Асимптотические свойства полуклассических совместно-ортогональных многочленов Бесселя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Ахмедов Руслан Эльдар оглы

• Ахмедов Руслан Эльдар оглы
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ахмедов Руслан Эльдар оглы

Введение.

Глава

Многочлены Бесселя-Бесселя

1 Классификация полуклассических многочленов совместной ортогональности.

2 Асимптотические свойства многочленов Бесселя- Бесселя/.

3 Функции второго рода и распределение нулей

Глава

Многочлены Бесселя-Лагерра.

1 Многочлены <3£п(:г) = Яъп&х)

2 Многочлены ¿¡2п{х) = )

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотические свойства полуклассических совместно-ортогональных многочленов Бесселя»

Ортогональные многочлены занимают центральное место в современном математическом анализе. Они служат мощным аппаратом при решении различных задач, охватывающих широкий круг вопросов, таких как аппроксимации аналитических функций, непрерывные дроби, дио-фантовы приближения, спектральная теория дифференциальных и разностных операторов, проблема моментов и др. Теория ортогональных многочленов находит многочисленные приложения - от матричных моделей в ядерной физике до асимптотической комбинаторики.

В последние десятилетия получила широкое развитие теория многочленов совместной ортогональности ( называемых также полиортогональными), т.е. многочленов, ортогональных на нескольких контурах в С: г, Яп(х)хиМз{х)(1х = 0, V = 0,., пц — 1, ] = 1,., г, г ' (*) degQя(x) ^ \п\ := X) пз> где п — (п1,. ,пг) 6 1г — г-мерный мультииндекс, а — вещественные или комплексно-значные весовые функции на контурах Г^- с С.

Многочлены (*) служат общим знаменателем совместных аппроксимаций Эрмита-Паде

Рп, 1{х) Рп,г(х)\ для данного набора функций (преобразований Коши мер Wj{x)dx ) г, (.,)

Г,которые определяются следующими условиями:

Зя^ги^х) - Р^(х) = 0(х~П}~г), |ж| оо У = 1,. ,г), эквивалентными соотношениям ортогональности (*). При г = 1 такая конструкция определяет последовательность аппроксимаций Паде [42] функции вида (**) или формального степенного ряда с центром в бесконечности

Аппроксимации Паде возникли как самостоятельное направление в теории аппроксимаций в конце 19 века и явились обобщением основных идей, изложенных в классических трудах П. Л. Чебышева и А. А Маркова по непрерывным дробям и предельным величинам интегралов. Совместные аппроксимации были введены Ш. Эрмитом в 1874 г. при доказательстве им трансцендентности числа е[2]. Им также были вычислены линейные формы с полиномиальными коэффициентами для набора экспонент [3]. Подобные конструкции находят многочисленные приложения в теории чисел, в частности, при изучении арифметических свойств значений дзета-функции Римана

71=1 при нечетных 5 [49, 50]. Совместными аппроксимациями Паде для набора формальных степенных рядов впервые начал заниматься деБрюен [12] . Отметим также связь с многомерными непрерывными дробями, которые появились уже в работах Якоби [11] и Перрона [4, 5] ; теория многомерных непрерывных дробей получила дальнейшее развитие в работах [32, 34].

Для произвольного набора весовых функций и^-(ж) и контуров вопрос о существовании и единственности многочленов (*) требует, вообще говоря, отдельного рассмотрения. В то же время, имеются две общие конструкции (системы мер), для которых единственность Сда(х) (с точностью до постоянного множителя) имеет место. Они называются системами Анжелеско (А) и Никишина (]М) и играют ключевую роль при изучении сходимости совместных аппроксимации и асимптотики полиортогональных многочленов. Первая из них появилась в связи с серией со оо работ А. Анжелеско [6] -[8]. Он рассмотрел набор положительных боре-левских мер с носителями на вещественной оси:

Бирр^ = Р^ = [а^ Ь,] С К С? = 1,. ,г), причем Ру П ^ = 0, когда у ф к. Полиортогональные многочлены Сдп(х), отвечающие этому набору мер, удовлетворяют системе соотношений ортогональности:

Яп{х) : / <2я{х)х"(1щ(х) = О, V — 0,1,., и, - 1; з = 1,., г, г (О-1) з=1 и имеют нулей на сегменте ^ = [а^Ъ^. Некоторые алгебраические свойства этих многочленов были получены Е. М. Никишиным [13]. Другая конструкция, предложенная Е. М. Никишиным [14], строится следующим образом. Пусть задан вектор (набор положительных борелевских мер) а = (<71,. ,о>), для которых эиррсг^- = Р^ = [а^Ъ^] С Е, Р^ П 1 = 0 = 1, .,г). Определив по индукции меры (следуя обозначениям [14]): и Х-12 <1(о"1, .<Тк) = с!(сГ1, (<72, • ■ • , СГк}) = можно составить новый вектор (набор мер) компоненты которого ¡х^ = (<71,., сгк) имеют общий носитель ^1. Используя систему (К) и свойства систем Чебышева [23], Никишин доказал Г сходимость совместных аппроксимаций Паде для широкого класса марковских функций = AjCR (0.2)

А? мер ßj с общим носителем (т.е. Аj = Fi для всех j = 1,., г).

В работе [1] А. А. Гончаром и Е. А. Рахмановым изучен общий случай многочленов (0.1), отвечающих системе (А) (при этом предполагается, что отрезки Fj не имеют общих внутренних точек). Ими получена логарифмическая асимптотика многочленов (0.1), а именно показано, что lim Шя)Г/п = ехр(-ВД), (п := \п\) п—>00 где V+ipc) = m\Vi{x) + ■ • ■ + mrVr(x), а Vj(x) — потенциалы равновесных мер äj, решающих следующую экстремальную задачу: о о

J(cr) = inf J(<t) : о- = (аь ., (jr) G 9Л4" (Fi) x • • •. x ЗЛ+ (Fr), г где J(<j) = — функционал энергии, отвечающий матрице

С = (су) = 2mf 7711Ш2 ■ ■ • mimr \ 777-2777-1 27772 ' ' ' ТП2ТПГ у mrmi mrrri2 • ■ • 2mу и 771 о = lim Tij/ть (см. также [42]). Отметим, что области сходимости

71—>00 и расходимости совместных аппроксимаций Паде марковских функций ßj(x) для этой задачи зависят только от «геометрии»отрезков Fj и не зависят от весов. Более общие системы мер изучались в [10], [56].

Рассматривая полиортогональные многочлены в целом, можно выделить класс многочленов,являющихся обобщением классических ортогональных многочленов. Они задаются соотношениями ортогональности

Qri{x) : f Qrt(x)xuw(x)dx = О, v — 0,1,., щ — 1; j = 1,. ,r,

0.3) deg Qn < |n| :=

3=1

Г; весовая функция т(х) является решением уравнения Пирсона ф{х)у){х))' + ф{х)ю{х) = 0, (0.4) где ф{х) и ф(х) — многочлены степени не выше в+2 и в-Ы соответственно (при этом г = 5 + 1, 5 > 0, [21]); контуры интегрирования являются жордановыми кривыми (или дугами), при этом выполнены граничные условия

Ат.ф(х)т(х)хи = 0, I/-0,1,2,., ¿ = 1,.,г. (0.5)

Как нетрудно видеть, концы контуров принадлежат множеству точек {а/}и{оо}, где щ — нули многочлена ф(х).) Многочлены (0.3)-(0.5) называются полу классическими многочленами совместной ортогональности класса 5. Для этих многочленов справедлива формула Родрига

Ся(а,) = п ;= |я|: (аб) многочлены (0.3)-(0.5) удовлетворяют дифференциальному уравнению порядка 5 + 2, коэффициенты которого вычисляются в явном виде [55].

В этой связи, стандартная техника, применяемая при исследовании классических ортогональных многочленов [53, 44], модифицируется и может быть использована для анализа их полиортогональных обобщений. Вместе с тем, возникают новые классы специальных функций [47, 46], которые встречаются в различных приложениях. Некоторые частные случаи многочленов (0.3)-(0.5) изучались в работах [9],[54]. Алгебраические свойства многочленов, задаваемых обобщенными формулами Родрига, изучались в [22].

В настоящей работе изучаются два вида многочленов совместной ортогональности с мультииндексом (п, п) ( класса 5 = 1):

- полу классические многочлены В есселя-Бесселя

Я2п{х) := С2(п,п)(х), п = 2п, определяемые соотношениями (0.3-0.5), при этом ф(х) = ж3, т(х) — ехр{^ + 71 ф 0, а контуры ортогональности - две замкнутые жордановы кривые, выходящие из 0. (см. классификацию (11), глава 1).

- полуклассические многочлены Бесселя-Лагерра

Фгп(®)}> w{x) = exp{g + ßx}, öl > 0, ß > 0, для которых ф(х) — ж2, один из контуров ортогональности ограничен, а другой неограничен.

Указанные многочлены также могут быть введены посредством формулы Родрига (0.6) (с точностью до нормировки).

Прежде чем перейти к основной части диссертации, выделим основные положения, касающиеся асимптотической теории ортогональных многочленов в целом.

В вопросах асимптотики обычно различают 3 основных вида асимптотических формул:

Asi) слабая, или логарифмическая т.е. нахождение предела lim \Qn{x)\l'n,

71—> ОО помогающая описать меры распределения нулей многочленов (Qn(^)} (экстремальные меры );

As2) асимптотика отношения ортогональных многочленов,

Qn+l(z)

-»?, п —> оо;

Qn{x) связанная, в частности, с существованием предела коэффициентов рекуррентных соотношений для {Qn(x)}]

As3) сильная асимптотика, т.е. нахождение формул вида

Qn(x) = фп(х)/{х) + о(1), ть > оо. где Ф(ж) — ветвь некоторой аналитической функции, удовлетворяющей определенным граничным условиям.

Наиболее точно поведение ортогональных многочленов описывают формулы сильной асимптотики. Отметим, что в отличие от обычных ортогональных многочленов, теория асимптотического поведения полиортогональных многочленов (*) начала активно развиваться сравнительно недавно. Первой работой, в которой получены асимптотические формулы для многочленов вида (0.3), была работа В.А.Калягина [36]. Он рассмотрел следующие обобщения многочленов Якоби:

Q2n{x) : f Q2n(x)x1/\h(x)\\ d®| = 0,1/ = 0,1 1; j = 1,2

Aj (0.7) deg Q2n(^) = 2n, n = 0,1,., где Ai = [-1,0],A2 = [0,1], h{x) = (1 - x)a{l + x^x*, a, 7 > -1. Изучая свойства производящей функции многочленов (0.7), В. А.Калягин получил для них формулу сильной асимптотики

Q2n(x) = 4- еп(х)),п оо, (0.8)

27ГП в которой wo (ж) -ветвь некоторой алгебраической функции с точками ветвления в точках 0, ±1, причем wo(oo) — 0, А(х) - функция, голоморфная в С \ [—1,1], и еп(х) —> 0 при 77, —> оо равномерно по х на компактах вне отрезка [—1,1]. Заметим, что асимптотика (0.8) качественно отличается от асимптотики обычных ортогональных многочленов.

Здесь есть несколько аспектов. Основные приемы, используемые в оригинальных доказательствах С. Н. Бернштейна и Г. Сеге[44] при описании аналитических свойств многочленов, удовлетворяющих обычным (эрмитовым) соотношениям ортогональности

J Qn(x)xuw(x)\dx\ = 0, v — 0,1,. ,п — 1, (0.9) г где Г = {|ж| = 1}, a w{x) — положительная суммируемая на Г функция, существенно используют условие Сеге

2тг

J In w(x)d9 > -оо, х = егд о и оказываются непригодными в случае произвольной весовой функции. Эти методы без труда переносятся на тот случай, когда Г — жорданова аналитическая кривая, a w(x) — непрерывная положительная на Г функция. В более общей ситуации, когда Г — произвольная жорданова кривая, некоторые из этих методов могут быть распространены и обобщены при наложении дополнительных ограничений на w{x) и Г [24, 35]. При этом основные идеи, связанные с использованием равносходимости разложений по различным системам функций и экстремальными задачами, оказываются недостаточными для нахождения асимптотических формул в общем случае. Более универсальным здесь является другой подход, детально разработанный Г. Видомом [30] (см. также [19]), при изучении асимптотики многочленов, ортогональных на системе контуров и приводящий к системе экстремальных задач на некотором бесконечномерном пространстве аналитических функций; такой подход находит продолжение в применении к полиортогональным многочленам [18]. Отметим, что в обоих подходах основным инструментом служит экстремальное свойство многочленов (0.9): \Qn(x)\2w{x)\dx\ = min { / \qn(x)\2w(x)\dx\}, J {9n(®)=®,,+-} J г г не имеющее аналога в случае неэрмитовых многочленов

J Qn{x)xvw(x)dx = 0, v = 0,1,., п - 1. (0.10) г

Специфика в поведении неэрмитовых многочленов проявляется уже в случае вещественной аналитической весовой функции гу(ж) — {х — со8 7га)(ж — соэтт/З)/у/1 — ж2, х 6 [—1,1], где а и /3 — рационально независимые алгебраические числа степени I ^ 2. Нули таких многочленов всюду плотны в С(пример Г. Шталя [26], показывающий отсутствие сходимости по емкости всюду в С соответствующих аппроксимаций Паде.)

В обзоре [60] Дж. Натоллом выдвинута гипотеза, обобщающая различные частные случаи многочленов совместной ортогональности Эрмита-Паде (*), которая связывает асимптотику этих многочленов с алгебраическими римановыми поверхностями с помощью граничных задач аналитических на них функций. При этом главный член асимптотики представляется в виде некоторого канонического абелевого интеграла 3-го рода см. также[61]). Как частный случай этой общей гипотезы (полагаем г = 2, Wj(x) = \к(х)\,э = 1,2), получаем формулу Калягина (0.8). К алгебраическим римановым поверхностям приводят и другие рассуждения, связанные с алгоритмом Якоби-Перрона разложения в многомерную непрерывную дробь вектор-функции = (/ъ • ■ • > /г)> оо где fj = х) = ^ /¿я/2^ — набор формальных степенных рядов (см. [17,

5=0

16, 32, 33]).

Наряду с вышеуказанными подходами, в последнее время бурно развиваются комплексные методы исследования асимптотик неэрмитово-ор-тогональных многочленов (например (0.10)), основанные на краевых задачах Римана-Гильберта [15]. Отправным пунктом этих исследований служит краевая задача

Яп+ + Яп- = (¿пии на Г, (0.11) для функций второго рода акад = / зд = \х\ - оо, £ х X г вытекающая из формул Сохоцкого-Племеля для граничных значений аналитических функций. Условие (0.11) может быть переформулировано в виде матричной задачи Римана-Гильберта, решение которой при п —> оо дает требуемую асимптотику.

Наиболее ярко эти методы отражены работах П. Дейфта с соавторами [28] - [29]; подобные идеи и методы успешно используются во многих задачах рациональных аппроксимаций, а также в приложениях.

В то же время, во многих задачах рациональных аппроксимаций часто оказываются полезными асимптотические формулы в слабой форме (вида Аз1),Аз2)). Результаты такого рода тесно связаны с задачами о равновесном распределении зарядов на проводниках (компактах в С) при наличии тех или иных внешних полей и часто формулируются в терминах экстремальных мер, минимизирующих энергию заряда (теоретико-потенциальный подход). Важным инструментом в этих задачах является свойство симметрии (5- свойство для дуг в С), введенное Г. Шталем [25], которое может быть записано в виде где ц — равновесная мера, V\ обозначает логарифмический потенциал меры А, д/дп± — нормальные производные справа и слева от кривой, а f — внешнее поле (см. также [27]). В свою очередь, задача минимизации энергии может быть сведена к нахождению асимптотики многочленов, ортогональных относительно переменного (т.е. зависящего от п) веса (действительного или комплексного). Важные результаты в этом направлении получены А. А. Гончаром и Б. А. Рахмановым [43, 20], в частности, найдена зависимость распределения нулей от асимптотического поведения ^(ж)1/", где wn —весовые функции. Многочлены Qn(x), ортогональные относительно переменного веса, широко используются при исследованиях полиортогональных' многочленов.

В первой главе диссертации вводятся основные определения, проводится сравнение различных обобщений классических ортогональных многочленов на основе теории полуклассических функционалов, дается классификация. Затем рассматриваются полуклассические многочлены Бесселя- Бесселя (см. определение выше), и с помощью метода Дарбу исследуется асимптотическое поведение масштабированных многочленов Q2n(x) ~Q2n/y/w). Не ограничивая общности, можно рассматривать весовую функцию w(x) = е1^".

Для доказательства асимптотических формул мы пользуемся тем же методом, который применяется в работе В. А. Калягина [36], т.е. изучаем особые точки Zj(x) производящей функции

В соответствии с методом Дарбу [44], наиболее удаленная от начала координат особая точка определяет главный член асимптотики. В нашем случае за асимптотику отвечает ветвь трехзначной аналитической функции -г(ж), имеющая полюс второго порядка в бесконечности,

0.12)

71 — 1

71=0 с нормировкои главной ветви ч 27 2 zi(x) — + • • • , х —> оо; две другие ветви z±(x) имеют в бесконечности простые нули. Для формулировки основного результата введем обозначения. Пусть х±,х± - нули дискриминанта D 54ж4 + 9х2 + 16 (они являются квадратическими точками ветвления функции z(x)), и рассмотрим множество

Г:={х: \ф)\ = j,ke{ 1,+,-} (зфк).

Пусть 7± — жордановы R-симметричные дуги в правой и левой полуплоскости, соединяющие пары точек ветвления ацГ) и (ж,жГ) соответственно, 7± С Г. Риманова поверхность функции z(x) состоит из 3-х листов:склеиваем крест-накрест листы Ki и вдоль кривой и с вдоль 7 = С \ {7+ U 7-}, Я± = С \ {7±})-Вследствие симметрии задачи для других ветвей z(x) имеем z±(-x) = zT(x), х G G := С \ {7+ U 7 U {0}}.

Справедлива следующая

Теорема 1 1.Равномерно по х на компактах области G

QUx) = ^Zl(x)y{Al{x) + 0{-±=)},n^ оо.

ТГП у/п

2.Равномерно по х на компактных подмножествах j±

Q*2n(x) = -^={A1(x)(z1(x)r + A±(x)(z±(x))n}( 1 + 0(-±=)), n оо.

Л/7Г П \/n

Здесь А\{х) —коэффициент при (1 — Zl{x)/в разложении производящей функции х) в проколотой окрестности точки г±(х); функции А±(х) определяются аналогичным образом для точек z±{x).

Для функций второго рода многочленов С^2п{х): вводим ¿/(ж) = I € {1,+, —}, где г1(х) определены выше. Далее проводим масштабирование, т.е. рассматриваем функции г,

Теорема 2 Для функций (0.13*) имеет место асимптотическая формула

4=) = ^=(Вф))пВг(х)(1 + <9(4=)), * - оо, у/П л/ТГП л/п равномерно по х на компактах области В^х) — некоторая голоморфная функция.

Аналогичные формулы имеют место для

Для описания предельного распределения нулей рассмотрим многочлены п,+ (Ж) = П 0&„,(®) = П (х-Х^п), /П1.ч где {х^2п}%г — нули <д%п(х).

Следствие 1 Последовательности мер г/щ±(х), считающих нули многочленов (0.14), имеют слабые пределы г/±(х). Меры и±(х) являются равновесными мерами во внешнем поле зарядов 1п (на компактах

При этом дуги 7± обладают Б -свойством симметрии: 1п \г±(х)\) = + Ь |*ь(*)|), х <= 7±,

Л д

Этг и Ш12 — нормальные производные справа и слева от кривых 7±; а Уц{х) — логарифмический потенциал меры ¡1.

Во второй главе изучаются многочлены (¿2п(х), degQ2n = 2п, с весовой функцией еа!хе^х (о; > 0,/? > 0), при этом один из контуров ортогональности ограничен, а другой неограничен. Для их детального описания удобно рассматривать масштабированные многочлены

Я2п{х) = Я2п{пх) (0.15а) и

Q2n(x) = Qan(-). (0.156)

7Ъ

Выбираем следующую нормировку для многочленов (0.15а),(0.15Ь):

QlJx) = е-«/»^-""^ ,

Q2n(x) = е-¥е-«"1£;[А?е«»]. Введем также функции а/ж и положим

9Г 1 1

Ь = Ш = ± ^+ 6/3* + 1, ^ = 1,2, (0.16) т.е. нули производной

Теорема 3 Пусть А := > 0. Длл многочленов (0.15а) справедливы асимптотические формулы 1. = + -1 + (Р* + + , п ^ (0.17) равномерно по х на компактных подмножествах области

С = €\(Аи{0}). 2.

Я*2п{х) = (2/3)^ + - 1 + + ехр{(~^~21 + + А^рх2 + 4/3® - 1 - 03® + 1) ехрЦ'^'^^м) • + 0(-±=)) , п - оо, (0.18) равномерно по х на компактных подмножествах Д.

Здесь Б = (32х2 + 6/Зж + 1; определены в (0.16), Ах(£) — функция, аналитическая в окрестности точкиЬ^, и везде в формулах (0.17),(0.18) выбрана главная ветвь функции \[Т).

Рассмотрим дугу Ь, имеющую параметрическое представление: Ь = {х:а2 = 4х2{52 - 1), = * € [О, Ч; > (°-19)

Имеем Ь с {х : Я{рв(*0} - Щра&)}}, р'а$з) = О {э = 1,2).

Теорема 4 Для многочленов (0.15Ь) справедливы следующие асимптотические формулы 1. / ч 1 ^ -л очэт г/ (2ж — сх — л/а2 + 4ж2ч . д2п(ж) = —51 (¿0(2® + \Л*2 + 4®2)п®ф{Р-—-)п}

• + 0(-~)|, п —> оо, (0.20) равномерно по х на компактных подмножествах области С = С \ Ь. 2.

Я2п(х) = ~ [вг^х + у/а2 + 4ж2)" ехр{(2* ~ а )п}+ у/ ТГП I ¿X

2х — а + у/сх2 + 4ж2,

В1{Ь)(2х ~ лЛ*2 + 4ж2)п ехр{( ^ * )п}

1 + 0(-^)|,п->оо, (0.21) равномерно по х на компактных подмножествах кривой Ь. Здесь ^ —■ нули производной р'а{€), В\{€) — функция, аналитическая в окрестности точки Ь задана параметризацией (0.19), и везде в формулах (0.20), (0.21) выбраны главные ветви многозначных функций.

Таким образом, главный член асимптотического разложения задается двузначной аналитической функцией (имеем полюс второго порядка в бесконечности для главной ветви в случае (0.15а) и простой полюс в бесконечности в случае (0.15Ь)). Нули соответствующих многочленов распределены в пределе на компактах А и X. В качестве следствий находим предельные меры распределения нулей. Они являются равновесными мерами во внешнем поле заряда (единичного заряда, сосредоточенного в нуле и поля (Зх) в случае (0.15а), и поля в случае (0.15Ь)).

Основные результаты настоящей работы опубликованы в статьях [62, 63].

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору А. И. Аптекареву за постановку задачи и профессору В. Н. Сорокину за полезные обсуждения в ходе работы над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ахмедов Руслан Эльдар оглы, 2008 год

1. Гончар А. А., Рахманов Е. А. О сходимости совместных аппроксимаций Паде для системы функций марковского типа// Труды Мат. Ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР,1981.т.157,с.31~48

2. С. Hermite Sur la fonctiones exponentieWe//C.R.Acad.Sci.Paris.1873-v.77,pp.18-24,74-79,226-233,285-293

3. С. Hermite Sur la generalizationnes des fractions continues alge-brique//(Euvres(4) -Paris. Gauthier-Villars, 1917- pp.357-377

4. Perron O. Die Lehre von der Kettenbruchen.// Stuttgart.Teubner, 1957

5. Perron O. Grundlagen fur eine Theorie der Jacobischen Kettenbruch Algorithmus. // Math.Ann., 1907,B.64,№1 , S.l-76

6. Angelesco M. A. Sur deux extensions des fractions continues alge-griques.C.R. Acad.Sci.,Paris, 1919,v. 168,p.262-263

7. Angelesco M. A. Sur 1'approximations simultaneé des plusiers integrales defines. C.R. Acad.Sei.,Paris, 1918,v. 167,p.629

8. Angelesco M. A. Sur certaines polynömes orthogonaux. C.R. A cad. Sei., Paris, 1923, v.l76,p.l282-1284

9. Abramesco N. Sülle seris di polinimi di una variabli complessa. Le series di Daihoux. Ann. Mat. Pura AppL, 1922,Ser.3.v.31,p.207-249

10. Гончар А. А., Рахманов Е. А., Сорокин В. Н. Об аппроксимациях Эрмита-Паде систем функций марковского типа. Матем. сборн., 1997 т.188 №5, с.33-58

11. Никишин Е. M. О системе марковских функций. Вестн. МГУ., Сер.I Матем.,Мех. 1979 Ш,с.60-63

12. Никишин Е. М. О совместных аппроксимациях Паде. Матем. сборн., т.113(155), 1980, с.499-519

13. Aptekarev A. I. Van Assche W. Scalar and matrix Riemann-Hilbert approach to the strong asymptotics of Pade approximants and complex orthogonal polynomials with varying weights. // Journ. Approx. Theory, 2004, v.l29,p. 129-166

14. Аптекарев А. И. Аналитические свойства функций, представи-мых двумерными непрерывными дробями с постоянными коэффициентами и их совместные аппроксимации Эрмита-Паде (тип TL).Препринт Инст. Прикл. Мат. им. М. В. Келдыша АН СССР,9,М; 1985

15. Aptekarev А. I. Kaliagin V. A. Analytic properties of two-dimensional continued fraction expansions with periodical coefficients and their simultaneous Hermite-Pade approximations.Lect.Notes in Math., 1987, v.l237,p.l45-160

16. Аптекарев А. И. Асимптотика полиномов совместной ортогональности в случае Анджелеско.//Мат. сборн. т.136(178),1988 с.54-86

17. Аптекарев А. И. Асимптотические свойства многочленов ортогональных на системе контуров и периодические движения цепочек Тода. //Мат. сборн. т.125(167),1984 с.231-258

18. Гончар А. А. Рахманов Е. А. Равновесные распределения и скорость аппроксимаций аналитических функций,// Мат.сборн., 1987, т. 134 (176),m ( 11), с. 306-352

19. Aptekarev А. I. Multiple orthogonal polynomials// Journ. Comput. Appl.Math., V.99,1998,p.423-444

20. Сорокин В. Н. Обобщение классических ортогональных многочленов и сходимость совместных аппроксимаций Паде// Труды сем.им. И. Г. Петровского, 1986.вып.11,с.125-165

21. Сорокин В. H. Асимптотическое поведение линейных форм с полиномиальными коэффициентами для некоторых функций стильтьесов-ского типа//Сиб.мат. журнал, 1986.т.27(1),с.157-169

22. Сорокин В. Н. О совместных аппроксимациях Паде функций стиль-тьесовского типа/ / Сиб.мат. журнал, т.31. №5(1990), с.128-137

23. Apery R. Irrationalité de £(2) et <(3), Asterisque 61,1979,p.11-13

24. Сорокин В. H. Аппроксимации Эрмита-Паде для систем Никишина и иррациональность £(3).// Успехи мат. наук, 1994, 4^(2),с. 167-168,

25. Федорюк М. В. Асимптотика:Интегралы и ряды. М.:Наука, 1987

26. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.:Наука,1990

27. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены, М.:Наука, 1976

28. P. Appell Sur une suite des polynômes ayant toutes leur racines réelles,//Arch.Math.Phys. 1901. Voll. №3,pp.69-71

29. A. I. Aptekarev, F. Marcellan and I. A. Rocha Semiclassical multiple orthogonal polynomials and the properties of Jacobi-Bessel polynomials, // J.Approx.Theory. 1997. Vol.90. №1,рр.117-Ц6

30. N. Chosh On a generalization of Legendre polynomials, //Bull. Calcutta Math. Soc.l929.V.21,pp.144-154

31. T. S. Chihara An introduction to orthogonal polynomials, Mathem. and Its Applic.,Vol.l3//iV. Y.,1978

32. V. A. Kalyagin and A. Ronveaux On "classical" system of polynomials of simultaneous orthogonality,// J. Comput.Appl.Math.1996. Vol.67, pp.207217

33. J. Nuttall Asymptotics of diagonal Hermite-Padé polynomials// J.Approx. Theory. 1984- Vol.42. №2,pp.299-386

34. J. Nuttall, S. R. Singh. Orthogonal polynomials and Padé approxi-mants associated with a system of arcs.// J.Approx. Theory. 1977. Vol. 21.Ml,pp. I-42

35. P. Э. Ахмедов, Асимптотическое поведение полуклассических совместно-ортогональных многочленов типа Бесселя-Лагерра // Ма-тем.заметки, 2008, т.83, №3, с.461-464

36. Р. Э. Ахмедов, Об асимптотическом поведении полуклассических полиномов совместной ортогональности типа Бесселя// Ма-тем.заметки, 2008, т.84, Ns4> с.483-495