Структура фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Шахмардан Мохаммад Мохсен

• Шахмардан Мохаммад Мохсен
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шахмардан Мохаммад Мохсен

1. Введение

2. Влияние малых параметров на размер вязких пальцев

2.1. Решение известных задач методом теории подобия и размерности в механике.

2.2. Решение задачи с инерцией методами теории размерности.

2.3. Описание эксперимента.

3. Постановка задачи о вытеснении вязкой жидкости с учётом инерции

3.1. Математическая модель вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу с учётом инерционных свойств жидкости.

3.2. Задача об устойчивости плоского фронта вытеснения к малым возмущениям.

4. Численное моделирование структуры фронта неустойчивого вытеснения

4.1. Постановка задачи для численного моделирования.

4.2. Безразмерная постановка задачи.

4.3. Разностная схема.

4.4. Результат численных расчетов

5. Задачи о пузырьке в потоке вязкой жидкости

5.1. Постановка задачи.

5.2. Решение задачи без учета инерции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структура фронта неустойчивого вытеснения вязкой жидкости»

По-видимому, впервые объяснение явления неустойчивости, развивающейся при вытеснении одной вязкой жидкости другой менее вязкой из пористой среды дано в работах Hill (1952) [1], Chuoke & van Meurs & van der Poel (1959) [2] и Saffman & Taylor (1958) [3] и другие авторы [4-8]. Показано (рис. 1.1), что фронт вытеснения неустойчив, построен механизм развития неустойчивости.

Рис. 1.1. Механизм развития неустойчивости развивающейся при вытеснения вязкой жидкости: а - эволюция малого возмущения плоского фронта , б - профили давлений в различных сечениях. х

Пусть, где то на фронте вытеснения возникло малое возмущение (рис. 1.1,а). В месте возникновения возмущения в точке А, градиент давлений возрастает, скорость движения жидкости возле этой точки увеличивается и амплитуда возмущения нарастает. В результате менее вязкая, вытесняющая жидкость прорывается через слой вытесняемой образуя в ней каналы называемые вязкими пальцами. (Рис.1.2) вязкие пальцы образуют область, зону смешения, лежащую между основаниями и вершинами пальцев, в которой находится как вытесняемая, так и вытесняющая жидкости (рис. 1.2,6).

Рис.1.2. Неустойчивое вытеснения вязкой жидкости из пористой среды

Проблема расчёта динамики изменение зоны смешения возникает при макромасштабном, моделировании процесса вытеснения вязкой жидкости из пористой среды (рис. 1.2.а). В этом случае необходимо знать динамику Л изменения ширины области, занятой двумя жидкостями, т.е. иметь формулы, позволяющие рассчитывать поток смешения, который до настоящего времени определялся на основании обработки экспериментальных данных. Наличие теории существенно повысит эффективность таких исследований.

Решение проблемы расчёта структуры фронта неустойчивого вытеснения имеет полувековую историю. Подавляющее большинство теоретических и экспериментальных работ посвящено исследованию вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу [9^48]. Ячейка Хеле-IJIoy служит физической моделью пористой среды. Она представляет собой узкий канал, образованный двумя параллельными пластинами, расположенными на расстоянии <5 значительно меньшем длины L и ширины канала /(рис. 1.3).

Рис.1.3. Схема ячейки Хеле-Шоу. 8«1

Первую попытку рассчитать параметры вязкого пальца предпринял Журавлёв (1956) [49]. Однако, более известно работа Saffman & Taylor (1958) [3], считающаяся классической. Saffman и Taylor теоретически и экспериментально исследовали вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу. В теоретическом анализе вытесняемая и вытесняющая жидкости считались несжимаемыми. Силами трения, действующими в плоскости течения пренебрегалось в сравнении с силами треиия о стенки. Инерция жидкостей не ф учитывалась. Параметры течения были осреднены по высоте ячейки Хеле-Шоу. В результате для описания течения в ячейке Хеле-Шоу была получена система уравнений Эйлера: + ^ = 0 (1.1) дх ду дР пол и -------(1.2)

12//, дх v = (1.3)

12//,. ду где u , v - средние по высоте сечения компоненты вектора скорости, Р давление, коэффициенты динамической вязкости, вытесняющей (1=1) и вытесняемой (i=2) жидкостей. Силами поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей пренебрегалось. На межфазной поверхности ставилось условие равенства давлений и нормальны к поверхности компонент скоростей: x = £(t,y): P = P,=P2> w\n = w2n (1.4)

В результате решения задачи была получена формула позволяющая рассчитать форму вязкого пальца : = 2—In п cos а

1.5)

Ширина вязкого пальца X входит в эту формулу как параметр, т.е. в соответствии с теорией Журавлёва - Сафмана - Тейлора ширина вязкого пальца может быть любой. Saffman & Taylor (1958) [3], ссылаясь на свои эксперименты (рис. 1.4) предположили, что она равна половине ширины ячейки Хеле-Шоу /. Однако дальнейшие эксперименты и численные расчеты опровергли эту гипотезу: (Pitts, 1980 [50] ; Mclean & Saffinan, 1981 [51]; Park & Homsy, 1984 [52]; Park & Homsy, 1985 [53] и другие авторы [54-62]).

Рис.1.4. Результаты экспериментов Saffman & Taylor (1958).

На (рис.].5) представлены результаты экспериментов Park & Homsy (1985) [53] по вытеснению глицерина водой из ячейки Хеле-Шоу. Видно, что в ячейке при некоторых параметрах могут образовываться несколько вязких пальцев, что противоречит гипотезе Сафмана -Тейлора.

Первая успешная попытка расчета ширины вязкого пальца принадлежит Homsy(1987) [63], Он предположил, что при вытеснении вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу другой, несмешивающейся с вытесняемой, размер вязкого пальца определяется малым параметром: силами поверхностного натяжения, действующими в плоскости течения. Хотя эти силы на порядки меньше сил поверхностного натяжения, действующих поперёк потока, но их включение в анализ позволило определить ширину вязкого пальца теоретически Schwartz & Degregoria (1987) [64]. а) б) в)

Рис.1.5. Результаты экспериментов по вытеснению вязкой жидкости газом из ячейки Хеле Шоу, а: Са = 94.3 . б: Са' = 143, («„ = Змм/с): (а) 90 с, (Ь) 94 с, (с) 110 с, (d) 130 с, (е) 140 c,(f) 157 с, (g) 162 с, (h) 171 с, (i) 181 с, (j) 199 с, (к) 210 с . в: Са' = 143; (а) 73 с, (Ь) 82 с .

Гипотеза Хомси также была подтверждена экспериментально Park & Homsy (1985) [53]. Эксперименты показали, что критерием подобия процессов вытеснения вязкой жидкости из ячейки Хеле-Шоу является модифицированное капиллярное число, называемое теперь числом Homsy:

L, (1.6)

С7 О где / ширина ячейки Хеле-Шоу, 8 - её высота (расстояние между пластинами), //j - динамическая вытесняемой жидкости, их- среднемассовая скорость. Коэффициент поверхностного натяжения а входит в это число как параметр.

Однако, силы поверхностного натяжения в пористой среде не зависят от формы фронта вытеснения. Поэтому теория Homsy не может быть использована для расчета структуры фронта вытеснения в этом интересном с практической точке зрения случае.

Существуют эксперименты которые показывают, что и без сил поверхностного натяжения фронт вытеснения имеет строго определенную структуру, иными словами, размеры вязких пальцев близки к среднему значению. Причём, это среднее значение меняется при изменении параметров системы: проницаемости среды S2, вязкости жидкостей //,, и скорости подачи жидкости их.

В экспериментах Smirnov и др. (2002) [65-67] водо-глицериновая смесь вытеснялась водой (рис. 1.6).

Вода и глицерин-смешивающиеся жидкости, поэтому сил поверхностного натяжения на их границе нет. Следовательно, найденный Homsy механизм стабилизации вязких пальцев не работает. Ввиду большой скорости вытеснения 1-5 см 1с диффузии глицерина в воду не происходит. Видно, что граница между глицерином и водой остаётся чёткой. Следовательно, не работает и второй механизм стабилизации вязких пальцев: за счёт диффузии жидкостей.

Рис.1.6. Фотографии фронта вытеснения вода - глицериновой смеси из ячейки Хеле Шоу водой. Параметры экспериментов 1-10 даны в таблице 1

Таблица.1. Начальные условия эксперименты, Смирнова и др. (2003) представленных на рис.1.6.

М щ.см/с 5, ММ tl, с t2, С

I 84 5 1.2 0.4 1.6

2 84 2.75 1.2 0.8 3.2

3 84 1 1.2 2 8

4 9 5 1.2 0.4 1.6

5 3 5 1.2 0.4 1.6

6 84 2.75 3.7 0.8 3.2

7 84 1 3.7 2 8

8 9 I 3.7 2 8

9 9 I 1.2 2 8

10 3 2.75 \2 0.8 3.2

Тем не менее, видно, что размер элементов фронта вытеснения достаточно близок к среднему значению Я.

Чтобы объяснить наблюдаемые зависимости размеров вязких пальцев от параметров экспериментов 2 необходимо предположить существование других, неизвестных до сих пор, механизмов, определяющих размер элементов фронта вытеснения - вязких пальцев.

Обобщая гипотезу Homsy предположим, что размер пальцев определяется малыми параметрами. Однако малых параметров, не учтённых в классической постановке задачи о вязком пальце Журавлёва - Сафмана - Тейлора, много. Это инерция жидкостей, их сжимаемость, силы вязкости, действующие в плоскости течения, и бесконечное множество других факторов .

В главе 2 на основании теории подобия и размерности в механике (Седов 1977, [68]) разработан метод, позволяющий определить, какие малые параметры влияют на структуру фронта вытеснения, а какие-нет. На основании обработки экспериментов показано, что инерция жидкостей может быть фактором, определяющим размер вязких пальцев.

В главе 3 предложена постановка задачи о структуре фронта вытеснения, учитывающая инерцию жидкостей. Исследована устойчивость плоского фронта вытеснения на малые возмущения. Линейный анализ показал, что быстрее всех нарастают возмущения наименьшей длины. Таким образом, размер вязких пальцев в задаче с инерцией не может быть найден на основе анализа устойчивости плоского фронта на малые возмущения.

В главе 4 разработан метод численного решения задачи о структуре фронта неустойчивого вытеснения. Показано, что сначала плоский фронт разрушается возмущениями минимально возможной ширины, примерно 1-2 ячейки. Затем ширина пальцев увеличивается достигая десятков ячеек. Проведено исследование влияния параметров системы на структуру фронта неустойчивого вытеснения. Методом численных расчётов подтверждена гипотеза о том, что силы инерции могут определять структуру фронта неустойчивого вытеснения. Показано, что вязкие пальцы, в свого очередь неустойчивы со временем они разрушаются на вязкие пузырьки.

В главе 5 Приведено аналитическое решение задачи о вязком пузырьке в потоке вязкой жидкости.

Анализ результатов дан в заключении.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Шахмардан Мохаммад Мохсен

Заключение

Полученные в работе результаты могут быть сформулированы следующим образом:

1. Показано, что ширина вязких пальцев образующихся при вытеснении вязкой жидкости из пористой среды и темп их роста определяются силами инерции.

2. Предложен безразмерный критерий подобия процессов вытеснения.

3. На основании обработки экспериментальных данных построены зависимости связывающие характеристики фронта вытеснения: ширину вязких пальцев и темп их роста со средними параметрами процесса вытеснения.

4. Построена математическая модель описывающая структуру фронта неустойчивого вытеснения.

5. разработан численный метод позволяющий отслеживать изменения формы фронта вытеснения.

6. Численно исследована зависимость фронта вытеснения от безразмерных параметров: модифицированного числа Рейнольдса 8 Re и отношения вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкости М.

7. Показано, что вязкие пузырьки пальцы по мере их роста теряют устойчивость и распадаются на вязкие пузырьки.

8. Поставлена и в классической постановке Решена аналитически задача о пузырьке в потоке вязкой жидкости. Найдена форма вязкого пузырька и скорость его движения.

Для более убедительного доказательства роли инерции как фактора определяющего структуру фронта неустойчивого вытеснения должно быть найдено аналитические Решения задач о вязком пальце и вязком пузырьке с учетом инерции.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шахмардан Мохаммад Мохсен, 2005 год

1. Hill S. Channeling in packed columns. Chem. Eng. Sci. 1, 247, 1952.

2. Chuoke R.L., Meurs P. Van & Poel C. Van Der. The instability of slow immiscible viscous liquid-liquid displacements in permeable media. Trans. AIME216, 188, 1959.

3. Saffiman P.G., Taylor G.I. The penetration of a fluid into a porous medium of Hele-Shaw cell containing a more viscous fluid. Proc. R. Soc. Lond. A 245, 312, 1958.

4. A. Habermann A., Trans. Aime 219, 264, 1960.

5. Blackwell R. J., Rayne J.R., and Terry W.M. Trans. Soc. Aime 216, 1, 1959.

6. Perkins R.L., Johnston O.C., and Saffman P.G. Soc. Pet. Eng. J. 5, 301, 1965.

7. Slobod R.L. and Thomas A. Soc. Pet. Eng. J. 3, 9, 1963.

8. Slobod R.L., Burcik E.J., and Cashdollar B.H. Prod. Month. 20, 11, 1959.

9. Hele-Shaw H.J.S. The flow of water. Nature 58, 34, 1898.

10. Галин Jl.А. Нестационарная фильтрация со свободной поверхностью. Докл. АН. СССР, Т. 47. с 246-253, 1945.

11. Полуборинова-Кочина П.Я. О движении контура нефти. Докл. АН. СССР, Т. 47. с 254, 1945.

12. Taylor G.I. & Saffman P.G. A note on the motion of bubbles in a Hele-Shaw cell and porous medium. Q. J. Mech. Appl. Maths 12, 265, 1959.

13. Saffiman P.G. Exact solutions for the growth of fingers from a flat interface between two fluids in a porous medium or Hele-Shaw cell. Q. J. Mech. Appl. Maths 12, 146, 1959.

14. Pitts E. Penetration of fluid into a Hele-Shaw cell: the Saffman-Taylor experiment. J. Fluid Mech. 97, 53, 1980.

15. Paterson L. Radial fingering in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 113, 513, 1981.

16. Saffman P.G. Fingering in a porous medium (ed. Burridge et al. ) lecture notes in physics. Springer, 1982.

17. Kessler D. & Levine H. The theory of Saffman-Taylor fingers. Phys. Rev. A 32, 1930, 1985.

18. Combescot R., Dombre Т., Hakim V., Pomeau Y. & Pumir A. Shape selection for Saffman-Taylor fingers. Phys. Rev. Lett. 56, 2036, 1986.

19. Tanveer S. The effect of surface tension on the shape of a Hele-Shaw cell bubble. Phys. Fluids 29, 3537, 1986.

20. Couder Y., Gerard N. & Rabaud M. Narrow fingers in the Saffman-Taylor instability. Phys. Rev. A 34, 5175, 1986.

21. Howison S.D. Fingering in Hele-Shaw cells. J. Fluid Mech.167, 439, 1986.

22. Dorsey A.T. & Martin O. Saffman-Taylor fingers with anisotropic surface tension. Phys. Rev. A 35 3989, 1987.

23. Tanveer S. New solutions for steady bubbles in a Hele-Shaw cell. Phys. Fluids 30, 651, 1987a.

24. Combescot R., Dombre Т., Hakim V., Pomeau Y. & A. Pumir A. Analytic theory of the Safinan-Taylor fingers. Phys. Rev. A 37, 1270, 1987.

25. Reinelt D.A. Interface conditions for two-phase displacement in Hele-Shaw cells. J. Fluid Mech. 183, 219, 1987a.

26. Reinelt D.A. The effect of thin film variations and transverse curvature on the shape of fingers in a Hele- Shaw cell. Phys. fluids 30, 2617, 1987b.

27. Tanveer S. Analytic theory for the linear stability of Saffman-Taylor finger. Phys. Fluids 30,2318, 1987c.

28. Kessler D. & Levine H. Discrete set selection of Saffman-Taylor fingers, phys. fluids 30, 1246, 1987.

29. Kessler D., Koplik J. & Levine H. Patterned selection in fingered growth phenomena. Adv. Phys. 37, 255, 1988.

30. Pelce P. Dynamics of curved fronts. Academic, 1988.

31. Hong D.C. & Family F. Bubbles in the Hele-Shaw cell: Pattern selection & tip perturbations. Phys. Rev. A 37, 2724, 1988.

32. Combescot R. & Dombre T. Selection in the Saffman-Taylor bubble and asymmetrical finger problem. Phys. Rev. A 38, 2573, 1988.

33. Shaw B.E. Universality in selection with local perturbations in the Saffman-Taylor problem. Phys. Rev A 40, 5875, 1989.

34. Thome H., Rabaud M., Hakim V., Couder Y. The Saffman-Taylor instability: from the linear to the circular geometry. Phys. Fluids A 1, 224, 1989.

35. Weinstein S.J., Dussan V.E.B. & Ungar L.H. A theoretical study of two phase flow through a narrow gap with a moving contact line: viscous fingering in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 221,53, 1990.

36. Tanveer S. Analytic theory for the selection of Saffman-Taylor finger in the presence of thin-film effects. Proc. R. Soc. bond. A. 428, 511, 1990.

37. Burgess D. & Foster M.R. Analysis of the boundary conditions for Hele-Shaw bubbles. Phys. Fluids A 2,1105, 1990.

38. Combescot R. & Ben Amar M. Selection of Saffman-Taylor fingers in the sector geometry. Phys. Rev. Lett. 67, 453, 1991.

39. Constantin P. & Pugh M. Global solutions for small data to the Hele-Shaw problem. Nonlinearity 6, 393, 1993.

40. Siegel M., Tanveer S. & Dai W.S. Singular effects of surface tension in a smoothly evolving Hele-Shaw flow. J. Fluid Mech. 323, 201, 1996.

41. Tanveer S. Asymptotic calculation of three-dimensional thin-film effects on unsteady Hele-Shaw fingering. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 354,1065, 1996.

42. De Wit A., Homsy G.M. Viscous fingering in periodically heterogeneous porous media. Part II. Numerical simulations. J. Chem. Phys.Vol.107 (22), 9619, 1997.

43. Kelly E.D. & Hinch E.J. Numerical solutions of sink flow in the Hele-Shaw cell with small surface tension. Eur. J. Appl. Maths 8, 533, 1997.

44. Fokas A.S. & Tanveer S. A Hele-Shaw problem and the second painleve transcendent. Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 124, 169, 1998.

45. Mineev-Weinstein M. Selection of the Saffman-Taylor finger width in the absence of surface tension: an exact result. Phys. Rev. lett. 80, 2113, 1998.

46. Aldusin A.P., Matkowsky B.J. Instabilities, fingering and Saffman-Taylor problem in filtration combustion. Combust. Sci. Technol. 133, 293, 1998.

47. Ceniceros H. & Hou T.Y. The singular perturbation of surface tension in Hele-Shaw flows. J. Fluid Mech. 409, 251-272, 2000.

48. Howison S.D. A note on the two-phase Hele-Shaw problem. J. Fluid Mech. 409, 243-249, 2000.

49. Zhuravlev P. Zap Leningrad Com. Inst. 133, 54 in Russian, 1956.

50. Pitts E. Penetration of fluid into a Hele-Shaw cell: the Saffan-Taylor experiment. J. Fluid Mech. 97, 53, 1980.

51. Mclean J.W., Saffman P.G. The effect of surface tension on the shape of fingers in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 102, 455,1981.

52. Park C.W., Homsy G.M. Two-phase displacement in Hele-Shaw cell: theory. J. Fluid Mech. 139, 291, 1984.

53. Park C.W., Homsy G.M. The instability of long fingers in Hele-Shaw flows. Phys. Fluids, V.28, N. 6, pp. 1583-1585, 1985.

54. Tabeling P. & Libchaber A. Film draining and the Saffman-Taylor problem. Phys. Rev. A 33, 794, 1986.

55. Tabeling P., Zocchi G. & Libchaber A. An experimental study of the Saffman-Taylor instability. J. Fluid Mech. 177, 67, 1987.

56. Maxworthy Т. The nonlinear growth of a gravitationally unstable interface in a Hele-Shaw cell. J. Fluid Mech. 177, 207, 1987.

57. Maxworthy T. Experimental study of interface instability in a Hele-Shaw cell. Phys. Rev. A 39, 5863, 1989.

58. Arneodo A., Couder Y., Grasseau G., Hakim V. & Rabaud M. Uncovering the analytical Saffman-Taylor finger in unstable viscous fingering and diffusion limted aggregation. Phys. Rev. lett. 63, 984, 1989.

59. Kessler D. & Levine H. Stability of finger patterns in Hele-Show cells. Phys. Rev. A 33, 2632, 1986a.

60. Degregoria A J., Schwartz L.W. Finger break-up in Hele-Show cells. Phys. Fluids 28, 2313, 1985.

61. Degregoria A J., Schwartz L.W. Fluid Mech. 164, 383, 1986.

62. Meiburg E. & Homsy G.M. Nonlinear unstable viscous fingers in Hele-Show flows. II. Numerical simulation. Phys. Fluids 31, (3), 1988.

63. Homsy G.M. Viscous fingering in porous media. Ann. Rev. Fluid Mech. 19, 271, 1987.

64. Schwartz L.W., Degregoria A J. Simulation of Hele-Shaw cell fingering with finite capillary number effects included phys. Rev. A. 35, 276, 1987.

65. Smirnov N.N., Nikitin V.F., Ivashnyov O.E., Legros J.C., Vedernikov A., Scheid В., Istasse E. Instability in viscous fluids displacement from cracks and porous samples. Proc. 53-d Internat. Astronautical Congress, Houston, IAC-02-J. 2. 02, 2002.

66. Седов Jl.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 438 с, 1977.

67. Роуч П. Вычислительная гидродинамика М.: Мир, 1980.

68. Patankar S.V. Numerical heat transfer and fluid flow, 1972.

69. Versteeg H.K., & Malalasekera W. An introduction to computational fluid dynamics the finite volume method, 1996.

70. Harlow F.H. and Welch J.E. Numerical calculation of Time-Derendent viscous incompressible flow of fluid with Free Surface, Phys. Fluids, vol. 8, P. 2182, 1965.

71. Caretto L.S., Gosman A.D., Patankar S.V., and Spalding D.B. Two calculatian procedures for steady, Three-Dimensional Flows with recirculation, proc .3d int. conf. Num. Methods Fluid Dyn, Paris, vol. 11, p. 60, 1972.

72. Patankar S.V. and Spalding D.B. A calculation procedure for heat, mass and momentum transfer in Three-Dimensional parabolic flows, Int. J. Heat Mass Transfer, vol. 15, p. 1787,1972a.

73. Patankar S.V. and Spalding D.B. Heat and mass transfer in boundary layers, 2d ed, intertext, London, 1970.

74. Caretto L.S., Curr R.M. and Spalding D.B. Two numerical methods for Three-Dimensional boundary layers, сотр. methods appl. Mech. Eng. vol. I. P, 1972

75. Patankar S.V. Numerical prediction of Three-Dimensional flows, in В. E. launder (ed), studies in convection: Theory, measurement and applications, vol. 1, Academic, New York, 1975.