Преобразование Лапласа и дифференциальные подстановки нелинейных гиперболических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кузнецова, Мария Николаевна

• Кузнецова, Мария Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кузнецова, Мария Николаевна

Введение

Глава 1. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения

§1. Преобразование Лапласа первого порядка.

§2. Преобразования Лапласа второго порядка.

§3. Преобразования Лапласа n-го порядка, п > 3.

§4. Периодическая цепочка преобразований Лапласа.

Глава 2. Гиперболические системы нелинейных уравнений и преобразование Лапласа

§5. Гиперболические системы нелинейных уравнений с нулевыми инвариантами Лапласа.

§6. Гиперболические системы нелинейных уравнений, линеаризации которых связаны преобразованием Лапласа

Глава 3. Нелинейные гиперболические уравнения и дифференциальные подстановки

§7. Дифференциальные подстановки v = ip(u, их)

§8. Дифференциальные подстановки и = '0(i>, vx).

§9. Дифференциальные подстановки v — ip(u, их, иу).

§10. Дифференциальные подстановки и = ip(v, vx, vy).

§11. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Преобразование Лапласа и дифференциальные подстановки нелинейных гиперболических уравнений»

На сегодняшний день является открытым вопрос о полной классификации интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида иХу = /О, у, и, их, иу). (0.1)

Этой проблеме посвящено множество работ, в которых понятие интегрируемости рассматривается в различных аспектах.

Самой первой решенной классификационной задачей явилась классификация интегрируемых уравнений Клейна-Гордона иху = Р(у), обладающих высшими симметриями [11]. Симметрии были эффективно использованы в классификационных задачах, касающихся эволюционных уравнений [28, 5, 26, 29, 27, 25, 32, 33]. Поскольку симметрийный подход оказался трудоемким для описания всех интегрируемых нелинейных гиперболических уравнений вида (0.1) развитие получили другие альтернативные методы классификации. Здесь нельзя не отметить недавно появившуюся работу [56], в которой проведена классификация уравнений вида (0.1), обладающих симметриями третьего порядка. Авторы использовали оригинальный подход, принимая в качестве определения уравнений типа синус-Гордона наличие симметрий, являющихся интегрируемыми эволюционными уравнениями третьего порядка, полный список которых известен [28].

Дарбу использовал для исследования интегрируемости уравнения метод каскадного интегрирования Лапласа (см., например, [47, 61, 62]). В работах [42, 43, 10, 8] в качестве определения точно интегрируемого уравнения лиувиллевского типа было выбрано свойство двустороннего обрыва цепочки инвариантов Лапласа линеаризованного уравнения. Более того, в обзоре [10] приведена полная классификация точно интегрируемых уравнений (0.1) лиувиллевского типа и приведен алгоритм нахождения общего решения. В работах [35], [36] были описаны свойства обобщенных инвариантов Лапласа нелинейных уравнений, обладающих дифференциальными подстановками.

Настоящая диссертация посвящена задачам классификации нелинейных гиперболических уравнений вида (0.1) в рамках концепции дифференциальных подстановок. В отличии от вышеупомянутых работ, такой подход позволяет не только классифицировать уравнения вида (0.1), но и обеспечивает список преобразований типа преобразований Миуры и Бэклунда, задача описания которых сама по себе является одной из важных в теории интегрируемых нелинейных уравнений и довольно сложной.

Дифференциальные подстановки типа преобразования Миуры являются общеизвестными преимущественно в теории интегрируемых эволюционных уравнений (см., например, [57, 30, 31, 34]). В знаменитой работе [57] Миура предъявил преобразование у — их — и2, связывающее решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза (мКдФ) щ — иххх ~ 6и2их и уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) г>г = иххх + бш^1. По этой причине указанное преобразование на сегодняшний день носит имя своего автора.

Изначально преобразование Бэклунда [44] обозначилось как обобщение построенного в результате геометрических рассуждений преобразования Биаики-Ли [45, 55]. Не углубляясь в геометрическую сторону вопроса отметим, что последнее переводит поверхность отрицательной постоянной кривизны в поверхность той же кривизны. В классических работах [46, 48, 49] преобразования Бэклунда рассматривались для пары дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и представлялись в виде системы четырех соотношений, связывающих решения указанных уравнений и содержащих независимые переменные, функции и первые производные от функций. Специальный вид четырех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка обуслав

1 Передавая буквально, если и удовлетворяет мКдФ, тогда V удовлетворяет КдФ Если V удовлетворяет КдФ, тогда любое решение уравнения Риккати V = их — и2 является решением мКдФ. ливается требованием совместности системы. Преобразования Бэклунда, связывающие решения пары уравнений позволяют получать решение одного из них, если решение другого известно. Преобразование Бэклунда, переводящее решение уравнения в решения того же уравнения (автопре-образованис Бэклунда) замечательно тем, что позволяет в ряде случаев строить его решения. Так, например, были найдены решения типа со-литонов для уравнения синус-Гордона иху — эт?/. [60, 22]. В работах [38, 39, 40, 41] преобразования Бэклунда использовались для решения краевых задач и построения точных решений эволюционных уравнений.

Частным случаем преобразования Бэклунда для линейных уравнений является преобразование Лапласа. Подробно метод каскадного интегрирования Лапласа неоднократно описан в современных работах (см., например, [10, 14]). Ввиду этого мы обозначим основные идеи этого метода, необходимые для целостного последовательного изложения материала диссертации. Функции да . , дЬ , .

Но — — + ао - с, ко = — + ао - с (0.3) ох оу являются инвариантами при преобразованиях вида у —> у)у (см. [50]) и называются главным,и инвариантами Лапласа уравнения (0.2). Уравнение (0.2) можно представить в виде каждой из систем

Разрешая системы (0.4) и (0.5) в случае когда хотя бы один из инвариантов /¿о, ко тождественно равен нулю, можно построить решение уравнения (0.2) в квадратурах (см., например, [10]). В случае ко = ко = 0 уравнение (0.2) эквивалентно волновому уравнению иху = 0.

Первая дифференциальная подстановка (0.4) задает так называемое у-преобразование Лапласа, которое состоит в переходе от неизвестной у к неизвестной Если /¿о ф 0, тогда исключая неизвестную у из системы (0.4) получаем, что -их удовлетворяет уравнению того же вида, что и исходное щ;+у)тк+61 у)й+С1{х'у])щ =

Здесь а\ = а - (1п /¿о)у, = 6, сг = а\Ь\ + Ьу- /г0.

Главные инварианты Лапласа для уравнения (Е\) определяются формулами

11 = 2/г.о -к0- (1п 1го)Ху, = Н0.

Далее, если главный инвариант уравнения Е\ не обращается в ноль, к уравнению Е\, в свою очередь, можно применить у-преобразование и т.д. Продолжая процесс, получаем цепочку уравнений д2 д д \ ^ У^дх + У^ду + ^)щ = 0> гв ^ коэффициенты и инварианты которых связаны между собой соотношениями: к = О,- 1 - (1п кг-1 )у , Ьг = Ь^ь с, = аФг + (Ь^у - Ы-и (0-6) кг = 2/1г1 ~ Нг-2 ~ (Ь /¿г-О^ , = ^г-1- (0.7)

Здесь ао = а, Ьо = Ь, со = с.

Аналогично, при помощи первой из дифференциальных подстановок (0.5) определяется х-преобразование Лапласа, которое состоит в переходе от неизвестной у к неизвестной у^. Если ко Ф 0, то в результате указанного преобразования получаем уравнение д2 д д \

Здесь a-1 = a, 6i = 6- (1п ко)х, с1 = ai6i + ах - к0. (0.8)

Главные инварианты Лапласа уравнения (Е1) задаются формулами h-i = /со, /с1 = 2/с0 - hQ - (1пко)ху. (0.9)

Если инвариант к-\ Ф 0, можно применить ^-преобразование к уравнению Е-1 и т.д. В результате получим цепочку уравнений д2 д д \

Jh&y + + + ) V~l = 1 G N' ^ коэффициенты и инварианты которых связаны между собой соотношениями: a-i-1 - a-i, = b-i - (ln fc-Oa;, ^

С-г-l = aiib¿i + (а-г)г ~ h-i = 2h-i-i - /¿-г-2 - (ln h—i—i)Xy > = h-i-1. (o.ll)

Таким образом, можно построить последовательность уравнений Е3, Е2, Еь Е0, EI, Е2, ЕЗ, ., (0.12) связанных друг с другом так, что проинтегрировав одно из них, мы проинтегрируем и все другие (через (Ео) обозначено уравнение (0.2)).

Определение 0.1. Множество главных инвариантов hi, i 6 Z уравнений (0.12) называется последовательностью инвариантов Лапласа для уравнения (0.2).

Последовательность инвариантов Лапласа определяется рекуррентной формулой hi = 2hi-! - hi-2 - (ln г)ху , г e Z (0.13) и начальными данными (0.3), при этом k¡ = /¿¿-i

Завершая исторический обзор, отметим, что широкий класс примеров дифференциальных подстановок, связывающих пары нелинейных гиперболических уравнений второго порядка можно найти, например, в работах [10, 56, 14, 35, 36].

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации. Прежде всего обговорим некоторые предположения и введем обозначения, которыми будем пользоваться па протяжении всей диссертации. Все рассмотрения ведутся в классе локально аналитических функций, зависящих от конечного набора динамических переменных х, у, и, щ = иХ: щ = иу: и2 = иХХ1 й2 = иуу,.

Далее, все равенства, в которых фигурирует функция и, должны выполняться тождественно на любом решении и уравнения (0.1), другими словами, буква и всюду обозначает произвольное решение уравнения (0.1). Последнее позволяет любую смешанную производную от и выражать посредством уравнения (0.1) и его дифференциальных следствий через динамические переменные. Нетрудно видеть, что эти переменные нельзя связать между собой при помощи уравнения (0.1), поэтому определяем их как независимые.

Предполагая, что решение и(х, у, т) уравнения (0.1) зависит от некоторого параметра г, введем функцию V — ит. Последняя функция удовлетворяет уравнению рЛ - /„,£> - -/и) у = 0. (0.14)

Здесь использованы обозначения й и Б для операторов полного дифференцирования по переменным хцу соответственно. Дифференцирования И и 5 действуют на множестве локально аналитических функций, зависящих от конечного числа динамических переменных, по следующим правилам:

П(иг)=Щ+1, Й(йг) = Щ+1, ио = йо=и, ¿ = 0,1,2,.,

БВи — /(ж, у, и, щ, щ), [£>,!)] = 0.

Поскольку линеаризованное уравнение (0.14) имеет вид (0.2), а классические определения преобразований и инвариантов Лапласа основаны лишь на свойстве коммутирования операторов частных производных и являются чисто алгебраическими, можно определить преобразования и инварианты Лапласа для уравнения (0.14) и применить все классические формулы, приведенные выше.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Все формулы, определения, леммы и теоремы занумерованы двумя цифрами, первая из которых указывает номер параграфа, вторая - номер по порядку.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Кузнецова, Мария Николаевна

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

• Проведена полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа. Построены преобразования Бэклунда, связывающие решения полученных нелинейных уравнений.

• Доказан критерий периодичности цепочки преобразований Лапласа линейного уравнения. Приведены частные случаи полученного условия в виде систем нелинейных уравнений. Показано, что редукции частных случаев полученных систем приводят к известным уравнениям, интегрируемым методом обратной задачи рассеяния.

• Описаны двухкомпонентные гиперболические системы нелинейных уравнений с нулевыми главными инвариантами Лапласа. Доказано, что полученные системы обладают полным набором х и у-интегралов.

• Получена классификация п-компонентных гиперболических систем нелинейных уравнений специального вида, линеаризации которых связаны преобразованиями Лапласа первого порядка. Для указанных систем построены преобразования Бэклунда.

• Проведена полная классификация нелинейных гиперболических уравнений, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона. Описана алгебра Ли-Бэклунда высших симметрий модифицированного уравнения синус-Гордона.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кузнецова, Мария Николаевна, 2012 год

1. Борисов А.Б., Зыков С.А. Одеваюищя цепочка дискретных симметрии и размножение нелинейных уравнений // ТМФ. - 1998. -Т. 115. - № 2. С. 199 - 214.

2. Гареева Н.В., Жибер A.B. Интегралы второго порядка гиперболических уравнений и эволюционные уравнения // Труды международной конференции "Алгебраические и аналитические методы в теории дифференциальных уравнени". Орел, ОГУ. 1996. - С. 39 - 42.

3. Гюнтер Н. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. Москва: ОНТИ, 1994, С. 340.

4. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж, Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. - 1988. - 694 с.

5. Дринфельд В.Г., Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация эволюционных уравнений пятого порядка, обладающих бесконечной серией законов сохранения // Доклады АН УССР. Сер. А., Физ.-мат. и техн. науки. 1985. - № 10. - С. 8 - 10.

6. Жибер A.B. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечномерной алгеброй симметрии // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. -Т. 58. - № 4. - С. 3 Ц 54.

7. Жибер A.B., Соколов В.В., Старцев С.Я. О нелинейных гиперболических уравнениях, интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН. 1995.- Т. 343. № 6. - С. 746 - 748.

8. Жибер A.B., Соколов В.В. Новый пример гиперболического нелинейного уравнения, обладающего интегралами // ТМФ. 1999. -Т. 120. - № 1. С. 20 - 26.

9. Жибер A.B., Соколов В.В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // УМН. Т. 56. - № 1. - 2001. -С. 63 - 106.

10. Жибер A.B., Шабат А.Б. Уравнения Клейна Гордона с нетривиальной группой // Доклады АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1103 - 1107.

11. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математгьческой физике.- М.: Наука. 1983.

12. Капцов О.В Методы интегрирования уравнений с частными производными // М.: ФИЗМАТЛИТ. 2009.

13. Кузнецова М.Н. Преобразование Лапласа и нелинейные гиперболические уравнения // Уфимский математический журнал. 2009. -Том 1. - № 3. - С. 87 - 96.

14. Кузнецова М.Н. О нелинейных гиперболических уравнениях, связанных дифференциальными подстановками с уравнением Клейна-Гордона // Уфимский математический журнал. 2012. - Том 4. -№ 3. - С. 86 - 103.

15. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат А.Б. Группа внутренних сим-метрий и условия интегрируемости двумерных динамических систем // ТМФ. 1982. - Т. 51. - № 1. - С. 10 - 21.

16. Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. М.: Мир. - 1983.

17. Мешков А.Г. Симметрии скалярных полей. III. Двумерные интегрируемые модели // ТМФ. 1985. - Т. 63. - № 3. - С. 323 - 331.

18. Михайлов A.B., Шабат А.Б. Условия интегрируемости двух уравнений типа ut = А(и)ихх + В{щих). II. // ТМФ. 1986. - Т. 66. -№ 1. - С. 47 - 65.

19. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Соколов В.В. Симметрийиый подход к классификации интегрируемых уравнений // Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Киев: Наукова думка. -1990. - С. 213 - 279.

20. Михайлов A.B., Шабат А.Б., Ямилов Р.И. Симметрийиый подход к классификации нелинейных уравнений. Полные списки интегрируемых систем // УМН. 1987. - Т. 42. - № 4. - С. 3 - 53.

21. Мукминов Ф.Х., Соколов В.В. Интегрируемые эволюционные уравнения со связями. // Мат. сб. 1987. - Т. 133. - № 3. - С. 392 -414.

22. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Об эволюционных уравнениях с нетривиальными законами сохранения // Функц. анализ и его прил. 1982. - Т. 16. - № 4. - С. 86 - 87.

23. Свинолупов С.И., Соколов В.В. Классификация интегрируемых квазилинейных уравнений третьего порядка // Предпринт. Уфа.- 1986.

24. Свинолупов С.И. Эволюционные уравнения второго порядка, обладающие симметриями. // УМН. 1985. - Т. 40. - № 5. - С. 263 -264.

25. Свинолупов С.И., Соколов В.В., Ямилов Р.И. О преобразованиях Беклунда для интегрируемых эволюционных уравнений // Докл. АН СССР. 1983. - Т. 271. - № 4. - С. 802 - 805.

26. Соколов В.В. О симметриях эволюционных уравнений // УМН. -1998. Т. 43. - № 5. С. 133 - 163.

27. Соколов В.В., Мешков А.Г. Интегрируемые эволюционные уравнения с постоянной сепарантой // УМЖ. 2012. - Т. 4 - № 3. - С. 104- 154.

28. Старцев С.Я. О дифференциальных подстановках типа преобразования Миуры // ТМФ. 1998. - Т. 116 - е 3 - С. 336 - 348.

29. Старцев С.Я. Об инвариантах Лапласа гиперболических уравнений, линеаризуемых дифференциальной подстановкой // ТМФ. 1999. -Т. 120. - № 2. - С. 237 - 247.

30. Старцев С.Я. О гиперболических уравнениях, допускающих дифференциальные подстановки // ТМФ. 2001. - Т. 127. - № 1. С. 63 -74.

31. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. 4.2 Трансцендентные функции Москва: ГИФМЛ. - 1963. - 500 с.

32. Хабиров С.В. Решения эволюционных уравнений второго порядка, полученные с помощью дифференциальных подстановок // Матем. проблемы гидродинамики. 1988. - № 85. - С. 146 - 161.

33. Хабиров С.В. Бесконечно параметрические семейства решений нелинейных дифференциальных уравнений. // Математический сборник. 1992. - Т. 183. - № 11. - С. 45 - 54.

34. Хабиров С.В. Преобразования Беклунда эволюционных уравнений // Препринт БФАН СССР. Уфа. 1984. - 34 с.

35. Хабиров С.В. Проблема Беклунда для эволюционных уравнений второго порядка // Препринт БФАН СССР. Уфа. 1986. - 36с.

36. Anderson I.M., Kamran N.7V¿e variational bicomplex for second order scalar partial differential equations in the plañe // Preprint. Montreal: Centre de Recherches Mathematiques, Universite de Montreal. 1994.

37. Anderson I.M., Kamran N .The variational bicomplex for hiperbolic second-order scalar partial differential equations in the plañe // Duke Math. J. 1997. - V. 87. - № 2. - P. 265 - 319.

38. Bácklund A.V. От ytor med konstant negativ krókning. Lunds Universitets Ars-skrift. - 1883. - Bd. 19.

39. Bianchi L. Ricerche sulle superficie a curvatura costante e sulle elicoidi. // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa. 1879. - V. 2. - P. 285.

40. Ciairin J.Sur les transformations de Bäcklund. Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 3e Ser. Suppl. 19. - 1902. - P. 1 - 63.

41. Darboux G. Sur les équations aux: dérivées partielles du second ordre // Ann. Sei. Ecole Norm. Sup. 1870. - V. 7. - P. 163 - 173.

42. Forsyth A.R. Theory of differential equations, Vol. VI, Chap. 21 New York: Dover. - 1959.

43. Goursat E. Le problem de Bäcklund // Memorial des sciences mathématiques, Fase. 6, Paris: Gauthier-Villars. 1925.

44. Goursat E. Leçon sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du second ordre a deux variables indépendantes. Paris: Hermann (1896, 1898). - Vols. I. II.

45. Kuznetsova M.N., Pekcan A. and Zhiber A.V. The Klein-Gordon Equation and Differential Substitutions of the Form v = <p(u, ux, uy) // SIGMA 8 (2012), 090; 37 pages.

46. Lainé M.E. Sur une équation de la forme s = p(f(x, y, z, q) integrable par la méthode de Darboux // Comptes rendus. 1926. - V. 183. - P. 1254 ~ 1256.

47. Lamb G.L. Bäcklund transformations at the turn of the century in Bäcklund transformations, the inverse scattering method, solitons, and their applications. Edited by Miura. New-York: Springer-Verlag. 1976.- P. 69 80.

48. Lie S. Zur Theorie der Flächen konstanter Krümnung, III, IV. // Arch. Math og Naturvidenskab. 1880. - Bd. 5. - Heft 3. - S. 282 - 306, 328- 358.

49. Meshkov A.G., Sokolov V.V. Hyperbolic equations with third-order symmetries // Theor. Math. Phys- V. 166. 2011. - № 1. - P. 43 -57.

50. Miura R. M. Korteveg-de Vries Equation and Generalizations. I. A Remarkable Explicit Nonlinear Transformation // Journal of Mathematical Physics. 1968. - V. 9. - № 8. - P. 1202 - 1204.

51. Shabat A.B. Higher symmetries of two-dimensional lattices // Phys. Lett. A. 1995. - V. 200. - P. 121 - 133.

52. A.A. Soliman, H.A. Abdo New exact solutions of nonlinear variants of the RLN, the PHI-four and Boussinesq equations based on modified extended direct algebraic method arXiv: 1207.5127vl math.NA]

53. Steuerwald R. Uber Enneper'sche Flächen und Bäcklund'sche Transformation Abh. Bayerische Akad. Wiss. (Meunchen). 1936. -Bd. 40. - S. 1 - 105.

54. Vessiot, E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x,y, z,p, q,r, s,t) = 0, integrable par la méthode de Darboux // J. Math, pure appl. 1939. - V. 18. - P. 1 - 61.

55. Vessiot E. Sur les équations aux dérivées partielles du second order, F(x,y,z,p,q,r,s,t) = 0, integrable par la méthode de Darboux // J. Math, pure appl. 1942. - V. 21. - P. 1 - 66.