Нелинейные гиперболические системы уравнений, интегрируемые по Дарбу тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Костригина, Ольга Сергеевна

• Костригина, Ольга Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Костригина, Ольга Сергеевна

Введение

Глава 1. Критерий интегрируемости по Дарбу

§1. X— и у—интегралы нелинейных гиперболических систем уравнений.

§2. Условие конечномерности характеристического кольца Ли

§3. Необходимое условие интегрируемости по Дарбу

Глава 2. Классификация систем уравнений с конечномерными кольцами Ли

§4. Система уравнений иху = /(и, г>), уху = ф(и,у)

§5. Линеаризации гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью.

§6. ЛГ—компонентные системы уравнений с интегралами первого порядка.

§7. Двухкомпонентные системы уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго.

Глава 3. Двухкомпонентные системы уравнений с двумя интегралами первого порядка и двумя второго

§8. Условия существования интегралов.

§9. Классификация систем уравнений.

§10. X— и у—интегралы.

§11. Построение точных решений.

§12. Задача Гурса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные гиперболические системы уравнений, интегрируемые по Дарбу»

Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных гиперболических систем уравнений вида иху = У,и,их,иу), Ъ = 1, 2,., п, и = (и1, и2,., ип). (0.1)

Последние описывают широкий класс нелинейных явлений в самых различных областях теоретической и математической физики.

Изучаемые системы (0.1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли - Беклунда, что позволяет для их классификации использовать "симметрийный" подход (см. [2, б, 29, 30, 31, 41, 42]). Симметрийный метод классификации очень эффективен в случае эволюционных уравнений. Однако, как показано в работах [7, 28], при симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации. Поэтому для эффективного исследования интегрируемости гиперболических систем уравнений необходимо применять иные подходы. Один из таких подходов, обсуждаемый в статьях [1, 25, 27, 43, 46, 47], связан с инвариантами Лапласа.

В данной работе для решения классификационной задачи используется метод, основанный на изучении структуры характеристических алгебр (колец) системы. Идеи этого алгебраического подхода были предложены в классических работах Дарбу, Гурса, Вессио и других авторов (см., например, [48, 49, 50, 56]), однако окончательное его формирование произошло сравнительно недавно (см. [23, 24, 39, 44, 52, 53, 54, 55]).

Важный вклад в развитие этого метода внесла работа Шабата А.Б., Ямилова Р.И. [44], в которой исследовалась система гиперболических уравнений вида ааеи1 + . + аыеиП, г = 1, 2,., п. (0.2)

В этой работе было введено понятие характеристической алгебры Ли векторных полей и было показано, что характеристическая алгебра системы уравнений (0.2) конечномерна тогда и только тогда, когда коэффициенты a,ij определяют матрицу Картана простой алгебры Ли. Далее, в статье Лез-нова А.Н., Смирнова В.Г., Шабата A.B. [39] для систем гиперболических уравнений более общего вида г =1,2,.,п была выдвинута гипотеза о том, что условием интегрируемости в квадратурах является конечномерность ее характеристической алгебры.

Отметим также работу [23], в которой показано, что гиперболические уравнения вида

4 = c)kujvk + фЛ Уу = dk-iujvl + d)u\ г = 1, 2,. ,7г, к = 1, 2,. ,п обладают не одной, а двумя характеристическими алгебрами и эти алгебры естественным образом „склеиваются" в единую алгебру на основе так называемых соотношений нулевой кривизны.

В последнее время понятие характеристической алгебры (кольца) было обобщено на дифференциально-разностные и полностью дискретные уравнения и на этой основе проведена классификация некоторых классов интегрируемых цепочек (см. [52]-[55]).

Определение 0.1. Кольцо Ли есть множество Ь с операциями сложения и умножения, удовлетворяющими условиям: а + Ь = Ъ + а, а + (6 + с) = (а + Ь) + с, а(Ь + с) = аЬ + ас, (Ь + с)а = Ьс + са, аа = 0, (аЪ)с + (6с) а + (са)Ъ = 0.

Существует элемент 0, для которого а + 0 — 0 + а = а для всех а. Существует для любого элемента а противоположный элемент —а со свойством а + (—а) = 0.

Если Ь является векторным пространством над полем К и

7а)Ъ — а^Ь) = 7(аЬ) для а, 6 е Ь, 7 Е К, то Ь называется алгеброй Ли над К.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все теоремы, леммы и формулы занумерованы двумя цифрами, первая из которых означает номер параграфа, а вторая - номер по порядку.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Костригина, Ольга Сергеевна

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Доказан критерий независимости а; (у)—интегралов нелинейной гиперболической системы уравнений. Приведены необходимые и достаточные условия интегрируемости по Дарбу, установлена связь между порядками интегралов системы и размерностью характеристических колец Ли.

• Для решения задачи классификации двухкомпонентных гиперболических систем уравнений с экспоненциальной правой частью предложен подход, основанный на изучении структуры характеристических алгебр Ли линеаризованной системы.

• Для п—компонетной системы уравнений приведены необходимые и достаточные условия существования полного набора интегралов первого порядка. Получен полный список интегрируемых двухкомпонентных систем уравнений, построены их х— и у—интегралы.

• Проведена полная классификация систем уравнений с тремя интегралами первого порядка и одним второго. Приведены явные формулы для х— и у—интегралов этих систем.

• Получен класс нелинейных гиперболических систем уравнений, обладающих двумя интегралами первого порядка и двумя второго. Для найденных систем уравнений построены х— и у— интегралы, общие решения, а также решения задач Гурса.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Костригина, Ольга Сергеевна, 2011 год

1.Э., Старцев С.Я. О дискретных аналогах уравнения Лиувил-ля // Теоретическая и математическая физика. - 1999. - Т. 121. - № 2.- С. 271 284.

2. Адлер В.Э., Шабат A.B., Ямилов Р.И. Симметрийный подход к проблеме интегрируемости // Теоретическая и математическая физика.- 2000. Т. 125. - № 3. - С. 355 - 424.

3. Воронова Ю. Г. О задаче Коши для линейных гиперболических си-\ стем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа

4. Уфимский математический журнал. 2010. - Т. 2. - № 2. - С. 20- 26.

5. Гурьева А. М., Жибер А. В. О характеристическом уравнении ква-4 зилинейной гиперболической системы уравнений // Вестник УГАТУ.- 2005. Т. 6. - № 2 (13). - С. 26 - 33.

6. Жегалов В. И., Миронова J1. Б. Об одной системе уравнений с дву. кратными старшими частными производными // Изв. вузов. Матем. 2007. - Т. 3. - С. 12 - 21.

7. Жибер А. В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий // Известия РАН. Сер. матем. 1994.1. Т. 58. № 4. - С. 33 - 54.

8. Жибер A.B. О полной интегрируемости двумерных динамических систем // Проблемы механики и управления: Сб. статей УНЦ РАН, Уфа. 1994. - 192 с.

9. Жибер A.B., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений с интегралами первого порядка // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону: РГУ. 2006. - С. 228 - 229.i

10. Жибер A.B., Костригина О.С. Интегрируемые двумерные динамические системы и характеристические алгебры Ли // Труды ИМ УНЦ РАН. 2007. - вып. 5. - С. 195 - 201.

11. Жибер A.B., Костригина О.С. О нелинейных гиперболических системах уравнений, интегрируемых по Дарбу // Российская конференция "Математика в современном мире", посвященная 50-летию Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН. Новосибирск: Институт

12. Математики им. СЛ. Соболева СО РАН. 2007. (http: / / math.nsc.ru / conference/conf50/Abstracts.pdf).

13. Жибер A.B., Костригина О.С. Точно интегрируемые модели волновых процессов // Вестник УГАТУ. 2007. - Т. 9. - № 7 (25). - С. 83 -89.

14. Жибер A.B., Костригина О.С. Нелинейные гиперболические системы уравнений и характеристические алгебры Ли!/ Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН . 2009. - С. 131 - 135.

15. Жибер A.B., Костригина О.С. Характеристические алгебры Ли и нелинейные гиперболические системы уравнений // Международная

16. J конференция MOGRAN-13 "Симметрии и точные решения дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений". Тезисы докладов. Уфа: УГАТУ, ИМ с ВЦ УНЦ РАН, ИМ УНЦ РАН. 2009. -С. 15.

17. Жибер А. В., Костригина О. С. Характеристические алгебры нелинейных гиперболических систем уравнений // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. 2010.- Т. 3. -№ 2. - С. 173 - 184.

18. Жибер A.B., Костригина О.С. Задача Гурса для нелинейных гиперболических систем уравнений с интегралами первого и второго порядка // Уфимский математический журнал. 2011 - Том 3. - № 3. - С. 67 - 79.

19. Жибер A.B., Михайлова Ю.Г. О задаче Гурса для гиперболической системы уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа // Вестник УГАТУ. 2007. - Т. 9. - № 3 (21). - С. 136 - 144.

20. Жибер A.B., Мукминов Ф.Х. Квадратичные системы, симметрии, характеристические и полные алгебры // Задачи математической физики и ассимптотика их решений.—Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1991.- С. 14 32.

21. Жибер A.B., Муртазина Р.Д. Характеристические алгебры Ли для уравнения иху = f(u,ux) //ФПМ. Гамильтоновы и лагранжевы системы. Алгебры Ли. 2006. - Т. 12. - № 7. - С. 65 - 78.

22. Жибер A.B., Соколов В.В. Преобразования Лапласа в классификации интегрируемых квазилинейных уравнений // Проблемы механики и управления. Уфа: Уфимский научный центр РАН. - 1995. -№ 2.-С. 51 - 65.

23. Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи мат. наук. 2001. - Т. 56.1. С. 63 - 106.

24. Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Доклады РАН. 1995.- Т. 343. № 6. - С. 746 - 748.

25. ЗОГ Звягин М.Ю. Уравнения второго порядка, приводимые преобразованием Беклунда к гху = 0 // Доклады АН СССР. 1991. - 316(1). -С. 36 - 40.

26. Ибрагимов Н.Х., Шабат А.Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли-Беклунда // Функциональный анализ и его приложения. 1980. - Т. 14. - С. 25 - 36.

27. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений лиувиллевского типа // Материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Уфа: ИМ с ВЦ УНЦ РАН. 2007. - Т. 2. - С. 24 - 25.

28. Костригина О.С. Двухкомпонентные гиперболические системы уравнений экспоненциального типа с конечномерной характеристической алгеброй Ли 11 Уфимский математический журнал. 2009. -Т. 1. - №3 - С. 57 - 64.

29. Лезнов А. Н., Смирнов В. Г., Шабат А. Б. Группа внутренних сим-метрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // Теоретическая и математическая физика. 1982. - Т. 51. -№ 1. - С. 10 - 21.

30. Лезнов А. Н., Шабат А. Б. Условия обрыва рядов теории возмуш>ений

31. Интегрируемые системы. БФАН СССР. 1982. - С. 34 - 44.

32. Михайлов A.B., Шабат A.B., Соколов В.В. Симметрийный подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и-кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. -1990. - С. 213 - 279.

33. Михайлов А.В., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметричный подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // Успехи математических наук. 1987. - Т. 42. - № 4. - С. 3 - 53.

34. Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // Теоретическая и математическая фи1 зика. 2001. - Т. 127. - № 1. - С. 63 - 74.

35. Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method J of Darboux // Duke Math. J. 1997. - V. 89. - № 2. - P. 351 - 375.

36. Anderson I.M., Kamran N. The variational bicomplex for second order scalar partial differential équations in the plane // Duke Math. J. 1997. -V. 87. - №2. -P. 265 - 319.

37. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul infinitésimal. Paris: Gauthier-Villars. - 1896. -V. 1 - 4.

38. Goursat E. Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second order a deux variables indépendantes. Paris: Herman. - 1896, 1898. - Tome I, II.

39. Goursat E. Recherches sur quelques équations aux dérivées partielles du second ordre, Annales de la faculté des Sciences de l'Université de Toulouse 2e série, tome 1, n° 1 (1899) p.31-78.

40. O. S. Kostrigina and A. V. Zhiber Darboux-integrable two-component nonlinear hyperbolic systems of equations //J. Math. Phys. 52, 033503 (2011); doi:10.1063/1.3559134 (32 pages).

41. Habibullin I. Characteristic algebras of fully discrete hypersjlic tyoeequations // Symetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, no 1, paper 023, 9 pages, (2005) //arxiv:SI/0506027

42. Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. On the classification of -Darboux integrable chains // J. Math. Phys. 49 (2008) 102702.

43. Habibullin I., Zheltukhina N. and Pekcan A. Complete list of Darboux integrable chains of the form t\x = tx -fd(Mi) // J. Math. Phys. 50 (2009) 102710.

44. Habibullin I., Zheltukhina N. and Sakieva A. On Darboux-integrable semi-discrete chains //J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010) 434017.

45. Vessiot E. Sur les equations aux derivees partialles du second order, F(x, y,p, q, r, s, t) = 0, inteqrables par la methode de Darboux //J. Math. Pure Appl. 1939; 1942 - V. 18; 21. - № 9. - P. 1 - 61; 1 - 68.