики в лагранжевых координатах получены все инварианты нулевого порядка, а также инварианты высших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка, а также нелокальных инвариантов, исходная система сводится к уравнению Эйлера-Дарбу и, далее, к уравнению Мутара. Представлены общие решения уравнений Мутара, получаемых из волнового уравнения с помощью последовательного применения трех преобразований Дарбу.

4. Разработан пакет аналитических вычислений InvChar для нахождения инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в среде Maple.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Заблуда, Александр Владимирович, 2006 год

1. Ганжа Е. И. Каскадный метод Лапласа. Методические рекомендации. Красноярск: РИО КГПУ, 2000. - 36 с.

2. Гурса, Э. Курс математического анализа, часть 1,— М.: ГТТИ, 1933.-Т. 3.

3. Дьяконов В. П. Maple 7. Учебный курс,- С.Пб.: Питер, 2001. — 672 с.

4. Жибер А. В., Соколов В. В., Старцев С. Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН,— 1995. Т. 343, № 6. - С. 746-748.

5. Заблуда А. В. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН,2004. С. 35-39.

6. Заблуда А. В. Пакет аналитических вычислений для определения инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений // Вычислительные технологии. — 2004. — Т. 9. — С. 207-214.

7. Заблуда А. В. Применение инвариантов характеристик и метода Лапласа для интегрирования уравнений в частных производных // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2005. — С. 27-30.

8. Заблуда А. В. Применение преобразований Мутара-Дарбу к интегрированию уравнений газовой динамики // Материалы конференции молодых ученых ИВМ СО РАН. — Красноярск: Институт вычислительного моделирования СО РАН, 2006.

9. Заблуда А. В. Уравнения газовой динамики в лагранжевых координатах. Инварианты характеристик и точные решения // Вестник

10. Красноярского государственного университета. — 2006.— № 1,-С. 125-132.

11. Завьялов Ю. С. О некоторых интегралах одномерного движения газа // ДАН СССР. 1955. - Т. 103, № 5. - С. 781-782.

12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. — 576 с.

13. Капцов 0. В. Инварианты характеристик систем уравнений с частными производными // Сибирский математический эюурнал. — 2004. Т. 45, № 3.

14. Капцов О. В. Системы уравнений с частными производными первого порядка: характеристики и их инварианты, — Красноярск, 2004. — 26 с. — (Препринт/РАН. Сиб. Отд-ние. Институт вычислительного м оде,; I и ро ван и я: № I).

15. Капцов О. В. Применение преобразований Мутара-Дарбу к интегрированию дифференциальных уравнений. — Красноярск, 2005. — 15 с. — (Препринт/РАН. Сиб. Отд-ние. Институт вычислительного моделирования: № 3).

16. Капцов О. В., Заблуда А. В. Инварианты характеристик // Вестник Красноярского государственного университета. — 2004. — № 3,-С. 57-61.22| Куликовский А. Г. Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматгиз, 1962.

17. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964.24| Куренский М. К. Дифференциальные уравнения. Книга вторая. Дифференциальные уравнения с частными производными,— Ленинград: Артиллерийская академия РККА им. Дзержинского, 1934.

18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988.

19. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.: Изд-во ин. лит., 1961. 588 с.

20. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

21. Овсянников Л. В. Лекции по основам газовой динамики. — М.: Наука, 1981.

22. Овсянников Л. В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // ПММ. 1994. - Т. 58, № 4. - С. 30-55.

23. Сидоров А. Ф., Шапеев В. П., Яненко Н. Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. — Новосибирск: Наука, 1984. 272 с.

24. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Наука, 1981. — Т. 4.

25. Царев С. П. О нелинейных уравнениях с частными производными интегрируемыми по Дарбу // Труды математического ин-та им. В.А. Стеклова. 1999. - Т. 225. - С. 389-399.

26. Эйлер Л. Интегральное исчисление. М.: ГИФМЛ, 1958. - Т. 3.

27. Anderson I. М., Juras М. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. 1997. - Vol. 89, no. 2. -Pp. 351-375.

28. Anderson I. M., Kamran N. The variational bicomplex for hyperbolic second-order scalar partial differential equations in the plane // Duke Math. J. 1997. - Vol. 87, no. 2. - Pp. 265-319.

29. Berest Y., Veselov A. On the structure of singularities of intereble Schroedinger operators ,// Lett. Math. Phys.— 2000.— no. 52.— Pp. 103-111.

30. Bryant R., Griffiths P., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. II // Sel. Math. — no. 2. — Pp. 265-323. — New Ser. 1.

31. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. — Paris: Gauthier-Villars, 1915. — Vol. II.

32. Forsyth A. R. Partial differential equations. — Cambridge, 1906. — Vol. VI of Theory of differential equations.

33. Goursat E. Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order a deux variables indépendantes.— Paris: Librairie scientifique A.Hermann, 1898. — Vol. II.

34. Kaptsov 0. V., Zabluda A. V. Characteristic invariants and Darboux's method // J. Phys. A: Math. Gen. 2005. - Vol. 38. - Pp. 3133-3144.

35. Martin M. H. The propagation of a plane shock into a quiet atmosphere // Canad. J. Math. 1953.-Vol. 3.-Pp. 165-187.

36. Matveev V. B., Salle M. A. Darboux transformations and solitons. — Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1991. — 65 pp.

37. Moutard M. Note sur les équations différentielles linéaires du second ordre // Comptes Rendus. 1875. - Vol. LXXX. - Pp. 729-733.

38. Reid G. J., Boulton A. Reduction,of systems of differential equations to standard form and their integration using directed graphs // Proceedings of ISSAC '91. New York: ACM Press, 1991, - Pp. 308-312.

39. Rogers C., Schief W. K. Bâcklund and Darboux transformations: geometry and modern applications in soli ton theory. — Cambridge University Press, 2002.

40. Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order f(x,y,u,p,q,r,s,t) = 0 intérgable par la méthode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1941. - Vol. 21. - Pp. 1-66.