Прямое численное моделирование турбулентных течений в несимметричном диффузоре тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Королева, Мария Равилевна

• Королева, Мария Равилевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Королева, Мария Равилевна

ВВЕДЕНИЕ. f,

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ТУРБУЛЕНТНОМ ТЕЧЕНИИ

J ВЯЗКОГО СЖИМАЕМОГО ГАЗА В НЕСИММЕТРИЧНОМ

ДИФФУЗОРЕ.

JU.' 1.1. Основные уравнения газовой динамики и их преобразование для решения поставленной задачи.

1.2. Начальные и граничные условия.

ГЛАВА 2. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

ТОЧНОСТИ.

2.1. Применение схем высокого порядка точности для прямого численного моделирования турбулентных течений. р 2.2. Конструирование алгоритма для реализации схем с автоматическим обеспечением гладкости решения.

2.4. Аппроксимация начальных и граничных условий.

2.5. Решение тестовой задачи о распаде произвольного разрыва.

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ И ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА.

3.1. Исследование устойчивости разностных схем.

3.1.1. Устойчивость схем для уравнений гиперболического типа.

3.1.2. Устойчивость схем для уравнений параболического типа.

3.1.3. Устойчивость схем с искусственной диссипацией.

3.2. Исследование точности разностных схем.

1 ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В ДИФФУЗОРЕ.

- у - 4.1. Анализ экспериментальных и теоретических данных по исследованию течения в несимметричном диффузоре.

4.2. Результаты прямого численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с использованием схем высокого порядка точности.

4.2.1. Особенности течения в диффузорах различной геометрии. Влияние постановки граничных условий на картину течения.

4.2.2. Сравнение результатов прямого численного моделирования с данными, полученными с использованием полуэмпирических моделей турбулентности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прямое численное моделирование турбулентных течений в несимметричном диффузоре»

На сегодняшний день турбулентность остается одним из приоритетных направлений науки и одним из наиболее сложных объектов исследования гидромеханики [1]. За всю историю ее изучения было предложено много различных методов и подходов [2 - 5], которые представляли наиболее перспективные направления науки соответствующего периода времени. Теория турбулентности продолжает развиваться и по сей день. Появляются все новые подходы к ее изучению [6], растет число моделей, предлагаемых для лучшего понимания ее свойств, а также механизмов ее возникновения и существования.

Необходимость исследования турбулентных течений объясняется тем, что они являются преобладающей формой движения, как в природе, так и в технике. Присутствие турбулентности в технических устройствах оказывает сильное влияние на работоспособность, долговечность и другие важные характеристики конструкций [3, 7]. Поэтому изучение нестационарных явлений, характерных для турбулентных течений может объяснить процессы, происходящие в них и во многом облегчить работы по созданию новых устройств.

Основным элементом многих технических систем, в которых присутствуют турбулентные течения, являются диффузоры - каналы с повышением статического давления в направлении движения потока [8]. Диффузоры являются составной частью реактивных двигателей, испытательных установок, в частности аэродинамических труб, они используются в турбинах, насосах, вентиляторах, компрессорах и других машинах. Основное назначение диффузоров - преобразование кинетической энергии, полученной за счет ускорения потока и последующего его расширения, в увеличение статического давления. Необходимость получения высоких коэффициентов восстановления давления в диффузорах часто заставляет использовать геометрические параметры, при которых течение находится либо на грани отрыва, либо при условиях, близких к нему [9, 10]. В этом случае диффузор действует как самовозбуждающийся генератор колебаний с квазипериодическим образованием и уносом отрывных областей -возникает режим, называемый нестационарным отрывным течением [11, 12], сильно затрудняющий детальное исследование течений в диффузорах. Несмотря на обширный накопленный материал по гидродинамике турбулентных отрывных течений [13, 14], остается потребность в разработке надежных и универсальных методов, способных предсказать гидродинамические параметры течений такого рода.

Диффузоры могут иметь различную геометрию. Самый простой геометрический случай - двухмерный плоский диффузор [15]. Известно большое количество как экспериментальных, так и теоретических работ [8, 9, 11, 15, 16] по исследованию характеристик течения в диффузорах такой формы. В диффузорах данной формы можно наблюдать четыре существенно различных режима течения [15], которые определяются его геометрическими параметрами, а именно углом раскрытия диффузора, высотой входного канала и длиной диффузора вдоль его оси. В зависимости от этих параметров в плоском симметричном диффузоре может возникнуть [17]: а) безотрывное течение (течение без заметного отрыва) при малых углах раскрытия; б) течение с нестационарным отрывом, когда образуется большая переходная область, в которой положение, размеры и интенсивность отрыва изменяются во времени (в этом режиме наблюдаются сильные пульсации течения); в) течение с полностью развитым отрывом, когда область отрыва располагается около одной из стенок диффузора, а основной поток относительно спокойно движется около другой стенки; г) струйное течение, при котором поток отрывается от обеих стенок и больше не присоединяется к стенкам ниже по потоку, такой режим существует только при больших углах раскрытия диффузора.

Для исследования данных режимов течения в симметричных плоских диффузорах было разработано достаточно большое количество методов [15, 9]. Однако все эти подходы не являлись универсальными, а разрабатывались для одного конкретного режима течения и не были пригодны для расчета других видов течения.

Другим интересным примером является течение в плоском несимметричном диффузоре с большим углом раскрытия [18 — 20]. Это течение имеет несколько характерных свойств:

• в этом случае течение находится на грани отрыва, когда достигаются оптимальные характеристики работы многих технических устройств;

• течение обладает богатой физикой - в нем одновременно присутствуют такие явления как отрицательный коэффициент давления, внезапное резкое расширение подводящего канала диффузора, начальный отрыв и повторное присоединение потока в отводящем канале, сопровождающееся значительным повышением давления;

• геометрия диффузора позволяет получить в общем случае двумерную осредненную картину течения при нестационарных трехмерных мгновенных полях потока.

Первые экспериментальные работы по исследованию течения в диффузоре данной геометрии были проведены Оби С. и др. в 1993г. [21]. Затем в 19961997гг. Бюс С.У. и Итон Дж.К. провели аналогичный эксперимент [19]. Оба эксперимента использовали для исследования течения методику лазерной доп-леровской анемометрии (ЛДА) [22]. В то же время появились первые работы по численному моделированию течения в диффузоре данной геометрии [18, 20, 23

- 2$]. Результаты этих исследований, показали, что все модели имеют недос-% татки, которые не позволяют адекватно описывать внутренние процессы течения в несимметричном диффузоре и в полной мере изучить актуальные величины и поля основных параметров турбулентного течения.

Исходя из всего сказанного выше, можно сделать вывод, что есть необходимость в построении алгоритма, позволяющего достоверно описывать как средние, так и пульсационные характеристики течений в плоских диффузорах.

Существует большое количество подходов к моделированию турбулентности. Один из наиболее известных подходов - это использование полуэмпирических моделей [26 - 28], который основан на использовании гипотезы Рей-нольдса [29] о локальном осреднении по времени гидромеханических параметров течения. Данные модели используют для замыкания решаемой системы уравнений различные алгебраические или дифференциальные модели турбулентной вязкости [27, 28, 30], содержащие ряд эмпирических констант, значениями которых приходится варьировать в каждом конкретном случае. Большой объем численных исследований, проведенных с использованием такого подхода, позволил существенно уточнить картину протекающих процессов в турбулентном потоке. Данные модели турбулентности продолжают развиваться и в настоящее время.

В работе [31] отмечаются эволюционные одноточечные модели с Рей-нольдсовыми напряжениями, которые пока вводятся в основном в одномерные и двумерные численные методики; методы, основанные на многофазном подходе; работы, основанные на двухточечной модели турбулентности. Также упоминаются попытки моделирования турбулентных течений с использованием молекулярной динамики.

В последнее время для расчета турбулентных течений интенсивно используется LES (Large Eddy Simulation) моделирование [32 - 34] - моделирование больших вихрей. Идея данного метода заключается в том, чтобы произвести расчет трехмерного нестационарного крупномасштабного турбулентного течения с использованием процедуры пространственного фильтрования, которая выделяет крупные вихревые образования. Данный подход не учитывает влияние мелкомасштабной турбулентности на картину течения, поэтому его часто применяют вместе с подсеточной моделью турбулентности (Sub Grid Scale model) [35,36].

Одним из приоритетных на сегодняшний день направлений расчета турбулентных течений является численное моделирование [37], основанное на построении разностных методов расчета [38 - 41]. Значительное место в современных исследованиях занимает прямое численное моделирование (ПЧМ) [42 -45], то есть моделирование прямыми трёхмерными расчётами по программам, решающим уравнения Эйлера или Навье-Стокса, без использования каких-либо специальных моделей турбулентности. Сложность прямого численного моделирования обусловлена, прежде всего, тем, что нестационарные турбулентные течения характеризуются широким диапазоном пространственных и временных масштабов. Поэтому для проведения расчетов требуется высокопроизводительная вычислительная система и эффективный численный метод, позволяющий получать достоверные численные результаты. При этом следует отметить, что методы, имеющие низкий порядок аппроксимации пространственных производных обладают значительной схемной диссипацией и для получения достоверных результатов с помощью таких схем требуется измельчение разностной сетки и как следствие увеличение машинных и временных затрат. Для того чтобы избежать этого при расчете турбулентных течений используют методы повышенного порядка точности [46 — 49]. Среди которых хорошо известны спектральные методы, основанные на разложения функций в ряд Фурье [50 — 53].

Основная проблема при построении разностных методов высокого порядка точности — это одновременно с заданным порядком аппроксимации производных обеспечить получение монотонных численных решений при наличии разрывов [54]. Большинство работ на эту тему заключается в создании разнообразных нелинейных механизмов, которые обеспечивают непрерывный переход от немонотонной разностной схемы высокого порядка аппроксимации к монотонной разностной схеме первого порядка аппроксимации [55]. При этом разностные формулы с повышенным порядком аппроксимации используются в точках, в которых численное решение является гладким, а в точках, в которых решение терпит разрыв, используются монотонные схемы низкого порядка точности.

К таким работам относятся работы Ван-Лира по созданию "монотонизи-рованных" разностных схем повышенного порядка точности [56]. Большую популярность также приобрёл алгоритм расчета переноса с коррекцией потоков (метод FCT), разработанный Борисом и Буком [57 - 59].

Также широко распространен метод, разработанный Хартеном, получивший название TVD-метод или метод невозрастания полной вариации решения [60, 61]. Позже Залесак [57] показал, что методы TVD имеют основные черты, подобные методам Годунова и методам линейной гибридизации, куда входит метод нелинейной коррекции потоков.

Общим во всех методах подобного класса, является использование разнообразных "монотонизирующих" ограничителей потоков с переключателями, зависящими от локальных свойств численных решений. Известно очень много различных ограничителей потоков, среди которых встречаются как простые ограничители, например, ограничитель Ван-Лира, так и довольно сложные, например, ограничитель "Superbee". Все эти монотонные методы дают большое улучшение результатов по сравнению с классическими методами.

Кроме техники ограничителей потоков, при построении "монотонизиро-ванных" разностных схем повышенного порядка аппроксимации широко используется техника монотонной или квазимонотонной интерполяции сеточных решений, получившая название методов реконструкции численных решений [31]. Наиболее популярный метод реконструкции численного решения — это кусочно-параболический метод [31, 57], получивший название РРМ-метод (piece-wise parabolic method). В РРМ-методе, наряду с требованием непоявления новых экстремумов, в алгоритм реконструкции добавлен механизм, позволяющий уменьшить численную диффузию, на контактных разрывах, не являющихся ударными волнами.

К методам реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости численных решений можно отнести ENO метод (essentially non-oscillatory method), предложенный в работе [62]. Идея данной алгоритма заключается в использовании адаптивных шаблонов в процедуре построения интерполяционных полиномов, которая основана на локальной гладкости численного решения. Это позволяет автоматически достигнуть высокого порядка точности, хорошо разрешать монотонные переходы не приводя к появлению случайных колебаний вблизи разрывов. Данный метод можно применять при решении задач, которые содержат как ударные волны, так и сложные гладкие структуры течения, как это встречается при моделировании турбулентности, где происходит взаимодействие ударных волн с вихревыми структурами [63, 64].

На основе данного алгоритма в работах Шу Ч.-В. [65, 66] был разработан метод WENO (weighted essentially non-oscillatory method). В отличие от метода ENO, в котором используется только один разностный шаблон из множества возможных, в процедуре WENO используется комбинация всех допустимых шаблонов. Метод более устойчив, обладает более быстрой сходимостью решения и обеспечивает лучшую гладкость. Алгоритм хорошо зарекомендовал себя при расчете как дозвуковых, так и сверхзвуковых течений [67, 68].

Целью данной работы является исследование с помощью прямого численного моделирования с использованием методов высокого порядка точности турбулентных течений сжимаемого, вязкого газа в несимметричном диффузоре, для достижения которой необходимо решить следующие задачи:

- разработка математической модели, описывающей трехмерное течение сжимаемого вязкого газа;

- построение эффективных разностных схем повышенного порядка точности, способных решить дифференциальные уравнения, описывающие трехмерные турбулентные течения в каналах различной геометрии;

- анализ точности и устойчивости вычислительного алгоритма;

- проведение численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с получением полной картины течения: мгновенных полей распределения основных параметров потока, средних и пульсационных характеристик течения с использованием разработанного алгоритма.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- В работе предложены схемы повышенного порядка точности по времени и пространству на основе методов реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости численных решений.

- Проведены аналитические исследования устойчивости и точности разработанных схем высокого порядка точности в широком диапазоне варьируемых параметров и в сравнении с имеющимися аналитическими, расчетными данными.

- Впервые проведено прямое численное моделирование пространственных течений в несимметричном диффузоре.

- Исследование влияние угла раскрытия диффузора на картину течения, в частности на положение и размер зоны отрыва является новым.

- Установлено влияние различных граничных условий и ширины расчетной области на характер течения в диффузоре.

- Получена не только осредненная, но и мгновенная картина течения в несимметричном диффузоре. Найдено распределение коэффициента давления и коэффициента сопротивления. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными.

- Впервые исследовано мгновенное распределение параметров течения, а также пространственная конфигурация вихревых структур в плоском несимметричном диффузоре.

Достоверность научных положений, выводов и результатов, приведенных в работе, подтверждается следующим:

- использованные математические модели на основе системы полных уравнений Навье-Стокса базируются на фундаментальных законах механики сплошной среды;

- построенные численные схемы апробированы при решении тестовых задач и показывают высокую точность и работоспособность в широком диапазоне варьируемых параметров; полученные численные результаты хорошо согласуются с известными аналитическими, экспериментальными и расчетными данными. Построенный в работе класс разностных схем высокого порядка точности может использоваться в теоретических исследованиях и инженерных расчетах при моделировании турбулентных течений в различных конструкциях, содержащих диффузоры с целью получения как осредненных, так и мгновенных параметров потока.

Автор данной работы выносит на защиту:

Схему высокого порядка точности по времени и пространству для расчета турбулентных течений вязкого сжимаемого газа в несимметричном диффузоре.

Результаты тестовых расчетов с использованием схем высокого порядка точности при решении одномерной задачи о распаде произвольного разрыва

Результаты аналитического исследования устойчивости предложенного алгоритма расчета.

Результаты прямого численного моделирования течения в несимметричном диффузоре с различными углами раскрытия. Влияние различных граничных условий и ширины диффузора на закономерности течения. Сравнение полученных данных с результатами экспериментальных работ и данными других численных исследований.

По главам содержание работы распределено следующим образом. Первая глава включает в себя математическую модель моделирования турбулентных течений вязкого сжимаемого газа в каналах сложной формы, а также постановку граничных и начальных условий.

Во второй главе описан численный метод решения поставленной задачи, используемая конечно-разностная схема и численная реализация граничных условий, а также приведены результаты решения тестовой задачи о распаде произвольного разрыва с помощью схемы высокого порядка точности.

Третья глава посвящена анализу устойчивости и точности используемого численного метода.

В четвертой главе работы описаны экспериментальные и теоретические работы по исследованию течения в несимметричном диффузоре. Приведены результаты численного моделирования течения в несимметричном диффузоре. Проводится сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и данными других моделей, используемых для расчета аналогичного случая.

Результаты исследования докладывались на III международной научно-технической конференции «Информационные технологии в инновационных проектах» г.Ижевск, 2001г., на Всероссийской конференции высокопроизводительных вычислений и технологий, г.Ижевск, 2003г., на международной научной конференции по фундаментальным и прикладным вопросам механики, г.Хабаровск, 2003г., на VIII международном конгрессе по математическому моделированию, г.Нижний Новгород, 2004г., на международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», г.Москва, 2004г.

Основные результаты опубликованы в работах [43, 44, 46 — 48, 67, 95

97].

Работа выполнена при поддержке фонда РФФИ по грантам № 03-01016151, №01-01-00353.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Королева, Мария Равилевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения данной работы были получены следующие основные результаты:

1. Построен класс разностных схем высокого порядка точности по времени и пространству для прямого численного моделирования трехмерных турбулентных течений в плоском несимметричном диффузоре. Для обеспечения устойчивости и монотонности представленных алгоритмов заданного порядка точности, в исходную разностную схему были добавлены члены искусственной диссипации, построенные на основе методов реконструкции сеточных решений с автоматическим анализом гладкости численных решений. Это позволило достаточно точно разрешать как ударные волны, так и сложные гладкие структуры течения, не снижая при этом порядка точности метода и не контролируя размер искусственной вязкости.

2. Проведены исследования устойчивости разработанных алгоритмов с использованием анализа Фурье методом Неймана при решении уравнений гиперболического и параболического типа. Показано, что разработанные схемы повышенного порядка точности без членов искусственной диссипации при решении уравнений гиперболического типа являются устойчивыми в большом диапазоне изменений чисел Куранта. Проведенные исследования показали сокращение размеров области, в которой наблюдается фазовый сдвиг решения, при увеличении порядка точности схемы и уменьшении числа Куранта. Исследования устойчивости разностного алгоритма при решении уравнения параболического типа показали, что в рамках исследуемых значений числа Куранта, схемы всех представленных порядков точности являются неустойчивыми в об

•» ласти больших волновых чисел. Размер области неустойчивости зависит от порядка разностной схемы. Когда в исходную разностную схему добавляются члены искусственной диссипации, данные области неустойчивости исчезают, и методы всех порядков остаются устойчивыми во всем диапазоне исследуемых волновых чисел.

3. Проведено аналитическое исследование точности используемого алгоритма для количественной оценки результатов расчетов, полученных с использованием разработанных схем высокого порядка точности, было. Показано, что точность схем всех порядков точности соответствует теоретической. Также было выполнено исследование погрешности разностных схем в зависимости от частоты колебаний исходной функции. Показано, что с ростом частоты колебаний погрешность существенно возрастает как для схемы второго порядка точности, так и для схемы повышенного порядка точности. При увеличении частоты колебания погрешность для схемы второго порядка сильно растет и впоследствии становится сопоставима с самим решением. В то время как для схемы высокого порядка уровень погрешности, при данном значении частоты, остается приемлемым.

4. С помощью построенной схемы восьмого порядка точности была решена тестовая задача о распаде разрыва, чтобы проанализировать возможности и проверить монотонность построенного алгоритма. Показано, что разработанные схемы хорошо описывают такие явления, как ударные волны, контактные разрывы, волны разряжения и отраженные волны, а также обладают достаточно небольшой схемной вязкостью, величина которой не оказывает существенного влияния на результаты численных расчетов. Метод дает хорошие результаты при расчетах на длительные промежутки времени.

5. С использованием построенных в работе схем высокого порядка точности впервые было проведено прямое численное моделирование пространственных течений в несимметричном диффузоре. Исследовано влияние угла раскрытия диффузора на положение и размер отрывной зоны. Показано, что при угле раскрытия а = 2° осредненное течение в диффузоре является безотрывным. При угле раскрытия а = 5° возникает отрыв потока от верхней стенки диффузора. Зона отрыва располагается вдоль верхней наклонной стенки диффузора. При дальнейшем увеличении угла раскрытия (а = 10°) длина зоны отрыва существенно не меняется, а сама рециркуляционная область смещается к горловине диффузора. При этом размеры вихря в поперечном направлении увеличиваются.

6. Исследовано влияние различных граничных условий и ширины расчетной области на картину течения в несимметричном диффузоре с утлом раскрытия а = 10°. Картина течения соответствующая экспериментальной была получена при ширине диффузора 8h и использовании периодических граничных условий. Рассчитанные осредненные и пульсационные профили скорости хорошо согласуются с экспериментальными данными. Построенные коэффициенты восстановления давления и сопротивления на наклонной стенке диффузора соответствуют эксперименту. Получена и проанализирована пространственная картина течения в несимметричном диффузоре. Показано, что используемый в работе метод высокого порядка точности позволяет детально исследовать изменение течения во времени, в частности проследить эволюцию вихревых образований и векторного поля скорости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Королева, Мария Равилевна, 2005 год

1. фон Карман Г Аэродинамика. Избранные темы в их историческом развитии. — Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 208 с.

2. Гостей А.Д., Халил Е.Е., Уайтлоу Дж.Г. Расчет двумерных турбулентных рециркуляционных течений // Турбулентные сдвиговые течения. -М.: Машиностроение, 1982. С. 247-269.

3. Нестационарные явления в турбомашинах / В.Г. Августинович, А.А. Иноземцев, Ю.Н. Шмотин и др.; Под ред. В.Г. Августиновича. -Екатеринбург Пермь: УрО РАН, 1999. - 280 с.

4. Рейнольде АДж. Турбулентные течения в инженерных приложениях. — М: Энергия, 1978. 408 с.

5. Брэдшоу П. Турбулентность. М.: Машиностроение, 1980 - 343 с.

6. Фрик П.Г. Турбулентность: модели и подходы: Курс лекций. В 2-х. ч. Пермь: ПГТУ, 1998. - 244 с.

7. Ранстадлер В., Дин Р. С. Характеристики плоского диффузора с прямолинейными стенками при высоких числах Маха на входе // Теоретические основы инженерных расчетов 1968. — № 3. — С. 71-98.

8. Эшджажи Дж., Джонстон Дж.П. Неустойчивый отрыв потока и максимальное восстановление давления в двумерных диффузорах с прямолинейными стенками // Теоретические основы инженерных расчетов. 1980. - Т. 102. -№ 3. - С. 97-106.

9. Рено Л.Р., Джонстон Дж.П. Метод определения характеристик плоских безотрывных диффузоров // Теоретические основы инженерных расчетов. 1967. - № 3 - С. 216-229.

10. Смит P. Турбулентное течение при симметричном внезапном расширении плоского канала // Теоретические основы. 1978. - Т. 100. -№ 3. - С. 200-206.

11. Смит С.Р., Клайн С.Дж. Экспериментальное исследование нестационарного отрывного течения в плоских диффузорах // Теоретические основы инженерных расчетов. — 1973. № 1. - С. 103-108.

12. Амано Р.С. Турбулентное течение при резком расширении трубы // Аэрокосмическая техника. 1986. — № 6. — С. 41-47.

13. Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения. — . М.: Наука, 1979.-368 с.

14. Рестиво А., Уайтло Дж.Х. Характеристики турбулентного течения за симметричным плоским внезапным расширением // Теоретические основы инженерных расчетов. 1978. - Т. 100. - № 3. - С. 163-166.

15. Були P.JI., Клайн С.Дж. Методика расчета течения с развитым отрывом в плоских каналах // Теоретические основы инженерных расчетов. -1978.-Т. 100.-№2.-С. 152-159.

16. Бардина Дж., Лирио А., Клайн С.Дж, Ферзигер Дж.Х., Джонстон Дж.П. Метод расчета течений в плоских диффузорах // Теоретические основы инженерных расчетов. 1981. - Т. 103. - № 2. - С. 260-267.

17. Чжен П. Отрывные течения / Пер. с англ. Т. 1-3. - М.: Мир, 1972.

18. Apsley D.D., Leschziner М.А. Advanced turbulence modeling of separated flow in a diffuser // Flow, turbulence and combustion. 1999. - v. 63. -Pp. 81-112.

19. Buice C.U., Eaton J.K. Experimental investigation of flow through an asymmetric plane diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1996. - Pp. 243-248.

20. Fatica M., Kaltenbach H.-J., Mittal R. Validation of large-eddy simulation in a plane asymmetric diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1997. - Pp. 23-36.

21. Obi S., Aoki K, Masuda S. Experimental and computational study of turbulent separating flow in an asymmetric plane diffuser // IX Symposium on Turbulent Shear Flows. Kyoto, Japan. - 1993. - Paper P305-1.

22. Комаров П.Л., Поляков А.Ф. Исследование характеристик турбулентности и теплообмена за обратным уступом в щелевом канале. — М., 1996. 70 с. (Препринт ИВТАН № 2-396).

23. Fatica М., Mittal R. Progress in the large-eddy simulation of an asymmetric plane diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. -1996.-Pp. 249-255.

24. Kaltenbach H.-J. Towards a near-wall model for LES of a separated diffuser flow // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1998. - Pp. 255-265.

25. Kaltenbach H.-J. Large-eddy simulation of flow through a plane, symmetric diffuser // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1994. -Pp. 175-184.

26. Loens W.R., Launder B.E. The prediction of laminarization with a two-equation model of turbulence // International journal heat and mass transfer. 1972.-v. 15.-Pp. 301-314.

27. Секундов A.H. Применение дифференциального уравнения для турбулентной вязкости и анализ плоских неавтомодельных течений // Изв. АН СССР, МЖГ. 1971. - № 5. - С. 114-127.

28. Menter F.R. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. 1994. - v. 32, - Pp. 1598-1605.

29. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Пер. с англ. Т. 1-2. - М.: Мир, 1990.

30. Козлов В.Е., Секундов АЛ. Смирнова И.П. Модели турбулентности для описания течения в струе сжимаемого газа // Известия АН СССР, МЖГ. -, 1986. № 6. - С. 38-44.

31. Бондаренко Ю.А. и др. Математические модели и численные методы для решения задач нестационарной газовой динамики. Обзор зарубежной литературы. / Ю.А. Бондаренко, В.В. Башуров, Ю.В. Янил-кин. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2003. - 53 с.

32. Ferziger J.H. Large eddy simulation // ICASE, Oxford University Press, New York. 1996. Pp. 109-154

33. Gullbrand J., Bai X.S., Fuchs L. Large eddy simulation of turbulent reacting flows, using Cartesian grid and boundary correction // AIAA Paper № 983317.

34. Vasilyev О. V., Lund T.S. A general theory of discrete filtering for LES in complex geometry // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs. 1997.-Pp. 67-82.

35. Adams N.A., Stolz S. A SGS deconvolution approach for shock capturing // Journal of computational physics. 2002. v. 178. - Pp. 391-426.

36. Yang, K.-S., Ferziger, J.H. Large-eddy simulation of turbulent obstacle flow using a dynamic subgrid-scale model // AIAA. 1993. - v. 31(8). - 1406.

37. Белоцерковский O.M. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М.: Физматлит, 1994. 448 с.

38. Бабенко К.И. Основы численного анализа. Москва-Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2002. - 848 с.

39. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975. 152 с.

40. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / Пер. с англ. М.: Энергоиздат, 1984. - 152 с.

41. Никитин Н.В., Павельев А.А. Турбулентные течения в канале с проницаемыми стенками. Результаты прямого численного моделирования и трехпараметрической модели // Изв. РАН, МЖГ. — 1998. — № 6. — С. 18-26.

42. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Кукрякова М.Р. Некоторые результаты теоретического исследования турбулентных дозвуковых потоков. // Сб. статей "Современные проблемы механики и физики космоса". М.: Наука, 2003. - С. 104-122.

43. Kisarov Yu.F., Kisarova S. Yu., Koroleva M.R. Direct numerical simulation turbulent channel flow // Proc. of VI International Congress on Mathematical Modeling. N.-Novgorod, 2004. - P.288.

44. Тишкин В.Ф., Никишин В.В., Попов И.В., Фаворский А.П. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задач о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова // Математическое моделирование. — 1995. Т.7. — № 5. - С. 15-25

45. Кисаров Ю.Ф., Кукрякова М.Р. Схемы высокого порядка точности длярешения задач газовой динамики. // Материалы III Международной научно-технической конференции "Информационные технологии в инновационных проектах". Ижевск, 2001. - С. 42-45.

46. Zalesak S.T. A physical interpretation of the Rychtmyer two-step Lax-Wendroff scheme and its generalization to higher spatial order // Advances in computer methods for partial differential equations. 1984. - № 5. — Pp. 491-496.

47. Хуссейни М.И., Коприва Д.А., Сейлас М.Д., Цанг Т.А. Спектральныеметоды решения уравнений Эйлера // Аэрокосмическая техника. 1986. -Ч. 1. № 2. - С. 39-57.

48. Никитин Н.В. Турбулентное течение в канале с искусственным двумерным пристенным слоем // Изв. РАН, МЖГ. 2003. — № 6. -С. 32-40.

49. Никитин Н.В. Прямое численное моделирование трёхмерных турбулентных течений в трубах круглого сечения // МЖГ. 1994. -№ 6. - С. 14-26.

50. Пинчуков В.И. Нелинейные сеточные фильтры и их использование в схемах высоких порядков для задач аэродинамики // Математическое моделирование 1999. - Т. 10. - № 11. - С.11-115.

51. Пинчуков В.И., Шу Ч.-В. Численные методы высоких порядков для задач аэрогидродинамики. Новосибирск: СО РАН, 2000. - 232с.

52. Van Leer В. Flux-vector splitting for the Euler equation. // Lecture notes in physics. 1982. - v. 170. - Pp. 507-512.

53. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков / Пер. с анг. М.: Мир, 1990. - 660 с.

54. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids // Journal of computation physics. 1979. -№31. — Pp. 335-362.

55. Boris J.P., Book D.L. Flux-corrected transport, 1. SHASTA, a fluid transport algorithm that works // Journal of computation physics. 1973. - v. 11. — № 1.-Pp. 38-69.

56. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws // AIAA New-York. 1985. - № 85-0363.

57. Йи Г.С., Хартен А. Неявные схемы TVD для гиперболических систем уравнений, записанных в консервативной форме относительно системы криволинейных координат // Аэрокосмическая техника. 1987. - № 11. -С. 11-35.

58. Ilarten A., Engquist В., Osher S., Chakravarthly S.R. Uniformly high-order accurate essentially non-oscillatory scheme // Journal of computational physics. 1987. - v. 71. -№ 2. - Pp. 231-303.

59. Harten A. ENO scheme with subsell resolution // Journal of computational physics. 1989. - v. 83. -№ 1. - Pp. 148-184.

60. Shu C.-W. High order ENO and WENO schemes for computational fluid dynamics // Computational science and engineering. 1999. - v. 9. — Pp. 439-582.

61. Shu C.-W. High order finite difference and finite volume WENO schemes and discontinuous Galerkin methods for CFD // ICASE Report № 2001-11. -2001.- 16 p.

62. Shu C.-W. Essentially non-oscillatory and weighted essentially non-oscillatory schemes for hyperbolic conservation laws // ICASE Report №97-65.-1997.-78 p.

63. Jianxian Q., Shu C.-W. On the construction, comparison, and local characteristic decomposition for high-order central WENO schemes // Journal of computational physics, 2002. № 183. - pp. 187-209.

64. Седое Л.И. Механика сплошной среды. 6-е изд., стер. - Т.2.- СПб.: Лань, 2004г. - 560 с.

65. Лойщнский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1970. 904с.

66. Кайзер КФ. Макдональд А. Т. Влияние неравномерности профилей скорости на входе типа течения в следе за телом на начало заметного отрыва в диффузорах с плоскими стенками // Теоретические основы инженерных расчетов 1980. - Т. 102. - № 3. - С. 106-113.

67. Гоуз С., Клайн С.Дж. Расчет максимального восстановления давления в плоских диффузорах // Теоретические основы. 1978. — Т. 100. — №4.-С. 130-138.

68. Вольф С., Джонстон Дж.П. Влияние неравномерного входного профиля скорости на режимы течения и характеристики плоских диффузоров // Теоретические основы инженерных расчетов. — 1968. — №3.-С. 141-155.

69. Gullbrand J. An evaluation of a conservative fourth order DNS code in turbulent channel flow // Center of Turbulent Research Annual Research Briefs.-2000.-Pp. 211-218.

70. Sandham N.D., Yee, H.C. Entropy splitting for high order numerical simulation of compressible turbulence // RIACS Technical report 00.10, Proceeding of the 1st international conference on CFD. July. Japan, 2000.

71. Федорченко A.T. О проблеме вывода вихрей через проницаемую границу расчетной области нестационарного дозвукового потока // ЖВМ и МФ. 1986. - Т. 26. - № 1. - С. 114-129.

72. Федорченко А. Т. Численное исследование нестационарных дозвуковых течений вязкого газа во внезапно расширяющемся плоском канале // МЖГ.- 1988.-№4. -С. 32-41.

73. Липанов A.M. и др. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков / A.M. Липанов, Ю.Ф. Кисаров, И.Г. Ключников. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. - 161 с.

74. Fluent Inc. FLUENT 5 User's Guide. 1998. - v. 1-4.

75. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids // Journal of computational physics. — 1979. —№ 31. — Pp. 335-362.

76. Половко A.M., Бутусов П.Н. Интерполяция. Методы и компьютерные технологии их реализации. — Спб.: БХВ-Петербург, 2004. — 320 с.

77. Егоренков Д.Л., Фрадков А.Л., Харламов В.Ю. Основы математического моделирования. — СПб.: БГТУ, 1996. 191с.

78. Kennedy С.А., Carpenter М.Н., Lewis R.M. Low-storage, explicit Runge-Kutta schemes for the compressible Navier-Stokes equations // ICASE Report № 99-22. 1999. - 52 p.

79. Gottlieb S., Shu C.-W., Tadmor E. Strong stability preserving high-order time discretization methods // ICASE Report № 2000-15. 2000. - 23 p.

80. Роуч П. Вычислительная гидромеханика / Пер. с англ. М.:Мир, 1980. -616 с.

81. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики: Учеб. пособие. изд. 3-е, доп. - М.: Наука, 1992. -424 с.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. — М.: Гостехиздат, 1953. — 795с.

83. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем. — М.: Эдиториал УРСС, 2005. 384с.

84. Эббот Д.Е., Клайн С.Дж. Экспериментальное исследование дозвукового турбулентного течения при обтекании одинарных и двойных уступов // Техническая механика — 1962. — Т. 84. — № 3. — С. 20-28.

85. Ким Дж., Клайн СДж, Джонстон Дж.П. Исследование присоединения турбулентного сдвигового слоя: обтекание обратного уступа // Теоретические основы инженерных расчетов 1980. — Т. 102. -№ 3. - С. 124-132.

86. Крюков В.Н. Исследование турбулентного отрыва за уступом, расположенным по потоку // Отдельные задачи тепло- и массообмена между потоками и поверхностями. М., 1986. - С. 24-28.

87. Launder В.Е., Sharma B.I. Application of the energy-dissipation model of turbulence to the calculation of flow near a spinning disc // Heat and mass transfer.- 1974.-№ 1.-Pp. 131-138.

88. Apsley D.D., Leschziner M.A. A new low-Renolds-number non-linear two-equation turbulence model for complex flows // Journal heat fluid flow. — 1998. № 19. - Pp. 209-222.

89. Speziale C.G. Sarkar S., Gatski T.B. modeling the pressure-strain correlation of turbulence: An invariant dynamical system approach // Journal fluid mechanics. 1991. - № 227. - Pp. 245-272.

90. Kisarov Yu.F., Kisarova S.Yu., Kukriakova M.R. The comparison of 2D and 3D modeling of flows in the plane channels // Proc. of V International Congress on Mathematical Modeling. Dubna, 2002. — vol. 1. - P. 257.

91. Кисаров Ю.Ф., Кисарова С.Ю., Кукрякова М.Р. Сравнение двухмерного и трехмерного течений в плоских каналах. // Сб. статей "Газоструйные и импульсные системы". Ижевск: ИжГТУ, 2003г. -Вып.2. - Т.1. - С. 178-183.

92. Шляжс Р.Б. Турбулентный перенос импульса и тепла в пограничном слое за препятствием: Дис. канд. тех. наук. Каунас, 1984.

93. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969. — 744 с.

94. Адаме Э.В., Джонстон Дж.П. Структура течения в пристеночной зоне турбулентного отрывного течения // Ракетная техника и космонавтика. — 1981.-№5. —С. 3-13.

95. Мое с В.Д, Бэкер С., Бредбери Л.Дж.С. Измерения средней скорости и рейнольдсовых напряжений в некоторых областях рециркуляционных течений // Турбулентные сдвиговые течения. М.: Машиностроение,1982.-С. 203-213.

96. Липанов A.M., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численное моделирование развития вихревых структур в отрывных течениях // Математическое моделирование. 1994. - Т. 6. - № 10. - С. 13-23.