Интегральные операторы с ядрами, близкими к разностно-суммарным тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Камалян, Армен Грачикович

• Камалян, Армен Грачикович
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Камалян, Армен Грачикович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§ I. Некоторые сведения о нётеровых операторах.

§ 2. Некоторые сведения из теории сингулярных интегральных операторов.

§ 3. Обращение некоторых интегральных операторов

ГЛАВА П. НЁТЕРОВОСТЬ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ЯДРАМИ,

БЛИЗКИМИ К РАЗН0СТН0-СУММАРНЫМ. ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ.

§ I. Нётеровость интегральных операторов парного типа.

§ 2. Нётеровость дискретных аналогов интегральных операторов с почти разностно-суммарным ядром.

§ 3. Нётеровость почти тёплицевых операторов

ГЛАВА Ш. ОБРАЩЕНИЯ ОБЩИХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПОЧТИ

РАЗНОСТНО-СУММАРНЫМ ЯДРОМ

§ I. Построение обратного оператора.

§ 2. Системы уравнений со специальной правой частью.

Построение правого обратного оператора.

§ 3. Случай мозаичного ядра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегральные операторы с ядрами, близкими к разностно-суммарным»

I. Ряд задач физики и техники приводит к интегральным уравнениям с разностным ядром. Таковыми являются задачи оптимального синтеза [I], [2] , рассеяния света в атмосфере [3] - [5] , дифракции на ленте [б] , движения крыла под водой [7]-[9]. Причиной этого обычно является определенная однородность рассматриваемых процессов во времени или в пространстве. Такие же уравнения возникают и в важных математических вопросах: в теории игр, массового обслуживания, в обратных задачах и т.д.

Первые глубокие результаты об интегральных уравнениях на полуоси с ядрами, зависящими от разности аргументов, были получены в 1931 г. Н.Винером и Э.Хопфом. После выхода их классической работы [10] такие уравнения получили названия уравнений Винера-Хоп-фа. К настоящему времени теория уравнений Винера-Хопфа развита достаточно полно. В ее разработке принимали участие целый ряд математиков (главным образом, советских). К работе [10] вплотную примыкают работы В.А.Фока [II], [12] и Е.Рейснера [13] , посвященные, как и [10] , решению неоднородного уравнения Винера-Хопфа с ядрами, убывавшими на бесконечности, как показательная функция. Работы И.М.Рапопорта [14], [15] важны тем, что в них был указан новый метод решения уравнений типа свертки и они послужили исходной точкой для последовавшего затем большого, - продолжающегося до наших дней, - цикла работ, основанных на теории краевых задач аналитических функций. В 1958 г. была опубликована фундаментальная работа М.Г.Крейна [16] , начиная с которой в исследованиях подобных уравнений широко применяются идеи и методы функционального анализа

Результат, полученный М.Г.Крейном в работе [16] относительно условий нормальной разрешимости и числа линейно независимых решений в ряде функциональных пространств и др.) в случае с абсолютно интегрируемым ядром, послужил исходной точкой для серии исследований в этом направлении. Подробный обзор этих работ дан в монографии И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана [17] (см. также монографию Ф.Д.Гахова, Ю.ЙЛерского [18]).

Продолжая идеи И.М.Рапопорта, М.Г.Крейн в [16] привел уравнение Винера-Хопфа к краевой задаче Римана и с помощью специальных теорем теории аналитических функций показал разрешимость последней в случае, когда коэффициент задачи является преобразованием Фурье абсолютно интегрируемой функции. Работы [14] - [16] показали, что развитие теории уравнений в свертках тесно связано с успехами в изучении краевых задач аналитических функций и эквивалентных им сингулярных интегральных уравнений. Теория сингулярных интегральных уравнений с гёльдеровскими коэффициентами в классе гё-льдеровских функций изложена в известных монографиях Н.И.ВДусхели-швили 0[9] и Ф.Д.Гахова [20] (В этих же монографиях содержатся подробные исторические сведения о развитии названной теории). Подробное изложение теории сингулярных интегральных уравнений в пространствах Ьр с весом с непрерывными коэффициентами, начатое в работах И.Б.Симоненко [21] , Б.В.Хведелидзе [22] , [23] , В.В.Иванова [24] , И.Ц.Гохберга [25] можно найти в монографии И.Ц.Гохберга и Н. Я. Крупника (26] .

В ряде работ исследование ведется при допущении разрывных коэффициентов. В статьях И.Б.Симоненко [27] -[31] изучены краевая задача Римана и сингулярные интегральные уравнения с измеримыми коэффициентами &> в предположении, что колебание аг^(>(1]) в точках разрыва остается меньше я; . В работах [32] , [33] И.Ц.Гох-бергом и Н.Я.Крупником изучены алгебры сингулярных интегральных операторов в пространствах Ьр с весом, с кусочно-непрерывными коэффициентами (см. § 2 гл.1). Этими же авторами-в работах [34]

37] исследованы алгебры тёплицевых операторов в пространствах кр и 1р .В некоторых работах рассмотрены случаи разрывов другого типа - почти периодического и др. Изложение исследований этого рода дано в [26] . Уравнения типа свертки обобщались в разных направлениях. Количество работ, посвященных этим обобщениям столь велико, что дать хотя бы сколь-нибудь подробный обзор весьма затруднительно. Остановимся на некоторых из них. И.Б.Симоненко в

38] были рассмотрены раздельно интегро-дифференциальные уравнения с п различными ядрами на п интервалах изменения переменной интегрирования s и с п ядрами, изменяющимися на п интервалах изменения переменной t . Эти уравнения являются прямым обобщением уравнений типа парных. Н.К.Карапетянц и С.Г.Самко в работе [39] рассмотрели интегральные операторы второго рода на прямой, с ядром "мозаичного" типа K(t;s) = kij (t,s) при pj (1=1,2,. n¡ . Щ m-оо ) охватыванции случай k у ("t; б) = k¿j (t s). Оказывается, что характеристическая часть этого уравнения зависит только от ядер Кц а, т. (X).

Другим направлением обобщений является исследование случаев, когда наряду с ядрами, зависящими от разности аргументов, входят и ядра, зависящие от их суммы, а также, когда уравнения содержат сопряженные значения искомых функций. Уравнениями указанного типа занималось большое число исследователей. Укажем только на работу И.И.Комяка [40] , а также И.А.Парадоксовой, А.А.Говорухиной [41] , где рассматриваются ядра вида k (t -oes) (более подробно см. монографию Ф.Д.Гахова, Ю.И.Черского [18]).

Уравнение с одним чисто суммарным ядром на всей оси принадлежит к числу классических. Решение его в замкнутой форме с помощью преобразования Фурье приводится в монографии Е.Титчмарша [42] . В работах Н.К.Каралетянца [431 и Н.К.Карапетянца, С.Г.Самко [44] рассмотрены дискретные операторы свертки с осциллирующими коэффициентами (см. также гл.1 § I п.6). Н.К.Карапетянц и С.Г.Самко развивая основную идею своей работы [45], предложили в работах [46] - [50] общую схему построения теории Нётера абстрактных операторов вида К-^ХОРАкб , где (¡ЬР - обобщенные ин

К=0 5=0 волвдии, а операторы Акб принадлежат некоторому классу операторов, теория которых уже известна (см. гл.1 § I п.5). Применяя эту схему, авторы исследовали на нётеровость уравнения типа свертки с отражением и с комплексным сопряжением, дискретные уравнения типа свертки с осцилляцией и с отражением, сингулярные интегральные уравнения на замкнутом или разомкнутом контуре с. конечной группой сдвигов и с разрывными коэффициентами.

В основе исследований указанных общих уравнений типа свертки лежит возможность приведения этих уравнений к тем или иным краевым задачам аналитических функций или к сингулярным интегральным уравнениям со сдвигом и комплексно сопряженными значениями неизвестной функции. Так, например, уравнения с суммарными ядрами на полуоси приводятся к краевым задачам со сдвигом, а уравнения с участием комплексно сопряженных значений искомых функций, приводятся к так называемым краевым задачам с сопряжением. Методы приведения к краевым задачам уравнений типа свертки и их обобщений изложены в монографии Ф.Д.Гахова, Ю.И.Черского [18] .

Теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений со сдвигом с непрерывными коэффициентами на замкнутых ляпуновских контурах изложена в монографии Г.С.Литвинчука [51]. Сингулярное интегральное уравнение с дробно-линейным сдвигом Карлемана на действительной оси изучена Н.К.Карапетянцем и С.Г.Самко в работе

46] , в которой найдено условие нётеровости и вычислен иццекс рассматриваемого уравнения. Более общая ситуация системы уравнений с двумя дробно-линейными сдвигами и кусочно-непрерывными коэффициентами рассмотрена Г.Ю.Виноградовой в работе [52]. Сингулярное интегральное уравнение с прямым сдвигом Карлемана на простой замкнутой кривой Ляпунова также изучена Н.К.Карапетянцем и С.Г.Самко в работах [47] , [53]. В работах Й.Ц.Гохберга и Н.Я. Крупника [54], [55] изучается алгебра сингулярных интегральных операторов с обратным сдвигом Карлемана на простой замкнутой линии Ляпунова с кусочно-непрерывными коэффициентами. Достаточно полный обзор работ последних лет, посвященный теории Нётера сингулярных интегральных операторов со сдвигом, обратимости функциональных операторов и родственным им вопросам содержится в обзорной статье Ю.И.Карловича, В.Г.Кравченко, Г.С.Литвинчука [56].

Другим важным направлением в исследовании интегральных операторов с разностным и близким к ним ядрами, является вопрос их обращения. При этом большой интерес вызывает возможность восстановления резольвентного ядра К по его значениям на границе области его определения (или на ее части). Первый результат указанного типа принадлежит, по-видимому, Г.Плачеку, получившему еще в 1945 г. для резольвентного ядра интегрального оператора Фред-гольма на полупрямой, в случае известного в теории переноса излучения ядра К = Ег, I—"Ь| , форь^улу (1.3.3) (см. [57] § 6.7). В случае произвольного ядра К = к(зс-1:) (к € Ь«(К)) эта формула получена М.Г.Крейном в работе [16] (в случае системы см. [58] ).

В случае конечного отрезка ( 0, т) и ядра К = к(|х-"Ь|) В.В.Соболев [59] получил следующую формулу для резольвентного ядра К к + Ш) К = К <1°>х) К ~ К №т-х) Я (0, хЛ)

В работах ТбО] - [63] Л.А.Сахновичем построена теория обращения самых общих (см. формулу (1.3.4)) операторов с разностным ядром (более подробно см. гл.1 § 3 п.2 ). Некоторые из результатов Л.А.Сахновича перенесены на случай оператора с разностно-суммар-ным ядром И.И.Кальмушевским [64] (гл.1 § 3 п,3 ). К обращению интегральных операторов с ядрами указанного типа приводят задачи о дифракции электромагнитных волн у кругового отверстия в плоском экране или тонком проводящем диске [65] , [66] .

Теория конечномерных теплицевых операторов (матриц) также хорошо разработана (см., например, [77] с библиографией).

В серии работ [67] - [69] Т.Кайлатом и М.Морфом с соавторами были введены интегральные операторы с ядром К , "почти разностным" в том смысле, что

В работах А.Б.Нерсесяна, Н.А.Чернявской [70] и Б.А.КЬна [71] перенесены некоторые из результатов Л.А.Сахновича на случай операторов с ядрами вида (0.1).

А.Б.Нерсесяном в работе [72] (см. также [73] ) предлагается метод обращения для широкого класса интегральных операторов Фред-гольма второго рода, ядра которых удовлетворяют уравнениям с частными производными (см. форцулу (1.3.24)), обобщающими соотношение (0.1) (подробнее см. гл.1 § 3 п.4 ).

2. Настоящая работа посвящена изучению интегральных операторов с ядрами, удовлетворявшими (в обобщенном смысле) в скалярном случае соотношению вида n

0.1)

0.2) а также дискретных аналогов интегральных операторов с ядрами вида (0.1) и (0.2). Ядра, удовлетворяющие соотношению (0.2), естественно считать "почти разностно-суммарными". Таковыми, в частности, являются разностно-суммарные ядра ( Рк = (}к-0 ). Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой.

Целью работы является исследование на нётеровость интегральных операторов парного типа с почти разностно-суммарными ядрами и их дискретных аналогов и обращения наиболее общих интегральных операторов с вышеуказанными ядрами на конечном интервале (системе интервалов).

3. 0 практической и теоретической ценности результатов.

Как уже было упомянуто, интегральные операторы с разностным, разностно-суммарным и близкими к ним по структуре ядрами часто встречаются при решении различных задач физики, механики и техники. Теоретическая ценность исследований, связанных с такими операторами, также очевидна.

В работе вводятся новые классы интегральных и дискретных операторов типа свертки, для которых найдены условия нормальной разрешимости и вычислены индексы. В случае интегральных операторов на конечном интервале проясняются основные вопросы, связанные с построением обратного оператора. Результаты и методы работы могут быть использованы при дальнейшем развитии теории.

4. Основные результаты диссертации.

В главе I приводятся предварительные сведения, используемые в дальнейшем. Так, § I посвящен теории Нётера общих линейных ограниченных операторов, § 2 - теории Нётера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. В § 3 приводятся некоторые результаты

Л.А.Сахновича, Л.Н.Дудко, И.И.Кальмушевского и А.Б.Нерсесяна, относящиеся к вопросам обращения интегральных операторов.

Глава П посвящена исследованию на нётеровость интегральных операторов с почти разностно-суммарными ядрами и их дискретных аналогов. Пусть

-1;)+13 («+!;) + ^ | )сЫг, (0.3) о х-Ч+г

-оо«х>, t<oo; ¿ = 1,2; где Й£С(К), ^^(К)^»!) И

П± - проекторы в ь; (К), определенные равенствами у>(х) со>0

П+£)(»)« | , (0.4)

В § I главы П доказывается (теорема 2.1.1), что в случае,

L(w*(*>j)/¡ту. и V- ■/•-, . . * 1 еку д™ нётеровости операторов где ( Л^, ^ - постоянные комплекснозначные матрицы) со

0=1»») (0.5) необходимо и достаточно выполнение соответственно следующих условий:

Д(1) =

Ы I А }*

Ф 0, (0.6)

М1) = еХ I IФ 0, -оо^^оо. (0.7)

При соответственном выполнении этих условий индексы операто

Л/ /V ров Ж и вычисляются по формулам

СЫ % = им!, Д = аг^А (I)] Ц

ЗпАЙ1« ^А1(|) = 1/^[аг?Д1(|)]|°°00 <0.9)

С помощью этого результата, - из общих соображений, - аналогичные результаты (теоремы 2.1.2 и 2.1.3) доказываются для одностороннего оператора Ж = П+3{ П+ и оператора + , V где 0 - оператор комплексного сопряжения, а ^ , - операторы такого же вида, что и СН^ .

В конце параграфа приводятся некоторые замечания относительно условий, накладываемых на матрицы-функции р^ (ос) (] = 1,2) и относительно возможных обобщений.

Пусть Г - единичная окружность комплексной плоскости и

КГ' ГГ • РГ ' <?Г < к=1'2 5 ] = 0,±1,±2.) коэффициенты Фурье функций ¡г(к\ г(к) , £(К) , ^(к)бЬов(Г). Относительно к=1,2) дополнительно предполагается, что = 0 при ^<0 и 0 при . Обозначим m, -i a) V Ji] V a) , C2) V см V c*>

4V - Ь Pn-irt+j+zi ; 4V " îj ; n,m = 0,±i,±£. (O.IO)

Определим операторы Щ (j=!,£), П± действунцие в ^ , следующим образом: оо

О.И) nJk-M-O.Mi.l«.), (0.12) n»0,±i,±2. .

В § 2 главы П изучаются диифвтныв операторы парного типа

Доказывается (теорема 2.2.1), что при непрерывности функций 1г°° , rfk), (jik), i - t2)'1 р(к) оператор К нётеров в Ьг в том и только в том случае, когда выполнено следующее условие

A(t) = detl Uo (0.13) г »et ter

При выполнении этого условия индекс оператора Ж вычисляется по формуле

Jnd Ж = i,ndA(t) = Î^[ar^A(t)](t(=1 (0.14)

Аналогичный результат доказывается (теорема 2.2.1) и для оператора Ж1 . Отдельно рассматривается случай, когда функции

1г(к) , гск) , а(К) , (1-Ья)р(К) (к=1,2) кусочно-непрерывны. В этом

• —. ^ I случае исследование на нётеровость операторов ЗС и ЗС сводятся к исследованию на нётеровость сингулярных интегральных операторов с разрывными коэффициентами, заданных на полуокружности (теорема 2.2.2).

В конце параграфа приведены необходимые и достаточные уело«»"чу вия нётеровости одностороннего оператора (теорема

2.2.3) и некоторые замечания относительно возможных обобщений.

В § 3 гл.П рассматриваются дискретные аналоги операторов типа свертки с ядрами, удовлетворяющими соотношению вида (0.1). Приведены несколько результатов (теоремы 2.3.1 - 2.3.4) относительно выявления условий нётеровости и вычисления индекса парных и односторонних операторов данного класса. Вычисление дефектных чисел этих операторов сводится к нахождению частных индексов некоторых матриц-функций. В конце параграфа на случай операторов данного класса перенесены результаты Н.К.Карапетянца [43] и Н.К.Карапетян-ца, С.Г.Самко [44] относительно дискретных операторов Винера-Хоп-фа с осциллирующими коэффициентами.

111

Глава Ш посвящена обращению оператора, действующего в (0,со) вида о о ос-г+т (0.15)

При этом важную роль играют матрицы-функции К1к(х) , Мк(х) (к = = 1,2,3,4,5 ), , определяемые из следующих соотношений Еп - единичная матрица)

ХЫгЕп, Х*М^Ы* ХЫл~хЕа, ЛМг=Ы*(х), где

Жъ = М(х), Ж М3=Еа, ~М0(х)у %М4=хЕп М (х) = - [к (X) + г (X)], М0 (X) = к'(х) - г '(X), х сс-г

К1(х) = к(-х) + г(х) + ^ уст) ^ р(Ь)(Ц(1т,

0.16)

-г-ас

0.17) х

N0 (х) = к'(-х) + г'(х) + ^ ^(1) [р(х-4) -р(1;-х)] ¿X, о

X о

В § I доказывается (теорема 3.1.1), что еоли существует ограниченный оператор Т , обратный к оператору Ж , то имеет место представление с!/2, Г ^

Т$щ = - ^ ] Ъ- 5) ^

0.18) где гы+ъ-ъ ц~2и . 1-5

2Ш-Х+5 Яш-и.

0.19) Х+5 х-З а \/(х) - некоторая матрица-функция, такая, что \/(х) = 0 при X ^ со .

В § 2 показано (теорема 3.2.1), что в случае существования матриц-функций Мк , Мк , оператор Т , определенный на п ( АУ2(Д - совокупность 3 раза дщф|еренцируемых вектор-дикций ср(х) таких, что ср"'€ 1^(0,со)) по формуле из

Тер = ср(0) М1(х) + 1р'(0) 1\1£(х)- ^(р"СЬ)СЦх,1;)<й +

О (О 0} (О

X X XV и и (0-2°)

Уг^ - Уг ср"(0) | Ыг(Щ<1м

X X ш со+х-1 (О со

X о х Ь-Х является правым обратным для оператора X , т.е.

Основную роль при доказательстве двух последних утверзвдений играет доказанное в § I соотношение (лемма 3.1.1)

АД-;КАо)^= (0.21)

60 [М (х) + N Л) + К10 Й)х+1М0 (х) + Р(х)] 6Х, где х Ь о о

В § 3 результаты, полученные в § I, распространяются на случай "мозаичного" ядра К (х^) . в качестве примера более детально рассмотрен случай, когда гк ¿(х-Ц +г1(х+Ц О^х^б

КСа^Н

5. Остановимся вкратце на характеристике новизны предлагаемых результатов.

Для класса интегральных операторов Фредгольма второго рода, предложенного А.Б.Нерсесяном (см. [72], [73]), естественным образом обобщаются формулы обращения, ранее известные для интегральных операторов с разностным ядром. В этом смысле ядра этих операторов можно считать "близкими" к разностным. Как известно, интегральные операторы с разностным ядром и их дискретные аналоги хорошо поддаются исследованию на нётеровость,и, естественно, интересны вопросы, связанные с нётеровостыо операторов, "близких" к разностным.

В §§ I, 2 главы П исследованы на нётеровость интегральные операторы с ядрами, удовлетворяющими соотношению (0.2) (последние включаются в вышеуказанный класс) и их дискретные аналоги. Такие операторы ранее не рассматривались и все результаты, полученные относительно них, новые.

Рассмотренные в § 3 главы П дискретные операторы, называемые обычно почти тёшшцевыми, принадлежат алгебре тёплицевых операторов и изучались И.Ц.Гохбергом и Н.Я.Крупником ([35]-[37]). Результаты, полученные в этом параграфе (кроме теоремы 2.3.5), в принципе, вытекают из этих работ и приведены как дополнение к первым двум параграфам. Изучаемые операторы интересны тем, что являются дискретными аналогами интегральных операторов с ядрами, удов летворякщими соотношению (0.1), которые включаются в вышеуказанный класс ядер. В последнем пункте § 3 главы П, на основе результатов работ Н.К.Карапетянца [43] и Н.К.Карапетянца, С.Г.Самко [44] исследуются почти тёплицевы операторы с осциллирующими коэффициентами, которые ранее не рассматривались.

Как уже упоминалось, А.Б.Нерсесяном ([72] , [73]) был дан метод обращения интегральных операторов Фредгольма второго рода с ядрами, удовлетворящими,в частности,соотношению (0.2). В главе Ш исследуются вопросы обращения интегральных операторов с такими ядрами, более общего вида, содержащие, в частности, как операторы второго рода, так и первого. Первые и наиболее глубокие результаты относительно обращения таких операторов в случае разностного ядра получены Л.А.Сахновичем в работах [60] - [63]. В этих работах, в частности, содержатся результаты, подобные полученным в §§ I, 2 главы Ш. В случае почти разностных ядер эти результаты получены А.Б.Нерсесяном и Н.А.Чернявской ([70]). Теорема 3.1.1 при разностно-суммарном ядре (скалярный случай) получен И.И.Каль-мушевским [64]. Результат, полученный в § 2 главы Ш (теорема 3.1.2), ранее не был известен даже в случае разностно-суммарного ядра, а операторы такого вида с "мозаичным" ядром (§ 3 гл.Ш) обобщают операторы Л.А.Сахновича ([63]) с разностным ядром на системе отрезков.

6 Относительно методики исследования отметим следующее. В основе первой части работы (гл.П) лежит ставший уже классическим метод приведения к краевым задачам или к сингулярным интегральным операторам. При изучении вопросов нётеровости парных операторов в пространствах С!, ((Я) используется техника и результаты теории сингулярных интегральных операторов со сдвигом. При изучении более сложных операторов или парных операторов в 1^р(р>{) применяются абстрактные подходы, предложенные Н.К.Карапетянцем, С.Г.Самко (148]) и И.Ц.Гохбергом, Н. Я. Крупником ([74]), сводящие изучение сложных операторов к изучению операторов более простой структуры.

В главе Ш применяется метод, предложенный Л.А.Сахновичем и основанный на операторных тождествах.

7. Нумерация формул тройная, причем первая цифра указывает главу, а вторая - параграф.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [75],

76].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Камалян, Армен Грачикович, 1985 год

1. Бахрах А.Д., Кремвнецкий С.Д. Синтез излучающих систем. М.: Сов.радио, 1974, 232 с.

2. Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, I960, 655 с.

3. Иванов В.В. Перенос излучения и спектры небесных тел. М.: Наука, 1969, 658 с.

4. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972, 335 с.

5. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953, 432 с.

6. Хенл X., Мауэ Л., Вестдфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964, 428 с.

7. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости. Труды конференции по теории волнового сопротивления, ЦАГИ, 1937.

8. Костюков A.A. Теория карабельных волн и волнового сопротивления. Л.: Судпромгиз, 1959.

9. Панченков А.Н. Гидродинамика подводного крыла. Киев: Наукова думка, 1965.

10. Wiener N.,Hopf Е. über ein Klasse singularer Integralgleichungen.- Sitz.Acad. Wiss. Berlin,1931,p. 696-706.

11. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Докл.АН СССР, 1942, т.З, & 4-5, с.147-151.

12. Фок В.А. О некоторых интегральных уравнениях математической физики. Матем.сб., 1944, т.14(56), $ 1-2, с.3-50.

13. Reisener Е. On a class of singular integral equations,- Journ. Math. Phyz. Mass. Inst. Techn.,1941,v. 20,p. 219-223.

14. Рапопорт И.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. Докл.АН СССР, 1948, т.59, № 8, с.1403-1406.

15. Рапопорт И.М. 0 некоторых "парных" интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях. Сб. тр. ин-та матем.АН УССР, 1949, т.12, с.102-118.

16. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов. Успехи матем. наук, т. 13, № 5(83), 1958, с.3-120.

17. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971, 352 с.

18. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978, 295 с.

19. Мусхелишвшш Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, 511 с.

20. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

21. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана с непрерывным коэффициентом. Докл.АН СССР, 1959, т.124, № 2, с.278-281.

22. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения. Тр. Тбил. матем. ин-та Груз.ССР, 1957, т.ХХШ, с.123-136.

23. Хведелидзе Б.В. Замечание к моей работе "Линейные граничные задачи". Сообщ. АН Груз.ССР, 1958, т.XXI, № 2, с.129-130.

24. Иванов В.В. Некоторые свойства особых интегралов типа Коши и их приложения. Докл. АН СССР, 1958, т.121, № 5, с.793-794.

25. Гохберг И.Ц. О числе решений однородного сингулярного интегрального уравнения с непрерывными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1958, т.122, ^ 3, с.327-330.

26. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: Штиинца, 1973, 426 с.

27. Симоненко И.Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана. Изв.АН СССР, сер.матем., 1968, т.32, с.1138-1146.

28. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана с непрерывными коэффициентами. Докл.АН СССР, 1960, т.135, № 3, с.538-541.

29. Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах Ьр с весами. Изв. АН СССР, сер.матем., 1964, т.28, №2, с.277-306.

30. Симоненко И. Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. I.-Изв.АН СССР, сер.матем., 1965, т.29, $3, с.567-586.

31. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. П -Изв.АН СССР, сер.матем., 1965, т.29, № 4, с.757-782.

32. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Об алгебре, порожденной одномерными сингулярными интегральными операторами с кусочно-непрерывными коэффициентами. Функц. анализ, 1970, т.4, вып.З, с.27-38.

33. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Сингулярные интегральные операторы с кусочно-непрерывными коэффициентами и их символы. Изв.АН СССР, сер.матем., 1971, т.35, №4, с.940-964.

34. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. О спектре сингулярных интегральных операторов в пространстве Ьр . М^.1ета1;:1са,1968,у.31, р.347-362.

35. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Об алгебре, порожденной теплицевы-ми матрицами. Функц.анализ, 1969, т.З, вып.2, с.46-56.

36. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Об алгебре, порозденной тёплицевы-ми матрицами в пространствах 1гр . Матем.исследование, 1969, т.4, вып.З, с.54-62.- по

37. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Об одном локальном принципе и алгебрах, порожденных ТёШШЦеВЫМИ матрицами. Аппа1е1е а-ЬИп-tifi.ce а1е ипЗлг. "АЬ.1.Си2а|,,1а83.,Звс1;. 1а Макета 1;:1са, 1973, v.1,p. 43-71.

38. Симоненко И.Б. О некоторых интегро-дифференциальных уравнениях типа свертки. Изв.вузов, Математика, 1959, № 2,с.213-226.

39. Каралетянц Н.К., Самко С.Г. Об индексе некоторых классов интегральных операторов. Изв.АН Арм.ССР, сер.матем., 1973, т.УШ, № I, с.24-40.

40. Комяк И.И. Об одном интегральном уравнении на полуоси. Докл. АН БССР, 1969, т.13, А 3, с.197-208.

41. Парадоксова И.А., Говорухина Л.А. О парных интегральных уравнениях типа свертки с ядрами, зависящими от линейной функции. Изв.вузов, Математика, 1969, № I, с.47-52.

42. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.-Л.: Гостех-издат, 1948, 479 с.

43. Карапетянц Н.К. Об одном классе дискретных операторов свертки с осциллирующими коэффициентами. Докл.А7 СССР, 1974, т.216, # I, с.28-31.

44. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. О дискретных операторах Винера-Хопфа с осциллирующими коэффициентами. Докл.АН СССР, 1971, т.200, £ I, с.17-20.

45. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Сингулярные интегральные операторы со сдвигом на разомкнутом контуре. Докл.АН СССР, 1972,т.204, № 3, с.536-539.

46. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Сингулярные интегральные операторы на оси с дробно-линейным сдвигом и нётеровость операторов с инволюцией. Изв.АН Арм.ССР, сер.матем., 1972, т.УП, № I, с. 68-77.

47. Каралетянц Н.К., Самко С.Г. Сингулярные интегральные уравнения со сдвигом Карлемана в случае разрывных коэффициентов и исследование нётеровости одного класса линейных операторов с инволюцией. Докл.АН СССР, 1973, т.211, № 2, с.281-284.

48. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Исследование нётеровости линейных уравнений с обобщенными инволютивными операторами и его приложения. Сб. Методы теории функций и функционального анализа, Грозный, Чечено-Ингушский ун-т, 1976, с.14-21.

49. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. О дискретных операторах свертки с почти стабилизирующимися коэффициентами. Матем. заметки, 1977, т.22, вып.З, с.339-344.

50. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Исследование нётеровости операторов с инволюцией порядка п и его приложения. Изв. вузов, Математика, 1977, № II, с.15-26.

51. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.: Наука, 1977, 448 с.

52. Виноградова Г.Ю. Сингулярные интегральные операторы с двумя дробно-линейными сдвигами на вещественной оси. ВИНИТИ,Л 3334-79, Деп., 1979.

53. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Сингулярные интегральные операторы со сдвигом Карлемана в случае кусочно-непрерывных коэффициентов I, П. Изв. вузов, Математика, 1975, №№ 2-3, с.43-54, 34-42.

54. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Об одномерных сингулярных интегральных операторах со сдвигом. Изв.АН Арм.ССР, сер. матем., 1973, т.УШ, № I, с.3-12.

55. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Об алгебрах интегральных операторов со сдвигом. Матем. исследования, 1973, т.8, № 2 (28), с.170-175.

56. Карлович Ю.И., Кравченко В.Г., Литвинчук Г.С. Теория Нётера сингулярных интегральных операторов со сдвигом. Изв. вузов, Математика, 1983, № 4, с.3-27.

57. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, I960.

58. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Системы интегральных уравнений на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов. Успехи матем. наук, 1958, т.13, вып.2, с.3-72.

59. Соболев В.В. К теории диффузии излучения. Изв.АН Арм.ССР, сер. физ.-мат.наук, 1958, т.XI, № 5, с.39-50.

60. Сахнович Л.А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке. Успехи матем. наук, 1980, т.35, вып.4 (214), с.69-129.

61. Сахнович Л.А. 0 подобии операторов. Сиб. матем. журн., 1972, № 4, с.868-883.

62. Сахнович I.A. Об интегральном уравнении с ядром, зависящим от разности аргументов. Матем. исследования, 1973, т.8, № 2, с.138-146.

63. Сахнович Л.А. Системы уравнений с разностными ядрами. Укр. матем. журн., 1980, № I, с.61-68.

64. Кальмушевский И.И. 0 решении некоторых интегральных уравнений с ядрами, зависящими от суммы и разности аргументов. Дифференциальные уравнения, 1980, т.16, № 5, с.941-943.

65. Ахиезер Н.И., Ахиезер А.Н. К задаче о диффузии электромагнитных волн у кругового отверстия в плоском экране. Докл. АН СССР, 1956, т.109, № I, с.53-56.

66. Лебедев H.H., Скальская А.Н. Новый метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на тонком проводящем диске. -Журн. техн. физики, 1959, т.29, вып.6, с.700-711.

67. Kailath T.t Ljung L., Morf M. Generalized Krein-Levinson Equations for Efficient Calculation of Fredholm Resolvents of Nondisplacement Kernels.- Topics in Functional Anal. Advances in Math. Suppl. Studies,1978,v.3,p*169-183.

68. Нерсесян А.Б., Чернявская H.A. Об обращении интегральных операторов с почти разностным ядром. Докл. АН Арм.ССР, 1984, т. XXIX, № I, с.10-14.• Коп В.A. Inverse of Wiener-Hopf-Type Operators.- Journal of1.tegral Equations,1984,N.27,p.93-101.

69. Нерсесян А.Б. Структура резольвенты некоторых интегральныхоператоров. Изв.АН Арм.ССР, сер.матем., 1982, т.ХУП, № 6, с.442-463.

70. Нерсесян А.Б. 0 структуре резольвент некоторых интегральных операторов с ядрами, определяемыми дифференциальными уравнениями. Докл. АН СССР, 1984, т.279, £ 4, с.805-809.

71. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. 0 сложных линейных сингулярных интегральных операторах. Матем. исследования, 1969, т.4, вып. 4, с.20-32.

72. Камалян А.Г., Нерсесян А.Б. Об обращении интегральных операторов с почти разностно-суммарным ядром. Изв. АН Арм.ССР, сер. матем., 1984, т.XIX, №3, с.187-206.

73. Камалян А.Г. 0 нормальной разрешимости дискретного аналога интегральных уравнений с почти разностно-суммарным ядром. -Изв. АН Арм.ССР, сер.матем., 1984, т.ХП, В 5, с.390-397.

74. Heinig G.,Rost К. Algebraic Methods for Toeplitz-like Matrices and operators.- Mathematical Research,Band 19»Academic-Verlag, Berlin,1984,213р.

75. Бурбаки H. Функции действительного переменного. М.: Наука, 1965, 424 с.

76. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 197I, 103,с.

77. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. 0 функциональном уравнении-ф а,)- 6(х)= %(а>) . Изв.АН Арм.ССР, сер.матем. ,1970, т.У, № 5, с.441-4448.

78. Карапетянц Н.К., Самко С.Г. Об oc(t) -факторизации и о функциональном уравнении с вырожденным символом. Изв.Сев.-Кав. научного центра высш. школы, сер.нстест.н., 1973, $ 4, с.41-43.

79. Карапетянц Н.К. .0 факторизации со сдвигом а>+ ои на оси. -Изв. Сев.-Кав. научн. центра высш. школы, сер. естест.н., 1975, № 4, с.98-100.

80. Дудко Л.Н., Кальмушевский И.И. Об условиях подобия оператору в терминах характеристической матрицы-функции. Изв. вузов, Математика, 1976, № 4 (167), с.38-46.