Оптимизация асимптотических разложений в центральной предельной теореме тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Соболев, Виталий Николаевич

• Соболев, Виталий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соболев, Виталий Николаевич

Введение

Обозначения и предварительные сведения 3 Асимптотические разложения для распределений и плотностей с использованием многочленов Чебышева-Эрмита

Краткое содержание и основные результаты диссертации

Глава 1. Построение асимптотических разложений с помощью зарядов

1.1 Заряды

1.2 Предварительные замечания о построении разложений для плотностей гладких распределений

1.3 Асимптотические разложения для распределений с моментами порядка не более восьмого. Формулировки теорем

1.4 Доказательства теорем

Глава 2. О новых формах асимптотических разложений в

2.1 Предварительные рассуждения

2.2 Разложения Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера

2.3 Одна новая форма асимптотических разложений

2.4 Новая форма разложений и разложения Грама-Шарлье

2.5 Новая форма разложений и разложения Эджворта-Крамера

2.6 О коэффициентах полиномов из разложения Эджворта-Крамера

Глава 3. Некоторые следствия глав 1 и 2. Численные иллюстрации.

3.1 Асимптотические разложения для функций распределения

3.2 Асимптотические разложения для решетчатых распределений

3.3 Сравнение разложений, полученных с использованием и без использования сопровождающих зарядов

3.4 Некоторые численные результаты

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация асимптотических разложений в центральной предельной теореме»

Обозначения и предварительные сведения

Пусть Х\, Х2, . - независимые одинаково распределенные случайные величины с нулевым средним MXi = 0 и единичной дисперсией DXi —

1. Обозначим через Р общее распределение этих случайных величин, через Рп - распределение нормированной суммы (Xi + . + Хп) где п - натуральное число. Пусть F(x) - функция распределения, a f (t) - характеристическая функция распределения Р. Обозначим через Fn(x) функцию распределения распределения Рп, через fn (t) его характеристическую функцию и через рп (х) плотность распределения Рп, если она существует. Мы предполагаем, что все используемые в дальнейшем абсолютные моменты M|Xi|fc существуют. Далее для удобства мы будем использовать не сами моменты, а величины а>к — -^r1". Рк — ki , которые будем называть нормированными моментами. Из наших предположений следует, что ао = 1 , = 0 , а2 = §. Через Ф(х) обозначим функцию распределения стандартного нормального закона с плотностью <р(х) = 2

-^е-^". Через Рк{Ф) обозначим соответствующие нормированные величины для стандартного нормального закона. Так, cx2j{(p) — ^JI Аля J =0,1,2,.

Когда это не будет вызывать недоразумений, будем опускать аргументы функций у величин, указанных выше.

Многочлены Чебышева-Эрмита. В данной работе под многочленами Чебышева-Эрмита [8, стр. 55] будем понимать многочлены, которые определим с помощью формулы Родрига [71, стр. 55]:

А: = 0,1, 2,. (1) ср{х)

Здесь стоит заметить, что в разных источниках многочлены Чебышева-Эрмита определяются по разному. Во многих работах (например, [6, стр. 75]) т2 вместо рассмотренной нами функции f(x) = используют функцию е~х . Функции подобного вида мы видим у Й.П. Грама [89, стр. 71] Фп (х) =

D™e~x . Все известные современные авторы придерживаются одного из этих определений. Чебышев же в [77, стр. 337] использовал обобщающую эти два случая запись. Так, он рассматривал многочлены, которые можно получить

1 si с помощью формулы Родрига, если вместо <р(х) = 2 взять функцию вида е~кх2, где к некоторый параметр. Данный вид функций возникал у него вевязи с рассмотрением плотности вероятности • Выбор автором плотности распределения нормального закона в качестве определяющей функции связан с удобством ее использования в рассматриваемой задаче. Исторически его можно подкрепить работой Г. Крамера [30, стр. 248], в которой при построении асимптотических разложений формула (1) имеет вид ipW (ж) = (—1 )kHk{x)(p(x). Она явно присутствует в работе [85, стр. 5] К.-Г. Эссеена, используется в работе В.А. Статулявичуса [67]. В.В. Петров [46] использует формулу (1) в виде Ф^ (х) = (—l)k~1FIk~i{x)cp(x).

В своей монографии [7] 'Теория ортогональных многочленов'' (Обзор достижений отечественной математики) Я.Л. Геропимус достаточно подробно говорит о появлении и развитии многочленов Чебышсва-Эрмита. В работе Е.П. Ожиговой "Шарль Эрмит 1833-1901" [37] (отвстсвенный редактор А.П. Юшкевич) имеется гл. 4 "Ортогональные полиномы", в которой в частности рассматривается вклад Ш. Эрмита и других учёных в исследовании данных многочленов. В данной работе не ставятся задачи подробного изучения исторических аспектов, поэтому вслед за Я.Л. Геронимусом и Е.П. Ожиговой дадим краткую историческую справку, а за более подробным описанием, как и за более подробным списком ссылок, отошлем читателя к названным выше работам [7, 37].

Я.Л. Геропимус [7, стр. 34] пишет, что многочлены Чебышсва-Эрмита всгречаются у П.С. Лапласа [91]. В 1859 г. они были достаточно подробно изучены П.Л. Чсбышевым. Так, П. Л. Чсбышев нашел представление Родрига для этих многочленов, которое дано выше. В работе [77] он использовал разложение интеграла f^ ^z^-du по многочленам, впоследствии получившим его имя. В 1864 г. многочлены были рассмотрены Ш. Эрмитом [90, стр. 293-308]. Начиная с работы 1880 г., Н.Я. Сонин обобщил многочлены Чебышева-Эрмита, рассмотрев вес е~х2 |ж|2с , с > — ^, —оо < х < +оо (вес здесь понимается как функция, к которой применяется формула Родрига [7, стр. 34]), нашел для этих многочленов производящую функцию и установил связь между ними и многочленами Чебышева-Лаггера [71, стр. 219]. В работе 1884 г. A.A. Марков применил обобщенные Н.Я. Сониным многочлены при разложении в непрерывную 2 2 с дробь интеграла 6 du. A.A. Марков обубликовал довольно много работ по по теории ортогональных многочленов [36]. Интересно, что в работе под названием "Об одной задаче Лапласа" A.A. Марков называет . 1 «jfe —fj, функции вида jß^k ¿^l как функциями Чебышева-Эрмита [36, стр. 556] так и функциями Лапласа-Чебышева-Эрмита [36, стр. 563].

Многочлены Чебышева-Эрмита могут быть получены с помощью многочленов Якоби путем предельного перехода. Впервые это заметил К.А. Поссе. Используя данный переход, он нашел дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют многочлены Чебышева-Эрмита, и производящую функцию.

Производные классических многочленов (к которым относятся рассматриваемые нами многочлены ) образуют систему, ортогональную в том же интервале, только с другим весом. Доказательство этого факта имеется в работе Н.Я. Сонина (1887 г.) и работе Г. Хана (1935 г.). Классической книгой по теории ортогональных многочленов является монография Г. Сеге, впервые изданная в 1939 г., русский перевод [60] которой вышел в 1962 г. с предисловием и дополнениями Я.Л. Геронимуса. Также можно отмстить кииги, в которых достаточно подробно рассматриваются многочлены Чебышева-Эрмита, - П.К. Суэтин [71, гл. 5], Д. Джексон [11, гл. 9] и П.П. Лебедев [33].

Ш. Эрмит определял многочлены Чебышева-Эрмита с помощью производящей функции

00 4.к к=0

Для них [36, стр. 556] справедливо интегральное представление

00

Нк{х) = J (х + iy)k(p(y)dy, оо где к = 0,1,2,., а г - мнимая единица.

Сразу же стоит отмстить справедливость следующих равенств

00 (й)к (р(г)е~ихсИ = нк(х)(р(х), -00 < ж < оо , к = 0,1,2,. л/27Г J и оо со

1 J Hk(x)<fi{x)eltxdx = (itf ip{t), -оо < t < оо , к = 0,1, 2,., л/2тг оо которые в несколько иных записях представлены в [81, стр. 37,38], а также в [63, стр. 137, 149] и [71, стр. 177] соответственно.

В [35, стр. 103] доказываются неравенства

Я*(®)| < к = 0,1,2,.

В [19, стр. 08] представлена другая оценка: если положить и = | или и = в зависимости от того, четно к или нечетно, то

1#ь(д01 < и п 1 9

Л! ^ 2и1>\ ' ~~ ' ' 5 " '

Если заметить, что в последнем неравенстве г/ целое, а а2и{ф) = 2^1 ПРИ ^ = 0,1,2,., то данное неравенство можно записать в виде , к = 0,1,2,.

Для многочленов Чебышева-Эрмита известна и явная формула [46]: и з= о

Так,

Н0{х) = 1, Н\(х) = ж, Я2(ж) = я2 - 1, Я3(ж) = ж3 - Зх,

НА{х) = х4 - 6х2 + 3, #5(я) = ж5 - 10ж3 + 15ж .

В работе [25] приведено доказательство формулы обращения и о к которая представлена в [19, стр. 69] как пример разложений ^ по многочленам Нк(х).

Известно [19], что для многочленов Чебышева-Эрмита справедлива рекуррентная формула

Нк+2{х) = хНк+1(х) -(к + 1)Нк(х), дифференциальное уравнение

Щ(х) - хН'к(х) - кНк(х) = 0, запись в виде определителя

Нк(х) = х к-1 О О

1 х к-2 О

0 1 х к~3 0 0 1 х

О О О О

О О О О х и формула сложения й?+-+о^)*:/2 тт ( алхл+.+апхп. к+--+3п=к которая для двух слагаемых может быть записана в виде

2кНк (х + у) = ^ к\

3\1?з щНй(х)Нк{х)Н^у)Нк{у).

3\ +02+Зг+ЗА=к

Многочлены Чебышева-Эрмита являются многочленами Аппсля [60, стр. 420]. Так для них справедливо равенство

Щ(х) = кНк-х{х).

Моменты и нормированные моменты Чебышева-Эрмита. Определим моменты Чебышева-Эрмита с помощью следующей формулы

00 вк = (-!)*/Нк{х)р{х)дх , к = о, 1,2,. оо

С точностью до знака формула для моментов Чебышева-Эрмита встречается в работах [8, стр. 206], [85, стр. 4], [30, стр. 248], [81, стр. 21]. Однако, достаточно долго моменты Чебышева-Эрмита не имели широкого применения. Их серьезное применение начинается с работы В.В. Сеиатова [61], в которой данные характеристики и получили свое название. У нас моменты Чебышева-Эрмита будут всегда делиться на соответствующий их порядковому номеру факториал. Поэтому далее будут использоваться нормированные моменты Чебышева-Эрмита вк{Р) (вместо вк(Р) будем часто писать определяемые формулой

Ok(P) = Hk{x)P{dx) , к = 0,1,2,. — 00

Для данных моментов справедлива формула

4P) = .

Отсюда видно, что вь{Р) существует тогда и только тогда, когда существует соответствующее o>k{P), и наоборот.

Для любого распределения Р справедливо равенство 9q(P) — 1. Приведем формулы для некоторых ): 9i(P) = О, в2 = a2(jp)a0(ip) - a0(p)a2{ip) = | - § = 0, a3{p)aQ(tp) - = ,

6*4 = - a2(p)a2(<p) + = Щ ~ = a4 - |,

5 = a5(p)a0((p) - a3(p)a2((p) + ai(p)aA(ip) = a5 - a2((p)a3 = a5 - , в6 = a6{p) - aA(p)a2(ip) + a2(p)(X4(<p) - о;0(р)о;б(^) = a6 - + ^ ,

07 = a'7 - + азс^М = «7 - + |ci'3 .

Здесь 6k находились из первоначальных предположений с*о = 1, a;i = О, а2 = а a2j(<p) =

В работе A.B. Кондратенко [26, стр.62] из приводившейся выше формулы обращения для многочленов получена формула обращения для моментов, которая применительно к atfc(P) и Ott(P), имеет вид т мр) = Y.a^)6k-2j{p) ■ j=о

Рассмотрим некоторые из этих выражений: о(р) = 0o(P)<*oM = в0 = 1, ai(p) - 0i(P)ao(yO = 0i = 0, ö2(P)ao(ip) + в0(Р)а2((р) = а2((р) = 1, а3(р) = 0з(Р)<*оЫ + 0i(P)a2(<p) = Яз ,

4(р) = 4P) + 02(P)a2(ip) + a4(tp) = 64{Р) + = Ö4(P) + |, as(p) = Ö5(P) + 03(P)a2M = ^s(P) + ^3(P), p) = Ö6(P) + ö4(P)a2(¥>) + «вЫ = ¿б(Р) + \0a (P) + £,

7(p) = ^7(P) + в5{Р)а2(<р) + вз(РЫ<р) = в7{Р) + \въ{Р) + ±ЧР) •

Нормированные моменты Чебышева-Эрмита можно выразить следующим образом через характеристическую функцию: - * ^ г=о

Это представление аналогично равенствам мп = * 0 для нормированных моментов и 1 (1п/«))(*) ~~ ^ Л!

7=0 для нормированных семиинвариантов.

У стандартного нормального закона вк(Р) = 0 для к = 1,2,3,. и

90(Р) = 1.

Наряду с 9к{Р) будут использоваться величины аналогичные предложенным В.В. Сенатовым в [61, стр. 135] - = Рк + , где второе слагаемое в правой части последнего равенства вычисляется по формуле:

I]-2

3 = 1

НЙ-1

Дадим выражения для некоторых из этих величин, используемых нами в дальнейшем:

Ш\ = 04,-Ъ. над = & + 1 2

1 1 $> + аг(¥>) |<*з| = + § |«з| 1

Е ( 1У ^ ( У) «6

3=2 /?6 + а2(уО Ы + - = /?е + 5 Ы + ^ ,

1] I +

3=1

3=2 /?7 + «г(^) М + «4(у) |<*з| = @7 + | |а5| + I |о£з| , надк^к 1 Р8 + ас2{<р) |«б| + ац((р) \а4\ 4- - =

Из нормированных моментов Чсбышева-Эрмита исходного распределения Р можно получить нормированные моменты Чебышева-Эрмита распределения Рп, используя формулы где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел .,21, что З73 + . + = I и 70 + ,7з + ••■ +М = п, 31 = п = Часто выражение (2) записывают в виде в1[Рп) = ^ (п - (¿3 + Л ' (3) где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел п, ■■■Ль что + . + = зъ + . + 31 < п. Формулу (2) можно преобразовать к виду ^-& # (4)

Щ пЧ'1 ^ (п -(], + . + тоз!" л! ' ' где суммирование ведется по таким же как в (3) наборам неотрицательных целых чисел ^з,.,—

Поскольку могут существовать не все моменты исходного распределения, то возникает необходимость ввести понятие квазимомента Чебышева-Эрмита [63, стр. 136]. Нами в дальнейшем будут использоваться нормированные квазимоменты Чебышева-Эрмита уровня т распределения Рп, которые будем обозначать в^п\Рп). Их можно получить из формулы (4) для 0/(Ртг), если в ней положить 6j = 0 при j > т. То есть в правой части формулы берутся те слагаемые, в которых присутствуют моменты Чебышева-Эрмита только с номерами, не большими га. Это можно записать с помощью формул о\т\Рп) = Е• (5) где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел ]0,Ух, :.,.7т, что + . + тзт = 1 и ^ + зъ + . + зт = п. Или формул в Ы п\

0я Л

Зз в,

Зт п т ^/2

6) где суммирование ведется по всем таким наборам неотрицательных целых чисел .,3т: что З.73 + . + тзт = I ,?з + ■■■+ зт ^ п.

Формулы для некоторых из описанных выше величин и используемых в дальнейшем приведены ниже: ез(Рп) = , 04(Рп) = & , ^б(Рп) = ^ , б(Рп) = ¿Г [0в + (п ~ 1)|] , е7(Рп) = [07 + (п - 1)0304] ,

08(Рп) = [^8 + (П - 1) (0305 + |)] , 09(Рп) = ^72 [^9 + (П - 1) (0306 + 0405) + (П - 1)(П - 2)|

0ю(Ргг) = ¿4 [010 + (П - 1) (^307 + 0406 + + (п - 1)(п - 2)§£?4] ,

011 (Рп) = Ж- [011 + Ы ~ 1) (0308 + 0407 + 050б) + п-1)(п-2) (|05 + 0з|)] ,

012 (Рп) = ¿Г [012 + (П " 1) (0309 + 0408 + вБв7 + ?) + тг - 1)(п - 2) (§вв + 030405 + I) + (п - 1)(п - 2)(п - 3)| .

Заряды. Зарядом мы будем называть знакопеременную меру, то есть счетноаддитивнуго функцию С}(А), определенную на борелевских подмножествах действительной прямой, такую, что = 1 и которая может принимать отрицательные значения. Все заряды, которые будут использоваться в работе, имеют плотности, обозначаемые в дальнейшем через q(x). Для зарядов будут рассматриваться числовые и функциональные характеристики, аналогичные тем, что используются для распределений. Здесь стоит заметить, что поскольку заряд - знакопеременная мера, то определение абсолютного момента заряда будет иным: оо

Ш)= I \х\кЫх)\(1х, к = 0,1,2,

-оо

Характеристическую функцию заряда Q условимся обозначать следующим образом: оо g(t)= j eitxq(x)dx. — 00

Асимптотические разложения для распределений и плотностей с использованием многочленов Чебышева-Эрмита

Рассмотрим в историческом контексте, насколько это возможно, основные известные результаты, связанные с точностью асимптотических разложений в ЦПТ.

Поскольку справедливы следующие равенства оо

J Hk(x)Hi(x)<p(x)dx = 0, при к, I — 0,1,2, .и к ^ I, оо оо

J Hl(x)<p(x)dx — к\, при к = 0,1,2,. , оо многочлены Чебышева-Эрмита образуют в R ортогональную систему с весом <р(х), то функции действительного переменного h(x) формально можно сопоставить ряд

00

------------~ ^скнк(х), ^ ---к=О где Ск - коэффициенты Фурье, которые находятся по формуле

00 сь = Ь. J h{x)Hk(x)(p{x)dx. оо

Для всех функций /¿(ж), таких, что xkh{x)ip{x) G L(—оо;+оо). данные коэффициенты существуют.

Впервые подобное разложение появилось в 1859 году у П. Л. Чсбышева [77]. В своих работах их использовал А. А. Марков [36] (см., например, стр. 568). Для сходимости ряда достаточно потребовать [1, стр. 431], чтобы функция h(x) была кусочно-гладкой на R и сходился интеграл оо

J |ж| h2(x)(p(x)dx. Тогда ряд сходится к h{x) в точках ее непрерывности оо и к (Н(х — 0) + к(х + 0)) /2 в точка разрыва. Для сходимости ряда к Н(х) в точке х необходимо и достаточно [19, стр. 67], чтобы при к оо выполнялось следующее условие

00

Ш / Н{х)х - у[у) (НыШМ - нк(х)нк+1(у)) ч>Шу - о. оо

В настоящее время известно достаточно много таких разложений. Например, , -*>^Ы)к1?ктт Г ^ . П л гг г ^ соб^х) = е 2 (2к)\ 2к^ ' БШ( ^ = 6 5 (2к 4-1)! Н2к+1^ ' к=0 ^ к=0 ^ ''

Существует связь между коэффициентами данного разложения и коэффициентами разложения функции по многочленам хп. Она определяется соотношениями Нильса Нильсона, представленными, например, в [19, стр. 69]. Так, пусть оо оо

Н(х) = ^^скНк(х) и Н{х) = ч^2скхк . к=О к=0

Тогда имеют место следующие соотношения оо 00 к\Ск = (та + 2э)\сп+2з и к\ск = ^а^Ы (та + 2^\Сп±2^ о о=о

Очень часто оказывается удобнее рассматривать ряд не по многочленам Чебышсва-Эрмита, а по функциям вида Нк(х)<р(х) [11, стр. 197]. Ряд по данным функциям имеет вид оо ^2скНк(х)(р(х) к= О где коэффициенты ск находятся по формуле оо Н J h(x)нk(x)dx оо

Ряды такого рода называются рядами Грама-Шарлье. Разложение Грама-Шарлье, вообще говоря, нерегулярно, то есть может существовать такой номер, что разложение до пего дает лучшую аппроксимацию, нежели разложение до следующего за ним слагаемого.

Для плотности функции распределения [30, стр. 248], функции распределения и характеристической функции случайной величины Х\ такие формально выписанные ряды, с точность до обозначения коэффициентов, имеют следующий вид:

00 р(х) = ф) + ]ГОкНк(х)ф), (7) к=3 оо

F(x) = Ф(х) - Y^OkHk-^xMx), (8) к=3 оо f(t) = e-i2 + ]T0k(it)ke-? / (9) к=3

Отметим, что у Г. Крамера [81, стр. 21] разложение Грама-Шарлье записывается в несколько ином виде: произведение Нк(х)(р(х) везде заменяется на (—1 )к(р(к\х). В [8, стр. 206, 207] можно встретить оба представления. Одно используется для плотности, а второе для функции распределения. Правда, для функции распределения (см. также [85, стр. 4]) используются величины ф(к\х) — (—l)k~1Hk-i(x)(p(x). Мы используем эти разложения в удобной для нас форме. Поэтому в данной работе к ^ 1, заменяется на произведение (х)ср(х), а

1 )к<р(к)(х) на Hk(x)ip(x). С некоторыми практическими применениями рассматриваемых разложений можно ознакомится в пояснительной части сборника [4, I].

В данных выше суммах отсутствуют слагаемые с к = 1,2, поскольку наложенные на распределение Р ограничения однозначно определяют значения в\(Р) — 02{Р) = 0, а 0о(Р) = 1 для любого распределения Р.

Г. Крамер [30. стр. 249] говорит, что если оо

J e?dF(x) < оо , 00 то ряд (8) будет сходиться при любом х к сумме F(x). Если, кроме того, функция плотности р(х) имеет ограниченную вариацию на (—со; оо) , то ряд для плотности (7) сходиться к р(х) в каждой точке непрерывности р(х). Если эти условия не выполнены, то разложения могут расходиться [30, стр. 286].

При изучении нормированных сумм случайных величин появляется новая переменная - количество слагаемых в сумме. Для таких величин (например, для плотности рп (х)) Ф. Эджворт использовал разложение следующего вида

Рп(х) = ip(x) + ^-^¡Г-Ф), к—1 где полиномы lsk-i{x) являются линейными комбинациями многочленов Чсбышева-Эрмита степеней не выше ЗА; — 1, а коэффициенты определяются только первыми к + 2 моментами распределения F(x). Разложения такого вида называются разложениями Эджворта-Крамера (в [5, стр. 230,228] Крамера-Эджворта). Г. Крамер [30, стр. 254] говорит, что ряды подобного вида ввел Ф. Эджворт [84]. Для функций распределения данное разложение имеет вид: к=1 П

Ю.В. Прохоров пишет [55, стр. 7], что "П.Л. Чебышеву принадлежит идея изучения асимптотического поведения разности Fn(x) — Ф(х) , и им оо же было дано для этой разности формальное разложение" ''где к—1

Qk{x) - многочлен, коэффициенты которого зависят только от к + 2 первых моментов функции распределения F(x)'''.

B.B. Петров в работе "Предельные теоремы классического типа для сумм независимых случайных величин" [51, стр. 17] также говорит, что "замысел асимптотических разложений в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин принадлежит П.Л. Чебышеву и нашел воплощение в работах Г. Крамера, К.-Г. Эссеепа и других авторов" и приводит следующий результат К.-Г. Эссеена.

Если М \т+2 < оо для некоторого целого выполнено условие

С) Крамера lim sup|/(i)| < 1, то i|-+oo т,рк(-ф). ( 1 \

П —> ОО, k=1 ^ где Рк(—Ф) = Рзк-1(х)(р[х), а Р^к-1(х) - полином степени Зк — 1 относительно х с коэффициентами, зависящими только от моментов случайной величины Х\ до порядка т + 2 включительно. Разложения для разных конкретных значений т и при. различных условиях, накладываемых на исходные величины, были получены Г. Крамером (см., например, [80, 81]) и рассматривались К.-Г. Эссеном [85]. Достаточно подробно этот вопрос изложен в монографиях [82], [8, гл. 8] и [49].

Явные формулы для Рк(—Ф) в терминах семиинвариантов в 1962 году получены В.В. Петровым в [46]. Многочлены Ф) допускают следующее представление [40]: где суммирование ведется по всем наборам целых неотрицательных чисел Л:-чЭк таким, что л + 2^'2 + ••• 4- Ау* = к и л + П + ••• + jk = т + 2, а 7нормированный семиинвариант (кумулянт). Последняя формула позволяет понять присутствие Ф в обозначении Рк{—Ф). Для выражения 7к шхк через нормированные моменты ак — можно использовать следующую формулу [92]: где суммирование производится по тем же наборам, что и в предыдущем равенстве.

Эти формулы использовались Л. В. Осиповым при построении асимптотических разложений в работе [39]. В [42], являющейся уточнением результата из [39], при условии (Зт+2(Р) < оо для т ^ 1, т 6 Ъ им доказывается неравенство, которое при условии БХ = 1 имеет следующий вид: ' т ад) - ф(х) 1 й(1+М)) Ы<0г(1+|Я|) 11+1*1> \|г|>1/(15/?3) ) ) где с(т) - постоянная, которая зависит только от га. Л.В. Осипов замечает, что если при этом дополнительно выполняется условие (С) Крамера,

16 то третье слагаемое в правой части данного неравенства есть величина 0(е~5п): Ô > 0, а также приводит следующую оценку В.А. Статулявичуса [67, стр. 650] sup |/(f)| < exp (-9^(2^7-1)0 • i|>7 4 7

В самой работе В.А. Статулявичуса [67, стр. 649] имеется асимптотическое разложение при flm+2(F) = M I^Yil771"1"2 < оо для m ^ 1, m € Z и р(х) ^ С < оо, которое при условии DX = 1 выглядит следующим образом то—1 ад - Ф(х) + X^ÇfcOrMs) + к=1

ШК)ехр ' (10) где û!i(SPTi,7r/?3) - некоторая функция, для которой имеется оценка снизу; Ci, С2 - константы, для которых приведены оценки сверху; Qk(%) -многочлены, формулы для коэффициентов которых приведены в статье и отсутствуют здесь в силу достаточно большого объема вспомогательных обозначений; = {Дн, Сц, % = 1,2,.} - набор непересекающихся интервалов Ац длины и положительных консант С и ^ оо.

Формула (10) является следствием представленных в той же работе асимптотических разложений по дробям Ляпунова характеристической функции и функции распределения нормированной суммы последовательности независимых случайных величин, также исследуемых автором в его более ранних работах [65, 66].

В работе [42] JI.B. Осиновым в предположении справедливости условия (С) Крамера и M ¡Xip^2 < оо доказана следующая оценка m] ад - фы к=1 где е(х) - некоторая положительная функция, стремящаяся к нулю на бесконечности. Оценка подобного характера представлена им в работе [38]. Похожая оценка для плотностей для абсолютно непрерывного

17 распределения с ограниченной плотностью была найдена В.В. Петровым в [48].

Таким образом,

1 + И) т+2 ад .(, к=1 о п т/2 П оо, и равномерно по х справедливо равенство т

Л=1

Л.В. Осипов [42] отмечает, что при выполнении условия (С) Крамера неравномерные оценки рассматривались в [39], [85], [2], [70]. Приведенные выше оценки из [42] являются уточнением основного результата из [39]. Полученные П. Сурвилой в [70] оценки в предположении выполнения условия (С) Крамера и М|Х1|т+2 < оо имеют меньшую точность относительно переменной х, чем оценки в [42] и [39]:

1 + \х\т+1) т ад) - ф(х) к=1 о (^д) , п 00

В работе [70] П. Сурвилы, также как и в работах В.А. Статулявичуса [65, 66, 67], представлены доказательства асимптотических разложений по дробям Ляпунова. Другие разложения, принадлежащие П. Сурвилс, можно найти в его более ранних работах [68, 69]. Подобные разложения по дробям Ляпунова представлены в работе В. Пипирас [52]. Однако, в [52] они используются для построения различных оценок в центральной предельной теореме.

А. Бикялис [2] доказал, что при выполнении условия (С) Крамера и М |Х1|3 < оо имеет место соотношение ад = ф(х) + + О ^ , п - оо .

Отметим, что в работе [3] А. Бикялис получил оценки остаточного члена в асимптотических разложениях для степени характеристической функции и ее производных. Эти оценки продолжают подобные исследования Г. Крамера [29, стр. 90], В.А. Статулявичуса [65], К.-Г. Эссеена [85]. В качестве вспомогательных подобные разложения можно встретить в работах

А. Бикялиса [3], А. Кароблис [22], В.В. Петрова [48, 49], А. Сурвилы [68]. Работа К.-Д. Крузе [31] в некотором смысле обобщает эти исследования.

Разложение со слагаемым порядка п"1,12 представлено в работе Ю.В. Линника [34].

Л.В. Осипов [41, стр. 332] в 1971 г. при выполнении условия (С) Крамера и существовании конечного абсолютного момента степени т 4- 2 получил следующее разложение при п —> оо т ад = + + к=1

00 / т+2 \ п ( + ¿^ЙЯ^М*) <1Р{у) + о ,

V Л=0 / где формальная запись Н-.\{х)^р{х) заменяется Ф(:с), функции Рк(—Ф) определены выше и являются суммами производных -£хФ{х) с коэффициентами, зависящими от начальных моментов случайной величины Хъ а функция Рт+1(-Ф) = Рт+1(~Ф) - {-1)т+*ат+зНт+2{х)р{х) выражается через первые т + 2 моментов величины Х\. Напомним, что ат+1В наших обозначениях равно .

Как отмечает В.В. Петров в [51, стр. 18] методы и результаты Л.В. Осипова были в дальнейшем использованы и развиты Л.В. Розовским (см., например, [57]), П. Холлом и другими (см. также [93, стр. 184-185]).

В работе [18, стр. 19] П.Г. Инжевитовым получена неравномерная оценка остаточной части разложения в локальной предельной теореме для плотностей, которая является аналогом оценки остатка Л.В. Осипова [42] асимптотического разложения в интегральной предельной теореме, приведенной выше. Так, если (Зт+2{Р) < оо для т ^ 1, га Е Ъ и Т)Х = 1, а для некоторого п = щ плотность рПо (х) ^ о при всех х, то существует постоянная С1, зависящая от щ, со и Р (х), такая что рп (х) ^ 1 при п ^ щ и всех х и, кроме того, т с=1 у|>л/п(1+|х|) f \y\m+3dF(y)+ y|<0»(l + |®|) sup \m\ + i Ji|>l/(12M|Xaf) для всех n ^ 2no + m + 3 и всех x. Константа c(m) положительна.

П.Г. Инжевитов отмечает, что существование плотности рП{) (х) влечет условие lim \f(t)\ ~ 0. Поэтому sup|/(t)| < 1 для любого S > 0 и У sup \f(t) \ + тЬ убывает быстрее, чем п р при любом р > 0. В этой же фб J работе П.Г. Инжевитов сравнивает найденную им оценку с неравномерной оценкой А. Кароблиса [22, стр. 132] (см. ниже).

И.А. Ибрагимов [16] в 1967 г. рассмотрел необходимые и достаточные условия аппроксимации Fn{x) заданным отрезком ряда Чебышева то

Ф(ж) 4- До этой работы были известны достаточные условия, fc=i полученные Г. Крамером [8, стр. 235]. И.А. Ибрагимов рассмотрел произвольную числовую последовательность = 0, /¿2 = 1, /^з, по которой построил полиномы Qk{x) таким образом, чтобы их коэффициенты выражались через /х3,., fjf.+2 так, как коэффициенты классических полиномов Qk{x) выражаются через семиинварианты Аз,., А&+2, обозначив их через 7Г\, тто, ., 7Г/с, ■■■■ Он привел несколько различных необходимых и достаточных условий равномерной сходимости по х при п —> со, отличающихся точностью аппроксимации. Приведем одно из его утверждений. Для того чтобы при п со равномерно по х ад = ф(з) + ф)£9Ш+ к—1 m = l,2,.,0<Ä<l, (11) необходимо, а для распределений, удовлетворяющих условию (С) Крамера, и достаточно, чтобы

1) Был конечен абсолютный момент порядка m + 2, и сх{ = щ , г = 1,2, .,т + 2 ;

2) I \x\m+2 dF(x) = 0(z-s), zoo. x\>z

Так же он доказал следующее утверждение, связанное с данным разложением. Для того, чтобы выполнялось соотношение (11), где теперь О < 6 ^ 1, необходимо, а для распределений, удовлетворяющих условию (С) Крамера, и достаточно, чтобы т+2 f(t) = ехр -|2 + + о (|*Г2+5) ,¿-00. к=3

Отметим, что JI. В. Розовский [58] уточнил один из результатов И.А. Ибрагимова [16].

Достаточно подробно необходимые и достаточные условия сходимости рассмотрел А. Кароблис [20, 21, 22]. Например, в его работе [22] в теоремах 3-6, 8-11 сформулированы и доказаны различные варианты необходимых и достаточных условий сходимости. При построении асимптотических разложений с неравномерной оценкой остаточного члена А. Кароблис [22] использует понятие сопряженного момента ps+i = sup f |x|s+1 dF{x) + z [ \x\s dF(x). z>0J J x\>z

А. Кароблис отмечает, что "впервые такую характеристику при s = 2 использовал К.-Г. Эссеен [88]", а слагаемые, входящие в нее, "совпадают с величинами, использующимися в необходимых и достаточных условиях И. А. Ибрагимова". Используя ps А. Кароблис [22] доказывает (сравните оценку остаточной части с (10)), что при существовании у исходных случайных величин конечного сопряженного момента порядка т + 2 и существовании целого числа N ^ 1 такого, что maxpjv (х) ^ С < оо, равномерно по х для х любого / = 1,2,., т + 1 справедливо неравенство

1 + х)1

771—1

Рп(х) - ф) к=1 С., йй§)' (^ + *Сп<™supexp , где CSji - постоянная, зависящая от s и Z, и

Q= {t ■ |í| x 1, m = l,m = 2k,keN

32ecx(?7i+l) \am+2J J ' U 771 = + 1, fc € N '

В работе [53] Ю.В. Прохоров показал, что для обширного класса дискретных распределений асимптотическое разложение сохраняет свою силу и указал порядок убывания остаточного члена в терминах о-малого. Он рассматривал функцию F(x) = pFi(x) + (1 — p)F2(x), Fi(x) — функция распределения некоторой случайной величины с Pm(Fi) < +00 (т ^ 3, т £ Z), F2(x) - это функция дискретного распределения случайной величины с возможными значениями z, zq, zi,., zM (/a > 1), a 0 < p < 1. Вводятся следующие величины = (zk — z) / (zq — z) , к — и требуется, чтобы следующее неравенство имело лишь конечное число решений в целых числах гk, s: max |Afc - < . i 1—-г, ^ > 0.

Тогда mm(/í,m—2) ад = Ф(») 4- Е + к=1 п —► оо , где £о - любое число строго большее е , а функции Рк{~Ф), как написано в оригинале, линейная комбинация производных функции Ф(ж) с коэффициентами, зависящими только от моментов распределения Р(х).

В другой его работе [54] присутствует следующая теорема. Если случайные величины имеют математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице, а также существует такой номер по, что в разложении = а^Яп^х) 4- ЬПоЗПо(х) на абсолютно непрерывную

Ипа{х) и сингулярную ¿?По(ж) части коэффициент аПо положителен, то при существовании т + 2 момента у исходных случайных величин справедливо равенство оо оо т—1

Мх) - <р(х) к=1

Mf)'

Отметим также, что параграф 3 работы [55] Ю.В. Прохорова полностью посвящен "асимптотическому разложению, основанному на нормальном распределении".

Вплоть до недавнего времени основной недостаток всех асимптотических разложений, за одним исключением для биномиального распределения [96, стр. 129-130], состоял в том, что оценки точности, которые они гарантируют, нельзя было доводить до численных результатов.

В работе [96, стр. 129-130] для биномиального распределения Я. Успенский приводит асимптотическое разложение, которое, как нам кажется, в удобной форме, представлено в [56, стр. 184]. В [56] для всякой функции Я (х) вводятся величины Я ( ¿А + — ) - Я , ^ а через РхГ1 обозначается вероятность того, что число успехов (обозначамос через га) в схеме Бернулли удовлетворяет неравенствам А ^ т ^ ¡1. Далее для данной схемы будем придерживаться стандартных обозначений: п - число испытаний в схеме Бернулли, р - вероятность успеха в одном испытании, д = 1— р- вероятность неуспеха, а = л/прд- среднеквадратичное отклонение, гк — {к — пр) /и - нормированные величины. Тогда справедливо разложение где и при npq ^ 25

Р\и = Фаи ~ ^Аи + и>, ф (х) = У р (хг е-^2/2 ] 3\л/2ттрд 4 & '

0.13 4- 0.18 \д — р\ + еЪпт/2 прд

Отметим, что если независимые одинаково распределенные величины Х\, Х2, . принимают значения —р/у/м и д! у/рд с вероятностями д и р, 0 < р < 1, р + д = 1, то эти случайные величины имеют нулевое среднее, единичную дисперсию и для них справедливо предыдущее разложение [63, стр. 95].

Первые явные оценки точности в общем случае были получены Р. Шимицу [95], В. Добрик и Б.К. Гошем [83]. В этих разложениях к нормальному закону добавлялось слагаемое, убывающее как 1 /л/п и были получены оценки точности которые убывают как 1 /п.

В работе [95] для абсолютно непрерывного распределения Р с нулевым математическим ожиданием, единичной дисперсией и конечным четвертым моментом (здесь аз = МХ^, щ = МХ*), плотность которого представляет собой функцию ограниченной вариации р(х) и полная вариация равна М < оо, доказывается следующее разложение ад = ф(х) - £^=н2(хЫх) + к (х), где вир |7ГnR« (*)| < у + Z-n/2a<) + 2^+

1 - 2)' min Г2 6щМ2 . Ьп/2

4^/71 L а с = с(а4) = a4log ^ - ^ I L = ,и к= [3 щМ2].

В 1999 г. В.В. Сенатов [61] построил с помощью вспомогательного заряда асимптотическое разложение для рп(х), для которого была получена и явная равномерная оценка точности данной аппроксимации. Это было сделано для гладких симметричных распределений с известными т + 2 первыми моментами. В дальнейших работах (см., например, [62]) ограничения па симметрию были сняты.

В 2001 г. А.Е. Кондратенко [26] получил явные оценки точности аппроксимации плотности и функции распределения нормированных сумм п независимых случайных величин с распределением F, для которого известны первые т -f 2 моментов, с точностью п~т/2 при помощи их асимптотических разложений по многочленам Чебышева-Эрмита. Как отмечает сам автор, в ходе построения аппроксимаций возникают "ограничения на всевозможные, в том числе и новые, характеристики аппроксимируемого распределения". Так, например, при выполнении условия Крамера и достаточно сильных ограничениях па моменты исходных случайных величин им [26, стр.96] получен следующий результат: ад) = Ф(,о - £ .

3j3+.+mim+i<3m-2 mjm—1 m\J n3/233+.+m/2jm+1 ТЬП) где i = 3, .,га, - г-й семиинвариант распределения Fn{x), а еп - наше обозначение остатка, для которого в работе приведена явная формула,

24 которая опущена у пас по двум причинам: громоздкости и наличия дополнительных необщепринятых обозначений, которые в свою очередь требовали бы дополнительных пояснений.

В 2009 г. вышла в свет монография В.В. Сенатова "Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения"' [63], в которой предложены новые подходы для построения асимптотических разложений, основанные на использовании сопровождающих зарядов, с помощью которых получены разложения с явными оценками точности. Многие из этих результатов будут рассмотрены нами в дальнейшем. В [63] асимптотические разложения были получены и без использования сопровождающих зарядов, что позволяет сиять ограничения на моменты, но оценки остаточных частей были очень громоздки. Уточнения этих разложений будут получены в главе 2.

Изложим некоторую теоретическую часть из данной работы, которая позволит взглянуть на приведенные выше результаты различных авторов с единой точки зрения и понять не только общую логику их построений, но и связь одних разложений с другими.

Любое разложение можно представить в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое, которое выписывается в явном виде, называется главной частью разложения, а второе, для которого указывается лишь его оценка, - остаточной частью разложения. Например, если (5т+2 < оо и выполнены некоторые условия гладкости распределения исходных случайных величин, то

Зт—3 >

Рп(х) = ф) + ^ вк{Рп)Нк(х)ф) + Я, к=3, кфЪтп-А где В, - остаточная часть разложения. Главная часть данного разложения представляет собой отрезок ряда Грама-Шарлье для плотности распределения рп(х). Точность такой аппроксимации О (п~т/2), то есть Я — О (п~т/2) при п —> оо. При этом необходимо, чтобы у исходного распределения существовало, как минимум, 3т — 3 первых момента. Как отмечает В.В. Сенатов [63, стр. 124], еще в двадцатых годах двадцатого века Г. Крамер (см., например, [30, стр. 253]) обратил внимание па то, что разложения Эджворта гарантируют такую же точность разложения при предположении существования не более т+2 моментов (в [16] показано, что при четных т для равномерной по х аппроксимации с точностью О (п~т/2) необходимо существование т + 2 моментов исходного распределения). В.В. Сенатов предполагает, что из-за замечания Г. Крамера исследователи стали уделять основное внимание разложениям Эджворта, которые в настоящее время называются разложениями Эджворта-Крамера. В то же время можно получать разложения типа разложений Грама-Шарлье с меньшим числом моментов. Так В.В. Сенатов приводит разложения, которые называет короткими разложениями Грама-Шарлье: т+1 Зт—З

Рп(х) = ф) + ¿Гек(рп)нк (х)ф) + в^+1\рп)нк{х)ф) + я. к=3 к=т+2, /с^Зт-4

Для получения такого разложения моменты Чебышева-Эрмита порядков, больших т+1, представляются в виде следующих сумм Ок(Рп) = в^+1\рп) + вк,т(Рп), где вк,т(Рп) = О (п~т/2) при П

00, а величины #[т+1^(Рп) связаны с моментами порядков не выше т +

1, после чего все слагаемые, содержащие члены 9к,т{Рп), переносятся в остаток, поскольку их порядок убывания по т не меньше порядка убывания остаточной части разложения. При этом вид остатка меняется, а скорость стремления к нулю - нет.

Величины вкп+1\Рп) также пред ставимы в виде сумм 0^п+1\рп) — Щ?1^^ (Рп)~^~@к,т(Рп)) в которых величины 9к,т(Рп) имеют скорость убывания при росте п не ниже скорости убывания остатка При желании их можно перенести в остаточную часть. После подобного преобразования вид остатка вновь изменится, оставляя скорость убывания остаточной части неизменной. Новое разложение можно записать в виде т+1 Зт-З рп{х) = ф) + ^вк(Рп)Нк(х)ф) + £ ё{™+1(Рп)Нк(х)ф) + я. к=3 к=т+2, кфЗт-А

Данное разложение с точностью до группировки слагаемых представляет собой разложение Эджворта-Крамера, которое после упомянутой группировки можно записать в виде:

771—1

3=1 где, как было указано выше, полиномы Къ3-\{х) являются линейными комбинациями многочленов Чебышева-Эрмита степеней не выше З7 — 1, а

20 коэффициенты определяются только первыми j + 2 моментами или семиинвариантами распределения F(x).

Краткое содержание и основные результаты диссертации

В данной работе получены явные оценки точности аппроксимации распределения Рп асимптотическими разложениями. С точки зрения практического улучшения оценок и снятия ограничений глава 1 данной работы тесно связана с работами В.В. Сенатова [61, 24] и А.Е. Кондратенко [24, 26], глава 2 является обобщением и уточнением результатов представленных в монографии В.В. Сенатова [63].

Необходимость изучения асимптотических разложений связана с тем, что сама ЦПТ, в которой распределение Рп аппроксимируется нормальным законом, имеет довольно малую точность. Так, из одной нижней оценки постоянной в известной теореме Берри-Эссеиа [78] следует, что для того, чтобы теорема Берри-Эссепа гарантировала точность аппроксимации порядка Ю-3 число слагаемых в нормированных суммах должно быть более 160 тысяч [63, стр. 71].

До недавнего времени (см. выше) оценки точности асимптотических разложений для распределений сумм независимых случайных величин формулировались в терминах 0(п~к) , о{п~к), как, например, в работах И.А. Ибрагимова [16] и Л.В. Осипова [41], или в них использовались константы, для которых гарантировалось лишь их существование или утверждалось существование некоторой функции г(п) —> 0 при п —> оо [48, 42]. Такие оценки непригодны для получения конкретных численных значений, в^ то же время практическое применение данных разложений часто требует конкретных численных значений оценок остаточных частей. Исключением из сказанного являлись лишь работы R. Shimizy [95] и V. Dobric, В.К. Ghosh [83], в которых исследовались так называемые короткие асимптотические разложения и в которых налагались достаточно сильные ограничения на распределения исходных случайных величин.

Возможно, первой статьей, в которой подробно рассмотрены такие вопросы, является статья В.М. Золотарева [15] (см. также [14, стр. 225]). В ней автор делит поток публикаций на две группы. "Одна относится к категории фундаментальных исследований, направляющих развитие этих дисциплин, а другая, значительно более обширная, посвящена решению конкретных задач".

В свою очередь вторую группу он делит на три категории. "Первый уровень отвечает предельным теоремам, устанавливающим вид возможных предельных аппроксимаций и условия их выбора. . Второй уровень соответствует разнообразным уточнениям предельных теорем первого уровня. . Третий уровень объединяет те уточнения предельных теорем, которые допускают принципиальную возможность их использования при числовых подсчетах. уточнения третьего уровня разумно, в свою очередь, разделять на две категории - на формальные уточнения, практическая ценность которых оказывается невысокой, и реальные уточнения, способные обеспечить нам достаточно полную информацию о действительной погрешности приближения в типичных ситуациях".

После публикации [15] мы видим оживление в исследованиях. Надеемся, что и данная работа позволит сделать еще один шаг по превращению формальных уточнений в реальные.

При построении асимптотических разложений нам представляется естественным получать разложения Грамма-Шарлье для рп(%) без использования вспомогательных зарядов (хотя формально можно сказать, что мы использовали заряд с характеристической функцией д(¿) = е-*2/2). При таком построении асимптотическое разложение рп(х) находится с помощью интегрирования (преобразования Фурье) разложения характеристической функции /п • А само разложение получается с помощью многократного применения преобразования, аналогичного преобразованию Абеля. Каждое из этих преобразований добавляет в главную часть разложения /п члены более высокого по п порядка, тем самым уменьшая порядок остатка. Однако, оно же и увеличивает количество слагаемых в оценке остатка.

Применение зарядов позволяет сократить как выкладки, так и количество слагаемых в оценке остаточной части разложений. Возможно поэтому такой подход часто [16, 53, 24] применялся при построении асимптотических разложений. Однако, при использовании зарядов проявляются, по крайней мере, две трудности.

Первая из них состоит в сложности априорного выбора наиболее подходящего для решения задачи заряда. Связано это с тем, что проблемы, возникающие из-за использования различных зарядов, проявляют себя в разных местах доказательств. Так, например, для зарядов, примененных Ю.В. Прохоровым [53], легко выписывалось обратное преобразование Фурье характеристической функции заряда, однако, возникали трудности при поиске этого же преобразования для свертки зарядов. У зарядов, рассмотренных А.Е Кондратенко [26] и В.В. Сенатовым [61, 62], все с точностью наоборот. Отметим, что при использовании зарядов одно из этих обращений всегда более сложно.

Вторая трудность, связанная с зарядами, состоит в том, что их нельзя использовать без некоторых ограничений на исходные случайные величины (например, па моменты распределения данных величин), так как иначе характеристическая функция заряда). При применении различных зарядов могут возникать разные ограничения.

Наилучшие результаты получаются при сочетании идей построения разложений без зарядов с известными подходами, использующими заряды. При этом удастся получить точно такие же главные части разложений, ио с более точными и менее громоздкими оценками остатка. Уже при незначительной длине разложений преимущество этого способа становится очевидным. Так, чтобы избежать упомянутых ограничений, в работе используются заряды с характеристическими функциями д(/") = е-г-/2+£02ь.+1(гг)2Ь+1 только с нечетными степенями переменной (И) более второй, а члены разложения с четными степенями более второй будем получать с помощью преобразования, подобного преобразованию Абеля.

В главе 1 диссертации с помощью описанного выше метода получены асимптотические разложения в ЦПТ для независимых одинаково распределенных случайных величин Х\, Х2,. , у которых конечны моменты (Зт+2, т = 4,5,6. Эти разложения занимают промежуточное место между разложениями Эджворда-Крамера и короткими разложениями Грамма-Шарлье [62].

Утверждения теорем 1 и 2 главы 1 отличаются от соответствующих результатов, приведенных в [62], главным образом тем, что в теоремах 1 и 2 нет ограничения 9^{Р) ^ 6, присутствующего в [62]. Аналога теоремы 3 в [62] нет.

Как говорилось выше, построение разложений с помощью зарядов дает меньшее число членов в оценке остаточной части разложения, но влечет интегралы дп(х) расходящимися (д{£) определенные ограничения па моменты исходного распределения. Новый вид асимптотических разложений решает обе трудности одновременно. При построении таких разложений не используются дополнительные ограничения, а так же оценка остатка сравнима с оценкой остатка разложений, построенных с помощью зарядов. Техника построения предложенных асимптотических разложений в основном повторяет техники, используемые нами при построении известных видов разложений как с помощью зарядов, так и без них.

В главе 2 получен новый вид асимптотических разложений в ЦПТ с явной оценкой остаточной части разложения для независимых одинаково распределенных случайных величии Х1,Х2,.-. , у которых конечны моменты (Зт+о, т ^ 2. Формула для оценки остатка обладает рядом преимуществ по сравнению с известными на данный момент формулами остатка для аналогичных разложений. Найдена новая формула для моментов Чебышева-Эрмита #/(Ртг). Вводится понятие (формула) усеченных квазимоментов Чебышева-Эрмита ^!т+1\Рп)- С помощью данных формул для 0/(Рп) и Цт+1\Рп) указывается связь между новыми асимптотическими разложениями и короткими разложениями Грама-Шарлье, которая позволяет получать запись новых разложений в виде разложений Грама-Шарлье с явной оценкой остатка. Найдены новые формулы для многочленов К^х), з = 1,2, .,т — 1 , участвующих в разложении Эджворта-Крамера. С помощью этих формул устанавливается связь между новыми асимптотическими разложениями и разложениями Эджворта-Крамера.

В главе 3 указано как, используя результаты глав 1 и 2, строить асимптотические разложения для функций распределения. В ней указан способ построения разложений в локальной форме ЦПТ для решетчатых распределений. Проводится сравнение разложений, полученных с использованием и без использования сопровождающих зарядов. А также приводятся некоторые численные иллюстрации.

В заключительной части работы проводится сопоставление построенных асимптотических разложений и разложений Грама-Шарлье и Эджворта-Крамера.

В работе используются метод характеристических функций, метод метрических расстояний (по терминологии В.М. Золотарева), метод сопровождающих зарядов, а также другие методы теории вероятностей, математического и функционального анализа. Для построения разложений используется, аналогичное преобразованию Абеля, преобразование

71—1 п - дп = (f-9)j=о

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях:

1. Соболев В.Н. Об асимптотических разложениях в центральной предельной теореме // Теория вероятн. и ее примен., 2007, т. 54, в. 3. с. 490-505.

2. Соболев В.Н. Об асимптотических разложениях в ЦПТ // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика., 2010, № 28, в. 3(18), с. 35-47.

Результаты диссертации докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством чл.-корр. РАН, проф. А. Н. Ширяева (мех-мат МГУ, 2010 г.), на семинаре "Прикладные задачи теории вероятностей, математической статистики и теории массового обслуживания" под руководством проф. Ю.С. Хохлова, проф. В.В. Рыкова, проф. A.B. Печинкина (РУДН, 2010 г.), на семинаре "Теория риска и смежные вопросы" на факультете ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. В.Ю. Королева (ВМК МГУ, 2010 г.), на "VIII Международных Колмогоровских чтениях" (Ярославль, 2010 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Владимиру Васильевичу Сенатову за постоянное внимание к данной работе и полезное обсуждение ее результатов.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Соболев, Виталий Николаевич

Заключение

Предложенные асимптотические разложения обладают рядом преимуществ перед существующими в контексте известных и применяемых на данный момент методов исследования при решении рассматриваемой задачи. Так, данные асимптотические разложения при условии существования достаточного количества моментов у исходного распределения могут быть выписаны любой длины, что позволяет гарантировать сколь угодно высокую точность аппроксимации. При этом ограничения, которые налагаются на исходное распределение, в сравнении с аналогичными разложениями слабее. А для остаточной части разложения имеются явные оценки точности.

Оценка остаточной части предложенного разложения имеет понятную структуру и, при сравнении с аналогичными известными оценками, является предпочтительней. Разложения данного вида имеют непосредственную связь как с разложениями вида Грама-Шарлье, так и с разложениями вида Эджворта-Крамера. Эта связь дает возможность получать разложения вида Грама-Шарлье с явными оценками остатка и разложения Эджворта-Крамера. Как известно, для разложений вида Эджворта-Крамера ие существует явных оценок остаточной части разложений для любого порядка убывания по га. Это говорит о сложности структуры такого вида разложений для современных методов исследования и современной постановки задачи. Для разложений вида Грама-Шарлье существуют оценки остатка как для конкретных значений порядка убывания по п, так и общие формулы для разложений любого порядка убывания по п.

Как было показано выше, при нахождении разложений Грама-Шарлье конкретной длины (фиксированного порядка убывания по п) можно использовать заряды, а можно обойтись без них. Наилучшие оценки в этом случае достигаются при использовании сопровождающих зарядов. Разложения Грама-Шарлье конкретной длины, полученные без использования вспомогательных зарядов, имеют большее количество слагаемых в оценке остаточной части разложения, но не имеют лишних ограничений на исходное распределение. В главе 1 был предложен компромиссный вариант сопровождающих зарядов, при использовании которого количество слагаемых в остаточной части разложения меньше, чем в оценке остатка разложений без зарядов, и при этом отсутствуют ограничения на моментные характеристики исходного распределения по сравнению с разложениями, полученными с использованием зарядов. Известные формулы разложений Грама-Шарлье любой длины (любого порядка убывания по п) с явной оценкой остатка получены без помощи сопровождающих зарядов. Получение на данный момент общей формулы асимптотических разложений с использованием зарядов вызывает технические трудности.

Предложенное в главе 2 разложение возникло из желания получать разложения вида Грама.-Шарлье любой длины (любого порядка убывания по п) с явной оценкой остатка, сопоставимой с оценкой остатка разложений Грама-Шарлье, которую дает метод сопровождающих зарядов. Новый вид разложений позволяет выписывать разложения любой длины (любого порядка убывания по п) с наилучшей на сегодняшний момент оценкой остатка. При этом, при перестановке слагаемых можно получить разложение вида Грама-Шарлье. Количество слагаемых в таком разложении Грама-Шарлье будет не больше, чем в известных на данный момент разложениях вида Грама-Шарлье в ЦПТ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соболев, Виталий Николаевич, 2010 год

1. Березин И.С., Жидков Н.П., Методы вычислений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, т.1, 1962.

2. Бикялис А. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме. // Литов. мат. сб., 1966, 6, JV* 3, с. 321-3-16.

3. Бикялис А. Об остаточных членах в асимптотических разложениях для характеристических функций и их производных. // Литов. мат. сб., 1967,' 7, № 4, с. 571-382.

4. Большее Л.Н. Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1983.

5. Бхаттачария Р.Н., Ранга Pao Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. М.: Наука, 1982.

6. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

7. Геропимус Я.Л. Теория ортогональных многочленов. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.

8. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1949.

9. Гнеденко Б.В. Предельные теоремы для сумм независимых слагаемых и цепей Маркова. // Украинский математ. журнал, 1949, т. С, 1, с. 5-20.

10. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.,Л.: ОНТИ-ГТТИ, 1934.

11. Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1948.

12. Золотарев В.М. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. // Теория вороятн. и ее примен., 1966, т. 11, в. 1, с. 108-119.

13. Золотарев В.М. Идеальные метрики в проблеме аппроксимации распределений сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 1977, т. 22, в. 3, с. 449-465.

14. Золотарев В.М. Современная теория суммирования независимых случайных величии. Ы.: Наука, 1986.

15. Золотарев В.М О реальных уточнениях предельных теорем теории вероятностей. // Тр. МИ АН СССР, 1988, т. 182, с. 24-48.

16. Ибрагимов И.А. Об асимптотических разложениях Чебышева-Крамера. // Теория вероятн. и ее примен., 1967, т. 12, выпуск 3, с. 596-619.

17. Ибрагимов И.А., Лшшик Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

18. Инжевитов П.Г. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин. Кандидатская диссертация. Л.: ЛГУ, 1983.

19. Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

20. Кароблис А. Об асимптотических разложениях в локальных теоремах. // Литов. мат. сб., 1972, XII, № 4, с. 53-68.

21. Кароблис А. Об асимптотических разложениях в локальных теоремах. // Литов. мат. сб., 1972, XII, Л'® 4, с. 69-73.

22. Кароблис А. Неравномерная оценка остаточного члена в локальных предельных теоремах. // Литов. мат. сб., 1975, XV, № 1, с. 131-155.

23. Колмогоров A.II. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории ' вероятности. // Вестник МГУ, 1953, т. 10, с. 29-38.

24. Кондратенко А.Е., Сенатов В.В. Об оценке точности асимптотических разложений в ЦПТ. // Доклады АН РФ, 2001, т. 378, № 6, с. 748-750.

25. Королев В.Ю., Шевцова И.Г. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенстве Бсрри-Эссеена. // Теория вероятн. и ее примен., 2009, т. 54, в. 1, с. 671-695.

26. Королев В.Ю., Шевцова И.Г. Уточнение неравенства Ворри-Эссеспа с приложениями к пуассоновским и смешанным пуассоновским случайным суммам. // Обозрение прикл. и промышл. матем., 2010, т. 17, в. 1, с. 25-56.

27. Крамер Г. Случайные величины н распределения вероятностей. М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1947.

28. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975.

29. Крузе К.-Д. Асимптотические разложения для производных преобразований Фурье. // Литов. мат сб., 1983, XXIII, № 2, с. 98-109.

30. Кузьмин О.В. Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000.

31. Лебедев H.H. Специальные функции и их приложения. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

32. Лшпшк Ю.В. О точности приближения к гауссову распределению сумм независимых переменных случайных величин. // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1947, т. 11, №2, с. 111-138.

33. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979.

34. Марков A.A. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятностей. Л.: Издательство академии наук СССР, 1951.

35. Ожигова Е.П. Шарль Эрмит 1882-1901. Л.: Наука. 1982.

36. Осипов Л.В. Об асимптотическом разложении в центральной предельной теореме. // Доклады АН СССР, 1966, т. 168, №3, с. 522-523.

37. Осипов Л.В. Асимптотические разложения в центральной предельной теореме. // Вестник ЛГУ, 1967, > 19, с. 45-61.

38. Осипов Л.В. Об асимптотических разложениях функции распределения суммы независимых решетчатых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 19G9, т. 14, в. 3, с. 468-470.

39. Осипов Л.В. Об асимптотических разложениях для распределения сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 1971, т. 16, выпуск 2, с. 328-338.

40. Осипов Л.В. Об асимптотических разложениях функции распределения суммы случайных величин с неравномерными оценками остаточного члена. // Вестник ЛГУ, 1972, № 1, с. 51-59.

41. Петров В.В. Локальная теорема для плотностей сумм независимых случайных величин. // Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, выпуск 3, с. 349-357.

42. Петров В.В. Асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величии. // Теория вероятн. и ее примен., 1959, т. 4, выпуск 2, с. 220-224.

43. Петров В.В. Локальные предельные теоремы для сумм одинаково распределенных независимых слагаемых. Сб. "Предельные теоремы теории вероятностей". Ташкент: Изд. АН УССР, 1963, с. 148149.

44. Петров В.В. О локальных предельных теоремах для сумм независимых случайных величин. // Теория вороятн. и ее примен., 1964, т. 9, в. 2, с. 343-352.

45. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

46. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. ¡VI.: Наука, 1987.

47. Пипирас В. Об остаточных членах асимптотического разложения функции распределения суммы независимых случайных величин. // Литов. мат. сб., 1970, X, № 4, с. 135-159,

48. Прохоров Ю.В. Некоторые уточнения теоремы Ляпунова. //Изв. АН СССР. Серия математическая, 1952, т. 1G, № 3, с. 281-292.

49. Прохоров Ю.В. Локальная теорема для плотностей. // Доклады АН СССР, 1952, т. 83, .VaG, с. 797800.

50. Прохоров Ю.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Кандидатская диссертация. М., 1952.об. Прохоров Ю.В., Розанов Ю.А. Теория вероятностей. Основные понятия, предельные теорем£>1, случайные процессы. .VI.: "Наука", 1987.

51. Розовский Л.В. Асимптотические разложения в центральной предельной теореме. // Теория вероятн. и ее примен., 1975, т. 20, в. 4, с. 810-820.

52. Розовский Л. В. О свойствах асимптотических разложений. // Матем. заметки, 1977, т. 22, № 6, с. 907-914.

53. Рыжик И.М., Градштсйн И.С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.

54. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 19G2.

55. Сенатов В.В. Применение моментов Чсбышева-Эрмита в асимптотических разложениях, // Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 1, с. 191-192.

56. Сенатов В.В. Об асимптотических разложениях в центральной предельной теореме с явными оценками остаточных членов. // Теория вероятн. и ее примен., 2006, т. 51, в. 4, с. 810-816.

57. Сенатов В.В. Центральная предельная теорема: Точность аппроксимации и асимптотические разложения. AL: Книжный дом "Либроком", 2009.

58. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Физматгиз, 1958, т. 1.

59. Статулявичюс В.А. Об асимптотическом разложении характеристической функции суммы независимых случайных величин. // Литов. мат. сб., 1962, П, .Л1' 2, с. 227-232.

60. Статулявичюс В.А. Об асимптотическом разложении характеристической функции суммы независимых случайных величин. Сб. "Предельные теоремы теории вероятностей". // Ташкент: Изд. АН УССР, 1963, с. 123-130.I

61. Статулявичюс В.А. Предельные теоремы для плотностей и асимптотические разложения для распределений сумм независимых случайных величин. // Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, в. 4, с. 645-659.

62. Сурвила П. Остаточный член в асимптотическом разложении для плотностей. // Литов. мат. сб., 1962, II, Ха 2, с. 233-250.

63. Сурвила П. Экстремальные свойства предельных теорем. Сб. '"Предельные теоремы теории вероятностей". // Ташкент: Изд. АН УССР, 1963, с. 160-162.

64. Сурвила П. Асимптотические разложения для функций распределения нормированной суммы независимых случайных величин. // Литов, мат. сб., 1965, V, 1, с. 143-155.

65. Суэтин П.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1979.

66. Суэтин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М.: Наука, 1988.

67. Тюрин И.С. О точности гауссовской аппроксимации. // Доклады РАН, 2009, т. 429, №3, с. 312-316.

68. Тюрип И.С. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова. // УМН, 2009, т. 63, в. 3, с. 201-202.

69. Тюрин И.С. О скорости сходимости в теореме Ляпунова. // Теория вероятн. и ее примел., 2010, т. 55, в. 2, с. 250-270.

70. Ульянов В.В. К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме, // Теория вероятн. и ее примен., 1978, т. 23, в. 3, с. 68-1-687

71. Чебышсв П.Л. О разложении функции одной переменной, в полном собрании сочинений П.Л. Чебышева. M.-JL: Изд. АН СССР, 1947, т. 2, с. 335-341

72. Шевцова И.Г. Уточнение структуры оценок скорости сходимости в центральной продельной теореме для сумм независимых случайных величин. Кандидатская диссертация. М.: МГУ, 2006.

73. Шевцова И.Г. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссеена-Каца. // Теория вероятн. и ее примен., 2010, т. 55, в. 2, с. 271-304.

74. Cramer Н. On an asymptotic expansion occurring in the theory of probability. // The Journal of the London Mathematical Society, 1927, V. 2, Part 4, № 8, p. 262.

75. Cramer H. On the composition of elementary errors. // Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1928, vol. 11, p. 13-74, p. 141-180.

76. Cramer H. Random variables and probability distributions. // Cambridge university press, 1970, third edition.

77. Dobric V., Ghosh B.K. Some analogs of Berrv-Esseen bound for first order Chebychcv-Edgeworth expansions. // Statistics and Decisions, 1996, vol. 14, № 4, p. 383-404.

78. Edgcworth F.Y The law of error. // Camb. Phil. Soc. Proc., 1905, 20, p. 36-141.

79. Esseen C.-G. Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the La pace-Gaussian law. // Acta Math., 1945, vol. 77, p. 1-125.

80. Esseen C.-G. A moment inequality with an application to the. central limit theorem. // Skand. Aktuarri-etidskr., 1956, vol. 39, p. 160-170.

81. Esseen C.-G. On mean central limit theorems. // Trans. Roy. Inst. Technol., Stockholm, 1958, 121, p.1-31.

82. Esseen C.-G. On the remainder term in the central limit theorem. // Arkiv for Math., 1969, 8, 2, p. 7-15.N

83. Hermite C. Oeuvres de Charles Hermite. Paris: Gauthier-Villais, Tome 2, 1908.

84. Laplace P.S. Traité de mécanique céleste. Paris : Duprat, 1798-1825, IV, livre X.

85. Lukacs E. Applications of Faa di Brtino'sformula in mathematical statistics. // Amer. Math. Monthly, 1955, 62, 5, p.340-348.

86. Petrov V.V. Limit theorems of probability theory sequences of independent random variables. Clarendon press, Oxford, 1995.

87. Senatov V.V. Normal Approximation: New Results, Methods and Ploblems. VSP, Utreclit, 1998.

88. Shimizu R. On the remainder term for the central limit theorem. // Ann. Inst. Stat. Math., 1974, vol. 26, jV* 2, p. 195-201.

89. Uspensky J. Introduction to mathematical probability. N.-Y.: McGrow-Hill Book Co, 1937.