Характеристические кольца Ли интегрируемых дифференциально-разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сакиева, Альфия Ураловна

• Сакиева, Альфия Ураловна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сакиева, Альфия Ураловна

Введение

Глава 1. Структура а>интегралов и n-интегралов для дифференциально-разностных уравнений и критерий интегрируемости по Дарбу

§1. Структура х— и п—интегралов дифференциальноразностных уравнений.

§2. Алгебраический критерий интегрируемости по Дарбу

Глава 2. Построение решений и характеристические кольца Ли для интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных уравнений вида t\x = tx + d(t, ¿i)

§3. Характеристические кольца Lx для интегрируемых по Дарбу дифференциально-разностных уравнений t\x = tx + d(t, ¿i)

§4. Характеристические алгебры Ln для интегрируемых по Дарбу уравнений t\x = tx + d(t, ¿i)

§5. Построение решений для интегрируемых по Дарбу цепочек вида tix = tx + d(t, t{).

Глава 3. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувил-левского типа

§6. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллевского типа.

Глава 4. Характеристическая алгебра Ли уравнения Цицейки

§7. Характеристическая алгебра Ли уравнения Цицейки

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Характеристические кольца Ли интегрируемых дифференциально-разностных уравнений»

Настоящая работа посвящена исследованию интегрируемых дифференциально-разностных уравнений вида t(n + 1, х) = f{x, £(n, х), t(n + 1, х), ~t(n, х)). (0.1)

Здесь t = t(n, х) - искомая функция дискретного переменного п и непрерывного переменного х. Предполагается, что функция / = f(x,t,t\,tx) является локально аналитической, и ^ не равна нулю тождественно.

Уравнения и системы уравнений вида (0.1) встречаются в конформной теории поля (см. [24]) и других разделах физики. Последовательное применение преобразования Бэклунда к интегрируемому уравнению в частных производных порождает дифференциально-разностные уравнения вида (0.1)(см. [28],[47]). Отметим, что в знаменитом эксперименте Ферми-Паста-Улама, предшествовавшем открытию солитона, также исследовалась динамическая система, описываемая дифференциально-разностным уравнением.

В последние три десятилетия интегрируемые дифференциально-разностные уравнения активно исследовались в работах [2] [28],[32],[33],[37],[47],[36],[42],[43],[64]

В научной литературе существует несколько подходов к определению интегрируемости. В данной работе под интегрируемостью мы понимаем интегрируемость по Дарбу. Напомним, что уравнение в частных производных гиперболического типа иху = ¡{х,у,и,их,иу) (0.2) называется интегрируемым по Дарбу, если у него существуют нетривиальные ж-интеграл и ?/-интеграл.

Определение 0.1. Функция ]№{х, у, и, иу, иуу,., дки/дук) называется х-интегралом порядка к для уравнения (0.2), если Ох\¥ = 0 и УУдки/дук ф 0.

Определение 0.2. Функция \¥(х, у, и, их, ихх,., дти/дхт) называется у-интегралом порядка т для уравнения (0.2) если Оу\¥ = 0 и И->«и/г).гт ф 0.

Здесь Их и Иу - операторы полного дифференцирования по переменным х и у соответственно.

Наиболее известный пример уравнения гиперболического типа, интегрируемого по Дарбу, - уравнение Лиувилля и = р" и>Ху - ° 5 интегралами которого являются функции

IV — иуу — 0.5иу2, Ш — ихх — О-б-и^2.

Гиперболические уравнения занимают важное место в теории интегрируемости. Эффективным методом изучения этих уравнений является подход, основанный на понятии так называемого характеристического кольца.

Понятие характеристического кольца Ли впервые появилось в работе Гурса [9], где оно было использовано для решения задачи классификации уравнений гиперболического типа, имеющих нетривиальные интегралы по обоим направлениям. В современном контексте теории интегрируемости понятие характеристического кольца было переоткрыто в работах А.Б.Шабата, Р.И.Ямилова, А.Н.Лезнова, В.Г.Смирнова ([56], [63]). Это направление получило дальнейшее развитие в работах А.В.Жибера, Ф.Х.Мукминова, Р.Д.Муртазиной, А.А.Бормисова, Е.С.Гудковой ([46],[52],[53]).

В работе И.Т.Хабибуллина, Н.А.Желтухиной, А.Пекчан [12] было введено понятие характеристического кольца Ли для дифференциально-разностных и полностью разностных уравнений, что позволило провести классификацию дифференциально-разностных уравнений вида Ь\х = Ьх + £¿(¿,¿1) имеющих интегралы по обоим направлениям (см. [13]).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы, определения и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер главы, а вторая - номер по порядку.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Сакиева, Альфия Ураловна

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Исследована структура я-интегралов и п-интегралов для дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа.

• Доказано, что необходимым и достаточным условием существования нетривиального х-интеграла дифференциально-разностного уравнения гиперболического типа является конечномерность его характеристического кольца Ли по направлению х.

• Исследована проблема дискретизации гиперболических уравнений с сохранением интегралов.

• Получено полное описание базиса характеристической алгебры Ли уравнения Цицейки.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сакиева, Альфия Ураловна, 2012 год

1. Ablowitz M.J., Ladik J.F., Nonlinear differential-difference equations, J. Math. Phys. 16:3 (1975) 598-603.

2. Adler V. E., Startsev S. Ya., On discrete analogues of the Liouville equation, Teoret. Mat. Fizika, 121, no. 2, 271-284 (1999), (English translation: Theoret. and Math. Phys. , 121, no. 2, 1484-1495, (1999)).

3. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4.

4. Dodd R.K. and Bullough R.K., Proc. R. Soc. London, Ser. A 351, 499, (1976).

5. Drinfel'd V. G. and Sokolov V. V., Lie algebras and equations of Korteweg-de Vries type, Journal of Soviet Mathematics, 1985, 30:2, 19752036.

6. Flaschka H., On the Toda lattice. I. Existence of integrals. II. Inverse scattering solution, Phys. Rev. B 9:4 (1974) 1924-1925; Progr. Theor. Phys. 51:3 (1974) 703-716.

7. Goursat E. Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order a deux variables indépendantes. Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

8. Goursat E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2e série, tome 1, n° 1 (1899) p.31-78.

9. Goursat E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2e série, tome 1, n° 1 (1899) p.79-163.

10. Habibullin I.T. Characteristic algebras of fully discrete hyperbolic type equations // Symmetry Integrability Geom.:Methods Appl. 2005.-V. 1. - Paper 023 -9 pages.

11. Habibullin I., Zheltukhina N., Pekcan A., On the classification of Darboux integrable chains, Journal of Math. Phys., 49, Issue: 10, 102702 (2008).

12. Habibullin I., Zheltukhina N., Pekcan A., Complete list of Darboux integrable chains of the form tix =tx + d(t, £i). Journal of Math. Phys., 50, 102710 (2009).

13. Habibullin I. T., C-Series Discrete Chains, Theoretical and Mathematical Physics, 2006, 146:2, pp. 170-182.

14. Habibullin I., Zheltukhina N., Sakieva A. On Darboux integrable semi-discrete chains//Journal of Physics A: Math. Theor.43(2010)434017(14 PP)

15. Habibullin I., Zheltukhina N., Sakieva A. Discretization of hyperbolic type Darboux integrable equations preserving integrability//Journal of Mathematical Physics 52, 093507(2011), (12pp).

16. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. Nonlinear equations reducible to linear equations, J. Phys. Soc. Japan 46 (1979), 312-319.

17. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. I. A difference analog of the Korteweg-de Vries equation, J. Phys, Soc. Japan 43 (1977) 1424-1433.

18. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. II. Discrete-time Toda equation, J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2074-2078.

19. Hirota R., Nonlinear partial difference equations. III. Discrete sine-Gordon equation, J. Phys. Soc. Japan 43 (1977) 2079-2086.

20. Hirota R., Discrete analog of a generalized Toda equation J. Phys. Soc. Japan 50:11 (1981) 3785-3791.

21. Hirota R., Kimura K. Discretization of the Euler top// J. Phys. Soc. Japan, 69, 627-630, 2000.

22. Infeld L., Hull T.E., The factorization method, Rev. Mod. Phys. 23:1 (1951)

23. Inoue R., Hikami K., The lattice Toda field theory for simple Lie algebras: Hamiltonian structure and r-function, Nuclear Physics B 581 PM] (2000)761-775.

24. Kac M., P. van Moerbeke, On an explicitly soluble system of nonlinear differential equations related to certain Toda lattices, Adv. in Math. 16:2 (1975) 160-169.

25. Kalyakin L. A., Asymptotic transitions from discrete to continuous models, Theoretical and Mathematical Physics, V.76, N 3, pp.891-894, DOI: 10.1007/BF01016850.

26. Lainé M. E., Sur une équation de la forme s = pip(x]y\ z;q) integrable par la méthode de Darboux, Comptes rendus, V. 183, 1926, pp.1254-1256.

27. Levi D., Nonlinear differential difference equations as Bïacklund transformations, J. Phys. A 14:5 (1981) 1083-1098.

28. Matveev V.B., Darboux transformation and the explicit solutions of differential-difference and difference-difference evolution equations, I. Lett. Math. Phys. 3:3 (1979) 217-222.

29. Mikhailov A.V., Pis'ma Zh.Eksp. // Theor.Fiz., 1979, v.30, N 7, 443-448

30. Mikhailov A.V., Olshanetsky M. A. and Perelomov A. M., Two-dimensional generalized Toda lattice, Comm. Math. Phys. 79 (1981) 473.

31. Miwa T., On Hirota's difference equations, Proc. Japan Acad., Ser. A: Math. Sci. 58:1 (1982) 9-12.

32. Nijhoff F.W., Theory of integrable three-dimensional nonlinear lattice equations, Lett. Math. Phys. 9:3 (1985) 235-241.

33. Schrodinger E., A method of determining quantum-mechanical eigenvalues and eigenfunctions, Proc. Roy. Irish Acad. A 46 (1940/1941) 9-16.

34. Startsev S. Y., On non-point invertible transformations of difference and differential-difference equations, SIGMA 6 (2010), 092, 14 pages, arXiv : 1010.0361v2nlin.Sl]

35. Suris Yu. B., Generalized Toda chains in discrete time, Leningrad Math. J., 2, 1990, 339-352.

36. Suris Yu. B., The problem of integrable discretization: Hamiltonian approach, 2003

37. Toda M., Vibration of a chain with nonlinear interaction, J. Phys. Soc. Japan 22 (1967) 431-436.

38. Tzitzéica G. Sur une nouvelle classe de surfaces // Comptes rendus Acad. Sci. T. 150. 1910. P. 955-956.

39. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux // J. Math. Pure Appl. 1939; 1942 - V. 18; 21. - № 9. - P. 1 - 61; 1 - 68.

40. Ward R. S., Discrete Toda field equations, Phys. Letts A 199(1995), pp.4548.

41. Yamilov R.I., Symmetries as integrability criteria for differential-difference equations, J. Phys. A 39 (2006) R541-623.

42. Zhiber A. V., Quasilinear hyperbolic equations with an infinite-dimensional symmetry algebra, Russian Acad. Sci. Izv. Math. Vol.45 (1995), No.l.

43. Zhiber A. V. and Sokolov V.V., Exactly integrable hyperbolic equations of Liouville type, (In Russian) Uspekhi Mat. Nauk 56, no. 1 (337), pp.63.106 (2001), (English translation: Russian Math. Surveys, 56, no. 1, pp.61-101 (2001)).

44. Бормисов A.A., Гудкова E.G., Мукминов Ф.Х., Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати//Теорет. и мат. физика, 1997, т.113, N 2, с. 261-275.

45. Веселов А.П., Шабат A.B., Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера, Функц. анализ 27:2 (1993) 1-21.

46. Газизов Р.К., Лукащук В.О., Классификация приближенных алгебр Ли с тремя существенными векторами, Изв. вузов, Матем., 2010, N 10, 3-17

47. Гюрсес М., Жибер A.B., Хабибуллин И.Т. Характеристические кольца Ли дифференциальных уравнений//Уфимский математический журнал, 2012, Т.4, N 1.-С.53-62.

48. Дубровский В.Г., Топовский A.B., Басалаев М.Ю. Новые точные решения двумерных интегрируемых уравнений, полученные с помощью метода д-одевания, ТМФ, 167:3(2011), 377-393.

49. Желтухина H.A., Сакиева А.У., Хабибуллин И.Т. Характеристическая алгебра Ли и интегрируемые по Дарбу дискретные цепочки/ /Уфимский математический журнал, Т.2, N 4(2010).С.39-51.

50. Жибер A.B., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и асимптотики их решений. Уфа:БНЦ УрО АН СССР.-1991.-С. 14-32

51. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. О нелинейных гиперболических уравнениях с характеристической алгеброй медленного роста // Вестник yrATy.-2006.-T.7.-N 2.-С.131-136

52. Жибер A.B., Шабат A.B. Уравнения Клейна-Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН CCCP.-1979.-T.247.-N 5.-С. 1103-1107.

53. Картак В.В. Решение проблемы эквивалентности для уравнений Пе-нлеве I и II, Депонировано ВИНИТИ, 2006, 1-14.

54. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. Группа внутренних симмет-рий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика.-1982.-Т.51.-М 1.-С. 10-22

55. Сакиева А.У. Характеристическое кольцо Ли уравнения Жибера-Шабата-Цицейки/ /Уфимский математический журнал.Т.4.Ы 3(2012). С.155-160.

56. Сакиева А.У. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувил-левского типа//Международная конференция "Спектральная тео99рия операторов n ее приложения посвященная памяти профессора А.Г.Костюченко. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ.-2011. С. 76.

57. Сакиева А.У. Дискретизация гиперболических уравнений Лиувиллев-ского типа / / Между народи ая школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ.-2011. С.221.

58. Хабибуллин И.Т., Пекчан А. Характеристическая алгебра Ли и классификация полудискретных моделей// Теоретическая и математическая физика.-2007.-Т.151.-К 3.-С.413-423.

59. Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Экспоненциальные системы типа I и матрицы Картана // Препринт БФАН СССР, Уфа.-1981.-23 с.

60. Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрии нелинейных цепочек, Алгебра и анализ 2:2 (1990) 183-208.