Некоторые классы дискретных сверток и связанных с ними краевых задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Васильев Александр Владимирович

• Васильев Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Васильев Александр Владимирович

Введение

Глава 1. Дискретные операторы типа свертки

1.1. Введение

1.2. Дис^втный сингyляpный интeгpaльный oпepaтop

1.3. Симвoлы oпepaтopoв и oбpaтимoсть

1.4. Ощнки дискpeтныx oпepaтopoв

1.4.1. Дискpeтныe фyнкциoнaльныe пpoстpaнствa и oцeнки дискpeт-

ныx oпepaтopoв

1.4.2 Пpинципиaльныe oцeнки интeгpaлoв

1.5. Ощнки пoгpeшнoсти дискpeтизaции

1.6. Ощн^ пoгpeшнoсти дискpeтнoгo peшeния

Глава 2. Периодическая задача Римана

2.1. Введение

2.2. Дискpeтнoe пpeoбpaзoвaниe Фypьe и свepткa

2.3. Пoстaнoвкa и peшeниe пepиoдичeскoй зaдaчи Римaнa

2.3.1 Связь кpaeвoй зaдaчи Римaнa с eё пepиoдичeским aнaлoгoм

2.3.2 Кaнoничeскaя функция

2.3.3 Рeшeниe oднopoднoй зaдaчи

2.3.4 Рeшeниe нeoднopoднoй зaдaчи

2.4. Хapaктepистичeскoe сингyляpнoe интeгpaльнoe ypaвнeниe е ядpoм

Гильбepтa

Глава 3. Дискретные уравнения в полупространстве

3.1. Введение

3.2. Предпосылки

3.3. Дискpeтныe ypaвнeния нa пoлyoси

3.4. Пepиoдичeскaя зaдaчa Римaнa

3.5. Случай полуоси

3.6. Слyчaй пoлyпpoстpaнствa

3.7. Внoвь дискpeтный слyчaй

3.8. От дискpeтнoгo к кoнтинyaльнoмy

3.8.1. Слyчaй сyммиpyeмoгo ядpa

3.9. Вычислитeльныe aлгopитмы

Глава 4. Некоторые дополнения и обобщения

4.1. Рaзнoстныe ypaвнeния

4.2. Многомерные разностные уравнения

4.3. Диcкpeтныe пceвдoдиффepeнциaльныe ypaвнeния

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые классы дискретных сверток и связанных с ними краевых задач»

Введение

Актуальность темы исследования. Понятие свертки является одним из ключевых математических понятий, которое широко используется также и вне математики. Операторы свертки возникают в самых неожиданных местах и самых различных разделах науки [25, 27, 31, 33, 34, 54, 60, 61, 62, 63, 72, 73, 75, 77, 78, 80]. Мы здесь затронем только некоторые математические аспекты возникающих многочисленных вопросов, а именно, уравнения в свертках и методы их решения.

Под сверткой двух суммируемых функций /,д € Ь2('Нт) понимается следующий интеграл

(I * 9){х) = ! /(х — у)д(y)dy,

я.т

который в образах Фурье представляет собой произведение двух функций / и д. Это замечательное свойство свертки и преобразования Фурье позволяет немедленно свести задачу обращения интегрального оператора свертки

К : и(х) I—> ! К(х — у)и(у)(1у (1)

и™

с заданным ядром К(х) к задаче обращения оператора умножения на функцию К(^), действующего в образах Фурье,

й(Ц) —^ К(£№). (2)

С оператором (1) связано соответствующее уравнение в свертках

аи(х) + J К(х — у)и(у)(1у = у(х), х € Ит, а € С, (3)

ит

которое просто решается применением преобразования Фурье.

Оператор (2) возникает только тогда, когда ядро К(х) представляет собой суммируемую функцию. Однако большой интерес представляют свертки с ядрами Кальдерона - Зигмунда, которые имеют несуммируемую особенность. Такие

операторы начали систематически изучаться в работах А. П. Кальдерона и А. Зигмунда, в которых также были описаны их многочисленные приложения [81]. Оказалось, что и такие операторы в пространствах Ь2(Ит) можно описывать формулой (2) , и это позволило в дальнейшем построить соответствующее символическое исчисление и предложить действенное обобщение (которое теперь называется теорией псевдодифференциальных операторов), включающее в себя как операторы типа свертки, так и дифференциальные операторы [64, 66, 68].

Если рассмотреть уравнение в свертках (3), то, по крайней мере формально, нужно проделать следующие операции: применить преобразование Фурье к (3) (для этого придется вычислить К(£)) и получить уравнение

(а + К(£ )№ ) = Щ),

решить его

и(£) = (а + К(£ ))—1Щ),

при условии эллиптичности а + К(£) = 0,У^ € Ит, затем найти обратное преобразование Фурье М(х) функции (а + К(£))-1, и записать ответ в виде свертки

и(х) = ! М(х — у)у(у)(1у. ит

Здесь сразу возникает несколько проблем, главная из которых - это вычисление нужных преобразований Фурье. Поскольку это сопряжено с известными трудностями, актуален вопрос о приближенном решении таких уравнений.

Степень её разработанности. Приближенные методы решения уравнений в свертках и связанных с ними типов уравнений рассматривались во многих работах [5, 6, 21, 23, 26, 29, 34, 36, 38, 39, 45, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 71, 72, 73, 78]. В основном, в упомянутых работах рассматривались одномерные уравнения вида

ь

аф) + ! К(Х — = Х е [а,6], (4)

а

либо (когда ядро сингулярное)

а(х)и(х) +

Г u{y)dy

L X - у

v(x), х Е L,

(5)

где Ь - гладкий контур в комплексной плоскости С или отрезок [а,Ь].

Многомерные уравнения в свертках (или типа свертки, где ядро интеграль-

женного решения и обоснования сходимости приближенного решения к точному исследованы мало. Здесь, в первую очередь, следует упомянуть работы И.Ц. Гохберга, Л.С. Гольденштейна, А.В. Козака, И.Б. Симоненко, связанные с проекционными методами решения уравненийв свертках. Кроме того, в работах З. Пресдорфа, Б. Зильбермана, В. Диденко разработаны абстрактные операторные схемы, позволяющие исследовать вопросы обоснования проекционных для общих операторных уравнений, однако применимость этих методов для уравнений в свертках установлена лишь в одномерном случае.

Общая схема проекционных методов для операторного уравнения

с линейным ограниченным оператором А : В ^ В, действующим в банаховом пространстве В, выглядит следующим образом. Выбирается семейство конечномерных подпространств В^ в банаховом пространстве В, исчерпывающих В, и проектор Р^ : В ^ В^, и строится аппроксимирующее уравнение

в конечномерном пространстве В^, и, далее, доказывается следующее утверждение: если уравнение (6) однозначно разрешимо для любой правой части V € В (оператор обратим в проствранстве В), то для достаточно больших N уравнение (7) также имеет единственное решение в пространстве В^ (оператор РVАРм обратим в пространстве В^ ). При этом вопрос о скорости сходимости аппроксимирующих решений не рассматривается.

ного оператора К(х) зависит от разности аргументов) с точки зрения прибли

Au = v, v Е В

(6)

Pn AUn = Pn v

(7)

Не все так просто с точки зрения компьютерных вычислений. Проблема заключается том, что компьютер может работать только с дискретными и конечными величинами. В связи с этим мы рассматриваем следующую цепочку последовательной редукции континуального уравнения (3) к конечной системе линейных алгебраических уравнений: уравнение (3) —> дискретное уравнение в свертках —> конечная система линейных алгебраических уравнений. Здесь мы рассмотрим первую редукцию и наметим путь для осуществления второй.

Цель и задачи диссертационной работы. Исследование разрешимости дискретных уравнений с ядрами Кальдерона - Зигмунда, обоснование предельного перехода от дискретного к континуальному случаю, получению оценок погрешности дискретных решений.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для последующего развития более общей теории дискретных интегро-дифференци-альных уравнений и дискретной теории краевых задач. Они также могут быть использованы для численного решения различных классов сингулярных интегральных уравнений.

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы функционального анализа, теории краевых задач и интегральных уравнений, методы преобразования Фурье.

Положения, выносимые на защиту:

1. Оценка погрешности дискретных решений в дискретных аналогах пространств Гельдера с весом.

2. Теория периодической задачи Римана.

3. Построение теории разрешимости дискретных уравнений со специальными ядрами.

4. Обоснование разрешимости дискретного уравнения в случае разреши-

мости его континуального аналога.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность результатов основывается на строго доказанных математических фактах, которые многократно использовались и применялись в других математических исследованиях.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- молодежной научной конференции «Ломоносов» в МГУ в 2010, 2011 гг;

- молодежной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс» в Новосибирске в 2009, 2010, 2011 гг.;

- молодежной научной конференции МФТИ в 2009, 2010 гг.;

- международном симпозиуме «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики» (Харьков - Херсон, Украина) в 2009, 2011, 2013 гг.;

- международной школе - семинаре «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики», Орел, в 2009, 2010 гг.;

- ISAAC Со^геээ, Моэеош, Russia, 2011; Krakow, Ро1ап^ 2013;

- Аппиа1 Меейп§ о£ GAMM, Graz, Austria, 2011, Darmstadt, Geгmany, 2012; ^vi Sad, Seгbia, 2013, Ег1ап§еп, Geгmany,2014;

- «Комплексный анализ и его применения в дифференциальных уравнениях и теории чисел», Белгород, Россия, 2011;

- «Дифференциальные уравнения и их приложения», Белгород, Россия,

2013;

- «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М. М. Лаврентьева, 05-12 августа 2012 г. Новосибирск (Россия);

- «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», 3-7 октября 2011 г. Уфа, Россия;

- «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик, Терскол, 2010, 2012 гг.;

- «Mathematical Modelling», Vienna, Austria, 15-17 February 2012;

- 6th International Conference on Dynamic Systems and Applications. 25-29 May 2011, Atlanta, Georgia, USA;

- «Мoдeлиpoвaниe и aнaлиз инфopмaциoнныx racTeM», Яpoслaвль, Poccth, 6-7 фeвpaля 2012;

- «Фyнкциoнaльныe npocTpaHCTBa. Диффepeнциaльныe oпepaтopы. Обш^я тoпoлoгия. Пpoблeмы мaтeмaтичecкoгo oбpaзoвaния.», пocвящeннoй 90-лeтию co дня poждeния Л.Д. Кyдpявцeвa. MocKBa, РУДН, 25-29 MapTa 2013 г.;

- «Actual Problems of Mathematics and Informatics», May 29-31, Baku, Azerbaijan;

- «Dynamic System Modeling and Stability Investigation», Kiev, Ukraine, May 29-31, 2013;

- «CoBpeMeHHbie мeтoды тeopии функций и cмeжныe пpoблeмы», Вopoнeж, Poc™,2013;

- «Coвpeмeнныe мeтoды тeopии кpaeвыx зaдaч. Пoнтpягинcкиe чтeния-XXIV», Вopoнeж, Рoccия, 2013;

- «Кoлмoгopoвcкиe чтeния», Тaмбoв, 2013;

- Кaзaнcкaя лeтняя шкoлa-кoнфepeнция «Тeopия функций, ee пpилoжeния и cмeжныe вoпpocы». Ka3aHb, Рoccия, 2013, 2014 гг.;

- «Диффepeнциaльныe ypaвнeния и их пpилoжeния». CaMapa, Рoccия, 1-3 июля 2013;

- Symposium on Differential Equations and Difference Equations, 5-8 September 2014, Homburg/Saar, Germany;

- International Conference on Computational Methods in Applied Mathematics, St. Wolfgang Federal Institute for Adult Education, Austria, 28 September - 4 October 2014;

- Conference on Differential and Difference Equations and Applications 2014, Jasna, Slovak Republic, June 23 - 27, 2014;

- Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: материалы Один-

надцатой междунар. Казанской летней науч. шк.-конф., Казань, 22-28 августа 2013 г. Краевые задачи и дискретные уравнения;

- Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM). - 2013. - Vol. 2013, № 1, special issue : 84th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Novi Sad, Serbia, 18-22, March 2013. Approximation rate and invertibility for some singular integral operators;

- Задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций: материалы междунар. науч. конф., Казань, 29 сентября - 1 октября 2014 г. Дискретные аппроксимации для некоторых операторов типа свертки;

- Теория управления и математическое моделирование: тезисы докладов всерос. конф. с междунар. участием, посвящ. памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова, Ижевск, 9-11 июня 2015 г. / Удмуртский гос. ун-т ; редкол.: А.С. Банников [и др.]. - Ижевск, 2015. О разностных и дискретных уравнениях;

- Современные проблемы физико-математических наук: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции c международным участием, Орел, 4 - 5 декабря 2020 г. О некоторых уравнениях типа свертки в дискретных функциональных пространствах;

- Современные проблемы физико-математических наук: Материалы VI Всероссийской научно-практической конференции c международным участием, Орел, 4 - 5 декабря 2020 г. О некоторых представлениях решений дискретных псевдодифференциальных уравнений;

- сeминapax пpoфeссopa А. П. Сoлдaтoвa в Бeлгopoдскoм гoсyдapствeннoм yнивepситeтe;

- сeминapax пpoфeссopa В. Б. Вaсильeвa в Литец^м гoсyдapствeннoм тex-ничeскoм yнивepситeтe.

Публикации. Публи^ции пo тeмe диссepтaции oтpaжeны в [7] - [19], [82] - [96]. 6 рaбoт [7, 9, 12, 13, 14, 16] oпyбликoвaны в жypнaлax из спис^ ВАК, 13 paбoт [17, 82, 83, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 93, 94, 95, 96] - в зapyбeжныx peцeнзиpyeмыx жypнaлax. В сoвмeстныx paбoтax В. Б. Вaсильeвy пpинaдлeжит

постановка задачи и выбор метода исследования, а соискателю - реализация выбранных методик.

Прейдём к изложению содержания диссертации, котороая состоит из ведения, 4 глав и списка литературы. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул. Они нумеруются двумя позициями: первая указывает на номер параграфа, а вторая на порядковый номер внутри параграфа.

Введение содержит обзор некоторых результатов, связанных с дискретными операторами и уравнениями, а также методами дискретизации сингулярных интегралов. Здесь приведен краткий исторический обзор по теме диссертации, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, формулируется цель диссертационной работы, апробация работы, публикации по теме диссертации и личный вклад автора в совместные работы, описывается ее структура и кратко излагается содержание основных результатов.

В главе 1 вводятся основные дискретные объекты, функциональные пространства и операторы, и исследуются вопросы равномерной ограниченности этих операторов в выбранных функциональных пространствах.

Определение 0.1. Функция К(х,у), определенная на Ит х (Ит \ {0}), называется ядром Кальдерона-Зигмунда, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. К(х,гх) = ГтК(х,у), Ух € Ит, Уг> 0;

2. / К(х,и) = 0, Ух € Кт;

дт-1

3. \К(х,у)\ < С, К(х,и) дифференцируема на Бт-1, Ух € Ит,

единичная сфера в т-мерном пространстве, С - постоянная.

В т-мерном пространстве Ит определим целочисленную решетку Zm, полагаем К (0) = 0 и обозначаем К а сужение ядра К (х) на Ь%т,к > 0, и& - функция дискретного аргумента, определенная на решетке

Для многомерного сингулярного интегрального оператора

(Ки)(х) = у.р^ К(х — у)и(у)(1у ит

мы предлагаем рассмотреть следующий дискретный аналог

(К3и3)(х)= ^ Ка(х — у)[и3(у) — щ(х)] Кт, 5 е КЪт,

уеЬХт

и, наконец, сумма ряда понимается как предел частичных сумм

Нш У^ Ка(х — у) [иа(у) — ил(х)\ Ьт,

где

(^м = | ж е Вт : шах Ьк |< N1 .

[ 1<к<т )

Символом мы будем обозначать гильбертово пространство функций дискретного аргумента Ь2(кЪт) со скалярным произведением

(иА,Уа)= ил(х)ъ<1 (х)

теЬХт

и соответствующей нормой

х 1/2

\2и'т

Ы\ц = ( ^ \ud(x)\2hm]

\T£hZm )

Теорема 0.1. Имеет мeстo оценка \\^dMd\\l2 < с\\^d\\l2, где пoстoяннaя с ne зависит от h.

Определение 0.2. Символом оператора К называется преобразование Фурье ядра К(х) в смысле главного значения

) = lim [ К (х)е^ ^dx.

£ J

£<\x\<n

С дискpeтным oпepaтopoм Kd мы тoжe свяжeм симвoл ad(£,), ^e £ G [—:Kh-1 ,nh-1 }m, oпpeдeляeмый мнoгoмepным pядoм Фypьe

°d(Z) = ^ К(х)е~гХ*hm,

rehZm

где частичные суммы берутся по дискретным кубам П hZm, и которые представляют собой периодическую функцию в Ит с основным кубом периодов [-пК—1,пК-1 ]т [59].

Соответственно, символом дискретного сингулярного уравнения

(а1 + Кл)ил = юа, (8)

мы называем функцию а + ), £ € [—кК—1,кК—1]т.

Подробное исследование и сравнение дискретных и континуальных символов проводится в главе 3.

Пусть И = 'Кт. Определим дискретное пространство Н'^(КЪт) как пространство функций дискретного аргумента иг](х) со следующим весом ш(х) = (1 + \х\)а и нормой:

\Ы\ал = \\и • ил\\1, 0 1, 0 < а + 7<т,

где . _ _ .

и и I г~м , Г^ — щ(У)1 Падк = тах \щ(х)\ + ]-———-1.

х€кЪт х,у€кЪт \Х — у\

Теорема 0.2. Оператор ограничено действует в пространстве Н®(Ь^т), и его норма не зависит от К.

Теперь положим В = И™ = {х € Ит : (х\,... ,хт), хт > 0}.

Обозначим х' = (х\,... ,хт—\), и рассмотрим весовую функцию вида

^> = (1 + 1 >" (щт)',

Z™ — дискретное полупространство {х € Zm : х > 0}.

Определим дискретное пространство Н®'!3(hZ+m) как пространство функций дискретного аргумента иа(х)с нормой

\ \ \ \ афл =\ \ и • ил \ \ 7, 0 <^< 1, 0 < а + 7<т, + 1.

Теорема 0.3. Оператор Ки ограниченно действует в Н®'3и его норма не зависит от К.

Обозначим Ри оператор сужения на решетку hZm, т.е. оператор, сопоставляющий каждой функции, определенной на Ит, набор ее дискретных значений в узлах решетки hZm.

Определение 0.3. Мерой аппроксимации операторов К и К^ в линейном нормированном пространстве X функций, определенных на Ит, называется операторная норма

\ РНК — КЛРЫ\х,

а'

где Х& - нормированное пространство функций, определенных на решетке hZm с нормой, индуцированной нормой пространства X.

В качестве пространства X^ наряду с пространством мы будем использовать пространство Си, которое представляет собой пространство функций и^ дискретного аргумента х € с нормой

\ \ иЛ \ \ С\=шах \ и<1(^) \.

Другими словами, пространство Си будет являться пространством сужений функций и € С(Ит) на узлы решетки hZm. Здесь стоит заметить, что оператор К не будет ограничен в пространстве С(Ит), однако данный оператор будет ограничен в пространстве Ь2(&т), и хорошо известен тот факт, что если правая часть уравнения (3) будет обладать какой-то гладкостью (например, удовлетворяет условию Гельдера), то решение нашего уравнения (3) (если оно существует в Ь2(Кт)) будет обладать такой же гладкостью [77].

Определим теперь дискретное пространство Си(а,Р) как пространство функций дискретного аргумента х € hZm с конечной нормой

\ иЛ \ \ С\(а,3) = \ \иа\ \ С + йир

\ х — у \а

£,уенхт (тах{1 + \ х\, 1 + \у\})

3

удовлетворяющих условиям

К(ж)| <

(1 + 1~х\)13—а'

— у1

(шах{1 + |ж|, 1 + 1у1})''

1щ(х)—щ(у)1 < С--1 —У\-р, Ух,у е кЪт, а, 3 > 0, 0 <а < 1.

Континуальным аналогом этих пространств служит пространство Нра^И1^) функций, непрерывных на И т и удовлетворяющих условиям Гёльдера с показателем 0 < а < 1 и с весом (1 + |ж|)р (см. [1]). Из результатов [1], в частности вытекает, что оператор К является линейным ограниченным оператором К : Щ(Кт) ^ Щ(Кт) при условии т< 3 <а + т. Для пространств Си(а,3) имеет место

Теорема 0.4. Справедлива оценка

^КвЦ^^^аф) < c\|Ud||ch(a,iв), т < 3 < а + т, постоянная с не зависит от К.

Мы дадим оценку меры аппроксимации операторов К и К^ в пространстве Сь(а, 3). Это позволит дать оценку погрешности решения при замене континуального оператора К его дискретным аналогом К

Теорема 0.5. Для меры аппроксимации операторов К и К^ справедлива оценка

ЦРнК — К^нЦсъЫ) < сКа, где постоянная с не зависит от К, а < а, 3 >

Теорема 0.6. Для дискретного решения справедлива оценка

1и(х) — щ(х) | < сКа.

Глава 2 диссертации посвящена исследования специального периодического аналога классической краевой задачи Римана, которая естественным образом возникает при изучении дискретных сверток с помощью дискретного преобразования Фурье.

Пусть П+, П- - верхняя и нижняя полуполоса в комплексной плоскости

С:

П± = {г е С = г + гв, ¿е [—к;к] , ±в > 0}

Под периодической задачей Римана мы будем понимать следующую задачу: найти пару Ф±(^) аналитических в П± функций, граничные значения которых при в ^ 0± удовлетворяют на отрезке [—к; к] следующему линейному соотношению

Ф+а) = са)Ф-а)+да), ¿е [—к; к], (9)

где С(Ь), д(Ь) - заданные на [—к ;к] функции С(—к) = С(к),д (—к) = д(к). Для решения данной задачи вводится интеграл вида:

к

1 Г х — %

Ф(^ = 4кг г е ^

—к

аналогичный интегралу типа Коши. Далее желательно иметь в распоряжении аналог формул Сохоцкого [24, 49].

Теорема 0.7. Пусть (р(Ь) удовлетворяет условию Гёльдера на отрезке[—к; к], <р(—к) = <р(к). Тогда (г = Ь + гв) Ф(^) имеет граничные значения Ф±^) при, з ^ 0± которые выражаются формулами:

к

ф+м = ¿¡1 +т+с,

— к

к

Ф—(Т) = ¿¡1 А — ^ + с;

— к

интеграл понимается в смысле главного значения.

Теорема 0.8. Если индекс ж задачи для полосы неотрицателен, то однородная задача имеет ж+1 линейно независимых решений:

ф+(г) = S-(z)er+(z\ Ф-(г) = e-izmS-(z)er-(z) (k = 0,1, 2, 3,..., ж).

Общее решение содержит ж + 1 произвольных постоянных. При отрицательном индексе задача неразрешима.

Теорема 0.9. В случае неотрицательного ж неоднородная задача для полосы разрешима при любой правой части, и ее общее решение дается формулой

к

ф( = M-f g^Tdt + X ОS-М-

- ■

В случае ж < 0 неоднородная задача, вообще говоря, неразрешима. Для того, чтобы она была разрешима, необходимо и достаточно, чтобы правая часть удовлетворяла —ж — 1 условиям разрешимости (1.4). При выполнении этих условий решение дается формулой

к

_ . X(z) Г g(t) t — z Ф(г) = -^У- et g—-— dt.

w Ш J X+(t) У 2

—к

Характеристическим сингулярным интегральным уравнением с ядром Гильберта мы называем следующее уравнение

к

a>(tMt) + ctg^2T^(T)dT = ^(*), 1 G [—п,п]. (10)

— к

Как и в классическом случае [24, 49] легко связать с этим уравнением определенную периодическую краевую задачу Римана. Именно, согласно формулам Сохоцкого, функция

к

1

ф(z) = 2ш]сц^г^1

к

аналитична в полуполосах П±, и ee граничные значения связаны соотношением

Ф+(1) = С(ф-(t)+g(t),

где

G{t) = т - вд, т = т

a(t) + b(ty a(t) + b(t)'

Обратно, если имеется периодическая краевая задача (9), легко составить

соответствующее характеристическое сингулярное интегральное уравнение (10)

к

1/2(1+ G(t))^(t) + 1^G!^I Ct3= 9(t)-

- ■

В главе 3 диссертации исследуются дискретные свертки по полупространству с ядрами Кальдерона - Зигмунда с точки зрения их разрешимости, описывается их связь с периодической задачей Римана с параметром и проводится сравнение с континуальным случаем. Рассмотрим функцию

■

- ■

и предположим, что ф(Ь) удовлетворяет условию Гельдера на [-П'П],

\ф(11) -ф(12)\<c\t 1 - t2\a,

Vtьt2 е [-П'П], 0 < а < 1, ф(-тт) = ф(тт).

Граничные значения (s ^ ±0) могут быть получены переходом от отрезка [-Ж'Ж] к единичнойокружности и последующим применением классических формул Племеля - Сохоцкого. В качестве результата мы получаем следующее утверждение.

Теорема 0.10. Справедливы формулы

■

ф±Ю = ± + 2bv.pJ ctg

- ■

где Ф±(С) представляют собой граничные значения Ф±(С) при s ^ ±0.

Эти формулы приводят нас к следующей постановке периодической краевой задачи Римана: найти пару функций Ф±(;г), аналитических в полуполосах

П± = {г € С : х = г + {б, г € [—к, к], ±в > 0},

граничные значения которых связаны линейным соотношением

Ф+(г) = С(г)ф—(г) + д(г), г € [—к,к],

при й ^ 0±, где С(Ь), д(Ь) - заданные функции на [—к, к].

Если мы предположим, что С(Ь) € С [—к,к], С(—и) = С (к), то индекс функции С на отрезке [—к, к] определяется как поделенное на приращение ат^С(Ь) при изменении Ь от —к до к. Это целое число, обозначаемое ж.

Теорема 0.11. Если С(Ь) удовлетворяет условию Гельдера, ж=0, то периодическая задача Римана имеет единственное решение € Ь2[—к, к], которое может быть построено с помощью функции Ф(С)-

Рассмотрим уравнение

(Р+Мх +Р—М2)и = V, (11)

где М1, М2 - операторы Кальдерона - Зигмунда (как в уравнении (3)), и под Р+,Р— будем понимать операторы сужения на полупространство И™ = {х =

(Xl, ..., Хт) , ±Хт > 0}.

Для исследования разрешимости уравнения (11) можно воспользоваться теорией классической краевой задачи Римана [24, 49]. Если мы обозначим Р преобразование Фурье, то получим следующие соотношения:

РР+ = QeF, РР— = РеР,

Р = 1/2(1 + Не), Q = 1/2(1 — Не). Здесь Н^ обозначает преобразование Гильберта по переменной = (..., ^т—1)

(Щи)(£',и) = -у.р. [ ¿Т.

кг } Т —

— 00

Таким образом, уравнение (11) превращается в следующее уравнение с параметром :

-2-и(С) +

+-^-v:p-J -^-imdn=

—ж

Это уравнение соответствует краевой задаче Римана (с параметром £') с коэффициентом

G(^', im) = о Ml ( £, ^т)оМ\ ( £m)■

Чтобы обеспечить однозначную разрешимость уравнения (11), мы должны потребов; чтобы индекс G(, £m) по переменной £m был равен 0.

Имеем следующее: символ оператора Кальдерона-Зигмунда является своеобразным элементом. По сути он будет являться однородной функцией нулевой степени. При этом данная функция будет определена на единичной сфере Sm-i. Теперь пусть т > 3. Далее необходимо зафиксировать Е Sm-2, полагая, что G(0, —1) = G(0, +1). Аргумент функции G(^) будет принимать значения на большей части полуокружности, соединяющей точки (0, —1) и (0, +1), если ^m будет меняться между —< и +<. Одновременно с этим символ будет принимать значения вдоль замкнутой кривой в комплексной плоскости. Гомотопность данных кривых будет сохраняться при различных значениях £'. Это означает, что все они будут иметь один и тот же индекс ж. Существование и единственность решения уравнения (11) обеспечивает условие, что ж = 0.

Перейдем к дискретному уравнению

(Р+М? + P-Mi )ud = vd, (12)

в дискретном пространстве L2(hZm), предполагая, что Р± в (12) - операторы сужения на hZm, и

Mid, Mi

- дискретные операторы Кальдерона - Зигмунда, порожденные ядрами М\(х), а^ (х), которые являются ограниченными операторами в пространствах L (hZ m).

Дискретное преобразование Фурье для функций дискретного аргумента, определенных на решетке кЪт, дается формулой

и(х) -1— £ и(х)Ьт = й(0, £ е [-к-\,к-\]т.

( ) хеЪЪт

Это преобразование Фурье обладает такими же свойствами, что и классическое [59].

В соответствии с главой 2 определим периодический аналог преобразования Гильберта по переменной (£ е [-п,/к]т, фиксировано) формулой

■к-1 -■к-1

Периодические аналоги проекторов выглядят так:

Рр^г = 1/2(1 + ЩТ), яр{;г = 1/2(1 - ЩТ).

Наконец, периодическим аналогом уравнения (11) будет следующее:

2

-и (0+

+ л ■ X

■к-1

XV .р. I и К', Н(1 - и) (г, = Р (0.

-■к-1

где - символы дискретных операторов М\, М2.

Естественно, уравнение (12) связано с соответствующей периодической краевой задачей Римана, и условие однозначной разрешимости этой задачи дается теоремой 0.8. В нашем случае это следующее условие:

1п(1 (т)я-к(•, £т) = 0.

Теорема 0.12. Уравнения (11) и (12) одновременно разрешимы, либо неразрешимы.

Результаты, которые мы подучили разделе выше, смело можно сделать вывод о том, изменение шага решетки теоретически обеспечивает сходимость дискретного решения нашего уравнения к континуальному. Но при практическом решении нашего дискретного уравнения (8) мы сталкиваемся с проблемой воз-никнования бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. В данном случае перед нами встрает задача выбора конечной аппроксимации.

Для дальнейшего проведения исследования выбрана схема конечной аппроксимации, предполагающая построение переодических аппроксимаций по дискретному ядру К и заданной правой части Ул что осуществляется посредством сужения на QыПНТт и периодического продолжения на ЬТт. Их мы обозначим К^ы и у^ы соответственно. Теперь уравнение (8) будем рассматривать в следующем виде

ащ,ы(х) + (х - (х)Ьт = (х), х е Т^, (13)

уеХ™

полученная система линейных алгебраических уравнений будет системой с конечной циклической сверткой [31, 51, 52]. Свойства символа многомерного сингулярного интеграла обосновывают разрешимость уравнения (13) при больших N. Быстрое преобразование Фурье позволяет обойтись без решения систем линейных алгебраических уравнений и позволяет ограничиться двукратным вычислением преобразования Фурье (прямого и обратного). Кроме того, сравнение численных результатов для простейших типов тестовых уравнений ( как регулярных, так и сингулярных), полученных с помощью проекционных методов и быстрым преобразованием Фурье показало их близкое совпадение и серьезный выигрыш по времени (на порядок) в пользу последнего даже в одномерном случае [15]. Но ощутима эта разница будет при большей размерности.

Использование быстрого преобразования Фурье обеспечивает преимущество в удобстве вычислений. Обычные проекционные методы этого на дают. Что хорошо демонстрирует тестовый пример, где имеем существенный выигрыш по времени (на порядок) при той же погрешности.

Полученные в предыдущих главах результаты обобщаются в заключительной главе 4. Результаты этой главы получены в работах автора [86, 95].

Определение 0.4. Факторизацией эллиптического символа называется его представление в виде

*(0 = *+(0 •*-(о,

где сомножители а+,а- допускают аналитическое продолжение в верхнюю и нижнюю комплексные полуплоскости С±, и аиё, а^1 е £ж(К).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Васильев Александр Владимирович, 2022 год

Список литературы

1. Абдуллаев, С. К. Многомерный сингулярный интеграл в пространстве Гельдера с весом / С. К. Абдуллаев // В сб.: Материалы всесоюзной школы по теории функций «Современные проблемы теории функций ». Баку: АГУ.

- 1980. - С. 43-48.

2. Абдуллаев, С. К. Об одной кубатурной формуле для многомерного сингулярного интеграла по ограниченной т—мерной области / С. К. Абдуллаев, В. Б. Васильев // Докл. АН Азерб. ССР. - 1983. - № 11. - С. 16-19.

3. Абдуллаев, С. К. К приближенному решению многомерных сингулярных интегральных уравнений / С. К. Абдуллаев, В. Б. Васильев //В сб.: Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Баку: АГУ. - 1983. - С. 17-26.

4. Абдуллаев, С. К. Многомерные сингулярные интегральные уравнения в пространствах Гёльдера с весом / С. К. Абдуллаев // ДАН СССР. - 1987. - Т. 292. - №4. - С. 777 - 779.

5. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов - Москва: Наука, 1985. -256 с.

6. Белянков, А. Я. Разностный аналог аппарата сингулярных интегральных уравнении в теории краевых задач / А. Я. Белянков, В. С. Рябенький // Тр. ММО. - 1983. - Т.46.- С. 44-68.

7. Васильев, А. В. Периодический аналог краевой задачи Римана / А. В. Васильев // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естествен-ные и технические науки. - 2013. - Т. 18, № 5-2. - С. 2466-2468.

8. Васильев, А. В. Краевые задачи и дискретные уравнения / А. В. Васильев, В. Б. Васильев // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского.

- 2013. - Т. 46 : Теория функций, ее приложения и смежные вопросы :

материалы Одиннадцатой междунар. Казанской летней науч. шк.-конф., Казань, 22-28 авг. 2013 г. - С. 139.

9. Васильев, А. В. Приближенные решения многомерных сингулярных интегральных уравнений и быстрые алгоритмы их нахождения / А. В. Васильев, В. Б. Васильев // Владикавказский матем. журн. - 2014. - Т. 16. - №1. - С. 3-11.

10. Васильев, А. В. Дискретные аппроксимации для некоторых операторов типа свертки / А. В. Васильев // Тр. матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань, Изд-во Казан. матем. об-ва. - 2014. - Т.49. - С. 120-123.

11. Васильев, А. В. Разностные и дискретные уравнения на прямой и полупрямой / А. В. Васильев, В. Б. Васильев // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. - 2015. - № 2(46). - С. 29-37.

12. Васильев, А. В. О дискретно-разностных уравнениях / А. В. Васильев // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естествен-ные и технические науки. - 2015. - Т. 20, № 5. - С. 1089-1091.

13. Васильев, А. В. Периодическая задача Римана и дискретные уравнения в свертках / А. В. Васильев, В. Б. Васильев // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51. - № 5. - С. 642-649.

14. Васильев, А. В. О разрешимости некоторых дискретных уравнений и связанных с ними оценках дискретных операторов / А. В. Васильев, В. Б. Васильев // Доклады Академии наук. - 2015. - Т. 464, № 6. - С. 651-655.

15. Васильев, А. В. О разностных и дискретных уравнениях / А. В. Васильев, В. Б. Васильев // Теория управления и математическое моделирование : тезисы докладов всерос. конф. с междунар. участием, посвящ. памяти проф. Н.В. Азбелева и проф. Е.Л. Тонкова, Ижевск, 9-11 июня 2015 г. / Удмуртский гос. ун-т ; редкол.: А.С. Банников [и др.]. - Ижевск, 2015. - С. 40-41.

16. Васильев, А. В. О многомерных разностных операторах и уравнениях / А. В. Васильев, В. Б. Васильев // Дифференциальные урав-нения. - 2017. -

Т. 53, № 5. - С. 706.

17. Васильев, А. В. О приближенном решении некоторых уравнений / А. В Васильев // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. - 2019. - Т. 160. - С. 9-17.

18. Васильев, А. В. О некоторых уравнениях типа свертки в дискретных функциональных пространствах / А. В Васильев, В. Б. Васильев, Д. С. Статинов // Современные проблемы физико-математических наук: материалы VI все-рос. научно-практич. конф. с междунар. участием, Орел, 4-5 декабря 2020 г. / Орловский гос. ун-т; редкол.: Т. Н. Можарова [и др.]. - Орел, 2020. - С. 30-33.

19. Васильев, А. В. О некоторых уравнениях типа свертки в дискретных функциональных пространствах / А. В Васильев, В. Б. Васильев, Д. С. Скучас // Современные проблемы физико-математических наук: материалы VI все-рос. научно-практич. конф. с междунар. участием, Орел, 4-5 декабря 2020 г. / Орловский гос. ун-т; редкол.: Т. Н. Можарова [и др.]. - Орел, 2020. - С. 30-33.

20. Васильев, В. Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи / В. Б. Васильев. - Москва: Едиториал УРСС, 2010. - 135 с.

21. Габдулхаев, Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б. Г. Габдулхаев - Казань: КГУ, 1980. - 232 с.

22. Гавурин, М. К. Лекции по методам вычислений / М. К. Гавурин - Москва: Наука, 1971. - 248 с.

23. Гандель, Ю. В. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца и их дискретные математические модели / Ю. В. Гандель // СМФН - 2010. - Т. 36. С. 36-49.

24. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - Москва: Наука, 1977. - 543 с.

25. Гахов, Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. -Москва: Наука, 1978. - 296 с.

26. Гольденштейн, Л. С. О многомерном уравнении на полупространстве с ядром, зависящим от разности аргументов, и его дискретном аналоге/ Л. С. Гольденштейн, И. Ц. Гохберг // ДАН СССР. - 1960. - Т. 131. - № 1. С. 9-12.

27. Гохберг, И. Ц. Задача факторизации в нормированных кольцах, функции от изометрических и симметрических операторов и сингулярные интегральные уравнения / И. Ц. Гохберг // УМН. - 1964. - Т.19. - №1. - С. 71-124.

28. Гохберг, И. Ц. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов / И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн // УМН. -1957. - Т. 12. - №2. - С. 44-118.

29. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А Фельдман. - Москва: Наука, 1971. - 352 с.

30. Гохберг, И. Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений / И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник. - Кишинев, Штиинца, 1973. -319 с.

31. Даджион, Д. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д. Даджион, Р. Мерсеро. - Москва: Мир, 1988. - 448 с.

32. Даугавет, И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения / И. К. Даугавет. - Спб.: БХВ - Петербург, 2006. - 288 с.

33. Дудучава, Р. В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсим-волами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики / Р. В. Дудучава. - Тбилиси: Мецниереба, 1979. - 265 с.

34. Захаров, Е. В. Численный анализ дифракции радиоволн / Е. В. Захаров, Ю. В. Пименов. - Москва: Радио и связь, 1982. - 184 с.

35. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды / А. Зигмунд - Т. 1, 2. - Москва: Мир, 1965. - 1156 с.

36. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. - Киев:

Наукова думка, 1968. - 288 с.

37. Каменский, Г. А. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений / Г. А. Каменский, А. Л. Скубачевский. - Москва: МАИ, 1992. - 190 с.

38. Козак, А.В. Локальный принцип в теории проекционных методов/ А.В. Ко-зак // ДАН СССР. - 1973. - Т. 212. - С. 1287-1289.

39. Козак, А. В. О проекционных методах решения двумерных сингулярных уравнений на торе / А. В. Козак, И. Б. Симоненко // Функц. анализ и его прил. - 1978. - Т. 12. - №1. - С. 74-75.

40. Курбатов В. Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения / В. Г. Курбатов. - Воронеж: Изд-во Воронежского ун-та, 1990. - 168 с.

41. Лифанов, И. К. Обобщенные операторы Фурье и их применение к обоснованию некоторых численных методов в аэродинамике / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. - 1992. - Т. 183. - №5. - С. 79-114.

42. Лифанов, И. К. Пространства дробных отношений, дискретные операторы и их приложения/ И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. -1999. - Т. 190. - №9. - С. 41-98.

43. Лифанов, И. К. Пространства дробных отношений, дискретные операторы и их приложения. II / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. - 1999. - Т. 190. - №1. - С. 67-134.

44. Лифанов, И. К. Псевдоразностные операторы и равномерная сходимость разностных отношений / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. - 2002. Т. 193. - №2. - С. 53-80.

45. Лифанов, И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент/ И. К. Лифанов. - Москва: ТОО Янус, 1995. - 520 с.

46. Лузин, Н. Н. Интеграл и тригонометрический ряд / Н. Н. Лузин. - Москва: ГИТТЛ, 1951. - 544 с.

47. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. - Москва: Физматгиз, 1962. - 256 с.

48. Михлин, С. Г. Интегральные уравнения теории упругости / С. Г. Михлин, Н. Ф. Морозов, М. В. Паукшто. - С.-Петербург: СПбГУ, 1994. - 272 с.

49. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения/ Н. И. Мусхе-лишвили. - Москва: Наука. 1968. - 600 с.

50. Нобл, Б. Метод Винера - Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных / Б. Нобл. - Москва: ИЛ, 1962. - 279 с.

51. Нуссбаумер, Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток / Г. Нуссбаумер. - Москва: Радио и связь, 1982. - 248 с.

52. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, М. Шафер. - Москва: Наука, 2009. - 1048 с.

53. Партон, В. З. Методы математической теории упругости / В. З. Партон, П. И. Перлин. - Москва: Наука, 1981. - 688 с.

54. Прёсдорф, З. Некоторые классы сингулярных интегральных уравнений / З. Прёсдорф - Москва: Мир, 1974. - 493 с.

55. Рябенький, В. С. Метод разностных потенциалов и его приложения / В. С. Рябенький - Москва: Физматлит, 2010. - 432 с.

56. Рябенький, В. С. Метод внутренних граничных условий в теории разностных краевых задач / В. С. Рябенький // УМН. - 1971. - Т. 26. - №3. - С. 105-160.

57. Сетуха, А. В. Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения / А. В. Сетуха. - Москва: Аргамак-Медиа, 2014. - 256 с.

58. Симоненко, И. Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих / И. Б. Симоненко. - Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2007. - 120 с.

59. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. -Москва: Наука, 1974. - 808 с.

60. Солдатов, А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / А. П. Солдатов. - Москва: Высшая школа, 1991. - 206 с.

61. Суетин, П. К. Решение уравнений в дискретных свертках в связи с некото-

рыми задачами радиотехники / П. К. Суетин // УМН. - 1989. - Т. 44. - №5.

- С. 97-118.

62. Суетин, П. К. Методы фильтрации финитных дискретных сигналов / П. К. Суетин. - Москва: Инсвязьиздат, 2008. - 144 с.

63. Суетин, П. К. Начала математической теории антенн / П. К. Суетин. - М.: Инсвязьиздат, 2008. - 228 с.

64. Тейлор, М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. - Москва: Мир, 1985. - 472 с.

65. Титчмарш, Е. Введение в теорию интегралов Фурье / Е. Титчмарш. -Москва - Ленинград: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. - 479 с.

66. Трев, Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье / Ф. Трев. - Т. 1, 2. - Москва: Мир, 1984. -360 с.

67. Франк, Л. С. Пространства сеточных функций / Л. С. Франк// Матем. сборн. - 1971. - 86(2).- С. 187-233.

68. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными / Л. Хермандер. - Т. 1-4. Москва: Мир, 1986. - 448 с.

69. Эдвардс, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдвардс - Т. 1, 2. -Москва: Мир, 1985. - 664 с.

70. Эскин, Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г. И. Эскин. - Москва: Наука, 1973. - 232 с.

71. Böttcher, A. Analysis of Toeplitz operators / A. Böttcher, B. Silbermann. -Berlin: Springer, 2006. - 665 p.

72. Didenko, V. Approximation of additive convolution-like operators. Real С*—algebra approach / V. Didenko, B. Silbermann. - Basel: Birkhauser, 2008.

- 318 p.

73. Hagen, R. С*-algebras and numerical analysis / R. Hagen, S. Roch, B. Silbermann. - New York: Marcel Dekker, 2001. - 400 p.

74. Jordan, C. Calculus of Finite Differences / C. Jordan. - Chelsea Publishing

Company, New York, NY, 1965. - 654 p.

75. King, W. Hilbert transforms / W. King - V.1, 2. - Oxford: Oxford Univ. Press,

2011. - 896 p.

76. Milne-Thomson, L. M. The Calculus of Finite Differences / L. M. Milne-Thomson. - Chelsea Publishing Company. New York, NY, 1981. - 558 p.

77. Mikhlin, S. G. Singular integral operators / S. G. Mikhlin, S. Prossdorf- Berlin: Akademie-Verlag, 1986. - 528 p.

78. Prossdorf S. Numerical analysis for integral and related operator equations / S. Prossdorf, B. Silbermann - Basel: Birkhiiser, 1991. - 543 p.

79. Rabinovich, V. Pseudodifferential operators on periodic graphs/ V. Rabinovich, S. Roch // arXiv:1107.5208.

80. Rabinovich, V. Wiener algebra of operators on the lattice depending on the small parameter n > 0 /V. Rabinovich // Complex Variables and Elliptic Equations. - 2013. - V. 58. - №. 6. - P. 751-766.

81. Selected papers of Alberto P. Calderon / Eds.: A. Bellow, C. Kenig, P. Malliavin - Providence: AMS, 2008. - 639 p.

82. Vasilyev, A. V. Numerical analysis for some singular integral equations / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Neural, Parallel and Scientific Computations. -

2012. - V. 20. - №. 3-4. - P. 313-326.

83. Vasilyev, A. V. Discrete singular operators and equations in half-space / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2013. - Vol. 3, № 1. - P. 84-93.

84. Vasilyev, A. V. Approximation rate and invertibility for some singular integral operators / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM). - 2013. - Vol. 2013, № 1, special issue : 84th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM), Novi Sad, Serbia, 18-22, March 2013. - P. 373-374.

85. Vasilyev, A. V. Discrete singular integrals in a half-space/ A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Trends in Mathematics. - 2015. - Vol. 2 : Current Trends in Analysis

and Its Applications : proceedings of the 9th ISAAC Congress, Krakow, 2013.

- P. 663-670.

86. Vasilyev, A. V. On some classes of difference equations of infinite order / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Advances in Difference Equations. - 2015. - Vol. 2015, № 1. - Art. 211. - URL: https://link.springer.com/content/pdf/10.1186/s13662-015-0542-3.pdf.

87. Vasilyev, A. V. Difference and discrete equa-tions on a half-axis and the Wiener-Hopf method / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2016. - Vol. 6, № 1. - P. 79-86.

88. Vasilyev, A. V. On solvability of some differ-ence-discrete equations / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Opuscula Mathematica. - 2016. - Vol. 36, № 4. - P. 525-539.

89. Vasilyev, A. V. On finite discrete operators and equations / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics (PAMM). -2016. - Vol. 16, № 1. - P. 771-772.

90. Vasilyev, A. V. Difference equations in a multidimensional space / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Mathematical Modelling and Analysis. - 2016. -Vol. 21, № 3. - P. 336-349.

91. Vasilyev, A. V. Difference equations and boundary value problems / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. -2016. - Vol. 164 : Interna-tional Conference on Differ-ential & Difference Equations and Applications (ICDDEA 2015), Amadora, Portugal, 18-22 May 2015.

- P. 421-432.

92. Vasilyev, A. V. On a digital approximation for pseudo-differential operators / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Proceedings in Applied Mathematics and Mechanics. - 2017. - Vol. 17, № 1. - P. 763-764.

93. Vasilyev, A. V. Two-scale estimates for spe-cial finite discrete operators / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Mathematical Modelling and Analysis. - 2017. -Vol. 22, № 3. - P. 300-310.

94. Vasilyev, A. V. On some discrete potential like operators / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Tatra Mountains Mathematical Publications. - 2018. - Vol. 71, № 1. - P. 195-212.

95. Vasilyev, A. V. Pseudo-differential operators and equations in a discrete halfspace / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Math. Model. Anal. - 2018. - V. 23.

- № 3. - P. 492-506.

96. Vasilyev, A. V. On some discrete boundary value problems in canonical domains / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. - 2018. - Vol. 230 : International Conference on Differential & Difference Equations and Applications (ICDDEA 2017), Amadora, Portugal, 5-9 June 2015. - P. 569-579.

97. Vasilyev, V. B. Discrete convolutions and difference equations/ V.B. Vasilyev // In: G. S. Ladde, N. G. Medhin, Chuang Peng, M. Sambandham (ed.), Proceedings of Dynamic Systems and Applications, Dynamic Publishers, USA.

- 2008. V. 5. - P. 474-480.

98. Vasilyev, V. B. On certain continual and discrete convolution operators/ V. B. Vasilyev // Proc. MATHMOD Vienna 09, 6th Vienna Conference on Mathematical Modeling, February 11-13,2009, Vienna University of Technology.

- Full Papers CD Volume. Eds. I.Troch, F. Breitenecker. - Argesim Report. -№ 35. - P. 2616-2618.

99. Vasilyev, V. B. Elliptic equations and boundary value problems in non-smooth domains/ V. B. Vasilyev // Operator Theory: Advances and Applications. -2011. -V. 213. - P. 105-121.

100. Vasilyev, V. B. General boundary value problems for pseudo differential equations and related difference equations / V. B. Vasilyev // Advances in Difference Equations. - 2013. - 2013(289). - P. 1-7.

101. Vasilyev, V. B. On some difference equations of first order / V. B. Vasilyev // Tatra Mt. Math. Publ. - 2013. - V. 54. - P. 165-181.

102. Vasilyev, V. B. Discreteness, periodicity, holomorphy, and factorization / V. B.

Vasilyev // In: Integral Methods in Science and Engineering. V. 1. Theoretical Technique. C. Constanda, Dalla Riva, M., Lamberti, P. D., Musolino, P. (Eds.) Birkhauser. - 2017. - P. 315-324.

103. Vasilyev, V. B. The periodic Cauchy kernel, the periodic Bochner kernel, and discrete pseudo-differential operators / V. B. Vasilyev // AIP Conf. Proc. -2017. - 1863. - P. 140014.

104. Vasilyev, V. B. On discrete boundary value problems / V. B. Vasilyev // AIP Conf. Proc. - 2017. - 1880. - P. 050010.