Некоторые аналоги формулы Планшереля-Ротаха для классических ортогональных многочленов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Лариончиков, Роман Сергеевич

• Лариончиков, Роман Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лариончиков, Роман Сергеевич

Введение

1 Основная лемма

2 Формула Планшереля—Ротаха для функций Че-бышева-Эрмита

3 Аналог формулы Планшереля—Ротаха для многочленов Якоби

4 Новый аналог формулы Планшереля—Ротаха для многочленов Чебышева—Лагерра

5 Весовые оценки для многочленов Чебышева-Эр-мита и Чебышева-Лагерра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые аналоги формулы Планшереля-Ротаха для классических ортогональных многочленов»

Пусть па интервале (а,Ь) определена весовая функция h(x) [8]. Тогда существует система ортонормированных многочленов

Во(х), ВА(х), В2(х),. , Вп(х),. , (1) т.е. таких, для которых выполняются условия h Л

I h(x)Bn(x)Bm{x)dx = 5пт, а где дпи1 — символ Кронсксра.

В теории о])тогональных многочленов рассматривается случай, когда функция h(x) удовлетворяет дифференциальному уравне-I пню Пирсона. Тогда многочлены (1) называются классическими

8|.

Одной из ключевых задач, стоящих на пересечении теории ортогональных многочленов и теории специальных функций, является задача, вычисления значения многочлена в произвольной точке на интервале ортогональности. Решение данного вопроса имеет сле-j уу к щи i с и ри менения:

1) исследование различных видов сходимости рядов Фурье по (>jугогональиым многочленам: оо b

Е а„ вп(х), где ап =

-О а

2) вычисление значений ряда (2) в произвольной точке на интервале (а,Ь); о) изучение асимптотики коэффициентов Фурье ап\ 4) определение условий ограниченности многочленов В,,(х) в отдельной точке, или на некотором множестве внутри (а,/;), или на всем сегменте ортогональности. h(x)f(x)Bn(x)dx, х G (a, b); (2)

Возникает задача об асимптотическом поведении последовательности (1) при возрастании номера п. Для исследования асимптотических свойств ортогональных многочленов применяются различные специальные методы и приемы [7].

Асимптотические свойства классических ортогональных многочленов подробно исследуются методом Лиувилля-Стсклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений. В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала. Метод Дарбу основан на производящих функциях. Наиболее универсальным является метод Г. Сеге, который применяется в самых общих случаях.

К настоящему времени с помощью этих и других методов получено много результатов по асимптотическим свойствам ортогональных многочленов. Наиболее важные результаты получили II. Лаплас, Гейне, Мелср, Дарбу, Стилтьсс, Хильб, Г. Сеге, Фсйер, Перрон, Планшерель, Ротах, Ватсон. Большая часть их утверждений относится к классическим ортогональным многочленам.

В 1920-м году Планшерель и Ротах [17] с помощью метода перевала получили новые асимптотические формулы для многочленов Чебы11icва-Эрмита. Стандартизованные многочлены Чсбышсва-Эрмита могут быть определены по формуле

Нп(х) = (-1)"е*2(е-*2)<">, (3) где п - степень многочлена. Планшерель и Ротах доказали следующее.

Теорема 1. Пусть е и из - фиксированные положительные числа. Справедливы следующие соотношения: (а) при х — (2п + l)1/2cas (f, £ < tp < 7Г — £ к . I , „ I , ч 1 , . 1 г + ; х <sin n 1\ / • л л Ч 37Г - + - J (sm 2ср - 2у) + — 0{пЛ) ; (4)

Ь) при х — (2ri + I)1 /2 ch у?, £ < <р < ш Нп(х) = 22"3(n!)2(7rn)~i(sh^)"i х х схр (2(р — sh 2ip)

1+ 0(^)1; (5) с) при х (2/7. + 1 )1/2 - 2"1/23~1/;Vi~1/f)^ t - ограниченное комплексное число, r'hf„(x) = ЗЗтг-422+5(п!)2п-та + О (п-п)J , (6)

4(/) - функция Эйра, определяемая по формуле чЗ/у / „\3//

7Г +оо ( —

Л(*) = - Е V л)

7VX +2° (—f) --Е л 1

7)

3 //=() iA Г + | j 3 3 /у= о Т/!Г ( ^ + о

В формулах (4)~(6) оценка остаточного члена равномерна.

Многочлены (3) удовлетворяют уравнению у"хх + (2п + 1 - х?)у = 0. (8)

Формулы (4), (5) и (б) характеризуют поведение многочленов (3) вне и вблизи точки поворота х = \/2п -f 1 дифференциального уравнения (8).

С Стандартизованные многочлены Чсбышева-Лагерра могут быть определены по формуле

LJx;a) = -«Хх~п (е'ххп+а){п),

71! где и - степень многочлена. В 1934-м году Меклин [15] применил метод перевала, рассматривая данные многочлены в случае а = 0. Позднее Г.Сеге рассмотрел случай произвольного а [7] и доказал нижеприводимое утверждение.

Теорема 2. Пусть а > — 1, а £ R, £ и из - фиксированные положительные числа. Справедливы следующие соотношения: (а) при х = (4/г + 2а 4- 2) cos2 tp, £ < ip < f - era-1/2 x Sill f a +1\ . 37Г n + l (sm 2tp -2(p) + — (пх)-Ю( 1) ; (9) b) при x — (An + 2a + 2) ch2 ip,£ < ip < из с~*Ь„(х;а) = ~(-l)n(7rshx 2 x exp

1/3

1 + 0(0]; (10) с) при x — 4n + 2a + 2 — 2 t, t - ограниченное комплексное- число, tr$Ln(x]a) = (-1)пп-12-а-*3*п-* + О , (п) где A(t) - функция Эйри (7).

Во всех :miux формулах оценка остаточного члена равномерна.

В дальнейшем Сковгор [12, 19] и Эрдсйи [11] получили обобщения для формул (б) и (11). Ортонормированные многочлены Чебы-шева -Зрмнта и Чебышева-Лагерра определяются соответственно по формулам [8]

Нп(х)

Н„(х) = И

L„(: г:; в) = (-1)"

Выло доказано следующее Теорема 3. ([19, 12, 10]) 11п({2п + \ )]/2х) =

- (2тг)2(2д+1)п/2+1/г,схр п\

Г(тг + с* + 1) X раано-мерно на промежутке 1 < а < х < оо

Ai(-(2r*,+ l)2/'Vi) + п(1 + я;2) , при

77 —> оо. Здесь 2 *

-0f(ar) f(l- t2)i(lt при а < х < 1,

3 i:

9 х j f(i2 - l)?dt при 1 < x < оо, • > 1

Ai(x-) = - [ cos (i*3 + atf) dt 7Г \3 / интеграл Эйри, Ai(ar),

Ai(.r) если x > 0, i(:i;)|2 + | Bi(x')|2)'/2, c(.-4H a: < 0,

12)

13)

14) lii(.T) = i + sin (t,x + if1) J dt.

15)

Для многочленов Чсбышсва-Лагсрра аналог теоремы 3 выглядит следующим образом

Теорема 4. ([11, 10]) Пусть О < а = а(п, а) < х, п > >

0. Тогда

-1)" ( 7Г у/2 х 2-NI-UAI2NNH+\/C,f,-N/Ax-(,,+\)/2ej:/2 х

X Ia\(-N2/%) + о N ------ l/i -(- 2а + 2, t = x/N, 0 < t < оо,

Ht) WM" = 5 Q -1) ,

-А1(-лг2^2)1), (16)

X J J

Ml) g (arccos^/2 t2y/2^ npu о < * < 1,

2/3

- [f - 01/2 - arcli^)]-. npu t > с/гя А/(ж) и Ai(x) справедливы (13)-(15). Г1])нменяя известные соотношения [13, 12]

1 1 -Izi

Ai(c) - --ir'^z^fC* '2 l + O и z —> 00, —7Г < arg 2 < 7Г, z > 0, z —> oo, к (12) и (10), получим формулы (4), (5) и (9), (10) соответственно с См шее точными областями определения и оценками остаточных членов. В частности, имеет место следующее утверждение

Теорема 5. 1) Пусть О < в < п/2. Тогда Я„((2//.+ I)1/2cos0)

1 / ч" . 1 л /277, + 1 \

- 22(2/7 + 1)* sill"* 0схр (—-—cos 26J х

X <cos

2) Пусть в > 0. Тогда

Д (2/7+1 У'/2 cli 6>) =

- (2sh0)~*(2ra + 1)'схр

2n+ 1

20 + е-29) х х

1 + 0 (гГ1 arsh"3

201 f к'достатком теорем 1-5 является отсутствие численных оценок па остаточные члены. В данной диссертационной работе выводятся формулы (4) и (5) и даются численные оценки на остаточные члены. Кроме того, приводятся аналоги для производных от правых частей (4) и (5) вместе с соответствующими численными оценками на остаточные члены.

Методика получения асимптотических формул, рассматриваемых в данной работе, заключается в следующем. Классические ортогональные многочлены с точностью до некоторого функционального множителя удовлетворяют дифференциальному уравнению вида y"IX - Q(x, А)у = 0,

17) где х принадлежит некоторому промежутку из К, А - параметр, зависящий от степени многочлена. Уравнение (17) эквивалентно некоторой системе интегральных уравнений, к которой может быть применен принцип сжимающих отображений [4]. Этот принцип дает численные оценки для собственных функций интегрального оператора, ко торые могут быть использованы для оценок частных. решений у\ и ij2 уравнения (17). Пусть у\ и у2 линейно незавси-мы. Любое решение уравнения (17) согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений нредставимо в виде С\у\ +С2У2, где С], С2 - коэффициенты [6]. Это представление с соответствующим образом подобранными коэффициентами С\ и С2 даст асимптотические формулы для рассматриваемых многочленов.

В первой главе даются оценки для частных решений уравнения (17). Рассматривается случай Q(x,X) Ф 0 (Q(x, А) = 0 => х -точка поворота (17)). Пусть п\ 1 <л*>л) 5 т*л))2

1 ' ,ч> 8(q(x,\))w 32(g(.x-,A))V2' x-n, х, Л) = / sjQ(t,\)M,

Х{)

Pl(x,X,Q)=f\8{t,\Q)\dt, X

Ъ(\) = (1-2щ(а,\,(1)Г\ где х £ \а. /j], A £ А, Л - множество параметров.

Лемма 1.1. Пусть УХ £ A Q(x, А) - комплекс-позначная функция. (}"(х,\) непрерывна при х £ [а, 6] и

Q(x, А) ф 0, ж £ [а, 6]. Пусть на [а, /;] мож.но выделить ветвь y/Q, такую, что

UeyjQ(x, А) > 0, ж £ [а, Ь], (18) у/ (наполнено условие

P\(a,\,Q) <

Тогда VA 6 Л уравнение (17) имеет решение у(х, А), такое,что при х € [а, 6] у{х, А) - Q-"\x, Л)ОФ(-£(®о.®,А))1 < 47i(A)|<5(x, А)|-1/4ехр(—5Ке£(жо, х, \))pi(x, A, Q), (19) |у'(х, А) + A) cxp(-f(®о, А))| < |Q(x, А)|"4 cxp(-«ef(®0) х, Щ4Ъ(\)Р1(х, A, Q) + i|Q'(a;,A)||Q(x,A)r3/2(l + 471(Ab(a;,A,Q))). (20)

Ветвь л/Q в формулах (19), (20) выбрана в соответствии с(18),х0е[а,Ъ].

Ветвь \[Q выбирается из соотношения

Здесь же формулируется и доказывается аналог этой леммы для бесконечного промежутка. Пусть х Е [1,+оо), оо

Р2(х,\,Q)= I \5(t,\,Q)\dt, X

72(А) = (1- 2Л(1,А,0))-,)

Имеет место

Лемма 1.2. Пусть VA € A Q(x, А) - комплекснозначная функция, причем Q"(x, А) непрерывна на [1,+оо) и

Q(x, А) е [1,+оо).

Пусть на [1, -hco) можно выделить ветвь функции корня y/Q, такую, что

Re^Q{x, А) > 0, ж G [1,+оо), (21) и выполнено условие р2( 1,A,Q) < i.

Тогда VA € Л уравнение (17) имеет решение у(х,Х), такое, что при ж € [1,-Ьоо) справедливы следующие оценки у(х, А) - Q"'/4(a;, А) ехр(-«1, А))| < 4^(A)|Q(®, А)|"'/4ехр(-Ле£(1, х, А))р2(х, A, Q) (22) l/(®,A) + А) схр(-^(1,аг, А))| < |Q(x, А)|'/4 схр(-Яе£(1, х, Щ4Ъ(\)р2(х, A, Q) + ±|Q'(x, A)||Q(a;, A)|"3/2(l + 472(А)р2(х, A, Q))). (23)

Ветвь \/Q в формулах (22), (23) выбрана в соответствии

Вышеприведенные леммы являются развитием метода последовательных приближений, применяемого в теории дифференциальных уравнений [2].

Во второй главе рассматривается возможность применения этих лемм для многочленов Чебышева-Эрмита и, в частности, выводятся формулы (4) и (5). Доказываются следующие теоремы. и

4s/q = \w

Пусть

A(s, п) =

10s

-,B(s,n) = s

А(2п + 1 - s2)3/2 - bs

2(2п + 1 — б'2)3/2'

Теорема 2.1. (Случай \х\ < лДпТТ.) ([26], [23]) При условиях п > 2, s > 07

2 \2/3 + (46j <2п + 1>

24)

B{s,n) + 1)(Л(5,П) + l)2 - 1| < 1 (25) справедливы следующие асимптотические формулы: 1) е л

-К 1

П 4 X X тг у/2п + 1 - S2

7Г П\ cosy] \[2п + 1 — rfdrj--—J + q\(s, n)

1 +gi(n) 1 + p(s, n) (26) где

Kr

1 V2n " UPU П = hHI< (e1^2») - l)(eV(4«) + i)/2. при n = 2m, e^^/N + i)/2 1. npti n = 2m + 1, n)| < n) + l)(i4(*, n) + l)2 - 1, < (B(s,n) + l)(;4(s,n) + l)2 - 1. при n = 2m, < (i4(s,n) + l)2 - 1. при n = 2rn + 1. e-2/2Hn(s)

2 4

-KnV2n + l-s2 x

7Г X sin^У* + 1 - r]2drj - + q2(s,n)

1 + £i (w) 1 + p(s, n) (27) q2(s,n)\ < (B(s,n) + l)2(A(s,n) + l)2 - 1, при n = 2m, q2{s,n)\ < (B(s,n) + 1 )(A(s,n) + l)2 - 1. при n = 2m+l. 3) se-s2/2Hn(s) =

2„ \/2n

-Kni 4 = ъ л/2п - 1 - б'2 X X sin (J \j2n — 1 — rj2dr] — + n — l)

1 + gi(n- 1)

1 + p(s, 77, — 1)

2 4 --

-Kn\/2n + 1 - s2 x

IT X sin

2n + 1 - T]2drj — + ri) l + gl(n) (28)

Область определения формулы (28) ограничена условиями (24) и (25) с заменой в них п на п — 1 (п > 3). С помощью формулы [8]

Hn(-s) = (—l)"#„(s) (29) формулы (26), (27) и (28) могут быть видоизменены для отрицательных s.

Теорема 2.2. (Случай |ж| > \/2п +1.) ([24]) При п> 1 справедливы следующие асимптотические формулы: l)e~^'2Hn(s) = 1

2ж)У2^2 - (2 п + 1) X X

1 + a(s,2n + 1)

1 + а(+оо, 2п + 1))(1 + е2(п))

30) где s G (\j2n + 1 + (2(2п + l))1^3, , а члены a(s,2n + 1), a(-foo,2n 4- 1) и £2{п) играют роль погрешностей и для них справедлив о следующее: а) для каждого фиксированного п предел а(+оо. 2п + 1) = lirri a(s, 2п + 1) существует и конечен ; б) выполнены оценки a(s,A)| < где 3 € (Х/Л + (2Л)1/3,Х^Л) ,

-j^, где s > л/2А; еЩ2п+\)(еШ + 1)

Ы™)| < ----1.

2) \e~"2/2Hn(s) - (2n+ 1) Нл^^+^'пГ^^)

2тг)1/2

1 + P(s, 2п + 1) X

1 + а(+оо, 2 п + 1))(1 + е2{п)) (31) где s € A/(2n + 1) + (2(2те + 1))1/3, +оо) и

1№,А)|<

2^Л'/2 , Л1/2 /(А-2Л)3/2+^Л1/2\ s2A)3/2^A1/2 "Г Л)3/2 У(д2Д)3/2л/2Л1/2; I где s G (УА + (2Л)1/3, Л/2А) ,

5Л+л/2 \/2Л(А—\/2)' где s > л/2Л.

Применение известной формулы [8, 7]

H'n{s) = Vs G R, к (30) и (31) дает новую асимптотическую формулу. Она и формулы (30) и (31) с помощью формулы (29) могут быть в идоизменены для случая отрицательных s.

Третья глава отводится для многочленов Якоби [8] рп(х- а, [3) = + xyf> [(1 - *)«+»(! + х)0+пр) 5 ж е (-1,1), а > -1,/? > -1. (32) С помощью леммы 1.1 доказывается следующая теорема.

1-0i a + p + l дг = 7н--£-, а >-!,/?> -1,

Q(cos<9,AT) А В sin2 | cos2 f N:

1(0) = 1(в,ща,Р) = / ^/|Q(cos0, тг/2

33)

Теорема 3.1. Пусть 0 < e < 7г/2. Тогда Зтгт = 7ii(e,a:,/?)

Vn > rii на отрезке [s, 7Г — e] справедливы следующие формулы f 0ч«+1/2 / 0v/*+1/2 sill - J I cos -J Pr,(cos 0; a, /?) = 1 cos 0, TV) |

C, и) |COS I(в) C2(n) {sin /(0) + О } в\'*+]/2 { 0\/W/2 siri-l I cos-1 P„(cos0; a,/3)

2) cos0, N)\ C2(n) |cos 1(6) + О | (35) где ч П+11+1

С, (rt) = 2—

Рв(0;а,^|д(0,ЛГ)|(1 + оЦ a-P

VWVAOI (36)

C2(n) = 2~ba — (3 x

P(b)l t1 + ° (Й)+ p"(0; a' ^e^io (i

• (37)

Оценки в формулах (34) и (35) являются равномерными по 6 G [е, 7Г — е]. Оценки в формулах (34) ~ (37) не являются равномерными по е.

Далее в этой главе выводится точное выражение в элементарных функциях для интеграла (33).

Обозначим t\ и t2- корни многочлена

-N42 + 2(Л - B)t + 2(А + В) + JV2, причем t\ < t2. Пусть x{t) = t2-t t -1,'

Ф(в) = arctga;(cos0) — arctg:c(0),

In x(cos0)

In

Ф) - sj i+h -1-J, ж(0) +

1+/2 -1-/,

MO) = y(i-u)(t2-i)

In ж (cos 9) — ft -l x(cos0) + ^ к -l •ii

In o) - m7

0) + Щ

1>№ = arctg{,

11 +12 x (cos 0)} arctg{,

1+fr b + t2 my

Ф2(в) 2 arctg{,

N 1 — a:(cos0)} — arctg{(

0)} l-t2

Теорема 3.2. Vg > 0, e G (0,7г/2), 3n2 = n2{e,a,P),Vn > n2 справедливы следующие формулы

2N [Ф(0) + щ (в) + <р2(6)} при а2 + р2 < 1/2, 2N [Ф(0) 4- Vi (0) + фгШ при а2 + Р2 > 1/2, 1(9) = N (в - §) . при а2 = р2 = 1/4,

2N [Ф{0) + w(0) + ф2(0)] ■ приа2 + р2 = 1/2, Н > Щ,

2N [Ф(9) + ф^(9) + <р2(9)} при а2 р2 = 1/2, \а\ < \Р\, где в € [б, 7Г — е\.

Отмечается, что в случаях многочленов Чебышева I рода (а = Р = —1/2) и многочленов Чебышева II рода (а — Р = 1/2) формула (34) приводит к определениям этих многочленов на интервале (-1,1):

Тп(х) = COS(72 arccos х) и

Unix) = sin(n +1) arccos х х/Г-ж соответственно [8].

Отдельно рассматривается частный случай многочленов Якоби — многочлены Лежандра (а = Р = 0 в (32)). Для них оказывается возможным вывести явные формулы для коэффициентов С\ (п) и С2(п).

Пусть тг - 20| 1 + 6 I П + ^ , 64(n+l) sui'fl^ V 2/ " ап(0) =

4р„(0)

Ш = а,№ + ^в (П + Э 1 (1 + ап{в))

Теорема 3.3. ([25]) При условиях рп{@) < 1/2, п >2 и

К(0)| + IA.WI + Ывшв)| < 1, где в € (0,7г), справедливы формулы

1) (sinOy/2Pn{cos0) X

7Г

X COS

Sign

2n+l \Jl + (2 rc+l)2sin20 7Г 7Г7г\ 7ГП]

2~"arctg (2n + 1)| cos 4~TV+T

1 + (2n + l)2 sin2 6> - I cos fl| 4 П + (2n + l)2sin2# + | cos0| l+e(n)

1 + Ф nW icte kWI < l + 3eV(^m) + e5/(8m)) . npt4 n = 2m, el/(8m)(el/(2w) - 1) + ^ (eV(2m+l) + 3) x x (e5/(8m) e1/(8m) + ^ n = 2m + 1,

K(0)| < <Xn(0) + Pn(0) + <xn(6)Pn(0). при n = 2m, 2an(d) -f аЦв) при n = 2m -f 1,

ФПWl < <*n{0) + Ш + ап(0Ш0),

2)[(ътву12Рп{соъв)\в =

2a 1

X — sin

1 yjl + [2п + 1)2 sin2 в- I cos 0\ sign (^ — (- In ,-—

A4 ^/l + (2n + l)2 sin 0 + I cos#|

2n + 1 \jl + (2n+ l)2sill2 в 7Г 7ГП\ 7ГП

2—arCtg (2n + 1)| cos#| 4~Ti+Tj

1 + g(yi)

1 + Ф»(0)! где

SrM <

20п(О) + 0*(в). при п — 2т,

ОСп(в) + Рп(в) + ап(в)Рп(в) При 71 = 2т + 1.

В четвертой главе рассматривается применение леммы 1.2 для случая многочленов Чебышева-Лагерра. Для них выводится асимптотическая формула, описывающая поведение этих многочленов для больших значений переменной.

Обозначим

E(s, А) =

4А(«2-А)3/2

17 +

1, 1

12675А

488 + 2584*3 4 \65/

3 1-а2 e2-A)3/2J при |а| > при |а| <

VD(7(s2) А /l(6')=WM)"4ln

Ст(^2) +1

СтИ -1

А — y/D

K(C7(S2)),

7(t) = <;7(t,\1a) = t

Х-у/Р 2 t~

X+y/D 2

WH y+

A-y/g

WS?1»,.,*.

1/4 > 0, 1/4 < 0.

О? 4

Теорема 4.1. ([27]) Если п > 1,а > -1,а2 ^ J, 1, s2 > ЦЛ, Л = 4п + 2а + 2, А) < 1/2, то справедливы формулы

1) e~',2/2sa+1/2Ln(s2;a) =

Da/8 i i X

2Л/2еЛ/4 ^п!Г(а + п+1) 4/б,2 д + х схр

Vd-x l)jcxp(-J,(S))1 + a(+00|A), где

4Я(з,А) . . . 4£(+оо,А) l-2£(s,A)

1 -2#(+oo,A)'

2) [e"e2/2s«+i/2£n(s2;a) дА/8 fc — Л + ^ X x cxp

П + 1)

VD-X Л 1 + /3(*,A) tf (1) j cxp (-/, (*)) 1 + q(+00)A) где.

4E(s,X) 1 s2-^ 1 + 2E(s, A)

2-i

A)i < j 2E'{StA)+2s ^ ^ + «3/2! 2S(;;A)

Замечание 4.1. Пользуясь формулой [8]

Ln(s; a) s = a + 1), a > — 1, n G N, (38) теоремы 4-1 можно получить асимптотические формулы для любых а таких, что а > — 1 и а ф — | + т, где ш G N.

Замечание 4.2. Формула [8] а)]я = riLn(s] а) + \J(n + a)nLn-i (s; а) (39) с использованием результатов теоремы 4-1 дает новые асимптотические формулы.

Замечание 4.3. Асимптотические формулы для исключенных случаев а — — | + ш, где т Е N, могут быть получены с помощью результатов теорем 2.1 и 2.2, формул (38) и (39) и формул [8]

Н2п+\{х) = xLn(x2; 1/2).

Этот случай замечателен тем, что в отличие от других параметров а здесь имеются асимптотические формулы в начале координат.

В заключение главы дается асимптотика для коэффициента К( 1) вместе с численными оценками на ее остаточный член.

В статье [20] сформулированы восемь нерешенных задач из теории классических ортогональных многочленов. Три задачи для многочленов Чсбышева-Эрмита и Чебышева-Лагерра формулируются следующим образом:

Задача 1. Найти последовательность максимального роста такую, что выполнено неравенство

Нп(х)

-х2/2 < Cl

П1 хе[-Ап,Ап]. (40)

Задача 2. Найти наименьшее и?, для которого справедливо неравенство

Нп(х)

-х2/2

С2(ш) х G

1 + \х\и ~ гс1/4

Задача 3. Найти последовательность {-^и^ен максимального роста такую, что выполнено неравенство ft I 1 X

С Сс^

Ln{x;a)| < ~> -1/2, ж € [0,В„].

71 '

В задачах имеется в виду, что Сь 62(0;), Сз(а) - некоторые константы, не зависящие от п.

Эти задачи связаны с вопросом сходимости в точке на прямой ряда Фурье по соответствующим многочленам. Пусть

Sn(x]f)= i,ak(f)Hk(x) (42) к=1

- частичная сумма ряда Фурье f(x) по многочленам Чебышева-Эрмита, оо = / е"» f(x)Hk(x)dx оо

- коэффициент Фурье по ортонормальной системе {Нп(х)}пещ. Тогда справедлива формула [8] f(x) - S„(x;f) = ^

1 (о>п{Фх)Нп+\(х) - ап+л(фх)Нп(х)),

43) где - №

- вспомогательная функция.

Если доказать, что при фиксированном жбМ н=°ш> м ап{Фх) = о , (45) то, как видно из формулы (43), можно будет утверждать об ограниченности в точке х остаточного члена ряда Фурье (42). Решение задач 1 и 2 дало бы ответ на вопрос, при каких х и f{x) возможны соответственно неравенства (44) и (45).

В монографии [8] доказывалось, что (40) справедливо при о\ 1/3

A„=g) (2n + l)V« и давалась оценка ш < 5/2. Для многочленов Чебышева-Лагер-ра там же [8] неравенство (41) доказывалось для Вп = га3/11. В дальнейшем было доказано [14], что Зпо,по > 0,gi,0 < д\ < 1 , Vra > щ при Вп = Ад\п справедливо (41). В качестве следствия из этого результата доказывалось, что 3ri],n\ > 0,^2,0 < д2 < 1, Уп > 71] при Ап = g2\fbi справедливо (40).

В пятой главе дастся полное решение задач 1-3 [21]. Доказывается следующее.

Теорема 5.1. Неравенство (41) выполнено тогда и только тогда, когда выполнено условие

ПЕ — < 4. п—>+оо л

Следствие 5.1. Неравенство (40) выполнено тогда и только тогда, когда выполнено условие

ПЕ V2.

В пятой главе также доказывается, что ш = 1/3.

1 Основная лемма

Для вывода асимптотических формул необходимо сформулировать и доказать две леммы. Эти утверждения содержат оценки для приближенных формул решений дифференциального уравнения второго порядка. Область определения является промежутком на R. Рассматриваются два случая: конечного отрезка и бесконечного полуотрезка. Фактически выводятся те же формулы, что и с помощью первого шага ВКБ-метода [9]. Ценность этих предложений заключается в получении непосредственных оценок для остаточных членов асимптотических формул. Рассмотрим уравнение где у = у(х, A), A Е А, Л - некоторое множество параметров (далее Л = R или N ).

Введем обозначения: ylx - Q(x, А)у = 0,

1.1)

5{x,\,Q) =

1 Q"{x, Л) 5 (<Э'(ж,А))2 8 (Q(x, А))3/2 32 [Q(x, А))г'/2

1.2) X

1.3) Ь

1.4) X

71(А) = (1-2 px(a,X,Q))~\ (1.5)

Сейчас мы рассматриваем случай конечного отрезка х € [а,Ь].

Лемма 1.1. ПусгпъУА £ A Q(x, А) - комплекснозначная функция, Q"(x, А) непрерывна при х G [а, 6] г/

Q(x,A)^0,x€ [а, Ь]. (1.6)

Пусть на [а, 6] можно выделить ветвь \fQ, такую, что ejQ(x,\) > 0, ж G [а, 6], (1.7) г£ выполнено условие

Pi(a,A,Q)<(1.8)

Тогда VA € А уравнение (1.1) имеет решение у(х,\), такое, что при х G [а, 6] у(®, А) - <у-'/4(г, А) ахр(Ч(го. А))| < 47i(A)|Q(.t, А)|-1^4 с»ф(—3te^(a;o, ж, А))р](ж, A, Q), (1.9)

А) + Qy\x, А) схр(-е(я0, ж, А))| < )Q(x, А)|'/4 схр(—Же^(х'п, х, А))^471 ('A)pi (х, A, Q) + + A)||Q(ar, A)|"3/2(l + 47,(А)Pl(x, A, Q))). (1.10)

Ветвь y/Q в формулах (1.9), (1.10) выбрана в соответствии с (1.7), Х{) G [а, 6].

Ветвь t/Q выбирается из соотношения

Для компактности изложения в большинстве случаев обозначения переменных у функций опускаются. Например, вместо Q(x, А) пишется просто Q, а вместо £(xq, ~ f •

Доказательство. Зафиксируем А € Л. Сведем уравнение (1.1) к системе первого порядка у к у'

О 1 w

Q О V

VI

Сделаем преобразование где

Х(х) = ) = *(*) К

У) \V2

1 1

Ищем Х-1 (х) = 7. с d 7 где

Q /

1 1 а Ь f1 1 0

U f) [о 1 отсюда и с + ё = 1 ас + Ьё = О,

1+7= о ad + bf = 1, = й с = а—Ь а—Ь 1 f а-ь d = Ла—Ь

Таким образом, получаем

1 {-Ъ 1

1.И)

1.12)

Х'\х) = а — Ь [ а -1 I -1 и

V\ \ хг-1/ч I У

V зл

1.13)

Найдем матрицу Л(х) такую, что

V1

V2 Л(х) ы к

1.14)

Сначала вычислим производные компонент матрицы X 1 (ж), полагая по определению

Х~\х) = (kij(x)), D(x) = Шх)), i = 1,2-J = 1,2.

D(x) =

1 (Qx/2 + % OY Qt/2 - % -1

QL (Q,/2 + % 1

4Q3/2 QU2 tf <£3=®£. о ^

4 Q' 2 ig-vv fl^pa! о q' \ -W)2

8C?3/2 4q3/2

Q", | 3((/)2 Q' V 80^72 mfil? у

Используя формулы (1.11), (1.12), (1.13), (1.14), получаем

А(х) = D(x)X(x) + Х-' (x)(°Q J) Х(х). Считаем отдельно каждое слагаемое:

D{x)X{x) = jf з«?')2

80^72 Tig572

ОН-Л. М.I2

Q' \

4Q3/2

I "уч; ; ч;

V 8Q3/2 юд5/2 4д3/2 У х х 1 1

Ч 4 Q Ч АП

4 q / J£L (Q1)2 £L

8Q*/2 8Q-V2 4 Q

Q" I (Q')2 I Q'

8Q372 8Q5/2 + 4g

1 4Q

Q" | (q')2 Q'

8Q3/2 ^ 8Q5/2 4Q / о П <Э о

X(x) =

2Ql/2[Q1/2-^ -l x X

0 1

4 Q

1 2 1

1 + 4Q3/2

1 -QL

1 4Q3/2 (ГА

Q~1/2 -Q~x'2 v Q Q

- ®) + ]

Складывая, получаем:

Ж*)

803/2 ^ -1 -l J 8Q5/2 \ l 1

Q'

4Q

-1 1 1 -1 Q1/2

1 0 0 -1 gt о -n (iQ'f f-i -i

4Q { -1 0 J + 32QV2 1 1 1

Q,/2

1 0 \ Q^/ 1 0

0 -1 J 4Q I 0 1 2

Q" 5 (Qf)

1 1

8Q3/2 32QV27 l-i-l

Следовательно, используя (1.2) и (1.14), Q' ( 10

С)'-ИГ.

4Q \ 0 1 6(х, X,Q)( \ \ Ш I • (1-15)

-1 -1 [V2

Определим uj, j = 1,2, из соотношений

Vj = Q-1/4(x, А)схр(-£(ж0,я, X))ujJ = 1,2. (1.16)

Учитывая определение (1.3), из дифференцирования формулы (1.16) следует: v'j = (~\cr5/4Q' - Q-1/4Q1/2)exp(-0^ + Q"1/4exp(-ОЦ. (1.17) Подставляя (1.16) и (1.17) в (1.15) и сокращая на Q-1/4exp(—£), получим систему уравнении: 1 1 0\ % ( 1 1 xw щ и2

Рассмотрим систему интегральных уравнений: щ (х, А) - /схр(2£(£, ж, A))S(t, A, Q)fa(t, А) + u2{t, A))dt

1ь щ(х, А) = 1 - I5{t, A, Q)(«, (t, А) + и2(4, A))di.

1.19)

Дифференцируя первое уравнение, получаем, используя (1.3): х и\ = 2y[Q J ехр(2£(£, х, Х))5{щ + u2)dt + 6{щ + щ) ь

Подставляя в полученное равенство вместо интеграла в правой части щ (возможность такой подстановки следует из первого уравнения системы (1.19)), получим ни что иное, как первое уравнение системы (1.18). Продифференцировав второе уравнение (1.19), мы получим второе уравнение системы (1.18). Таким образом, любое решение системы (1.19), непрерывное на [а,Ь], является решением системы (1.18).

Можем записать (1.19) в операторной форме

U = U0 + GU, (1.20) где U = (щ, 112) , Uq = (0,1) и в - интегральный оператор ,

В : С([а,Ь\) х С([а,Ь}) С{[а,Ъ}) х С([а,Ц).

К уравнению (1.20) можно применить принцип сжимающих отображений.

Рассмотрим С([а, 6]) хС([а, Ь\) - банахово пространство вектор-функций U(x) = (щ{х),и2(х)) с нормой

7|| = тгшх{тах\щ(х)\).

1=1,2 хе\а,ь]

В первом из уравнений (1.19) мы имеем t > х ,так что х, Л) <

0 в силу (1.7). Следовательно, для U = (щ,и2) € С([а,6]) х С([а,Ь\) получаем из (1.19) eU)j(x,\)\ < 2||£/||/»i(a;,A,(3) Vz € [а,Ь], j = 1,2. (1.21)

Из этой оценки и (1.8) следует, что ец < 1.

Поэтому к уравнению (1.20) можно применить принцип сжимающих отображений [4], и это уравнение имеет решение U = (щ, и2) такое, что ||С/|| < 71(A), где 71(A) определяется из (1.5). Действительно, из (1.21): lietf || < 2\\и\\Ри а для неподвижной точки U

U = и0 + ее/, поэтому, так как Uq = (0,1),

1/||-1<||{/-1/„||<2||С%ь т.е.

111^11 <(1" 2л)"1.

Из равенства

Uj = {UQ + QU)j, j = 1,2, и (1.21) получаем

Л)| < 27i(A)/?I(X, Л, Q), Ых,\)-1\ <27i(A)pl(x,X1Q).

1.22)

Решение U в силу замечаний, сделанных ранее, является решением системы дифференциальных уравнений (1.18). Используя замены (1.12) и (1.16), можем получить решение исходного уравнения (1.11), для которого, в силу тех же замен и неравенств (1.22),

Аналог этой леммы содержится в [2]. Его существенным отличием является формулировка для интервала (а,Ь). Для доказательства в этом случае следует заменить пространство непрерывных на отрезке [а, Ь] функций С[а, Ь] на пространство непрерывных и ограниченных на интервале (а, Ь) функций М(а, Ь).

Оценки, подобные приведенным в лемме, имеют место и для бесконечного полуинтервала [1, +оо). справедливы оценки, приводимые в лемме.

Пусть

1.23) X

72(Л) = (1- 2Л(1, Л, Q))-1.

1.24)

Имеет место

Лемма 1.2. Пусть VA G A Q(x, А) - комплекснозначная функция, причем Q"(x, А) непрерывна на [1,+оо) и

Q(x, А)^0,же[1,+оо). (1.25)

Пусть на [1,+оо) можно выделить ветвь функгщи корня y/Q, такую, что

Re^Q{x, А) > 0, ж <Е [1, +оо), (1.26) и выполнено условие

A, Q) < (1.27)

ТогдаУA £ А уравнение (1.1) имеет решение у(х,Х), такое, что при х € [1,+оо) справедливы следующие оценки у{х, А) - Q~u\x, А) cxp(-f(l, X, А))| < 472(А)|0(Ж,А)Г,/4схр(-Ле4(1,Ж,А))р2(а;,А,д) (1.28) и у'(х, А) + Qx/\x, А) ехр(-£(1, х, А))| < \Q(x, А)|'^4схр(—Яе£(1,х, А))(472(А)р2(ж, A, Q) +

А)||0(а, A)|-V2(l + 472(А)р2(х, A, Q))). (1.29)

Ветвь y/Q в формулах (1.28), (1.29) выбрана в соответствии с (1.26).

Ветвь \/Q выбирается из соотношения

Доказательство. Пользуясь преобразованиями (1.12), (1.16), сведем уравнение (1.1) к системе первого порядка (1.18).

Заменим эту систему системой интегральных уравнений щ (ж, А) = / ехр(2ж, A))6(t, A, Q){ui(t, А) + u2(t, A))dt щ(х,\) = 1- I 5{t,\,Q){m{t,\)+u2(t,\))dt. оо или в операторной форме

U = U0 + GU, (1.30) где U = (щ, щ) ,[/о = (0,1) и В-интегральный оператор , : Сь([1,+оо)) х Сй([1, +оо)) Ci([l, +оо)) х Сь([1,+оо)).

Так как Ci([l,+oo)) х -foo)) - банахово пространство вектор-функций U(x) = (щ(х),и2(х)) с нормой

Л|=тах( max |иг-(ж)|]

11 11 1=1,2 \xG[l,+oo) П П) и выполнено условие

11©и < 1, получаемое аналогично лемме 1.1 из условия (1.27), применяем к системе (1.30) принцип сжимающих отображений. Проводя тс же рассуждения что и при доказательстве леммы 1.1, с небольшими изменениями ( вместо р\ и 7] следует поставить р2 и 72), получим требуемые неравенства (1.28) и (1.29). □

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Лариончиков, Роман Сергеевич

Заключение

В данной работе на примере классических ортогональных многочленов рассмотрен один из возможных способов применения принципа сжимающих отображений в теории специальных функций. Оказалось возможным получение формул Планшереля-Ротаха для многочленов Чебышева-Эрмита и новых асимптотических формул для классических ортогональных многочленов. Кроме того, эти формулы даны с численными оценками на остаточные члены, что обуславливает их вычислительную ценность.

Работа может быть продолжена в следующих направлениях:

1) Применение метода, к другим специальным функциям.

2) Рассмотрение второго шага метода последовательных приближений.

3) Применение полученных формул для оценок коэффициентов рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам.

4) Уточнение оценок в лемме М.В. Федорюка.

5) Улучшение оценок остаточных членов полученных асимптотических формул (например, с помощью применения более точных оценок остаточных членов в рядах Тейлора элементарных функций или в формуле Стерлинга [18]).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Павлу Кондратьевичу Суетину за. полезные замечания и создание благоприятной научной атмосферы в процессе работы.