Некоторые нелинейные задачи рационального использования ресурсов в сельском хозяйстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат физико-математических наук Гараев, Яхя Гусан оглы

• Гараев, Яхя Гусан оглы
• кандидат физико-математических наук
• 1978

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гараев, Яхя Гусан оглы

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕШТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПИСАНИЯ

ВОДНОГО ХОЗЯЙСТВА РЕГИОНА.

§ I. Камерная модель региона

1.1. Выбор интервала осреднения по времени

1.2. Камерная модель Азербайджанской ССР.

§ 2. Построение производственных функций сельскохозяйственных культур

2.1. Влияние удобрений, воды и климатических факторов на развитие хлопчатника

2.2. Различные модели урожайности хлопчатника

2.3. Определение неизвестных параметров и выбор оптимальной модели урожайности

2.4. Результаты расчетов.

§ 3. Производственные функции гидроэнергетики

ГЛАВА П. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФИЦИТНЫХ РЕСУРСОВ В

СЕЛЬСКОМ ХОЗЯЙСТВЕ

§ I. О задаче распределения ресурсов в сельском хозяйстве региона.

§ 2. Математическая формулировка задачи

§ 3. Алгоритм решения задач А, Б и В

3.1. Пояснения к алгоритму

3.2. Модификация алгоритма для решения задач Г, Д и Е.

§ 4. Результаты расчетов на примере Азербайджанской ССР

ГЛАВА Ш. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ПРОВЕРКИ РЕАЛИЗУЕМОСТИ ПРОГРАММЫ РАЗВИТИЯ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РЕГИОНА.

§ I. Постановка задачи

§ 2. Метод решения внешней экстремальной задачи

2.1. Определение соседних вершин множества

2.2. Алгоритм проверки выполнения условия Слейтера

ЗАКЛКНЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые нелинейные задачи рационального использования ресурсов в сельском хозяйстве»

В нашей стране большое внимание уделяется вопросам развития сельского хозяйства. Цель нашей аграрной политики состоит в том, чтобы превратить сельское хозяйство в высокоэффективную и высокопроизводительную отрасль. Огромные возможности для подъема и интенсификации сельскохозяйственного производства заложены в мелиорации земель.

ХХУ съезд, намечая основные направления развития народного хозяйства СССР на 1976-1980гг., отметил: "Ускорить внедрение достижений науки и техники в мелиорацию, обеспечить дальнейшую индустриализацию водохозяйственного строительства и эксплуатационных работ, применение прогрессивной техники полива, автоматизацию и механизацию управлений мелиоративными системами. Обес печить высокоэффективное использование орошаемых и осушенных земель и всемерное повышение урожайности сельскохозяйственных культур на этих землях" [62] .

В результате широкой программы мероприятий по развитию сельского хозяйства в 1976 году площадь орошаемых земель в СССР по сравнению с 1965 годом увеличилась более, чем в полтора раза и достигла 15073 тыс.га (9812) Поставка минеральных удобрений на гектар пашни в 1976 году достигла 79,6 кг (46,8). На развитие сельскохозяйственного производства в X пятилетке направлено 172 млрд. рублей. Объем капитальных вложений государ

В скобках указаны цифры 1965 года [бЗ] . ства и колхозов в сельское хозяйство в 1976 году составляет 29100 (11471) млн.рублей. Из этих денег на водохозяйственное строительство выделено 4929 (1547) млн.рублей, то есть более, чем в три раза больше в сравнении с 1965 годом.

Бурное развитие народного хозяйства СССР и связанное с ним значительное увеличение орошаемых площадей сельскохозяйственных культур делает водные ресурсы в районах развития орошаемого земледелия страны дефицитными. Это, в свою очередь, ставит перед народным хозяйством страны задачу рационального их использования, что невозможно без тщательного изучения всех существенных факторов, определяющих динамику водных ресурсов. Достижению этой цели и способствует математическое моделирование водохозяйственной системы. Наличие математических моделей, адекватно описывающих те или иные причинно-следственные связи, характеризующие "жизнь" водных ресурсов рассматриваемых бассейнов, должно помочь специалистам вырабатывать разумную тактику их использования в тех случаях, когда вследствие многообразия и сложности взаимосвязей, существующих между явлениями, описывающими поведение водных ресурсов, опираться лишь на развитую практикой интуицию недостаточно.

Одним из важных блоков математического моделирования водохозяйственных систем являются модели распределения водных ресурсов между различными потребителями. Как известно, водные ресурсы используются для нужд населения, промышленности, сельского хозяйства, водного транспорта, энергетики и рыбного хозяйства. Таким образом, при распределении водных ресурсов нужно было бы рассматривать общую модель всей водохозяйственной системы, но такая модель была бы необозримой, поскольку моделирование как речного стока, так и любой составной части потребления представляет самостоятельную сложную задачу. По-видимо-му, целесообразно рассматривать независимые модели различных потребителей водных ресурсов, которые определяют количественные и качественные требования к воде, а задачу удовлетворения этих требований решать с помощью модели, описывающей динамику связанной водных ресурсов;с моделями потребителей воды только лишь через их производственные функции, зависящие от водных ресурсов. Естественно, чем больше факторов учтено в производственных функциях, и чем точнее они отражают моделируемый процесс, тем более аргументированным будет решение о распределении водных ресурсов между потребителями. Поскольку в данной работе основное внимание уделено модели распределения ресурсов в сельском хозяйстве, оста новимся на обзоре работ по построению сельскохозяйственных производственных функций.

В настоящее время построению сельскохозяйственных производственных функций посвящено много работ советских авторов [I, 2, 6, 10, 15, 16, 22 , 23 , 34, 41, 42 , 51, 46 , 47 , 52 , 71 -73, 80] .Из работ иностранных авторов наиболее известна ра -бота [76] .

Среди работ советских авторов следует отметить работу Б.Исакова, В.Коробова, Э. Игрона [34^ , в которой проводится анализ применения производственных функций различного вида. Авторы делают вывод, что из числа рассмотренных функций наиболее точно отвечает требованиям сельскохозяйственной практики названная ими кинетическая функция вида

1 1 где

У - величина урожайности, Х^ - количественный показатель ¿-го фактора, аМ - параметры производственных функций, /1 - количество выбранных факторов. Основные попытки построения сельскохозяйственных производственных функций сводятся к подбору видов функций, зависящих от множества влияющих на урожайность факторов, и определения их параметров по методу наименьших квадратов.

Следует отметить, что многие расчеты проводятся без предварительного анализа действия выбранных факторов на величину урожайности без использования профессиональных знаний о формировании урожайности сельскохозяйственных культур.

Обобщая вышеупомянутые работы, можно сказать, что при изучении многофакторных зависимостей используется только лишь два класса функций: линейно зависящие от искомых параметров или "приводимые; к линейному виду. Функции первого класса имеют вид где

X - вектор выбранных факторов. Функции второго класса в общем случае имеют вид пгг, Г(ЧЧ№{) у =а(///(/х,)7 'е (I) которые после логарифмирования превращаются в функции первого класса.

Биологический анализ развития сельскохозяйственных культур показывает, что на формирование их урожайности большое влияние оказывают почвенно-климатические факторы, объем оросительной воды и количество минеральных удобрений, используемых растениями. Несмотря на то, что действие этих факторов на величину урожайности сельскохозяйственных культур в отдельности изучалось, их совместному влиянию ни одной работы не посвящено. Сельскохозяйственная практика показывает, что действие одного из факторов на величину урожайности зависит от уровня других факторов. Например, для получения максимального урожая требуемый объем оросительной воды в основном зависит от суммарной температуры вегетационного периода, так как, чем больше эта температура, тем больше требуется оросительной воды. Используя даже наиболее точнце функции вида (I), построить такие зависимости невозможно. Действительно, зафиксируем Ц-1 фактор. Тогда, максимальная урожайность будет достигаться при некотором значении П -го фактора, которое не зависит от значений зафиксированных факторов.

Такие зависимости для решения задач достижения максимальной урожайности просто необходимы. Этому вопросу посвящена значительная часть первой главы.

Задаче распределения водных ресурсов посвящено много работ. Среди них отметим работы Н.Н.Мечитова, М.И.Гершковича [2 5б] , О.П.Кисарова [43] , Р.Н.Беркович [в] , В.А.Щрдаша, В.Г. Пряжинекой, В.Г.Мамончикова, Ю.Д.Житина, Ж.М.Рыскулова, И.П. Дружинина¡36-40, 66-68 ] , Р.И.Бахтиярова [?] , Б.Г.Коваленко, В.З.Меренкова [45] , Б.С.Верховского, В.А.Сшвака [ 11-14] , Д.П.Лебедева, И.МЛунченнака [49,50] , Е.П.Галямина, П.М. Барановского, С.0.,Сиптиц , И.Н.Милютина, В.К.Вострова [ 18] .

В этих работах рассматривались как линейные, так и нелинейные задачи, как детерминированные, так и стохастические. Отметим то общее, что присуще всем этим задачам.

Во-первых, при распределении водных ресурсов не учитывается один из важнейших факторов - химические удобрения, также влияющие на урожайность.

Во-вторых, во всех этих работах в качестве критерия используются или суммарный доход от реализации продукции или ущерб от недодачи воды, т.е. единый критерий экономического характера.

Такие критерии имеют смысл, например, когда вода распределяется внутри некоторой оросительной системы. В том же случае, когда потребителями воды являются представители различных отраслей хозяйства, и ресурсы распределяются между различными самостоятельными административными единицами, имеющими свой план, такой единый для региона критерий вряд ли применим, Это справедливо даже при распределении воды в пределах одной оросительной систем, в том случае, если нас интересует выход заданного перечня продукции в натуральном исчислении, а не суммарный доход от ее реализации.'„. Б этом случае имеет смысл применять свертку критериев вида £25, 60} - т!П ТТ тах (2)

J У/ где УJ^ - фактический выпуск продукции ] -го типа. у* - плановое задание этой продукции.

В данной работе в качестве критерия распределения ресурсов используются критерии такого типа. Поскольку экономический организм региона является типичным примером открытой экономики, задача развития региона должна решаться на основе программного метода /"57, 59] . Один из способов выработки программы заключается в проведении итерационной процедуры между центром и регис нами. Центр задает региону некоторый план по выпуску продукции и выделяет деньги на выполнение этого плана. В случае невозможности выполнения государственного плана, регион сообщает об этом центру. Центр в данном случае может увеличить объем инвестиций или же уменьшить план по некоторым отраслям. Выделенные инвестиции регион может использовать на освоение новых земель, на строительство новых и реконструкцию старых оросительных систем или же использовать на строительстве заводов, производящих минеральные удобрения. Как использовать эти деньги, чтобы выполнить поставленную задачу? Как проверить, реализуема ли программа? Изучение этих вопросов имеет большое практическое значение. Третья глава диссертационной работы посвящена решению этой проблемы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

Заключение диссертации по теме «Математические и инструментальные методы экономики», Гараев, Яхя Гусан оглы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе рассмотрен некоторый подход к проблеме распределения дефицитных ресурсов в сельском хозяйстве региона.

2. Задача распределения дефицитных ресурсов требует научно обоснованного прогноза будущих урожайностей сельскохозяйственных культур в зависимости от почвенно-климатических факторов, объема оросительных вод и др. В диссертационной работе изложен один подход к построению производственных функций, отражающих процесс формирования урожайности сельскохозяйственных культур. Проведены конкретные расчеты по построению производственных функций на реальной информации. Расчеты показали эффективность предложенного подхода.

3. Приводится один из возможных способов описания территориального распределения водных ресурсов и их потребителей с учетом как природных особенностей, так и административного деления территории - так называемая камерная схема.

Приводится также упрощенное описание функционирования гидроэнергетики.

Общие положения конкретизируются на примере Азербайджанской ССР. Камерная схема Азербайджанской ССР, производственные функции сельскохозяйственных кулвтур и гидроэнергетики в дальнейшем используется в нелинейных моделях рационального использования ресурсов сельского хозяйства.

4. В работе рассмотрено шесть математических постановок задачи распределения дефицитных ресурсов в сельском хозяйстве. Три из них являются задачами нелинейного максимина при линейных ограничениях, две - задачами нелинейного максимина при линейных и нелинейных ограничениях, и одна - задачей максимизации нелинейного функционала при линейных и нелинейных ограничениях.

Решение такого рода задач представляет интерес особенно для районов развитого орошаемого земледелия.

5. Для решения задачи распределения дефицитных ресурсов разработай численный метод, эффективность которого иллюстрируется расчетами.

Предложена модификация алгоритма решения макеиминной задачи Демьянова-Малоземова, позволившая уменьшить время решения этих задач примерно в 20раз.

6. Составлены стандартные программы на языке АЛГОЛ для решения задач распределения дефицитных ресурсов в сельском хозяйстве.

7. Задачи распределения дефицитных ресурсов рассматривались на примере Азербайджанской ССР. Результаты расчетов показали эффективность разработанных алгоритмов и возможность применения предложенных моделей распределения дефицитных ресурсов в масштабе союзной республики.

8. В работе рассмотрен один из подходов проверки реализуемости программы развития сельского хозяйства региона, основан ный на использовании нелинейных зависимостей урожайности сельскохозяйственных культур от основных факторов, влияющих на фор мирование урожая - влагообеспечения, плодородия почвы и т.д. В предложенной постановке задача является оптимизационной задачей с булевыми переменными, причем значения оптимизационной функции являются решением некоторой задачи типа распределения дефицитных ресурсов в сельском хозяйстве. Для решения внешней задачи с булевыми переменными предложен метод локального максимума.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гараев, Яхя Гусан оглы, 1978 год

1. Адомайтис Ю. Влияние различных факторов на производственно-экономические показатели растениеводства. Там же.

2. Азербайджан в цифрах в 1976 году. Краткий статистический справочник. Баку, 1977.

3. Алиев Г.А, Тревожный сигнал. Очерки об охране природы (на азербайджанском языке), Азернешр, Баку, 1976,

4. Атлас Азербайджанской Советской Социалистической Республики. И-921, Баку-Москва 1УГК, 1963,

5. Апарин Н.С., Линковский Ж.Б. К вопросу оптимального использования средств для покупки удобрений в линейной модели. В сб. "Применение математической статистики в экономике сельского хозяйства. Тезисы докладов на научной конференции", Одесса, 1969.

6. БаЗшров Р.И. Оптимизация распределения водных ресурсов между ирригационными районами. "Известия АН Узб,ССР" серия Техн.наук,, № 5, изд-во "ФАН" Уз.ССР, Ташкент, 1973,

7. Беркович Р.Н, Линейные модели оптимальной ирригации. Труда международной конференции "Моделирование экономических процессов" (Ереван,апрель,1974), ВЦ АН СССР, М., 1975,

8. Бехбудов А. Об улучшении использования оросительной воды в орошаемых; районах Азербайджанской ССР. В сб. "Вопросы комплексного использования и охраны водных ресурсов Азербайджанской ССР", изд-во АН Азерб.ССР, Баку, 1963.

9. Ю.Бугуцкий A.A., Синельников Б.С. Многофакторная регрессионная модель динамического ряда урожайности. В сб. "Применение математической статистики в экономике сельского хозяйства. Тезисы докладов на научной конференции". Одесса, 1969.

10. П.Верховский Б.С. Стохастические задачи проектирования систем ирригации. "Экономика и математические методы". т.У1, вып.З, изд-во "Наука", М., 1970.

11. Верховский Б.С. Оптимальное перераспределение водных ресурсов. Там же.

12. И.Верховский Б.С. Оптимальное планирование ирригационной системы в бассейне двух рек. Там же.

13. Возина М.В. Методика прогнозирования урожайности сельскохозяйственных культур на основе производственных функций.

14. В сб. "Применение математической статистики в экономике сельского хозяйства. Тезисы докладов на научной конференции", Одесса, 1969.

15. Внесис А.П. Совершенствование статистического анализа сельскохозяйственного производства с помощью метода термических уровней. Там же.

16. Воропаев Г.В., Киселев B.K. К вопросу об оценке проектных систем перераспределения водных ресурсов. В сб. "Методы системного анализа в проблемах использования водных ресурсов", т.II, ВЦ АН СССР, М., 1976.

17. Галямин Е.П., Барановский ПЛ., Сиптиц С.О., Милютин H.H.ис

18. Воетвов В.К. О принятии решений в проблемах водопользования. Там же.

19. Гараев Я.Г. Построение производственных функций сельскохозяйственных культур. Известия АН Азерб.ССР, серия физико-технических и математических наук, № 3, изд-во "Элм", Баку, 1977.

20. Гараев Я.Г. Распределения дефицитных ресурсов в сельском хо-хяйстве. Сообщение по г прикладной математике, ВЦ АН СССР, М„ 1978.

21. Гараев Я.Г., Киселев В.Г. Нелинейная задача проверки реализуемости программы; развития сельского хозяйства региона. Сообщение по прикладной математике, ВЦ АН СССР, М., 1978.

22. Гаркульские А. Производственные функции для определения плановой себестоимости растениеводческой продукции. В сб. "Использование математических методов и вычислительной техники в сельском хозяйстве", изд-во "Экономика", М., 1968.

23. Гасанов A.C. Влияние предпосевной обработки семян растворами физиологически активных веществ на рост, развитие и урожайность хлопчатника. Ученые записки АГУ им. С.М.Кирова, серия биологических наук, Л 2, Баку, 1961.

24. Гермейер Ю.Б, Введение в теорию исследования операций, изд-во /"Наука", М., 1971.

25. Грибов А.Б., Романовский Н.В. Программирование симплекс-мето-да и его вариантов на АЛГОЛе. Сб. "Оптимальное планирование" вып. 12, Сибирское отделение, изд-во "Наука", Новосибирск, 1968.

26. Гусейнов Д.М., Гусейнов A.A. Применение малых доз ископаемых органических веществ вделях повышения урожайности хлопчатника. ДАН Азерб.ССР, т. XI, $ 2, изд-во АН Азерб.ССР, Баку, 1955.

27. Гусейнов Д.М., Гусейнов A.A. Влияние нефтяного стимулятора на урожай хлопка сырца. ДАН Азерб.ССР, т. Х1У, Л 5, изд-во АН Азерб.ССР, Баку, 1958.

28. Гулякин Н.В. Система применения удобрений. М., 1970.

29. Гюльахмедов Х.О. Применение удобрений на хлопчатник и другие сельскохозяйственные культуры хлопкосеющей зоны Азербайджана Докт.дисс.,Кировобад, 1963.

30. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. изд-во "Наука", М., 1972.

31. Ибрагимова Э.А. О некоторых микроклиматических закономерностях распределений температуры и влажности воздуха на орошаемом хлопковом поле. Ученые записки А1У им. О.М.Кирова, серия геолого-географических наук, № 3, Баку, 1965 *

32. Исаков Б., Коробов В., Игрон Э. Производственные функции и их применение в планировании сельского хозяйства. В сб. "Использование математических методов и вычислительной техники в сельском хозяйстве", изд-во "Экономика", М., 1968.

33. Кабоков М.М., Горбачева Р.Н. Влагообеспеченность и урожай. В сб. "Вопросы водного хозяйства (орошение)", вып. 31, Киргиз, 1973,

34. Кардаш В.А., Пряжинекая В.Г. 0 стохастике задач планированияорошаемого земледелия. В сб. "Оптимальное планирование", вып. 4, изд-во "Наука" Сибирское отделение, Новосибирск, 1966.

35. Кардаш В.А., Пряжинекая В,Г. Планирование использования действующих оросительных систем. Там же.

36. Кардаш В.А., Пряжинекая В.Г. Линейная модель оптимальной внутрихозяйственной организации использования оросительных систем. Экономика и математические методы. Том П, вып. 3, изд-во "Наука", М., 1966.

37. Кардаш В.А. Об учете случайных факторов в анализе планово-экономических проблем орошения. В сб. "Использование математических методов и вычислительной техники в сельском хозяйстве". Изд-во "Экономика", М., 1968.

38. Кардаш В,А. Экономическая оптимизация в орошении. В сб. "Вопросы анализа плановых решений в сельском хозяйстве", ч. П. Новосибирск, 1972.

39. Каштанов Е.Д, Производственные функции валовой продукции растениеводства. В сб. "Применение математической статистикив экономике сельского хозяйства. Тезисы докладов на научной конференции". Одесса, 1969.

40. Кисаров О.П. Планирование размещения орошаемых земель в условиях риска. В сб. "Методы системного анализа в проблемах рационального использования ресурсов". Т. П, ВЦ АН СССР, М., 1976.

41. Киселев В.Г. Численный метод оптимального выбора дискретных измерений. ЖВМ и МФ, т. Х1У, № I, изд-во "Наука", М., 1974.

42. Коробов В.А., Бугера Б.Н. Анализ факторов урожайности и ее прогнозирование с помощью трансцендентной производственнойфункции. "Экономика и математические методы". Т. УШ, №2, изд-во "Наука", М., 1972.

43. Крастин О.П. Методы анализа регрессий и корреляций при определении агроэкономических функций. Рига, 1970.

44. Крицкий С.Н., Менкел М.Ф. Водохозяйственные расчеты. Гидро-метеоиздат. Ленинград, 1952.

45. Лебедев Д.П. Задача рационального вододеления для крупной оросительной системы. "Вопросы проектирования АСУ крупными водохозяйственными комплексами". Труды Института электронных управляющих машин, вып. 14, М., 1971.

46. Лебедев Д.П., Чунгенпак И.М. Планирование орошения в крупной оросительной сети. Там же.

47. Лейерте А, Исследование эффективности удобрений при помощи корреляционно-регрессионного анализа. В сб. "Применение математической статистики в экономике сельского хозяйства". Тезисы докладов на научной конференции" Одесса, 1969.

48. Лынеков И.Н. Производственные функции в прогнозировании информации для обоснования размещения сельского хозяйства в районе. Там же.

49. Мамедов Р.Г. Агрофизическая характеристика почв Приараксин-ской полосы. Изд-во "Элм", Баку, 1970.

50. Мамедов С.Б. Урожайность хлопчатника и ее зависимость от погодных условий. Изв. АН Азерв.ССР, сер. Геолого-географ, науки, № 5, Баку, 1964.

51. Методика обработки результатов многофакторного опыта с удобрениями. Харьков, 1974.

52. Мечитов Н.И. Об оптимальном распределении воды на ирригацию при ее дефиците. Институт научно-технической информации и пропаганды. Тбилиси, 1966.

53. Моисеев H.H. Программный метод и описание региональной экономики. В сб. "Методы системного анализа в проблемах рационального использования водных ресурсов", т. I, ВЦ АН CGCP, М., 1974.

54. Моисеев H.H. и др. Модели речного стока и состояния водной среды. Там же.

55. Моисеев H.H. и др. Методы системного анализа в проблеме рационального использования водных ресурсов. Труды международной конференции "Моделирование экономических процессов " (Ереван, апрель, 1974г.), ВЦ АН СССР, М., 1975.

56. Материалы ХХУ съезда КПСС. Изд-во "Политиздат", М., 1976.

57. Народное хозяйство СССР за 60 лет. Юбилейный статистический ежегодник. Изд-во "Статистика", М., 1977.

58. Первозванский A.A. Математические модели в управлении производством. Изд-во "Наука", М,, 1975.

59. По лак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход, изд-во "Мир", М., 1974.

60. Пряжинская В.Г., Мамончиков B.C., Житин Ю.Д. Об одной математической модели использования водных ресурсов. Труды Международной конференции "Моделирование экономических процессов" (Ереван, апрель, 1974). ВЦ АН СССР, М., 1975.

61. Пряжинская В. Г., Рыекуяов S.M., Дружинин Н.П. Математическая модель для выбора варианта водного хозяйства Государства.

62. В сб. "Методы системного анализа в проблемах рационального использования водных ресурсов", т. П, ВЦ АН СССР, М., 1976.

63. Рустамов Н.Г. Водохозяйственная служба Азербайджанской ССР и ее задачи по комплексному использованию и охране водных ресурсов. В сб. "Вопросы комплексного использования водных ресурсов Азербайджанской ССР", изд-во АН Азерб.ССР, Баку, 1963.

64. Тимирязев К.А. Физиология растений как основа рационального земледелия. Изд.соч. т. П, изд-во "Сеяьхозгиз", М., 1948.

65. Трегубов К.Г., Жорнист Л.И., Тимчуренко А.Н. Об экономических характеристиках производственных функций. В сб. "Применение математической статистики в экономике сельского хозяйства. Тезисы докладов на научной конференции". Одесса, 1969.

66. Трегубов К.Г. , Жорнист Л.И. О предельном анализе производственной функции "урожай-агротехника" В сб. "Экономико-математические методы и ЭВМ в сельском хозяйстве. Тезисы докладов научного совещания, состоявшегося 26-29 мая 1970г."ч. I, Вильнюс, 1970.

67. Трегубов К., Писаренко А. Использование производственных функций для установления коэффициентов эффективности (оценок. в задачах математического программирования. Там же.

68. Фиакко А., Мак-Коримк Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации, йз-дво "Мир", М., 1972.

69. Фишер P.A. Статистические методы для исследователей. Госстат-издат, М., 1958.

70. Хеди Э., Диллов Д. Производственные функции в сельском хозяйстве. Изд-во "Прогресс", М., 1965.

71. Хлопководство в Азербайджане (на азербайджанском языке) Азернешр» Баку, 1965.

72. Цветков Е.В. Расчет оптимального регулирования стока водохранилищами электростанций на ЦВМ. изд-во "Энергия", М.,1967.

73. Черемиеинов Г.А. Разумное использование удобрений. М., 1964.

74. Энобов А.Д. Климатические ресурсы Азербайджанской ССР и их использование в земледелии. Докт.диссерт. Баку, 1970.

75. Юдин Д.Б. , Гольштейн Е.Г. Линейное программирование. Теория и конечные методы, изд-во "Физматгиз", М., 1963.