Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Муртазина, Регина Димовна

• Муртазина, Регина Димовна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Муртазина, Регина Димовна

Введение

Глава 1. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры

§1. Линейные гиперболические уравнения.

§2. Критерий интегрируемости нелинейных гиперболических уравнений по Дарбу.

§3. Преобразования Лапласа и Беклунда.

Глава 2. Нелинейные гиперболические уравнения со специальной правой частью

§4. Уравнение Клейна-Гордона.

§5. Базис характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордон

§6. Уравнение иху = f(u, их)

§7. Уравнение иху = f(ux, иу).

Глава 3. Гиперболические уравнения иху = f(u,ux,uy)

§8. Нелинейные уравнения с конечномерной характеристической алгеброй.

§9. Условия медленного роста характеристической алгебры Ли

§10. Уравнение иху = K(u)L(ux)B(uy)

§11. Анализ пространств Lg и L7 при dim Lg = dim L7 =

§12. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона . 129 Заключение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли»

Теория алгебр Ли выросла из классической теории непрерывных групп преобразований (вторая половина XIX века), основателем которой считается норвежский математик Софус Ли (см. [7, 8]). Основным результатом является сведение "локальных" задач (исследование локальных свойств), относящихся к группам Ли, к соответствующим задачам теории алгебр Ли, то есть к чисто алгебраическим объектам. Наиболее эффективным приложением групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений (см. [29, 30, 44, 45]).

Существенные достижения в области группового анализа были получены Л.В. Овсянниковым и его школой с 50-х годов XX века [44] который показал разнообразные и плодотворные применения группового анализа в механике жидкости и газа. С использованием теоремы Ли Н.Х. Ибрагимов, В.А. Байков, Р.К. Газизов (см. [3, 50, 52]) получили инфинитезимальное описание приближенных групп преобразований и доказали критерий приближенной инвариантности. Метод обратной задачи рассеяния (см. [1, 27]) позволил проинтегрировать важные для приложений дифференциальные уравнения, обладающие широкой группой симметрий (см. [29]). Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры симметрий в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений на основе "симметрийного" подхода (см. [2, 12, 25, 26, 28, 31, 35, 36, 57]), важный вклад в развитие которого внесла математическая школа профессора А.Б. Шабата. Первые классификационные результаты, относящиеся к уравнениям эволюционного типа, были получены совместно Н.Х. Ибрагимовым и A.B. Шабатом на основе теории формальных групп Ли-Беклунда.

Гиперболические уравнения занимают в теории интегрируемых уравнений особое место. С одной стороны они имеют больший прикладной интерес, чем эволюционные, а с другой - они гораздо труднее поддаются классификации и решению методом обратной задачи рассеяния.

Симметрийный подход является эффективным при исследовании эволюционных уравнений. При симметрийной классификации гиперболических уравнений даже в простейших ситуациях возникают серьезные трудности технического и принципиального характера.

В данной диссертационной работе для решения задачи классификации интегрируемых уравнений иху = f(u,ux,uy) (0.1) используется подход, основанный на исследовании структуры так называемой "характеристической" алгебры.

Определение 0.1. Алгебра Ли - это векторное пространство L с билинейной операцией

-, .] : LxL^L, называемой скобкой Ли (коммутатором) алгебры L и удовлетворяющей следующим аксиомам: а) билинейность: г> + cu, w] = [v, w] + c[u, u>], b) кососимметричность: v,w] = ~[w,v\; c) тождество Якоби u, v],w] 4- + [{v,w],u} = 0, для всех u, v, w из L.

Впервые понятие характеристической алгебры было введено A.B. Ша-батом и Р.И. Ямиловым [48] для экспоненциальных систем вида ulxy — exp^in1 + . + ainun), г = 1, 2,., п. (0.2)

Было показано, что характеристическая алгебра Ли системы (0.2) конечномерна тогда и только тогда, когда К = {ац) - матрица Картана простой алгебры Ли.

А.Н. Лезновым, В.Г. Смирновым и A.B. Шабатом в работе "Группа внутренних симметрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем" [33] для гиперболических систем уравнений

DDu1 = F\ul,., ur), i = 1,., г. (0.3) показано, что условием полной интегрируемости в квадратурах уравнений (0.3) является конечномерность алгебры Ли, связанной характеристическим уравнением

DW = 0, W = W(ux,uxx,.-.) характеристической алгебры), а условием интегрируемости методом обратной задачи рассеяния - наличие конечномерного представления характеристической алгебры.

В работе A.B. Жибера и Ф.Х. Мукминова "Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры" [14] метод исследования интегрируемости, основанный на изучении характеристических алгебр Ли, используется для систем гиперболических уравнений вида

4 = c)kujvk + 4v\ = dflUjvl + djUj, (0.4) i = 1, 2,., n, к = 1, 2,., п. Например, уравнение Лиувилля zxy = ez можно записать в виде: их — uv, vy — и (г = к = 1, и = и1 — ez, v = v1 = zx).

Показано, что система уравнений (0.4) обладает не одной, а двумя характеристическими алгебрами А, А и эти алгебры естественным образом "склеиваются" в единую алгебру Ли (см. также [6]) на основе так называемых соотношений нулевой кривизны (L — А пары) для системы (0.4).

В работе И.Т. Хабибуллина [54] понятие характеристической алгебры было обобщено на дискретные модели и на этой основе в работе [47] была проведена частичная классификация цепочек. В работе [55] авторами получен полный список цепочек вида hx = tx + d(t,t1), (0.5) допускающих нетривиальные rc-интегралы. Проблема существования п-интегралов для цепочки (0.5) остается открытой.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Все теоремы, леммы, замечания и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Муртазина, Регина Димовна

Основные результаты диссертации состоят в следующем: Исследованы характеристические алгебры Ли линейных гиперболических уравнений, которые связаны х- и ^/-преобразованиями Лапласа. Показано, что последовательность инвариантов Лапласа к-п, п = 0,1,. конечна только в том случае, когда размерность характеристической алгебры Ли уравнения конечномерна. Приведено новое более простое доказательство критерия интегрируемости по Дарбу нелинейного гиперболического уравнения, основанное на понятии характеристической алгебры Ли. Описаны нелинейные гиперболические уравнения, линеаризации которых связаны ^-преобразованием Лапласа. Приведены преобразования Беклунда этих уравнений. Решена классификационная задача для интегрируемых уравнений Клейна-Гордона на основе их характеристической алгебры. Для уравнения синус-Гордона описана структура характеристической алгебры Ли. Приведен полный список гиперболических уравнений с конечномерной характеристической алгеброй размерности 2, 3, 4. Описаны уравнения с бесконечномерной характеристической алгеброй "медленного"роста. Построен локальный дифференциальный оператор, переводящий высшие симметрии в высшие симметрии меньшего порядка для модифицированного уравнения синус-Гордона, а также оператор рекуррен-ции, определяющий алгебру симметрий этого уравнения. Приведен оператор, который симметрии переводит в интегралы и обратный оператор, переводящий интегралы в симметрии для вырожденного случая модифицированного уравнения синус-Гордона.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Муртазина, Регина Димовна, 2009 год

1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. - М.: Мир.- 1987.

2. Адлер В.Э., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика.- 2000. Т. 125. - № 3. - С. 355 - 424.

3. Банков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные группы преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. - Т. 29. -№ 10. - С. 1712 - 1732.

4. Борисов А.Б., Зыков С.А. Одевающая цепочка дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. 1998. - Т. 115.- № 2. С. 199-214.

5. Борисов А.Б., Зыков С. А., Павлов М.В. Уравнение Цицейки и размножение нелинейных интегрируемых уравнений // ТМФ. 2002. -Т. 131. - № 1. - С. 126-134.

6. Бормисов A.A. Гиперболические системы уравнений типа Риккати и связанные с ними алгебры Ли // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. -Стерлитамак.: СГПИ. 2002. - 74 с.

7. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Москва: Мир. - 1972. - 334 с.

8. Джекобсон Н. Алгебры Ли. Москва: Мир. - 1964. - 355 с.

9. Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. - Т. 58. - № 4. - С. 33 - 54.

10. Жибер A.B. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления: Сб. статей УНЦ РАН, Уфа. 1994. - 192 с.

11. Жибер A.B., Гурьева A.M. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений ]/ Вестник УГАТУ.2005. Т. 6. - № 2(13). - С. 26 - 34.

12. Жибер A.B., Ибрагимов Н.Х., Шабат A.B. Уравнения типа Ли-увилля // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 249. - № 1. -С. 26 - 29.

13. Жибер A.B., Костригина О.С. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды Института Механики УНЦ РАН. 2007. - № 5. - С. 195-201.

14. Жибер A.B., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991. -С. 14 - 32.

15. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры Ли // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. 2008. -С. 118 - 122.

16. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О векторных полях интегрируемых уравнений Клейна Гордона // Межвузовский научный сборник, УГА-ТУ. - 2004. - С. 131 - 144.

17. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник УГАТУ. 2006. - Т. 7. - № 2. - С. 131 - 136.

18. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. 2008 - № 1. - С. 84 - 92.

19. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху ~ f(u,ux) // ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. 2006. - Т. 12. - № 7. - С. 65-78.

20. Жибер A.B., Соколов В.В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики иуправления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. - 1995. - N2 2. -С. 51 - 65.

21. Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. 2001. - Т. 56. - № 1(337).- С. 63-106.

22. Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. 1995.- Т. 343. № 6. - С. 746 - 748.

23. Жибер A.B., Шабат A.B. Системы уравнений их = p(u,v), vy = q(u, v) обладающие симметриями // Доклады АН СССР. 1984.- Т. 277. № 1. - С. 29 - 33.

24. Жибер A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103-1107.

25. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М.: Наука. - 1980. - 290 с.

26. Звягин М.Ю. Уравнения второго порядка, приводимые преобразованием Беклунда к zxy = 0 // Доклады АН СССР. 1991. - 316. - № 1.- С. 36 40.

27. Ибрагимов H. X. Группы преобразований в математической физике.- Москва: Наука. 1983. - 280 с.

28. Ибрагимов H. X. Опыт группового анализа обыкновенных диффрен-циальных уравнений. — Москва: Знание. 1991. - 47 с.

29. Ибрагимов Н. X., Шабат A.B. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда. // Функциональный анализ и его приложения. 1980. - Т. 14. - № 1. - С. 25 - 36.

30. Кузнецова М.Н. Симметрии уравнения эллиптического синуса // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Том 1 Математика / Уфа: БашГУ.- 2007. С. 170 - 179.

31. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. Группа внутренних симметрии и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 22.

32. Метод каскадного интегрирования Лапласа и уравнения, интегрируемые по Дарбу. Учебное пособие / A.B. Жибер, В.В. Соколов. Изд-е Башкирск. ун-та. - Уфа. - 1996. - 56 с.

33. Михайлов A.B., Шабат A.B., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. - 1990.- С. 213 279.

34. Михайлов A.B., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42. - № 4. -С. 3 - 53.J

35. Муртазина Р.Д. Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли // Труды института математики и механики УрО РАН. 2007. - Т. 13. - № 4. - С. 102 - 117.

36. Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях иху = /(и,их,иу) // Проблемы! теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. 2007. - С. 174- 178.

37. Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с конечномерной алгеброй Ли // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2007. - Т. 2. - С. 50-51.

38. Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли и симметрии уравнения мСГ ¡1 Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Уфа: РИЦ БашГУ. 2008. - № 1. - С. 156 - 164.

39. Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли интегрируемых уравнений Клейна-Гордона // Обозрение прикладной и промышленной математики. Москва: ОПиПМ. 2006. - Т. 13. - № 3. - С. 525-526.

40. Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических уравнений // Студент и научно-технический прогресс: ХЫП Международной научной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ. 2005. - С. 39 - 40.

41. Овсянников JI. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — Москва: НАУКА. 1981. - 399 с.

42. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям Москва: Мир. 1989. - 639 с.

43. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М.: Ил. - 1957. - 443 с.

44. Хабибуллин И.Т., Пекан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей // Теоретическая и математическая физика. 2007. - Т. 151. - № 3. - С.413-423.

45. Шабат А.В., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа. 1981. - 23 с.

46. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke Math. J. 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.

47. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4. - 513 c., 579 c., 512 c., 547 c.

48. Gazizov R. K., Ibragimov N. H. Lie Symmetry of Differential Equations in Finance // Nonlinear Dynamics. 1998. - V. 17. - P. 387-407.

49. Goursat E. Leçons sur l'intégration des equations aux derivees partielles du second ordre a deux variables indépendantes — Paris: Hermann, v. 1,11, 1896, 1898. 226 c., 345 c.

50. Habibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.: Methods Appl. 2005. - V. 1. - Paper 023 - 9 pages.

51. Habibullin I.T., ZheltukhinaN., Pekcan A. On the classification of Darboux integrable chains J. Math. Phys. - 2008. - V. 49. - № 10. (40 pages)

52. Roux J.Le. Extensions de la methode de Laplace aux equations lineaires aux derivees partielles d'ordre supérieur au second // Bull.Soc.Math.France. -1899. V. 27. - P. 237-262.

53. Sokolov V.V., Shabat A.B. Classification of integrable evolution equation // N.Y.: Harwood Academic Publishers. Soviet Scientific Reviews, Section C. 4. 1984. - P. 221-280.

54. Sokolov V.V., Zhiber A.V. On the Darboux integrable hyperbolic equation 11 Phys.Lett.A. 1995. - V. 208. - P. 303-308.

55. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) — 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1939 - V. 18. - № 9. - P. 1 - 61.

56. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) — 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1942. - V. 21. - № 9. - P. 1 - 68.